探索勾股定理PPT课件
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北师大版八年级上册探索勾股定理课件
为股，斜边称为弦。“勾股定理
”因此而得名．（在西方文献中
股
又称为毕达哥拉斯定理）
练一练
求下列直角三角形中未知边的长:
8
17
x 解：由勾股定理可得：
82+ x2=172 即: x2=172-82
x=15
12 5
x 解:由勾股定理可得：
52+ 122= x2 即： x2=52+122
x=13
当堂练习 1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方 形的面积为 36 cm² .
讲教授学新目知
标
勾股定理：
直角形三角形两条直角边的平方和等于斜边 的平方.
几何语言 表示：
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若在Rt△ABC中，∠C=90°
b
c
那么 a2+b2=c2
(AC2+BC2=AB2)
C
a
B
讲教授学新目知
标
勾股定理： 直角形三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
我国古代把直角三角形中，较短
弦
的边称为勾，较长的直角边称之 勾
SA=16 SB=9 SC=?
方法一：补
C
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三 角形的面积.
方法三：拼
C
将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色） 可拼成一个小正方形.
方法二：割
C
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
数学知识
图为2002年在我 国北京召开的世 界数学家大会的 会标。
（3）试试猜想SA，SB，SC的数量关系？
SA=16 SB=9 SC=25
猜想：SA+SB=SC
北师大版八年级数学上册《探索勾股定理》课件(24张PPT)
勾是6， 62=36, 勾是5，
股是8， 82=64, 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是13，
52=25, 122=144, 132=169 52+122=132 等等. 是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许
多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
正方形C的面积是__1_8__ 个单位面积.
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C 4 1 33 2
=18个单位面积
把正方形C分割成若干 个直角边为整数的三角 形来求
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C
1 2
62
=18个单位面积
把正方形C看成边长为 6的正方形面积的一半
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股 定理的探究方法及其内在联系. 2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.
这是1955年希腊为纪念一个数学学派发行的邮票.
P
C
A
Q
R B
如图，小方格的边长为1.
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积
2
通过本课时的学习，需要我们掌握： 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即
a2 b2 c2
没有智慧的头脑，就像没有蜡烛的灯笼.
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
第1章第1课时 探索勾股定理PPT课件(北师大版)
2．(2018·山东滨州)在直角三角形中，若勾为 3，股
为 4，则弦为( A )
A．5
B．6
C．7
D．8
3．在一个直角三角形中，两直角边长分别为 3 和 4，
下列说法正确的是( C )
A．斜边长为 25
B．该三角形的周长为 25
C．斜边长为 5
D．该三角形的面积为 20
4．如图，在由边长均为 1 个单位长度的小正方形组 成的网格中，点 A，B 都是格点，则线段 AB 的长为( A )
1．下列说法正确的是( D ) A．若 a，b，c 是△ABC 的三边，则 a2＋b2＝c2 B．若 a，b，c 是 Rt△ABC 的三边，则 a2＋b2＝c2 C．若 a，b，c 是 Rt△ABC 的三边，∠A＝90°， 则 a2＋b2＝c2 D．若 a，b，c 是 Rt△ABC 的三边，∠C＝90°，则 a2＋b2＝c2
变式 3 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一 个男孩头顶上方 3 km 处，过了 20 s，飞机距离这个男孩 头顶 5 km(如图)．这一过程中飞机飞行的速度是每秒多 少千米？
解：在 Rt△ABC 中，BC2＝52－32＝16. 因为 BC＞0，所以 BC＝4(km)． 4÷20＝0.2(km/s)． 答：这一过程中飞机飞行的速度是每秒 0.2 千米．
A．5 C．7
B．6 D．25
5．已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B， ∠C 的对应边分别为 a，b，c.
(1)若 a＝3，b＝4，则 c＝____5____； (2)若 a＝40，b＝9，则 c＝___4_1____； (3)若 a＝6，c＝10，则 b＝____8____； (4)若 c＝25，b＝15，则 a＝___2_0____．
探索勾股定理ppt课件
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
A a cC b
B
C
A ac b
B
右图 16
9
25
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC. a2+b2=c2
（2）正方形A、B、C与中间的 直角三角形有什么关系？
结论2 以直角三角形两直角 边为边长的小正方形的面积 的和，等于以斜边为边长的 正方形的面积.
自主探究 任务一：探索勾股定理的内容
(指向目标一)
1.观察右图：(时间2分钟)
填表（每个小正方形的面积为单位1）
A的面积 B的面积 C的面积
左图 9
9
18
右图 4
4
8
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC.
（2）正方形A、B、C与中间的 等腰直角三角形有什么关系？
SA+SB=SC.
当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60.
方法总结 题中未给出图形，作高构造直角三角形时， 易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑 高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
弦 勾
股
我国古代把直角三角形中 的直角边称为 ， 的直角 边称为 ， 称为 ，“勾股 定理”因此而得名.
巩固训练（2分钟）
1.钢索的长度？
？
10m
8m
6m
评价标准：独立完成为优秀，同桌互助为及格。
评价标准：2题全对为优秀,1题全对为及格
合作促学 任务二：熟练运用勾股定理进
左图 4
9
A a cC b
B
C
A ac b
B
右图 16
9
25
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC. a2+b2=c2
（2）正方形A、B、C与中间的 直角三角形有什么关系？
结论2 以直角三角形两直角 边为边长的小正方形的面积 的和，等于以斜边为边长的 正方形的面积.
自主探究 任务一：探索勾股定理的内容
(指向目标一)
1.观察右图：(时间2分钟)
填表（每个小正方形的面积为单位1）
A的面积 B的面积 C的面积
左图 9
9
18
右图 4
4
8
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC.
（2）正方形A、B、C与中间的 等腰直角三角形有什么关系？
SA+SB=SC.
当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60.
方法总结 题中未给出图形，作高构造直角三角形时， 易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑 高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
弦 勾
股
我国古代把直角三角形中 的直角边称为 ， 的直角 边称为 ， 称为 ，“勾股 定理”因此而得名.
巩固训练（2分钟）
1.钢索的长度？
？
10m
8m
6m
评价标准：独立完成为优秀，同桌互助为及格。
评价标准：2题全对为优秀,1题全对为及格
合作促学 任务二：熟练运用勾股定理进
浙教版八级数学上册27 探索勾股定理 课件(共23张PPT)
x 2
1
17
15
b
初中数学
应用知y识=回0 归生活
2、直角三角形中两条直角边之比为3：4，且 斜边为10cm，求（1）两直角边的长;（2）斜 边上的高线长.
5 3、利用作直角三角形，在数轴上表示点
初中数学
应用知y识=回0 归生活
4、如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸 求两孔中心A、B之间的距离
数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法，培养学生的观 察力、抽象概括能力、创造想象能力以及科学探究问题的能力
情感目标:
（1）通过实践、猜想、拼图、证明等操作使学生深刻感受 数学知识的发生发展过程。 （2）介绍我国古代在勾股定理研究方面取得的成就，激发学生的爱 国情感
初中数学
教学重y=点0 和难点
证明结y论=得0 到定理
a bc
b ca
ac b
cb a
动动手 初中数学
证明结y论=得0 到定理
a
bc
面积c
a
a
面积 （ ab2)
c
面积4•1a 2
b
S大正 S 方 4个形 三 S 角 小形 正方形
（ ab2)-4•1ab c2 即a2+b2=c2
2
初中数学
证明结y论=得0 到定理 勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么
定理在生产、生活中也有很大的用途。
初中数学
教学y目=标0
知识目标：
教 （1）知道勾股定理的由来，初步理解割补拼接的面积证法。 材 （2）掌握勾股定理，通过动手实践理解勾股定理的证明过程
（3） 能利用勾股定理进行简单的几何计算
分 能力目标： 析 在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验 证”的
1勾股定理(第1课时)(教学PPT课件(华师大版))28张
正方形中小方格的个数，你有什么猜想？
1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
讲授新课
知识点一 直角三角形三边的关系
视察正方形瓷砖铺成的地面.
（1）正方形P的面积是
1
（2）正方形Q的面积是
1
平方厘米；
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米.
平方厘米；
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
程.
b
a
b
a
c
c
b
c
c
a
a
b
讲授新课
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积
1
2
2
之和= 4 ab c 2ab c .
2
b
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
a
c
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题
与数的问题结合起来，再进行整式
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC
讲授新课
猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？
A
a
B b
c
a2+b2=c2
C
讲授新课
概念总结
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两
数学（华东师大版）
八年级 上册
第14章 勾股定理
1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
讲授新课
知识点一 直角三角形三边的关系
视察正方形瓷砖铺成的地面.
（1）正方形P的面积是
1
（2）正方形Q的面积是
1
平方厘米；
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米.
平方厘米；
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
程.
b
a
b
a
c
c
b
c
c
a
a
b
讲授新课
证明：大正方形的面积=(a+b)2.
四个个全等的直角三角形和小正方形的面积
1
2
2
之和= 4 ab c 2ab c .
2
b
由题可知(a+b)2=2ab+c2，
a
c
化简可得a2+b2=c2.
我们利用拼图的方法，将形的问题
与数的问题结合起来，再进行整式
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC
讲授新课
猜想:两直角边a、b与斜边 c 之间的关系？
A
a
B b
c
a2+b2=c2
C
讲授新课
概念总结
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两
数学（华东师大版）
八年级 上册
第14章 勾股定理
探索勾股定理ppt课件
度的一般步
边还是斜边或两种均有可能；
骤
（3）利用勾股定理进行计算
续表
1.1 探索勾股定理
返回目录
归纳总结
考
点
利用勾股定理解决实际问题的关键是利用数形结合思想
清
单 将实际问题转化成数学问题，建立直角三角形模型，再利用
解
读 勾股定理来解决.
1.1 探索勾股定理
返回目录
对点典例剖析
考
点
典例3 如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要
方
法
）
技 100 和 36，则以 AD 为直径的半圆的面积是 （
巧
A. 4π
B. 8π
点
拨
C. 12π
D. 16π
1.1 探索勾股定理
返回目录
方
［解析］ 因为在 Rt△ABD 中，∠ADB=90°，AB2=100，
法
技 BD2=36，所以 AD2=100-36=64，所以 AD=8，
巧
点
所以以 AD 为直径的半圆的面积是 π×( AD)2=8π.
行分类讨论.
1.1 探索勾股定理
返回目录
方 ■方法：利用勾股定理解决面积问题
法
如图，由直角三角形的三边向外作正方形、半圆或等边
技
巧 三角形，则有 S =S +S （S ，S ，S 分别代表三个图形的
1
2
3
1
2
3
点
拨 面积，其中 S1 代表以斜边为一边的图形的面积）.
1.1 探索勾股定理
返回目录
例 如图，正方形 ABGF 和正方形 CDBE 的面积分别是
1.1 探索勾股定理
● 考点清单解读
边还是斜边或两种均有可能；
骤
（3）利用勾股定理进行计算
续表
1.1 探索勾股定理
返回目录
归纳总结
考
点
利用勾股定理解决实际问题的关键是利用数形结合思想
清
单 将实际问题转化成数学问题，建立直角三角形模型，再利用
解
读 勾股定理来解决.
1.1 探索勾股定理
返回目录
对点典例剖析
考
点
典例3 如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要
方
法
）
技 100 和 36，则以 AD 为直径的半圆的面积是 （
巧
A. 4π
B. 8π
点
拨
C. 12π
D. 16π
1.1 探索勾股定理
返回目录
方
［解析］ 因为在 Rt△ABD 中，∠ADB=90°，AB2=100，
法
技 BD2=36，所以 AD2=100-36=64，所以 AD=8，
巧
点
所以以 AD 为直径的半圆的面积是 π×( AD)2=8π.
行分类讨论.
1.1 探索勾股定理
返回目录
方 ■方法：利用勾股定理解决面积问题
法
如图，由直角三角形的三边向外作正方形、半圆或等边
技
巧 三角形，则有 S =S +S （S ，S ，S 分别代表三个图形的
1
2
3
1
2
3
点
拨 面积，其中 S1 代表以斜边为一边的图形的面积）.
1.1 探索勾股定理
返回目录
例 如图，正方形 ABGF 和正方形 CDBE 的面积分别是
1.1 探索勾股定理
● 考点清单解读
1.1 探索勾股定理 课件 2024-2025学年数学北师版八年级上册
第一章 勾股定理
1
第1课时
探索勾股定理
探索勾股定理（一）
知识导航
勾股定理
文字语言：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边
的 平方 .
符号语言：
在Rt△ ABC 中，∵∠ ACB ＝90°，
∴ BC2＋ AC2＝ AB2.
拓展：因为用“∵”表示，所以用“∴”表示.
知识导航
如图，如果用 a ， b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边
有一卡车在公路 MN 上以5 m/s的速度沿 PN 方向行驶，
卡车行驶时周围100 m以内都会受到噪音的影响，请你
算出该学校受影响的时间为 24 s.
图3
典例导思
3. 如图所示，为了测得小水坑两边点 A 和点 B 之间的距
离，一个观测者在点 C 设桩，使∠ ABC ＝90°，并测得
AC ＝20 m， BC ＝16 m，则点 A 和点 B 之间的距离
正方形，所有三角形都是直角三角形.正方形 A ， B ，
C ， D 的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形 E 的面
积是（ B ）
A. 18
B. 114
C. 194
D. 324
图3
典例导思
（4）如图4，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，分别以各边
为直径作半圆，当 AC ＝3， BC ＝4时，阴影部分的面积
和斜边，那么 a2＋ b2＝ c2 或 c2－ b2＝ a2 ， c2－
a2＝ b2 .
知识导航
注意：（1）勾股定理体现了数形结合的思想，即把各
边之间“形”的关系，转化为“数”的关系.
（2）在应用勾股定理时， a2＋ b2＝ c2只是边 c 所对的角
1
第1课时
探索勾股定理
探索勾股定理（一）
知识导航
勾股定理
文字语言：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边
的 平方 .
符号语言：
在Rt△ ABC 中，∵∠ ACB ＝90°，
∴ BC2＋ AC2＝ AB2.
拓展：因为用“∵”表示，所以用“∴”表示.
知识导航
如图，如果用 a ， b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边
有一卡车在公路 MN 上以5 m/s的速度沿 PN 方向行驶，
卡车行驶时周围100 m以内都会受到噪音的影响，请你
算出该学校受影响的时间为 24 s.
图3
典例导思
3. 如图所示，为了测得小水坑两边点 A 和点 B 之间的距
离，一个观测者在点 C 设桩，使∠ ABC ＝90°，并测得
AC ＝20 m， BC ＝16 m，则点 A 和点 B 之间的距离
正方形，所有三角形都是直角三角形.正方形 A ， B ，
C ， D 的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形 E 的面
积是（ B ）
A. 18
B. 114
C. 194
D. 324
图3
典例导思
（4）如图4，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，分别以各边
为直径作半圆，当 AC ＝3， BC ＝4时，阴影部分的面积
和斜边，那么 a2＋ b2＝ c2 或 c2－ b2＝ a2 ， c2－
a2＝ b2 .
知识导航
注意：（1）勾股定理体现了数形结合的思想，即把各
边之间“形”的关系，转化为“数”的关系.
（2）在应用勾股定理时， a2＋ b2＝ c2只是边 c 所对的角
北师大版八年级数学上册课件1.1 探索勾股定理(第2课时) 勾股定理的验证及应用课件(26张PPT)
= 25 km .现要在铁路旁建一个农副产品收购站 ,使 站到 ，
两村的距离相等.你知道应该把 站建在距点 多远的地方吗？
【点拨】设 = km ,由垂直关系可以想到用勾股定理,根据 = 建立方程,
即可使问题得解.
【解】因为 = ,
所以 2 + 2 = 2 + 2 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 5 m/s ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = 3 ， = 14 − 1 = 13 ， = 24 .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = 13 − 3 = 10 ， = 24 .
答：教学楼走廊的宽度是 2.2 m .
作业布置
完成学生书对应课时练习
算，从理论上验证了勾股定理．
做一做
在纸上画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向
外作正方形。
c
b
a
图1－4
为了方便计算图中大正方形的面积，
C
D
对其进行适当割补：
b
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c
A
B
a
c2=a2+b2
图1－5
D
b
c
a
图1－6
A
C
B
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第2课时 勾股定理的验证及应用
1.探索勾股定理
2.掌握勾股定理的内容，会用面积法验证勾股定理.
3.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
探究新知
两村的距离相等.你知道应该把 站建在距点 多远的地方吗？
【点拨】设 = km ,由垂直关系可以想到用勾股定理,根据 = 建立方程,
即可使问题得解.
【解】因为 = ,
所以 2 + 2 = 2 + 2 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 5 m/s ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = 3 ， = 14 − 1 = 13 ， = 24 .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = 13 − 3 = 10 ， = 24 .
答：教学楼走廊的宽度是 2.2 m .
作业布置
完成学生书对应课时练习
算，从理论上验证了勾股定理．
做一做
在纸上画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向
外作正方形。
c
b
a
图1－4
为了方便计算图中大正方形的面积，
C
D
对其进行适当割补：
b
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c
A
B
a
c2=a2+b2
图1－5
D
b
c
a
图1－6
A
C
B
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第2课时 勾股定理的验证及应用
1.探索勾股定理
2.掌握勾股定理的内容，会用面积法验证勾股定理.
3.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
探究新知
探索勾股定理ppt课件
星人联系的信号.
欣赏下面一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这 幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一步认识
做一做 观察正方形瓷砖铺成的地面. （1）正方形P的面积是 1 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 1 平方厘米；
AR P
CQ B
（3）正方形R的面积是 2 平方厘米.
左图 4
9
13
右图 16
9
25
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积
左图
4
右图 16
B的面积 9 9
C的面积 13 25
结论 以直角三角形两直角边为边长的小 正方形的面积的和，等于以斜边为边长 的正方形的面积.
总结归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．
几何语言 ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴.AC2+BC2=AB2 （勾股定理）
五、分层作业 课后思考
基础训练：1、小明的妈妈买了一部29in的电 视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只 有58cm长和46cm宽，他觉得一定是销售员搞错 了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么 吗？
2、求下列图中未知数x,y的值
提高训练：1.今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？译： 有一个一丈大小的池子，中央长有芦苇，高出水面 一尺长.把芦苇拽向岸边，刚好与到岸.请问水有多 深，芦苇有多高？
小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角 三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“ 那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道 ：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无 法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回 家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演 算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了 他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十 任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
欣赏下面一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这 幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一步认识
做一做 观察正方形瓷砖铺成的地面. （1）正方形P的面积是 1 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 1 平方厘米；
AR P
CQ B
（3）正方形R的面积是 2 平方厘米.
左图 4
9
13
右图 16
9
25
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积
左图
4
右图 16
B的面积 9 9
C的面积 13 25
结论 以直角三角形两直角边为边长的小 正方形的面积的和，等于以斜边为边长 的正方形的面积.
总结归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．
几何语言 ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴.AC2+BC2=AB2 （勾股定理）
五、分层作业 课后思考
基础训练：1、小明的妈妈买了一部29in的电 视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只 有58cm长和46cm宽，他觉得一定是销售员搞错 了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么 吗？
2、求下列图中未知数x,y的值
提高训练：1.今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？译： 有一个一丈大小的池子，中央长有芦苇，高出水面 一尺长.把芦苇拽向岸边，刚好与到岸.请问水有多 深，芦苇有多高？
小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角 三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“ 那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道 ：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无 法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回 家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演 算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了 他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十 任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
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我国最早对勾股定理进行证明的，是 三国时期吴国的数学家赵爽。
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More You Know, The More Powerful You Will Be
S =S +4S 大正方形
小正方形
直角三角形
c
c2 (b a)2 4 ab 2
化简得： c2 =a2+ b2．
朱实
中黄实 b (b-a)2
a
课后阅读：P110“做一做” P124“勾股定理的无字证明”
范例精讲 例1：如图，你能计算出下列直角三角形中未知边的长吗？
5x
1
2
1
0 2 25
3 -1x 3 0
正方形R的面积是 个单 位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
共同探索
A
R
P
C
B
Q
图1-1
（1）观察图1-1,小组内讨论 合作完成下面的填空：
正方形P中含有 1个6 小方格， 即P的面积是 个单16位面积。
正方形Q的面积是 9个单位
面积。 思考：怎样得到正方形R
的面积？
正方形R的面积是 2个5 单 位面积。
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以 不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
算经》中记录着在公元前1100年左右的 西周时期数学家商高同周公的一段对话。 商高说：“…故折矩，勾广三，股修四， 经隅五。” 后来人们就简单地把这个事
实说成“勾三股四弦五”。这就是著名 的勾股定理。
在稍后一点的《九章算术》（ 约在 公元50至100年间）一书中，勾股定理 得到了更加规范的一般性表达。书中的 《勾股章》说：“把勾和股分别自乘， 然后把它们的积加起来，再进行开方， 便可以得到弦。”
这就是本届大会 会徽的图案．
你见过这个图案吗？ 你听说过勾股定理吗？
这个图案是我国汉代数 学家赵爽在证明勾股定理时用 到的，被称为“赵爽弦图”．
观察与思考：
A
如图,用正方形瓷砖拼成地面，观察图中 用彩色画出的三个正方形，完成填空：（1 格长表示1ｃｍ）
红色正方形面积为（ 1）ｃｍ2， 用它的边AB表示为（AB2）；
（图中每个小方格代表一个单位面积）
共同探索
A
R P
C
B
Q
A
图1-1 P
C
图1-2
R
B
Q
（2）在图1-2中，正方 形P，Q，R中各含有多 少个小方格？它们的面 积各是多少？
（3）你能发现图1-1中 三个正方形P，Q，R的 面积之间有什么关系吗？ 图1-2中呢？
SP+SQ=SR
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积
AB2 AC 2 BC 2
90 50
C
120
160
B
40
502 1202 16900(mm2 )
构造直角三角形
∵AB﹥0， ∴AB=130(mm)
可以解决实际问题。
答：两孔中心A、B之间的距离为130mm。
教你一招
我们通常所说的29英 寸或74厘米的电视机，是 指其荧屏对角线的长度．
小明妈妈买了一部29英寸（74 厘米）的电视机。小明量了电视机 的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长 和约46厘米宽，他觉得一定是售货 员搞错了。你同意他的想法吗？你 能解释这是为什么吗？
平方和等于斜边的平方。
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为
a、b，斜边为c，那么一定有：
a2+b2=c2
ac
直角三角形三边的这种关系，我们称为勾股定理。 b
勾――较短的直角边、股――较长的直角边、弦――斜边
读一读
勾股定理的证明
赵爽弦图的证法
蓝色正方形面积为（ 1）ｃｍ2， 用它的边BC表示为（ BC2）；
绿色正方形面积为（ 2）ｃｍ2， 用它的边AC表示为（ ）A。C2
问：（1）这三个正方形的面积
之间存在怎样的数量关系？ （2） ABC是什么三角形？你发 现它的三边长度有什么关系？
B
C
结论: AB2 +BC2
=AC2
文字: 在等腰直角三角形
中，两条直角边的平方和等 于斜边的平方。
问:在一般的直角三角形中，是否也存在相同的结论呢?
共同探索
A
R P
C
B
Q
图1-1
（1）观察图1-1,小组内讨论 合作完成下面的填空：
正方形P中含有 1个6 小方格， 即P的面积是 个单16位面积。
正方形Q的面积是 9个单位
面积。 思考：怎样得到正方形R
的面积？
归纳小结，布置作业
谈一谈
本节课学习了什么内容？你对学习本 节课知识有什么体会?
（1）运用勾股定理的条件是什么？ （2）勾股定理揭示了直角三角形的什么关系？ （3）勾股定理有什么用途？
作业：1、教材：P111 练习1题， P117，习题，1、2题
2、课时达标：P72-73，第一课时
中国最早的一部数学著作《周髀(bì)
解:小由结勾：股利定用理勾得股定理可以解决直角三角形的边长。 x²=1²+2²=5
∵x>反0 思：若要你在数轴上准确表示 5或- 3 ，你会参
考上面的结果画吗？ ∴x= 5
比一y比=谁0更快
(1)直角三角形的两直角边为3和4,则斜边为__5_
(2)直角三角形的两直角边为5和12,则斜边为_1_3_
(3)直角三角形的两直角边为6和8,则斜边为_1_0_
(4)直角三角形的两条边为3和4，则第三边
为 5或7
。
ac
b
例2：一个离.
解：过A作铅垂线，
过B作水平线， 两线交于点C， 则∠ACB=90°
40
A
AC=90-40=50(mm) BC=160-40=120(mm) 由勾股定理，得
共同探索
A
R P
C
B
Q
A
图1-1 P
C
图1-2
R
B
Q
（4）你能分别用两图中的直角 三角形的三边长表示三个正方 形的面积吗？
SP SQ SR
AC2 BC2 AC2
（5）你能发现直角三角形 三边长度之间存在什么数量 关系吗？请与小组同伴交流
发。 现：AC2 +BC2 =AB2 文字:直角三角形两直角边的
学习总结
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More You Know, The More Powerful You Will Be
S =S +4S 大正方形
小正方形
直角三角形
c
c2 (b a)2 4 ab 2
化简得： c2 =a2+ b2．
朱实
中黄实 b (b-a)2
a
课后阅读：P110“做一做” P124“勾股定理的无字证明”
范例精讲 例1：如图，你能计算出下列直角三角形中未知边的长吗？
5x
1
2
1
0 2 25
3 -1x 3 0
正方形R的面积是 个单 位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
共同探索
A
R
P
C
B
Q
图1-1
（1）观察图1-1,小组内讨论 合作完成下面的填空：
正方形P中含有 1个6 小方格， 即P的面积是 个单16位面积。
正方形Q的面积是 9个单位
面积。 思考：怎样得到正方形R
的面积？
正方形R的面积是 2个5 单 位面积。
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以 不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
算经》中记录着在公元前1100年左右的 西周时期数学家商高同周公的一段对话。 商高说：“…故折矩，勾广三，股修四， 经隅五。” 后来人们就简单地把这个事
实说成“勾三股四弦五”。这就是著名 的勾股定理。
在稍后一点的《九章算术》（ 约在 公元50至100年间）一书中，勾股定理 得到了更加规范的一般性表达。书中的 《勾股章》说：“把勾和股分别自乘， 然后把它们的积加起来，再进行开方， 便可以得到弦。”
这就是本届大会 会徽的图案．
你见过这个图案吗？ 你听说过勾股定理吗？
这个图案是我国汉代数 学家赵爽在证明勾股定理时用 到的，被称为“赵爽弦图”．
观察与思考：
A
如图,用正方形瓷砖拼成地面，观察图中 用彩色画出的三个正方形，完成填空：（1 格长表示1ｃｍ）
红色正方形面积为（ 1）ｃｍ2， 用它的边AB表示为（AB2）；
（图中每个小方格代表一个单位面积）
共同探索
A
R P
C
B
Q
A
图1-1 P
C
图1-2
R
B
Q
（2）在图1-2中，正方 形P，Q，R中各含有多 少个小方格？它们的面 积各是多少？
（3）你能发现图1-1中 三个正方形P，Q，R的 面积之间有什么关系吗？ 图1-2中呢？
SP+SQ=SR
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积
AB2 AC 2 BC 2
90 50
C
120
160
B
40
502 1202 16900(mm2 )
构造直角三角形
∵AB﹥0， ∴AB=130(mm)
可以解决实际问题。
答：两孔中心A、B之间的距离为130mm。
教你一招
我们通常所说的29英 寸或74厘米的电视机，是 指其荧屏对角线的长度．
小明妈妈买了一部29英寸（74 厘米）的电视机。小明量了电视机 的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长 和约46厘米宽，他觉得一定是售货 员搞错了。你同意他的想法吗？你 能解释这是为什么吗？
平方和等于斜边的平方。
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为
a、b，斜边为c，那么一定有：
a2+b2=c2
ac
直角三角形三边的这种关系，我们称为勾股定理。 b
勾――较短的直角边、股――较长的直角边、弦――斜边
读一读
勾股定理的证明
赵爽弦图的证法
蓝色正方形面积为（ 1）ｃｍ2， 用它的边BC表示为（ BC2）；
绿色正方形面积为（ 2）ｃｍ2， 用它的边AC表示为（ ）A。C2
问：（1）这三个正方形的面积
之间存在怎样的数量关系？ （2） ABC是什么三角形？你发 现它的三边长度有什么关系？
B
C
结论: AB2 +BC2
=AC2
文字: 在等腰直角三角形
中，两条直角边的平方和等 于斜边的平方。
问:在一般的直角三角形中，是否也存在相同的结论呢?
共同探索
A
R P
C
B
Q
图1-1
（1）观察图1-1,小组内讨论 合作完成下面的填空：
正方形P中含有 1个6 小方格， 即P的面积是 个单16位面积。
正方形Q的面积是 9个单位
面积。 思考：怎样得到正方形R
的面积？
归纳小结，布置作业
谈一谈
本节课学习了什么内容？你对学习本 节课知识有什么体会?
（1）运用勾股定理的条件是什么？ （2）勾股定理揭示了直角三角形的什么关系？ （3）勾股定理有什么用途？
作业：1、教材：P111 练习1题， P117，习题，1、2题
2、课时达标：P72-73，第一课时
中国最早的一部数学著作《周髀(bì)
解:小由结勾：股利定用理勾得股定理可以解决直角三角形的边长。 x²=1²+2²=5
∵x>反0 思：若要你在数轴上准确表示 5或- 3 ，你会参
考上面的结果画吗？ ∴x= 5
比一y比=谁0更快
(1)直角三角形的两直角边为3和4,则斜边为__5_
(2)直角三角形的两直角边为5和12,则斜边为_1_3_
(3)直角三角形的两直角边为6和8,则斜边为_1_0_
(4)直角三角形的两条边为3和4，则第三边
为 5或7
。
ac
b
例2：一个离.
解：过A作铅垂线，
过B作水平线， 两线交于点C， 则∠ACB=90°
40
A
AC=90-40=50(mm) BC=160-40=120(mm) 由勾股定理，得
共同探索
A
R P
C
B
Q
A
图1-1 P
C
图1-2
R
B
Q
（4）你能分别用两图中的直角 三角形的三边长表示三个正方 形的面积吗？
SP SQ SR
AC2 BC2 AC2
（5）你能发现直角三角形 三边长度之间存在什么数量 关系吗？请与小组同伴交流
发。 现：AC2 +BC2 =AB2 文字:直角三角形两直角边的