第11讲-反比例函数
第11讲 反比例函数的图象与性质
x≠0
k 考点2反比例函数y＝ (k≠0)的图象与性质(2017.13) x
二、四
增大
原点
1.判断点坐标是否在函数上：①将点的横坐标或者纵坐标代入函数解析式 ，
求出对应的纵坐标或横坐标，若相等，则该点在函数图象上，否则不在；②
把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在函数图象上；否则不在． 2．反比例函数的增减性，应分x＞0和x＜0两种情况讨论．
【对应训练】 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－2x的图象与反比例函 k 数y＝x的图象交于点A(－1，n)． k (1)求反比例函数y＝x的解析式； (2)若P是坐标轴上一点，且满足PA＝OA，直接写出点P的坐标．
1．解：(1)把A(－1，n)代入y＝－2x得n＝－2×(－1)＝2， ∴A点坐标为(－1，2)， k 把A(－1，2)代入y＝ 得k＝－1×2＝－2， x 2 ∴反比例函数的解析式为y＝－x；
、A，求一次函数的表达式． 【分析】(1)过点B作x轴的垂线段BD，根据已知∠AOB表示出Rt△OBD两直
角边，已知OB长，利用勾股定理列方程求解可得B点坐标，进而利用待定系
数法即可求解；(2)根据勾股定理和对称分别求出点A、M的坐标，再根据待 定系数法进行求解．
解：(1)如解图，过点 B 作 BD⊥OA 于点 D， BD 1 设 BD＝a，∵tan∠AOB＝OD＝2，∴OD＝2BD. ∵∠ODB＝90°，OB＝2 5，∴BD2＋(2BD)2＝(2 5)2， 解得 BD＝±2(舍去－2)， ∴BD＝2.∴OD＝4，∴B(4，2)，∴k＝4×2＝8， 8 ∴反比例函数表达式为：y＝k；
m＝4 3 5m＋n＝0 ，解得 ， 20 8m＋n＝4 n＝－ 3
中考一轮复习--第11讲 反比例函数及其应用
1
∴a=2,∴直线 OB 的函数表达式为 y=2x.
(2)如图,作 CD⊥OA 于点 D,∵C(1,2),
∴OC= 12 + 22 = 5.
在平行四边形 OABC 中,
CB=OA=3,AB=OC= 5,
∴四边形 OABC 的周长为 3+3+ 5 + 5
=6+2 5,
即四边形 OABC 的周长为 6+2 5.
动程序.若在水温为30 ℃时接通电源,水温y(℃)与时间x(min)的关
系如图所示.
(1)分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式;
(2)怡萱同学想喝高于50 ℃的水,请问她最多需要等待多长时间?
考法1
考法2
考法3
考法4
分析:(1)根据函数图象和题意可以求得y关于x的函数关系式,注意
函数图象是循环出现的;(2)根据(1)中的函数解析式可以解答本题.
(1)求k的值及直线OB的函数表达式;
(2)求四边形OABC的周长.
考法1
考法2
考法3
考法4
解:(1)依题意有:点 C(1,2)在反比例函数 y= (k≠0)的图象上,
∴k=xy=2.
∵A(3,0),∴CB=OA=3.又 CB∥x 轴,∴B(4,2).设直线 OB 的函数表达
式为 y=ax,∴2=4a,
考法1
考法2
考法3
考法4
反比例函数的图象和性质
例2(2019·江苏镇江)已知点A(-2,y1),B(-1,y2)都在反比例函数y=- 2
的图象上,则y1
y2.(填“>”或“<”)
答案:<
2
反比例函数图像和性质ppt课件
反比例函数的定义域和值域
定义域
反比例函数的定义域是 x ≠ 0 的所有实数，即 x 可以取任何实数值，除了 0。
值域
反比例函数的值域是除了 y = 0 以外的所有实数，即 y 可以取任何实数值，但 永远不会等于 0。
02
反比例函数的性质
反比例函数的单调性
总结词
反比例函数在其定义域内并非单 调，但在各自象限内具有单调性。
表达式形式
反比例函数的一般形式为 y = k/x (k ≠ 0)，其中 x 和 y 是自变量和 因变量，k 是常数。
反比例函数图像的绘制
图像绘制方法
反比例函数的图像通常在二维坐标系 中绘制，通过选择不同的 k 值，可 以绘制出不同的反比例函数图像。
图像特性
反比例函数的图像位于 x 轴和 y 轴的 有限区域，呈现出双曲线的形状，随 着 x 的增大或减小，y 的值会无限接 近于 0 但永远不会等于 0。
积分是数学中计算面积和体积的方法，分为定积分和不定积分。
反比例函数的不定积分
反比例函数y=1/x的不定积分为ln|x|+C（C为常数），这表明反比例函数可以通过对ln|x|进行不定积分得 到。
反比例函数与复数的关系
复数的概念
复数是实数和虚数的组合，形式为a+bi（a,b为实数）。
反比例函数在复数域的表现
投资回报
投资回报与投资风险成反比，即投资风险越大，投资回报越小；反之亦然。
反比例函数在日常生活中的应用
药物剂量
在药物治疗过程中，药物剂量与药效 成反比关系，即当药物剂量增加时， 药效可能会减弱。
体育训练
在体育训练中，训练强度与训练效果 成反比关系，即当训练强度增加时， 训练效果可能会减弱。
反比例函数课件
03
反比例函数在生活中的应用
实际问题建模过程
建模准备
确定问题背景，收集相 关数据，明确变量关系
。
建立模型
根据问题背景和数据特 征，选择合适的反比例
函数模型进行描述。
模型求解
利用已知条件，求解反 比例函数模型中的参数
。
模型检验
将求解得到的函数模型 与实际问题进行对比，
验证模型的合理性。
典型案例分析
反比例函数的性质
反比例函数的图像关于原点对称 ；当 k > 0 时，图像位于第一、 三象限；当 k < 0 时，图像位于 第二、四象限。
图像特征
反比例函数图像
反比例函数的图像是双曲线，它无限接近于坐标轴但不与坐标轴相交。
图像的变化趋势
当 x 从正无穷大逐渐减小到 0 时，y 从 0 逐渐增大到正无穷大；当 x 从 0 逐渐 增大到正无穷大时，y 从负无穷大逐渐增大到 0。
反比例函数课件
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目录
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数与直线关系 • 反比例函数在生活中的应用 • 反比例函数图像变换规律 • 反比例函数性质总结与归纳 • 反比例函数求解技巧与策略
01
反比例函数基本概念
定义与性质
反比例函数定义
形如 y = k/x (k ≠ 0) 的函数称为 反比例函数，其中 k 是常数且 k ≠ 0，x 是自变量，y 是因变量。
与坐标轴交点
反比例函数图像与坐标轴无交点
由于反比例函数的定义域不包括0，因此其图像与坐标轴不会有交点。
渐近线
反比例函数的图像有两条渐近线，分别是x轴和y轴。当x趋近于0时，y趋近于无穷大；当y趋近于0时 ，x趋近于无穷大。
考点11 反比例函数(精讲)(原卷版)
考点11.反比例函数（精讲）【命题趋势】反比例函数也是非常重要的函数，年年都会考，总分值为12分左右，预计2024年各地中考一定还会考，反比例函数与一次函数结合出现在解答题中是各地中考必考的一个解答题，反比例函数的图象与性质和平面几何的知识结合、反比例函数中|k|的几何意义等也会是小题考查的重点。
【知识清单】1：反比例函数的概念（☆☆）反比例函数的概念：一般地，函数kyx=（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数．2：反比例函数的图象和性质（☆☆☆）1）反比例函数的图象和性质表达式kyx=（k是常数，k≠0）k k>0k<0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大对称性轴对称图形（对称轴为直线y=x和y=-x），中心对称图形（对称中心为原点）2）待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．3：反比例函数中|k|的几何意义（☆☆☆）1）反比例函数图象中有关图形的面积2）涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k |；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+；（3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．4：反比例函数与一次函数的综合（☆☆☆）1）涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。
第11讲 确定实际背景下的反比例函数关系式
第11讲：确定实际背景下的反比例函数关系式二、方法剖析与提炼例1．已知422)1(--+=m m x m y 是反比例函数，则m =______． 【解答】3．【解析】 ∵422)1(--+=m m x m y 是反比例函数，∴m 2-2m -4=-1，且m +1≠0， ∴（m +1）（m -3）=0，且m +1≠0，∴m -3=0，即m =3；故答案是：3．【解法】这道题目属于“定义型” 确定反比例函数关系式的问题．主要考查我们对反比例函数的定义的理解．函数xk y = （k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数，由11-=•==kx xk x k y ，所以反比例函数可以写成1-=kx y 的形式，自变量x 的次数为-1．【解释】反比例函数的比例系数不能为零．反比例函数是函数值y 随着x 的比例变化而反向比例的变化，举个例子如果y=x2，当x 的取值为1，y 为2，当x 变成2，y 变为1．这在函数图像上表现的是y 随x 的增大而减小．如果k =0，那么无论x 怎么变化，都会出现y 值恒为0，即此时函数式右边已经变为一个常数，即y =0．此时的图像是一条直线．所以反比例函数xk y =中，k 不能等于0． 阻R （Ω）成反比例．如图所示的是该电路中电流I 与电阻R之间的函数关系的图象，则用电阻R 表示电流I 的函数解析式为（ ）A ．I =B ．I =C ．I =D ．I =【解答】D ． 【解析】观察图象，函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式（k ≠0）即可求得k 的值．设反比例函数的解析式为（k ≠0），由图知，函数经过点B （3，2）， ∴2=，得k =6，∴用电阻R 表示电流I 的函数解析式为I =．故选D ．【解法】这道题目属于“一点型” 确定反比例函数关系式的问题．解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法确定反比例函数的比例系数k ，求出函数解析式．【解释】理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，分析出已知什么，求什么．明确题中已经出现的数学等量关系或结合生产、生活实际寻找确定数学等量关系，都涉及到哪些知识，从而理顺数量关系．例3．如图所示，A 为反比例函数图象上的一点，AB 垂直于x 轴，垂足为B ．若△AOB 的面积为3，则反比例函数的解析式是什么？【解答】∵函数图象分布在第二、四象限，∴k <0设A 点坐标为（x ，y ），则S △AOB ＝321=xy ∴k xy =-=6，∴反比例函数的解析式为xy 6-=． 【解法】这道题目属于“面积型” 确定反比例函数关系式的问题．由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察．这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，反比例函数)0(≠=k xk y 的图象有这样一个重要性质：设P 为双曲线xk y =上任意一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，垂足分别为M 、N ，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON 的面积为S =|PM |×|PN |=|y|×|x|=|xy|=|k | ．从而得：过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积S 为定值|k |．【解释】对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论1：在直角三角形ABO 中，面积S =2k结论2：在直角三角形ACB 中，面积为S =2|k |结论3：在三角形AMB 中，面积为S =|k |例4．保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x 个月的利润为y 万元．由于排污超标，该从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y 与x 成第2题反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（1）分别求该化工厂治污期间及改造工程顺利完工后y 与x 之间对应的函数关系式．（2）治污改造工程顺利完工后经过几个月，该厂利润才能达到200万元？（3）当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？【解答】（1）当51≤≤x 时，设x k y =，把（1，200）代入，得k =200，即xy 200=， 当x=5时，y=40，当5>x 时，6020)5(2040-=-+=x x y ．（2）当y=200时，2006020=-x ，13=x ，8513=-，8个月，该厂利润达到200万元．（3）对于xy 200=，当y=100时，x=2；对于6020-=x y ， 当y=1008-2=6个月．【解析】（1）y 与x 之间的函数关系式分成51≤≤x 和5>x 两段分别求解．（2）令5>x 的解析式等于200，可以求出经过几个月，利润达到200万元；（3）找出两段函数等于100的x 的值，月份只差就是资金紧张的月份．【解法】这道题目属于“综合型” 确定反比例函数关系式的问题．（1）综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往仍用待定系数法．（2）能通过观察图像得到所求信息，解问题的实际意义及与之相关的数学知识，是解决这类问题的关键．【解释】两个变量之间的函数关系式在自变量取值范围内有的用一个关系是就可以表示，有的则需要两个或两个以上关系式表示，我们称为分段函数，分段函数特点是整个变化过程由不同的阶段组成的，自变量取值的不同使函数不同，自变量取值范围的不同出现的分段．三、能力训练与拓展1．如果以12m 3/h 的速度向水箱进水，5h 可以注满．为了赶时间，现增加进水管，使进水速度达到Q （m 3/h ），那么此时注满水箱所需要的时间t （h ）与Q （m 3/h ）之间的函数关系为（ ）A ．t =B ．t =60QC ．t =12﹣D ．t =12+ 2．某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗，如右下图．（1）漏斗口的面积S 与漏斗的深d 有怎样的函数关系?（2）如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少?3．某工厂每月计划用煤Q 吨，每天平均耗煤a 吨．如果每天节约用煤x 吨，那么Q 吨煤可以多用y 天，写出y 与x 的函数关系式为 ．4．如图，长方形AOCB 的两边OC 、OA 分别位于x 轴、y 轴上，点B 的坐标为B （－320，5），D是AB 边上的一点，将△ADO 沿直线OD翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式是 ．5．如图，x y =和)0(>=m mx y 的图象与)0(>=k xk y 的图象分别交于第一象限内的两点A ，C ，过A ，C 分别向x 轴作垂线，垂足分别为B ，D ，若直角三角形AOB 与直角三角形COD 的面积分别为1S ，2S ，求1S 与2S 有什么关系？6．如图，已知双曲线)0(>=x xk y 经过矩形OABC 的边AB ，BC 的中点F ，E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k = ． 第5题 第6题 第4题。
第11讲 反比例函数
第11讲反比例函数的图象和性质知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：若(a，b)在反比例函数kyx=的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：图见学练优RJ九数上前面四页“方法、易错”的此内容下的图片失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的。
第1部分第11讲反比例函数及其应用3～12分市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
解：当 0≤x≤10 时，设水温 y(℃)与开机时间 x(min)的函数关系式为 y＝kx＋b. 根据题意，得b1＝ 0k＋20， b＝100，解得kb＝ ＝82， 0. 故当 0≤x≤10 时，水温 y(℃)与开机时间 x(min)的函数关系式为 y＝8x＋20.
(2)求图中 t 的值． 解：在水温下降过程中，设水温 y(℃)与开机时间 x(min)的函数关系式为 y＝mx . 根据题意，得 100＝1m0，解得 m＝1000. 故 y＝10x00. 当 y＝20 时，20＝10t00，解得 t＝50.
反比例函数表达式的确定(高频考点) 1．用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤： (1)设所求反比例函数的表达式为 y＝y＝kx(k≠(k0≠) 0) ； (2)找出图象上一点 P(m，n)的坐标； (3)将已知点的横、纵坐标代入表达式中求出 k＝mn； (4)确定反比例函数的表达式．
2．根据反比例函数 y＝kx(k≠0)中 k 的几何意义确定：题中已知面积时，考虑 k 的几 何意义，由面积得|k|，再结合图象所在象限判断 k 的正负，从而得出 k 的值，代入函数 表达式即可．
∴5＝k1.
∴k＝5.
∴反比例函数的表达式为 y＝5x.
(2 分)
(2)求△ABC 的面积．
解：∵一次函数 y＝3x＋2 的图象与 y 轴交于点 A，当 x＝0 时，y＝2，
∴点 A 的坐标为(0，2)．
∵AC⊥y 轴，
∴点 C 的纵坐标为 2.
(3 分)
∵点 C 在反比例函数 y＝5x的图象上，
k 反比例函数 y＝x(k 为常数且 k≠0)中 k 的几何意义
1．如图 1，过双曲线 y＝kx(k≠0)上任意一点 P 分别作 x 轴，y 轴的垂线，所得的矩
中考数学复习课件：第1轮第3章第11讲 反比例函数
(2) 反 比 例 函 数 的 图 象 是 双 曲
线，它有两个分支，可用描点
法画出反比例函数的图象.
2.待定系数法：先设反比例函数 2.若反比例函数 y＝ 的解析式为 y＝kx，再根据条件 kx的图象经过点(4， 代入已知点，从而求出未知数，3)，则 k＝__1_2_____. 写出反比例函数的解析式.
B．难题突破 6．(2020·株洲)如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 为矩形，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 在函数 y1＝kx(x＞0，k 为常数且 k＞2)的 图象上，边 AB 与函数 y2＝2x(x＞0)的图象交于点 D， 则阴影部分 ODBC 的面积为___k_－__1__．(结果用含 k 的式子表示)
A(6，1)，B(a，－3)两点，连接 OA，OB．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
解：把A(6，1)代入y2＝mx 中，解得m＝6， 所以反比例函数的解析式为y2＝6x； 把B(a，－3)代入y2＝6x，解得a＝－2，
则B(－2，－3)， 把A(6，1)和B(－2，－3)代入y1＝kx＋b， 可得6－k＋2kb＋＝b1＝，－3，解得bk＝＝－12，2， 所以一次函数解析式为y1＝12x－2；
又∵∠OFB＝∠BFD＝90°，∴△OBF∽△ BDF，
∴OBFF＝DBFF，∴84＝D4F，∴DF＝2， ∴OD＝OF＋DF＝8＋2＝10，∴D(10，0)．
设BD所在直线解析式为y＝k′x＋b(k≠0)， 把B(8，4)，D(10，0)分别代入， 可得810k′k＋′＋b＝ b＝4， 0，解得kb′＝＝2－0，2， 故直线BD的解析式为y＝－2x＋20.
(2)求△AOB 的面积．
解：将x＝0代入y＝x＋1，解得y＝1，则点A的 坐标为(0，1)，
反比例函数课件
反比例函数的图像表示
反比例函数图像的描绘
通过给出具体的函数解析式，例如`y = 1/x`，并确定函数图 像的草图，使学生能够掌握反比例函数图像的基本形状和特 征。
图像的平移和伸缩
解析式的变化如何影响图像的平移和伸缩，例如`y = k/x`中 ，当`k`大于零时，图像向上或向右延伸；当`k`小于零时，图 像向下或向左延伸。
探讨未来反比例函数在数学和 其他领域的应用趋势
THANK YOU.
反比例函数的性质应用
解决实际问题
通过具体的实际问题，例如计算面积、解决电路问题等，使学生能够理解如何应 用反比例函数的性质解决实际问题。
数学建模
通过使用反比例函数建立数学模型，例如解决资源分配问题、解决经济问题等， 使学生能够理解数学建模的基本步骤和方法。
03
反比例函数的基本表达式和计算
反比例函数的基本表达式
反比例函数的性质概述
函数解析式的特点
解析式中的系数`k`如何影响函数的性质，例如当`k`大于零时，函数的定义域 和值域是什么，函数的单调性和奇偶性如何等。
反比例函数与其它函数的比较
通过比较反比例函数和其他基本初等函数（如正比例函数、一次函数、二次 函数等），理解反比例函数的特性和与其他函数的区别。
反比例函数的性质
自变量$x$的取值范围是不等于0 的一切实数
反比例函数在实际应用中的拓展思路
利用反比例函数解决实际问题，例如：工程问题、经济问题等 通过实例分析，深入挖掘反比例函数的扩展应用
反比例函数的总结与展望
总结反比例函数的核心知识点 和解题方法
分析反比例函数在数学学科和 其他学科中的应用前景
总结竞赛中反比例函数的核心知识点 和考察重点。
八年级秋季班-第11讲：反比例函数
反比例函数是八年级数学上学期第十八章第二节内容，主要对反比例函数的图像及性质进行讲解，重点是反比例函数的性质的理解，难点是反比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习反比例函数的应用提供依据．一、反比例函数的概念1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量x 、y 成反比例，就是xy k =，或表示为ky x =，其中k是不等于0的常数．2、解析式形如ky x=（k 是常数，0k ≠）的函数叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数．3、反比例函数ky x=的定义域是不等于零的一切实数．反比例函数知识结构模块一：反比例函数的概念知识精讲内容分析【例1】下列变化过程中的两个变量成反比例的是（）A ．圆的面积和半径B ．矩形的面积一定，它的长与宽C ．完成一项工程的工效与完成工期的时间D ．人的身高及体重【难度】★【答案】【解析】【例2】（1）已知：y 与x 成反比例，且1x =-时，2y =，则它的函数解析式是_________;（2）已知y 与2x 成反比例，且当2x =-时，14y =-，则当13x =时，y =_________.【难度】★【答案】【解析】【例3】下列函数（其中x 是自变量）中，哪些是反比例函数?哪些不是，为什么?（1）3x y =；（2）12y x -=；（3）1(0)y k kx =≠；（4）2xy =-；（5）21y x=+．【难度】★【答案】【解析】【例4】（1）如果21(1)kk y k x --=-是反比例函数，则k 的值是_________；（2）已知函数210(3)my m x -=-是反比例函数，则m =_________.【难度】★★【答案】【解析】例题解析【例5】下列说法中正确的有（）个．（1）当10k y kx≠=时，是反比例函数；（2）如果2213y y x x=，那么与成反比例；（3）如果211m y m x-=+-是反比例函数，则1m =±；（4）如果x 、y 成正比例，y 与z 成反比例，则x 与z 成反比例．A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★★【答案】【解析】【例6】已知某反比例函数，且当1x =时，2y =-，当3x y m =-=时，求m 的值．【难度】★★【答案】【解析】【例7】已知21y x +-与成反比例，且当13x y =-=-时，当3x =时，y 的值．【难度】★★【答案】【解析】【例8】已知一梯形的面积是30，上底长是下底长的12，设下底长为x ，高为y ，求y 关于x 的函数关系式并写出这个函数的定义域．【难度】★★【答案】【解析】【例9】已知反比例函数ky x=的图像上有一点A ，它的横坐标x 和纵坐标y 是方程2280x x --=的两个根，求：（1）k 的值；（2）点A 到y 轴的距离．【难度】★★【答案】【解析】【例10】设1212k ky y x x==和，当2x =时，121213y y y y +=-=，，求12k k 、的值．【难度】★★★【答案】【解析】【例11】已知122y y y =-，若1y 与x 成反比例，2y 与3x +成正比例，且当1x =时10y =，当1x =-时2y =；（1）求y 与x 间的函数关系式；（2）求当12y =时，x 的值．【难度】★★★【答案】【解析】师生总结1.反比例函数的定义域有限制吗？请说明二、反比例函数的图像1、反比例函数ky x=（k 是常数，0k ≠）的图像叫做双曲线，它有两支．三、反比例函数的性质1、当0k >时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐减小．2、当0k <时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐增大．3、图像的两支都无限接近于x 轴和y 轴，但不会与x 轴和y 轴相交．【例12】（1）已知反比例函数2a y x-=图像在第二、四象限，则a 的取值范围是_______；（2）已知(0)ky k x=≠图像上有一点P （3，2），那么这个反比例函数的解析式为_________.【难度】★【答案】【解析】【例13】已知反比例函数(0)ky k x=≠的图像经过经过点（1，2-），则这个函数解析式是______________；当x ＜0时，y 的值随着x 的增大而________．【难度】★【答案】【解析】知识精讲例题解析模块二：反比例函数的图像及性质【例14】当m =_______时函数231(2)mm y m x --=-是反比例函数，且当0x >时，y 值随x的值增大而减小．【难度】★【答案】【解析】【例15】已知（3，4）是反比例函数221m m y x+-=图像上的一点，则函数图像必过点（）．A ．（2，6-）B ．（6-，2）C ．（3，4-）D ．（3-，4-）【难度】★【答案】【解析】【例16】（1）已知函数1y x -=是反比例函数，则k 的取值范围是________；（2）已知反比例函数1k y x+=，点1122()()x y x y ，、，为其图像上的两点，若当12120x x y y <<>时，，则k 的取值范围是___________．【难度】★★【答案】【解析】【例17】下列函数1135y x y x y y x x=-===-，，，中，每个象限内y 的值随x 的增大而减小的有（）个A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【难度】★★【答案】【解析】【例18】下列函数21()a y a x--=是常数的图像上有三点A 13y （-，）、B 21y （-，）、C 32y （，），则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）A ．231y y y <<B ．321y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y <<【难度】★★【答案】【解析】【例19】（1）已知P （1，2+1m ）在双曲线ky x=上，则双曲线的图像在第_______象限内，当x <0时，y 的值随x 的减小而________；（2）设反比例函数15510y x x -=-≤≤，当时，函数的最大值是______________．【难度】★★【答案】【解析】【例20】（1）平面直角坐标系中，点A (725)m m --，在第二象限，且m 为整数，求过点A 的反比例函数解析式；（2）若反比例函数3k y x -=的图像位于第二、四象限内，正比例函数2(1)3y k x =-过一、三象限，求整数k 的值．【难度】★★【答案】【解析】【例21】函数122(4)m y m m x=+可能是正比例函数或者是反比例函数吗?为什么?【难度】★★★【答案】【解析】【例22】已知反比例函数(0)ky k x=≠，当自变量x 的取值范围为84x ≤≤--时，相应的函数取值范围是12y ≤≤--1，求这个反比例函数解析式．【难度】★★★【答案】【解析】师生总结2.反正比例函数的性质是什么？反比例函数和几何图形的综合【例23】已知反比例函数图像上有一点P ，过P 作y 轴的垂线，垂足为H ，如果△POH的面积为6，则反比例函数的解析式为_____________.【难度】★【答案】【解析】【例24】如图，x 轴上一点C 的坐标是（-3，0）．点P 从原点出发，沿y 轴向上运动，过点P 作x 轴的平行线，分别与反比例函数42y y x x =-=和的图像交于点A 、B ，在点P 从下向上移动过程中，三角形ABC 的面积（）A ．逐渐增大B ．逐渐减小C ．保持不变D ．先增大，到一定程度后减小【难度】★★【答案】【解析】知识精讲例题解析ABC OPxy模块三：反比例函数的综合【例25】如图，矩形ABCD 的边CD 在x 轴上，顶点A 在双曲线1y x=上，顶点B 在双曲线3y x=上，求矩形ABCD 的面积．【难度】★★【答案】【解析】【例26】过原点作直线交双曲线(0)ky k x=>于点A 、C ，过A 、C 两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形ABCD ，如图所示．（1）已知矩形ABCD 的面积等于8，求双曲线的解析式；（2）若已知矩形ABCD 的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能，请予求出；如果不能，说明理由．【难度】★★【答案】【解析】A B CDE OxyyABCDOx【例27】正方形OAPB 、ADFE 的顶点A 、D 、B 在坐标轴上，点E 在AP 上，点P 、F 在函数(0)ky k x =>的图像上，已知正方形OAPB 的面积是16．（1）求k 的值和直线OP 的函数解析式；（2）求正方形ADEF 的边长．【难度】★★★【答案】【解析】【例28】如图，已知正方形OABC 的面积是9，点O 为坐原点，A 在x 轴上，C 在y 轴上，B 在函数(00)k y k x x =>>，的图像上，点P （m ，n ）在(00)ky k x x =>>，的图像上异于B 的任意一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别是E 、F ．设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积是S ．（1）求点B 的坐标；（2）当92S =时，求点P 的坐标；（3）写出S 关于m 的函数解析式．【难度】★★★【答案】【解析】A BC PE FyOxyABPFOxE【习题1】下列函数（其中x 是自变量）中，哪些是反比例函数?哪些不是?为什么?（1）13y x =-；（2）4xy =；（3）15y x=-；（4）2(0)ay a a x =≠为常数，；（5）1y xπ=；（6）21y x =.【难度】★【答案】【解析】【习题2】已知1y x -与成反比例，当x =1时，y =3；当x =8时，y =________．【难度】★【答案】【解析】【习题3】（1）反比例函数22(2)my m x -=-的图像在第二、四象限，则m =________；（2）若反比例函数230k y x x-+=<，当时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是____________．【难度】★【答案】【解析】随堂检测【习题4】在函数(0)ky k x=>图像上有三点112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，，如果1230x x x <<<，试比较123y y y ，，大小关系___________.【难度】★★【答案】【解析】【习题5】反比例函数2121k y k x+=+-的图像经过第二、四象限，求这个函数的解析式.【难度】★★【答案】【解析】【习题6】作出反比例函数12y x=的图像，并根据图像解答下列问题：（1）当4x =时，求y 的值；（2）当2y =-时，求x 的值；（3）当2y >时，求x 的范围．【难度】★★【答案】【解析】【习题7】点P 在反比例函数1y x=(x ＞0)的图像上，且横坐标为2．若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后得到点'P ．求在第一象限内，经过点'P 的反比例函数图像的解析式．【难度】★★【答案】【解析】【习题8】已知函数12y y y =+，1y 与x 成反比例，2y 与(2)x -成正比例，当1x =时，1y =-；当3x =时，5y =，求当6x =时，y 的值．【难度】★★【答案】【解析】【习题9】（1）若P 是反比例函数3ky x=图像上的一点，PQ ⊥y 轴，垂足为点Q ，若2POQ s ∆=，求k 的值；（2）已知反比例函数ky x=的图像上有一点A ，过A 点向x 轴，y 轴分别做垂线，垂足分别为点B C ，，且四边形ABOC 的面积为15，求这个反比例函数解析式．【难度】★★【答案】【解析】【习题10】如图，点A 、B 在反比例函数(0)ky k x=>的图像上，且A 、B 横坐标分别是a 、2a (0)a >．AC ⊥x 轴，垂足为C ，三角形AOC 的面积为2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点12(2)a y a y (-，)、-，也在反比例函数的图像上，试比较12y y ，的大小．【难度】★★★【答案】【解析】A BG D EFCOxy【习题11】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数3y x =与反比例函数图像交于第一象限内的点A ，AB ⊥x 轴于点B ，AB =6．（1）求反比例函数的解析式；（2）在直线AB 上是否存在点P ，使点P 到正比例函数直线OA 的距离等于点P 到点B 的距离?若存在，求点P 坐标，若不存在，请说明理由．【难度】★★★【答案】【解析】【习题12】已知反比例函数4y x=与正比例函数相交与点A ，点A 的坐标是（1，m ）．（1）求此正比例函数解析式；（2）若正比例函数14y x =与反比例函数4y x=的图像在第一象限内相交与点B ，过点A 和点B 分别做x 轴的垂线，分别交x 轴与点C 和点D ，AC 和OB 相交与点P ，求梯形PCDB 的面积；（3）联结AB ，求AOB ∆面积．【难度】★★★【答案】【解析】ABOxy【习题13】如图，在反比例函数2(0)y x x=>的图像上，有点1234P P P P ，，，，他们的横坐标为1，2，3，4．分别过这些点往x 轴和y 轴上作垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左向右依次是123123S S S S S S ++，，，求的值．【难度】★★★【答案】【解析】【作业1】判断下列问题中两个变量是不是反比例函数关系?为什么?（1）三角形的面积S 一定时，它的一条边长a 和这条边长上的高h ；（2）存煤量Q 一定时，平均每天的用煤量m 与可用天数t ；（3）货物的总价A 一定时，货物的单价a 与货物的数量x ；（4）车辆所行使的路程S 一定时，车轮的直径d 和车轮的旋转周数n ．【难度】★【答案】【解析】【作业2】已知反比例函数(0)ky k x=<，当0x <时，它的图像在第______象限．【难度】★【答案】【解析】课后作业1234xyO 1P 2P 3P 4P 3S 2S 1S【作业3】（1）已知函数63k y x-=，如果在每个象限内y 随x 的增大而减小，那么k 的取值范围是______________；（2）如果双曲线2m y x +=位于第一，三象限，那么m 的取值范围是______________．【难度】★【答案】【解析】【作业4】已知点11()x y ，，22()x y ，在反比例函数2k y x-=图像上，当120x x >>时，12y y <，求k 的取值范围．【难度】★【答案】【解析】【作业5】作出反比例函数xy 4-=的图像，结合图像回答：（1）当2x =时，y 的值；（2）当14x <≤时，y 的取值范围；（3）当14y ≤<时，y 的取值范围．【难度】★★【答案】【解析】【作业6】已知反比例函数ky x=的图像上有一点A ，过A 点向x 轴做垂线，垂足分别为点B ，且AOB ∆的面积为15，求这个反比例函数解析式．【难度】★★【答案】【解析】【作业7】已知函数12y y y =-，且1y 为x 的反比例函数，2y 为x 的正比例函数，且312x x =-=，时，y 的值都是1．求y 关于x 的函数关系式．【难度】★★【答案】【解析】【作业8】在反比例函数ky x=的图像上有一点A ，它的横坐标x 和纵坐标y 是方程290x -=的两个根．求：（1）k 的值；（2）点A 到y 轴的距离；（3）点1(27)3P -，是否在该反比例函数图像上?【难度】★★【答案】【解析】【作业9】等腰直角POA 的直角顶点P 在反比例函数4y x=(0)x >的图像上，A 点在x 轴正半轴上，求A 点坐标．【难度】★★【答案】【解析】【作业10】已知，如图点P 是双曲线24y x=上的一点，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，PA 、PB 分别交双曲线11y x=于点D 、C ．求△PCD 的面积．【难度】★★★【答案】【解析】【作业11】如图已知在平面直角坐标系中，正方形ABCD 顶点A 、B 的坐标分别为（1，0）和（0，2）．双曲线(0)ky x x=>经过点D ．（1）求双曲线的函数解析式；（2）将正方形ABCD 沿x 轴向左平移多少个单位长度，可以使点C 正好落在双曲线上．【难度】★★★【答案】【解析】A BCDOP yxyABCDEF Ox。
中考数学复习 第一部分 知识梳理 第三章 函数 第11讲 反比例函数数学课件
设A1D=a，则OD=2+a，P2D=3a. ∴P2（2+a，3a）．
答图1-11-2
∵P2（2+a，3a）在反比例函数的图象(tú xiànɡ)上，
∴代入y= ，得（2+a）·3a=3.
化简,得a2+2a-1=0.解得a=-1±2．
∵a＞0，∴a=-1+2．∴A1A2=-2+22.
∴OA122/9=/2O021A1+A1A2=22，所以点A2的坐标为（22，0）．
13. (2017枣庄)如图1-11-11，反比例函数y=2x的图象经过矩 形OABC的边AB的中点(zhōnɡ diǎn)D，则矩形OABC的面积为 ___4_____.
14. （2018宜宾）如图1-11-12，已知反比例函数= （m≠0）
的图象经过点（1，4），一次函数y=-x+b的图象经过反比例 函数图象上的点Q（-4，n）． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）一次函数的图象分别(fēnbié)与x轴，y轴交于A，B两点， 与反比例函数图象的另一个交点为点P，连接OP，OQ， 求△OPQ的面积．
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基础训练
9. （2018衡阳）对于反比例函数y=- ，下列说法(shuōfǎ)不正确 的是( ) D
A.图象分布在第二、四象限
B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．图象经过点（1，-2） D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则 y1＜y2
10. （2018无锡）已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比
12/9/2021
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解：（1）∵反比例函数(hánshù)y= （m≠0）的图象经过点Q（1， 4），
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第11讲┃ 反比例函数
[中考点金] 利用反比例函数中 k 的几何意义时，要注意点的坐标 与线段长之间的转化，并且利用解析式和横坐标，求各点 的纵坐标是求矩形面积的关键．
第11讲┃ 反比例函数
6 变式题 如图 11－ 5，点 A 是反比例函数 y＝－ (x<0)的图 x 象上的一点，过点 A 作 ABCD，使点 B， C 在 x 轴上，点 D 在 y 轴上，则□ ABCD 的面积为 ( C ) A． 1 B． 3 C． 6 D． 12
第11讲┃ 反比例函数
[解析 ] 过 A 点作 AE⊥ y 轴，垂足为 E， 1 ∵点 A 在双曲线 y＝ 上， x ∴四边形 AEOD 的面积＝ xy＝ 1. 3 ∵点 B 在双曲线 y＝ 上，且 AB∥ x 轴， x ∴四边形 BEOC 的面积＝ xy＝ 3， ∴四边形 ABCD 的面积为 3－ 1＝ 2.
第11讲┃ 反比例函数
8． [2013· 扬州 ] 在温度不变的条件下，一定质量的气体的 压强 p 与它的体积 V 成反比例，当 V＝ 200 时，p＝ 50， 400 ． 则当 p＝ 25 时， V＝ ________
[解析 ]∵在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强 p k 与它的体积 V 成反比例，∴设 p＝ . V ∵当 V＝ 200 时， p＝ 50， 10000 ∴ k＝ Vp＝ 200× 50＝ 10000，∴ p＝ . V 10000 当 p＝ 25 时，得 V＝ ＝ 400. 25
第11讲┃ 反比例函数
1.
图 11－12，正比例函数 n y＝ mx 与反比例函数 y＝ x (m， n 是非零常数 )的图象 交于 A，B 两点．若点 A 的坐标为 (1， 2)，则点 B 的坐标是 ( C ) A． (－2，－ 4) B． (－ 2，－ 1) C． (－1，－ 2) D． (－4，－ 2)
第11讲┃ 反比例函数
6． [2013· 常德 ] 请写一个图象在第二、四象限的反比例函 －1 答案不唯一，如 y＝ x ． 数解析式： _______________________ k x ， y x ， y 7． [2013· 达州 ] 点 1 1， 2 2在反比例函数 y＝ 的图 x 象上，当 x1<x2<0 时， y1<y2，则 k 的取值可以是 －1(只要k＜0都行) _____________________( 只填一个符合条件的 k 的值 )．
第11讲┃ 反比例函数
k 解： (1)∵反比例函数 y＝ 的图象经过点 A(2， 3)， x k 把点 A 的坐标 (2， 3)代入解析式，得 3＝ ，解得 k＝ 6. 2 6 ∴这个函数的解析式为 y＝ . x 6 (2)分别把点 B， C 的坐标代入 y＝ ， x 可知点 B 的坐标不满足函数解析式，点 C 的坐标满足函数解析式， ∴点 B 不在这个函数的图象上，点 C 在这个函数的图象上． (3)∵当 x＝－ 3 时， y＝－ 2；当 x＝－ 1 时， y＝－ 6. 又由 k＞ 0 知，在 x＜ 0 时， y 随 x 的增大而减小， ∴当－ 3＜ x＜－ 1 时，－ 6＜ y＜－2.
第11讲
反比例函数
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃
考点1 反比例函数的图象与性质 6 1．对于函数 y＝ ，下列说法错误 的是 ．． x
( C )
A．它的图象分布在第一、三象限 B．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C．当 x>0 时，y 的值随 x 的增大而增大 D．当 x<0 时，y 的值随 x 的增大而减小
第11讲┃ 反比例函数
5． [2013· 台州 ] 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定 质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会 随之改变，密度 ρ(单位： kg/m3) 与体积 V(单位： m3)满足函数关 k 系式 ρ＝ (k 为常数， k≠ 0)，其 V 图象如图 11－ 9 所示，则 k 的值 为 ( A ) A．9 B．－9 C．4 D．－4
第11讲┃ 反比例函数
3． [2013· 沈阳 ] 在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ x－ 1 与函 1 数 y＝ 的图象可能是 ( C ) x
第11讲┃ 反比例函数
m＋ 2 4． [2013· 衢州 ] 若函数 y＝ 的图象在其所在的每一象限 x 内，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大，则 m 的取值范 围是 ( A ) A． m＜－ 2 B． m＜ 0 C． m＞－ 2 D． m＞ 0
b＝ 5， b＝ 5， ∴ 4k＋ b＝ 1， k＝－ 1.
∴直线 AE 解析式为 y＝－ x＋ 5， ∴ D(5， 0)． 又∵ C(－ 4，0)，∴CD＝ 4＋5＝9. .
第11讲┃ 反比例函数
┃考题自主训练与名师预测┃
1．若 y＝(a＋1)xa2－2 是反比例函数，则 a 的取值为 ( A ) A．1 B．－ 1 C．± 1 D．任意实数 k 2． [2013· 遂宁 ] 已知反比例函数 y＝ 的图象经过点 (2，－2)， x 则 k 的值为 ( C) 1 A．4 B．－ C．－ 4 D．－ 2 2
第11讲┃ 反比例函数
探究二
反比例函数与一次函数的综合应用
例 2 如图 11－ 6，已知一次函数与反比例函数的图象 交于点 A(－ 4，－ 2)和 B (a， 4)． (1)求反比例函数的解 析式和点 B 的坐标； (2)根据图象回答，当 x 在什么范围内时，一次 函数的值大于反比例函数 的值？
第11讲┃ 反比例函数
第11讲┃ 反比例函数
k 2．如图 11－1，双曲线 y＝ (k≠0)上有一点 A，过点 A 作 x AB⊥x 轴于点4B，△AOB 的面积为 2，则该双曲线的解 y＝－ ． 析式为________ x
第11讲┃ 反比例函数
【归纳总结】
1．反比例函数的图象及其性质 函数 图象 所在象限 k>0 k y＝ x (k≠ 0) 一、三象限 (x、 y 同号 ) 性质 在每个象限内， y 随 x 的增大 减小 而 ________ 在每个象限内， y 随 x 的增大 增大 而 ________
第11讲┃ 反比例函数
考点2
反比例函数的应用
1. 已知长方形的面积为 20 cm2，设该长方形的一边长为 y cm， 另一边长为 x cm，则 y 与 x 之间的函数图象大致是( B )
第11讲┃ 反比例函数
2．在对物体做功一定的情况下，力 F(牛 )与此物体在力的 方向上移动的距离 s(米 )成反比例函数关系，其图象如 图 11－3 所示， P(5，1)在图象上，则当力达到 10 牛时， 物体在力的方向上移动的距离是________ 0.5 米．
第11讲┃ 反比例函数
[中考点金] 在比较两个函数值的大小时要注意利用函数图象， 根据函数值大的函数图象在上方，从而确定自变量的取 值范围．
第11讲┃ 反比例函数
1 k 如图 11－ 7，直线 y＝ x 与双曲线 y＝ 相交于 A， 4 x B 两点， BC⊥ x 轴于点 C(－ 4， 0)． (1)求 A、 B 两点的坐标及双曲线的解析式； (2)若经过点 A 的直线与 x 轴的正半轴交于点 D，与 y 轴的 正半轴交于点 E，且△ AOE 的面积为 10，求 CD 的长． 变式题
第11讲┃ 反比例函数
k 10． [2013· 天津] 已知反比例函数 y＝ (k 为常数，k≠0)的图 x 象经过点 A(2，3)． (1)求这个函数的解析式； (2)判断点 B(－1， 6)，C(3， 2)是否在这个函数的图象上， 并说明理由； (3)当－3＜x＜－1 时，求 y 的取值范围．
第11讲┃ 反比例函数
1 解： (1)把 x＝－ 4 代入 y＝ x 得 y＝－ 1， 4 ∴ B(－4，－1)． 由双曲线和正比例函数图象的对称性知 A(4， 1)． k 把 B(－4，－1)代入 y＝ 得 k＝4， x 4 ∴双曲线的解析式是 y＝ . x
第11讲┃ 反比例函数
(2)过点 A 作 AM 垂直 OE 于点 M，可得 AM＝ 4. 1 ∵ S△ AOE＝ OE· AM＝ 10， 2 ∴ OE＝ 5，∴E(0，5)． 设直线 AE 解析式为 y＝ kx＋ b， 代 E(0， 5)，A(4，1)得
k<0
二、四象限 (x、 y 异号 )
第11讲┃ 反比例函数
k 2. 反比例函数 y＝ (k≠ 0)中 k 的几何意义： x (1)过双曲线上任意一点作 x 轴、 y 轴的垂线，所得的矩 形面积为 |k|； (2)过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接原点， |k | 所得三角形的面积为 . 2
第11讲┃ 反比例函数
6 9． [2013· 黄冈] 已知反比例函数 y＝ 在第一象限的图象如图 x 11－ 10 所示，点 A 在其图象上，点 B 为 x 轴正半轴上一 6 点，连接 AO，AB，且 AO＝ AB，则 S△ AOB＝________ ．
第11讲┃ 反比例函数
[解析 ] 根据等腰三角形的性质得出 CO＝ BC，再利用反 比例函数系数 k 的几何意义得出 S△ AOB. 过点 A 作 AC⊥ OB 于点 C， ∵ AO＝ AB， ∴ CO＝ BC. ∵点 A 在其图象上， 1 ∴ · AC· CO＝ 3， 2 1 ∴ · AC· BC＝ 3， 2 ∴ S△ AOB＝ 6.
第11讲┃ 反比例函数
2 (2)在 y＝ x＋ 2 中，令 y＝ 0， 3 2 即 x＋ 2＝ 0， 3 ∴ x＝－ 3， ∴点 B 的坐标是 (－ 3， 0)， ∴ OB＝ 3.又 DA＝ 4， 1 1 ∴ S△ AOB＝ OB· AD＝ × 3× 4＝ 6， 2 2 即△AOB 的面积为 6.
设力 F(牛 )与此物体在力的方向上移动的距离 k s(米 )之间的函数关系式为 F＝ ，把点 P(5， 1)代入得 k＝ 5， s 所以当 F＝ 10 牛时， s＝ 0.5 米．