高中数学极坐标课件 PPT
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湘教版高中数学选修4-4课件 1.4极坐标与平面直角坐标的互化(共17张PPT)
AB
1
1 2
2
0
3 2 2
3
小结： 1、极坐标化为平面直角坐标； 2、平面直角坐标化为极坐标.
谢谢！
任何朋友都是暂时的，只有利益是永恒的。敌人变成朋友多半是为了金钱，朋友变成敌人多半还是为了金钱。 有志者自有千方百计，无志者只感千难万难。 最孤独的时光，会塑造最坚强的自己。 如果要飞得高，就该把地平线忘掉。 如果要给美好人生一个定义，那就是惬意。如果要给惬意一个定义，那就是三五知己、谈笑风生。 一份耕耘，份收获，努力越大，收获越多。 蝴蝶如要在百花园里得到飞舞的欢乐，那首先得忍受与蛹决裂的痛苦。 如果你很聪明，为什么不富有呢？ 千万人的失败，都有是失败在做事不彻底，往往做到离成功只差一步就终止不做了。 对于攀登者来说，失掉往昔的足迹并不可惜，迷失了继续前时的方向却很危险。 只要更好，不求最好！奋斗是成功之父。 成功永远属于一直在跑的人。 日出时，努力使每一天都开心而有意义，不为别人，为自己。 勤学和知识是一对最美的情人。 如果知识不是每天在增加，就会不断地减少。 能克服困难的人，可使困难化为良机。 你要结交敢于指责你缺点，当面批评你的人，远离恭维你缺点，一直对你嘻嘻哈哈的人！ 松软的沙滩上最容易留下脚樱钽也最容易被潮水抹去。 为中华之崛起而读书。 没有人能替你承受痛苦，也没有人能抢走你的坚强。 谁不向前看，谁就会面临许多困难。
极坐标与平面直角坐标的互化
教学目标：
能进行极坐标和直角坐标的互化.
复习
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向. [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？ 无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有.(ρ，2kπ+θ)
极坐标 课件
失分警示：若不说明点的象限扣1分.
故点(2，2)的极坐标为2
2，π4.
(4 分)
③ρ＝ （－1）2＋（ 3）2＝2，tan θ＝－31＝－ 3， 因为点(－1， 3)在第二象限，所以 θ＝23π， 故点(－1， 3)的极坐标为2，23π.(6 分) (2)①x＝2cos π4＝ 2，y＝2sin π4＝ 2，故点2，π4的 直角坐标是( 2， 2)．(8 分) ② x ＝ 4cos－π3＝ 2 ， y ＝ 4sin－π3＝ － 2 3 ， 故 点 4，－π3的直角坐标是(2，－2 3)．(10 分)
为终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．
所以 A(5，0)，B2，π6 ，C4，π2 ，D5，3π 4 .
(2) 与 极 坐 标 2，π6 相 同 的 点 可 以 表 示 为
2，π6 ＋2kπ(k∈Z)，只有2，161π不合适． 答案：(1)(5，0) 2，π6 4，π2 5，3π 4
(2)极坐标与直角坐标的区别与联系．
比较项 直角坐标
极坐标
区别
点与直角坐标 由于终边相同的角有无数个，
是“一对一” 即点的极角不唯一．因此点与
的关系
极坐标是“一对多”的关系
直角坐标与极坐标都是用来刻画平面内任意 联系
一点的位置的，它们都是一对有序的实数
3.直角坐标和极坐标的互化 互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标 系中的原点重合；②极轴与 x 轴的正半轴重合；③两种坐 标系取相同的长度单位． 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正 半轴作为极轴，且两种坐标系中的长度单位相同，设平 面内任意一点 M 的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ， θ)．
类型 2 极坐标系中的对称问题和距离问题(互动探 究)
人教A版高中数学选修4-4课件：1.2.2极坐标与直角坐标的互化 (共17张PPT)
(2) 将点M的直角坐标( 3， 1)化成极坐标.
练习：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 ( 2 3 ,2) 极坐标
(4, ) 6
(0,1)
(3,0)
( 3, )
(1, ) 2
直角坐标 (3, 3 )
极坐标
5 (2 3 , ) 6
( 3 ,1) ( 5,0)
7 ( 2, ) 6
y x y , tan ( x 0) O x
x
M y N x
三、极坐标与直角坐标的互化 公式
y 直化极： x y , tan ( x 0) x
2 2 2
极化直： x cos , y sin
2 例 (1) 将点M 的极坐标(5, )化成直角坐标. 3
P
O X
线上取一点M，使OM= ;
如图示：
M
新课讲解
2、负极径的实例 在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置 [1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一 点M，使OM= 3; 如图示： M（－3，/4）
●
P
= /4
O X
M
新课讲解
3、关于负极径的思考 “负极径”真是“负”的吗？
极坐标与直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴 的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中 取相同的长度单位. 设M是平面内任意一 点，它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,). 从下图可以得出它们之间的关系：
x cos , y sin .
2 2 2
①y 由①又可得到下面的关系式：
于极点对称的点 的一个坐标是 (A)
A.(8, ) 6
人教版高中数学课件-极坐标系
二 極坐標系 第1課時 極坐標系的概念
【自主預習】
1.極坐標系
(1)取極點:平面內取一個______. 定點O
(2)作極軸:自極點引一條射線Ox.
(3)定單位:選定一個長度單位,一個角度單位(通常取
弧度)及其正方向(通常取逆時針方向).
2.點的極座標
(1)定義:有序數對(ρ,θ)叫做點M的極座標,記為
2.如圖,在極坐標系中, (1)作出以下各點: A(5，0)，B(3，)，C(4，3)，D(2，－3). (2)求點E,F的6 極座標2(ρ,θ)(ρ2≥0,θ∈R).
【解析】(1)如圖,在極坐標系中,點A,B,C,D的位置是 確定的. (2)由於點E的極徑為4, 在θ∈[0,2π)內,極角 又因為點的極座標為(ρ,θ)(7ρ6≥，0,θ∈R),
【解析】因為 2 ，
3 62
故∠AOB=90°,故
AB 62 62 6 2.
【延伸探究】 1.本例已知條件不變,試求△AOB的面積.
【解析】因為 2 故 ∠，AOB=90°, 3 62
所以S△AOB=1 6 6 18. 2
2.本例已知條件不變,試求線段AB中點的極座標.
【解析】設線段AB中點M的極座標為(ρ,θ),
【變式訓練】1.在極坐標系中,極軸的反向延長線上一 點M與極點的距離為2,則點M的極座標的下列表示: ①(2,0);②(2,π);③(2,-π);④(2,2kπ)(k∈Z). 其中,正確表示的序號為____________.
【解析】由於極軸的反向延長線上一點M與極點的距離 為2,極角的始邊為Ox,終邊與平角的終邊相同,故點M的 極座標為(2,π+2kπ)(k∈Z),故②③正確. 答案:②③
兩點 A( 5, 5 )，B(7, 7 ) 間的距離是 ( )
【自主預習】
1.極坐標系
(1)取極點:平面內取一個______. 定點O
(2)作極軸:自極點引一條射線Ox.
(3)定單位:選定一個長度單位,一個角度單位(通常取
弧度)及其正方向(通常取逆時針方向).
2.點的極座標
(1)定義:有序數對(ρ,θ)叫做點M的極座標,記為
2.如圖,在極坐標系中, (1)作出以下各點: A(5，0)，B(3，)，C(4，3)，D(2，－3). (2)求點E,F的6 極座標2(ρ,θ)(ρ2≥0,θ∈R).
【解析】(1)如圖,在極坐標系中,點A,B,C,D的位置是 確定的. (2)由於點E的極徑為4, 在θ∈[0,2π)內,極角 又因為點的極座標為(ρ,θ)(7ρ6≥，0,θ∈R),
【解析】因為 2 ，
3 62
故∠AOB=90°,故
AB 62 62 6 2.
【延伸探究】 1.本例已知條件不變,試求△AOB的面積.
【解析】因為 2 故 ∠，AOB=90°, 3 62
所以S△AOB=1 6 6 18. 2
2.本例已知條件不變,試求線段AB中點的極座標.
【解析】設線段AB中點M的極座標為(ρ,θ),
【變式訓練】1.在極坐標系中,極軸的反向延長線上一 點M與極點的距離為2,則點M的極座標的下列表示: ①(2,0);②(2,π);③(2,-π);④(2,2kπ)(k∈Z). 其中,正確表示的序號為____________.
【解析】由於極軸的反向延長線上一點M與極點的距離 為2,極角的始邊為Ox,終邊與平角的終邊相同,故點M的 極座標為(2,π+2kπ)(k∈Z),故②③正確. 答案:②③
兩點 A( 5, 5 )，B(7, 7 ) 間的距離是 ( )
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
湘教版高中数学选修4-4课件 1.4极坐标与平面直角坐标的互化(共17张PPT)
极坐标与平面直角坐标的互化
教学目标：
能进行极坐标和直角坐标的互化.
复习
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向. [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？ 无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有.(ρ，2kπ+θ)
复习
1、极坐标 (ρ，2kπ+θ) 和(-ρ，2kπ+θ+π) 表示同一个点(ρ，θ)；
用极坐标如何表示？
在直角坐标系中， 以原点作为极 y M (1，3)
点，x轴的正半轴作为极轴，两种
坐标系中取相同的长度单位.
θ
O
x
设点M的极坐标为(ρ，θ)
点M的极坐标为(2， )
3
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)
直角坐标化为极坐标：
思考：极坐标如何化为直角坐标？ y M (ρ，θ)
P2
(
2
,
2
x
)
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
练习：
1.把点M
的极坐标 (8, 2 ),
3
(4,11 ),
6
(2, )
化成直角坐标；
2.把点P的直角坐标( 6, 2) (2,2)和(0,15) 化成极坐标.
3. 3 的直角坐标方程是
4
解：tan y tan 3 y ,即y x( y 0)
θ
O
x
极坐标化为直角坐标：x=ρcosθ， y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合； 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
教学目标：
能进行极坐标和直角坐标的互化.
复习
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向. [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？ 无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有.(ρ，2kπ+θ)
复习
1、极坐标 (ρ，2kπ+θ) 和(-ρ，2kπ+θ+π) 表示同一个点(ρ，θ)；
用极坐标如何表示？
在直角坐标系中， 以原点作为极 y M (1，3)
点，x轴的正半轴作为极轴，两种
坐标系中取相同的长度单位.
θ
O
x
设点M的极坐标为(ρ，θ)
点M的极坐标为(2， )
3
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)
直角坐标化为极坐标：
思考：极坐标如何化为直角坐标？ y M (ρ，θ)
P2
(
2
,
2
x
)
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
练习：
1.把点M
的极坐标 (8, 2 ),
3
(4,11 ),
6
(2, )
化成直角坐标；
2.把点P的直角坐标( 6, 2) (2,2)和(0,15) 化成极坐标.
3. 3 的直角坐标方程是
4
解：tan y tan 3 y ,即y x( y 0)
θ
O
x
极坐标化为直角坐标：x=ρcosθ， y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合； 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
湘教版高中数学选修4-4课件 1.4极坐标与平面直角坐标的互化(共17张PPT)优质课件PPT
AB
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1 2
2
0
3 2 2
3
小结： 1、极坐标化为平面直角坐标； 2、平面直角坐标化为极坐标.
谢谢！
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激 组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的 有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自 对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，挥动依旧没有 和球，然后用更大的力气对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”可是接下来的结果，并未如愿。男孩子似乎有些气馁，可是转念一想：我抛球这么刁，一定是个很 喊：“我是世界上最棒的挥球手！”其实，大多数情况下，很多人做不到这看似荒谬的自我鼓励，可是，这故事却深深反映了这个男孩子自我鼓励下的执著，而这执著 迹往往是执著者造成的。许多人惊奇地发现，他们之所以达不到自己孜孜以求的目标，是因为他们的主要目标太小、而且太模糊不清，使自己失去动力。如果你的主要 实现就会遥遥无期。因此，真正能激励你奋发向上的是确立一个既宏伟又具体的远大目标。实现目标的道路绝不是坦途。它总是呈现出一条波浪线，有起也有落，但你 你的时间表，框出你放松、调整、恢复元气的时间。即使你现在感觉不错，也要做好调整计划。这才是明智之举。在自己的事业波峰时，要给自己安排休整点。安排出 是离开自己挚爱的工作也要如此。只有这样，在你重新投入工作时才能更富激情。困难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。 很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力陡生。所以，困难不可怕，可怕的是回避困难。大多数人通过别人对自己的印象和看法来看自 尤其正面反馈。但是，仅凭别人的一面之辞，把自己的个人形象建立在别人身上，就会面临严重束缚自己的。因此，只把这些溢美之词当作自己生活中的点缀。人生的 上找寻自己，应该经常自省。有时候我们不做一件事，是因为我们没有把握做好。我们感到自己“状态不佳”或精力不足时，往往会把必须做的事放在一边，或静等灵 些事你知道需要做却又提不起劲，尽管去做，不要怕犯错。给自己一点自嘲式幽默。抱一种打趣的心情来对待自己做不好的事情，一旦做起来了尽管乐在其中。所以， 要尽量放松。在脑电波开始平和你的中枢神经系统时，你可感受到自己的内在动力在不断增加。你很快会知道自己有何收获。自己能做的事，放松可以产生迎接挑战的 社会，面对工作，一切的未来都需要自己去把握。人一定要靠自己。命运如何眷顾，都不会去怜惜一个不努力的人，更不会去同情一个懒惰的人，一切都需要自己去努 一时的享受也只不过是过眼云烟，成功需要自己去努力。当今社会的快速发展，各行各业的疲软，再加上每年几百万毕业生涌向社会，社会生存压力太大，以至于所有 高自己。看着身边一个个同龄人那么优秀，看着朋友圈的老同学个个事业有成、买房买车，我们心急如梵，害怕被这个社会抛弃。所以努力、焦躁、急迫这些名词缠绕 变自己，太想早一日成为自己梦想中的那个自己。收藏各种技能学习资料，塞满了电脑各大硬盘；报名流行的各种付费社群，忙的人仰马翻；于是科比看四点钟的洛杉 早起打卡行动。其实……其实我们不觉得太心急了吗？这是有一次自己疲于奔命，病倒了，在医院打点滴时想到的。我时常恐慌，害怕自己浪费时间，就连在医院打点 浪费。想快点结束，所以乘着护士不在，自己偷偷的拨快了点滴速度。刚开始自己还能勉强受得了，过了差不多十分钟，真心忍不住了，只好叫护士帮我调到合适的速 就在想，平时做事和打点滴何尝不是一样，都是有一个度，你太急躁了、太想赶超，身体是受不了的。身体是革命的本钱，我们还年轻，还有大把的时间够我们改变， 前面的那个若是1都不存在了，后面再多的0又有什么用？我是一个急性子，做事风风火火的，所以对于想改变自己，是比任何人都要心急。这次病倒了，个人感觉完全 乎才导致的，病倒换来的努力根本是一钱不值。生病的那几天，我跟自己的大学老师打了一个电话，想让老师帮我解惑一下，自己到底是怎么了。别人也很努力啊，而 为啥他们反到身体倍棒而一无所获的自己却病倒了？老师开着电脑，给我分享了两个小故事讲的第一个故事是“保龄球效应”，保龄球投掷对象是10个瓶子，你如果每 而你如果每次能砸倒10个瓶子，最终得分是240分。故事讲完，老师问我明白啥意思没？我说大概猜到一点，你让我再努力点，对吗？不对！你已经够努力了，都累病了 在就是那个每次砸倒9个瓶子的人。你累倒的原因是因为你同时在几个场馆玩，每一个场馆得分都是90分，而有些人，则是只在一个场馆玩，玩多了，他就能砸倒10个瓶 却还是远远超过你。老师讲的第二故事是“挖水井”，一个人选择好一处地基，就在那里一直坚持不懈的挖下去，而另一个人则是到处选地基，这边挖几米，那边挖几 而另一个人则是直到累死也没有挖出一滴水。首先，你必须承认努力是必须的，只要你比别人努力了那么一点，你确实能超过一些人。只是人的精力也是有限的，你这 果只会是永远装不满水桶的半桶水。和老师通完电话后，我调整了几天，也对自己手头上的事物做一些大改变。将目前摆在面前的计划一一列出来，挑出最重要的、最 排完手中所有的计划。对于那些不是很急的，对目前生活和工作不是特别重要的，先果断放弃。我现在最迫切的目标是什么？当然是七月份的转行新媒体咯，那么学习 媒体所需学习的技能又有很多，那怎么办呢？先挑自己有点底子的，有点基础的，把巩固持续加强。个人��
高中数学：圆的极坐标方程 PPT课件 图文
2
2
x2 y2 2 x 2 y 0 22
(x 2 )2 (y 2 )2 1
4
44
4 、 圆 ＝ 1 0 c o s( )的 圆 心 坐 标 是 （ C ）
A、(5,0) B、(53 , )
3
C、(5, )
3
D、(5, 2 )
3
5、 写 出 圆 心 在 点 A(2,)处 且 过 极 点 的 圆 的
22
2
3、 极 坐 标 方 程 cos()所 表 示 的
4
曲 线 是（ D ）
A、双曲线
B、椭圆
C、抛物线
D、圆
解：该方程可以＝ 化c为 os( )
4
以(1,)为圆心1， 为半径的圆。
24
2
解： ＝ cos cos sin sin
4
4
2 2 cos 2 sin 即
6
圆心(a为 ,)(a0)半径a为
圆的极坐标 ＝ 方 2ac程 os为 ( )
此圆过O极点
练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为
半径的圆的方程是 C
A.2cos4 B.2sin4
C.2cos1 D.2sin1
题组练习2
x2 y2 5 3x 5y 即(x 5 3)2 (y 5)2 25
2
2
所以圆心为(5 3 , 5),半径是5 22
你可以用极坐标方程直接来求吗？
解：原式可化为
＝10(cos 3 sin 1) 10cos( )
2
2
6
所以圆心为(5, ),半径为5
解：圆＝4sin的化为直角坐标方程是
x2 y2 4y 0即x2 (y 2)2 4 那么一条与此圆相切圆的的方程为
极坐标PPT优秀课件
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角 度正方向（通常取逆时针 方向）。
O
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M， 用 表示线段OM的长度， 用 表示从OX到OM 的 角度， 叫做M的极径， 叫做点M的极角，有序 数对（，）就叫做M的 O 极坐标。
P
O
X
四、2、负极径的实例 在极坐标系中画出点 M （-3，/4）的位置 [1]作射线OP，使XOP= /4 P = /4
[2]在OP的反向延长 线上取一点M，使 OM= 3
O
M
X
练习：10页1(3)A点和B点
负极径总结： 极径是负的，等于极角增加 。 负极径的负与数学中历来的习惯相同，用 来表示“反向”
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究 请说出点M的极坐标的其他 表达式（四个人回答） O 思：极径都是一样的；不同的是极角。但是，X 极角和极角之间有什么关系？ 启：极角的始边变没有？极角的终边动没有？
如图：OM的长度为4， 4
M
2k 点M的极坐标统一表达式： 4 ， 4
4
)
F (4, )
2
5 6
4
4 3
E F O
C A B X
D
G
5 3
一 个 极 坐 标 只 能 画 出 一 个 点
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
再选定一个长度单位和角 度正方向（通常取逆时针 方向）。
O
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M， 用 表示线段OM的长度， 用 表示从OX到OM 的 角度， 叫做M的极径， 叫做点M的极角，有序 数对（，）就叫做M的 O 极坐标。
P
O
X
四、2、负极径的实例 在极坐标系中画出点 M （-3，/4）的位置 [1]作射线OP，使XOP= /4 P = /4
[2]在OP的反向延长 线上取一点M，使 OM= 3
O
M
X
练习：10页1(3)A点和B点
负极径总结： 极径是负的，等于极角增加 。 负极径的负与数学中历来的习惯相同，用 来表示“反向”
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究 请说出点M的极坐标的其他 表达式（四个人回答） O 思：极径都是一样的；不同的是极角。但是，X 极角和极角之间有什么关系？ 启：极角的始边变没有？极角的终边动没有？
如图：OM的长度为4， 4
M
2k 点M的极坐标统一表达式： 4 ， 4
4
)
F (4, )
2
5 6
4
4 3
E F O
C A B X
D
G
5 3
一 个 极 坐 标 只 能 画 出 一 个 点
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
极坐标ppt课件
在极坐标系中，圆心在( 2，π)且过极点 的圆的方程为________．
解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A(ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB＝2 2＝sinθ－ρ 90°，化简得 ρ＝－2 2cosθ.
答案：ρ＝－2 2cosθ
⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ， ρ＝－4sinθ. (1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
(2)求解与极坐标有关的问题，应注意先化为直角坐标后 解决较为方便．
在极坐பைடு நூலகம்系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线 3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．
解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方 程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，直线的方程为3x ＋4y＋a＝0.
由题设，知圆心(1,0)到直线的距离为1，即有
【分析】 依条件利用公式x＝ρcosθ，y ＝ρsinθ化为直角坐标方程后求解．
【解】 (1)由 ρcosθ－π3＝1 得 ρ12cosθ＋ 23sinθ＝1.
从而 C 的直角坐标方程为12x＋ 23y＝1， 即 x＋ 3y＝2. 当 θ＝0 时，ρ＝2，所以 M(2,0)． 当 θ＝π2时，ρ＝233， 所以 N233，π2.
解法二：将极坐标化为直角坐标，点 A1，π2的直角坐标为 A(0,1)，直线 l 的直角坐标方程为 x＋y＝0，
若线段 AB 最短，则 AB⊥l，且 B 为垂足．
过 A 与 l 垂直的直线方程为 y－1＝x，
联立方程xx＋－yy＝＋01＝0
，得 B 点坐标为－12，12，
再化为极坐标为 22，34π.
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程
极坐标与参数方程ppt课件
当 θ1=θ2，|AB|＝/ρ1—-ρ2/
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
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角，有序数对（，）就
叫做M的极坐标。
O
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到
极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即
以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
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5
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F
G 5
3
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3
6
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
12 （ 3）2 2 tan 3 3
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1
13
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
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14
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
对应了.
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11
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示?
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12
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
M (1, 3)
θ
B (2, )
C (1, )
6
2
2
D (3, )
24
E (2, 3 )
4
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人教版选修4-4 极坐标与参数方程(精品课件)共24张PPT
三、极坐标的正式应用和扩展
◆1736年出版的《流数术和无穷级数》一书中，牛顿 第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点。牛 顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系。 ◆在1691年出版的《博学通报》一书中伯努利正式使 用定点和从定点引出的一条射线，定点称为极点，射 线称为极轴。平面内任何一点的坐标都通过该点与定 点的距离和与极轴的夹角来表示。伯努利通过极坐标 系对曲线的曲率半径进行了研究。
（2）点P（ρ，θ）与点（ρ，2kπ+θ）（k∈Z）
所表示的是同一个点，即角θ与2kπ+θ的终边是 相同的。 综上所述，在极坐标系中，点与其点的极 坐标之间不是一一对应而是一对多的对应
(ρ，θ)，（ρ，2kπ+θ），（-ρ，（2k+1）π+θ）均 表示同一个点
3.极坐标和直角坐标的互化
y
（1）互化背景：把直角坐标系 的原点作为极点，x轴的正半轴 作为极轴，并在两种坐标系中取 相同的长度单位，如图所示：
极坐标系和参数方程虽为选修内容，高中学生也 应该重视对本专题的学习，既可以体会其中的数 学思想，也能提高对数学的认识，而且可以与已 学知识融会贯通
极坐标系
定义：平面内的一条有规 定有单位长度的射线0x,0 为极点，0x为极轴，选定 一个长度单位和角的正方 向(通常取逆时针方向)， 这就构成了极坐标系。
关于教材编排
参数方程是选修4-4专题的一个重要内容。这一专 题包含、涉及了很多高中内容。利用高二学生已掌 握的直线、圆和圆锥曲线曲线方程为基础，鼓励学 生利用参数的思想对它们进行探究解析，以及能学 习掌握如何优化参数的选择推出已知曲线方程的参 数形式，能等价互化参数方程与普通方程；借助实 际生活例子或相应习题体会参数方程的优势，理解 学习参数方程的缘由。
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极坐标：（1）了解坐标系的作用，了解平面直角坐标系的伸缩变换作用下 平面图形的变化情况。 （2）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能 进行极坐标和直角坐标的互化。 （3）能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。 参数方程：（1）了解参数方程的意义。 （2）能选择适当的参数写出直线、圆、和椭圆的参数方程。
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参数方程： 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、 y都是某个变数t的函数：
并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x, y)都在这 条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x、 y的变数t叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标 间关系的方程叫普通方程。
，该方程叫曲线
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
（1）圆的参数方程可表示为.
（2）椭圆的参数方程可表示为.
（3）抛物线的参数方程可表示为.
ห้องสมุดไป่ตู้
（4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）
在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的 互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.
极
坐
标
高
与
三
参
数
数
学
方
程
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极坐标：在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫 做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针 方向）。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度（有 时也用r表示），θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径， θ叫做点M的极角，有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建 立的坐标系叫做极坐标系。
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极坐标：（1）了解坐标系的作用，了解平面直角坐标系的伸缩变换作用下 平面图形的变化情况。 （2）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能 进行极坐标和直角坐标的互化。 （3）能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。 参数方程：（1）了解参数方程的意义。 （2）能选择适当的参数写出直线、圆、和椭圆的参数方程。
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参数方程： 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、 y都是某个变数t的函数：
并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x, y)都在这 条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x、 y的变数t叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标 间关系的方程叫普通方程。
，该方程叫曲线
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
（1）圆的参数方程可表示为.
（2）椭圆的参数方程可表示为.
（3）抛物线的参数方程可表示为.
ห้องสมุดไป่ตู้
（4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）
在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的 互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.
极
坐
标
高
与
三
参
数
数
学
方
程
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极坐标：在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫 做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针 方向）。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度（有 时也用r表示），θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径， θ叫做点M的极角，有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建 立的坐标系叫做极坐标系。
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参数方程：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、 y都是某个变数t的函数：
并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x, y)都在这 条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x、 y的变数t叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标 间关系的方程叫普通方程。
，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：
参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C上的点满足 C的参数方程，变量t是参变数，简称参数。
，该方程叫曲线
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
（1）圆的参数方程可表示为.
（2）椭圆的参数方程可表示为.
（3）抛物线的参数方程可表示为.
大家有疑问的，可以互化： (1)互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式
圆的极坐标方程： 若圆心为
，半径为r的圆方程为：
直线的极坐标方程：若直线过点
（4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）
在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的 互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.
1．【2016年新课标1卷理23】在直角坐标系中xOy，曲线的C1参数方程 为
（t为参数，a > 0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐
标系中，曲线C2：
（1）说明是C1哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（2）直线C3的极坐标方程为 C1与C2的公共点都在C3上，求a
，其中满足
，若曲线
参考答案
2．【2016年北京理11】在极坐标系中，直线
与圆
交于 A，B两点，则
_______
参考答案
参考答案
参考答案
极坐标：（1）了解坐标系的作用，了解平面直角坐标系的伸缩变换作用下 平面图形的变化情况。 （2）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能 进行极坐标和直角坐标的互化。 （3）能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。 参数方程：（1）了解参数方程的意义。 （2）能选择适当的参数写出直线、圆、和椭圆的参数方程。
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极坐标：在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫
做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针 方向）。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度（有 时也用r表示），θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径， θ叫做点M的极角，有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建 立的坐标系叫做极坐标系。