王振发版-分析力学-课件-第2章-动力学普遍方程和拉格朗日方程

F
形式上的平衡方程
结论：在质点运动的任意瞬时，如果在其上假想地加上一惯性 力Fg，则此力与主动力、约束反力在形式上组成一平衡力系。 这就是质点的达朗伯原理。
二、质点系的达朗伯原理
设质点系由n个质点组成， 第i个质点质量为mi，受力有主动力 Fi ，约束反力FNi ，加速度为ai ，假想地加上其惯性力Fgi=－ miai ，则根据质点的达朗伯原理，Fi 、 FNi与Fgi应组成形式上的 平衡力系，即
*第一类拉格朗日方程用到的较少
拉格朗日
1736 — 1813,法籍 意大利人，数学家、 力学家、天文学家， 十九岁成为数学教 授，与欧拉共同创 立变分法，是十八 世纪继欧拉后伟大 的数学家。
设质点系由n个质点组成，具有s个完整理想约束，则有 N=3n-s个自由度（广义坐标）。 用q1，q2，…qN表示系统的广义坐标，第i个质点质量为mi， 矢径为ri。则 ri= ri(q1，q2，…qN，t)
例1. 两均质轮质量皆为m1，半径皆为r，对轮心的转动惯量为J； 中心用质量为m2的连杆连接，在倾角为α的斜面上纯滚动。求 连杆的加速度。
α
解：研究整个系统，进行受力分析； 设杆的加速度为a，则 Fg1= m1a， Fg2= m2a，
a M g J J , r
Mg a Fg1 Fg2 m2g m1g
T
l
φ
an
则 ma = R = P + T
摆锤M在受到P、T的同时，将给施力体 （地心和绳子）一对应的反作用力， 反作用力的合力为
M
P
v
R'=－R=－ ma
此力是摆锤被迫作非惯性运动时产生的“反作用力”， 称为惯性力。
结论：质点在作非惯性运动的任意瞬时，对于施力于它的物 体会作用一个惯性力，该力的大小等于其质量与加速度的乘 积，方向与其加速度方向相反。 若用Fg表示惯性力，则有 Fg =－ ma
k
fi m j y j Fy j i y j i 1
k
fi m j z j Fz j i z j i 1
k
n个质点的系统受到k 个如 下形式的完整约束fi ,又若系统中 质量为mj的第j个质点受主动力 Fj，则系统的运动满足3n个方程 如左，称为第一类拉格朗日方 程，λi称为拉各朗日未定乘子。
这就是第二类拉格朗日方程，是一个方程组，该方程组 的数目等于质点系的自由度数，各方程均为二阶常微分 方程，揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。
若作用于质点系的主动力均为有势力（保守力）
V 则广义力Qk可写成质点系势能表达的形式 Qk qk
于是，对保守系统，拉格朗日方程可写成
d T k dt q
位移原理，采用广义坐标，得到与自由度相同的一组独立平 衡方程。这种用分析方法建立的平衡条件，避开了未知的约 束反力，使非自由质点系的平衡问题的求解变得简单。
2.动力学：对受完整约束的多自由度的动力学问题，可以
根据能量原理，采用广义坐标，推导出与自由度相同的一组 独立的运动微分方程。这种用广义坐标表示的动力学普遍方 程，称为拉格朗日第二类方程，简称为拉格朗日方程。
n
得

i 1
n
ri n vi d mi ri mi vi k qk i 1 dt q
v d n mi vi i k dt i 1 q
qk
d k dt q
1 2 m v i i 2 qk i 1
i 1 i i k 1 k
n
N
k
n ri i r δqk 0 Fi δri mi ai δri Qk mi qk k 1 i 1 i 1 i 1
n n
N
因为系统为完整约束，广义坐标相互独立，所以广义坐标 的变分qk是任意的，为使上式恒成立，须有
n
1 2 m v i i 2 i 1
n
所以
ri d T i mi r k qk dt q i 1
n
T qk
得到
d T k dt q
T Qk , (k 1, 2,, N ) qk
i ri r k qk q
d ri dt qk r i qk
代入第一项中的括号内
代入第二项中的括号内
n vi mi vi q i 1 k
1 m v v i i i 2 i 1
n
n
N ri n r i miai δri miri δqk mi i r δqk qk i 1 i 1 k 1 qk k 1 i ，有
F δr Q δq

Mg
Fg1
给连杆以平行于斜面向下 则相应地两 的虚位移s， 轮有转角虚位移，且
s r
m1 g
s α N1
N2
根据动力学普 遍方程，得:
(2m1 m2 ) g sin s (2F g1 F g 2)s 2 M g 0
(2m1 m2 ) g sin s (2m1 m2 )as 2 J a s 0
于是 解得
r r
(2m1 m2 )r 2 sin a g 2 (2m1 m2 )r 2 J
(a) (b)
2. 拉格朗日方程
将动力学普遍方程用广义坐标表示，即可推导出第二类拉 格朗日方程。
fi m j x j Fx j i x j i 1
拉格朗日（1736-1813）应用达朗伯原理，把虚位移原理推广 到非自由质点系的动力学问题中，建立了动力学普遍方程， 进一步导出了拉格朗日方程。
图示圆锥摆摆长为l，摆锤M的质量m， 在水平面内作匀速圆周运动，速度为v， 锥摆的顶角为2φ，摆锤 M 受力如图。
其加速度为
令 R=P+T
2 v a an l sin
若
i i i j i k, x y z Fi X i i Yi j Zi k, ai
ri xi i yi j zik,
则动力学普遍方程的坐标分解式为
X
i 1
n
i
i xi Yi mi i yi Zi mi i zi 0 mi x y z
T V q q , (k 1,2,, N ) k k
用函数L表示系统的动能T与势能V之差，即 L = T－V
k , t L称为拉格朗日函数或动势。 L Lqk , q
则在保守系统中，用动势表示的拉格朗日方程的形式为
d L k dt q


i 1
n
ri d mi v i dt qk
n n ri d ri mi ri q mi v i dt q i 1 i 1 k k

将下列两个恒等式（有关证明请参阅教材P46） （ qk 广义速度）
ri d mi vi dt qk
dv i ri d ri mi dt q mi v i dt q k k
ri d ri i mi r mi v i qk dt qk
FNi
M ai
Fgi
Fi
若质点系受理想约束作用，应用虚位移原理，有
(F F
i 1 i
n
gi
) δri 0
或
(F m a ) δr 0
i 1 i i i i
n
动力学普遍方程
表明：在理想约束条件下，在任意瞬时，作用于质点系上 的主动力和惯性力在质点系的任意虚位移上所做虚功之和 等于零。
第二章 动力学普遍方程和拉各朗日 方程
1.动力学普遍方程
2.拉格朗日方程
3.动能的广义速度表达式
4.拉格朗日方程的初积分 5.碰撞问题的拉格朗日方程
6.拉格朗日方程的应用举例
引言1：非自由质点系的动力学问题
K
摆长不定，如何确定 其摆动规律？
φ1 φ2
多杆摆问题 混沌摆问题
引言2：惯性力的概念
达朗伯（1717-1785）通过引入惯性力的概念，建立了著名的 达朗伯原理（用静力学建立平衡方程的方法处理动力学问 题）； 约翰· 伯努利（1667-1748）于1717年精确表述了虚位移原理 （建立虚位移、虚功的概念，用动力学的方法研究静力学中 的平衡问题）；
Fi + FNi +Fgi=0 （i =1，2，…，n）
对整个质点系来说，在运动的任意瞬时，虚加于质点系的各质 点的惯性力与作用于该质点系的主动力、约束反力将组成形式 上的平衡力系。
即 ∑Fi + ∑ FNi +∑Fgi=0 或∑MO(Fi) + ∑ MO( FNi ) +∑ MO( Fgi ) =0
质点系的 达朗伯原理
1 .动力学普遍方程
动力学普遍方程是虚位移原理与达朗伯原理简单结合的产物。 设质点系由n个质点组成，第i个质点质量为mi， 受主动力Fi，约束反力FNi，加速度为ai，虚加上 其惯性力Fgi=－miai 则根据达朗伯原理， Fi 、FNi 与Fgi， 应组成形式上的平衡力系，即 Fi + FNi +Fgi= 0
用拉格朗日方程解题的步骤
1.确定系统的自由度数（广义坐标数）； 2.选广义坐标； 3.计算系统的动能T，且用广义速度来表示动能；
4.计算广义力（对保守系统可计算势能）；
5.代入拉格朗日方程即可得质点系运动微分方程。
例1 位于水平面内的行星轮机构中，质量为m1的均质细杆 OA，可绕O轴转动，另一端装有质量为m2、半径为r的均质 小齿轮，小齿轮沿半径为R的固定大齿轮纯滚动。当细杆 受力偶M的作用时，求细杆的角加速度 OA 。