从《Cash》谈一类分治算法的应用cdq
分治算法及其典型应用
分治算法及其典型应用
分治算法是一种重要的算法设计策略，它将一个大问题分解成若干个规模较小的子问题，然后递归地解决这些子问题，最后将它们的解合并起来，得到原问题的解。
分治算法在计算机科学和算法设计中有着广泛的应用，可以解决许多实际问题，下面将介绍一些典型的应用。
1. 排序算法。
分治算法在排序算法中有着重要的应用。
其中最著名的就是归并排序和快速排序。
在归并排序中，算法将数组分成两个子数组，分别进行排序，然后合并这两个有序的子数组。
而在快速排序中，算法选择一个基准值，将数组分成两个子数组，分别小于和大于基准值，然后递归地对这两个子数组进行排序。
2. 搜索算法。
分治算法也可以用于搜索问题，例如二分搜索算法。
在这种算法中，将搜索区间分成两个子区间，然后递归地在其中一个子区间中进行搜索，直到找到目标元素或者子区间为空。
3. 求解最大子数组问题。
最大子数组问题是一个经典的动态规划问题，也可以用分治算法来解决。
算法将数组分成两个子数组，分别求解左右子数组的最大子数组，然后再考虑跨越中点的最大子数组，最后将这三种情况的最大值作为整个数组的最大子数组。
4. 矩阵乘法。
分治算法也可以用于矩阵乘法。
在矩阵乘法中，算法将两个矩阵分成四个子矩阵，然后递归地进行矩阵乘法，最后将四个子矩阵的结果合并成一个矩阵。
总的来说，分治算法是一种非常重要的算法设计策略，它在许多实际问题中有着广泛的应用。
通过将一个大问题分解成若干个规模较小的子问题，然后递归地解决这些子问题，最后将它们的解合并起来，我们可以高效地解决许多复杂的问题。
如何应用分治算法求解问题
如何应用分治算法求解问题分治算法，英文名为Divide and Conquer Algorithm，是一种高效的算法设计策略，在计算机科学中有着广泛的应用。
该算法将一个大问题分解成多个小问题，各自独立地解决，再将结果合并起来得到最终结果。
在本文中，我们将阐述如何应用分治算法求解问题，并通过几个实例来具体说明该算法的应用。
一、分治算法的原理分治算法的核心思想是将一个大问题分解成若干个小问题来解决，然后将这些小问题的解组合起来生成大问题的解。
其具体步骤如下：1. 分解：将原问题划分成若干个规模较小的子问题。
2. 解决：递归地解决每个子问题。
如果子问题足够小，则直接求解。
3. 合并：将所有子问题的解合并成原问题的解。
分治算法的主要优点在于它可以有效地缩小问题规模，从而缩短整个算法的执行时间。
另外，该算法天然适用于并行计算，因为每个子问题都是独立求解的。
二、分治算法的应用分治算法在各种领域都有广泛应用，包括数学、自然科学、计算机科学等。
以计算机科学领域为例，分治算法常常用于解决以下类型的问题：1. 排序问题2. 查找问题3. 字符串匹配问题4. 最大子序列和问题5. 矩阵乘法问题6. 图形问题下面我们将一一讲解这些问题的分治算法实现。
1. 排序问题排序问题是在一组数据中将其按指定规律进行排列的问题。
在计算机科学中，排序算法是十分重要的一类算法。
其中，分治算法由于其高效性和可并行性被广泛应用。
常用的分治排序算法包括归并排序和快速排序。
归并排序的基本思想是将待排序元素以中心点为界分成两个序列，对每个序列进行排序，然后将两个序列合并成一个有序序列；而快速排序则利用了分割的思想，通过每次选取一个元素作为“轴点”，将数组分成小于轴点和大于轴点的两部分，对这两部分分别进行快速排序。
2. 查找问题查找问题是在一组数据中寻找某个元素的问题。
分治算法在查找问题中的应用主要体现在二分查找中。
在二分查找中，我们首先将已排序的数组分成两半，在其中一半中查找目标值。
分治算法
问题S1 问题
问题S 问题 2
……
问题S 问题 i 子问题求 解
……
问题Sn 问题
Sபைடு நூலகம்的解
S2的解
……
Si的解
……
Sn的解
子集解的合并
问题S S的解 的解 问题
分治思想
由分治法所得到的子问题与原问题具有相同的类型。 由分治法所得到的子问题与原问题具有相同的类型。如 果得到的子问题相对来说还太大， 果得到的子问题相对来说还太大，则可反复使用分治策 略将这些子问题分成更小的同类型子问题， 略将这些子问题分成更小的同类型子问题，直至产生出 不用进一步细分就可求解的子问题。 不用进一步细分就可求解的子问题。 分治求解可用一个递归过程来表示。 分治求解可用一个递归过程来表示。 要使分治算法效率高，关键在于如何分割？一般地， 要使分治算法效率高，关键在于如何分割？一般地，出 于一种平衡原则，总是把大问题分成K个规模尽可能相 于一种平衡原则，总是把大问题分成 个规模尽可能相 等的子问题，但也有例外， 等的子问题，但也有例外，如求表的最大最小元问题的 算法， 的子表L1和 算法，当n＝6时，等分定量成两个规模为 的子表 和 ＝ 时 等分定量成两个规模为3的子表 L2不是最佳分割。 不是最佳分割。 不是最佳分割
分治过程
比较过程
分析
从图例可以看出，当有 个金块的时候 方法1需 个金块的时候， 从图例可以看出，当有8个金块的时候，方法 需 要比较15~16次，方法 只需要比较 次,那么形成 只需要比较10次 那么形成 要比较 次 方法2只需要比较 比较次数差异的根本原因在哪里? 比较次数差异的根本原因在哪里 其原因在于方法2对金块实行了分组比较 对金块实行了分组比较。 其原因在于方法 对金块实行了分组比较。 对于N枚金块 我们可以推出比较次数的公式： 枚金块， 对于 枚金块，我们可以推出比较次数的公式： 假设n是 的次幂 的次幂， 为所需要的比较次数。 假设 是2的次幂，c(n)为所需要的比较次数。 为所需要的比较次数 方法1： 方法 ： c(n)=2n-1 方法2： 方法 ：c(n) = 2c(n/2 ) + 2。 。 使用迭代方法可知c(n) = 3n/2 - 2。在本 由c(2)=1, 使用迭代方法可知 。 例中，使用方法2比方法 少用了2 ％的比较次数。 比方法1少用了 例中，使用方法 比方法 少用了 5％的比较次数。
分治算法及其应用
分治算法及其应用分治算法是一种常见的算法思想，它主要的思想是将一个问题分解为多个子问题，分别求解后再将其合并为原问题的解。
分治算法在计算机科学中有着广泛的应用，例如排序、搜索、图像处理等领域。
1.基本思想分治算法的基本思想是将一个大问题分解为若干个相似的子问题，并递归地求解这些子问题，最后将结果合并成原问题的解。
例如，在求解一个大数组的排序问题时，可以先将数组分成两个子数组，再对每个子数组进行排序，最后将两个子数组合并成一个有序的数组。
2.实现分治算法的实现通常采用递归的方法。
在递归过程中，每次将大问题分解为若干个子问题，然后将子问题递归地求解，直到子问题无法再分解，然后进行合并。
以归并排序为例，该算法分为分解、解决和合并三个过程。
首先将一个大数组分解为两个相等的子数组，然后递归地对子数组进行排序，最后将两个有序的子数组合并成一个有序的数组。
3.算法复杂度分治算法的复杂度主要取决于子问题规模和分解子问题的方式。
通常情况下，分治算法的时间复杂度可以表示为：T(n) = aT(n/b) + f(n)其中，a是每个递归过程的次数，b是子问题规模，f(n)是除了递归外的其他操作的复杂度。
根据主定理，当a>b^d时，算法复杂度为O(n^logb a)，否则算法复杂度为O(n^d)。
4.应用分治算法在计算机科学中有广泛应用，例如排序、搜索、图像处理等领域。
归并排序、快速排序、堆排序等都是基于分治算法实现的排序算法。
在搜索领域，二分查找算法就是一种基于分治思想的搜索算法。
在图像处理领域，分治算法可以用来实现图像的分割、匹配等操作。
例如，可以将一幅图像分解成若干个子图像，然后对每个子图像进行处理，最后将处理结果合并成原图像的结果。
总之，分治算法是一种非常重要的算法思想，它能够解决很多复杂的问题，并且在实际应用中取得了很好的效果。
二分算法与分治的关系
二分算法与分治的关系
二分算法和分治算法都是一种解决问题的方法，它们之间有一定的关系，但又有着明显的区别。
首先，二分算法是一种在有序数组中查找特定元素的算法。
它通过将数组分成两半，然后确定目标值可能在哪一半，不断缩小搜索范围直到找到目标值或者确定目标值不存在。
二分算法的关键在于每次都将搜索范围缩小一半，因此时间复杂度为O(log n)。
这种算法通常用于快速查找有序数组中的元素，比如二分查找。
而分治算法则是一种解决问题的思想，它将一个大问题分解成多个相似的小问题，然后分别解决这些小问题，最后将它们的解合并起来得到大问题的解。
分治算法通常包括三个步骤，分解（Divide）、解决（Conquer）、合并（Combine）。
经典的分治算法有归并排序和快速排序等。
二分算法可以被看作是分治算法的一种特殊情况，因为它也是将问题分解成两个子问题，然后递归地解决这些子问题。
但与一般的分治算法不同的是，二分算法并不需要将子问题的解进行合并，而是通过比较来确定最终的结果。
总的来说，二分算法是一种特殊的分治算法，它们都是解决问题的有效方法，但适用的场景和具体实现方式有所不同。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题特点来选择合适的算法。
分治算法
65 97
13 76
38 49 65 97
13 27 76
13 27 38 49 65 76 97
黑盒划分典型问题—合并排序
合并排序算法改进
从分治过程入手，容易消除mergeSort算法中的递归 调用
49 38 65 97 76 13 27
38 49
65 97
13 76
27
38 49 65 97
题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
T(n)
=
n
递归的概念
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这 就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复 应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其 规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求 出其解。这自然导致递归过程的产生。
直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数 自身给出定义的函数称为递归函数。
黑盒划分典型问题—合并排序
【例5】合并排序
任务描述：任意给定一包含n个整数的集合，把n个整数按升序排列。 输入：每测试用例包括两行，第一行输入整数个数，第二行输入n个整 数，数与数之间用空格隔开。最后一行包含-1，表示输入结束。 输出：每组测试数据的结果输出占一行，输出按升序排列的n个整数。 样例输入：
13 27 76
13 27 38 49 65 76 97
黑盒划分典型问题—合并排序
黑盒划分典型问题—合并排序
合并排序算法改进
从分治过程入手，容易消除mergeSort算法中的递归调用 自然合并排序
49 38 65 97 76 13 27
49
38 65 97
76
13 27
38 49 65 97
黑盒划分典型问题—逆序对问题
分治思想——精选推荐
分治思想
分治
基本思想及策略
分治法的思想是：将⼀个难以直接解决的⼤问题，分割成⼀些规模较⼩的相同问题，以便逐个解决，分⽽治之。
分治策略是：对于⼀个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（⽐如说规模n较⼩）则直接解决，否则将其分解为k个规模较⼩的⼦问题，这些⼦问题互相独⽴且与原问题形式相同，递归地解这些⼦问题，然后将各⼦问题的解合并得到原问题的解。
这种算法设计策略叫做分治法。
使⽤场景
分治法所能解决的问题⼀般具有以下⼏个特征：
（1）该问题的规模缩⼩到⼀定的程度就可以容易解决。
（2）该问题可以分解为若⼲个规模较⼩的相同问题，该问题有最优⼦结构的性质。
（3）利⽤该问题分解出的⼦问题可以合并成该问题的解。
（4）该问题所分解出的各个⼦问题是相互独⽴的，即⼦问题之间不包含公共⼦问题。
第⼀条特征是绝⼤多数问题都可以满⾜的，因为问题的计算复杂性⼀般随着问题规模的增加⽽增加。
第⼆条特征是应⽤分治法的前提，此特征反映了递归思想的应⽤。
第三条是关键，能否利⽤分治法完全取决于问题是否具有第三条特症，如果具备了第⼀条和第⼆条特征，⽽不具备第三条特征，可以考虑使⽤贪⼼法或者动态规划。
第四条特征涉及到分⽀法的效率。
(Day1)cdq分治相关
[WF2011] MACHINE WORKS
Fi = Max (F[i-1], F[j]-P[j]+R[j]+G[j]*(D[i]-D[j]-1))
F[j]>P[j]
令A[j]=F[j]-P[j]+R[j]-G[j]*D[j]-G[j] 那么F[i] = Max(F[i-1],A[j]+G[j]*D[i])
Solve(L,R)
Solve(l,mid) 处理[l,mid]中操作对[mid+1,r]中操作的影响 Solve(mid+1,r)
如何处理？
[BOI2007] MOKIA
前半部分的Add对后半部分的Query造成的影响 给定带权点集P=(Xi,Yi)，Q个询问(x0,y0,x1,y1)，对 于每个询率D[i]是不变的，因此可以对整个[F1,Fn] 进行分治。
复杂度O(nlogn)，和平衡树维护凸壳同阶
[WF2011] MACHINE WORKS
F[i] = Max(F[i-1],A[j]+G[j]*D[i])
在平面上有若干直线y=G[j]*x+A[j] 维护一个直线集，支持以下两类操作
线段树套平衡树/可持久化线段树 O(nlog^2n)
3D PARTIAL ORDER
没有操作1的情况
[VIOLET 3]天使玩偶
定义操作Solve(l,r)，处理[l,r]之间的询问 Solve(l,r)
Solve(l,mid) 考虑[l,mid]中的点对[mid+1,r]中询问的影响 Solve(mid+1,r)
sql cash 用法
sqlcash用法一、简介SQLCash是一款专门为数据库管理员和开发人员设计的SQL查询优化工具。
它提供了一系列实用的功能，可以帮助用户更有效地执行和管理SQL查询。
二、主要功能1.查询分析：SQLCash提供了强大的查询分析功能，可以帮助用户了解查询的性能和效率。
它能够生成详细的报告，包括查询执行时间、资源使用情况等。
2.查询优化：通过分析查询语句，SQLCash可以提供优化建议，帮助用户编写更高效、更优化的SQL语句。
3.数据统计：SQLCash提供了丰富的数据统计功能，可以帮助用户了解数据库中表的结构、数据量、关联关系等信息。
4.动态性能调整：用户可以根据自己的需要，实时调整数据库的性能参数，以提高查询效率。
三、使用方法1.打开SQLCash软件，连接到相应的数据库。
2.在软件界面中输入要执行的SQL查询语句。
3.选择要执行的分析类型（如查询分析、优化等），然后点击执行按钮。
4.软件将生成相应的报告，显示查询的性能和优化建议。
5.根据软件建议，对SQL查询进行相应的调整和优化。
四、注意事项1.SQLCash只能提供查询优化的建议，不能保证一定能够提高查询效率。
用户需要根据实际情况进行调整和优化。
2.在使用SQLCash的过程中，要注意保护个人隐私和数据安全。
不要随意泄露敏感信息，如用户名、密码等。
3.在使用过程中遇到问题，可以参考SQLCash的官方文档或联系其客服支持。
总的来说，SQLCash是一款非常实用的SQL查询优化工具，可以帮助用户更有效地管理和优化SQL查询。
通过使用SQLCash，可以大大提高数据库的性能和效率，提高用户体验和系统稳定性。
【洛谷日报#115】CDQ分治和整体二分
【洛谷日报#115】CDQ分治和整体二分序言CDQ 分治和整体二分都是基于分治的思想，把复杂的问题拆分成许多可以简单求的解子问题。
但是这两种算法必须离线处理，不能解决一些强制在线的题目。
不过如果题目允许离线的话，这两种算法能把在线解法吊起来打（如树套树）。
前置知识：分治个人觉得分治的经典例子便是归并排序。
大家都知道，归并排序就是每次将区间[l,r] 拆分成[l,mid] 和[mid+1,r]，然后再 O(n) 合并两个有序数组，再将 [l,r] 的答案传到上一层去。
那么我们可以得到因为这样递归层数不会超过 logn 层，所以时间复杂度为 O(nlogn) void mergesort(int l,int r){if(l == r) return ;int mid=(l+r)>>1;mergesort(l,mid);mergesort(mid+1,r);int p=l,q=mid+1,cnt=l;while(p<=mid&&q<=r){if(a[p]<a[q]) t[cnt++]=a[p++];else t[cnt++]=a[q++];}while(p<=mid) t[cnt++]=a[p++];while(q<=r) t[cnt++]=a[q++];for(int i=l;i<=r;i++) a[i]=t[i];}归并排序的另一个用途：求一个序列的逆序对。
我们发现在合并两个有序数组的时候，若 a[p]>a[q] 的时候，那么 a[p] ∼ a[mid] 的数一定比 a[q] 大，所以我们在归并排序的过程中加入一句 if(a[p]>a[q]) ans+=mid-l+1这种思想在分治中非常有用。
CDQ 分治讲 CDQ 分治的时候就少不了经典的多维偏序问题了。
二维偏序问题给定 n 个元素，第 i 个元素有 a_i、b_i 两个属性，设 f(i) 表示满足a_j≤a_i 且b_j≤b_i 的 j 的数量。
分治算法(金块问题)
问题描述：有一个老板有一袋金块。
每个月将有两名雇员会因其优异的表现分别被奖励一个金块。
按规矩，排名第一的雇员将得到袋中最重的金块，排名第二的雇员将得到袋中最轻的金块。
根据这种方式，除非有新的金块加入袋中，否则第一名雇员所得到的金块总是比第二名雇员所得到的金块重。
如果有新的金块周期性的加入袋中，则每个月都必须找出最轻和最重的金块。
假设有一台比较重量的仪器，我们希望用最少的比较次数找出最轻和最重的金块算法思想：分而治之方法与软件设计的模块化方法非常相似。
为了解决一个大的问题，可以：1) 把它分成两个或多个更小的问题； 2) 分别解决每个小问题； 3) 把各小问题的解答组合起来，即可得到原问题的解答。
小问题通常与原问题相似，可以递归地使用分而治之策略来解决。
问题分析:一般思路：假设袋中有n 个金块。
可以用函数M a x（程序1 - 3 1）通过n-1次比较找到最重的金块。
找到最重的金块后，可以从余下的n-1个金块中用类似的方法通过n-2次比较找出最轻的金块。
这样，比较的总次数为2n-3。
分治法：当n很小时，比如说，n≤2，识别出最重和最轻的金块，一次比较就足够了。
当n 较大时（n＞2），第一步，把这袋金块平分成两个小袋A和B。
第二步，分别找出在A和B中最重和最轻的金块。
设A中最重和最轻的金块分别为HA 与LA，以此类推，B中最重和最轻的金块分别为HB 和LB。
第三步，通过比较HA 和HB，可以找到所有金块中最重的；通过比较LA 和LB，可以找到所有金块中最轻的。
在第二步中，若n＞2，则递归地应用分而治之方法程序设计据上述步骤，可以得出程序1 4 - 1的非递归代码。
该程序用于寻找到数组w [ 0 : n - 1 ]中的最小数和最大数，若n < 1，则程序返回f a l s e，否则返回t r u e。
当n≥1时，程序1 4 - 1给M i n和M a x置初值以使w [ M i n ]是最小的重量，w [ M a x ]为最大的重量。
算法论文_分治法和分支限界
成绩评定表课程设计任务书计算效率是一个古老的研究课题。
科学技术的发展使得计算日趋复杂，计算量越来越大，许多理论上可计算的问题，常常由于其计算量巨大布变成了现实不可计算的问题，这就产生了理论可计算而现实不可计算的矛盾，而算法设计与分析的任务就是对各类具体的问题设计高质量的算法，以及研究设计算法的一般规律和方法。
常用的算法设计方法主要有分治法、动态规划、贪婪法和回溯法等。
问题一：运用分治法对多点最近距离问题进行算法设计，把问题分解为不是相互独立的子问题，计算保存子问题的答案，从而再求重复子问题时可以直接找到答案。
通过反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
问题二：运用分支限界对旅行商售货员问题进行算法设计，求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。
）分支限界法首先确定一个合理的限界函数，并根据限界函数确定目标函数的界；然后按照广度优先策略遍历问题的解空间树，在某一分支上，依次搜索该结点的所有孩子结点，分别估算这些孩子结点的目标函数的可能取值（对最小化问题，估算结点的下界，对最大化问题，估算结点的上界）。
如果某孩子结点的目标函数值超出目标函数的界，则将其丢弃（从此结点生成的解不会比目前已得的更好），否则入待处理。
关键词：算法设计与分析；分支限界法；分治法1分治法解决最近距离问题 (1)1.1 问题描述 (1)1.2 算法设计 (2)1.3 算法实现 (3)1.4 运行结果与分析 (6)2分支限界解决旅行商售货员问题 (7)2.1 问题描述 (7)2.2 算法设计 (8)2.3 算法实现 (9)2.4 运行结果与分析 (14)总结 (15)参考文献 (16)1分治法解决最近距离问题1.1 问题描述已知集合S中有n个点，分治法的思想就是将S进行拆分，分为2部分求最近点对。
算法每次选择一条垂线L，将S拆分左右两部分为SL和SR，L一般取点集S 中所有点的中间点的x坐标来划分，这样可以保证SL和SR中的点数目各为n/2，（否则以其他方式划分S，有可能导致SL和SR中点数目一个为1，一个为n-1，不利于算法效率，要尽量保持树的平衡性）依次找出这两部分中的最小点对距离：δL和δR，记SL和SR中最小点对距离δ = min（δL，δR），如图1.1：图1.1以L为中心，δ为半径划分一个长带，最小点对还有可能存在于SL和SR 的交界处，如图1.1中的虚线带，p点和q点分别位于SL和SR的虚线范围内，在这个范围内，p点和q点之间的距离才会小于δ，最小点对计算才有意义。
CDQ分治——精选推荐
CDQ分治引⾔:什么是CDQ分治？其实这是⼀种思想⽽不是具体算法，因此CDQ分治覆盖的范围相当⼴泛，在 OI 界初见于陈丹琦 2008 年的集训队作业中，故被称为CDQ分治。
⼤致分为三类：cdq分治解决与点对有关的问题cdq分治优化1D/1D 动态规划的转移通过 cdq 分治，将⼀些动态问题转化为静态问题先总体说⼀下CDQ分治：通常⽤来解决⼀类“修改独⽴，允许离线”的数据结构题。
实际上它的本质是按时间分治，即若要处理时间[l,r]上的修改与询问操作，就先处理[l,mid]上的修改对[mid+1,r]上的询问的影响，之后再递归处理[l,mid]与[mid+1,r]，根据问题的不同，这⼏个步骤的顺序有时也会不⼀样。
CDQ 分治会使得我们考虑的问题的思维难度与代码难度⼤⼤减⼩，通常利⽤ CDQ 分治能使得⼀个树套树实现的题⽬，能够去掉外层的树，改为⽤分治来进⾏求解。
算法描述CDQ分治适⽤于满⾜⼀下两个条件的数据结构题：修改操作对询问的贡献独⽴，修改操作之间互不影响效果题⽬允许使⽤离线算法我们不妨假设我们需要（按顺序）完成的操作序列称为S，考虑将整个操作序列等分为前后两个部分，那么我们可以发下以下两个性质：显然，后⼀半操作序列中的修改操作对前⼀半操作序列中的询问结果不会产⽣任何影响。
后⼀半操作序列中的询问操作只受两⽅⾯影响：⼀是前⼀半操作序列中的所有修改操作；⼆是后⼀半操作序列中，在该询问操作之前的修改操作。
容易发现，因为后⼀半操作序列的修改操作完全不会影响前⼀半操作序列中的询问结果，因此前⼀半操作序列的查询实际是与后⼀半操作序列完全独⽴的，是与原问题完全相同的⼦问题，可以递归处理。
接下来我们来考虑后⼀半操作序列中的询问操作。
我们发现，影响后⼀半操作序列询问的答案的因素中，第⼆部分“后⼀半操作序列中，在该询问操作之前的修改操作”也是与前⼀半序列完全⽆关的（因为我们前⾯已经假定题⽬中的修改操作互相独⽴互不影响，⽽询问操作更不会影响修改操作了）因此，这部分因素也是与原问题完全相同的完全独⽴的⼦问题，可以递归处理。
cdq分治算法
CDQ分治算法引言CDQ分治算法是一种用于解决一类特殊问题的高效算法。
它在计算几何、离散数学和动态规划等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍CDQ分治算法的原理、应用场景以及实现方法。
原理CDQ分治算法是基于分治思想的一种优化方法。
它通过将问题拆分为多个子问题，并在子问题上进行递归求解，最后将子问题的解合并得到原问题的解。
与传统的分治算法不同的是，CDQ分治算法在合并子问题时引入了一种巧妙的处理方式，使得时间复杂度得到了显著降低。
具体来说，CDQ分治算法通过对原问题进行排序，将其划分为三个部分：左部、右部和中间部分。
左部和右部是两个独立的子问题，可以使用递归求解；而中间部分则需要借助左右两部分的信息来求解。
关键在于如何高效地处理中间部分。
CDQ分治算法采用了树状数组（Binary Indexed Tree）数据结构来处理中间部分。
树状数组可以高效地支持区间查询和单点更新操作，这正是CDQ分治算法所需要的。
通过巧妙地设计树状数组的更新方式，CDQ分治算法可以在O(nlogn)的时间复杂度内完成整个计算过程。
应用场景CDQ分治算法在很多领域都有着广泛的应用。
下面列举了几个常见的应用场景：1. 计算几何在计算几何领域，CDQ分治算法可以用来解决一些关于点集的查询问题，如最近点对、凸包问题等。
通过将点按照某种规则排序，并利用CDQ分治算法求解子问题，可以高效地求解这些问题。
2. 离散数学在离散数学中，CDQ分治算法可以应用于一些组合计数问题，如逆序对个数、排列计数等。
通过将序列按照某种规则排序，并利用CDQ分治算法求解子问题，可以快速地计算出结果。
3. 动态规划在动态规划中，CDQ分治算法可以优化一些具有特殊结构的动态规划问题。
通过将状态按照某种规则排序，并利用CDQ分治算法求解子问题，可以降低动态规划的时间复杂度。
实现方法下面介绍CDQ分治算法的具体实现方法。
步骤1：排序首先，对原问题进行排序。
排序的方式根据具体问题而定，可以是按照某个维度进行排序，也可以是按照某种规则进行排序。
论分治算法在信息学竞赛中的应用(论文)
论分治算法在信息学竞赛中的应用绍兴县鲁迅中学教技处夏红军一、问题的提出【例1】寻找假币（Noip2006初赛普及组问题求解第二题）【问题描述】现有80枚硬币，其中有一枚是假币，其重量稍轻，所有真币的重量都相同，如果使用不带砝码的天平称重，最少需要称几次，就可以找出假币？你还要指出第1次的称重方法。
二、问题的分析1、直接的想法是将这些硬币2枚一组分为40组，每次只称一组硬币，若发现轻的则为假币，最坏情况下称40次才可找出假币。
2、仔细思考上面的分法比较一次只能排除2枚硬币，利用只有一枚假币的性质，我们试着改变一下方法：将所有硬币平均分为两组，每次称两组硬币，这样比较一次可排除一半硬币，最坏情况下只需称7次。
3、显然每比较一次能排除的硬币越多越好，朝着这个目标对怎样分组进一步思考。
三、问题的解决把所有的硬币尽量平均地分成三组，至少有两组硬币数是相同的，每次称相同的两组，这样每比较一次可排除约2/3的硬币数，最坏情况下只需称4次。
四、算法的引入通常我们将这种以大化小的设计思想称之为分治算法，即“分而治之”的意思。
也就是说，当我们处理大规模问题时，可以将原问题分解成k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，而且在求出了这些子问题的解之后，还可找到适当的方法把它们合并成整个问题的解。
分治算法一般分为三个步骤：①分解(Divide)：将原问题分成一系列子问题。
②求解(Conquer)：若子问题足够小，则可直接求解。
③合并(combine)；将子问题的结果合并成原问题的解。
可以看出，为实现分治算法，一个方法是借助递归结构，另一个方法是从已知的小问题出发进行递推，小问题层层合并成大问题后解决。
递归大致过程如下：Divide-and-Conquer(P)1. if |P|≤n02. then return(ADHOC(P))3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk4. for i←1 to k5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △递归解决Pi6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △合并子问题7. return(T)其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。
Daycdq分治相关PPT课件
• 这一步的复杂度是O(nlogn)，这里n=r-l。
第9页/共74页
[NOI2007] Cash
• 时间复杂度？ • Solve(l,r)的复杂度是O(nlogn) • T(n)=2T(n/2)+O(nlogn) • T(n)=O(nlog^2n)
• 操作2最终用到的点都会在点集的上凸壳上 • 维护点集X的凸包，支持动态插入和斜率查询 • 平衡树结构 O(nlogn)
第6页/共74页
[NOI2007] Cash
• 算法存在的问题 • 边界情况众多 • 难写难调
• 观察 • 操作2中，提供的斜率值是-bi/ai，可以预处理得到而和F的取值无关 • 这意味着在插入节点Xi时，已经可以确认它对询问j( j>i)带来的影响
解决。
• Solve(l,r) • 递归调用Solve(l,mid) • 整体考虑[l,mid]间的点对[mid+1,r]间询问的影响。 • 递归调用Solve(mid+1,r)
第8页/共74页
[NOI2007] Cash
• 整体考虑[l,mid]对[mid+1,r]的影响
• 给定点集X和一系列询问 • 每个询问是一个负数斜率 • 回答所有斜率符合且通过点集X中任意点的直线中，Y轴的最大截距是多少
• 2) 二分答案 • 放弃二分，离线处理 • 把点集凸壳和所有询问排序，用两个指针扫描
• 2’) 对询问排序 • 提前对询问进行一次归并排序，存储所有中间结果 • 为什么不能在Solve()时进行归并？ • 预处理复杂度O(nlogn),主递归中单步O(n)
• T(n)=2T(n/2)+O(n),T(n)=O(nlogn)
cdq分治学习笔记
cdq分治学习笔记0xFF 学习CDQ分治的前置知识——分治&归并排序分治：分治，字⾯上的解释是“分⽽治之”，就是把⼀个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的⼦问题，再把⼦问题分成更⼩的⼦问题……直到最后⼦问题可以简单的直接求解，原问题的解即⼦问题的解的合并。
——度娘 归并排序：归并排序是普通分治的⼀种基本应⽤。
将排序序列分为2个⼦序列，再将2个⼦序列分别再分为4个⼦序列，这样⼀直分下去，直到⼦序列长度为1，这个长度为1的⼦序列即有序⼦序列。
此时可以通过回溯将每个序列的两个有序⼦序列通过不断选取两个⼦序列对头中，⼩的那⼀个⼊队的⽅法，达到排序的⽬的。
由于这样做相当于遍历了log(n)遍原序列，所以归并排序的时间复杂度为O(nlog(n)) .0x00 CDQ分治是什么？ cdq分治，是由⼀位国家队的神仙——陈丹琦在09年的集训队论⽂中提出的⼀种特殊的分治。
相对于普通分治⽽⾔，cdq分治解决的问题的前后两部分具有关联，这种关联可以影响到最终答案，所以不能像普通分治那样直接合并两部分的解。
具体看下图：0x10 CDQ分治怎么⽤&例题 cdq所能解决的问题中，偏序问题是⼀个⼤类。
偏序可简单地理解为有多个相同优先级的关键字的排序。
逆序对便是⼀个经典的⼆维偏序问题。
对于⼆维偏序问题，我们常常先⽤排序解决掉⼀维，在另⼀维中使⽤数据结构（树状数组，线段树等）来维护。
当然，归并排序也不失为⼀种好办法。
就以最简单的为例：因为给定序列的前后位置⾃然有序，所以并不需要⽤排序解决掉⼀维。
我们按照顺序遍历给定序列，将每⼀个数字加⼊树状数组中。
由于当前数字与它前⾯的数字若能组成逆序对，它前⾯的数字应⽐当前数字⼤，所以统计当前树状数组中权值⽐当前数字⼤的数字的个数，累加进最终答案即可。
Ps：由于此题的数字最⼤为1e9，所以需要离散化。
Code：#include <cstdio>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;int n,a[500001],rk[500001];struct number{int posi,val;}b[500001];int tot;long long ans;struct tree_array{int tree[500001];int lowbit(int sum){return sum&(-sum);}int query(int pos){int num=0;for(int i=pos;i;i-=lowbit(i))num+=tree[i];return num;}void add(int pos,int sum){for(int i=pos;i<=tot;i+=lowbit(i))tree[i]+=sum;}}t;bool cmp(number p1,number p2){return p1.val<p2.val;}int main(){scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);b[i].val=a[i];b[i].posi=i;}sort(b+1,b+n+1,cmp);for(int i=1;i<=n;i++){if(b[i].val>b[i-1].val)++tot;rk[b[i].posi]=tot;}for(int i=1;i<=n;i++){t.add(rk[i],1);ans+=t.query(tot)-t.query(rk[i]);}printf("%lld\n",ans);return 0;} 解决了⼆维偏序问题，那么问题要如何解决呢？ 当然是⽤cdq分治！对于第⼀维，依然⽤排序解决。
cdq分治算法
cdq分治算法（实用版）目录1.CDQ 分治算法概述2.CDQ 分治算法的基本思想3.CDQ 分治算法的实现过程4.CDQ 分治算法的优缺点5.CDQ 分治算法的应用案例正文CDQ 分治算法是一种基于分治思想的算法，主要用于解决大规模数据处理问题。
CDQ 分治算法的全称是“Chinese Dividing and Conquering, Quick”，即“中国分治，快速”的意思。
该算法起源于中国，后来被广泛应用于世界各地。
本文将从基本思想、实现过程、优缺点和应用案例四个方面对 CDQ 分治算法进行详细介绍。
一、CDQ 分治算法概述CDQ 分治算法是一种基于分治思想的算法，主要用于解决大规模数据处理问题。
该算法将原问题分解为多个子问题，然后逐个解决子问题，最后将子问题的解合并得到原问题的解。
这种算法具有较高的效率，可以大幅降低解决问题的时间复杂度。
二、CDQ 分治算法的基本思想CDQ 分治算法的基本思想是将原问题分为多个子问题，然后逐个解决子问题，最后将子问题的解合并得到原问题的解。
这种算法具有较高的效率，可以大幅降低解决问题的时间复杂度。
具体来说，CDQ 分治算法包含以下几个步骤：1.分区：将原问题分为多个子问题，每个子问题的规模相对较小，容易解决。
2.攻克：分别解决每个子问题，得到子问题的解。
3.合并：将子问题的解合并，得到原问题的解。
三、CDQ 分治算法的实现过程CDQ 分治算法的实现过程主要包括以下三个步骤：1.分区：根据问题的特点，将原问题分为多个子问题。
分区的方式有多种，例如按规模分区、按特征分区等。
2.攻克：针对每个子问题，采用相应的算法进行求解。
对于规模较小的子问题，可以直接求解；对于规模较大的子问题，可以采用递归的方式进行求解。
3.合并：将各个子问题的解合并，得到原问题的解。
合并的方法有多种，例如直接合并、排序合并等。
四、CDQ 分治算法的优缺点CDQ 分治算法具有以下优缺点：优点：1.时间效率高：CDQ 分治算法可以将原问题分解为多个子问题，逐个解决子问题，从而降低解决问题的时间复杂度。
cdq分治算法
cdq分治算法（原创版）目录1.CDQ 分治算法概述2.CDQ 分治算法的基本思想3.CDQ 分治算法的实现步骤4.CDQ 分治算法的应用示例5.CDQ 分治算法的优缺点正文【1.CDQ 分治算法概述】CDQ 分治算法是一种解决组合优化问题的算法，其全称为“Combinatorial Dividing and Quadratic”，即组合分割与二次型算法。
该算法通过将原问题分解为多个子问题，然后求解子问题，最后将子问题的解合并得到原问题的解。
CDQ 分治算法广泛应用于组合优化、运筹学等领域，具有较高的理论价值和实用价值。
【2.CDQ 分治算法的基本思想】CDQ 分治算法的基本思想是将原问题分解为多个子问题，然后通过求解子问题得到原问题的解。
在分解过程中，CDQ 分治算法采用了一种特殊的策略，即“分割 - 组合”策略。
该策略通过将原问题中的约束条件进行分割，使得子问题之间的约束条件相互独立，从而降低了问题的复杂度。
在求解子问题时，CDQ 分治算法采用了二次型算法，通过构造一个二次型目标函数，将子问题的解表示为该目标函数的最小值。
最后，将子问题的解合并得到原问题的解。
【3.CDQ 分治算法的实现步骤】CDQ 分治算法的实现步骤主要包括以下几个步骤：（1）问题分析：分析原问题，确定问题的目标函数和约束条件，明确问题的优化目标。
（2）问题分解：将原问题分解为多个子问题，使得子问题之间的约束条件相互独立。
（3）子问题求解：对每个子问题，构造一个二次型目标函数，求解该目标函数的最小值。
（4）解的合并：将子问题的解合并，得到原问题的解。
【4.CDQ 分治算法的应用示例】CDQ 分治算法广泛应用于组合优化、运筹学等领域。
例如，在旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）中，CDQ 分治算法可以有效地求解 TSP 问题的最短路径。
在生产调度问题中，CDQ 分治算法可以帮助企业优化生产计划，提高生产效率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例一．货币兑换(Cash)1 问题描述
小Y最近在一家金券交易所工作．该金券交易所只发行交易两种金券：A 纪念券（以下简称 A 券）和 B 纪念券（以下简称 B 券） ．每个持有金券的顾 客都有 一个自己的帐户．金券的数目可以是一个实数． 每天随着市场的起伏波动，两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金 券 当天可以兑换的人民币数目．我们记录第 K 天中 A 券和 B 券的价值 分别为 AK 和 BK（元/单位金券） ． 为了方便顾客， 金券交易所提供了一种非常方便的交易方式： 比例交易法．比 例交易法分为两个方面： A) 卖出金券： 100]内的实数 OP 作为卖出比例， 顾客提供一个[0， 其意 义 为：将 OP%的 A 券和 OP%的 B 券以当时的价值兑换为人民币； B) 买入金券：顾客支付 IP 元人民币，交易所将会兑换给用户总价值为
2008 年信息学国家集训队作业
雅礼中学
陈丹琦
[l, r]这一段按 f[]值排序． End Procedure 至此，问题已经基本解决．时间复杂度为 T(n) = 2T(n/2) + O(n)，因此算法的 时间复杂度为 O(nlog2n)，NOI2007 的测试数据最慢的测试点 0.2s，是一个相当 优秀的算法． 我们比较一下分治算法和用平衡树维护决策的方法：时间复杂度均为 O(nlog2n) ，空间复杂度平衡树为 O(n) ，分治为 O(nlog2n) ( 预处理 -a[i]/b[i] 需要 O(nlog2n)的空间)．但是编程复杂度却差别非常大，分治算法实现起来相当简单， 对于考场来说无疑是一个非常好的方法． 在编程复杂度非常高的情况下， 动态规划维护决策与分治思想很好的结合起 来从而降低了编程复杂度，无疑是“柳暗花明又一村” ．这种分治思想主要体现 在将不断变化的决策转化成一个不变的决策集合， 将在线转化为离线． 下面我们
雅礼中学
陈丹琦
集(f [j], g[j])，f [j]是单调递增的，相邻两个点的斜率是单调递减的．每次在平衡 树中二分查找与-a[i] / b[i]最接近的两点之间的斜率． 这样动态规划的时间复杂度就降低为 O(nlog2n)，但是维护凸线的平衡树实 在不容易在考场中写对， 编程复杂度高， 不易调试(我的 Splay 代码有 6k 多)． 这 个问题看上去只能用高级数据结构来维护决策的单调性， 事实上我们可以利用分 治的思想来提出一个编程复杂度比较低的方法： 对于每一个 i，它的决策 j 的范围为 1~i-1．我们定义一个 Solve 过程： Solve(l, r)表示对于的 l ≤ i ≤ r， 用 l ≤ j ≤ i-1 的决策 j 来更新 f [i]的值． 这样我们的 目标就是 Solve(1, n)：可以先 Solve(1, n/2)后计算出 f [1] .. f[n/2]，那么 1~n/2 的每 一个数一定是 n/2+1~n 的每个 i 的决策，用 1~n/2 的决策来更新 n/2+1~n 的 f[i] 值后 Solve(n/2+1, n)．这恰好体现的是一种分治的思想： 用 1~n/2 的决策来更新 n/2+1~n 的 f[i]值：类似用平衡树的方法，我们可以 对 1~n/2 的所有决策建立一个凸线，对 n/2+1~n 的所有 i 按照-a[i] / b[i]从大到小 排序，凸线的斜率是单调的，-a[i]/b[i]也是单调的，这样我们就可以通过一遍扫 描来计算出对于每一个 i 在 1~n/2 里面最优的决策 j． 现在面临的问题是如何对于一段区间[l, r]维护出它的凸线：由于 f []值是临 时计算出来的，我们只需要递归的时候利用归并排序将每一段按照 f []值从小到 12121212122111 大排序，凸线可以临时用一个栈 O(n)计算得出．下面给一个分 治算法的流程： 由于-a[i] / b[i]是已知的，不像 f [i]是临时计算得出的．因此可以利用归并排 序预处理，计算每一段[l, r]按照-a[i] / b[i]排序后的 i． Procedure Solve(l, r) If l = r Then 更新 ans，利用已经计算好的 l 的最优决策 k，计算 f [l]值，Exit Mid ← (l + r) / 2 Solve(l, mid -1) 对[l, mid-1]这一段扫描一遍计算出决策的凸线，由于[mid+1 .. r]这一段以 -a[i] / b[i]的排序在预处理已经完成，因此只需要扫描一遍更新[mid + 1 .. r] 的最优决策． Solve(mid+1, r) 利用[l, mid-1]已排好序的 f []值和[mid+1, r]已排好序的 f []值归并排序将
例二．Mokia2 问题描述
有一个 W * W 的棋盘，每个格子内有一个数，初始的时候全部为 0．现在要 求维护两种操作： 1) Add：将格子(x, y)内的数加上 A． 2) Query：询问矩阵(x0, y0, x1, y1)内所有格子的数的和． 数据规模：操作 1) ≤ 160000，操作 2) ≤ 10000， 1 W 2 000 000 ．
算法分析
这个问题是 IOI 2000 Mobile 的加强版： Mobile 中 W≤1000， 就可以利用二树 状数组在 O(log22n)的时间复杂度内维护出操作 1)和操作 2)． 这个问题中 W 很大， 开二维树状数组 O(W2)的空间显然吃不消，考虑使用动态空间的线段树，最多可 能达到操作次数 * (log2W)2 个节点， 也相当大了． 考虑使用分治思想来解决问题： 将 操作 1) 和操作 2) 按顺序看成是一个个事件，假设共有 Tot 个事件，
2
Balkan Olympiad in Informatics, 2007
2008 年信息学国家集训队作业
雅礼中学
陈丹琦
Tot≤170000．类似例题一，我们定义 Solve(l, r)表示对于每一个 Query 操作的事 件 i， 将 l ..i-1 的 Add 操作的所有属于 i 的矩形范围内的数值累加进来．目标是 Solve(1, n)． 假设计算 Solve(L, R)，递归 Solve(L, Mid) ， Solve(Mid + 1, r) 后，对 L .. Mid 的所有 Add 操作的数值累加到 Mid + 1 .. R 的所有匹配的 Query 操作的矩形中． 后面这个问题等价于：平面中有 p 个点，q 个矩形，每个点有一个权值，求 每个矩形内的点的权值之和． 这个问题只需要对所有的点以及矩形的左右边界进 行排序， 用一维树状数组或线段树在 O((p+q)log2W)的时间复杂度即可维护得出． 因此问题的总的时间复杂度为 O(Tot*log2Tot*log2W) ，不会高于二维线段树的 O(Tot*log2W*log2W)的时间复杂度． 上述这个算法无论是编程复杂度还是空间复杂度都比使用二维线段树优秀， 分治思想又一次得到了很好的应用．在这个问题中，利用分治思想我们将一个在 线维护的问题转化成一个离线问题， 将二维线段树解决的问题降维用一维线段树 来解决，使得问题变得更加简单．
总结
【例题一】是一个数据结构维护动态规划决策的问题， 【例题二】为一个数 据结构维护数据信息的问题． 我们巧妙地使用分治思想，将在线维护的问题转化 为离线问题，将变化的数据转化为不变的数据，使得问题解决更加的简单．
IP 的金券， 并且， 满足提供给顾客的 A 券和 B 券的比例在第 K 天恰好为 RateK；
例如，假定接下来 3 天内的 Ak、Bk、RateK 的变化分别为： 时间 Ak Bk RAtek 1 1 1 第一天 1 2 2 第二天 第三天 2 2 3 假定在第一天时，用户手中有 100 元人民币但是没有任何金 券． 用户可以执行以下的操作：
2008 年信息学国家集训队作业
雅礼中学
陈丹琦
从《Cash》谈一类分治算法的应用
分治算法的基本思想是将一个规模为 N 的问题分解为 K 个规模较小的子问 题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同．求出子问题的解，就可得到原问 题的解．分治算法非常基础，但是分治的思想却非常重要，本文将从今年 NOI 的一道动态规划问题 Cash 开始谈如何利用分治思想来解决一类与维护决策有关 的问题：
注意到，同一天内可以进行多次操作． 小 Y 是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算， 他已经 知道了未来 N 天内的 A 券和 B 券的价值以及 Rate．他还希望 能够计算出来，如 果开始时拥有 S 元钱，那么 N 天后最多能够获得多少元 钱．
算法分析
不难确立动态规划的方程： 设 f [i]表示第 i 天将所有的钱全部兑换成 A, B 券， 最多可以得到多少 A 券． 很 容易可以得到一个 O(n2)的算法： f [1]←S * Rate[1] / (A[1] * Rate[1] + B[1]) Ans←S For i ← 2 to n For j ← 1 to i-1 x ← f [j] * A[i] + f [j] / Rate[j] * B[i] If x > Ans Then Ans ← x End For f [i] ← Ans * Rate[i] / (A[i] * Rate[i] + B[i]) End For Print(Ans) O(n2)的算法显然无法胜任题目的数据规模．我们来分析对于 i 的两个决策 j 和 k，决策 j 比决策 k 优当且仅当： (f [j] – f [k]) * A[i] + (f [j] / Rate[j] – f [k] / Rate[k]) * B[i] > 0． 不妨设 f [j] < f [k]，g[j] = f [j] / Rate[j]，那么 (g[j] – g[k]) / (f[j] – f[k]) < -a[i] / b[i]． 这样我们就可以用平衡树以 f [j]为关键字来维护一个凸线， 平衡树维护一个点