人教版数学九年级下册 26.1.1 反比例函数教案

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人教版九年级数学下册 26.1.1 反比例函数教案设计

教学设计26.1 反比例函数1.经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义.2.领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.3.结合实例引导学生了解所讨论的函数的表达形式，形成反比例函数概念的具体形象，是从感性认识到理性认识的转化过程，发展学生的思维.自学指导：阅读课本P149-151，完成下列问题.知识探究1.小学里我们知道：如果两个变量x、y满足xy=k(k为常数，k≠0)，那么x、y就成为反比例关系.例如，速度v、时间t与路程s之间满足vt=s，如果路程s一定，那么速度v与时间t 就成反比例关系.2.一般地，在某一变化过程有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，我们就称y是x的函数.其中，x是自变量，y是因变量.3.下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数式表示？这些函数有什么共同特点？(1)京沪线铁路全程为1 463 km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位：h)的变化而变化.解：v=1463 t.(2)某住宅小区要种植一个面积为1 000 m2的矩形草坪，草坪的长y(单位：m)随宽x(单位：m)的变化而变化.解：y=1000 x(3)已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有的土地面积S(单位：平方千米/人)随全市总人口n(单位：人)的变化而变化.解：S=4 1.6810n(4)上面三个函数关系式形式上有什么共同点?解：都是y=k x 的形式，其中k 是常数,k ≠0. 4.形如y=k x (k 是常数，k ≠0)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是因变量.自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.5.y=k x，y=kx -1，xy=k 是反比例函数的三种表现形式.其中k 是常数，k ≠0. 自学反馈下列函数中，反比例函数是；每一个反比例函数相应的k 值是多少?①y=2x+1;②y=22x ;③y=15x ;④y=3x-;⑤xy=3;⑥2y=x;⑦xy=-1. 判断是否是反比例函数，一定根据反比例函数的定义，牢记反比例函数的三种形式.活动1 小组讨论例1 y 是x 的反比例函数，下表给出了x 与y 的一些值：(1)写出这个反比例函数的表达式；(2)根据函数表达式完成上表.解:∵ y 是x 的反比例函数,x k y =∴ 把x =-2,y =2代入上式得:22-=k 4-=∴k x y 4-=∴. 填表格依次是：-6,4,8，-8，-4,4，34-例2 已知y 与x 2成反比例，并且当x=-2时，y=2，那么当x=4时，y 等于( )A.-2B.2C.12D.-4 分析：已知y 与x 2成反比例，∴y=2k x (k ≠0).将x=-2，y=2代入y=2k x 可求得k ，从而确定该函数表达式.解：∵y 与x 2成反比例，∴y=2k x(k ≠0). 当x=-2时y=2,∴2=2(2)k .解得：k=8, ∴y=28x . 把x=4代入y=28x 得：y=12. 所以选择C.经典题型1.一个矩形的面积为20 cm 2，相邻的两条边长分别为x cm 、y cm,那么变量y 是变量x 的函数吗？是反比例函数吗？2.某村有耕地346.2公顷，人口数量n 逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m(公顷/人)是全村人口数n 的函数吗？是反比例函数吗？3.当m 时，y=3x m-7是反比例函数.4.如果y 是z 的反比例函数，z 是x 的反比例函数，那么y 与x 具有怎样的函数关系？课堂小结1.根据反比例函数的意义判断是否是反比例函数.2.求反比例函数的表达式.教学反思：一、讲的太多。

人教版数学九年级下册26.1《反比例函数》教学设计

人教版数学九年级下册26.1《反比例函数》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级下册第26.1节《反比例函数》是本册教材的重要内容，主要让学生了解反比例函数的定义、性质及图象，学会利用反比例函数解决实际问题。

本节内容承上启下，为后续学习函数的其他类型打下基础。

教材通过实例引入反比例函数，使学生能够从实际问题中抽象出反比例函数模型，进一步培养学生的抽象思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念、一次函数和二次函数，对函数有一定的认识。

但是，对于反比例函数这一概念，学生可能较为陌生，需要通过具体实例来引导学生理解和掌握。

此外，学生对于函数图象的绘制和分析还有一定的困难，需要在教学中给予指导。

三. 教学目标1.了解反比例函数的定义，理解反比例函数的性质。

2.能够绘制反比例函数的图象，分析反比例函数图象的特点。

3.学会利用反比例函数解决实际问题，提高解决问题的能力。

4.培养学生的抽象思维能力和合作交流能力。

四. 教学重难点1.反比例函数的定义和性质。

2.反比例函数图象的特点。

3.利用反比例函数解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入反比例函数，使学生能够从实际问题中抽象出反比例函数模型。

2.合作学习法：引导学生分组讨论，共同探究反比例函数的性质和图象特点。

3.实践操作法：让学生动手绘制反比例函数的图象，提高学生的实践操作能力。

4.问题驱动法：提出问题，引导学生思考，激发学生的求知欲。

六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引入反比例函数。

2.准备反比例函数的图象资料，用于分析反比例函数的性质。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入反比例函数的概念。

例如，一辆汽车以60千米/小时的速度行驶，行驶1小时后，行驶的距离与时间成反比例关系。

引导学生思考，如何表示这种关系。

2.呈现（10分钟）呈现反比例函数的定义，解释反比例函数的概念。

人教版九年级下册数学 26.1 反比例函数教案

反比例函数一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●会用描点法画反比例函数的图象●结合图象分析并掌握反比例函数的性质●体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法重点难点：●重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质●难点：正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质学习策略：●通过观察、分析及归纳，对比正比例和一次函数，更好地理解和掌握反比例函数的概念以及图象的性质与意义。

二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

知识回顾---复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（一）一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量X与Y ，并且对于X的每个确定的值，Y都有确定的值与其对应，那么我们就说X是，Y是X的函数。

（二）正比例函数的定义一次函数y=kx+b（k≠0），当时，一次函数y=kx（k≠0）就叫正比例函数。

（三）一般用法求一次函数的解析式。

（四）反比例关系：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的一定，这两种量就叫成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。

请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。

课堂笔记或者其它补充填在右栏。

知识点一：反比例函数的概念一般地，形如的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y是函数或叫因变量，x k y =也可以写成：， . 要点诠释：（1）在y=x k 中，自变量x 是分式x k 的分母，当时，分式xk 无意义，所以自变量x 的取值范围是，因变量y 的取值范围是 .。

故函数图象与x 轴、y 轴；（2）x k中分母x 的指数为，如，2x 3y =就不是反比例函数；（3）y=x k （0k ≠）可以写成1y kx -=（0k ≠）的形式，自变量x 的指数是，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数_________这一条件；（4）y=x k（0k ≠）也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反比例函数的解析式.两个变量的积均是一个常数（或定值），这也是识别两个量是否成反比例函数关系的关键.知识点二：反比例函数的图象（一）反比例函数的图象特征：（1）反比例函数的图象是一条，它有个分支，这两个分支分别位于第____、_____象限或第_____、_______象限；（2）若点（a ，b ）在反比例函数x ky =的图象上，则点（－a ，－b ）也在此图象上，故反比例函数的图象关于对称；（3）在反比例函数中由于x ≠0，k ≠0，所以y ≠0，函数图象永远不会与x 轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．（二）画反比例函数的图象的基本步骤：（1）________：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y 值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）_________：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）_________：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由k 的符号决定的：当k >0时，两支曲线分别位于第、象限内，当k <0时，两支曲线分别位于第、象限内．知识点三：反比例函数的性质要点诠释：（1）反比例函数xk y =（k 为常数，k 不等于零）的图象是；（2）当k >0时，双曲线的两个分支分别位于第、象限，在每个象限内，y 值随x 值的；（3）当k <0时，双曲线的两个分支分别位于第、象限，在每个象限内，y 值随x 值的；（4）在反比例函数x ky =（k 为常数，k 不等于零）中，由于00x y ≠≠且，所以两个分支都无限___________但永远不能达到x 轴和y 轴．知识点四：反比例函数ky x =（0k ≠）中的比例系数k 的意义如图所示，过双曲线上任一点(,)P x y 作x 轴、y 轴垂线段PM 、PN ，所得矩形PMON 的面积_________||_______S PM x =⋅=⋅=.∵ ky x =，∴ xy k =.∴ ||S k =，即反比例函数(0)ky k x =≠中的比例系数k 的绝对值表示______________________________________________________.如图所示，过双曲线上一点Q 向x 轴或y 轴引垂线，则所得的三角形的面积_______AOQ S ∆=，即反比例函数(0)ky k x =≠中的比例系数k 的绝对值的一半表示___________________________________________________________________________________________________________________________.知识点五：反比例函数解析式的确定要点诠释：（1）待定系数法，由于在反比例函数关系式x ky =中，只有一个待定系数k ，只要确定了k 的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入x ky =中即可求出的值，从而确定反比例函数的关系式.（2）用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：①设所求的反比例函数为：xk y =（k ≠0）； ②根据已知条件，列出含的方程；③解出待定系数k 的值；④把k 值代入函数关系式xk y =中. 类型一：反比例函数的概念例1．下列等式中，哪些是反比例函数（1）3x y =；（2）2y x =-；（3）21xy =；（4）52y x =+；（5）32y x =-；（6）13y x =+；（7）4y x =-.思路点拨：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成（k 为常数，0k≠）的形式，这里、是整式，的分母不是只单独含x ，改写后是13x y x +=，分子不是常数，只有能写成定义的形式.解：是反比例函数.总结升华：.举一反三：【变式1】已知函数22)1(--=m x m y 是反比例函数，则此函数解析式为 .解：总结升华：.经典例题——自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。

人教版九年级数学下册第二十六章26.1.1反比例函数k的几何意义教学设计

2.教师点评：对学生的总结进行点评，强调重点知识。
教师讲解：“大家总结得很好。反比例函数是我们学习函数的重要部分，希望大家能够掌握其定义、性质和几何意义，并在实际问题中灵活运用。”
五、作业布置
为了巩固学生对反比例函数知识的掌握，提高学生的应用能力和思维能力，特布置以下作业：
1.基础知识巩固：
（1）根据反比例函数的定义，求出以下函数的表达式，并说明k的几何意义：y=3/x、y=-2/x、y=5/|x|。
作业要求：
1.学生在完成作业时，要认真思考，规范解答，注意细节。
2.对于实践应用题，要求学生结合反比例函数的性质和几何意义，分析问题，列出方程，并求解。
3.拓展提高题要求学生独立思考，尝试不同的解题方法，锻炼数学思维能力。
4.思考题要求学生在理解反比例函数的基础上，深入思考，形成自己的见解。
2.教学策略：
（1）情境创设：以生活实例或有趣的故事引入反比例函数的学习，激发学生的学习兴趣；
（2）任务驱动：设置具有挑战性的任务，引导学生主动探究反比例函数的性质和应用；
（3）分层教学：针对不同学生的学习需求，设计难易适度的练习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高；
（4）反馈与评价：及时关注学生的学习进度，给予有效的反馈和激励，提高学生的学习积极性。
教师提问：“同学们，我们之前学习了正比例函数和一次函数，谁能来说说它们的特点和性质？”
2.创设情境：通过生活中的实例，如物体在反比例力作用下的运动轨迹，引出反比例函数的概念。
教师讲解：“在生活中，我们经常会遇到一些与反比例关系相关的问题。比如，当物体受到一个与速度成反比的阻力时，它的运动轨迹是怎样的呢？这就涉及到我们今天要学习的反比例函数。”
人教版九年级数学下册第二十六章26.1.1反比例函数k的几何意义教学设计

人教版数学九年级下册26.1.1《反比例函数》教学设计

人教版数学九年级下册26.1.1《反比例函数》教学设计一. 教材分析《反比例函数》是人教版数学九年级下册第26章第一节的内容，主要介绍了反比例函数的定义、性质及图象。

这一节内容是学生在学习了正比例函数和一次函数的基础上进行的，是进一步深化函数知识的重要环节，也为后续学习函数的应用打下了基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，能够理解正比例函数和一次函数的概念和性质。

但是，对于反比例函数这一概念，学生可能较难理解，需要通过具体实例和生活实际来帮助学生理解和掌握。

三. 教学目标1.了解反比例函数的定义和性质。

2.能够绘制反比例函数的图象。

3.能够运用反比例函数解决实际问题。

四. 教学重难点1.反比例函数的定义和性质。

2.反比例函数图象的绘制。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，通过设置问题引导学生思考和探索。

2.利用信息技术手段，如多媒体演示和数学软件，帮助学生直观理解反比例函数的性质和图象。

3.结合实际例子，让学生感受反比例函数在生活中的应用。

六. 教学准备1.多媒体演示文稿。

2.数学软件。

3.实际例子和问题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入反比例函数的概念，如“一辆汽车以60千米/小时的速度行驶，行驶1小时后，剩余路程与速度之间的关系是什么？”引导学生思考和讨论。

2.呈现（10分钟）利用多媒体演示文稿，呈现反比例函数的定义和性质，引导学生直观理解。

同时，利用数学软件，展示反比例函数的图象，让学生感受反比例函数的特点。

3.操练（10分钟）让学生利用数学软件，自己绘制一些反比例函数的图象，加深对反比例函数性质的理解。

同时，让学生解答一些与反比例函数有关的问题，巩固所学知识。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生进一步巩固反比例函数的概念和性质。

5.拓展（10分钟）让学生思考和讨论反比例函数在实际生活中的应用，如广告宣传、经济分析等，引导学生将所学知识运用到实际中。

人教版数学九年级下册26.1.1 反比例函数教案

26．1.1反比例函数教学目标知识与技能1．使学生理解并掌握反比例函数的概念．2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式．过程与方法3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的建模思想．情感、态度与价值观4．经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，体会数学学习的重要性，培养学生学习数学的兴趣．教学重点理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式．教学难点理解反比例函数的概念．教学过程设计一、情境创设同一条铁路线上，由于不同车次列车运行时间有长有短，所以它们的平均速度有快又慢，由s=vt可知，在路程s一定的前提下，平均速度v与运行时间t成反比例，从函数角度来看，平均速度v随运行时间t的变化而变化的规律，可表示为v=s/t（s为常数），这类函数就是本章要研究的反比例函数．与研究一次函数、二次函数类似，我们将在反比例函数定义的基础上，研究反比例函数的图象和性质，并运用反比例函数解决一些实际问题．二、复习知识1．函数的定义、正比例函数、一次函数、二次函数的定义．2．反比例关系：小学里我们知道：如果两个变量x、y满足xy=k(k为常数，k≠0)，那么x、y就成为反比例关系．例如，速度v、时间t与路程s之间满足vt=s，如果路程s一定，那么速度v与时间t就成反比例关系．3．分式的定义．4．负整数指数幂的意义．三、讲授新课1．观察分析，引入新知活动1 思考：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？两个变量之间成正比例关系还是反比例关系？这些函数有什么共同特点？(1)京沪线铁路全程为1 463 km，乘坐某次列车所用时间t(单位：h)随该列车平均速度v(单位：km/h)的变化而变化；(2)某住宅小区要种植一个面积为1 000 m2的矩形草坪，草坪的长y随宽x的变化而变化；(3)已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有土地面积S(单位：平方千米/人)随全市人口n(单位：人)的变化而变化．师生活动：教师提出问题，引导学生回答（学生分组讨论），让学生感受两个变量之间乘积为定值的函数关系．解：(1)t ＝1463v； (2)y ＝1000x； (3)S ＝1.68×104n．其中，v 是自变量，t 是v 的函数；x 是自变量，y 是x 的函数；n 是自变量，S 是n 的函数．上面的函数关系式，都具有y ＝k x的形式，其中k 是非零常数．活动2 下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？两个变量之间成正比例关系还是反比例关系？(1)一个游泳池的容积为2 000 m 3，注满游泳池所用的时间t 随注水速度v 的变化而变化；(2)某立方体的体积为1 000 cm 3，立方体的高h 随底面积S 的变化而变化．解：(1)t ＝2 000v ； (2)h ＝1 000S．师生活动：教师给出问题，学生分组讨论，教师参与讨论交流，让学生进一步感受两个变量之间乘积为定值的函数关系．2．归纳概括，建立模型活动3 （1）能否根据上面函数的共同特点写出这种函数的解析式？（2）归纳得到反比例函数的概念．（3）给这类函数取个名，为什么称它为反比例函数？概念：如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成y ＝k x的形式，那么y 是x 的反比例函数，反比例函数的自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．y=k x，y=kx -1，xy=k 是反比例函数的三种表现形式，其中k 是常数，k ≠0．师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论、交流，教师引导学生用规范的数学语言表达反比例函数的概念，并找出自变量的取值范围．3．概念辨析，体会运用活动4 教材第3页练习2．下列哪些关系式中的y 是x 的反比例函数？y ＝4x ，y x＝3，y ＝6x ＋1；y =x 2-1；xy ＝123．师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论、交流，两个变量的乘积为定值的函数就是反比例函数．4．分析问题，培养能力活动5 例题探究例1 已知y 是x 的反比例函数，当x=2时，y=6．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)求当x=4时y 的值．分析：因为y 是x 的反比例函数，所以设y=k x ，再把x=2和y=6代入上式就可求出常数k 的值．解：(1)设y=k x ，因为当x=2时y=6，则有 6=2k .解得：k=12， ∴y=12x． (2)把x=4代入y=12x ，得y=124=3．例2已知y=x 2成反比例，并且当x=3时，y=4；（1）写出y 关于x 的函数解析式；（2）当x=1.5时，求y 的值；（3）当y=6时，求x 的值．例3 当m 取什么值时，函数y ＝(m －2)x 3－m2是反比例函数？分析：反比例函数y ＝k x(k ≠0)的另一种表达式是y ＝kx －1(k ≠0)，这种写法中x 的次数是－1，因此m 的取值必须满足两个条件，即m －2≠0且3－m 2＝－1，特别注意不要遗漏k ≠0这一条件，也要防止出现3－m 2＝1的错误．解：由题意可知⎩⎨⎧m －2≠0，3－m 2＝－1，解得m ＝－2．师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论、交流，引导学生理解“y 是x 的反比例函数”的意义，总结得出求反比例函数解析式的方法．四、归纳小结与课堂练习(1)我们今天学习了反比例函数的哪些知识？如何获得反比例函数的概念？(2)反比例函数的两个变量的关系是什么？(3)反比例函数中自变量的取值范围是什么？(4)如何根据已知条件求反比例函数的解析式？五、布置作业习题26．1第1，2题．六、教学反思反比例函数概念形成的过程中，大家充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量之间的关系及变化规律，逐步加深理解．在概念的形成过程中，从感性认识提升到理性认识，建立概念，摆脱其原型成为数学对象．反比例函数具有丰富的数学含义，通过举例、说理、讨论等活动用数学眼光审视某些实际现象．例题非常简单，在例题的处理上注重培养学生形成写出规范的解题步骤的能力，同时拓宽学生的思路．在题目的设计和教学设计上注重了由浅入深的梯度，同时充分调动学生的积极性，发挥学生的主体作用．。

人教版九年级数学下册26.1.1反比例函数优秀教学案例

4.教师引导学生掌握反比例函数的表达式，并学会运用反比例函数解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.教师给出几个有关反比例函数的实际问题，让学生分组讨论，寻找解决方法。
2.学生通过小组讨论，共同探索反比例函数的性质，提高学生的团队合作能力。
3.各小组汇报讨论成果，教师给予评价和指导，帮助学生巩固反比例函数的知识。
人教版九年级数学下册26.1.1反比例函数优秀教学案例
一、案例背景
本案例背景基于人教版九年级数学下册26.1.1反比例函数章节内容，旨在通过实际教学情境，引导学生理解和掌握反比例函数的定义、性质及其应用。在案例中，我担任特级教师，以班级为单位进行教学，学生年龄均为14-15岁，具备一定的数学基础。
根据教材内容，本节课的主要目标是让学生了解反比例函数的概念，能够运用反比例函数解决实际问题。在教学过程中，我充分运用人性化的教学语言，注重激发学生的学习兴趣，提高他们的自主学习能力，培养他们分析问题、解决问题的能力。
2.学生能够理解反比例函数在实际生活中的应用，认识到数学的重要性，培养学生的数学素养。
3.学生通过反比例函数的学习，能够感受到数学的美丽和逻辑性，培养学生的审美观念。
4.学生能够克服学习中的困难，勇于面对挑战，培养学生的自信心和坚韧性。
三、教学策略
（一）情景创设
1.结合生活实际，创设情境，引发学生对反比例函数的思考。例如，通过展示图片，如商场打折、人口增长等，让学生感受到反比例函数在现实生活中的存在。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结反比例函数的定义、性质及其应用，使学生对反比例函数有一个全面的认识。
2.教师强调反比例函数在实际生活中的重要性，激发学生学习反比例函数的积极性。
3.教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的个体差异，给予鼓励和指导。

人教版九年级数学下第26章《反比例函数》全套教案

26.1.1《反比例函数》教案课标要求结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式．教学目标知识与技能：1．从现实情境和已有的知识、经验出发、讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数、函数概念的理解；2．使学生理解并掌握反比例函数的概念；3．能判断一个函数是否为反比例函数，并用待定系数法求函数解析式．过程与方法：1．经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养学生的辩证唯物主义观点；2．经历抽象反比例函数概念的过程，发展学生的抽象思维能力，提高数学化意识；3．经历在实际问题中探索数量关系的过程，养成用数学思维方式解决实际问题的习惯，体会函数的建模思想．情感、态度与价值观：1．经历抽象反比例概念的过程，体会数学学习的重要性，提高学生学习数学的兴趣；2．通过分组讨论，培养学生合作交流意识和探索精神．教学重点理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式．教学难点理解反比例函数的概念．教学流程一、情境引入复习：什么是函数？问题：京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化．你能写出关于t的解析式吗？1463vt引出课题：今天，我们就来研究这种形式的函数．二、探究归纳下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请直接写出解析式．（1）某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化．（2）已知北京市的总面积为1.68×104km 2，人均占有面积S （单位：km 2/人）随全市总人口n （单位：人）的变化而变化．1000y x=，41.6810S n ⨯= 归纳概念：一般地，形如ky x=（k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数.强调：自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．例题指引：例：已知y 是x 的反比例函数，并且当x ＝2时，y ＝6．（1）写出y 关于x 的函数解析式；（2）当x ＝4时，求y 的值.分析：因为y 是x 的反比例函数，所以设ky x=，把x ＝2和y ＝6代入上式，就可求出常数k 的值. 解：（1）设ky x=，因为当x ＝2 时，y ＝6，所以有62=.k 解得：k ＝2. 因此12=.y x（2）把x ＝4代入12y x=，得 1234y == 三、应用提高1．用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系：（1）一个游泳池的容积为2000m 3，游泳池注满水所用时间t （单位：h ）随注水速度v （单位：m 3/h ）的变化而变化；（2）某长方体的体积为1000cm 3，长方体的高h （单位：cm ）随底面积S （单位：cm 2）的变化而变化；（3）一个物体重100N ，物体对地面的压强p （单位：Pa ）随物体与地面的接触面积S （单位：m 2）的变化而变化．2．下列哪些关系式中的y 是x 的反比例函数？4y x =，3y x =，2y x =-，61y x =+，21y x =-，21y x=，123xy =. 3．已知y 与x 2成反比例，并且当x ＝3时，y ＝4．（1）写出y 关于x 的函数解析式；（2）当x ＝1.5时，求y 的值；（3）当 y ＝6 时，求x 的值. 四、体验收获说一说你的收获．1．今天我们学习了哪些知识？ 2．我们是如何形成反比例函数概念的？ 3．如何根据已知条件确定反比例函数的解析式？五、拓展提升1．关系式xy ＋4＝0中y 是x 的反比例函数吗?若是，比例系数k 等于多少？若不是，请说明理由． 2．如果y 是z 的反比例函数，z 是x 的反比例函数，那么y 与x 具有怎样的函数关系？六、课内检测1．在下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（） A ．85y x =+ B ．37y x =+ C ．5xy = D ．22y x= 2．已知函数7m y x-=是正比例函数，则m ＝ . 3．已知函数75m y x-=是反比例函数，则m ＝ .4．已知y 是x 的反比例函数，并且当x ＝3时，y ＝－8. （1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）求y ＝2时x 的值. 七、布置作业必做题：教材8页习题26.1第1、2题．选做题：教材9页习题26.1第7题．附：板书设计教学反思：26.1.2《反比例函数的图象和性质》教案课标要求能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式y ＝xk（k ≠0）探索并理解k ＞0和k ＜0时，图像的变化情况．教学目标知识与技能：1．会用描点法画反比例函数的图象； 2．结合图象分析并掌握其性质；3．能灵活运用反比例函数的图象和性质求函数的解析式，进而解决一些较综合的数学问题．过程与方法：1．经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法，让学生初步认识具体的反比例函数图象的特征；2．经历观察、分析、交流的过程，逐步提高从函数图象中感受其规律的能力； 3．从较综合的题目的解答中学会使用数形结合的方法．情感、态度与价值观：1．由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣；2．深刻领会函数解析式与和函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法； 3．通过解决综合题，增强学生的自信心，涵育学生学习数学的兴趣．教学重点正确地进行描点、画出图象，理解并掌握反比例的图象和性质，能灵活运用反比例函数的性质解决一些综合问题．教学难点1．图象的对称性选点，归纳反比例函数的性质．2．利用数形结合思想比较大小以及对反比例函数几何意义的理解学会利用图象分析、解决问题．教学流程一、情境引入问题：我们知道一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象是一条直线、二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）的图象是一条抛物线，反比例函数(0)=≠ky k x的图象是什么样呢？我们用什么方法画反比例函数的图象呢？有哪些步骤？根据k 的取值，应该如何分类讨论呢？引出课题：今天，我们就来研究反比例函数的图象和性质．二、探究归纳例1：画出反比例函数6=y x 和12=y x的图象．解：列表思考：请观察反比例函数6=y x 与12=y x的图象，它们有哪些特征？（1）每个函数的图象分别位于哪些象限？（2）在每一个象限内，随着x 的增大，y 如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？（3）对于反比例函数(0)=>ky k x，考虑问题（1）（2），你能得出同样的结论吗？归纳1：当k ﹥0时，反比例函数=ky x的图象：（1）函数图象分别位于第一、第三象限；（2）在每一个象限内，y 随x 的增大而减小. 追问：你能由函数的解析式说明这些结论吗？探究：回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例(0)=>ky k x的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例(0)=<ky k x的图象和性质吗？归纳2：当k ﹤0时，反比例函数=ky x的图象：（1）函数图象分别位于第二、第四象限；（2）在每一个象限内，y 随x 的增大而增大.强调：反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线.归纳：一般地，反比例函数=kyx的图象是双曲线，它具有以下性质：（1）当k﹥0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）当k﹤0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大. 例2：已知反比例函数的图象经过点A（2，6）．（1）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？（2）点B（3，4），14(24)25,C--，D（2，5）是否在这个函数的图象上？解：（1）∵点A（2，6）在第一象限，∴这个函数的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）设这个反比例函数的解析式为=kyx.∵点A（2，6）在其图象上，62,k∴=解得：k＝12.∴这个反比例函数的解析式为12 =yx.当x＝3时，y＝4，所以点B在这个函数的图像上；当x＝122-时，y＝445-，所以点C在这个函数的图像上；当x＝2时，y＝6≠5，所以点D不在这个函数的图像上.例3：如图，它是反比例函数5-=myx图象的一支，根据图象，回答下列问题：（1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（x1，y1）和点B（x2，y2），如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的关系？解：（1）反比例函数的图象只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限.∵这个函数的图象的一支位于第一象限，∴另一支必位于第三象限.∵这个函数的图象位于第一、第三象限， ∴m －5﹥0，解得m ﹥5. （2）∵m －5﹥0，∴在这个函数图象的任一支上，y 随x 的增大而减小， ∴当x 1＞x 2时，y 1﹤y 2 . 三、应用提高1．下列图象中是反比例函数图象的是（）2．已知反比例函数=ky x的图象如图所示，则k 0，且在图象的每一支上，y 随x 的增大而．3．已知反比例函数=ky x的图象过点（2，1），则它的图象在________象限，k ___0． 4．点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2）在反比例函数1y x=的图象上．如果x 1﹤x 2，而且x 1，x 2同号，那么y 1，y 2有怎样的大小关系？为什么？四、体验收获说一说你的收获．1．反比例函数的图象是怎样得到的？画图时要注意什么问题？ 2．反比例函数的性质是怎样的？为什么要强调在每一个象限内的性质？ 3．在反比例函数图象及性质的应用中体现了数形结合思想，能否谈谈你的体会？五、拓展提升1．在同一直角坐标系中，函数=y kx 与(0)=≠ky k x的图象大致是（）． A .（1）（2） B .（1）（3） C .（2）（4） D .（3）（4）2．点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2）在反比例函数(0)=≠ky k x的图象上，如果x 1＞0＞x 2，那么y 1和y 2有怎样的关系？六、课内检测1．如图所示的图象对应的函数解析式为（）. A ．5y x = B ．23y x =+ C ．4y x =D ．3y x=-2．反比例函数5y x=的图象在第象限． 3．已知一个反比例函数的图象经过点A （3，－4）．（1）这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y 随 x 的增大如何变化？（2）点B （－3，4），C （－2，6），D （3，4）是否在这个函数的图象上？为什么？七、布置作业必做题：教材8页习题26.1第3、5题．选做题：教材9页习题26.1第9题．附：板书设计教学反思：26.2《实际问题与反比例函数》教案课标要求能用反比例函数解决简单实际问题．教学目标知识与技能：1．能灵活列出表达式解决一些实际问题；2．能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决实际问题．过程与方法：1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题；2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力；3．初步形成自己构建数学模型的能力．情感、态度与价值观：1．积极参与交流，并积极发表自己的见解，相互促进；2．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，体验数学的实用性．教学重点综合运用反比例函数的解析式、图象和性质解决实际问题．教学难点综合运用反比例函数的知识解决较复杂的实际问题．教学流程一、情境引入问题：反比例函数kyx=的图象是什么样的？它有什么性质？引出课题：前面我们结合实际问题讨论了反比例函数，看到了反比例函数在分析和解决实际问题中的作用．今天，我们进一步探讨如何利用反比例函数解决实际问题．二、探究归纳例1：市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室．（1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？（2）公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？（3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15 m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15 m．相应地，储存室的底面积应改为多少（结果保留小数点后两位）？解：（1）根据圆柱的体积公式，得Sd ＝104，所以S关于d的函数解析式为410Sd =．（2）把S＝500代入410Sd=，得410 500d=解得：d＝20（m）答：如果把储存室的底面积定为500 m2，施工时应向地下掘进20 m深．（3）把d＝15代入410Sd=，得41015S=解得：S≈666.67（m2）答：当储存室的深度为15 m时，底面积约为666.67 m2．例2：码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．（1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨/天）与卸货天数t之间有怎样的函数关系？（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？解：设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得k＝30×8＝240，所以v关于t的函数解析式为240vt=．（2）把t＝5代入240vt=，得240485v==（吨）．∴如果全部货物恰好用5天卸载完，那么平均每天卸载48吨．∵对于函数240vt=，当t＞0时，t越小，v越大．∴若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨．问题1：公元前 3 世纪，有一位科学家说了这样一句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”你们知道这位科学家是谁吗？这里蕴含什么样的原理呢？杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂例3：小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200 N 和0.5 m．（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？（2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？解：（1）根据“杠杆原理”，得Fl＝1200×0.5，所以F关于l的函数解析式为600Fl=．当l＝1.5 m时，6004001.5F==（N）．对于函数600Fl=，当l＝1.5 m 时，F＝400N，此时杠杆平衡．因此，撬动石头至少需要400N的力．（2）当14002002F=⨯=时，由600 200l=得6003 200l==（m），3－1.5＝1.5（m）．对于函数600Fl=，当l＞0时，l越大，F越小．因此，若想用力不超过400N的一半，则动力臂至少要加长1.5m．追问：在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长越省力？问题2：电学知识告诉我们，用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）以及用电器的电阻R（单位：Ω）有如下关系：PR＝U2．这个关系也可写为P＝2UR，或R＝2UP．例4：一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220 Ω．已知电压为220 V，这个用电器的电路图如图所示．（1）功率P与电阻R有怎样的函数关系？（2）这个用电器功率的范围多少？解：（1）根据电学知识，当U＝220时，得2220PR=．（2）根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小．把电阻R最小值＝110代入2220PR=，得P最大值＝2220440110=（W）；把电阻R最大值＝220代入2220PR=，得P最小值＝2220220220=（W）；因此用电器功率的范围为220～440W．追问：想一想为什么收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节．三、应用提高1．如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1L（1L＝1dm3）的圆锥形漏斗.（1）漏斗口的面积S（单位：dm2）与漏斗的深度d有怎样的函数关系？（2）如果漏斗口的面积为100cm2，则漏斗的深为多少？答案：（1）3Sd=（2）30 cm2．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80 km/h的平均速度用6 h到达目的地．（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？（2）如果该司机必须在4h之内回到甲地，那么返程时的平均速度不能小于多少？答案：（1）480Vt=（2）120 km/h3．新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖，已知楼体外表面的面积为5×103m2．（1）所需的瓷砖块数n与每块瓷砖的面积S（单位：m2）有怎样的函数关系？（2）为了使住宅楼的外观更漂亮，建筑师决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块瓷砖的面积都是80cm2，且灰、白、蓝瓷砖使用数量的比为2∶2∶1，需要三种瓷砖各多少块？答案：（1）3510nS⨯=（2）250000块，250000块，125000块四、体验收获说一说你的收获．1．我们如何建立反比例函数模型，并解决实际问题？2．在这个过程中要注意什么问题？五、拓展提升1．某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着路线铺了若干块木板，构筑成一条临时通道．你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S（m2）的变化，人和木板对地面的压强p（Pa）将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N，那么（1）木板面积S 与人和木板对地面的压强p 有怎样的函数关系？（2）当木板面积为0.2 m2时，压强是多少？（3）要求压强不超过6000 Pa，木板面积至少要多大？答案：（1）600(0)p SS=>（2）3000 Pa（3）至少0.1m22．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）请写出这个反比例函数的解析式．（2）蓄电池的电压是多少？（3）完成下表：范围？答案：（1）36IR=（2）36V（3）12，9，7.2，6，5.14，4.5，4，3.6（4）R≥3.6六、课内检测1．已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（）答案：C2．在某一电路中，电源电压U 保持不变，电流I （A ）与电阻R （Ω）之间的函数关系如图所示．（1）写出I 与R 之间的函数解析式；（2）结合图象回答当电路中的电流不超过12 A 时，电路中电阻R 的取值范围是多少Ω？答案：（1）36I R=（2）电阻R 大于或等于3 Ω 3．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V （单位：m 3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg /m 3）也会随之变化．已知密度ρ与体积V 是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求密度ρ关于体积V 的函数解析式；（2）求V ＝9 m 3时，二氧化碳的密度ρ．答案：（1）9.9Vρ=（2）1.1 kg /m 3 七、布置作业必做题：教材16页习题26.2第2、3、4、7题．选做题：教材17页习题26.2第9题．附：板书设计教学反思：。

人教版数学九年级下册：(反比例函数)反比例函数(教案)

第二十六章反比例函数26.1 反比例函数26.1.1 反比例函数【知识与技能】1.理解反比例函数的意义.2.能够根据已知条件确定反比例函数的解析式.【过程与方法】经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程中，体会反比例函数来源于生活实际，并确定其解析式.【情感态度】经历反比例函数的形成过程，体验函数是描述变量关系的重要数学模型，培养学生合作交流意识和探索能力.【教学重点】理解反比例函数的意义，确定反比例函数的解析式【教学难点】反比例函数解析式的确定.一、情境导入，初步认识问题京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t(单位：h)随该次列车平均速度v(单位：km/h)的变化而变化,速度v和时间t的对应关系可用怎样的函数式表示？【教学说明】教师提出问题，学生思考、交流，予以回答.教师应关注学生能否正确理解路程一定时，运行时间与运行速度两个变量之间的对应关系，能否正确列出函数关系式，对有困难的同学教师应及时予以指导.二、思考探究，获取新知问题1某住宅小区要种植一个面积为1000 m2的长方形草坪，草坪的长为y (单位：m)随宽x(单位：m)的变化而变化，你能确定y与x之间的函数关系式吗？问题2已知北京市的总面积为1. 68 ×104平方千米，人均占有的土地面积S(单位平方千米/人）随全市人口 n(单位:人）的变化而变化，则S与n的关系式如何？说说你的理由.思考观察你列出的三个函数关系式，它们有何特征，不妨说说看看.【教学说明】学生相互交流，探寻三个问题中的三个函数关系式，教师再引导学生分析三个函数的特征，找出其共性，引入新知.反比例函数：形如y =kx(k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.试一试下列问题中，变量间的对应关系，可用怎样的函数解析式表示？(1)一个游泳池的容积为2000m 3，注满游泳池所用的时间t(单位:h)随注水速度v(单位: m 3/h)的变化而变化；(2)某长方体的体积为1000cm 3，长方体的高h(单位：cm)随底面积S (单位：cm 2 )的变化而变化.(3)—个物体重100牛，物体对地面的压强 P 随物体与地面的接触面积S 的变化而变化.【教学说明】学生独立完成（1)、（2)、（3)题，教师巡视，关注学生完成情况，肯定他们的成绩，提出个别同学问题，帮助学生加深对构建反比例函数模型的理解.三、典例精析，掌握新知例1 已知y 是x 的反比例函数，当x =2 时,y = 6.(1) 写出y 与x 之间的函数解析式；(2) 当x =4时，求y 的值.【分析】由于y 是x 的反比例函数，故可说其表达式为y =k x，只须把x =2，y=6代入，求出k 值，即可得y =12x，再把x =4代入可求出 y=3. 【教学说明】本例展示了确定反比例函数表达式的方程，教师在评讲时应予以强调.在评讲前，仍应让学生自主探究，完成解答，锻炼学生分析问题，解决问题的能力.例2 如果y 是z 的反比例函数，z 是x 的正比例函数，且x ≠0，那么y 与x 是怎样的函数关系？【分析】因为y 是z 的反比例函数，故可设y =1k z(K 1≠0)，又z 是x 的正比例函数，则可设 z = 2k x (2k ≠0) x ≠0，∴ y =12k k x . 11220,k 0,0,k k k ≠≠∴≠ 故y =12k k x是y 关于x 的反比例函数. 【教学说明】本例仍可让学生先独立思考，然后相互交流探索结论.最后教师予以评讲，针对学生可能出现的问题（如设：y =k x，z=kx 时没有区分比例系数）予以强调，并对题中x ≠0的条件的重要性加以解释，帮助学生加深对反比例函数意义的理解.四、运用新知，深化理解1.下列哪个等式中y 是x 的反比例函数? y = 4x, y x= 3, y=6x+1,xy=123. 2.已知y 与x 2成反比例，并且当x= 3时,y=4.(1)写出y 和x 之间的函数关系式,y 是x 的反比例函数吗？(2)求出当x =1.5时y 的值.【教学说明】让学生通过对上述两道题的探究，加深对反比例函数意义的理解，增强确定反比例函数表达式的解题技能，教师巡视，再给出答案并解决易错点.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1.只有等式xy=123中,y 是x 的反比例函数.2.解：（1)由题知可设y =2,3k y x x==时y=4，∴ k= 4×9 = 36，即 y = 236x，y 不是 x 的反比例函数. (2)y=236x ，x=1.5 时，y=361.5 1.5⨯ =16. 五、师生互动，课堂小结1.知识回顾.2.谈谈这节课你有哪些收获？【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.1.布置作业：从教材“习题26. 1”中选取.2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.反比例函数是初中学习阶段的第二种函数类型.因此本课时教学仍然是从实际问题入手，充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量的相互关系及变化规律，逐步加深理解.在概念的形成过程中，从感性认识到理性认识一旦建立，即已摆脱其原型成为数学对象.反比例函数具有丰富的数学含义，可以利用它通过举例、说理、讨论等活动，感知数学眼光，审视某些实际现象.此外，教师在例题的处理上，应要求学生将解题步骤写完整.。

人教版九年级数学下册第二十六章26.1.1反比例函数教案设计

课题名称：《反比例函数》教学目标：知识与技能：1.理解并掌握反比例函数的概念。

2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数。

3.会根据已知条件，求出反比例函数的解析式。

过程与方法：通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体会和认识反比例函数式刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化的观点。

情感、态度与价值观：经历反比例函数的形成过程、使学生体验函数是描述变量间对应关系的重要数学模型，培养学生观察、推理、分析的能力和合作交流的意识、体验数形结合的思想。

教学重点、难点设计：对于反比例函数的概念的形成过程是这节课的重点，也是难点，教学中要重点联系实际，让概念在实际的背景下形成，使学生体会到反比例函数能够反映实际事物的变化规律，同时通过与一次函数、正比例函数的类比更好地认识和理解反比例函数，教学中进行类比、变化与对应等数学思想的渗透。

教学准备与方法设计：通过多媒体教学的应用，让概念和规律方法的获得主要以学生自主探究为主，通过实际问题的分析讨论得到反比例函数的概念，通过与一次函数、正比例函数的类比获得反比例函数解析式的求法，通过练习、巩固学生的知识，检验规律的正确性。

教学内容与程序设计：一、问题引入1.小明家到学校约5千米，在他骑车上学的过程中，你能找出其中变化的量与不变的量吗？2.你能表示出上述过程中几个量之间的关系吗？二、自主探索1.利用所列关系式，填写下表：3.观察所列式子的特征，你能仿照关系式自编一道类似的题目吗？4.思考讨论用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系：（1）一个面积为6400m2的长方形的长a（m）随b（m）的变化而变化；（2）某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y(万元)随还款年限x(年)的变化而变化；（3）游泳池的容积为5000m3，向池内注水，注满水所需时间t（h）随注水速度v（m3/h）的变化而变化；（4）实数m与n的积为-200，m 随n的变化而变化.三、交流展示1.概念归纳：一般地，形如 )0(≠=k k xk y 为常数，的函数叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数,k 是比例系数。

26.1.1反比例函数教案

26.1.1反比例函数教案篇一：九年级下册数学26.1反比例函数教学设计26.1反比例函数板书设计：反比例函数定义：等价形式：篇二：26.1.1反比例函数教案第26章反比例函数26．1．1反比例函数【学习目标】1、经历抽象反比例函数概念的过程，体会反比例函数的含义，理解反比例函数的概念。

2、理解反比例函数的意义，根据题目条件会求对应量的值，能用待定系数法求反比例函数关系式3、让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程，养成用数学思维方式解决实际问题的习惯，体会数学在解决实际问题中的作用学情分析：虽然学生在八（上）已学过一次函数及特例“正比例函数”的内容，对函数有了初步的认识。

从学生接触函数所蕴含的“变化与对应”思想至今已经半年有余，学生对与函数相关的概念不可避免会有所遗忘或生疏。

因此，学习本节课的关键是处理好新旧知识的联系，尽可能地减少学生接受新知识的困难。

【学习重点】理解反比例函数的意义，确定反比例函数的解析式【学习难点】反比例函数的解析式的确定【学法指导】自主、合作、探究篇三：26.1反比例函数教案26.1反比例函数学习目标、重点、难点【学习目标】1、理解反比例函数的定义；2、用待定系数法确定反比例函数的表达式；3、反比例函数的图象画法，反比例函数的性质；【重点难点】1、用待定系数法确定反比例函数的表达式；2、反比例函数的图象画法，反比例函数的性质；知识概览图反比例函数的定义反比例函数的图象与性质新课导引【生活链接】学校课外生物小组的同学准备自己动手，用围24m2的矩形饲养场（如右图所示），设它的一边长为x(m)，求x(m)之间的函数关系式.【问题探究】这个函数有什么特点?自变量的取值有什么限制?教材精华知识点1反比例函数的定义重点;理解一般地,形如y?k(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数,自变量xx栏建一个面积为另一边长y(m)与的取值范围是不等于0的一切实数,y的取值范围也是不等于0的一切实数,k叫做比例系数,另外,反比例函数的关系式也可写成y=kx-1的形式.y是x的反比例函数?y?k(k≠0)?xy=k(k≠0)?变量y与x成反比例,比例系数为k.x第1页k(k≠0)的左边是函数y,右边是分母为自变量x的分式,也就是说,x 123分母不能是多项式,只能是x的一次单项式,如y?,y?等都是反比例函数,但y?就不是关1xx?1x2拓展(1)在反比例函数y?于x的反比例函数.(2)反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成y=kx-1或xy=k的形式.(3)反比例函数中,两个变量成反比例关系.知识点2用待定系数法确定反比例函数的表达式难点:运用由于反比例函数y?k中只有一个待定系数,因此只要有一对对应的x,y值,或已知其图象上x一点坐标,即可求出k,从而确定反比例函数的表达式.其一般步骤:(1)设反比例函数关系式y?k(k≠0).x(2)把已知条件(自变量和函数的对应值)代入关系式,得出关于k的方程.(3)解方程,求出待定系数k的值.(4)将待定系数k的值代回所设的关系式,即得所求的反比例函数关系式.知识点3反比例函数图象的画法难点;运用反比例函数图象的画法是描点法,其步骤如下:(1)列表:自变量的限值应以0为中心点,沿0的两边取三对(或三对以上)相反数,分别计算y的值.(2)描点:先描出一侧,另一侧可根据中心对称的性质去找.(3)连线:按从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点,双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不能与坐标轴相交.说明:在图象上注明函数的关系式.拓展(1)反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,它的两个分支是断开的.(2)当k＞0时,两个分支位于第一、三象限；当k﹤0时，两个分支位于第二、四象限.第2页(3)反比例函数y?k(k≠0)的图象的两个分支关于原点对称.x(4)反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，这是因为x≠0，y≠0. k的图象是由两支曲线组x(1)如图17-2所示，反比例函数的图象是双曲线，反比例函数y?成的.当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。

人教版数学九年级下册 26.1.1《反比例函数(第一课时)》教学设计方案设计

反比例函数（第一课时）教学设计方案
问题3 你能尝试写出这种函数的一般形式吗？能给这类函数下定义吗？
形如____________( ) 的函数称为反比例函数（inverse proportional function），其中x是自变量，y是函数,自变量的取值范围____________
2、概念的剖析
观察反比例函数解析式与正比例函数比较并思考：
1. 两者从形式上有何异同？反比例函数自变量的次数是1吗？为什么？
2. 反比例函数中，两个变量的取值范围是什么？
3. 你能举出生活中类似的例子吗？
4. 下列哪个等式中的y是x的反比例函数？
5. 反比例函数的解析式有几种不同的表达形式？
（设计意图：在列出函数解析式后，不急于解释、引导，让反比例函数现身，而是设计问题串，类比已学函数，抽象出（3）（4）（5）的比例的本质特征：等式的右边都是都是分式，两个变量的乘积为定值。

这样反比例函数的模型建立就会水到渠成，然后顺着学生的思维的自然发展，通过剖析、辨别、距离、练习等活动，全方位理解概念。

）
3、运用概念
例1 当a取什么值时，函数是反比例函数？
（设计意图：掌握反比例函数的一般形式及其条件，特别是常数k
通过这题的练习，进一步加深对反比例函数的概念的理解）
例2 课本第3页例1
分析：类比求一次函数解析式的过程，显然要运用待定系数法，先设出解析式，再根据已知条件求出待定探究系数。

三、拓展应用，升华新知
例3 已知,与x成反比例，且当=1时=9求与x的函数解析式。

人教版九年级数学下册：26.1.1《反比例函数》教学设计

人教版九年级数学下册：26.1.1《反比例函数》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学下册第26.1.1节《反比例函数》是学生在学习了正比例函数之后，进一步探索函数的性质和应用。

本节内容通过引入反比例函数的概念，让学生理解反比例函数的定义、性质及其在实际生活中的应用。

教材通过丰富的例题和练习，帮助学生掌握反比例函数的图象和解析式，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对正比例函数有一定的了解。

但是，对于反比例函数的概念和性质，学生可能较为抽象，难以理解。

因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，采用生动形象的实例，引导学生理解反比例函数的定义和性质。

三. 教学目标1.了解反比例函数的概念，理解反比例函数的性质。

2.学会反比例函数的解析式，并能灵活运用。

3.提高解决实际问题的能力，培养学生的数学思维。

四. 教学重难点1.反比例函数的概念和性质。

2.反比例函数的解析式的运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过设置问题，引导学生探索反比例函数的性质；以实际案例为例，让学生理解反比例函数的应用；小组讨论，培养学生的合作精神和数学思维。

六. 教学准备1.准备相关的案例和实际问题。

2.准备反比例函数的图象和解析式的资料。

3.准备教学课件和板书设计。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式复习正比例函数的知识，然后引导学生思考：如果两个量的乘积为定值，这两个量之间是什么关系？从而引出反比例函数的概念。

2.呈现（15分钟）呈现反比例函数的定义和性质，让学生初步了解反比例函数的概念。

通过展示反比例函数的图象，让学生直观地感受反比例函数的性质。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，根据反比例函数的性质，找出实际生活中的反比例关系。

每组选取一个实例，并用反比例函数的解析式表示。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，检验学生对反比例函数的理解和运用。

新人教版数学九年级下册第二十六章反比例函数教案

新人教版数学九年级下册第二十六章反比例函数教案第26章反比例函数26．1．1反比例函数的意义【学习目标】1、经历抽象反比例函数概念的过程，体会反比例函数的含义，理解反比例函数的概念。

从学生接触函数所蕴含的“变化与对应”思想至今已经半年有余，学生对与函数相关的概念不可避免会有所遗忘或生疏。

因此，学习本节课的关键是处理好新旧知识的联系，尽可能地减少学生接受新知识的困难。

【学习重点】理解反比例函数的意义，确定反比例函数的解析式【学习难点】反比例函数的解析式的确定26.1.2 反比例函数的图象和性质知能准备【学习目标】1、画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别，能从反比例函数的图象上分析出简单的性质．2、能用反比例函数的定义和性质解决实际问题．【学情分析】前面已经学习了一次函数和二次函数，对研究函数有了一定的方法；即画出图像并根据图像研究其性质【学思指导】教法：讲授法、对比法学法：类比法、数形结合法学科素养：通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征．【【课前预习】1．若y=(21)(1)n nx-+是反比例函数，则n必须满足条件 n≠12或n≠-1 ．2．用描点法画图象的步骤简单地说是列表、描点、连线． 3．试用描点法画出下列函数的图象：（1）y=2x；（2）y=1-2x．设计意图：通过回忆，学会用描点法画函数的图象课堂引讨——【展示互动】问题：我们已知道，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，•那么反比例函数y=k x（k为常数且k≠0）的图象是什么样呢？[尝试]用描点法来画出反比例函数的图象．画出反比例函数y=6x和y=-6x的图象．解：列表思考：取什么值更易描出来x …-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …y=6x-1 -1.5 -2 -6 3 1y=-6x1 1.23 6 -1.5（请把表中空白处填好）描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点．连线，用平滑的曲线把所描的点依次（从大到小或从小到大的顺序）连接起来探究反比例函数y=6x和y=-6x的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？做一做把y=6x和y=-6x的图象放到同一坐标系中，观察一下，看它们是否对称．归纳：反比例函数y=6x和y=-6x的图象的共同特征：（1）它们都由两条曲线组成．（2）随着x的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x轴、y轴）．（3）反比例函数的图象属于双曲线．此外，y=6x的图象和y=-6x的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．做一做在平面直角坐标系中画出反比例函数y=3x和y=-3x的图象．交流两个函数图象都用描点法画出？【分析】由y=6x和y=-6x的图象及y=3x和y=-3x的图象知道，（1）它们有什么共同特征和不同点？（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？（3）在每一个象限内，y随x的变化而如何变化？猜想反比例函数y=kx（k≠0）的图象在哪些象限由什么因素决定？•在每一个象限内，y随x的变化情况如何？它可能与坐标轴相交吗？【归纳】（1）反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线．（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y•值随x值的增大而减小．（3）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y•值随x值的增大而增大．设计意图：通过画图并研究：得到反比例函数图像的形状及其增减性精编精练例题指出当k>0时，下列图象中哪些可能是y=kx与y=kx（k≠0）在同一坐标系中的图象（）【分析】对于y=kx来说，当k>0时，图象经过一、三象限，当k<0时，图象经过二、四象限；对于y=kx来说，当k>0时，图象在一、三象限，当k<0时，图象在二、四象限，所以应选B．备选例题1．请你写出一个反比例函数的解析式，使它的图象在第一、三象限．2．如图所示的函数图象的关系式可能是（• ）A．y=x B．y=1xC．y=x2 D．y=1||x设计意图：通过具体的习题使学生加深对本部分知识的理解能解决具体问题。

人教版九年级数学下册第26章全章教案

第二十六章反比例函数26.1 反比例函数26.1.1 反比例函数1．理解反比例函数的概念；(难点)2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；(重点) 3．能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型．(重点)一、情境导入1．京广高铁全程为2298km ，某次列车的平均速度v (单位：km/h)与此次列车的全程运行时间t (单位：h)有什么样的等量关系？2．冷冻一个物体，使它的温度从20℃下降到零下100℃，每分钟平均变化的温度T (单位：℃)与冷冻时间t (单位：min)有什么样的等量关系？问题：这些关系式有什么共同点？二、合作探究探究点一：反比例函数的定义【类型一】反比例函数的识别下列函数中：①y ＝32x ；②3xy ＝1；③y ＝1－2x ；④y ＝x2.反比例函数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：①y ＝32x 是反比例函数，正确；②3xy ＝1可化为y ＝13x，是反比例函数，正确；③y ＝1－2x 是反比例函数，正确；④y ＝x2是正比例函数，错误．故选C.方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，首先要看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的定义去判断，其形式为y ＝kx (k 为常数，k ≠0)，y ＝kx －1(k 为常数，k ≠0)或xy ＝k (k 为常数，k ≠0)．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】根据反比例函数的定义确定字母的值已知函数y ＝(2m 2＋m －1)x 2m 2＋3m －3是反比例函数，求m 的值．解析：由反比例函数的定义可得 2m 2＋3m －3＝－1，2m 2＋m －1≠0，然后求解即可．解：∵y ＝(2m 2＋m －1)x 2m 2＋3m －3是反比例函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋3m －3＝－1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝－2.方法总结：反比例函数也可以写成y ＝kx －1(k ≠0)的形式，注意x 的次数为－1，系数不等于0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题探究点二：用待定系数法确定反比例函数解析式【类型一】确定反比例函数解析式已知变量y 与x 成反比例，且当x ＝2时，y ＝－6.求： (1)y 与x 之间的函数解析式； (2)当y ＝2时，x 的值．解析：(1)由题意中变量y 与x 成反比例，设出函数的解析式，利用待定系数法进行求解．(2)代入求得的函数解析式，解得x 的值即可．解：(1)∵变量y 与x 成反比例，∴设y ＝kx (k ≠0)，∵当x ＝2时，y ＝－6，∴k ＝2×(－6)＝－12，∴y 与x 之间的函数解析式是y ＝－12x；(2)当y ＝2时，y ＝－12x＝2，解得x ＝－6.方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式时要注意：①设出含有待定系数的反比例函数解析式，形如y ＝k x (k 为常数，k ≠0)；②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数；④写出解析式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型二】解决与正比例函数和反比例函数有关的问题已知y ＝y 1＋y 2，y 1与(x －1)成正比例，y 2与(x ＋1)成反比例，当x ＝0时，y ＝－3；当x ＝1时，y ＝－1.求：(1)y 关于x 的关系式； (2)当x ＝－12时，y 的值．解析：根据正比例函数和反比例函数的定义得到y 1，y 2的关系式，进而得到y 的关系式，把所给两组数据代入即可求出相应的比例系数，也就求得了所要求的关系式．解：(1)∵y 1与(x －1)成正比例，y 2与(x ＋1)成反比例，∴设y 1＝k 1(x －1)(k 1≠0)，y 2＝k 2x ＋1(k 2≠0)，∵y ＝y 1＋y 2，∴y ＝k 1(x －1)＋k 2x ＋1.当x ＝0时，y ＝－3；当x ＝1时，y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3＝－k 1＋k 2，－1＝12k 2，∴k 1＝1，k 2＝－2，∴y ＝x －1－2x ＋1； (2)把x ＝－12代入(1)中函数关系式得y ＝－112.方法总结：能根据题意设出y 1，y 2的函数关系式并用待定系数法求得等量关系是解答此题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题探究点三：建立反比例函数模型及其相关问题写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是否为反比例函数． (1)底边为3cm 的三角形的面积y cm 2随底边上的高x cm 的变化而变化；(2)一艘轮船从相距s km 的甲地驶往乙地，轮船的速度v km/h 与航行时间t h 的关系； (3)在检修100m 长的管道时，每天能完成10m ，剩下的未检修的管道长y m 随检修天数x 的变化而变化．解析：根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义判断其是否为反比例函数．解：(1)两个变量之间的函数表达式为：y ＝32x ，不是反比例函数；(2)两个变量之间的函数表达式为：v ＝st，是反比例函数；(3)两个变量之间的函数表达式为：y ＝100－10x ，不是反比例函数．方法总结：解决本题的关键是根据实际问题中的等量关系，列出函数解析式，然后根据解析式的特点判断是什么函数．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计1．反比例函数的定义：形如y ＝kx(k 为常数，k ≠0)的函数称为反比例函数．其中x 是自变量，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．2．反比例函数的形式： (1)y ＝kx (k 为常数，k ≠0)；(2)xy ＝k (k 为常数，k ≠0)； (3)y ＝kx －1(k 为常数，k ≠0)．3．确定反比例函数的解析式：待定系数法． 4．建立反比例函数模型．让学生从生活实际中发现数学问题，从而引入学习内容，这不仅激发了学生学习数学的兴趣，还激起了学生自主参与的积极性和主动性，为自主探究新知创造了现实背景．因为反比例函数这一部分内容与正比例函数相似，在教学过程中，以学生学习的正比例函数为基础，在学生之间创设相互交流、相互合作、相互帮助的关系，让学生通过充分讨论交流后得出它们的相同点，在此基础上来揭示反比例函数的意义.26.1.2 反比例函数的图象和性质第1课时反比例函数的图象和性质1．会用描点的方法画反比例函数的图象；(重点) 2．理解反比例函数图象的性质．(重点，难点)一、情境导入已知某面粉厂加工出了4000吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B 市．则所需要的时间t (天)和每天运出的面粉总重量m (吨)之间有怎样的函数关系？你能在平面直角坐标系中画出这个图形吗？二、合作探究探究点一：反比例函数的图象【类型一】反比例函数图象的画法作函数y ＝4x的图象．解析：根据函数图象的画法，进行列表、描点、连线即可．解：列表：描点、连线：方法总结：作图的一般步骤为：①列表；②描点；③连线；④注明函数解析式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题【类型二】反比例函数与一次函数图象位置的确定在同一坐标系中(水平方向是x 轴)，函数y ＝kx和y ＝kx ＋3的图象大致是( )解析：A.由函数y ＝kx 的图象可知k ＞0与y ＝kx ＋3的图象中k ＞0且过点(0，3)一致，故A 选项正确；B.由函数y ＝kx 的图象可知k ＞0与y ＝kx ＋3的图象中k ＞0且过点(0，3)矛盾，故B 选项错误；C.由函数y ＝kx 的图象可知k ＜0与y ＝kx ＋3的图象中k ＜0且过点(0，3)矛盾，故C 选项错误；D.由函数y ＝kx 的图象可知k ＞0与y ＝kx ＋3的图象中k ＜0且过点(0，3)矛盾，故D 选项错误．故选A.方法总结：解答此类问题时，通常先根据双曲线图象所在的象限确定k 的符号，再确定一次函数的系数及经过的点是否也符合图案，如果符合，可能正确；如果不符合，一定错误．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第2题【类型三】实际问题中函数图象的确定若按x L/min 的速度向容积为20L 的水池中注水，注满水池需y min.则所需时间y min与注水速度x L/min 之间的函数关系用图象大致可表示为( )解析：∵水池的容积为20L ，∴xy ＝20，∴y ＝20x(x ＞0)，故选B.方法总结：解答此类问题要先根据题意列出反比例函数关系式，然后依据实际情况确定函数自变量的取值范围，从而确定函数图象．【类型四】反比例函数图象的对称性若正比例函数y ＝－2x 与反比例函数y ＝kx图象的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点坐标为( )A ．(2，－1)B ．(1，－2)C ．(－2，－1)D ．(－2，1)解析：∵正比例函数y ＝－2x 与反比例函数y ＝kx 的图象均关于原点对称，∴两函数的交点也关于原点对称．∵一个交点的坐标是(－1，2)，∴另一个交点的坐标是(1，－2)．故选B.方法总结：反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴是一、三(或二、四)象限角平分线所在的直线，对称中心是坐标原点．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题探究点二：反比例函数的性质【类型一】根据解析式判定反比例函数的性质已知反比例函数y ＝－2x ，下列结论不正确的是( )A ．图象必经过点(－1，2)B ．y 随x 的增大而增大C ．图象分布在第二、四象限D ．若x ＞1，则－2＜y ＜0解析：A.(－1，2)满足函数解析式，则图象必经过点(－1，2)，命题正确；B.在第二、四象限内y 随x 的增大而增大，忽略了x 的取值范围，命题错误；C.命题正确；D.根据y ＝－2x的图象可知，在第四象限内命题正确．故选B. 方法总结：解答此类问题要熟记反比例函数图象的性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题【类型二】根据反比例函数的性质判定系数的取值范围在反比例函数y ＝1－kx的每一条曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的值可以是( )A ．－1B ．3C ．1D ．2解析：∵反比例函数y ＝1－kx 的图象在每一条曲线上，y 都随x 的增大而减小，∴1－k＞0，解得k ＜1.故选A.方法总结：对于函数y ＝kx ，当k ＞0时，其图象在第一、三象限，在每个象限内y 随x的增大而减小；当k ＜0时，在第二、四象限，在每个象限内y 随x 的增大而增大，熟记这些性质在解题时能事半功倍．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题三、板书设计1．反比例函数的图象：双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形． 2．反比例函数的性质：(1)当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；(2)当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大．通过引导学生自主探索反比例函数的性质，全班学生都能主动地观察与讨论，实现了在学习中让学生自己动手、主动探索、合作交流的目的．同时通过练习让学生理解“在每个象限内”这句话的必要性，体会数学的严谨性.第2课时反比例函数的图象和性质的综合运用1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质；(重点)2．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法；(重点)3．探索反比例函数和一次函数、几何图形以及图形面积的综合应用．(难点)一、情境导入如图所示，对于反比例函数y ＝kx (k >0)，在其图象上任取一点P ，过P 点作PQ ⊥x轴于Q 点，并连接OP .试着猜想△OPQ 的面积与反比例函数的关系，并探讨反比例函数y ＝kx (k ≠0)中k值的几何意义．二、合作探究探究点一：反比例函数解析式中k 的几何意义如图所示，点A 在反比例函数y ＝kx的图象上，AC 垂直x 轴于点C ，且△AOC 的面积为2，求该反比例函数的表达式．解析：先设点A 的坐标，然后用点A 的坐标表示△AOC 的面积，进而求出k 的值．解：∵点A 在反比例函数y ＝k x 的图象上，∴x A ·y A ＝k ，∴S △AOC ＝12·k ＝2，∴k ＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x.方法总结：过双曲线上任意一点与原点所连的线段与坐标轴和向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积等于|k |的一半．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题探究点二：反比例函数的图象和性质的综合运用【类型一】利用反比例函数的性质比较大小若M (－4，y 1)、N (－2，y 2)、P (2，y 3)三点都在函数y ＝kx(k ＜0)的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )A ．y 2＞y 3＞y 1B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 3＞y 2＞y 1解析：∵k ＜0，故反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内y 随x 的增大而增大．∵M (－4，y 1)、N (－2，y 2)是双曲线y ＝kx (k ＜0)上的两点，∴y 2>y 1>0.∵2＞0，P (2，y 3)在第四象限，∴y 3＜0.故y 1，y 2，y 3的大小关系为y 2＞y 1＞y 3.故选B.方法总结：反比例函数的解析式是y ＝kx (k ≠0)，当k ＜0时，图象在第二、四象限，且在每个现象内y 随x 的增大而增大；当k ＞0，图象在第一、三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第8题【类型二】利用反比例函数计算图形的面积如图，直线l 和双曲线y ＝kx(k ＞0)交于A 、B 两点，P 是线段AB 上的点(不与A 、B 重合)，过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线，垂足分别是C 、D 、E ，连接OA 、OB 、OP ，设△AOC 的面积是S 1，△BOD 的面积是S 2，△POE 的面积是S 3，则( )A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 1＞S 2＞S 3C ．S 1＝S 2＞S 3D ．S 1＝S 2＜S 3解析：如图，∵点A 与点B 在双曲线y ＝k x 上，∴S 1＝12k ，S 2＝12k ，S 1＝S 2.∵点P 在双曲线的上方，∴S 3＞12k ，∴S 1＝S 2＜S 3.故选D.方法总结：在反比例函数的图象上任选一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k |2，且保持不变．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第2题【类型三】反比例函数与一次函数的交点问题函数y ＝1－k x的图象与直线y ＝－x 没有交点，那么k 的取值范围是( ) A ．k ＞1 B ．k ＜1C ．k ＞－1D ．k ＜－1解析：直线y ＝－x 经过第二、四象限，要使两个函数没有交点，那么函数y ＝1－k x的图象必须位于第一、三象限，则1－k ＞0，即k ＜1.故选B.方法总结：判断正比例函数y ＝k 1x 和反比例函数y ＝k 2x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k 1与k 2同号时，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝k 2x有2个交点；②当k 1与k 2异号时，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝k 2x没有交点．【类型四】反比例函数与一次函数的综合问题如图，已知A (－4，12)，B (－1，2)是一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝m x(m ＜0)图象的两个交点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D .(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；(2)求一次函数解析式及m 的值；(3)P 是线段AB 上的一点，连接PC ，PD ，若△PCA 和△PDB 的面积相等，求点P 的坐标．解析：(1)观察函数图象得到当－4＜x ＜－1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；(2)先利用待定系数法求出一次函数解析式，然后把A 点或B 点坐标代入y ＝m x可计算出m 的值；(3)设出P 点坐标，利用△PCA 与△PDB 的面积相等列方程求解，从而可确定P 点坐标．解：(1)当－4＜x ＜－1时，一次函数的值大于反比例函数的值；(2)把A (－4，12)，B (－1，2)代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝12，－k ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧k ＝12，b ＝52，所以一次函数解析式为y ＝12x ＋52，把B (－1，2)代入y ＝m x中得m ＝－1×2＝－2； (3)设P 点坐标为(t ，12t ＋52)，∵△PCA 和△PDB 的面积相等，∴12×12×(t ＋4)＝12×1×(2－12t －52)，即得t ＝－52，∴P 点坐标为(－52，54)．方法总结：解决问题的关键是明确反比例函数与一次函数图象的交点坐标所包含的信息．本题也考查了用待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计1．反比例函数中系数k 的几何意义；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．反比例函数与一次函数的交点问题．本节课主要是要注重提高学生分析问题与解决问题的能力．数形结合思想是数学学习的一个重要思想，也是我们学习数学的一个突破口．在教学中要加强这方面的指导，使学生牢固掌握基本知识，提升基本技能，提高数学解题能力.26.2 实际问题与反比例函数第1课时实际问题中的反比例函数1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题；(重点)2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．(难点)一、情境导入小明和小华相约早晨一起骑自行车从A 镇出发前往相距20km 的B 镇游玩，在返回时，小明依旧以原来的速度骑自行车，小华则乘坐公交车返回A 镇．假设两人经过的路程一样，自行车和公交车的速度保持不变，且自行车速度小于公交车速度．你能找出两人返回时间与所乘交通工具速度间的关系吗？二、合作探究探究点：实际问题与反比例函数【类型一】反比例函数在路程问题中的应用王强家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v 米/分，所需时间为t 分钟．(1)速度v 与时间t 之间有怎样的函数关系？(2)若王强到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？(3)如果王强骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？解析：(1)根据速度、时间和路程的关系即可写出函数的关系式；(2)把t ＝15代入函数的解析式，即可求得速度；(3)把v ＝300代入函数解析式，即可求得时间．解：(1)速度v 与时间t 之间是反比例函数关系，由题意可得v ＝3600t； (2)把t ＝15代入函数解析式，得v ＝360015＝240.故他骑车的平均速度是240米/分； (3)把v ＝300代入函数解析式得3600t＝300，解得t ＝12.故他至少需要12分钟到达单位．方法总结：解决问题的关键要掌握路程、速度和时间的关系．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题【类型二】反比例函数在工程问题中的应用在某河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y (天)与每天完成的工程量x (m/天)的函数关系图象如图所示．(1)请根据题意，求y 与x 之间的函数表达式；(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15米，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？(3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内(按30天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少米？解析：(1)将点(24，50)代入反比例函数解析式，即可求得反比例函数的解析式；(2)用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间；(3)工作量除以工作时间即可得到工作效率．解：(1)设y ＝k x .∵点(24，50)在其图象上，∴k ＝24×50＝1200，所求函数表达式为y ＝1200x； (2)由图象可知共需开挖水渠24×50＝1200(m)，2台挖掘机需要工作1200÷(2×15)＝40(天)；(3)1200÷30＝40(m)，故每天至少要完成40m.方法总结：解决问题的关键是掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题【类型三】利用反比例函数解决利润问题某商场出售一批进价为2元的贺卡，在销售中发现此商品的日售价x (元)与销售量y (张)之间有如下关系：(1)猜测并确定y 与x (2)当日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是多少张？(3)设此卡的利润为W 元，试求出W 与x 之间的函数关系式，若物价部门规定此卡的销售单价不能超过10元，试求出当日销售单价为多少元时，每天获得的利润最大并求出最大利润．解析：(1)要确定y 与x 之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x 与y 的乘积是相同的，都是60，所以可知y 与x 成反比例，用待定系数法求解即可；(2)代入x ＝10求得y 的值即可；(3)首先要知道纯利润＝(日销售单价x －2)×日销售数量y ，这样就可以确定W 与x 的函数关系式，然后根据销售单价最高不超过10元，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x .解：(1)从表中数据可知y 与x 成反比例函数关系，设y ＝k x(k 为常数，k ≠0)，把点(3，20)代入得k ＝60，∴y ＝60x； (2)当x ＝10时，y ＝6010＝6，∴日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是6张； (3)∵W ＝(x －2)y ＝60－120x ，又∵x ≤10，∴当x ＝10时，W 取最大值，W 最大＝60－12010＝48(元)．方法总结：本题考查了根据实际问题列反比例函数的关系式及求最大值，解答此类题目的关键是准确理解题意．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题【类型四】反比例函数的综合应用如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y ℃，从加热开始计算的时间为x 分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y 与时间x 成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y 与时间x 成反比例函数关系．已知第12分钟时，材料温度是14℃.(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y 与x 的函数关系式(写出x 的取值范围)；(2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？解析：(1)首先根据题意，材料加热时，温度y 与时间x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例函数关系．将题中数据代入可求得两个函数的关系式；(2)把y ＝12代入y ＝4x ＋4得x ＝2，代入y ＝168x得x ＝14，则对该材料进行特殊处理所用的时间为14－2＝12(分钟)．解：(1)设加热停止后反比例函数表达式为y ＝k 1x ，∵y ＝k 1x过(12，14)，得k 1＝12×14＝168，则y ＝168x ；当y ＝28时，28＝168x，解得x ＝6.设加热过程中一次函数表达式为y ＝k 2x ＋b ，由图象知y ＝k 2x ＋b 过点(0，4)与(6，28)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，6k 2＋b ＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，b ＝4，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋4x （0≤x ≤6），168x（x ＞6）； (2)当y ＝12时，y ＝4x ＋4，解得x ＝2.由y ＝168x，解得x ＝14，所以对该材料进行特殊处理所用的时间为14－2＝12(分钟)．方法总结：现实生活中存在大量成反比例函数关系的两个变量，解答此类问题的关键是首先确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题三、板书设计1．反比例函数在路程问题中的应用；2．反比例函数在工程问题中的应用；3．利用反比例函数解决利润问题；4．反比例函数与一次函数的综合应用．本节课是用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题．将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释“这是什么”，使学生逐步形成考察实际问题的能力．在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想.第2课时其他学科中的反比例函数1．能够从物理等其他学科问题中建构反比例函数模型；(重点)2．从实际问题中寻找变量之间的关系，利用所学知识分析物理等其他学科的问题，建立函数模型解决实际问题．(难点)一、情境导入问题：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成任务．问题思考：(1)请你解释他们这样做的道理；(2)当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S (m 2)的变化，人和木板对地面的压强p (Pa)将如何变化？二、合作探究探究点：反比例函数在其他学科中的应用【类型一】反比例函数与电压、电流和电阻的综合已知某电路的电压U (V)，电流I (A)和电阻R (Ω)三者之间有关系式为U ＝IR ，且电路的电压U 恒为6V.(1)求出电流I 关于电阻R 的函数表达式；(2)如果接入该电路的电阻为25Ω，则通过它的电流是多少？(3)如图，怎样调整电阻箱R 的阻值，可以使电路中的电流I 增大？若电流I ＝0.4A ，求电阻R 的值．解析：(1)根据电流I (A)是电阻R (Ω)的反比例函数，设出I ＝U R(R ≠0)后把U ＝6V 代入求得表达式即可；(2)将R ＝25Ω代入上题求得的函数关系式即可得电流的值；(3)根据两个变量成反比例函数关系确定答案，然后代入0.4A 求得R 的值即可．解：(1)∵某电路的电压U (V)，电流I (A)和电阻R (Ω)三者之间有关系式U ＝IR ，∴I ＝U R，代入U ＝6V 得I ＝6R ，∴电流I 关于电阻R 的函数表达式是I ＝6R； (2)∵当R ＝25Ω时，I ＝625＝0.24A ，∴电路的电阻为25Ω时，通过它的电流是0.24A ； (3)∵I ＝6R，∴电流与电阻成反比例函数关系，∴要使电路中的电流I 增大可以减小电阻．当I ＝0.4A 时，0.4＝6R，解得R ＝15Ω. 方法总结：明确电压、电流和电阻的关系是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题【类型二】反比例函数与气体压强的综合某容器内充满了一定质量的气体，当温度不变时，容器内气体的气压p (kPa)是气体体积V (m 3)的反比例函数，其图象如图所示．(1)求出这个函数的解析式；(2)当容器内的气体体积是0.6m 3时，此时容器内的气压是多少千帕？(3)当容器内的气压大于240kPa 时，容器将爆炸，为了安全起见，容器内气体体积应不小于多少m 3?解析：(1)设出反比例函数关系式，根据图象给出的点确定关系式；(2)把V ＝0.6m 3代入函数关系式，求出p 的值即可；(3)因为当容器内的气压大于240kPa 时，容器将爆炸，可列出不等式求解．解：(1)设这个函数的表达式为p ＝k V .根据图象可知其经过点(2，60)，得60＝k 2，解得k ＝120.则p ＝120V； (2)当V ＝0.6m 3时，p ＝1200.6＝200(kPa)； (3)当p ≤240kPa 时，得120V ≤240，解得V ≥12.所以为了安全起见，容器的体积应不小于12m 3.方法总结：根据反比例函数图象确定函数关系式以及知道变量的值求函数值或知道函数值的范围求自变量的范围是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第5题【类型三】反比例函数与杠杆知识的综合公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”，小明利用此原理，要制作一个杠杆撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200N 和0.5m.(1)动力F 与动力臂l 有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m 时，撬动石头至少要多大的力？(2)若想使动力F 不超过(1)题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？解析：(1)根据“动力×动力臂＝阻力×阻力臂”，可得出F 与l 的函数关系式，将l ＝1.5m 代入可求出F ；(2)根据(1)的答案，可得F ≤200，解出l 的最小值，即可得出动力臂至少要加长多少．解：(1)Fl ＝1200×0.5＝600N ·m ，则F ＝600l .当l ＝1.5m 时，F ＝6001.5＝400N ； (2)由题意得，F ＝600l≤200，解得l ≥3m ，故至少要加长1.5m. 方法总结：明确“动力×动力臂＝阻力×阻力臂”是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型四】反比例函数与功率知识的综合某汽车的输出功率P 为一定值，汽车行驶时的速度v (m/s)与它所受的牵引力F (N)之间的函数关系如下图所示：(1)这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；(2)当它所受牵引力为2400N 时，汽车的速度为多少？(3)如果限定汽车的速度不超过30m/s ，则F 在什么范围内？解析：(1)设v 与F 之间的函数关系式为v ＝P F，把(3000，20)代入即可；(2)当F ＝1200N 时，求出v 即可；(3)计算出v ＝30m/s 时的F 值，F 不小于这个值即可．解：(1)设v 与F 之间的函数关系式为v ＝P F ，把(3000，20)代入v ＝P F，得P ＝60000，∴。

人教版九年级数学下册：26.1.1《反比例函数》教学设计3

人教版九年级数学下册：26.1.1《反比例函数》教学设计3一. 教材分析《人教版九年级数学下册：26.1.1》是九年级数学的重要内容，是学生学习函数知识的最后一部分，也是学生对函数知识的深化和拓展。

本节课主要介绍了反比例函数的定义、性质及其图象。

通过本节课的学习，使学生能理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质，会画反比例函数的图象，为后续学习打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了正比例函数和一次函数，对函数的概念和性质有一定的了解。

但反比例函数与正比例函数和一次函数有很大的不同，学生可能难以理解和接受。

因此，在教学过程中，要注重引导学生通过已学的正比例函数和一次函数的知识来理解和掌握反比例函数的知识。

三. 教学目标1.知识与技能：理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质，会画反比例函数的图象。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，探索反比例函数的性质。

3.情感态度与价值观：培养学生的团队合作意识，激发学生对数学的兴趣。

四. 教学重难点1.重点：反比例函数的概念、性质和图象。

2.难点：反比例函数的性质的理解和应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入反比例函数，使学生能更好地理解和接受。

2.合作学习法：引导学生分组讨论，培养学生的团队合作意识。

3.启发式教学法：引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索反比例函数的性质。

六. 教学准备1.准备反比例函数的生活实例和图片，用于导入和呈现。

2.准备反比例函数的性质和图象的PPT，用于讲解和展示。

3.准备一些反比例函数的练习题，用于巩固和拓展。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入反比例函数的概念，如“汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶1小时，行驶的距离是多少？”引导学生思考，引出反比例函数的概念。

2.呈现（10分钟）利用PPT呈现反比例函数的性质和图象，引导学生观察和分析，通过已学的正比例函数和一次函数的知识来理解和掌握反比例函数的知识。

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