1.1反比例函数
湘教版九年级上册教学设计：1.1 反比例函数
湘教版九年级上册教学设计：1.1反比例函数一. 教材分析湘教版九年级上册的教学内容是反比例函数。
这一部分内容是学生在学习了正比例函数和一次函数的基础上进行的，是进一步深化学生对函数概念的理解的重要环节。
反比例函数是数学中的基本函数之一，它在实际生活中有广泛的应用，如物理学中的速度与时间的关系，经济学中的成本与销售价格的关系等。
通过学习反比例函数，学生可以更好地理解变量之间的关系，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数基础，对正比例函数和一次函数有一定的了解。
但是，反比例函数的概念和性质相对复杂，学生可能难以理解和掌握。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际问题来感受反比例函数的意义，通过例题和练习来加深对反比例函数性质的理解。
三. 教学目标1.理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质。
2.能够运用反比例函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.反比例函数的概念和性质。
2.反比例函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实际问题引导学生探究反比例函数的性质，通过例题和练习来巩固所学知识，通过小组合作和讨论来提高学生的参与度和合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，如速度与时间的关系，成本与销售价格的关系等。
2.准备反比例函数的例题和练习题。
3.准备教学PPT，包括反比例函数的定义，性质，应用等内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出实际问题，如“一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶1小时后，汽车行驶的路程是多少？”引导学生思考，引出反比例函数的概念。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示反比例函数的定义，解释反比例函数的意义，引导学生理解反比例函数的概念。
3.操练（10分钟）通过例题和练习题，让学生动手计算，加深对反比例函数性质的理解。
例如，给出一个反比例函数的表达式，让学生求出函数的图像，并解释图像的性质。
鲁教版九年级第一章反比例函数
九年级_____班姓名__________ 2018年_____月_____日第一章反比例函数“1.1 反比例函数”导学案学习目标：1 理解反比例函数的意义，能根据已知条件确定其表达式；2 积累从实际问题抽象出变量之间的关系并加以表示的经验.教学过程：一、自主学习1 回顾函数的概念：一般地，如果在某个______________中有两个__________，并且对于_____ ______________，变量y都有___________________________，那么我们就称________________。
其中_________________________。
2表示函数的方法有_________、__________________和____________________。
3若_______________________________________________________________________________________，则称y是x的一次函数。
特别地，当b = 0时，称y是x的_________________。
4 汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用时间t(h),随速度v(km/h)的变化而变化. （1）用含v的代数式表示t: ______________________（2）利用（1）的关系式完成下表：随着v的变化，t是如何变化的？（3）时间t是速度v的函数吗？为什么？5 某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m（公顷/人）与全村人口数n之间有怎样的关系？m是n的函数吗？_____________________________6 实数a与b的积为-200，a与b之间的函数关系是_______________________二、新知探究1 交流上述问题的答案，观察列出的函数关系式，它们有什么共同特点？2 仿照一次函数的概念，给出反比例函数的概念，其中自变量x的取值范围是__________；3（1）已知y是x的反比例函数，当 x = 3时，y = -2 ,求y与x的函数关系式.（2）已知函数y＝y1＋y2，y1与x＋1成正比例，y2与x成反比例，且当x ＝1时，y ＝0；当x ＝4时，y ＝9，求当x ＝－1时y的值。
浙教版数学九年级上1.1反比例函数同步练习三
1.1 反比例函数 同步练习一、选择题：（5`×5=25`）1、下列函数中，y 关于x 的反比例函数是：（ ） A. 1)2(=+y x B. 11+=x y C. 21x y = D.xy 21-= 2、如果函数xky =的图象经过（1，－1），则函数2-=kx y 的图象不经过象限是：（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四3、点A （－2，1y ）与B （－1，2y ）都在反比例函数xy 2-=的图象上，则1y 与2y 的大小关系为：（ ）A. 21y y <B. 21y y >C. 21y y =D. 无法确定4、如图，在函数xy 1=的图象上取三点A 、B 、C ，由这三点分别向x 轴、y 轴作垂线，设矩形AA 1OA 2、BB 1OB 2、、CC 1OC 2的面积分别为S A 、S B 、S C ，则下列正确的是：（ ）A. S A ＜S B ＜S CB. S A ＞S B ＞S CC. S A ＝S C ＝S BD. S A ＜S C ＜S B 5、反比例函数xky =和一次函数k kx y -=在同一坐标系中的图象大致是： （ ）二、填空题：（3`×5=15`） 6、若反比例函数mx m y --=)1(的图象经过第二、四象限，则= .7、已知反比例函数xky =的图象经过（－1，3），若点（2，m ）在这个图象上，则m = . 8、如图，点P 为反比例函数xy 2-=上的任意一点，作PC ⊥x 轴于C ，则△POC 的面积为 .三、解答题：（60`）9、已知,正比例函数y ax =图象上的点的横坐标与纵坐标互为相反数,反比例函数ky x=在每一象限内y 随x 的增大而减小,一次函数24y x k a k =-++过点()2,4-.（1）求的值.（2）求一次函数和反比例函数的解析式.10、在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)与电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培。
湘教版数学九年级上册1.1《反比例函数》教学设计
湘教版数学九年级上册1.1《反比例函数》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册1.1《反比例函数》是本册教材的第一节新课，主要介绍了反比例函数的定义、性质及图象。
本节内容是初中学段数学知识的重要组成部分，对于学生来说，掌握反比例函数的知识，对于提高他们的数学素养，培养他们的逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对函数的概念、图象和性质有一定的了解。
但反比例函数作为一种新的函数形式，其定义、性质及图象与正比例函数和二次函数有很大的不同，需要学生进行一定的消化和理解。
同时，学生对于实际问题中反比例函数的运用还不够熟练，需要在教学中加强训练。
三. 教学目标1.理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的性质。
2.能够绘制反比例函数的图象，并能对反比例函数图象进行分析。
3.能够运用反比例函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
四. 教学重难点1.反比例函数的定义及其性质。
2.反比例函数图象的特点及分析方法。
3.反比例函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主探究、合作交流来获取知识。
2.利用多媒体教学手段，展示反比例函数的图象和实际应用问题，增强学生的直观感受。
3.采用案例分析法，对实际问题进行深入剖析，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.多媒体教学课件。
2.反比例函数的相关案例资料。
3.反比例函数的练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾正比例函数和二次函数的相关知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件呈现反比例函数的定义和性质，让学生初步感知反比例函数的概念。
3.操练（15分钟）教师引导学生通过自主探究、合作交流的方式，探讨反比例函数的性质，并通过多媒体课件展示反比例函数的图象，让学生加深对反比例函数的理解。
4.巩固（10分钟）教师通过出示一些实际问题，让学生运用反比例函数的知识进行分析，巩固所学内容。
人教版九年级数学下册全册教案
26.1.1反比例函数的意义教学目标：1.理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别其中的反比例函数.2. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式.3. 能判断一个给定函数是否为反比例函数.通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体会和认识反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型；进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点.教学重点：反比例函数的概念教学难点：例1涉及较多的《科学》学科的知识，学生理解问题时有一定的难度。
教学方法：类比启发教学辅助：多媒体投影片教学过程：一、创设情景探究问题随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？情境1：当路程一定时，速度与时间成什么关系？（s＝vt）当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系?［备注］这个情境是学生熟悉的例子，当中的关系式学生都列得出来，鼓励学生积极思考、讨论、合作、交流，最终让学生讨论出：当两个量的积是一个定值时，这两个量成反比例关系，如xy＝m（m为一个定值），则x与y成反比例。
这一情境为后面学习反比例函数概念作铺垫。
情境2：汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用时间t（h）随速度v（km/h）的变化而变化.问题：（1）你能用含有v的代数式表示t吗？（2）利用（1）的关系式完成下表：2（3）速度v是时间t的函数吗？为什么？［备注］（1）引导学生观察、讨论路程、速度、时间这三个量之间的关系，得出关系式s＝vt，指导学生用这个关系式的变式来完成问题（1）.（2）引导学生观察、讨论，并运用（1）中的关系式填表，并观察变化的趋势，引导学生用语言描述.3）结合函数的概念，特别强调唯一性，引导讨论问题（3）.情境3：用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系：（1）一个面积为6400m2的长方形的长a（m）随宽b（m）的变化而变化；（2）实数m与n的积为－200，m随n的变化而变化.问题：（1）这些函数关系式与我们以前学习的一次函数、正比例函数关系式有什么不同？（2）它们有一些什么特征？（3）你能归纳出反比例函数的概念吗？一般地，形如y＝kx(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数.反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.全册每单元每课时 3［备注］这个情境先引导学生审题列出函数关系式，使之与我们以前所学的一次函数、正比例函数的关系式进行类比，找出不同点，进而发现特征为：(1)自变量x位于分母，且其次数是1.(2)常量k≠0.(3)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数.(4)函数值y的取值范围是非零实数.并引导归纳出反比例函数的概念，紧抓概念中的关键词，使学生对知识认知有系统性、完整性，并在概念揭示后强调反比例函数也可表示为y＝kx－1(k为常数，k≠0)的形式，并结合旧知验证其正确性.二、例题教学练习：1：下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？(1)y＝x15；(2)y＝2x－1；(3)y＝－3x；通过这个例题使学生进一步认识反比例函数概念的本质，提高辨别的能力.练习：2：在函数y＝2x－1，y＝2x+1，y＝x－1，y＝12x中，y是x的反比例函数的有个.全册每单元每课时 4［备注］这个练习也是引导学生从反比例函数概念入手，着重从形式上进行比较，识别一些反比例函数的变式,如y＝kx－1的形式. 还有y＝2x－1通分为y＝2－xx，y、x都是变量，分子不是常量，故不是反比例函数，但变为y＋1＝2x可说成（y＋1）与x成反比例.练习3：若y与x成反比例，且x＝－3时，y＝7，则y与x的函数关系式为.［说明］这个练习引导学生观察、讨论，并回顾以前求一次函数关系式时所用的方法，初步感知用“待定系数法”来求比例系数，并引导学生归纳求反比例函数关系式的一般方法，即只需已知一组对应值即可求比例系数.例题：第5页例1三、拓展练习1、写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数. 如果是，指出比例系数k的值.（1）底边为5cm的三角形的面积y（cm2）随底边上的高x（cm）的变化而变化；（2）某村有耕地面积200ha，人均占有耕地面积y（ha）随人口数量x（人）的变化而变化；（3）一个物体重120N，物体对地面的压强p（N/m2）随该物体与地面的接触面积S（m2）的变化而变化.全册每单元每课时 52、已知函数y＝（m＋1）x22 m是反比例函数，则m的值为.［备注］引导学生分析、讨论，列出函数关系式，并检验是否是反比例函数，指出比例系数.四、课堂小结这节课你学到了什么？还有那些困惑？五、布置作业：作业本（1）板书设计：概念：例1解：练习练习全册每单元每课时 6教学反思：本节课学生对有关概念都很好的落实，亮点在于练习设计有梯度，学生认识清楚。
九年级(初三)上册数学作业本答案浙教版
九年级(初三)上册数学作业本答案浙教版第一章反比例函数【1.1(1)】1.否，是，是，是，否;/，3，1/2，-π，/2.x≠0的全体实数，1/4，-13.答案不唯一.如函数解析式为y=12/x，此时有(1)3 (2)3/2 (3)-3/24.(1)v=240/t (2)当t=3.2h时，v=75km/h5.(1)S=600/x (2)a=300/b6.(1)a=16/h，h取大于0的全体实数(2)上、下底的和为8cm，腰AB=CD=2√2cm，梯形的周长为(8+4√2)cm【1.1(2)】1.-122.y=10/x，x≠0的全体实数3.y=-√6/x.当x=√6时，y=-14.(1)y=2z，z=-3/x(2)x=-3/5，y=10(3)y=-6/x，是5.(1)D=100/S(2)150度6.(1)y=48/x，是，比例系数48的实际意义是该组矩形的面积都为48cm(2)设矩形的一边长是a(cm)，则另一边长是3a(cm).将x=a，y=3a代入y=48/x，可得a=4，故该矩形的周长是2(a+3a)=32(cm)【1.2(1)】1.y=-√2/x2.B3.(1)表略(2)图略4.(1)y=4/x(2)图略5.(1)反比例函数的解析式为y=8/x，一个交点的坐标为(2，4)，另一个交点的坐标为(-2，-4)6.根据题意得{3m-1>0，1-m>0，解得1/3。
新湘教版九年级上册数学教案
第一章 反比例函数探究内容：1.1 建立反比例函数模型（1）目标设计：1、引导学生从具体问题中探索出数量关系和变化规律，抽象出反比例函数的概念；2、理解反比例函数的概念和意义；3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：对反比例函数概念的理解 探究准备：投影片等。
探究过程： 一、旧知回顾： 1、函数的概念：一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。
2、一次函数的概念： 一般地，如果y kx b =+（k 、b 是常数，0k ≠）那么y 叫做x 的一次函数。
如：31y x =-，… 当0b =时，有y kx =（k 为常数，0k ≠）则y 叫做x 的正比例函数。
如：12y x =-，4y x =，…二、新知探究：类似地，有反比例函数： 1、概念：一般地，如果两个变量y 与x 的关系可以表示成ky x=（k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。
2、强调：①自变量在分母中，指数为1，且0x ≠；②也可以写成1y kx -=的形式，此时自变量x 的指数1-； ③自变量x 的取值为0x ≠的一切实数；④由于0k ≠，0x ≠，因此函数值y 也不等于0。
例题讲评：1、下列函数中，x 均表示自变量，那么哪些是反比例函数，并指出每一个反比例函数中相应的k 值。
⑴5y x =⑵20.4y x=- ⑶2x y =- ⑷2xy =分析： ⑴5y x=是反比例函数，5k =； ⑵20.4y x =-不是反比例函数； ⑶2xy =-是正比例函数；⑷2xy =，即2y x=，是反比例函数，2k =。
2、若函数()272mm y m x +-=-是反比例函数，求出m 的值并写出解析式。
分析：由题有：20m -≠且271m m ++=-，解得3m =- ∴解析式为15y x -=-，即5y x=-3、已知反比例函数的图象经过点（-1，2），求其解析式。
湘教版九年级上册数学教案(全册)【精编】
第1章反比例函数1.1 反比例函数教学目标【知识与技能】理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式.【过程与方法】经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力.【情感态度】培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值.【教学重点】理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式.【教学难点】能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想.教学过程一、情景导入，初步认知1．复习小学已学过的反比例关系，例如：(1)当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt=s(s是常数)(2)当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab＝S(S是常数)2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U＝IR，当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗？【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础.二、思考探究，获取新知探究1：反比例函数的概念（1）一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时，各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系？并写出它们之间的关系式.（2）利用（1）的关系式完成下表：（3）随着时间t的变化，平均速度v发生了怎样的变化？（4）平均速度v是所用时间t的函数吗？为什么？（5）观察上述函数解析式，与前面学的一次函数有什么不同？这种函数有什么特点？【归纳结论】一般地，如果两个变量x,y之间可以表示成y=kx（k为常数且k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量，常数k称为反比例函数的比例系数.【教学说明】先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式．探究2：反比例函数的自变量的取值范围思考：在上面的问题中，对于反比例函数v=3000/t，其中自变量t可以取哪些值呢？分析：反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数，但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t代表的是时间，且时间不能为负数，所有t的取值范围为t>0.【教学说明】教师组织学生讨论，提问学生，师生互动．三、运用新知，深化理解1.见教材P3例题.2.下列函数关系中，哪些是反比例函数？(1)已知平行四边形的面积是12cm2，它的一边是acm，这边上的高是hcm，则a与h的函数关系；(2)压强p一定时，压力F与受力面积S的关系；(3)功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系．(4)某乡粮食总产量为m吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式．分析：确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=kx(k是常数，k≠0)．所以此题必须先写出函数解析式，后解答．解：(1)a=12/h，是反比例函数；(2)F＝pS，是正比例函数；(3)F=W/s ，是反比例函数； (4)y=m/x ，是反比例函数． 3.当m 为何值时，函数y=224m x －是反比例函数，并求出其函数解析式．分析：由反比例函数的定义易求出m 的值．解：由反比例函数的定义可知：2m －2＝1，m=3/2．所以反比例函数的解析式为y=4x． 4.当质量一定时，二氧化碳的体积V 与密度ρ成反比例.且V=5m 3时，ρ=1．98kg ／m 3 （1）求p 与V 的函数关系式，并指出自变量的取值范围. （2）求V=9m 3时，二氧化碳的密度. 解：略5.已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 2成反比例，且x ＝2与x ＝3时，y 的值都等于19．求y 与x 间的函数关系式．分析：y1与x 成正比例，则y1＝k1x ，y2与x2成反比例，则y2=k2x2，又由y ＝y1＋y2，可知，y=k1x+k2x2，只要求出k1和k2即可求出y 与x 间的函数关系式．解：因为y 1与x 成正比例，所以y 1＝k 1x ；因为y 2与x 2成反比例，所以y 2=22k x ，而y ＝y 1＋y 2，所以y=k 1x+22k x，当x ＝2与x ＝3时，y 的值都等于19．【教学说明】加深对反比例函数概念的理解，及掌握如何求反比例函数的解析式. 四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题1.1”中第1、3、5题.教学反思学生对于反比例函数的概念理解的都很好，但在求函数解析式时，解题不够灵活，如解答第5题时，不知如何设未知数.在这方面应多加练习.1.2 反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数的图象与性质（1）教学目标【知识与技能】1.会用描点法画反比例函数图象；2.理解反比例函数的性质.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】通过对反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质.【教学重点】画反比例函数的图象，理解反比例函数的性质.【教学难点】理解反比例函数的性质，并能灵活应用.教学过程一、情景导入，初步认知你还记得一次函数的图象吗?一次函数的图象怎样画呢？一次函数有什么性质呢？反比例函数的图象又会是什么样子呢?【教学说明】在回忆与交流中，进一步认识函数，图象的直观有助于理解函数的性质.二、思考探究，获取新知探究1：反比例函数图象的画法画出反比例函数y=6x的图象．分析∶画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.(1)列表：取自变量x的哪些值?x是不为零的任何实数，所以不能取x的值为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值.(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出各点(－6,－1)、(－3,－2)、(－2,－3)等．（3）连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．思考：（1）观察上图，y 轴右边的各点，当横坐标x 逐渐增大时，纵坐标y 如何变化？y 轴左边的各点是否也有相同的规律？（2）这两条曲线会与x 轴、y 轴相交吗？为什么？探究2：反比例函数所在的象限画出函数y=3x的图形，并思考下列问题：（1）函数图形的两个分支分别位于哪些象限？（2）在每一象限内，函数值y 随自变量x 的变化是如何变化的？ 【归纳结论】一般地，当k>0时，反比例函数y=kx的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成，它们与x 轴、y 轴都不相交，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小.探究3：反比例函数y=－6x的图象．可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动： (1)可以用画反比例函数y=－6x的图象的方式与步骤进行自主探索其图象； (2)可以通过探索函数y=6x 与y=－6x 之间的关系，画出y=－6x的图象． 【归纳结论】一般地，当k<0时，反比例函数y=kx的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与x 轴、y 轴都不相交，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大.探究4：反比例函数的性质反比例函数y=－6x与y=6x的图象有什么共同特征?【教学说明】引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征．【归纳结论】反比例函数y=kx(k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当k>0时，图象在一、三象限；当k<0时，图象在二、四象限.反比例函数y=kx与y=-kx(k≠0)的图象关于x轴或y轴对称.【教学说明】学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤.观察函数图象，掌握反比例函数的性质.三、运用新知，深化理解1.教材P9例1.2.如果函数y＝2x k＋1的图象是双曲线，那么k＝．【答案】 -23.如果反比例函数y=3kx－的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数k的值是．【答案】 1，24.已知直线y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，则函数y=kbx的图象在第象限．【答案】二、四5.反比例函数y=1x的图象大致是图中的( )．解析：因为k=1>0，所以双曲线的两支分别位于第一、三象限. 【答案】 C6.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( )【答案】 C7.已知函数23()2m y m x －－为反比例函数． (1)求m 的值；(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y 随x 的增大如何变化？ (3)当－3≤x ≤－12时，求此函数的最大值和最小值．8.作出反比例函数y=12x的图象，并根据图象解答下列问题： (1)当x ＝4时，求y 的值； (2)当y ＝－2时，求x 的值； (3)当y ＞2时，求x 的范围． 解：列表：由图知： (1)y ＝3； (2)x ＝－6； (3)0＜x ＜69.作出反比例函数y=－4x的图象，结合图象回答： （1)当x ＝2时，y 的值；(2)当1＜x ≤4时，y 的取值范围； (3)当1≤y ＜4时，x 的取值范围． 解：列表：由图知：(1)y＝－2；(2)－4＜y≤－1；(3)－4≤x＜－1．【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题，在研究每一题时，要紧扣性质进行分析，达到理解性质的目的.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业∶教材“习题1.2”中第1、2、4题.教学反思通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质，并掌握了用描点法画函数图象的方法.同时也为后面的学习奠定基础.从练习上来看，学生掌握的不够好，应多加练习.第2课时反比例函数的图象与性质（2）教学目标【知识与技能】1.会求反比例函数的解析式；2.巩固反比例函数图象和性质，通过对图象的分析，进一步探究反比例函数的增减性.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力.【情感态度】提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.【教学重点】会求反比例函数的解析式.【教学难点】反比例函数图象和性质的运用.教学过程一、情景导入，初步认知1.反比例函数有哪些性质？2.我们学会了根据函数解析式画函数图象，那么你能根据一些条件求反比例函数的解析式吗？【教学说明】复习上节课的内容，同时引入新课.二、思考探究，获取新知1.思考：已知反比例函数y=kx的图象经过点P（2,4）（1）求k的值，并写出该函数的表达式；（2）判断点A（-2，-4），B(3,5)是否在这个函数的图象上；（3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大如何变化？分析：(1)题中已知图象经过点P（2，4），即表明把P点坐标代入解析式成立，这样能求出k，解析式也就确定了.(2)要判断A、B是否在这条函数图象上，就是把A、B的坐标代入函数解析式中，如能使解析式成立，则这个点就在函数图象上.否则不在.(3)根据k的正负性，利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y随x的值的变化情况.【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.2.下图是反比例函数y=kx的图象，根据图象，回答下列问题：（1）k的取值范围是k>0还是k<0？说明理由；（2）如果点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小.分析：（1）由图象可知，反比例函数y=kx的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，因此，k>0.(2)因为点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点且-3<0，-2<0.所以点A、B都位于第三象限，又因为-3<-2，由反比例函数的图像的性质可知：y1>y2.【教学说明】通过观察图象，使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方法.三、运用新知，深化理解1.若点A(7，y1)，B(5，y2)在双曲线y=－3x上，则y1、y2中较小的是．【答案】 y22.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y=kx(k＞0)的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有( )．A.y1＜0＜y2B.y2＜0＜y1C.y1＜y2＜0 D.y2＜y1＜0【答案】 A3.若A(a1，b1)，B(a2，b2)是反比例函数图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是( )A.b1＜b2B.b1=b2C.b1＞b2D.大小不确定【答案】 D4.函数y=-1x的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若0＜x1＜x2，则( )A.y1＜y2B.y1＞y2C.y1=y2D.y1、y2的大小不确定【答案】 A5.已知点P(2，2)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，(1)当x=-3时，求y的值；(2)当1＜x＜3时，求y的取值范围．6.已知y=kx(k ≠0，k 为常数)过三个点A(2，-8)，B(4，b)，C(a ，2)． (1)求反比例函数的表达式； (2)求a 与b 的值． 解：（1）将A （2，-8）代入反比例解析式得：k=-16，则反比例解析式为y=-16x； （2）将B （4，b ）代入反比例解析式得：b=-4；将C （a ，2）代入反比例解析式得：2=-16a，即a=-8.7.已知反比例函数的图象过点(1,－2)． (1)求这个函数的解析式，并画出图象；(2)若点A(－5,m)在图象上，则点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？ 分析：(1)反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x ＝1时，y ＝－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；(2)由点A 在反比例函数的图象上，易求出m 的值，再验证点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．解：(1)设：反比例函数的解析式为：y=kx(k ≠0)．而反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x ＝1时，y ＝－2．所以－2=1k ，k ＝－2．即反比例函数的解析式为：y=－2x．(2)点A(－5,m)在反比例函数y=－2x图象上，所以m=25-- =25 ，点A 的坐标为(－5,25)．点A 关于x 轴的对称点(－5,－25)不在这个图象上；点A 关于y 轴的对称点(5, 25)不在这个图象上；点A 关于原点的对称点(5,－25)在这个图象上； 【教学说明】通过练习，巩固本节课数学内容. 四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第7题.教学反思教学中，我深深地体会到：要想让学生真正掌握求函数解析式的方法，教师应在给出相应的典型例题的条件下，让学生自己去寻找答案，自己去发现规律.最后，教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围，以及一般应告知的条件.在信息社会飞速发展的今天，教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来，教会学生如何学，让学生自己去探究，自己去学习，去获取知识.在《中学数学课程标准》中明确规定：教师不仅是学生的引导者，也是学生的合作者.教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题、难题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，才能真正做到教学相长，也才能真正让每一个学生都学有所获.第3课时反比例函数的图象与性质（3）教学目标【知识与技能】1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题；2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题．【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力.【情感态度】能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图（象）、识图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.【教学重点】理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题.【教学难点】学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质.教学过程一、情景导入，初步认知1.正比例函数有哪些性质？2.一次函数有哪些性质？3.反比例函数有哪些性质？【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解.二、思考探究，获取新知1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P（-3,4），试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解：设正比例函数，反比例函数的表达式分别为y=k1x,y= 2kx,其中，k1,k2是常数，且均不为0.由于这两个函数的图象交于P（-3,4），则P（-3,4）是这两个函数图象上的点，即点P的坐标分别满足这两个表达式.因此，4=k1×(-3),4=23k－解得，k1=43- k2=-12所以，正比例函数解析式为y=43-x,反比例函数解析式为y=-12x.函数图象如下图.【教学说明】通过图象，让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函数y=6x的图象上取两点Ｐ（1，6），Ｑ（6，1），过点Ｐ分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1= ；过点Ｑ分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2= ；S1与S2有什么关系？为什么？【归纳结论】反比例函数y=kx（k≠0）中比例系数k的几何意义：过双曲线y=kx（k≠0）上任意一点引x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力．三、运用新知，深化理解1.已知如图，A 是反比例函数y=kx 的图象上的一点，AB 丄x 轴于点B ，且△ABO 的面积是3，则k 的值是( )A.3B.-3C.6D.-6分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值，即S ＝12|k|． 解：根据题意可知：S △AOB ＝12|k|＝3，又反比例函数的图象位于第一象限，k ＞0，则k ＝6．【答案】 C 2.反比例函数y=6x 与y=2x在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积为( )A. 12B.2C.3D.1分析：分别过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，过B 作BC ⊥y 轴，点C 为垂足，再根据反比例函数系数k 的几何意义分别求出四边形OEAC 、△AOE 、△BOC 的面积，进而可得出结论．解：分别过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，过B 作BC ⊥y 轴，点C 为垂足，∵由反比例函数系数k 的几何意义可知，S 四边形OEAC =6，S △AOE =3， S △BOC =1，∴S △AOB =S 四边形OEAC -S △AOE -S △BOC =6-3-1=2．【答案】 B3.已知直线y ＝x ＋b 经过点A(3,0)，并与双曲线y=kx的交点为B(－2，m)和C ，求k 、b 的值．解：点A(3,0)在直线y ＝x ＋b 上，所以0＝3＋b ，b ＝－3．一次函数的解析式为：y ＝x －3．又因为点B(－2，m)也在直线y ＝x －3上，所以m ＝－2－3＝－5，即B(－2,－5)．而点B(－2,－5)又在反比例函数y=kx上，所以k ＝－2×(－5)＝10． 4.已知反比例函数y=1k x的图象与一次函数y ＝k 2x －1的图象交于A(2,1)． (1)分别求出这两个函数的解析式；(2)试判断A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系．分析:(1)因为点A 在反比例函数和一次函数的图象上，把A 点的坐标代入这两个解析式即可求出k 1、k 2的值．(2)把点A 关于坐标原点的对称点A ′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A ′是否在这两个函数图象上．解：(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以k1＝2×1＝2．1＝2k2－1，k2＝1．所以反比例函数的解析式为：y=2x；一次函数解析式为：y＝x－1．(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A′(－2,－1)．把A′点的横坐标代入反比例函数解析式得，y=22=－1，所以点A在反比例函数图象上．把A′点的横坐标代入一次函数解析式得，y＝－2－1＝－3，所以点A′不在一次函数图象上．5.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(0,1)和点B(a,－3a),a＜0，且点B在反比例函数的y=－3x的图象上．(1)求a的值．(2)求一次函数的解析式，并画出它的图象．(3)利用画出的图象，求当这个一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的取值范围．(4)如果P(m,y1)、Q(m＋1,y2)是这个一次函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小．分析：(1)由于点A、点B在一次函数图象上，点B在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出k、b和a的值．(2)由 (1)求出的k、b、a的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象．(3)和 (4)都是利用函数的图象进行解题．一次函数和反比例函数的图象为：(3)从图象上可知，当一次函数y 的值在－1≤y ≤3范围内时，相应的x 的值为：－1≤x ≤1．(4)从图象可知，y 随x 的增大而减小，又m ＋1＞m ，所以y 1＞y 2.或解：当x 1＝m 时，y 1＝－2m ＋1；当x 2＝m ＋1时，y 2＝－2×(m ＋1)＋1＝－2m －1所以y 1－y 2＝(－2m ＋1)－(－2m －1)＝2＞0，即y 1＞y2.6.如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y=mx的图象交于A 、B 两点． (1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x 的取值范围．分析:(1)把A 、B 两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式． (2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标．【教学说明】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，以基础题为主，也有少量综合问题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题1.2”中第6题.通过本节课的学习，发现了一些问题，因此必须强调：教学反思1．综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往用待定系数法．2．观察图象，把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题．1.3反比例函数的应用教学目标【知识与技能】经历通过实验获得数据，然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程，体会建模思想.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】体验数形结合的思想.【教学重点】建立反比例函数的模型，进而解决实际问题.【教学难点】经历探索的过程，培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.教学过程一、情景导入，初步认知复习回顾1.什么是反比例函数？2.反比例函数的图象是什么？3.反比例函数图象有哪些性质?4.反比例函数的图象对称性如何？【教学说明】通过提出问题,引发学生思考,培养学生解决问题的能力.二、思考探究，获取新知1.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗？(1)根据压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系式p=FS，请你判断：当F一定时，p是S的反比例函数吗？(2)如人对地面的压力F=450N，完成下表：（3）当F=450N时，试画出该函数的图象，并结合图象分析当受力面积S增大时，地面所受压强p是如何变化的，据此，请说出它们铺垫木板通过湿地的道理.解：（1）对于p=FS，当F一定时，根据反比例函数的定义可知，p是S的反比例函数.（2）因为F=450N，所以当S=0.005m2时，由p=FS得：p=450/0.005=90000（Pa)类似的，当S=0.01m2时，p=45000Pa；当S=0.02m2时，p=22500Pa；当S=0.04m2时，p=11250Pa(3)当F=450N时，该反比例函数的表达式为p=450/S,它的图象如下图所示，由图象的性质可知，当受力面积S增大时，地面所受压强p会越来越小，因此，该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积.以减小地面所受压强，从而可以顺利地通过湿地.2.你能根据玻意耳定律（在温度不变的情况下，气体的压强p与它的体积V的乘积是一个常数K(K>0),即pV=K)来解释：为什么使劲踩气球时，气体会爆炸？【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力，提高感知水平；此外，在解决实际问题时，要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用.三、运用新知，深化理解1.教材P15例题.2.一个水池装水12m3，如果从水管中每小时流出xm3的水，经过yh可以把水放完，那么y 与x的函数关系式是，自变量x的取值范围是．【答案】y=12x；x＞03.若梯形的下底长为x，上底长为下底长的13，高为y，面积为60，则y与x的函数关系是 (不考虑x的取值范围)．【答案】y=90 x4.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示．设矩形的宽为xcm，长为ycm，那么这些同学所制作的矩形的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是( )【答案】A5.下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是( )A.小明完成百米赛跑时，所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系B.长方形的面积为24，它的长y与宽x之间的关系C.压力为600N时，压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系D.一个容积为25L的容器中，所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系【答案】D6.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映y与x之间的关系的式子是( )．A.y＝3000xB.y＝6000xC.y=3000xD.y=6000x【答案】D7.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是( )。
鲁教版九年级数学上册-第1章-反比例函数-1.1-反比例函数-课件(共20张PPT)
5．已知一个面积为 60 的平行四边形，设它的其中一边长为 x，这边上的高为 y，试写出 y 与 x 之间的函
数表达式，并判断它是什么函数．
y＝6x0(x＞0)
新知讲授
会根据实际问题列反比例函数表达式
例 5 教材补充例题 王师傅家离工厂 1000 m，每天王师傅往返 在两地之间，有时步行，有时骑自行车．假设王师傅每天上班时的 平均速度为 v(m/min)，所用的时间为 t(min)．
(1)求变量 v 和 t 之间的函数表达式； (2)星期二他步行上班用了 25 min，星期三他骑自行车上班用了 8 min，那么他星期三上班时的平均速度比星期二快多少？
总结反思
一知般识点地一，如反果比两例个函数变的量概y念与x的关系可以表示成___y＝__kx__(k_为_常__数_，_k_≠_0)___ 的形式，那么称y是x的反比例函数．
知识点二 利用待定系数法求反比例函数的表达式
反比例函数的表达式 y＝k(k≠0)中，只有一个待定系数 k，确定 x
了 k 的值，也就确定了反比例函数的表达式，因而一般只需给出 一组 x，y 的对应值，代入 y＝k中即可求出 k 的值，从而确定反
2A．．函y＝数xy＋3＝1－4xB的．比y＝例2系x数是C．( By＝)2x
D．y＝x 2
A．4 B．－4 C.14 D．－14
3．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80 千米/时的平均速度行驶，结果用了 4 个小时到达乙地，
当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v(千米/时)与时间 t(时)的函数关系式是( B )
举一反三
练习 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x＝8 时，y＝-3. (1)写出 y 与 x 之间的函数表达式； (2)求当 x＝4 时 y 的值．
鲁教版数学九年级上册1.1《反比例函数》教学设计
鲁教版数学九年级上册1.1《反比例函数》教学设计一. 教材分析《反比例函数》是鲁教版数学九年级上册的教学内容，这部分内容是在学生已经掌握了函数的基本概念和一次函数、二次函数的基础上进行教学的。
通过学习反比例函数，让学生了解反比例函数的定义、性质及其应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对于函数的基本概念和一次函数、二次函数有一定的了解。
但是，对于反比例函数的理解可能会有一定的难度，因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索反比例函数的性质，提高学生分析问题、解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握反比例函数的定义、性质，能够运用反比例函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的观察能力、动手能力、思考能力、交流能力。
3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极向上的学习态度，使学生感受到数学与生活息息相关，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：反比例函数的定义、性质及其应用。
2.难点：反比例函数性质的探究和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入反比例函数，让学生感受数学与生活的紧密联系。
2.引导发现法：引导学生观察、操作、思考、交流，自主探索反比例函数的性质。
3.实践操作法：让学生通过动手实践，加深对反比例函数性质的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作反比例函数的教学课件，包括反比例函数的定义、性质、应用等方面的内容。
2.教学素材：准备一些与反比例函数相关的实际问题，作为课堂练习和家庭作业。
3.学具：为学生准备一些反比例函数的模型或图示，帮助学生直观地理解反比例函数。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如商场打折、比例尺等，引导学生回顾一次函数和二次函数的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）介绍反比例函数的定义，引导学生观察反比例函数的图象和性质，让学生初步认识反比例函数。
初中数学湘教版九年级上册《1.1反比例函数》教学设计
新湘教版数学九年级上 1.1 反比例函数教学设计∵路程=速度×时间 ∴vt =100或t=100v.可以发现：v 和t 的积为100，v 和t 成反比例。
2.小明想要在家门前草原上围一个面积约为15平方米的矩形羊圈，那么羊圈的长y （单位：m ）和宽x （单位：m ）之间有着什么样的关系呢？ 当面积 S=15m 2 时，长y (m)与宽x (m)的关系是： ∵面积=长×宽 ∴ xy =15或y=15x可以发现：x 和y 的积为15，x 和y 成反比例。
3.一群选手在进行全程为3000m 的赛马比赛时，各选手的平均速度与所用时间之间有怎样的关系？ （1）写出它们之间的关系式.∵路程=速度×时间，∴速度=路程时间，即v=3000t可以发现：路程一定，速度和时间成反比例。
（2）利用（1）的关系式完成下表：v 随着t 的增大而变小，随着t 的减小而变大. 观察t=100v， y=15x ， v=3000t我们可以发现：● 都有两个变量； ● 变量成函数关系； ● 两变量之积≠0，成反比例.解：∵菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，∴S菱形=12xy=180，∴x y = 360，即y与x成反比例关系.∴y＝360x.∴当菱形的面积一定时,它的一条对角线长y是另一条对角线长x的反比例函数.【例3】已知y 是关于x 的反比例函数，当x =0.3时，y = －6. 求y 关于x 的函数表达式和自变量x的取值范围.解：∵y 是关于x 的反比例函数，∴可设y=kx( k 为常数，k ≠0).将x =0.3，y = －6代入y =kx ，得−6=k0.3解得k =-1.8.∴所求的函数表达式为y =−1.8x；自变量x 的取值范围为x ≠0的全体实数.从例子中，我们可以发现：对于求反比例函数表达式1.方法：待定系数法2.具体步骤：（1）设：设反比例函数的表达式为y＝kx（k≠0）；（2）列：把已知的x与y的一对对应值代入y＝kx，得到关于k的方程；（3）解：解方程，求出k的值；（4）代：将k的值代入所设表达式中，即得到所求反比例函数的表达式．【做一做】已知：y 是关于x 的反比例函数，当x =-。
26.1.1 反比例函数课件(共22张PPT)
例如:
①y-1与x+1成反比例，则y-1= k ; x和y不是反比例函数
②若y与x2成反比例，则y=
k x2
x1
成反比例关系，x和y不是反比例函数
③反比例函数y= k (k≠0) 必成反比例关系
x
26.1.1 反比例函数
(5) y k (k为常数) 6 xy 123 x 解：(5)k可能为0，不是反比例函数
x1
26.1.1 反比例函数
课堂小结
形如y k （k为常数，k ≠ 0） x ，y均不等于0．
概念
x
其他形式：1. xy = k ； 2. y = kx-1；3. y k
反 比
( k 为常数，k ≠ 0)
x
例
x, y可以表示单独字母，
函
x与y成反比例 多项式或单项式
数 成反比例与反
比例函数的区别
7 y - 2 8 y 6
3x
x1
解：(6)是反比例函数，可化为 y
123 x
，自变量x≠0，因变量y≠0
2
解：(7)是反比例函数，可化为 y 3 ，自变量x≠0，因变量y≠0
x
解：(8)不是反比例函数
26.1.1 反比例函数
试一试
根据上面的练习，你能帮小唯唯总结一下反比例函数有哪些形式吗？
一般形式
(
k2
≠
0
)，
则
y
k1
x
1
k2 x
1
.
∵ x = 0 时，y = -3；x = 1 时，y = -1，
∴ -3= -k1+k2
1
1 2
k2
∴k1 = 1，k2 = -2.
九年级数学下册 课题 1.1反比例函数教案(1) 湘教版【教案】
课题：1.1 反比例函数教学目标：1. 理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别其中的反比例函数.2. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式.3. 能判断一个给定函数是否为反比例函数.通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体会和认识反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型；进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点.教学重点：反比例函数的概念教学难点：反比例函数的概念，学生理解时有一定的难度。
教学过程：知识回顾：什么是函数？一次函数？正比例函数？一、创设情景探究问题情境1：当路程一定时，速度与时间成什么关系？（ vt＝s）当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系?［说明］这个情境是学生熟悉的例子，当中的关系式学生都列得出来，鼓励学生积极思考、讨论、合作、交流，最终让学生讨论出：当两个量的积是一个定值时，这两个量成反比例关系，如xy＝m（m为一个定值），则x与y成反比例。
(小学知识)这一情境为后面学习反比例函数概念作铺垫。
情境2：汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用时间t（h）随速度v（km/h）的变化而变化.问题：（1）你能用含有v的代数式表示t吗？（2）利用（1）的关系式完成下表：随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？v(km/h) 60 80 90 100 120t（h）（3）速度v是时间t的函数吗？为什么？［说明］（1）引导学生观察、讨论路程、速度、时间这三个量之间的关系，得出关系式s＝vt，指导学生用这个关系式的变式来完成问题（1）.（2）引导学生观察、讨论，并运用（1）中的关系式填表，并观察变化的趋势，引导学生用语言描述.3）结合函数的概念，特别强调唯一性，引导讨论问题（3）.情境3：用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系：（1）一个面积为6400m2的长方形的长a（m）随宽b（m）的变化而变化；（2）某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y （万元）随还款年限x（年）的变化而变化；（3）游泳池的容积为5000m 3，向池内注水，注满水所需时间t （h ）随注水速度v （m 3/h ）的变化而变化；（4）实数m 与n 的积为－200，m 随n 的变化而变化.问题：（1）这些函数关系式与我们以前学习的一次函数、正比例函数关系式有什么不同？（2）它们有一些什么特征？（3）你能归纳出反比例函数的概念吗？一般地，如果两个变量y 与x 的关系可以表示成y ＝k x(k 为常数，k ≠0) 的形式，那么称y 是x 的反比例函数，其中x 是自变量，y 是因变量，y 是x 的函数，k是比例系数. （有的书上写成y ＝kx －1的形式.）反比例函数的自变量x 的取值范围是所有非零实数（不等于0的一切实数）（为什么？），但在实际问题中，还要根据具体情况来进一步确定该反比例函数的自变量的取值范围。
湘教版九年级上册数学教案(全册)
湘教版九年级上册数学教案(全册)第1章反比例函数1.1 反比例函数教学目标【知识与技能】理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式.【过程与方法】经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力.【情感态度】培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值.【教学重点】理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式.【教学难点】能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想.教学过程一、情景导入，初步认知1．复习小学已学过的反比例关系，例如：(1)当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt=s(s是常数)(2)当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab＝S(S是常数)2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U＝IR，当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗？【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础.二、思考探究，获取新知探究1：反比例函数的概念（1）一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时，各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系？并写出它们之间的关系式.（2）利用（1）的关系式完成下表：（3）随着时间t 的变化，平均速度v 发生了怎样的变化？ （4）平均速度v 是所用时间t 的函数吗？为什么？（5）观察上述函数解析式，与前面学的一次函数有什么不同？这种函数有什么特点？【归纳结论】一般地，如果两个变量x,y 之间可以表示成y=kx（k 为常数且k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数.其中x 是自变量，常数k 称为反比例函数的比例系数.【教学说明】先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式．探究2：反比例函数的自变量的取值范围思考：在上面的问题中，对于反比例函数v=3000/t ，其中自变量t 可以取哪些值呢？分析：反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数，但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t 代表的是时间，且时间不能为负数，所有t 的取值范围为t>0.【教学说明】教师组织学生讨论，提问学生，师生互动． 三、运用新知，深化理解 1.见教材P3例题.2.下列函数关系中，哪些是反比例函数？(1)已知平行四边形的面积是12cm 2，它的一边是acm ，这边上的高是hcm ，则a 与h 的函数关系；(2)压强p 一定时，压力F 与受力面积S 的关系；(3)功是常数W 时，力F 与物体在力的方向上通过的距离s 的函数关系．(4)某乡粮食总产量为m 吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x 的函数关系式．分析：确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=kx(k 是常数，k ≠0)．所以此题必须先写出函数解析式，后解答．解：(1)a=12/h ，是反比例函数； (2)F ＝pS ，是正比例函数； (3)F=W/s ，是反比例函数； (4)y=m/x ，是反比例函数． 3.当m 为何值时，函数y=224m x－是反比例函数，并求出其函数解析式．分析：由反比例函数的定义易求出m 的值．解：由反比例函数的定义可知：2m －2＝1，m=3/2．所以反比例函数的解析式为y=4x．4.当质量一定时，二氧化碳的体积V 与密度ρ成反比例.且V=5m 3时，ρ=1．98kg ／m 3 （1）求p 与V 的函数关系式，并指出自变量的取值范围. （2）求V=9m 3时，二氧化碳的密度. 解：略5.已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 2成反比例，且x ＝2与x ＝3时，y 的值都等于19．求y 与x 间的函数关系式．分析：y1与x 成正比例，则y1＝k1x ，y2与x2成反比例，则y2=k2x2，又由y ＝y1＋y2，可知，y=k1x+k2x2，只要求出k1和k2即可求出y 与x 间的函数关系式．解：因为y 1与x 成正比例，所以y 1＝k 1x ；因为y 2与x 2成反比例，所以y 2=22k x，而y ＝y 1＋y 2，所以y=k 1x+22k x，当x ＝2与x ＝3时，y 的值都等于19．【教学说明】加深对反比例函数概念的理解，及掌握如何求反比例函数的解析式. 四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题1.1”中第1、3、5题.教学反思学生对于反比例函数的概念理解的都很好，但在求函数解析式时，解题不够灵活，如解答第5题时，不知如何设未知数.在这方面应多加练习.1.2 反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数的图象与性质（1）教学目标【知识与技能】1.会用描点法画反比例函数图象；2.理解反比例函数的性质.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】通过对反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质.【教学重点】画反比例函数的图象，理解反比例函数的性质.【教学难点】理解反比例函数的性质，并能灵活应用.教学过程一、情景导入，初步认知你还记得一次函数的图象吗?一次函数的图象怎样画呢？一次函数有什么性质呢？反比例函数的图象又会是什么样子呢?【教学说明】在回忆与交流中，进一步认识函数，图象的直观有助于理解函数的性质.二、思考探究，获取新知探究1：反比例函数图象的画法画出反比例函数y=6x的图象．分析∶画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.(1)列表：取自变量x的哪些值?x是不为零的任何实数，所以不能取x的值为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值.(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出各点(－6,－1)、(－3,－2)、(－2,－3)等．（3）连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．思考：（1）观察上图，y轴右边的各点，当横坐标x逐渐增大时，纵坐标y如何变化？y轴左边的各点是否也有相同的规律？（2）这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？探究2：反比例函数所在的象限画出函数y=3x的图形，并思考下列问题：（1）函数图形的两个分支分别位于哪些象限？（2）在每一象限内，函数值y随自变量x的变化是如何变化的？【归纳结论】一般地，当k>0时，反比例函数y=kx的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.探究3：反比例函数y=－6x的图象．可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动：(1)可以用画反比例函数y=－6x的图象的方式与步骤进行自主探索其图象；(2)可以通过探索函数y=6x与y=－6x之间的关系，画出y=－6x的图象．【归纳结论】一般地，当k<0时，反比例函数y=kx的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.探究4：反比例函数的性质反比例函数y=－6x与y=6x的图象有什么共同特征?【教学说明】引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征．【归纳结论】反比例函数y=kx(k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当k>0时，图象在一、三象限；当k<0时，图象在二、四象限.反比例函数y=kx与y=-kx(k≠0)的图象关于x轴或y轴对称.【教学说明】学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤.观察函数图象，掌握反比例函数的性质.三、运用新知，深化理解1.教材P9例1.2.如果函数y＝2x k＋1的图象是双曲线，那么k＝．【答案】-23.如果反比例函数y=3kx－的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数k的值是．【答案】1，24.已知直线y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，则函数y=kbx的图象在第象限．【答案】二、四5.反比例函数y=1x的图象大致是图中的( )．解析：因为k=1>0，所以双曲线的两支分别位于第一、三象限. 【答案】 C6.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( )【答案】 C7.已知函数23()2m y m x －－为反比例函数．(1)求m 的值；(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y 随x 的增大如何变化？ (3)当－3≤x ≤－12时，求此函数的最大值和最小值．8.作出反比例函数y=12x的图象，并根据图象解答下列问题： (1)当x ＝4时，求y 的值； (2)当y ＝－2时，求x 的值； (3)当y ＞2时，求x 的范围． 解：列表：由图知：(1)y＝3；(2)x＝－6；(3)0＜x＜69.作出反比例函数y=－4x的图象，结合图象回答：（1)当x＝2时，y的值；(2)当1＜x≤4时，y的取值范围；(3)当1≤y＜4时，x的取值范围．解：列表：由图知：(1)y＝－2；(2)－4＜y≤－1；(3)－4≤x＜－1．【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题，在研究每一题时，要紧扣性质进行分析，达到理解性质的目的.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业∶教材“习题1.2”中第1、2、4题.教学反思通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质，并掌握了用描点法画函数图象的方法.同时也为后面的学习奠定基础.从练习上来看，学生掌握的不够好，应多加练习.第2课时反比例函数的图象与性质（2）教学目标【知识与技能】1.会求反比例函数的解析式；2.巩固反比例函数图象和性质，通过对图象的分析，进一步探究反比例函数的增减性.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力.【情感态度】提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.【教学重点】会求反比例函数的解析式.【教学难点】反比例函数图象和性质的运用.教学过程一、情景导入，初步认知1.反比例函数有哪些性质？2.我们学会了根据函数解析式画函数图象，那么你能根据一些条件求反比例函数的解析式吗？【教学说明】复习上节课的内容，同时引入新课.二、思考探究，获取新知1.思考：已知反比例函数y=kx的图象经过点P（2,4）（1）求k的值，并写出该函数的表达式；（2）判断点A（-2，-4），B(3,5)是否在这个函数的图象上；（3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大如何变化？分析：(1)题中已知图象经过点P（2，4），即表明把P点坐标代入解析式成立，这样能求出k，解析式也就确定了.(2)要判断A、B是否在这条函数图象上，就是把A、B的坐标代入函数解析式中，如能使解析式成立，则这个点就在函数图象上.否则不在.(3)根据k的正负性，利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y 随x的值的变化情况.【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.2.下图是反比例函数y=kx的图象，根据图象，回答下列问题：（1）k的取值范围是k>0还是k<0？说明理由；（2）如果点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小.分析：（1）由图象可知，反比例函数y=kx的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，因此，k>0.(2)因为点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点且-3<0，-2<0.所以点A、B 都位于第三象限，又因为-3<-2，由反比例函数的图像的性质可知：y1>y2.【教学说明】通过观察图象，使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方法.三、运用新知，深化理解1.若点A(7，y1)，B(5，y2)在双曲线y=－3x上，则y1、y2中较小的是．【答案】y22.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y=kx(k＞0)的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有( )．A.y1＜0＜y2B.y2＜0＜y1C.y1＜y2＜0D.y2＜y1＜0【答案】 A3.若A(a1，b1)，B(a2，b2)是反比例函数图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是( )A.b1＜b2B.b1=b2C.b1＞b2D.大小不确定【答案】 D4.函数y=-1x的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若0＜x1＜x2，则( )A.y1＜y2B.y1＞y2C.y1=y2D.y1、y2的大小不确定【答案】 A5.已知点P(2，2)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，(1)当x=-3时，求y的值；(2)当1＜x＜3时，求y的取值范围．6.已知y=kx(k≠0，k为常数)过三个点A(2，-8)，B(4，b)，C(a，2)．(1)求反比例函数的表达式； (2)求a 与b 的值． 解：（1）将A （2，-8）代入反比例解析式得：k=-16，则反比例解析式为y=-16x； （2）将B （4，b ）代入反比例解析式得：b=-4；将C （a ，2）代入反比例解析式得：2=-16a，即a=-8. 7.已知反比例函数的图象过点(1,－2)． (1)求这个函数的解析式，并画出图象；(2)若点A(－5,m)在图象上，则点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？分析：(1)反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x ＝1时，y ＝－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；(2)由点A 在反比例函数的图象上，易求出m 的值，再验证点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．解：(1)设：反比例函数的解析式为：y=kx (k ≠0)．而反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x ＝1时，y ＝－2．所以－2=1k，k ＝－2．即反比例函数的解析式为：y=－2x．(2)点A(－5,m)在反比例函数y=－2x图象上，所以m=25--=25，点A的坐标为(－5, 25)．点A关于x轴的对称点(－5,－25)不在这个图象上；点A关于y轴的对称点(5, 25)不在这个图象上；点A关于原点的对称点(5,－25)在这个图象上；【教学说明】通过练习，巩固本节课数学内容.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第7题.教学反思教学中，我深深地体会到：要想让学生真正掌握求函数解析式的方法，教师应在给出相应的典型例题的条件下，让学生自己去寻找答案，自己去发现规律.最后，教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围，以及一般应告知的条件.在信息社会飞速发展的今天，教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来，教会学生如何学，让学生自己去探究，自己去学习，去获取知识.在《中学数学课程标准》中明确规定：教师不仅是学生的引导者，也是学生的合作者.教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题、难题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，才能真正做到教学相长，也才能真正让每一个学生都学有所获.第3课时反比例函数的图象与性质（3）教学目标【知识与技能】1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题；2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题． 【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力. 【情感态度】能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图（象）、识图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.【教学重点】理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题.【教学难点】学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质.教学过程一、情景导入，初步认知 1.正比例函数有哪些性质？ 2.一次函数有哪些性质？ 3.反比例函数有哪些性质？【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解.二、思考探究，获取新知1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P （-3,4），试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解：设正比例函数，反比例函数的表达式分别为y=k 1x,y=2k x,其中，k 1,k 2是常数，且均不为0. 由于这两个函数的图象交于P （-3,4），则P （-3,4）是这两个函数图象上的点，即点P 的坐标分别满足这两个表达式.因此，4=k 1×(-3),4=23k －解得，k 1=43- k 2=-12所以，正比例函数解析式为y=43-x,反比例函数解析式为y=-12x .函数图象如下图.【教学说明】通过图象，让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函数y=6x的图象上取两点Ｐ（1，6），Ｑ（6，1），过点Ｐ分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1= ；过点Ｑ分别作x轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2= ；S1与S2有什么关系？为什么？【归纳结论】反比例函数y=kx（k≠0）中比例系数k的几何意义：过双曲线y=kx（k≠0）上任意一点引x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力．三、运用新知，深化理解1.已知如图，A是反比例函数y=kx的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABO的面积是3，则k的值是( )A.3B.-3C.6D.-6分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值，即S ＝12|k|． 解：根据题意可知：S △AOB ＝12|k|＝3，又反比例函数的图象位于第一象限，k ＞0，则k ＝6．【答案】 C2.反比例函数y=6x 与y=2x在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积为( )A.12B.2C.3D.1分析：分别过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，过B 作BC ⊥y 轴，点C 为垂足，再根据反比例函数系数k 的几何意义分别求出四边形OEAC 、△AOE 、△BOC 的面积，进而可得出结论．解：分别过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，过B 作BC ⊥y 轴，点C 为垂足，∵由反比例函数系数k 的几何意义可知，S 四边形OEAC =6，S △AOE =3， S △BOC =1，∴S △AOB =S 四边形OEAC -S △AOE -S △BOC =6-3-1=2．【答案】 B3.已知直线y ＝x ＋b 经过点A(3,0)，并与双曲线y=kx的交点为B(－2，m)和C ，求k 、b 的值．解：点A(3,0)在直线y ＝x ＋b 上，所以0＝3＋b ，b ＝－3．一次函数的解析式为：y ＝x －3．又因为点B(－2，m)也在直线y ＝x －3上，所以m ＝－2－3＝－5，即B(－2,－5)．而点B(－2,－5)又在反比例函数y=kx上，所以k ＝－2×(－5)＝10．4.已知反比例函数y=1k x的图象与一次函数y ＝k 2x －1的图象交于A(2,1)． (1)分别求出这两个函数的解析式；(2)试判断A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系．分析: (1)因为点A 在反比例函数和一次函数的图象上，把A 点的坐标代入这两个解析式即可求出k 1、k 2的值．(2)把点A 关于坐标原点的对称点A ′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A ′是否在这两个函数图象上．解：(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以k1＝2×1＝2．1＝2k 2－1，k 2＝1．所以反比例函数的解析式为：y=2x；一次函数解析式为：y＝x －1．(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A ′(－2,－1)．把A ′点的横坐标代入反比例函数解析式得，y=22=－1，所以点A 在反比例函数图象上．把A ′点的横坐标代入一次函数解析式得，y ＝－2－1＝－3，所以点A ′不在一次函数图象上．5.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(0,1)和点B(a,－3a),a＜0，且点B在反比例函数的y=－3x的图象上．(1)求a的值．(2)求一次函数的解析式，并画出它的图象．(3)利用画出的图象，求当这个一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的取值范围．(4)如果P(m,y1)、Q(m＋1,y2)是这个一次函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小．分析：(1)由于点A、点B在一次函数图象上，点B在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出k、b和a的值．(2)由(1)求出的k、b、a的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象．(3)和(4)都是利用函数的图象进行解题．一次函数和反比例函数的图象为：(3)从图象上可知，当一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的值为：－1≤x≤1．(4)从图象可知，y随x的增大而减小，又m＋1＞m，所以y1＞y2.或解：当x1＝m时，y1＝－2m＋1；当x2＝m＋1时，y2＝－2×(m＋1)＋1＝－2m－1所以y1－y2＝(－2m＋1)－(－2m－1)＝2＞0，即y1＞y2.6.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A、B两点．(1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围．分析:(1)把A、B两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式．(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标．【教学说明】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，以基础题为主，也有少量综合问题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题1.2”中第6题.通过本节课的学习，发现了一些问题，因此必须强调：教学反思1．综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往用待定系数法．2．观察图象，把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题．1.3反比例函数的应用教学目标【知识与技能】经历通过实验获得数据，然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程，体会建模思想.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】体验数形结合的思想.【教学重点】建立反比例函数的模型，进而解决实际问题.【教学难点】经历探索的过程，培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.教学过程一、情景导入，初步认知复习回顾1.什么是反比例函数？2.反比例函数的图象是什么？3.反比例函数图象有哪些性质?4.反比例函数的图象对称性如何？【教学说明】通过提出问题,引发学生思考,培养学生解决问题的能力.二、思考探究，获取新知1.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗？(1)根据压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系式p=FS，请你判断：当F一定时，p是S的反比例函数吗？(2)如人对地面的压力F=450N，完成下表：（3）当F=450N时，试画出该函数的图象，并结合图象分析当受力面积S 增大时，地面所受压强p是如何变化的，据此，请说出它们铺垫木板通过湿地的道理.解：（1）对于p=FS，当F一定时，根据反比例函数的定义可知，p是S的反比例函数.（2）因为F=450N，所以当S=0.005m2时，由p=FS得：p=450/0.005=90000（Pa)类似的，当S=0.01m2时，p=45000Pa；当S=0.02m2时，p=22500Pa；当S=0.04m2时，p=11250Pa(3)当F=450N时，该反比例函数的表达式为p=450/S,它的图象如下图所示，由图象的性质可知，当受力面积S增大时，地面所受压强p会越来越小，因此，该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积.以减小地面所受压强，从而可以顺利地通过湿地.2.你能根据玻意耳定律（在温度不变的情况下，气体的压强p与它的体积V 的乘积是一个常数K(K>0),即pV=K)来解释：为什么使劲踩气球时，气体会爆炸？【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力，提高感知水平；此外，在解决实际问题时，要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用.三、运用新知，深化理解1.教材P15例题.2.一个水池装水12m3，如果从水管中每小时流出xm3的水，经过yh可以把水放完，那么y与x的函数关系式是，自变量x的取值范围是．【答案】y=12x；x＞03.若梯形的下底长为x，上底长为下底长的13，高为y，面积为60，则y与x的函数关系是(不考虑x的取值范围)．【答案】y=90 x4.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示．设矩形的宽为xcm，长为ycm，那么这些同学所制作的矩形的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是( )【答案】A5.下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是( )A.小明完成百米赛跑时，所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系B.长方形的面积为24，它的长y与宽x之间的关系C.压力为600N时，压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系D.一个容积为25L的容器中，所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系【答案】D6.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映y与x之间的关系的式子是( )．A.y＝3000xB.y＝6000xC.y=3000xD.y=6000x【答案】D7.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y 与x的函数图象是( )【答案】A8.一个长方体的体积是100cm3，它的长是y(cm)，宽是5cm，高是x(cm)．(1)写出长y(cm)关于高x(cm)的函数关系式，以及自变量x的取值范围；(2)画出(1)中函数的图象；(3)当高是3cm时，求长．解：(1)y=20x(x>0)；(2)图象略；。
鲁教版五四制数学九年级上册1.1《反比例函数》课件2
例:已知y是x的反比例函数，当x=-3时，y =4. (1)写出y与x的函数关系式； (2)求当x=6时y的值.
解：
(1)设y= k (k≠0)，因为当x=-3时有y =4，
x
所以有4=
k
，k=-12.
3
所以y与x之间的函数关系式为y=
12
.
x
(2)把x=6代入函数关系式，得y=-2
做一做
“行家”看门道
(6) y x 5
正比例函数：(2)(4)(6)
反比例函数：(1)(3)(5)
2.星星电子集团接到了生产4000个计算 机零部件的任务，请写出生产这批零部 件所需时间t(h)与每小时生产零部件数 量n(个)之间的函数关系式.
h 4000 t
3.举出几个生活中具有反比例函数关系的 实例.
(1)当圆锥的体积是50时，它的高h与底面 积S；
.
下列函数中哪些是反比例函数？哪些是一次函数？
y = 3x-1
y = 2x
y 3 2x
反比例函数
y = 3x
y1 y 1
x
3x
5yyy550y.4y y0.40yx.4xyyxxy2.x2xy 2. x xxx x 2x 2 2
3x7yy7x52y
y
x5215yx
1y 5
x
6x
3xy
7
y
一 次x52函y数
1 5
x
5 y 0.4 y x xy 2.
x
x
2
关系式xy+k=0中y是x的反比例函数吗？若是，
比例系数等于多少？若不是，请说明理由.
(其中，k为常数) xy+k=0可以改写成
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C. m< 2
D. m> 2
y1
x1 0 x2
y2
x
y2
x1
0 x2
y1
x
二、提高篇（第二组）
1.如图,点P是反比例函数图象上的
y
一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,
提若阴示影：部S矩分形面=积|x为y|3=,则|这k|个反比则例 k=sN或-s
p
函数的关系式是 y 3.
x
oM
x
2. 若点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x 轴、y轴作垂线,垂足分别为点M、N，若四边形PMON面 积为3,则这个反比例函数的关系式是
x
分别作y轴的Q平1(行x1线, y,与1),
则点B的坐标为（ D ）
A. (b,a)
B. (-a,b)
C. (-b,-a)
D. (-a,-b)
y
A
B
0
x
二、趁热打铁，大显身手（提高篇第一组）
1、若三点M(-2,y1) 、N(-4,y2) 、P(3,y3)都在反比例函数
y
a2 1 x
的图像上，则y1 、 y2 、 y3的大小关系
是_y_1__>__y_2 _>__y_3.
y -3 或 y 3
__________x__________x____.
二、提高篇（第三组）
(1)如图,已知双曲线
y
k x
与直线
y=kx交于A、B两点,点A在第二象限,
y
A
若表点示A为的_横_(-_m坐_,_标__为_k_m_),_则__点__B_的__坐__标__可_.
m
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
过个定点值A作, 即AP⊥xy=xk轴. 于点p，则△AOP的面积为
1
2 （②图中BS△）PAO =
▏k▕ ,与点A的位置无关。
A. 12
B. 6
y
C. 4
D. 3
A
P0
x
（♦对基称础性篇 ）
反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形
（4）如图，过原点的一条直线与反比例函数 y k x
(k≠0)的图象分别交于A、B两点，若点A的坐标(a,b)，
B(a，2)两点． (1)求一次函数y1 与反y2比例函数的解析式；
(2)直接写出 ≥ 时的x的取值范围．
四、轻松一刻 （脑筋急转弯）
问题
答案
哪一个月有二十八天?
每个月都有28天
小聪明明知道试卷的答案, 为什么还频频看同学的?
小聪是老师
一只羊碰到一只老虎，非但 不怕，而且还把那只老虎给 原来是纸老虎（假老虎） 吃了，这是怎么回事？
_中___心__对__称__图__形__.
考点清单
考点3 反比例函数中k的几何意义
设 P(x，y)是反比例函数 y＝kx(k≠0)图象
上任一点，过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂
k 线，垂足分别为 M、N(如图)，则矩形
的 几
PMON 的面积＝OM·ON＝x·y＝xy
x
B
利用反比例函数的图像的对称性。
（2）直线y=kx(k>0)与双曲线
y
4
x 交于两点A(x1,y1),
B(x2,y2)，则2x1y2-7x2y1=___2_0___.
三、百尺竿头，更进一步（能力篇）
例
如y图函2 :数一m x次＝函数
y1 ＝kx＋b的图象与反比 (
A. y1 = y2
B. y < y 2
1 2 1 0 123
1
x -6 - - -3 - - 0 1 23 4 5 6
54 21
C. y1 > y2
D. 无法确定
k≻0
k≺0
（基础篇 ）
（♦①两3任个）意定已一值知组点变A量是（反或比图例象函上任数一y点的- 1x坐2标上）的的乘点积，是一
五、博采众长，有备无患（中考真题）
两个反比例函数
y 3,y 6
x
x
在第一象限内的图象如图所示，
点
p1,
p2 ,
p3...
p2016
在反比例函数y
6 x
的图象上.它们的横坐
标
x1, x2, x3,..., x2016
p1, p2 , p3... p2016
分别是
y纵坐3标分别是1,3,5... , 过点
(3)函数 y≠0.
考点2 反比例函数的图象与性质
关系式 k 的范围
k>0
y＝kx(k≠0) k<0
图象
(1)图象分布在第一、三 1.图象分布在第二、四
性 质
象限；
象限；
(2)在每个象限内，y 随 x 2.在每个象限内，y 随 x
增大而__减__小____.
增大而__增__大____．
反比例函数的图象是轴对称图形，又是
张开希望的帆，向着金色的六月起航
反比例函数
-------初三数学复习课
江春香
考点清单
考点1 反比例函数的概念
一般地，函数 y＝kx(k≠0，k 为常数)叫做反比例函 概 数．其图象是双曲线，所以我们也说双曲线 y＝kx. 念 1.y＝kx－1 或 xy＝k(k≠0)也是反比例函数.
2.反比例函数 y＝k中：(1)k≠0；(2)自变量 x≠0； x
一、千里之行，始于足下（基础篇 ）
♦（解1）析下式列函数中，y是x的反比例函数( D )
A.
y
C.
ky xy
x
k 1 xy=kx-1
k
B.
y k x-1
xy=k
D. xy=4
♦ 形状、位置及增减性
3
（两点2）（已1知，反y1）比（例2函，数y2），则y y1x与6y y2的的大图小象关上系有 y
考点4 反比例函数的应用
一般步骤：
反比例函数解 1.根据两变量之间的反比例关系，设 y＝kx；
析式的确定 2.代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一
对对应值，求出 k 的值；
3.写出解析式.
反比例函 数与一次 函数图象 的交点的
求法
求直线 y＝kx＋b(k≠0)和双曲线 y＝kx的交 点坐标就是解这两个函数解析式组成的 方程组.
何 ＝k，这就是比例系数 k 的几何意义.
意 (1)连接 OP，三角形 OPM 的面积等于矩形 PMON 面积的 义 一半，是___1 2 _____|k|.
(2)反比例函数图象的位置和函数的增减性都与比例系数 k
的符号有关；反过来，由双曲线的位置或函数的增减性也
可判断 k 的符号.
考点清单
y
y1
1 y2
-6 -5 -4 -3
-2 -1
0 1 23
4
5
6
x
y3
(提2)示在：反比利例用函图数像比y较大1小-简2单m明了的。图像上有两点
x
A(x1, y1)、B(x2, y2), 当x1< 0 <x2 时,有 y1 < y2, 则 m的取值范围是（ C ）
A. m<0
B. m>0
1y
1
y