拉格朗日方程

势能
分析力学基础 3 动能和势能
在线性系统中，势能是广义坐标的二次函数。可用矩阵形式表示成：
U ＝ 1 {q} T [ K ]{q} 2
其中，[ K ]为刚度矩阵。一般地，刚度矩阵是对称、半正定矩阵。
例 4 右图表示由刚性杆l 1和质量m 1及刚性杆l 2和质量m 2组
成的两个单摆在O’ 处用铰链连接成双摆，并通过铰链O
作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。
分析力学基础 2 虚位移原理 虚位移原理
受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是：
作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。
p
其数学表达式为: d W F d r 0
i
i
i 1
其中，Fi为作用于质点系的主动力， dri为虚位移。上式也称为虚功方程。
虚位移原理的另一种表述
若系统有n个自由度，任意一点的坐标矢量可以用n个广义坐标和时间t
来表示，即： r ＝r ( q ，q ， ，q ，t )
i
i
1
2
n
由于虚位移与时间无关，则有：
n
d r＝
r i
d
q
i
q k 1
k
k
代入虚功方程，得：
p
d W＝ F
n
r i
dq
q i
i 1
k 1
k
k
分析力学基础 2 虚位移原理
微振动时，系统的势能在平衡位置附近展开并保留广义坐标的二次项：
U
＝1 2
(
m1
m2
)
g
l
1
q
2 1
1 2
m2
g
l2
q
2 2
]
分析力学基础 3 动能和势能
系统的动能为
V
1 2 m1
l
2 1
q
2 1
1 2m2
[
l
2 1
q12
l
2 2
q22
2 l1
l 2 q1 q2
cos ( q 2
q1
)]
1 2
(m1
时的位置，即广义坐标数为2，自由度为2。
分析力学基础 1 自由度和广义坐标
例 2 右图表示由刚性杆l 1和质量m 1及刚性杆l 2和
质量m 2组成的两个单摆在O’ 处用铰链连接成
双摆，并通过铰链O与固定点连接，使双摆只能 在平面内摆动，分析系统的自由度，并建立系统 的广义坐标。 解 由于双摆只能在平面内摆动，因此， z 1 = 0，z 2 = 0， 而双摆的长度l 1和l 2不变，即
Q ＝0 k
(k 1, 2, , n)
虚位移原理可表述为：在理想约束情况下，n 个自由度的系统达到平衡的 充要条件是n 个广义力都等于零。
动能
分析力学基础 3 动能和势能
设质量为m i的质点在某位置时的速度是
r，则质点在此位置的动能为 i
V ＝ 1 m r r
2 ii i
其中,
ri ＝
n
k 1
解 由于双摆只能在平面内摆动，可取q 1和q 2为广义坐标。 并以平衡位置 q 1＝q 2＝ 0 作为势能零点。
m2)
l
2 1
q12
m2
l1
l
2
q1 q2
cos(q
2
q
1
)
1 2
m2
l
2 2
q22
通常，系数 m i j 一般不是常数，这里m 1 2和m 21是广义坐标的函数
1 m12 m 21 2
m 2 l 1 l 2 cos ( q 2 q 1 )
当系统在平衡位置附近作小运动时，系数 m i j 取其在平衡位置附近台劳级 数的第一项：
V ＝ 1 n n 2 k 1 l 1
p i 1
m i
r i
q k
r i
q l
q k
q l
分析力学基础 3 动能和势能
或： V ＝ 1 n n m q q
2 k 1 l 1
kl k l
p
其中，qk
和
q l
为广义速度，
m k
l为广义质量系数，mk
l
＝
m i
i 1
r i
q k
r i
q l
。
DOF = 3 n + 6 m -（约束方程数）
分析力学基础 2.1 自由度和广义坐标
例 1 图 (a)中，质量用一根
弹簧悬挂。图（b）中质量
用一根长度为l，变形可忽略
的悬丝悬挂。分析系统的自
由度，并建立系统的广义坐
(a)
标。
（b）
解 对图（a）所示的系统，尽管质量用弹簧悬挂，但弹簧能自由地伸长， 因此它的约束方程为零，自由度为3。
对换求和的次序，得：
d
n
W＝
k 1
p i 1
F i
r i
q k
d
q k
p
其中， Q ＝
F
r i
k
q i
i 1
k
(k为与1,广2义, 坐标, qn)k 对应的广义力。
这样，虚功方程可以写成：
n
d W ＝ Q d q ＝0
k
k
k 1
由于虚位移是约束所允许的任意可能位移，因此可任意选择，当上式成立 时，有：
与固定点连接，使双摆只能在平面内摆动。求系统作微振 动时的质量矩阵和刚度矩阵。
解 由于双摆只能在平面内摆动，可取q 1和q 2为广义坐标。 并以平衡位置 q 1＝q 2＝ 0 作为势能零点。
则系统的势能为
U ＝ m1 g l 1 ( 1 cos q 1 ) m 2 g [ l 1 ( 1 cos q 1 ) l 2 ( 1 cos q 2 ) ]
显然 有m k l = m l k。当质点在平衡位置附近作小振动时可近似地取其在
平衡位置附近台劳级数展开的第一项，即将m k l取为与广义坐标无关的常数。
引入广义质量矩阵[ M ]，并引入广义速度列阵{ q}，则动能可表示为
V ＝ 1 {q} T [ M ]{q} 2
显然，动能是正定的，广义质量矩阵也是正定的。
间t 的变化无关。
虚位移用d 表示，真实微小位移用d表示。
虚功
力在虚位移上的元功称为虚功。
力的分类
作用于系统的力可分为两类：约束反力和主动力。
理想约束约束作用于系统的力。
在系统运动或平衡中处于主导地位。
在虚位移上不做功的约束称为理想约束。
虚位移原理
受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是：
j 1
是耗散函数，其中c i j为系统在广义坐标q j方向有单位广义速度时，在广义
坐标q i方向产生的阻尼力； Q i 是在广义坐标方向q i的广义力，Q i W qi ，
其中W是除阻尼力外的其他非保守力所作的功。 qi 和 qi 分别是对广义
坐标和对广义速度求偏导数，d d t 是对时间求一次导数。
m2
l
2 2
q22
将动能和势能写成矩阵形式可以得到刚度矩阵和质量矩阵：
[K]
(
m1
m 0
2
)
g
l1
0
m2
g
l
2
[
M
]
(mm1 2
m l1
1
l
)
2
l
2 1
m2 m
l
2
1
l
l
2 2
2
分析力学基础 4 D’Alembert原理 质系D’Alembert原理
作用在质系上的外力（主动力和约束反力）和惯性力构成平衡力系。
d dt
L qi
L qi
D Q
qi
i
( i 1, 2, ..., n )
式中：L 为Lagrange 函数，它是系统动能V和势能U之差， L = V - U 。 而
qi 和
qi ( i = 1, 2, …, n) 是系统的广义坐标和广义速度；D 1 n 2 i1
n
c i j qi qj
势力场和势力
质点从力场中某一位置运动到另一位置时，作用力的功与质点经历的路径
无关，而只与其起点及终点位置有关，这就是所谓的势力场。重力场、万有
引力场和弹性力场都是势力场。在势力场中质点所受的力称为势力。
势能
所谓势能是把质点从当前位置移至势能零点的过程中势力所作的功。根据势 能的定义，特别需要强调的是：势能大小与规定的势能零点位置有关。
解 由于刚体A在xoy平面中移动，因此需要三个广义坐标(x, y和q)描述其
在任意时刻的位置。
而刚体A只能沿刀片方向移动，因
此有约束方程：
y tanq
x
自由度数为2，小于广义坐标数。
虚位移
分析力学基础 2 虚位移原理
所谓非自由质点系的虚位移是指在某一固定时刻，约束所允许发生的
坐标微小改变量。
虚位移只是约束允许的可能位移 ，并不一定是系统的真实位移。它与时
分析力学基础
1 自由度和广义坐标 2 虚位移原理 3 动能和势能 4 D’Alembert原理 5 Lagrange方程 6 哈密尔顿原理
分析力学基础 1 自由度和广义坐标
分析力学
分析力学是利用分析方法研究质点系平衡和运动问题的工具。 它从能量的观点，统一建立起系统动能、势能和功之间的标量关 系，是研究静、动力学问题的一个普遍、简单又统一的方法。
质点的自由度
质点在空间需要3个独立坐标才能确定它在任何瞬时的位置，因此， 它的自由度为3。n个毫不相干、无任何约束的质点组成的质系自由度为 3n。
刚体的自由度
一个刚体在空间需要6个独立坐标才能确定其在任何瞬时的位置，因 此它的自由度为6。m个无约束刚体组成的系统自由度为6m。
振动系统的自由度
振动系统力学模型中若有n个质点和m个刚体，那么它的自由度DOF 必定满足下列方程：
1 自由度和广义坐标
自由度
完全确定系统在任何瞬时位置所需的独立坐标数称为自由度。
广义坐标
用某一组独立坐标（参数）就能完全确定系统在任何瞬时的 位置，则这组坐标称为广义坐标。
一般地，建立振动系统数学模型时广义坐标的数目 与自由度相等。
约束
对质点在空间的运动所加的限制称为约束。
分析力学基础 1 自由度和广义坐标
分析力学基础 1 自由度和广义坐标
不完整约束
当约束方程含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。具 有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数，自由度数小于广 义坐标数。
例 3 刚体A通过三个点放置在 xoy 平面上，其中的两个接触 点可在平面上作无摩擦自由滑 动，而P点有一个刀片，使其 只能沿刀片方向移动，分析冰 刀系统的广义坐标和自由度。
Lagrange方程为非自由质点系的动力学问题提供了一个普遍、简单又 统一的方法。
分析力学基础 5 Lagrange方程
例 5 右图表示由刚性杆l 1和质量m 1及刚性杆l 2和质量m 2组
成的两个单摆在O’ 处用铰链连接成双摆，并通过铰链O
与固定点连接，使双摆只能在平面内摆动。求系统作微振 动时的振动微分方程。
分析力学基础 1 自由度和广义坐标
完整约束
当约束方程本身或约束方程通过积分后可以用下式所示的形式表示时， 称为完整约束。显然，例1和例2的约束都是完整约束。
f i ( x, y, z, t ) 0
定常约束
当约束方程与时间t 无关时，称为定常约束。例1和例2的约束都是定常约 束。
不完整约束
当约束方程含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。具 有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数，自由度数小于广 义坐标数。
在理想约束i下1，约束反力虚功之和为零，因此有
p
d W (Fi mi ri ) d ri 0 i 1
动力学普遍方程
作用在理想约束质系上所有的主动力和惯性力任意瞬时在虚位移上的虚功之 和等于零。
分析力学基础 5 Lagrange方程 Lagrange方程
拉格朗日方程利用广义坐标来描述非自由质点系的运动，这组方程以系统 的动能、势能、耗散函数和广义力的形式出现，具有以下形式：
对图（b）所示的系统，悬挂质量的悬丝不可伸长， 因此在空间的位置必 须满足质量离悬挂点的距离保持不变的条件，即满足下列方程约束方程：
x2 y2 z2 l2
这样，坐标 x 、 y 和 z 就再不独立。若用球面坐标r 、y 和j 来表示， 必须满足条件 r = l ，只要用y 和j 两个坐标就能完全确定质量在任何瞬
ri qk
qk
＋
ri t
若振动系统由p个质点组成，则系统的动能为
V＝1
p
m r r
2 i1
ii
i
当系统具有定常约束时，各质点的坐标只是广义坐标的函数，而不显
含时间 t 。系统的动能可写成：
V ＝ 1 2
p
n
m i
i 1
k 1
r i
q k
n
q k
l 1
r i
q l
q l
改变求和的次序，得：
1 m12 m 21 2 m 2 l1 l 2
则系统的动能可写成
V
1 2
(m1
m
2)
l
2 1
q12
m2
l1
l
2
q1 q2
1 2
m
2
l
2 2
q22
分析力学基础 3 动能和势能
U
＝1 2
(
m1
m2
)
g
l
1
q
2 1
Hale Waihona Puke Baidu
1 2
m2
g
l2
q
2 2
]
V
1 2
(m1
m
2)
l
2 1
q12
m2
l1
l
2
q1 q2
1 2
其数学表达式为:
Ri m iri 0 (i 1, 2, , p)
其中，R i 为主动力F i和约束反力f i的向量和。
应用D’Alembert原理可将虚位移原理推广到动力学问题。上式左边可看成质 点上的合力，计算整个质系的虚功，有
p
d W (Fi fi mi ri ) d ri 0
x12 y12 l12
x2 x1 2 y2 y1 2 l22
利用自由度DOF计算的公式，可得到双摆的自由度为
DOF ＝３×２－４＝２
设刚性杆l 1与x轴的夹角为q 1 ，刚性杆l 2与x轴的夹角为q 2 ，方向如 图所示，那么用和可以完全确定双摆在任何瞬时的位置， q 1和q 2可以作
为双摆的广义坐标。