e
y ex x 1
∴2
22
)(1
211
0e e e x e e
dx ex e dx e S x x x D
=-
=-=-+=∞
-∞
-?? ★★★11．求由曲线θcos 2a r =所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：作图可知该曲线是半径为a 、圆心（0 ,a ）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为2
a π，
也可选择极坐标求面积的方法做。
解：∵作图6-1-11
知所求图形区域D ：?????<<<<-θ
πθπcos 2022a r
∴222
222
2)2sin 21
21(2)cos 2(21a a d a S D
πθθθθπ
ππ
π
=+==--? ★★★12．求三叶玫瑰线θ3sin a r =的面积S
知识点：平面图形面积
思路： 三叶玫瑰由三瓣面积相等的叶片组成
图6-2-12中所画是三叶玫瑰中的一叶， 而一叶图形又关于6
πθ
=
对称，
因此选择其中一叶的一半区域1D 求其面积
解：∵1D ：?????
<<<
<θ
πθ3cos 06
0a r
∴260
26
241)6sin 6121(3)3cos (21661a a d a S S D D
πθθθθπ
π
=+===?
★★★13．求由曲线)cos 2(2θ+=a r 所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：作图可知该曲线围成的图形关于极轴对称，因此选择其中一半区域1D 求其面积
解：∵1D ：?
?
?
+<<<<)cos 2(200θπθa r
∴
12220
1411
22[2(2cos3)]4[4(sin 3sin 6)1823212D D S S a d a a π
π
θθπθθθπ==+=+++=?
★★★14．求对数螺线
θρae =)(πθπ≤≤-及射线πθ=所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：作图可知该曲线围成的图形是由θ
ρae =，θ从π-到π一段曲线及射线πθ=所围，由此可
确定θ、ρ的范围
解：∵所围区域D ：??
?<<<<-θ
ρπ
θπae
∴)(4
2
12)(21222222
ππ
π
π
θπ
π
θθ----=?==?
e e a e a d ae S D
★★★★15．求由曲线θcos 3=r 及θcos 1+=r 所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部分D ，而D 又关于极
轴对称，设θ在（0，
2
π
）内的曲线和极轴围成的半个D 为1D 区域
解：两条曲线θcos 3=r 、θcos 1+=r 交于3
π
θ±
=处，
因此分割区域b a D D D +=1，其中a D ：?????+<<<<θπθcos 1030r ，b D ：?????<<<
<θ
πθπcos 302
3r
12
232033
20
3
1122[(1cos )(3cos )]
2
2
3191152[(2sin sin 2)(sin 2)]23422644D D S S d d π
π
πππ
πθθθθππθθθπ
==++=?+++?+=??
★★★16．求由曲线θsin 2=r 及θ2cos 2=r 所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分
组成，其中一部分为两图形重叠部分D ，而D 又关于射线2
π
θ
=
对称，设两条曲线
在（0，2
π
）围成的半个D 为1D 区域
解：两条曲线θsin 2=r 、θ2cos 2=r 交于6
π
θ=
及6
5πθ=
因此分割区域b a D D D +=1，其中a D ：?????<<<<θπθsin 2060r ，b D ：???
??<<<<θ
πθπ
2cos 02
6r
2
36)2sin 412sin 4
1
621(2]2cos 21
)sin 2(21[2226
60
26
6
21-
=+-?=+==??πθθ
πθθθθπ
ππ
π
ππ
d d S S D D
（和书后答案不同）
★★★17．求由摆线
)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=)20(π≤≤t 及x 轴所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：在直角坐标系下作图可知所围图形的
x 、y 变化范围，先求出直角坐标系下积分表达式，再将积分变量代换成t
解：∵所围区域D ：?
??<<<<)(020x y y a
x π，
（
)(x y y =为摆线）
∴20
()a
D
S y x dx π=?
，
作代换)sin (t t a x -=，
则22202220322
3
)cos 1(])sin ([)cos 1(a a dt t a t t a d t a S D
ππππ=?=-=--=?? 习题6-3
1． 求下列平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转产生的立体体积：
★(1)．曲线
x y =与直线1=x 、4=x 、0=y 所围成的图形；
知识点：旋转体体积
思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x 、y 范围），
代入相应的公式。
解：平面图形D ：?
??≤≤≤≤x y x 04
1，见图6-3-1-1
绕x 轴旋转产生的立体体积： ππ2
15)(24
1=
=?dx x V ；
绕y 轴旋转产生的立体体积：ππ5
124
241
=
=?dx x x V
(和书上答案不同)
★★(2)．在区间2
,0[π
上，曲线x y sin =与直线2
π=
x 、
0=y 所围成的图形；
解：平面图形D ：?????≤≤≤
≤x
y x sin 020π，
见图6-3-1-2，
绕x 轴旋转产生的立体体积： 22204
1
)(sin πππ
==?dx x V
； 绕y 轴旋转产生的立体体积：
方法一：??
-==
2
20
cos )(2sin 2π
π
ππx d x dx x x V π
ππ
π2)sin cos (22020=+-=x x x
方法二：V 可看作由1D （矩形2
0π≤
≤x ，10≤≤y ）绕
y 轴旋转而成的体积1V ，减去由2
D （10≤≤
y ，y x arcsin 0≤≤）绕y 轴旋转而成的立体体积2V 所得
∴π
ππ
π2)(arcsin )2
(1
022
=-=?dy y V
★(3)．曲线
3x y =与直线2=x 、0=y 所围成的图形。
解：平面图形D ：?
??≤≤≤≤3020x y x ，绕x 轴旋转产生的立体体积： ππ7128)(202
3==?dx x V ；
绕y 轴旋转产生的立体体积：ππ5
64
22
3=
=?dx xx V
（绕y 轴旋转产生的立体体积如同（2）也有两种计算法）
★★2．求由曲线
2x y =、2y x =所围成的图形绕y 轴旋转一周所产生的旋转体体积。
知识点：旋转体体积
思路：该平面图形绕y 轴旋转而成体积V 可看作1D ：??
?≤≤≤≤y
x y 01
0绕y 轴旋转而成的体积1V ，减去
2D ：???≤≤≤≤2
010y
x y 绕y 轴旋转而成的立体体积2V 所得，见图6-3-2
解： πππ10
3
)()(1
2
2210
21=-=
-=?
?dy y dy y V V V
★★3．求由曲线
x y sin =（π
≤≤x 0）与x 轴围成的平面图形绕y 轴旋转一周所产生的旋转体体积。
知识点：旋转体体积
思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x 、y 范围），代入相应的公式 解：平面图形D ：??
?≤≤≤≤x
y x sin 00π，绕y 轴旋转产生的立体体积： 2
2sin 2πππ==?dx x x V
（绕y 轴旋转产生的立体体积如同1（2）也有两种计算法）
★★★4．求由曲线
a
x
ach
y =，0=x ，a x =，0=y （0>a ）所围成的图形绕x 轴旋转而成的立体体积。
知识点：旋转体体积
思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x 、y 范
围），代入相应的公式
解：平面图形D ：??
???≤≤≤≤a x
ach y a x 00，见图6-3-4，
绕x 轴旋转产生的立体体积：
)22(4
)224(21
2(3020220sh a a a x sh a a dx a x
ch a dx a
x
ch a V
a a
a
+=+=+==??ππππ
★★★5．求摆线
)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=的一拱与0=y 所围图形绕直线a y 2=轴旋转而
成的旋转体体积。
知识点：旋转体体积
思路：若设所围区域为D ，则该平面图形绕a y 2=旋转而成体积V 可看作矩形区域1D ：??
?≤≤≤≤a
y x 2020π
绕
a y 2=旋转而成的体积1V ，减去区域2D ：02()2x y x y a π
≤≤??
≤≤?
绕a y 2=旋转而成的立体体积2V 所得，（其中，()y x 表示摆线的函数式，见图6-3-5
解：?
--
?=-=a
dx y a a a V V V ππππ20
22
21)2(2)2(，作代换)sin (t t a x -=，则
2232222320
8(cos )(sin )8sin (1cos )V a a a t ad t t a a t t dt π
πππππ=-+-=--??
=222232230
01cos 28(sin sin )72
t
a a dt td t a π
ππππ---=?
?
★★★★6．求
222a y x ≤+绕b x -=（0>>a b ）旋转而成的旋转体体积。
知识点：旋转体体积
思路：由图形的对称性可知所求体积12V V =，其中1V 是由2
2
2
a y x ≤+（0≥y ）部分，绕b
x -=旋转而成的旋转体体积，又根据元素法，1V 是由图形中的线段y
（2
20x a y -≤≤）绕b x -=旋
转一周所得的圆柱面叠加而成，见图6-3-6
解：12V V =b a dx x a b dx x a b x a
a
a
a
22222224)(22
πππ=-=-+=?
?
--
★★★★7．由心形线
)cos 1(4θρ+=和射线0=θ及2
π
θ=
所围图形绕极轴旋转而成的旋转体体积。
知识点：旋转体体积
思路：极坐标中的此平面图形绕极轴旋转相当于直角坐标系下的该图形绕x 轴旋转 解：平面区域D ：04(1cos )
ρθ≤≤+（2
0πθ≤
≤），见图6-3-7
∵心形线)cos 1(4θρ
+=的直角坐标表示：
??
?+=+=θ
θθθsin )cos 1(4cos )cos 1(4y x （80≤≤x ），根据直角坐标下的体积计算及222
x y ρ+=，得： ???-=-==8
03
8
02
8
02
2
2
3
8)(π
πρρππdx dx x dx y V
3
4(1cos )cos 0
2
2816(1cos )[4(1cos )cos ]3x d θθ
ππθθθπ
=+=
++-?πθθθππ38)]cos 1()cos 1([)cos 1(643
2
2
2
-+-++=?d d
ππθθππ1603
8])cos 1(31)cos 1(21[6430
2
3
4=-+-+=
★★★8．计算底面是半径为
R 的圆，而垂直于底面上的一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体
积。
知识点：已知平行截面面积的立体体积
思路：首先以固定直径为x 轴确立圆方程：2
2
2
R y x =+，再求垂直于x 轴的截面面积，然后代入公
式。见图6-3-8
解：以固定直径为x 轴圆心为坐标原点，则圆方程为：2
22R y x =+，
在圆内，垂直于x 轴的截面面积
)(322
3221)(22x R y y x A -=??=
， ∴3223
34)(3R dx x R V
R
R
=
-=?
- ★★9．求曲线
a xy =)0(>a 与直线a x =，a x 2=及0=y 所围成的图形分别绕ox 轴、oy 轴旋转
一周所产生的旋转体体积。
知识点：旋转体体积
思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x 、y 范围），代入相应的公式
解：平面图形D ：??
???≤≤≤≤x a y a x a 02，绕x 轴旋转产生的立体体积： a dx x a V a a ππ21)(22==?；
绕y 轴旋转产生的立体体积： 2
222a dx x
a x V a a ππ==?
（绕y 轴旋转产生的立体体积如同1（2）也有两种计算法）
★★★★10．设直线
b ax y +=与直线0=x ，1=x ，及0=y 所围成的梯形面积等于A ，试求a 、b ，
使这个梯形绕x 轴旋转所得旋转体体积最小（0>a ，
0>b ）。
知识点：旋转体体积，以及最值问题
思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x 、y 范围），进而求出以b a ,为变量的旋转体体积，再求
最小值。
y ax b =+
解：梯形区域D ：10≤≤x ，b ax y +≤≤0，
0 1
∴)3
(
)(22
1
02
b ab a dx b ax V ++=+=?ππ ∵由条件
A b a b =++)(21，∴)313234()(22b Ab A b V +-=π 0)(3
2
)(=-='A b b V π，得A b =，0=a
习题6-4
★★1．用定积分表示双曲线
1=xy 上从点（1，1）到点（2，1/2）之间的一段弧长。
思路：曲线表达为x
y 1=
（或y
x 1=
）代入相应公式计算弧长
解：2
1y x '=-
，∴dx x
dx y s
b
a
?
?
+
='+=2
1
42111 ★★2．计算曲线
x y ln =上相应于83≤≤x 的一段弧的弧长。
思路：曲线表达为x y ln =（或y
e x =）代入相应公式计算弧长
解：1y x '=，∴dt t t dx x
x dx x dx y s t x b a ????+=+=+='+==8328322
8322
121)21(11112
23
ln 211)11ln 21(1
3
23
2
2
21+=+-+=-=
?
=+u u u du u u u
t
★★3．计算曲线
)3(3
1
x x y -=
上相应于31≤≤x 的一段弧的弧长。 解：122y '=
-
=， ∴3
4
3232
2(21)214)1(113
1
2
3313
1
22-
=+=+=-+='+=??
?
x x dx x
x dx x x dx y s
b
a
★★4．计算曲线
y y x ln 2
1
412-=
（e y ≤≤1）的弧长。 解：111()222y x y y y
'=
-=-，
∴41
)ln 2(2121)1(411121
212
1
22+=+=+=-+='+=??
?
e y y dy y y dy y y dy x s
e
e b
a
e
★★★5．计算抛物线
px y 22=（0>p ）从顶点到其上点),(y x M 的弧长。
思路
：抛物线表达为y =（或p
y x 22
=
），代入相应公式计算弧长
解：y x p
'=
， ∴???
????+=
<+≥+='+=?
???
y
y y b
a
dy
y p p
y dy y p p y dy y p p dx x s
220220222
10 ,10 ,1
1
p
y
p
y
t
p y t t t t p
tdt p arctan
arctan
3tan )tan sec ln tan (sec 2sec ++=
=
?
=
p
y p y p y
p y p 2
222
2ln
(2++++=
（或通过公式dx x
p
dx y s b
a
x
?
?
+
='+=0
2211计算） ★★★★6．证明曲线
x y sin =的一个周期（π20≤≤x ）的弧长等于椭圆2222
=+y x
的周长。
思路：分别求出x y sin =的弧长1s 及椭圆的周长2s ，求椭圆周长时采用参数式求解 解： x y sin =的弧长dx x dx x dx y s b
a
??
?
+=+='+=
20
220
2
2
1cos 14cos 11π
π
dx x ?+=20
2sin 14π
椭圆方程表达为：t x
cos 2=，t y sin =；代入公式得弧长
dt t dt t t dt y x s ???+=+='+'=20
220
2
2
20
2
2
2sin 14cos sin 244π
π
π
∴21s s =
★★★7．求对数螺线θa e r
=相应于自0=θ至?θ=的一段弧的弧长。
思路：曲线是极坐标的表达式θ
a e r =，因此代入公式θθθβ
α
d r r s
?
'+=)()(22
解： )1(1)()(20
2222
2-+=+='+=
?
??
?
θ
θ
β
α
θθθθa a a e a
a d e
a e
d r r s
★★★8．求曲线
1=θr 相应于自43=
θ至3
4
=θ的一段弧的弧长。 思路：曲线是极坐标的表达式1
r θ
=
，因此代入公式θθθβα
d r r s
?
'+=)()(22
解：
4
3
34
()
s β
α
θθθθ
=
==-+?
2
3ln 125+=
（其中
dt t
t t t dt t t tdt t t d t
????
+===+=cos sin cos sin cos sin 1sec tan sec 12
2222
2tan 2
2
θθθθ θθθθ22
211ln sin 1tan sec ln )sin cos (sec +-
++=+-+=+=?C t t t dt t
t t ）
★★★9求曲线
t x arctan =，)1ln(2
1
2t y +=
相应于自0=t 至1=t 的一段弧的弧长。 思路：曲线是参数表达式(),()x t y t ?ψ==，因此代入公式dt t t s ?'+'=β
α
ψ?)()(22
解：dt t
dt t t t dt t t s ??
?+=+++='+'=
1021
222222
211
)1()1(1)()(β
α
ψ?
)21ln(1ln 10
2+=++=t t
习题6-5
★1．设一质点距原点x 米时，受
x x x F 2)(2+=牛顿力的作用，问质点在F 作用下，从1=x 移动到
3=x ，力所做的功有多大？
知识点：微元法在物理上的应用
思路：当变力沿直线作功，质点从x 至dx x +段所作功的微元dx x F dW )(=。 解：∵2
()(2)dW F x dx x x dx ==+
∴350)3()2(3
1
233
1
2
=+=+=?
x x dx x x W
★★2．某物体作直线运动，速度为)/(1s m t v
+=，求该物体自运动开始到s 10末所经过的路程，并
求物体在前s 10内的平均速度。
知识点：微元法在物理上的应用
思路：变速直线运动物体在t 至dt t +时间段内所经过路程的微元dt t V dS )(=。 解
：∵()dS V t dt ==
∴)11111(3
2
)1(3
2
110
2
310
-=
+=+=?
t dt t S
（m ）； )11111(30
2
10-==
S V （s m /）
★★★3．直径为20cm ，高为80cm 的圆柱体内充满压强为2/10cm N
的蒸汽，设温度保持不变，要使
蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？
知识点：微元法在物理上的应用
思路：设P 为压强、体积为V ，根据物理学原理，当温度不变时压强和体积成反比，因此当圆柱体的高
为h 时，801010 ,102
2
??==
ππk h
k P
。 解：∵压力p =压强?面积，∴当圆柱体的高为h 时压力2800
10p h
π=
?， 功的微元dh h
dW
π
80000=
∴)( , 2ln 800800008040Nm dh h
W ππ
?==
★★★4．半径为R 的半球形水池充满了水，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？
知识点：微元法在物理上的应用
思路：设半球形水池的方程为2
2
2
2
R z y x =++（0≤z ），见图6-5-4，则将z 至dz z +薄片体
积的水吸出，克服重力所作的功为z g dz z R dW
??--=)(22ρπ，（ρ是水的比重，可取13
/m kg ）
微积分(经管类复习题)
微积分（经管类复习题）2011.5 一、选择题 1. 二元函数) 3ln(1),(2 2 y x y x f --= 的定义域为（ ） .A 222<+y x .B 222≤+y x .C 322<+y x .D 322≤+y x 2. 点),(00y x 使0),(='y x f x 且0),(=' y x f y 成立，则（ ） .A ),(00y x 是),(y x f 的极值点 .B ),(00y x 是),(y x f 的最小值点 .C ),(00y x 是),(y x f 的最大值点 .D ),(00y x 可能是),(y x f 的极值点 3. 级数 ∑∞ =1 n n aq 收敛的充分条件是（ ） .A 1>q .B 1=q .C 1第六章 定积分的应用
第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 教学目的:理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法 教学重点：元素法的思想 教学难点：元素法的正确运用 教学内容： 一、 再论曲边梯形面积计算 设 f x ()在区间],[b a 上连续,且0)(≥x f ，求以曲线y f x =()为曲边,底为] ,[b a 的曲边梯形的面积A 。 1.化整为零 用任意一组分点 b x x x x x a n i i =<<<<<<=- 110 将区间分成 n 个小区间[,]x x i i -1,其长度为 ),,2,1(1n i x x x i i i =-=?- 并记 },,,m ax {21n x x x ???= λ 相应地，曲边梯形被划分成 n 个窄曲边梯形,第 i 个窄曲边梯形的面积记为 n i A i ,,2,1, =?。 于是 ∑=?= n i i A A 1 2.以不变高代替变高,以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值
),,2,1(],[)(1n i x x x f A i i i i i i =∈??≈?-ξξ 3．积零为整，给出“整”的近似值 ∑=?≈ n i i i x f A 1 )(ξ 4．取极限，使近似值向精确值转化 ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f A )()(lim 1 ξλ 上述做法蕴含有如下两个实质性的问题: (１）若将],[b a 分成部分区间),,2,1(],[1n i x x i i =-，则 A 相应地分成部分量 ),,2,1(n i A i =?,而 ∑=?=n i i A A 1 这表明：所求量A 对于区间],[b a 具有可加性。 (2）用i i x f ?)(ξ近似i A ?，误差应是i x ?的高阶无穷小。 只有这样,和式 ∑=?n i i i x f 1 )(ξ的极限方才是精确值A 。故关键是确定 ))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A ?=?-??≈?ξξ 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。 二、元素法 1.能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件 (1) U 与变量x 的变化区间],[b a 有关； (２) U 对于区间],[b a 具有可加性; (3) U 部分量i U ?可近似地表示成i i x f ??)(ξ。 2．写出计算U 的定积分表达式步骤
微积分第六章-定积分的应用
第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求： 使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题； 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等） 二、本章教学内容的重点难点： 找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 §6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤： （1）画出图形； （2）将这个图形分割成n 个部分，这n 个部分的近似于矩形或者 扇形； （3）计算出面积元素； （4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一
个实际问题的步骤。 §6.2 定积分在几何中的应用 一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-，面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=，)(2x y ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ?)(2x ?=解出， b x a ≤≤，)()(21x y x ??≤≤，面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-，面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=，)(2y x ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ?) (2y ?=解出， d y c ≤≤，)()(21y x y ??≤≤，面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 22 2x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ，于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =，4+=y x 得，4,2=-=y y ，当42<<-y 时 )
高等数学经管类
一. 单项选择题(共45分,每题3分) 请务必将选择题答案填入下面的答题卡 1. 数列{}n x 有界就是数列{}n x 收敛的( ) A 、 充分条件 B 、 充要条件 C 、 必要条件 D 、 非充分又非必要 条件 2.设极限0(1)(12)(13)a lim 6x x x x x →++++=,则a =( ) A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 -1 3.当1x →时,函数 1 2111 x x e x ---的极限就是( ) A 、 2 B 、 不存在也不就是∞ C 、 ∞ D 、 0 4.如果函数()y f x =在点0x x =处取得极大值,则( ) A 、 0()0f x '= B 、 0()0f x ''< C 、 0()0f x '=且0()0f x ''< D 、 0()0f x '=或0()f x '不存在 5.若两曲线2 y x ax b =++与3 21y xy =-+在点(1,1)-处相切,则,a b 的值为( ) A 、 0,2a b ==- B 、 1,3a b ==- C 、 3,1a b =-= D 、 1,1a b =-=- 6.某商品的价格P 与需求量Q 的关系为100.01P Q =-,则4P =时的边际收益为( ) A 、 300 B 、 200 C 、 100 D 、 0 7.设函数()f x 可导,且0 lim ()1x f x →'=,则(0)f ( ) A 、 就是()f x 的极大值 B 、 就是()f x 的极小值 C 、 不就是()f x 的极值 D 、 不一定就是()f x 的极值 8.设()f x 就是连续函数,则下列计算正确的就是( ) A 、 11 221 ()2()f x dx f x dx -=? ? B 、 131 ()0f x dx -=?
定积分的应用教案
第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体 积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知 的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) (是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以 [a,b]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A) (. 一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U) (.用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).
§6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1]. (3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上. (4)计算积分 31]3132[)(10323102=-=-=?x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)确定左右曲线: 4)( ,2 1)(2+==y y y y 右左??. (4)计算积分 ?--+=422)2 14(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y . 例3 求椭圆12222=+b y a x 所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以 ?=a ydx S 04. 椭圆的参数方程为: x =a cos t , y =b sin t , 于是 ?=a ydx S 04?=0 )cos (sin 4πt a td b
高等数学第六章定积分的应用
第六章 定积分的应用 §6.1 定积分的元素法 §6.2 平面图形的面积 一、填空题 1．定积分 ? b a dx x f )(的几何意义是 。 2． )(x f 、g(x)在[a,b] 上连续，则由y=f(x),y=g(x)和x=a,x=b 所围成图形的 面积A= 。 3．计算y 2=2x 与y=x-4所围成图形的面积时，选用 作积分变量较为简捷。 二、选择题 1．曲线y=x ln 与直线0,,1 === y e x e x 及所围成的区域的面积S= 。 （A ）、2)11(e - （B ）、e e 1- （C ）、e e 1+ （D ）、e 1 1+ 2．曲线r=2acos θ所围图形的面积A= 。 （A ）、 θθπ d a 22 0)c o s 2(2 1 ? （B ）、θθππd a 2)c o s 2(21?- （C ）、 θθπ d a 2 20 )c o s 2(2 1? （D ）、2θθπd a 220)cos 2(21? 3．曲线?????==t a y t x 3 3sin cos 所围图形的面积A= 。 （A ）、 28a π （B ）、24a π （C ）、283a π （D ）、22 a π 三、求下列各曲线所围成的图形的面积。 1． 曲线y=x 3-6x 与y=x 2所围成图形的面积。 2． 曲线y=-x 2+-3及共在点（0，-3）和（3，0）处的切线所围成图形的面积。
3． 曲线y=sinx 与y=sin2x(0)π≤≤x 所围成图形的面积。 4． r =3cos θθcos 1+=r 及所围成图形的面积。 5． 摆线?? ?-=-=) cos 1() sin (t a y t t a x 的一拱（)20π≤≤t 与横轴所围成图形的面积。 四、在曲线族y=a(1-x 2)(a>0)中确定一条曲线，使该曲线和其在（-1，0）和（1，0）两点处 的切线所围图形的面积最小。
《高等数学》经管类期末考试
《高等数学》经管类期末考试
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一、 填空题（本大题共5题，每题2分，共10分。请直接将正确结果填 入各题的空格处） 1. 函数221y x z --=的定义域 ； 2. 由方程z e xz yz xy =+-所确定的隐函数),(y x z z =在点()1,1处的全微分11==y x dz = ； 3. 变换二重积分 ??==b a x a I dy y x f dx I 的积分次序后),( ； 4. 将函数()2cos x x f =展开成x 的幂级数为 ； 5. 微分方程0='-''y y 的通解是 。 二、 选择题（本大题共5题，每题2分，共10分。每小题有四个选项， 其中有且只有一个选项正确，请将正确选项的代号字母填入括号内） 6. 在空间解析几何中方程422=+y x 表示（ ）。 A ．圆 B ．平面 C ．圆柱面 D ．球 面 7. 设函数22y x z =，则=??22x z （ ）。 A. 22y B. xy 4 C. y 4 D. 0 8. 设(){}01,01,≤≤-≤≤-=y x y x D ，则??D dxdy 等于（ ） 。 A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2
9. 级数∑ ∞=121n n （ ）。 A. 发散 B.收敛，其和为2 C.收敛，其和为1 D.收敛，其和为3 10. 下列方程中，（ ）是二阶线性齐次微分方程。 A ．y y dx y d ='+22 B ．y x y '+=''2)( C ．y y x y '+=''2 D ． x y y y +'=''2)( 三、 计算题（本大题共9题，每题7分，共63分。解答须有主要解题步 骤，说明必要的理由） 11. 设),(v u f z =，y x u 2 =，y x v =，求y z x z ????,。 12. 求函数 122++=y x z 在条件03=-+y x 下的极值。 13. ??D xyd σ，其中D 是由抛物线 x y =2及直线2-=x y 所围成的 闭区域。 14. 计算??D dxdy y 2，其中D 为：4122≤+≤y x 。（要求画草图。提示：在极 坐标下计算） 15. 计算由y x z ++=1，1=+y x ，0=x ，0=y 及0=z 所围成 立体的体积（第一卦限）． 16. 判断级数∑∞ =1 2sin n n n α的敛散性； 17. 求幂级数n n x n ∑∞=11的收敛区间与和函数。
高等数学第五章定积分总结
第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积 (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. 第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b
抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量 注: (1) ∑ =?n i i i x f 1 )(ξ与区间的分割法x i 和取点法 i 有关; 而 ? b a dx x f )(与x i 和 i 无 关. (2) ? b a dx x f )(与a 、b 、f 有关，与x 无关，即： [][]???? ===b a b a b a b a d f du u f dt t f dx x f )()()()( 2．定积分存在定理 定理 若)(x f 在[a , b ]上有界且只有有限个间断点，则)(x f 在[a , b ]上可积. 推论 若)(x f 在[a , b ]上连续，则)(x f 在[a , b ]上可积. 例1. 求 ?1 xdx
高等数学经管类
高等数学经管类-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
一. 单项选择题（共45分，每题3分） 请务必将选择题答案填入下面的答题卡 1． 数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的（ ） A. 充分条件 B. 充要条件 C. 必要条件 D. 非充分 又非必要条件 2．设极限0(1)(12)(13)a lim 6x x x x x →++++=，则a =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. -1 3．当1x →时，函数 1 2111 x x e x ---的极限是（ ） A. 2 B. 不存在也不是∞ C. ∞ D. 0 4．如果函数()y f x =在点0x x =处取得极大值，则（ ） A. 0()0f x '= B. 0()0f x ''< C. 0()0f x '=且0()0f x ''< D. 0()0f x '=或0()f x '不存在 5．若两曲线2y x ax b =++与321y xy =-+在点(1,1)-处相切，则,a b 的值为（ ） A. 0,2a b ==- B. 1,3a b ==- C. 3,1a b =-= D. 1,1a b =-=- 6．某商品的价格P 和需求量Q 的关系为100.01P Q =-，则4P =时的边际收益为（ ） A. 300 B. 200 C. 100 D. 7．设函数()f x 可导，且0 lim ()1x f x →'=，则(0)f （ ） A. 是()f x 的极大值 B. 是()f x 的极小值
C. 不是()f x 的极值 D. 不一定是()f x 的极值 8．设()f x 是连续函数，则下列计算正确的是（ ） A. 1 1 221 ()2()f x dx f x dx -=?? B. 1 31 ()0f x dx -=? C. 0+∞-∞ =? D. 11 221 0()2()f x dx f x dx -=? ? 9．设2sin ()sin x t x F x e tdt π+=? ，则()F x （ ） A. 为正常数 B. 为负常数 C. 恒为零 D. 不为常数 10．设直线1158 :121x y z L --+== -，20:23 x y L y z -=??+=?，则12,L L 的夹角为（ ） A. 6 π B. 4π C. 3 π D. 2 π 11．设()f x,y 在点()a,b 处偏导数存在，则极限()() n f a x,b f a x,b lim x →+∞ +--= （ ） A. ()x f a,b B. ()2x f a,b C. ()2x f a,b D. ()1 2 x f a,b 12．设函数()f x 连续，则22 0()dt x d tf x t dx -=?（ ） A. ()2xf x B. ()2xf x - C. ()22xf x D. ()22xf x - 13．设二次积分2sin 0 d (cos ,sin )d I f r r r r π θθθθ=??，则I 可写成（ ） A. 2 2d (,)d x f x y y -? B. 2 20 d (,)d y f x y x -? C. 2 0d (,)d x f x y y ? D. 2 d (,)d y f x y x ? 14．点(0,0)是函数z xy =的（ ） A. 极大值点 B. 极小值点 C. 驻点 D. 非驻点
微积分经管类第四版习题17答案(供参考)
习题1-7 1(1)5)21413(lim )243(lim 2 1 2 1 =-+?=-+→→x x x x (2)93 252lim 35lim 2 222-=-+=-+→→x x x x (3)0 1 )3(3)3(lim 1 3lim 2 2 3 2 2 3 =+-=+-→→x x x x (4)01 11 1lim 11lim 1 12lim 112 2 1 =+-=+-=-+-→→→x x x x x x x x (5)2)002(lim )1 12(lim )112(lim 22=+-=∞ +∞-=+-∞→∞→∞→x x x x x (6)4 23 22 4 2 /1)3/(11/1/1lim 1 3lim x x x x x x x x x x +-+=+-+∞→∞ → 000100lim /1)3/(11/1/1lim 423 2 =+-+=∞ +∞-∞ +∞=∞→∞→x x (7)3 2 1424lim 12lim 4 586lim 442 2 4=--=--=+-+-→→→x x x x x x x x x (8)2 123124lim 2324lim 2 02 2 3 =++-=++-→→x x x x x x x x x x (9)x h x h x h x h h 2)2(lim )(lim 02 2 0=+=-+→→ (10)2)1 122(lim )12)(11(lim 322=--+=-+∞→∞→x x x x x x x
(11)x x x x e e e e x --+≤ +≤ 1cos 0 cos lim 1lim 0-=+=+∴∞++∞++∞→-+∞→-+∞→-x x x x x x x x x x e e x e e e e e e x 故趋向于故趋向于，趋向于时，当 (12) 5 2334sin 5 233402 2 +--≤ +--≤ x x x x x x x sin 5 233 4lim /5/23/3/4lim 5233 4lim 2 2 22 =+--=+--=+--+∞→+∞→+∞→x x x x x x x x x x x x x x 故 (13))448318(lim 231lim 323 838x x x x x x x x x +++÷+---=+---→-→ 23 )8(1) 8(824lim 3 144lim 32 38 32 3 8 -=+---+--- =+-++-=-→-→x x x x x (14)∞ ==-?+=-+→→→0 16 lim ) 22(222lim ) 2(2lim 22 2 32 2 2 3 2 x x x x x x (15)x x x x x x x x x x x x ++++-+=-++∞ →+∞ →2 2 2 2 1) 1)(1(lim )1(lim
微积分经管类考试大纲
《有机化学》考试大纲 （201409修改） 一、考试目的 有机化学是一门研究有机物的组成、结构、性质、合成以及与此相关的理论、规律的科学。通过考试，使同学们系统地掌握有机化学的基本概念、基本理论，熟练掌握有机化合物分子结构与性质之间的关系，有机化合物的合成及相互转化的方法和规律，具有基本科学的思维方法和理论联系实际独立分析问题解决问题的能力。 二、考试内容 第一章绪论 1．1有机化合物和有机化学 有机化合物的定义 1.2 有机化合物的特征 1.3 分子结构和结构式 短线式、缩简式、键线式 1.4 共价键 1.4.1 共价键的形成 Lewis 结构式、价键理论、轨道杂化（sp、sp2、sp3 杂化） 1.4.2 共价键的属性 键长、键能、键角、键的极性、诱导效应 1.4.3 共价键的断裂和有机反应的类型 均裂（产生自由基）、异裂（形成正、负离子）、自由基反应、离子型反应 1.5 分子间的相互作用力 偶极-偶极相互作用、范德华力、氢键 1.6 酸碱的概念 1.6.1 Br? nsted 酸碱理论 Br? nsted 酸、Br? nsted 碱、共轭酸碱 1.6.2 Lewis 酸碱理论 Lewis 酸、Lewis 碱 1.7 有机化合物的分类
1.7.1 按碳架分类 脂肪族化合物、脂环族化合物、杂环化合物 1.7.2 按官能团分类 官能团 第二章饱和烃：烷烃和环烷烃 烃、脂肪烃、脂环烃、饱和烃 2.1烷烃和环烷烃的通式和构造异构 烷烃：CnH2n+2 环烷烃：CnH2n 构造异构体 2.2 烷烃和环烷烃的命名 伯、仲、叔、季碳原子；伯、仲、叔氢原子；烷基、环烷基烷烃的命名、单环环烃的命名 2.3烷烃和环烷烃的结构 2.3.1 σ键的形成及其特征 2.3.2 环烷烃的结构与环的稳定性 角张力 2.5 烷烃和环烷烃的物理性质 2.6 烷烃和环烷烃的化学性质 2.6.1 自由基取代反应 卤化反应、自由基的稳定性次序、卤素的活性次序 2.6.2 氧化反应 2.6.5 小环环烷烃的加成反应 加氢、加溴、加溴化氢 第三章不饱和烃: 烯烃和炔烃 3.1烯烃和炔烃的结构 碳碳双键的组成、碳碳叁键的组成、π键的特性 3.2烯烃和炔烃的同分异构
高等数学定积分应用习题答案
第六章 定积分的应用 习题 6-2 (A) 1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积： ] 3,0[,86)1(2+-=x x y ] 3,0[, 2)2(2x x y -= 2． 求下列各图中阴影部分的面积： 图 6-1 3．求由下列各曲线围成的图形的面积： ; 1,)1(===-x e y e y x x 与 ; )0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与 ;0,2)3(2==-=y x y x x y 与 ; )1(,2)4(22--==x y x y ;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与 ; 2,)6(2x y x y x y ===与 ; )0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y ; 8,2 )8(222 （两部分都要计算）=+=y x x y 4．的图形的面积。 所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 1 5．的面积。处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y 6．的面积。处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2 (22p p px y = 7．形的面积。与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+ 8．所围图形的面积。求椭圆 12 2 22 =+b y a x 9．。与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 10．轴之间的图形的面积。的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x = 11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ ; )0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ; 2cos 2)3(2（双纽线）θρ= 抛物体的体积。 轴旋转，计算所得旋转 所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>==
经管类微积分(上)参考答案
经管类《微积分》（上）习题参考答案 第一章 函数、极限与连续 习题一 一、1．否； 2．是； 3．是； 4.否. 二、1．)[()5,33,2?； 2．()πππ+k k 2,2；3． 2,24>-<<-x x 或； 4．[]a a -1,；。5.[]2,0； 6.222+-x x . 三、1．奇函数；2．奇函数． 3.（略） 四、1(略)；2．2 12+x ； 3．11 -+x x ． 五、1．x v v u u y sin ,,ln 2===；2．x x u e y u ln ,==；3．1525++?x x ． 六、50 500,,)50(8.050)(>≤=<-=x x x x x f 为()x f 的跳跃间断点。
高等数学经管类(下)复习重点
物流班高数复习重点 题型：选择题3'X 5=15 填空3'X 5=15 解答题 ? X8 =60 应用10'X1=10 #1、P15判断二元函数在某点处的极限例5 例6 2、P20偏导数的计算例5 P27 1（1）(5) 3、P29 7.4.2可微于连续、偏导数存在之间的关系两个定理 P51 5 ，6 # 4、P35 多元复合求偏导例4 P31 全微分计算例3 例4 #5 P44 求二元函数的极值例4 #6 P49 拉格朗日乘数发求各种极值问题例9 P50 6 , 7 7、P60交换积分次序例2 例3 #8、P61 直角坐标下的二重积分例4 Y型积分区域 #9、P65求坐标系下二重积分计算例1 10、P73常见的级数敛散性1）等比级数2）调和收敛3）P级数 11、P73常数项级数性质1——3 P75级数收敛必要条件 12、P82比值判断法1、（5） 13、任意项级数、绝对收敛、条件收敛、例3 P86 1、（1） 14、P90求幂级数的收敛性例2 #15、P92求幂级数的和函数例4 P92 2、（1） =1+x+x2+……+x n(|x|<1) 16、P98 将f(x) 展开成幂级数4个e x sin x1 1?x ln(1+x) 17、P111可分变量的微分方程例1----例4 18、P115齐次方程求解例7 19、P120 一阶线性方程例1 例2 #20、P125可降阶的高阶微分方程类型II（不含y）例3 例4 #21、P132 表10—1 例7、例8、例9 P134 2、指数函数情形f(x)=A e ax 这时二阶常系数线性非齐次方程为y′′+p y′+qy=A e ax
微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第六章习题详解
第六章 习题6-1 1. 利用定积分定义计算由直线y =x +1,直线x =a ，x =b （a??. (2)令()1,()1e e x x f x x f x '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>, 从而()(0)0f x f ≥=,说明1e x x ≥+,又e x 1+x .所以 1 1 (1)e d d x x x x >+??. 4. 估计下列各积分值的范围：
微积分(经管类)第五章答案
微积分（经管类）第五章答案 5.1 定积分的概念与性质 一、1、∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ； 2、被积函数,积分区间,积分变量； 3、介于曲线)(x f y =,x 轴,直线b x a x ==,之间各部分面积的代数和； 4、? b a dx ； 5、 ?? +b c c a dx x f dx x f )()(； 6、b a a b M dx x f a b m b a <-≤≤-? ,)()()(； 7、 ? b a dx x f )( ?-=a b dx x f )(； 8、)(ξf 与a b -为邻边的矩形面积；二、略. 三、 ? -231 cos xdx . 四、略。 五、(1)+； (2)-； (3)+. 六、(1)<; (2)<. 七、略。 5.2. 微积分基本定理 一、1、0； 2、)()(a f x f -； 3、 )1ln(23 +x x ； 4、 6 5 ； 5、(1)ππ,； (2)0,0； 6、(1)0； (2)0。 7、;6 1 45 8、 6 π ； 9、1. 二、1、 1 sin cos -x x ；2、)sin cos()cos (sin 2 x x x π?-； 3、2-.
三、 1、852； 2、3 π； 3、14+π ； 4、4. 四、1、0； 2、10 1 . 五、略。 六、 3 35π , 0. 七、???? ???>≤≤-<=π πφx x x x x ,10,)cos 1(210,0)(. 5.3. 定积分的换元积分法与分部积分法 一、1、0； 2、34-π； 3、2π； 4、32 3 π； 5、0. 6、e 21- ； 7、)1(412+e ； 8、2 3 ln 21)9341(+-π. 二、1、 41； 2、3 322-； 3、1-2ln 2； 4、34； 5、22； 6、 8 π；7、417；8、2ln 21 ； 9、1-e . 10、211cos 1sin +-e e ； 11、)11(2e -； 12、21 2ln -； 13、 2ln 3 3 -π； 14、22+π；15、3ln 24-；16、2+)2ln 3(ln 21-。 三、 )1ln(1 -+e . 六、2. 八、8. 5.5 反常积分 一、1、1,1≤>p p ；2、1,1≥k k ； 4、发散， 1； 5、过点x 平行于y 轴的直 线左边,曲线)(x f y =和x 轴所围图形的面积 . 二、1、 1 2 -p p ； 2、π； 3、!n ； 4、发散；
微积分 经管类 第四版 吴赣昌 习题全解 第六章定积分的应用
第六章定积分的应用
课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：???<<<∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<<微积分经管类整理(期中考试前)
微积分讲义（期中考试之前） 1、求极限 （1）有界量与无穷小的乘积是无穷小； 求极 ??? ??--+→211cos 4 lim x x x x （2）变换根号，利用()()22-的形式（很是常见） ； 求极限( ) 11lim 2 2 +-- +++∞ →x x x x x 求极限x x x 11lim -+→ （3）利用书本第32页的公式； 求极限() () () 5 4112lim 2 4 3 -++--+∞ →x x x x x x 求极限x x x x x sin 53cos 7lim +++∞ → 求极限1 3 1 1lim 3 1 -- -→x x x 求极限() () 2 100 100 2 3 22 3lim ++∞ →x x x （4）两个重要极限1* sin*lim *=→、e =??? ? ? +∞→* **11lim 或()e =+→*1 0**1lim （*可以是一个变量或 表达式！自己灵活应用） 求极限2 2cos 1lim x x x -→ 求极限x x x 2sin lim ∞ → 求极限()x x x sin 2 31lim +→ （5）等价无穷小，书本P43的公式必须记住。另外还有三个比较重要的等价无穷小： 21 sin tan lim 3 = -→x x x x 、6 1sin lim 3 = -→x x x x 、3 1tan lim 3 = -→x x x x ；（老老实实记公式） 求极限() x x x x x x 3 sin sin tan tan lim -→ 求极限()()x x x e x x 2 2 2 tan cos 11 lim --→ （6）利用洛必达法则！（最最基本的）
