2019届河南省高考模拟试题精编(一)理科数学(word版)

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河南高考模拟卷-2019高考模拟数学-试卷(理)

数学科试题（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．已知集合，，则=}032{2>--=x x x A }4,3,2{=B B A C R ⋂)(A ．B ．C ．D ．}3,2{}4,3,2{}2{φ2．已知是虚数单位，，则=i iz +=31z z ⋅A ．B ．C ．D ．510101513．执行如图所示的程序框图，若输入的点为，则输出的值为(1,1)P n A ．3B ．4C ．5D ．6（第3题）（第4题）4．如图，是边长为8的正方形，若，且为的中点，则ABCD 13DE EC =F BC EA EF ⋅=A ．10B ．12C ．16D ．205．若实数满足，则的最大值是y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+012y x y y x yx z 82⋅=A ．4B ．8C ．16D ．326.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为A ． 3228516++B ．32532+C ． 32216+D ．32216516++7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是A ．B ．C ．D ． 10151103548．设是数列的前项和，且，，则=n S }{n a n 11-=a 11++⋅=n n n S S a 5a A ．B ．C ．D ． 301031-021201-9. 函数()1ln1xfx x-=+的大致图像为10. 底面为矩形的四棱锥的体积为8，若平面,且，则四棱锥ABCD P -⊥PA ABCD 3=PA 的外接球体积最小值是ABCD P -A ．B ．C ．D ． π625π125π6251π2511. 已知抛物线,过焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B 两点，以AB()220y px p =>为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是3，则抛物线的准线方程为A ．B ．．．1x =-x =x =x =12. 已知函数（），函数，直线分别与两函数交于x x x f ln )(2-=22≥x 21)(-=x x g t y =两点，则的最小值为B A ,AB A ．B ．C ．D ．211232二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设样本数据，，...，的方差是5，若（），则，1x 2x 2018x 13+=i i x y 2018,...,2,1=i 1y ，...，的方差是________2y 2018y 14. 已知函数（），若，则方程在的实x x x f ωωcos 3sin )(-=0>ω3=ω1)(-=x f ),0(π数根个数是_____15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入的方格内，33⨯使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方2n n n ⨯形就叫做阶幻方.记阶幻方的一条对角线上数的和为 (如：在3阶幻方中，n n n N )，则=_______315N =5N16.已知中，内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，且，．ABC ∆a b c 1c =π3C =若，则的面积为sin sin()sin 2C A B B +-=ABC ∆三、解答题：本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分，第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分．17.(本小题满分12分)设数列是公差为的等差数列.}{n a d (Ⅰ) 推导数列的通项公式；}{n a (Ⅱ) 设，证明数列不是等比数列.0≠d }1{+n a 18．(本小题满分12分)某中学为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了40名学生(其中男、女生各占一半)进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0，5)，[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25]，得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)写出女生组频率分布直方图中的值；a (Ⅱ)在抽取的40名学生中从月上网次数不少于20的学生中随机抽取2人，并用表示随X 机抽取的2人中男生的人数，求的分布列和数学期望．X 19.(本小题满分12分)在直三棱柱中，，。

河南省2019年高考数学一模试卷(解析版)(理科)

2019年河南省平顶山市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x||x|＜1 }，B={x|≥1}，则A∪B=（）A．（﹣1，1]B．[﹣1，1]C．（0，1）D．（﹣∞，1]2．若复数（1+2i）（1+ai）是纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（）A．﹣2 B．C．﹣D．23．某几何体的三视图如图所示，它的表面积为（）A．66πB．51πC．48πD．33π4．下列说法正确的是（）A．“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x＞0”B．若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1C．“x2+2x≥ax（1≤x≤2）恒成立”等价于“（x2+2x）min≥（ax）max（1≤x≤2）”D．“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题5．已知向量=（1，﹣2），=（1，1），→→→-=b a m ， =+λ，如果→→⊥n m ，那么实数λ=（）A ．4B ．3C ．2D ．16．若对于任意的x ＞0，不等式≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．a ≥B ．a ＞C ．a ＜D ．a ≤7．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）A ．B ．C ．D ． 8．若执行如图所示程序框图，则输出的s 值为（）A ．﹣2016B ．2016C ．﹣2017D ．20179．高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径是（）A ．B ．2C ．D ．10．已知点p（x，y）满足过点p（x，y）向圆x2+y2=1做两条切线，切点分别是点A和点B，则当∠APB最大时，的值是（）A．2 B．3 C．D．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点D作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．12．已知f（x）是定义在（0，+∞）的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则实数a的值为．14．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为．15．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A，则c=．16．已知函数f（x）=．若a＞0，则函数y=f（f（x））﹣1有个零点．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且2S n=3a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求a n和S n；（Ⅱ）若b n=log3（S n+1），求数列{b2n}的前n项和T n．18．（12分）某校高一共录取新生1000名，为了解学生视力情况，校医随机抽取了100名学生进行视力测试，并得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）若视力在4.6～4.8的学生有24人，试估计高一新生视力在4.8以上的人数；（Ⅱ）校医发现学习成绩较高的学生近视率较高，又在抽取的100名学生中，对成绩在前50名的学生和其他学生分别进行统计，得到如右数据，根据这些数据，校医能否有超过95%的把握认为近视与学习成绩有关？（Ⅲ）用分层抽样的方法从（Ⅱ）中27名不近视的学生中抽出6人，再从这6人中任抽2人，其中抽到成绩在前50名的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，CB⊥平面PAB，AD∥BC，且PA=PB=AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：平面DPC⊥平面BPC；（Ⅱ）求二面角C﹣PD﹣B的余弦值．20．（12分）如图，点P为圆E：（x﹣1）2+y2=r2（r＞1）与x轴的左交点，过点P作弦PQ，使PQ与y轴交于PQ的中点D．（Ⅰ）当r在（1，+∞）内变化时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）已知点A（﹣1，1），设直线AQ，EQ分别与（Ⅰ）中的轨迹交于另一点Q1，Q2，求证：当Q在（Ⅰ）中的轨迹上移动时，只要Q1，Q2都存在，且Q1，Q2不重合，则直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．请考生从（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为参数方程：（Ⅱ）如果过曲线C上一点M且斜率为﹣的直线与直线l：y=﹣x+6交于点Q，那么当|MQ|取得最小值时，求M点的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若f（x）≥﹣对任意实数x恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x||x|＜1 }，B={x|≥1}，则A∪B=（）A．（﹣1，1]B．[﹣1，1]C．（0，1）D．（﹣∞，1]【考点】并集及其运算．【分析】分别求出集合A、B的范围，取并集即可．【解答】解：集合A={x||x|＜1 }=（﹣1，1），B={x|≥1}=（0，1]，则A∪B=（﹣1，1]，故选：A．【点评】本题考查了集合的并集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2．若复数（1+2i）（1+ai）是纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（）A．﹣2 B．C．﹣D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数（1+2i）（1+ai）=1﹣2a+（2+a）i是纯虚数，则1﹣2a=0，2+a≠0，解得a=．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．某几何体的三视图如图所示，它的表面积为（）A．66πB．51πC．48πD．33π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体，上部为半球体，直径为6．下部为母线长为5的圆锥，分别求面积，再相加即可．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体是一组合体，上部为半球体，直径为6．下部为母线长为5的圆锥．半球表面积为2π×32=18π圆锥的侧面积为π×3×5=15π所以所求的表面积为π+15π=33π故选D．【点评】本题考查由三视图考查由三视图还原几何体直观图，求几何体的表面积，属于基础题．4．下列说法正确的是（）A．“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x＞0”B．若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1C．“x2+2x≥ax（1≤x≤2）恒成立”等价于“（x2+2x）min≥（ax）max（1≤x≤2）”D．“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x≤0”；B，命题“若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1”的逆否命题是：“若x=2且y=1，则x+y=3“为真命题，故原命题为真命题；C，例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4；D，a=0时，函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点；【解答】解：对于A，“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，使e x≤0”，故错；对于B，命题“若x+y≠3（x，y∈R），则x≠2或y≠1”的逆否命题是：“若x=2且y=1，则x+y=3“为真命题，故原命题为真命题，故正确；对于C，例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4，故错；对于D ，原命题的逆命题为：若函数f （x ）=ax 2+2x ﹣1只有一个零点，则a=﹣1“，∵a=0时，函数f （x ）=ax 2+2x ﹣1只有一个零点，故错；故选：B【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．5．已知向量=（1，﹣2），=（1，1），→→→-=b a m ， =+λ，如果→→⊥n m ，那么实数λ=（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先利用平面向量坐标运算法则求出，，再由⊥，利用向量垂直的条件能求出实数λ．【解答】解：∵向量=（1，﹣2），=（1，1），→→→-=b a m ， =+λ， ∴→m =（0，﹣3），=（1+λ，﹣2+λ）， ∵→→⊥n m ，∴=0﹣3（﹣2+λ）=0，解得λ=2．故选：C ．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．6．若对于任意的x ＞0，不等式≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A．a≥B．a＞C．a＜D．a≤【考点】基本不等式．【分析】由x＞0，不等式=，运用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范围．【解答】解：由x＞0，=，令t=x+，则t≥2=2当且仅当x=1时，t取得最小值2．取得最大值，所以对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则a≥，故选：A．【点评】本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题．7．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是，再把这2个概率相加，即得所求．【解答】解：白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是=，故所求事件的概率为=，故选C．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．8．若执行如图所示程序框图，则输出的s值为（）A．﹣2016 B．2016 C．﹣2017 D．2017【考点】程序框图．【分析】由程序框图求出前几次运行结果，观察规律可知，得到的S 的结果与n的值的关系，由程序框图可得当n=2017时，退出循环，由此能求出结果．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，s=0满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1，n=2满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1+3=2，n=3满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1+3﹣5=﹣3，n=4满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣1+3﹣5+7=4，n=5满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣5，n=6满足条件n＜2017，执行循环体，s=6，n=7…满足条件n＜2017，执行循环体，s=﹣2015，n=2016满足条件n＜2017，执行循环体，s=2016，n=2017不满足条件n＜2017，退出循环，输出s的值为2016．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．9．高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径是（）A．B．2 C．D．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题中条件知高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底）内，可放置最大球的半径，即为底面正三角形的内切圆的半径，然后解答即可．【解答】解：由题意知，正三棱柱形容器内有一个球，其最大半径为rr即为底面正三角形的内切圆半径，∵底面边长为4的r=2故选B．【点评】本题考查棱柱的结构特征、球的性质，考查学生空间想象能力，解答的关键是构造球的大圆沟通条件之间的联系．10．已知点p（x，y）满足过点p（x，y）向圆x2+y2=1做两条切线，切点分别是点A和点B，则当∠APB最大时，的值是（）A．2 B．3 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用向量的数量积公式，求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线x+y﹣2=0时P到圆心的距离最小，此时|OP|==2，|OA|=1，设∠APB=α，则sin=，=此时cosα=，•=••=．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，考查学生分析解决问题的能力，利用数形结合是解决本题的关键．11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点D作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程，求出A的坐标，进而求得B的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是通过分析题设中的信息，找到双曲线方程中a和c的关系．12．已知f（x）是定义在（0，+∞）的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得函数是（0，+∞）上的增函数，比较大小可得0.32＜30.2＜log25，故可得答案．【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，∴函数是（0，+∞）上的增函数，∵1＜30.2＜3，0＜0.32＜1，log25＞2，∴0.32＜30.2＜log25，∴c＜a＜b．故选：C．【点评】本题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查学生对指数函数、对数函数性质的运用能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则实数a的值为．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】直接利用正态分布的对称性，列出方程求解即可．【解答】解：由题意可知随机变量ξ～N（2，4），满足正态分布，对称轴为μ=2，P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则：a+2+2a﹣3=4，解得a=．故答案为．【点评】本题考查正态分布的基本性质的应用，考查计算能力．14．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为．【考点】二项式系数的性质．【分析】求出展开式的通项，令r=2求出展开式第3项的二项式系数，列出方程求出n；令二项式中的x=1求出展开式的所有项的系数和．【解答】解：展开式的通项为当r=2时是展开式中第3项的二项式系数为C n2=15解得n=6令二项式中的x=1得展开式中所有项的系数之和为．故答案为：．【点评】本题考查了二项式这部分的两个重要的题型：求展开式的特定项、求展开式的系数和问题．15．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A，则c=5．【考点】余弦定理．【分析】由∠B=2∠A，得到sinB=sin2A=2sinAcosA，利用正弦定理化简将a与b的值代入求出cosA的值，利用余弦定理列出关系式，将a，b，cosA的值代入即可求出c的值．【解答】解：∵∠B=2∠A，∴sinB=sin2A=2sinAcosA，利用正弦定理化简得：b=2acosA，把a=3，b=2代入得：2=6cosA，即cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即9=24+c2﹣8c，解得：c=5或c=3，当c=3时，a=c，即∠A=∠C，∠B=2∠A=2∠C，∴∠A+∠C=∠B，即∠B=90°，而32+32≠（2）2，矛盾，舍去；则c=5．故答案为：5【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．16．已知函数f（x）=．若a＞0，则函数y=f（f（x））﹣1有3个零点．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数y=f（f（x））﹣1=0，求出f（x）的值，然后利用分段函数的表达式求解x的值，推出结果．【解答】解：函数y=f（f（x））﹣1，令f（f（x））﹣1=0，当f（x）＞0时，可得log2f（x）=1，解得f（x）=2，则log2x=2，解得x=4，ax+1=2，解得x=（舍去）．当f（x）＜0，可得af（x）+1=1，解得f（x）=0，则log2x=0，解得x=1，ax+1=0，解得x=﹣．所以函数的零点3个．故答案为：3．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点个数的求法，考查转化思想以及计算能力．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2017•平顶山一模）已知S n为数列{a n}的前n项和，且2S n=3a n﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求a n和S n；（Ⅱ）若b n=log3（S n+1），求数列{b2n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）由2S n=3a n﹣2可求得a1=2；当n≥2时，a n=3a n﹣1，从而可知数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列，继而可得a n和S n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知S n=3n﹣1，从而可得b n=n，b2n=2n，利用等差数列的求和公式即可求得数列{b2n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵2S n=3a n﹣2，∴n=1时，2S1=3a1﹣2，解得a1=2；当n≥2时，2S n﹣1=3a n﹣1﹣2，∴2S n﹣2S n﹣1=3a n﹣3a n﹣1，∴2a n=3a n﹣3a n﹣1，∴a n=3a n﹣1，∴数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n=2•3n﹣1，S n==3n﹣1，（Ⅱ）∵a n=2•3n﹣1，S n=3n﹣1，∴b n=log3（S n+1）=log33n=n，∴b2n=2n，∴T n=2+4+6+…+2n==n2+n．【点评】本题考查数列的求和，着重考查等比数列的判定与通项公式、求和公式的应用，突出考查等差数列的求和，属于中档题．18．（12分）（2017•平顶山一模）某校高一共录取新生1000名，为了解学生视力情况，校医随机抽取了100名学生进行视力测试，并得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）若视力在4.6～4.8的学生有24人，试估计高一新生视力在4.8以上的人数；（Ⅱ）校医发现学习成绩较高的学生近视率较高，又在抽取的100名学生中，对成绩在前50名的学生和其他学生分别进行统计，得到如右数据，根据这些数据，校医能否有超过95%的把握认为近视与学习成绩有关？（Ⅲ）用分层抽样的方法从（Ⅱ）中27名不近视的学生中抽出6人，再从这6人中任抽2人，其中抽到成绩在前50名的学生人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用频率分布表，求出前四组学生的视力在4.8以下的人数，然后求解视力在4.8以上的人数．（Ⅱ）求出k 2，即可说明校医有超过95%的把握认为近视与成绩有关．（Ⅲ）依题意，6人中年级名次在1～50名和951～1000名的分别有2人和4人，所以ξ可取0，1，2．求出概率，顶点分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由图可知，前四组学生的视力在4.8以下，第一组有0.15×0.2×100=3人，第二组有0.35×0.2×100=7人，第三组1.35×0.2×100=27人，第四组有24人．…（2分）所以视力在4.8以上的人数为人． (Ⅱ)，因此校医有超过95%的把握认为近视与成绩有关．…（8分）（Ⅲ）依题意，6人中年级名次在1～50名和951～1000名的分别有2人和4人，所以ξ可取0，1，2.，，，ξ的分布列为…（10分）ξ的数学期望．…（12分）【点评】本题考查频率分布直方图以及概率的求法，分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（12分）（2017•平顶山一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，CB ⊥平面PAB，AD∥BC，且PA=PB=AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：平面DPC⊥平面BPC；（Ⅱ）求二面角C﹣PD﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）分别取PC，PB的中点E，F，连结DE，EF，AF，证明AF⊥EF，AF⊥PB．推出AF⊥平面BPC，然后证明DE⊥平面BPC，即可证明平面DPC⊥平面BPC．…．（Ⅱ）解法1：连结BE，说明BE⊥CP，推出BE⊥平面DPC，过E作EM⊥PD，垂足为M，连结MB，说明∠BME为二面角C﹣PD﹣B的平面角．在△PDE中，求解即可．解法2：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面PDC和面PBC的法向量，由空间向量的数量积求解二面角C ﹣PD﹣B的余弦值即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：如图，分别取PC，PB的中点E，F，连结DE，EF，AF，由题意知，四边形ADEF为矩形，∴AF⊥EF．…（2分）又∵△PAB为等边三角形，∴AF⊥PB．又∵EF∩PB=F，∴AF⊥平面BPC．…又DE∥AF．∴DE⊥平面BPC，又DE⊂平面DPC，∴平面DPC⊥平面BPC．…（Ⅱ）解法1：连结BE，则BE⊥CP，由（Ⅰ）知，BE⊥平面DPC，过E作EM⊥PD，垂足为M，连结MB，则∠BME为二面角C﹣PD﹣B的平面角．…（7分）由题意知，DP=DC=，PC=，∴，∴，∴在△PDE中，．…（10分）又，∴，∴．…（12分）（Ⅱ）解法2：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，A（0，0，0），B（0，2，0），，C（0，2，2），D（0，0，1）．，，．…（8分）设平面PDC和面PBC的法向量分别为，，由，得，令y=﹣1得；由，得，令a=1得．…（10分）∴二面角C﹣PD﹣B的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）（2017•平顶山一模）如图，点P为圆E：（x﹣1）2+y2=r2（r＞1）与x轴的左交点，过点P作弦PQ，使PQ与y轴交于PQ的中点D．（Ⅰ）当r在（1，+∞）内变化时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）已知点A（﹣1，1），设直线AQ，EQ分别与（Ⅰ）中的轨迹交于另一点Q1，Q2，求证：当Q在（Ⅰ）中的轨迹上移动时，只要Q1，Q2都存在，且Q1，Q2不重合，则直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．【分析】（Ⅰ）设Q（x，y），则PQ的中点，由题意DE⊥DQ，得，代入坐标得答案；（Ⅱ）分别设出Q、Q1、Q2的坐标，结合A，Q，Q1共线，E，Q，Q2共线可把Q1、Q2的坐标用Q的坐标表示，得到线Q1Q2的方程，再由直线系方程可得直线Q1Q2恒过定点，并求该定点坐标．【解答】（Ⅰ）解：设Q（x，y），则PQ的中点，∵E（1，0），∴，．在圆E中，∵DE⊥DQ，∴，则．∴点Q的轨迹方程y2=4x（x≠0）；（Ⅱ）证明：设Q（t2，2t），，，则直线Q1Q2的方程为（t1+t2）y﹣2x﹣2t1t2=0．由A，Q，Q1共线，得，从而（，否则Q1不存在），由E，Q，Q2共线，得，从而（t≠0，否则Q2不存在），∴，，∴直线Q1Q2的方程化为t2（y﹣4x）+2t（x+1）+（y+4）=0，令，得x=﹣1，y=﹣4．∴直线Q1Q2恒过定点（﹣1，﹣4）．【点评】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，属中档题．21．（12分）（2015•新课标Ⅱ）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m 的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．请考生从（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•平顶山一模）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为参数方程：（Ⅱ）如果过曲线C上一点M且斜率为﹣的直线与直线l：y=﹣x+6交于点Q，那么当|MQ|取得最小值时，求M点的坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2化为普通方程，再转化为参数方程即可．（Ⅱ）设斜率为的直线与l的夹角为γ（定值），M到l的距离为d，令，则，利用三角函数的有界限求解最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的普通方程为，∴曲线C的参数方程为（α为参数）．（Ⅱ）方法一：设斜率为的直线与l的夹角为γ（定值），M到l的距离为d，则，所以d取最小值时，|MQ|最小．令，则，当时，d最小．∴点M的坐标为．（Ⅱ）方法二：设斜率为的直线与l的夹角为γ（定值），M到l的距离为d，则，∴d取最小值时，|MQ|最小．∴，M是过圆心垂直于l的直线与圆（靠近直线l端）的交点．由，得或（舍去）．∴点M的坐标为．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，直线参数方程的几何意义的运用．属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•平顶山一模）已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若f（x）≥﹣对任意实数x恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值符号，然后求解不等式即可解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）利用绝对值的几何意义，求出f（x）的最小值，利用恒成立，转化不等式求解即可．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）原不等式可化为：或或…（3分）解得：x＜﹣2或x＞3，所以解集为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．…（Ⅱ）因为|x﹣2|+|x+1|≥|x﹣2﹣（x+1）|=3，…（7分）所以f（x）≥3，当x≤﹣1时等号成立．所以f（x）min=3．又，故．…（10分）【点评】本题考查函数的恒成立，函数的最值的求法，绝对值不等式的几何意义的应用，考查转化思想以及计算能力．。

2019届河南省高考模拟试题精编(三)理科数学(word版)

2019届河南省高考模拟试题精编(三)理科数学(考试用时：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z ＝2＋i1－i (i 为虚数单位)，那么z 的共轭复数为( )A.32＋32i B.12－32i C.12＋32iD.32－32i 2．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．1或23．如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．8－4π3B ．8－πC ．8－2π3D ．8－π34．《张丘建算经》中“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？”意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里路，问每天走的里数为多少？”则该匹马第一天走的里数为( )A.128127B.44 800127C.700127D.175325．已知点x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥0x －2≤0，则z ＝3x ＋y 的最大值与最小值之差为( )A ．5B ．6C ．7D ．86．GZ 新闻台做《一校一特色》访谈节目，分A ，B ，C 三期播出，A 期播出两所学校，B 期，C 期各播出1所学校，现从8所候选学校中选出4所参与这三项任务，不同的选法共有( )A ．140种B ．420种C ．840种D ．1 680种7．执行如图的程序框图，则输出x 的值是()A ．2 018B ．2 019 C.12D ．28．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，且其离心率e ＝32，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 25＝1 B.x 25－y 24＝1 C.y 24－x 25＝1D.y 25－x 24＝1 9．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A.12B ．－12C.32D ．－3210．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是( )A ．男医生B ．男护士C ．女医生D ．女护士11．如图，在△ABC 中，AD→＝2DB →，BC →＝2BE →，AE 与CD交于点F ，过点F 作直线QP ，分别交AB ，AC 于点Q ，P ，若AQ→＝λAB →，AP →＝μAC →，则λ＋μ的最小值为( ) A.85B.95 C ．2D.11512．已知x ＝－1是函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x 的一个极值点，四位同学分别给出下列结论，则一定不成立的结论是( )A ．a ＝0B ．b ＝0C ．c ≠0D ．a ＝c第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．2017年高校毕业生就业形势仍然相当严峻，某社会调研机构对即将毕业的大学生就业所期望的月薪(单位：元)进行调查，共调查了3 000名大学生，并根据所得数据绘制了频率分布直方图(如图)，则所期望的月薪在[2 500,3 500)内的大学生有________名．14．化简：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝________. 15．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线AB 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若2OA →＋OB →－3OF →＝0，则弦AB 中点到抛物线C 的准线的距离为________．16．在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝8，对所有正整数n 均有a n ＋2＋a n ＝a n ＋1，则∑n ＝12 018a n ＝________.三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c －a ＝2b cos A .(1)求角B 的大小；(2)若b＝23，求a＋c的最大值．18．(本小题满分12分)为了解当代中学生喜欢文科、理科的情况，某中学一课外活动小组在学校高一进行文、理分科时进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位：分)进行统计，将数据按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科意向”学生，低于60分的称为“理科意向”学生．(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科意向”与性别有关？理科意向文科意向总计男110女50总计(2)将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科意向”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望E(ξ)和方差D(ξ)．参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.参考临界值：P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82 819．(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面是直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2BC ，PA ⊥平面ABCD .(1)设E 为线段PA 的中点，求证：BE ∥平面PCD ；(2)若PA ＝AD ＝DC ，求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值． 20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中取两个定点A 1(－6，0)，A 2(6，0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝2.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2的交点M 的轨迹C 的方程；(2)过R (3,0)的直线与轨迹C 交于P ，Q 两点，过点P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若RP→＝λRQ →(λ＞1)，求证：NF →＝λFQ →. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －ax －m (a ，m ∈R)在x ＝e(e 为自然对数的底数)时取得极值，且有两个零点记为x 1，x 2.(1)求实数a 的值，以及实数m 的取值范围； (2)证明：ln x 1＋ln x 2＞2.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系下，圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ≤2π)．(1)求圆O 与直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标． 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知a ＞0，b ＞0，函数f (x )＝|2x ＋a |＋2|x －b2|＋1的最小值为2.(1)求a ＋b 的值；(2)求证：a ＋log 3⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ≥3－b .高考理科数学模拟试题精编(三)班级：_________姓名：___________得分：_____________题号123456789101112答案请在答题区域内答题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13._________14._________15.________16.___________三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.(本小题满分12分)18.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分)20.(本小题满分12分)21.(本小题满分12分)请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．高考理科数学模拟试题精编(三)1-5BBDBC 6-10CDAAC 11-12AB13．答案：1 350 14．答案：4sin α 15．答案：9416．答案：1017．解：(1)∵2c －a ＝2b cos A ，∴根据正弦定理，得2sin C －sin A ＝2sin B cos A ，∵A ＋B ＝π－C ，(2分)可得sin C ＝sin(A ＋B )＝sin B cos A ＋cos B sin A ，∴代入上式，得2sin B cos A ＝2sin B cos A ＋2cos B sin A －sin A ，化简得(2cos B －1)sin A ＝0 (4分)由A 是三角形的内角可得sin A ＞0，∴2cos B －1＝0，解得cos B ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3；(6分)(2)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得12＝a 2＋c 2－ac .(8分)∴(a ＋c )2－3ac ＝12，由ac ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22，－3ac ≥－3×(a ＋c )24，(a ＋c )2－3ac ≥(a＋c )2－34(a ＋c )2，∴12≥14(a ＋c )2，(当且仅当a ＝c ＝23时)，即(a ＋c )2≤48，∴a ＋c ≤43，(11分)∴a ＋c 的最大值为4 3.(12分)18．解：(1)由频率分布直方图可得分数在[60,80)之间的学生人数为0.012 5×20×200＝50，在[80,100]之间的学生人数为0.007 5×20×200＝30，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为理科意向文科意向总计男8030110女405090总计12080200 (4分)又K2＝200×(80×50－30×40)2120×80×110×90≈16.498＞6.635，所以有99%的把握认为是否为“文科意向”与性别有关．(6分)(2)易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科意向”的概率为p＝80200＝25.依题意知ξ～B⎝⎛⎭⎪⎫3，25，(8分)所以P(ξ＝i)＝C i3⎝⎛⎭⎪⎫25i⎝⎛⎭⎪⎫1－253－i(i＝0,1,2,3)，所以ξ的分布列为ξ012 3P2712554125361258125所以期望E(ξ)＝np＝65，方差D(ξ)＝np(1－p)＝1825.(12分)19．解：(1)证明：取PD的中点G，连接EG，GC，则EG綊12AD，又BC綊12AD，所以EG綊BC，四边形BCGE为平行四边形．(4分) 所以BE∥GC，又BE⊄平面PCD，GC⊂平面PCD，所以BE∥平面PCD.(6分)(2)以A为坐标原点，AD→的方向为y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设PA ＝2，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，D (0,2,0)，C (2,2,0)，B (2,1,0)，AP→＝(0,0,2)，AB →＝(2,1,0)，PD →＝(0,2，－2)，DC →＝(2,0,0)．(8分) 设n ＝(x ，y ，z )是平面PAB 的法向量，则⎩⎨⎧n ·AP→＝0n ·AB→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝02x ＋y ＝0，令x ＝1，得y ＝－2，则n ＝(1，－2,0)是平面PAB 的一个法向量，同理，m ＝(0，－1，－1)是平面PCD 的一个法向量．(10分)所以cos 〈m ，n 〉＝m·n|m |·|n |＝25×2＝105，所以平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为105.(12分)20．解：(1)依题意知，直线A 1N 1的方程为y ＝m6(x ＋6)，①直线A 2N 2的方程为y ＝－n6(x －6)，②(2分) 设M (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点，①×②得y 2＝－mn6(x 2－6)，又mn＝2，整理得x 26＋y 22＝1.故点M 的轨迹C 的方程为x 26＋y 22＝1.(4分)(2)证明：设过点R 的直线l ：x ＝ty ＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则N (x 1，－y 1)，由⎩⎨⎧x ＝ty ＋3x 26＋y 22＝1，消去x ，得(t 2＋3)y 2＋6ty ＋3＝0，(*)(6分) 所以y 1＋y 2＝－6t t 2＋3，y 1y 2＝3t 2＋3.由RP →＝λRQ →，得(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)，故x 1－3＝λ(x 2－3)，y 1＝λy 2，(8分)由(1)得F (2,0)，要证NF →＝λFQ →，即证(2－x 1，y 1)＝λ(x 2－2，y 2)，只需证2－x 1＝λ(x 2－2)，只需x 1－3x 2－3＝－x 1－2x 2－2，即证2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋12＝0，又x 1x 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9，x 1＋x 2＝ty 1＋3＋ty 2＋3＝t (y 1＋y 2)＋6，所以2t 2y 1y 2＋6t (y 1＋y 2)＋18－5t (y 1＋y 2)－30＋12＝0，即2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝0，(10分)而2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝2t 2·3t 2＋3－t ·6t t 2＋3＝0成立，即NF→＝λFQ →成立．(12分) 21．解：(1)f ′(x )＝1x ·x －(ln x －a )x 2＝a ＋1－ln x x 2，由f ′(x )＝0⇒x ＝e a ＋1，且当0＜x ＜e a ＋1时，f ′(x )＞0，当x ＞e a ＋1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在x ＝e a ＋1时取得极值，所以e a ＋1＝e ⇒a ＝0.所以f (x )＝ln xx －m (x ＞0)，f ′(x )＝1－ln x x 2，函数f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，f (e)＝1e－m .(3分)又x →0(x ＞0)时，f (x )→－∞；x →＋∞时，f (x )→－m ，f (x )有两个零点x 1，x 2，故⎩⎨⎧1e－m ＞0－m ＜0，解得0＜m ＜1e.(5分)(2)证明：不妨设x 1＜x 2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ln x 1＝mx 1ln x 2＝mx 2.则ln x 1x 2＝m (x 1＋x 2)，ln x 2x 1＝m (x 2－x 1)⇒m ＝ln x 2x 1x 2－x 1.欲证ln x 1＋ln x 2＞2，只需证ln(x 1·x 2)＞2，只需证m (x 1＋x 2)＞2，即证x 1＋x 2x 2－x 1ln x 2x 1＞2.(7分)即证1＋x 2x 1x 2x 1－1ln x 2x 1＞2，设t ＝x 2x 1＞1，则只需证ln t ＞2(t －1)t ＋1.即证ln t －2(t －1)t ＋1＞0.(9分)记u (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1(t ＞1)，则u ′(t )＝1t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2＞0.所以u (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以u (t )＞u (1)＝0，所以原不等式成立，故ln x 1＋ln x 2＞2，得证．(12分)22．解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，(2分)直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0.(5分)(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，(9分)转化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.(10分) 23．解：(1)因为f (x )＝|2x ＋a |＋|2x －b |＋1≥|2x ＋a －(2x －b )|＋1＝|a ＋b |＋1，当且仅当(2x ＋a )(2x －b )≤0时，等号成立，(2分)又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋1＝2，所以a ＋b ＝1.(5分)(2)证明：由(1)知，a ＋b ＝1，所以1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝1＋4＋b a ＋4ab ≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4ab 且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取等号．(7分) 所以log 3⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ≥log 39＝2，所以a ＋b ＋log 3⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ≥1＋2＝3，即a ＋log 3⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ≥3－b .(10分)。

(完整版)2019年高考全国I卷模拟试卷及答案理科数学(六),推荐文档

座位号绝密 ★ 启用前2019 年高考全国 I 卷模拟试卷理科数学（六）注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第 Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·柳州模拟]已知集合 A x, y y x 1， B x, y y 2x 5，则 A B （）A． 2,1B． 2,1C． 1,22．[2019·合肥一中]设 z 1 i ， z 是 z 的共轭复数，则 z z （ 1iA． 1B. iC．1D． 1,5）D．43．[2019·皖江名校]2018 年 9～12 月某市邮政快递业务量完成件数较 2017 年 9～12 月同比增长25% ，该市 2017 年 9～12 月邮政快递业务量柱形图及 2018 年 9～12 月邮政快递业务量结构扇形图如图所示，根据统计图，给出下列结论：4．[2019·河南联考]已知 cos2 4，则 cosπ 2 （）A． 3 2 8B． 3 4C． 8D． 3 4x y 0 5．[2019·汕头期末]已知 x ， y满足的束条件 x y 1 ，则 z 2x y 2 的最大值为（）x 2 y 1A．1B．2C．3D．46．[2019·广大附中]已知函数 f x sin 2x a cos2x 0 π的最大值为 2，且满足f x f π x ，则（） 2 π A.6B． π 3C． π 或 5π 667．[2019·马鞍ft一模]函数 f x sin x x2 2 x 的大致图象为（xD． π或 2π 33）A.B．C.D．8．[2019·自贡一诊]如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的 a ， b 分别为 63，36，则输出的 a （）考场号准考证号此卷只装订不密封姓名班级①2018 年 9～12 月，该市邮政快递业务量完成件数约 1500 万件；②2018 年 9～12 月，该市邮政快递同城业务量完成件数与 2017 年 9～12 月相比有所减少；③2018 年 9～12 月，该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长超过 75% ，其中正确结论的个数为（）A．3B．2C．1D．0理科数学第 1 页（共 10 页）A．3B．6C．9D．189．[2019·河南联考]设点 P 是正方体 ABCD A1B1C1D1 的对角线 BD1 的中点，平面过点 P ，且与理科数学第 2 页（共 10 页）直线 BD1 垂直，平面平面 ABCD m ，则 m 与 A1C 所成角的余弦值为（）A． 3 3B． 6 3C． 1 3D． 2 2 310．[2019·东莞期末] 圆锥 SD （其中 S 为顶点， D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是 2 :1 ，则圆锥 SD 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（）A． 9 : 32B． 8 : 27C． 9 : 22D． 9 : 2811．[2019·衡水金卷]已知点 P n, 4为椭圆 C ：x2 a2 y2 b21a b 0上一点，F1 ， F2 是椭圆 C的两个焦点，如 △PF1F2 的内切圆的直径为 3，则此椭圆的离心率为（） 5 A.7B． 2 3C． 3 5D． 4 512．[2019·吕梁一模]函数 f x x2 ln x ax 0 恰有两个整数解，则实数 a 的取值范围为（）A．ln 2 22a1C． 3 a 1B． 2 a 1D． ln 3 3 a ln 2 232第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．13．[2019·九江一模]已知 a 1， a b a ，则 a b ．14．[2019·常州期末]已知双曲线C:x2y221a0,b0的离心率为2，直线x y 2 0 经过双a2 b曲线 C 的焦点，则双曲线 C 的渐近线方程为．15．[2019·广州外国语]已知 △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 A π ， 3a 7 ，且 △ABC 的面积为 3 3 ，则 △ABC 的周长为．216．[2019·宿州调研]设函数 f x 2 ax2x，若对任意 x , 0，总存在 x 2, ，使得12理科数学第 3 页（共 10 页）f x2 f x1 ，则实数 a 的取值范围．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·河南一诊]已知数列 an满足a1a2 2a3 22 an 2n12n1 2n N* ，bn log4 an ．（1）求数列an的通项公式；（2）求数列 1 的前 n 项和T ．b b n n n1 理科数学第 4 页（共 10 页）18．（12 分）[2019·马鞍ft一模]田忌赛马是《史记》中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马，孙膑发现他们的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等．于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略：比赛即将开始时，他让田忌用下等马对战公子们的上等马，用上等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等马，从而使田忌赢得公子们许多赌注．假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示：田忌的马/获胜概率/公子的马上等马中等马下等马上等马0.50.81中等马0.20.50.9下等马00.050.4比赛规则规定：一次比由三场赛马组成，每场由公子和田忌各出一匹马出骞，结果只有胜和负两种，并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同，三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者．（1）如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；（2）如果比赛约定，只能同等级马对战，每次比赛赌注 1000 金，即胜利者赢得对方 1000 金，每月比赛一次，求田忌一年赛马获利的数学期望．19．（12 分）[2019·济南期末]如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA 平面 ABCD ， E 为 AD 的中点， AC 交 BE 于点 F ， G 为 △PCD 的重心．（1）求证： FG∥ 平面 PAD ；（2）若 PA AD ，点 H 在线段 PD 上，且 PH 2HD ，求二面角 H FG C 的余弦值．理科数学第 5 页（共 10 页）理科数学第 6 页（共 10 页）20．（12 分）[2019·永州二模]已知抛物线 E : x2 2 py p 0 的焦点为 F ，点 P 在抛物线 E 上，点P 的纵坐标为 8，且 PF 9 ．（1）求抛物线 E 的方程；（2）若点 M 是抛物线 E 准线上的任意一点，过点 M 作直线 n 与抛物线 E 相切于点 N ，证明： FM FN ．请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】x 1 t cos[2019·济南外国语]在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为 ytsin( t 为参数，0 π )，在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为22． 1sin2（1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）设点 M 的坐标为 1,0，直线 l 与曲线 C 相交于 A ， B 两点，求 1 1 的值．MA MB21．（12 分）[2019·茂名一模]已知函数 f x ln x 1 a R 在 x 1 处的切线与直线axx 2 y 1 0 平行．（1）求实数 a 的值，并判断函数 f x的单调性；（2）若函数 f x m 有两个零点 x1 ， x2 ，且 x1 x2 ，求证： x1 x2 1 ．理科数学第 7 页（共 10 页）23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】[2019·石室中学]已知函数 f x 2x a 1 ，（1）当 a 2 时，解不等式 f x x 2 ；（2）若存在 a 1 ,1 ，使得不等式的解集非空，求 b 的取值范围． f x b 2x a23 理科数学第 8 页（共 10 页）理科数学第 9 页（共 10 页）理科数学第 10 页（共 10 页）绝密 ★ 启用前2019 年高考全国 I 卷模拟试卷理科数学答案（六）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【答案】Ayx1【解析】由题意y 2x 5 ，解得 x 2 ， y 1 ，故 A B 2,1．故选 A．【答案】C【解析】 z 1 i 1i2 i ，则 i ，故 z z i i 1 ，故选 C．1 i 1 i1 iz【答案】B 【解析】2017 年的快递业务总数为 242.4 948 9.6 1200 万件，故 2018 年的快递业务总数为1200 1.25 1500 万件，故①正确．由此 2018 年 9～12 月同城业务量完成件数为1500 20% 300 万件，比 2017 年提升，故②错误． 2018 年 9～12 月国际及港澳台业务量1500 1.4% 21 万件， 21 9.6 2.1875 ，故该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长超过 75% ．故③正确．综上所述，正确的个数为 2 个，故选 B．【答案】Dcos π 2 cos 2【解析】由题意，利用诱导公式求得 1 2cos2 122 2 3 4 4 ，故选D．5．【答案】D【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，好教育最后十套·理科数学答案第 1 页（共 10 页）当直线 z 2x y 2 过点 A1,0时，在 y 轴上截距最小，此时 z 取得最大值 4．故选D． 6．【答案】D【解析】∵函数 f x sin 2x a cos2x 0 π的最大值为 2，∴ 1 a2 2 ，∴ a 3 ，∴ f x sin 2x 3 cos2x 又∵ f x f π x ，∴ x π 是函数 f x的一条对称轴，2 4∴ 2 π ππkπkZ，∴ π kπk Z，4323又∵ 0 π ，∴π或 32π 3．故选D． 2sin 2x π ， 3 7. 【答案】D0 ，排除 B，C，【解析】 f 1 sin1 1 2 sin1 1 当 x 0 时， sinx x 0 ，则 x 0 时， sin x 1， f x 1 0 1 ，排除 A，故选 D．x8. 【答案】C【解析】由 a 63 ， b 36 ，满足 a b ，则 a 变为 63 36 27 ，由 a b ，则 b 变为 36 27 9 ，由 b a ，则 a 27 9 18 ，由 b a ，则 b 18 9 9 ，由 a b 9 ，退出循环，则输出的 a 的值为 9．故选 C． 9. 【答案】B【解析】由题意知，点 P 是正方体 ABCD A1B1C1D1 的对角线 BD1 的中点，平面过点 P ，且与直线 BD1垂直，平面平面 ABCD m ，根据面面平行的性质，可得m∥AC ，∴直线 m 与 A1C 所成角即为直线AC 与直线 A1C 所成的角，即ACA1 为直线 m 与 A1C 所成角，在直角 △ACA 中， cosACA AA1 2 6 ，即 m 与 A C 所成角的余弦值为6 ，故选 B．11 A1C 3 313好教育最后十套·理科数学答案第 2 页（共 10 页）10. 【答案】A【解析】设圆锥底面圆的半径为 r ，圆锥母线长为 l ，则侧面积为 πrl ，侧面积与底面积的比为 πrl l 2 ， πr2 r则母线 l 2r ，圆锥的高为 h l2 r2 3r ，则圆锥的体积为 1 πr2h 3 πr3 ，33设外接球的球心为 O ，半径为 R ，截面图如图，则 OB OS R ， OD h R 3r R ， BD r ，在直角三角形 BOD 中，由勾股定理得 OB2 OD2 BD2 ，即 R2 r2 23r R ，展开整理得 R 2r，33∴外接球的体积为 4 πR3 4 π 8 r3 32πr3 ，故所求体积比为 3 πr3 9 ．故选 A．33 33 9332πr3 3293【答案】C【解析】由椭圆的定义可知△PF1F2的周长为 2a 2c ，设三角形△PF1F2内切圆半径为 r ，∴ 又△PF1F2 y4，的面积 S 1 2ar32 ，故得 5c 2cr 1 yP 2c ，整理得2 3a ，∴椭圆 C 的离心率为 ea cc3r yP ，故选c， C．P2a5【答案】D2ln x【解析】函数 f x x ln x ax 0 恰有两个整数解，即 a x 恰有两个整数解， xln x1 ln x x22令 g x x ，得 gxxx2，令 h x 1 ln x x ，易知 h x为减函数．当x 0,1 ， h x 0 ， gx 0 ， g x单调递增；当 x 1,， hx 0 ， gx 0 ， g x单调递减．ln 2g 1 1 ， g 2 2 ， g 3 3 ．由题意可得：g32ag2，∴3ln 3 33aln 2 22．故选D．理科数学答案第 3 页（共 10 页）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13. 【答案】 1【解析】由a b a 得a b a 0 ，得 a2 a b 0 ，∴ a b 1 ，故答案为1 ．14. 【答案】y 3xx2 y2c【解析】双曲线C : a2 b2 1a 0, b 0的离心率为2，2， a直线 x y 2 0 经过双曲线 C 的焦点，可得 c 2 ，∴ a 1 ，由 b2 c2 a2 3 ，则 b 3 ，又双曲线的焦点在 x 轴上，∴双曲线 C 的渐近线方程为 y 3x ．故答案为 y 3x ．15. 【答案】 5 7【解析】∵ A π ， a 7 ，由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A 可得： 7 b2 c2 bc ； 3又 △ABC 的面积为 3 3 ，∴ 1 bc sin A 3 3 ，∴bc 6 ，222∴ b c b c2 b2 c2 2bc 5 ，∴周长为 a b c 5 7 ．故答案为57．16．【答案】0,1【解析】由题意，对任意 x , 0，总存在 x 2, ，使得 f x f x ，1221即当任意 x , 0 ，总存在 x 2, ，使得，12f x2 min f x1 min当 a 0 时，f x 2x，当x , 012时，函数fx2 0,，1x1当 x 2,，此时 f x 0,1，符合题意；22 x22当 a 0 时， x 0 时， f x ax2 0 ，此时最小值为 0，x2而当 x 2 时，fxx ax2 的导数为fx2ax2x22ax3 x22，可得x 3 1 为极小值点，可得f x的最小值为f 2 1 4a 或f 31 ，均大于0，不满足题a a 意；理科数学答案第 4 页（共 10 页）当 a 0 时， x 0 时， f x 2 ax2 的最小值为 0 或 f 2 1 4a ，x3当x 0 时， f x 2 ax2x的导数为f x2 x22ax2ax x22，可得 x 31 a为极小值点，且为最小值点，可得f x 的最小值为f 3 1 a 33a，由题意可得 33 a 1 4a ，解得 0 a 1 ，综上可得实数 a 的范围是0,1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1） an 22n1 ；（2） Tn2n4n． 1【解析】（1）∵ a a2 a3 + an1 + an 2n1 2 ，∴ a a2 a3 + an1 2n 2n 2，两式相减得 an12 2n1 2n222n2n2 ，∴ a2n1 22n1 n 2．1 2 222n22n1n 又当 n 1 时， a1 2 满足上式，∴ an 22n1 n N* ．∴数列an的通项公式 an 22n1 ．（2）由（1）得b log 22n1 2n 1 ，∴n421 bn bn12n4 12n122n1 1 1 2n 1 ∴Tn1 b1b21 b2 b 3bn1 bn121131315 1 2n11 2n 1 211 2n 12n4n1．18．【答案】（1） 0.72 ；（2）见解析．【解析】（1）记事件 A ：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜，对于事件 A ，三场比赛中，由于第三场必输，则前两次比赛中田忌都胜，因此， P A 0.8 0.9 0.72 ；（2）设田忌在每次比赛所得奖金为随机变量，则随机变量的可能取值为1000 和 1000，若比赛一次，田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜、负胜胜、胜负胜、胜胜负，设比赛一次，田忌获胜的概率为 P ，则 P 1 1 2 3 1 1 3 9 ． 2 2 5 2 2 5 20好教育最后十套·理科数学答案第 5 页（共 10 页）随机变量的分布列如下表所示：100011 P20∴ E 1000 11 1000 9 100 ．2020因此，田忌一年赛马获利的数学期望为100 12 1200 金．19．【答案】（1）见解析；（2） 6 ． 3【解析】（1）证明：∵ AE∥BC ，∴ △AE△F CBF ，∵ E 为 AD 中点，∴ CF 2 AF ，连接 CG 并延长，交 PD 于 M ，连接 AM ，10009 20∵ G 为△PCD 的重心，∴ M 为 PD 的中点，且 CG 2GM ，∴ FG∥AM ， ∵ AM 平面 PAD ， FG 平面 PAD ，∴ FG∥ 平面 PAD ．（2）分别以 AB ， AD ， AP 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系．设 PA AD 3 ，则 C 3, 3, 0， D 0, 3, 0， P 0, 0, 3， F 1,1, 0，∵ PH 2HD ，∴ H 0, 2,1，∵ G 为△PCD 的重心，∴ G 1, 2,1，nx,y,z设平面 FGC 的法向量 1 1 1 1 ， FC 2, 2, 0， FG 0,1,1，好教育最后十套·理科数学答案第 6 页（共 10 页）则n1nF1CFG 0 0，∴2x 2 y y z 00 ，取x 1 ，则 y1，z1，∴n1 1, 1,1．设平面 FGH 的法向量 n x , y , z ， 1,1,1，22 22FH则n2 FH 0 ，∴x y yz z 00，则x0，取y1，则z1，∴n 0,1, 1．2n2 FG 0∴ cos n , n n1 n26 ，1 2 n1 n23由图可知，该二面角为钝角，∴二面角 H FG C 的余弦值为 6 ． 320．【答案】（1） x2 4 y ；（2）见解析．【解析】（1）由题意可知，抛物线的准线方程为 y p ， 2又点 P 的纵坐标为 8，且 PF 9 ，于是 8 p 9 ，∴ p 2 ，故抛物线 E 的方程为 x2 4 y ．2（2）设点 M m, 1， N x , y ， x 0 ，∵ y 1 x2 ，∴ y ' 1 x ，00011142切线方程为y y0 2x0 x x0 ，即y2xx04x02，x 2 4 x 2 4 令 y 1 ，可解得 m 0，∴ M 0, 1 ，2x0 2x0 x 2 4 又 F 0,1 ，∴ FM 0 2x0，2， FNx 0,y 0 1 x 2 4x24 2∴ FM FN 0 2x0x0 2 y0 2 2x0 2 2 0 ．∴FM FN ．021．【答案】（1） f x 在 0, 1 上是单调递减；在 1 , 上是单调递增；（2）见解析． 2 2 【解析】（1）函数 f x的定义域： 0,，f1 11 1，解得a2，a2∴ f x ln x 1 ，∴ f x 1 1 2x 1 ，2xx 2x2 2x21 1令 f x 0 ，解得 0 x ，故 f x在 0, 上是单调递减；2 2 令 f x 0 ，解得 x 1 ，故 f x在 1 , 上是单调递增．2 2 （2）由 x ， x 为函数 f x m 的两个零点，得ln x 1 m ， ln x 1 m ，121 2x12 2x2理科数学答案第 7 页（共 10 页）ln x ln x 1 1 0两式相减，可得 12 2x 2x，12即 ln ， x x x1 x2 ，因此x2 2x1x21 2 2 ln x1x1x x1 122 ln x1，x21 x2x1 2 ln x1，x2x2x211令 t x1 ，由xx ，得 0 t 1 ．则 x x x21212t11ttt ，2 ln t2 ln t2 tln t 12构造函数h t t1 2 ln t 0 t 1，则ht 1 12 0 ，tt2 tt2∴函数 h t 在 0,1上单调递增，故 h t h 1 ，1t 即 t 1 2 ln t 0 ，可知 t 1 ．故命题 x x 1 得证．2t2 ln t1请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1） x2 2y 1 ；（2） 1 1 2 2 ．2MA MB【解析】（1）曲线 2 2 ，即 2 2 sin2 2 ，1 sin2∵ 2 x2 y2 ， sin y ，∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2 2 y2 2 ，即x2 y2 1 ． 2 （2）将xy1t sint cos 代入 x2 2 y2 2 并整理得 1 sin2 t2 2t cos 1 0 ，1∴ t t 2 cos ， t t ，1 2 1 sin21 2 1 sin2∴，1 1 MA MB AB t1 t2MA MB MA MB MA MB t1 t2∵tt12 t t 2 4t t 12124 cos2 4 2 2 21 sin21 sin2 1sin2，22∴ 1 1 1 sin2MA MB12 2 ．1 sin223．【答案】（1） x 3 x 1 ；（2） ,13 ． 3 9 【解析】（1）当 a2 时，函数fx2x2， 1理科数学答案第 8 页（共 10 页）好教育最后十套·理科数学答案第 9 页（共 10 页）好教育最后十套·理科数学答案第 10 页（共 10 页） < 1 - x 2x + 2 2x + a 2 f (x )≥ b +解不等式 f (x )+ x < 2 化为，即，∴ x - 1 < 2x + 2 < 1 - x ．（2）由，得，则不等式的解集非空，等价于 b ≤ g (x )max ；由题意知存在a ∈ ⎡- 1 ,1⎤ ，使得上式成立； ⎣⎢ 3 ⎥⎦ 在 a ∈ ⎡- 1 ,1⎤13 ，⎢ ⎥ ⎣3 ⎦ ∴ b ≤ 13 ；即 b 的取值范围是⎛ -∞,13⎤ ．9 ⎝ 9 ⎥⎦+ 1 + x < 2 2x + 2At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance ofcontinuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you! “” “ ”。

河南省洛阳市2019届高三下学期第一次高考模拟测试理科数学试题(含答案)

3 ，即 BE

3，
∴ △ABC 为等边三角形， AB BC CA 2 ， PB 9 3 2 3 ， PA PC 9 1 10 ，
∴最长棱的长度为 2 3 ．故选 B．
7．[2019·南昌二中]已知函数 f x 2 ，则 y f x 的图象大致为（）
x ln x 1
A．
锥 SD 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（）
A． 9 : 32
B． 8 : 27
C． 9 : 22
D． 9 : 28
【答案】A
【解析】设圆锥底面圆的半径为 r ，圆锥母线长为 l ，
则侧面积为 πrl
，侧面积与底面积的比为
πrl πr 2
l r
2，
则母线 l 2r ，圆锥的高为 h l2 r2 3r ，则圆锥的体积为 1 πr2h 3 πr3 ，
16．[2019·长治二中]已知 a 、 b 、 c 是实数，方程 x3 ax2 bx c 0 的三个实数根可以作为椭圆、
双曲线、抛物线的离心率，则 a2 b2 的取值范围是____．
【答案】 5,
【解析】构造函数 f x x3 ax2 bx c ，∵一个根为抛物线的离心率，
可知1 a b c 0 ，解得 c a b 1， ∵三个实数根分别为椭圆、双曲线和抛物线的离心率，可知一个根 x1 大于 0，小于 1，一个根 x2 大于 1，一个根 x3 为 1，绘制图像：
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由于
f
1 2
1
2 ln 1
1
2 ln 2 1
0
，排除
B
选项．
22
2

2019年河南高考理科数学试卷及答案（图片版）

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2019年河南高考理科数学
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2019年河南省开封市高三第一次模拟考试(数学理)试卷(含答案)

高考数学精品复习资料2019.5高三数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第(22)-(24)题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}{}1|lg(2),|2,x A x R y x B y R y x A -=∈=-=∈=∈，则A .R B.(][),02,-∞+∞ C.[)2,+∞ D.(],0-∞ 2．复数5(3)z i i i =-+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为A ．2- i B.2+i C.4- iD.4+i3．直线224x my m +=-与直线22mx y m +=-垂直的充要条件是A.m=2B.m=-2 C ．m=0D.m ∈R4．一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(0，0，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，(0，2，0)则第五个顶点的坐标可能为A.(1，1，1)B.(1，1，2) C ．(1，1，3)D.(2，2，3)5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=A ．12-B ．12C ．-1D ．1 6．阅读如下程序框图，如果输出i =4，那么空白的判断框中应填人的条件是A. S<10?B. S<12?C. S<14?D. S<16?7．把长为1的铁丝截成三段，则这三段恰好能围成三角形的概率是A ．12 B.1 C ．14 D ．188．半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四个点，且满足0,0AB AC AC AD ⋅=⋅=,0AD AB ⋅=,则ABC ACD ADB S S S ∆∆∆++的最大值为A. 64B. 32 C ．16 D ．89．已知函数()sin 2cos cos2sin ,()f x x x x R ϕϕ=+∈，(z ∈R)其中ϕ为实数，且2()()9f x f π≤对任意实数R 恒成立，记257(),(),()366p f q f r f πππ===，则p 、q 、.r 的大小关系是A .r<p<q B. q<r<p C. p<q<r D. q<p<r10．从双曲线22221(0,0)x y a b a b+=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -与b-a 的关系为A.MO MT b a ->-B.MO MT b a -<-C ．MO MT b a -=- D.MO MT -与b-a 无关11．等比数列{}n a 中，182,4a a ==，函数128()()()()f x x x a x a x a =--⋅⋅⋅-则'(0)f =A. 122B.92 C ．82 D ．6212.已知函数()f x 定义在R 上，对任意实数x 有(4)()f x f x +=-+(1)y f x =-的图像关于直线x=1对称，(1)2f -=,则(2013)f =A. 2-+B.2+ C ．2- D ．2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答，第(22)题～第(2/1)题为选考题，考生根据要求做答。

2019年河南省六市高考数学一模试卷(理科)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ＝{x |y ＝ln （2﹣x ）}，则A ∩B ＝（） A ．[﹣3，2）B ．（2，3]C ．[﹣1，2）D ．（﹣1，2）【解答】解：∵集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}＝{x |﹣1≤x ≤3}＝[﹣1，3]， B ＝{x |y ＝ln （2﹣x ）}＝{x |2﹣x ＞0}＝{x |x ＜2}＝（﹣∞，2）； ∴A ∩B ＝[﹣1，2）．故选：C ．2．（5分）设复数z ＝1+i ，则5z +z 2＝（）A ．−52+i2B ．−52−i2C ．52+i2D ．52−i2【解答】解：∵z ＝1+i ，∴5z +z 2=51+i +(1+i)2=5(1−i)(1+i)(1−i)+2i=52−52i +2i =52−12i ．故选：D ．3．（5分）cos70°sin50°﹣cos200°sin40°的值为（） A ．−√32B ．−12C ．12D ．√32【解答】解：cos70°sin50°﹣cos200°sin40° ＝cos70°sin50°+cos20°sin40° ＝cos70°sin50°+sin70°cos50° ＝sin （50°+70°）＝sin120° =√32．故选：D ．4．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（）A ．1415B ．1315C ．29D ．79【解答】解：从10部名著中选择2部名著的方法数为C 102＝45（种）， 2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为C 32＝3（种），由对立事件的概率计算公式得P ＝1−345=1415．故选：A ．5．（5分）已知函数f （x ）＝3ln （x +√x 2+1）+a （7x +7﹣x ），x ∈R ，则“a ＝0”是“函数f（x ）为奇函数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：若a ＝0，则f （x ）＝3ln （x +√x 2+1），则f （﹣x ）+f （x ）＝3ln （﹣x +√x 2+1）+3ln （x +√x 2+1）＝3（ln （﹣x +√x 2+1）（x +√x 2+1）＝3ln （x 2+1﹣x 2）＝3ln 1＝0，则f （﹣x ）＝﹣f （x ），即f （x ）是奇函数，即充分性成立，若函数f （x ）是奇函数，则满足f （0）＝0，即f （0）＝0，即f （0）＝3ln 1+a （1+1）＝2a ＝0，则a ＝0，即必要性成立，则“a ＝0”是“函数f （x ）为奇函数”的充要条件，故选：C ．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的表面积为（）A ．64﹣2πB ．64+2πC ．80﹣2πD ．80+2π【解答】解：根据三视图知，该几何体是棱长为4的正方体，截去一个14圆柱体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的表面积为S ＝2×42+2×4×2+（2×42−12π×22）+14×2π×2×4＝80+2π．故选：D ．7．（5分）若x ∈（e ﹣1，1），a ＝lnx ，b =(12)lnx ，c ＝e lnx ，则（）A ．b ＞c ＞aB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c【解答】解：∵x ∈（e ﹣1，1） ∴a ＝lnx ＜ln 1＝0 即a ＜0考察幂函数f （t ）＝t lnx ∵lnx ＜0∴当t ＞0时，f （t ）是减函数 ∵12＜e∴b =(12)lnx ＞c =e lnx ＞0 所以有b ＞c ＞a 故选：A ．8．（5分）若将函数f （x ）＝sin （2x +φ）+√3cos （2x +φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点（π2，0）对称，则函数g （x ）＝cos （x +φ）在[−π2，π6]上的最小值是（） A ．−12B ．−√32C ．√22D ．12【解答】解：∵f （x ）＝sin （2x +φ）+√3cos （2x +φ）＝2sin （2x +φ+π3），∴将函数f （x ）图象向左平移π4个单位后，得到函数解析式为：y ＝2sin[2（x +π4）+φ+π3]＝2cos （2x +φ+π3），∵函数的图象关于点（π2，0）对称，∴对称中心在函数图象上，可得：2cos （2×π2+φ+π3）＝2cos （π+φ+π3）＝0，解得：π+φ+π3=k π+π2，k ∈Z ，解得：φ＝k π−5π6，k ∈Z ， ∵0＜φ＜π， ∴解得：φ=π6， ∴g （x ）＝cos （x +π6）， ∵x ∈[−π2，π6]，x +π6∈[−π3，π3]，∴cos （x +π6）∈[12，1]，则函数g （x ）＝cos （x +φ）在[−π2，π6]上的最小值是12．故选：D ．9．（5分）已知变量x 、t 满足约束条件{x +2y ≥22x +y ≤44x −y ≥−1，则目标函数z ＝3x ﹣y 的最大值是（）A ．﹣4B ．−32C ．﹣1D ．6【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z ＝3x ﹣y 得y ＝3x ﹣z ，显然直线过（2，0）时z 最大， z 的最大值是6，故选：D ．10．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a−c b=cosC cosB，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为（） A ．4√3B ．2√3C ．2D ．√3【解答】解：∵在△ABC 中2a−c b=cosC cosB，∴（2a ﹣c ）cos B ＝b cos C ，∴（2sin A ﹣sin C ）cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin C cos B +sin B cos C ＝sin （B +C ）＝sin A ，约掉sin A 可得cos B =12，即B =π3，由余弦定理可得16＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝a 2+c 2﹣ac ≥2ac ﹣ac ， ∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时取等号， ∴△ABC 的面积S =12ac sin B =√34ac ≤4√3 故选：A ．11．（5分）抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线上的两个动点，若x 1+x 2+4=2√33|AB |，则∠AFB 的最大值为（） A ．π3B ．3π4C ．5π6D ．2π3【解答】解：因为x 1+x 2+4=2√33|AB|，|AF |+|BF |＝x 1+x 2+4，所以|AF|+|BF|=2√33|AB|．在△AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB =|AF|2+|BF|2−|AB|22|AF|⋅|BF|=(|AF|+|BF|)2−2|AF|⋅|BF|−|AB|22|AF|⋅|BF|=43|AB|2−|AB|22|AF|⋅|BF|−1=13|AB|22|AF|⋅|BF|−1．又|AF|+|BF|=2√33|AB|≥2√|AF|⋅|BF|⇒|AF|⋅|BF|≤13|AB|2．所以cos∠AFB ≥13|AB|22×13|AB|2−1=−12，∴∠AFB 的最大值为2π3，故选：D ．12．（5分）函数f （x ）是定义在（1，+∞）上的可导函数，f ′（x ）为其导函数，若f （x ）+（x ﹣1）f ′（x ）＝x 2（x ﹣2），且f （e 2）＝0，则不等式f （e x ）＜0的解集为（） A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，2）D ．（2，+∞）【解答】解：函数f （x ）是定义在（1，+∞）上的可导函数，f '（x ）为其导函数，令φ（x ）＝（x ﹣1）f （x ），则φ′（x ）＝（x ﹣1）•f '（x ）+f （x ）＝x 2（x ﹣2）， ∴当x ∈（1，2）时，φ（x ）是单调减函数，x ∈（2，+∞）时，函数是单调增函数， ∵f （e 2）＝0，∴φ（e 2）＝（e 2﹣1）f （e 2）＝0，又φ（1）＝φ（e 0）＝0， ∴不等式f （e x ）＜0的解集就是（e x ﹣1）f （e x ）＜0的解集，即φ（e x ）＜0，∴e 0＜e x ＜e 2，∴0＜x ＜2，故不等式的解集为{x |0＜x ＜2}．故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量a →=（1，0），|b →|＝2，a →与b →的夹角为60°，若c →=a →+b ，d →=a →−b →，则c →在d →方向上的投影为 −√3 ．【解答】解：|a →|=1，|b →|=2，a →，b →的夹角为60°； ∴a →⋅b →=1；∴d →2=(a →−b →)2=a →2−2a →⋅b →+b →2=1−2+4=3； ∴|d →|=√3，且c →⋅d →=a →2−b →2=1−4=−3； ∴c →在d →方向上的投影为：|c →|cos ＜c →，d →＞=|c →|⋅c →⋅d→|c →||d →|=−3√3=−√3．故答案为：−√3．14．（5分）在(x −1x −1)4的展开式中，常数项为 ﹣5 ．【解答】解：(x −1x −1)4的展开式中的通项公式：T r +1=∁4r （﹣1）4﹣r (x −1x)r （r ＝0，1，2，3，4）．∵(x −1x )r 的通项公式：T k +1=∁r k x r−k (−1x )k =（﹣1）k ∁r k xr ﹣2k，令r ﹣2k ＝0，即r ＝2k ．r ＝0，k ＝0；r ＝2，k ＝1；r ＝4，k ＝2．∴常数项＝1−∁21×∁42+∁42×1＝﹣5．故答案为：﹣5．15．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（b ＞a ＞0），焦距为2c ，直线l 经过点（a ，0）和（0，b ），若（﹣a ，0）到直线l 的距离为2√23c ，则离心率为 √3 ．【解答】解：直线l 的方程为xa +y b=1，即为bx +ay ﹣ab ＝0，c 2＝a 2+b 2，（﹣a ，0）到直线l 的距离为2√23c ，可得：√a 2+b 2=2√23c ，即有3ab =√2c 2，即9a 2b 2＝2c 4，即9a 2（c 2﹣a 2）＝2c 4， 9a 2c 2﹣9a 4﹣2c 4＝0，由于e =ca ，则2e 4﹣9e 2+9＝0，解得，e 2＝3或e 2=32．由于0＜a ＜b ，即a 2＜b 2，即有c 2＞2a 2，即有e 2＞2，则e =√3或e =√62舍去．故答案为：√3．16．（5分）如图，△ABC 是等腰直角三角形，斜边AB ＝2，D 为直角边BC 上一点（不含端点），将△ACD 沿直线AD 折叠至△AC 1D 的位置，使得C 1在平面ABD 外，若C 1在平面ABD 上的射影H 恰好在线段AB 上，则AH 的取值范围是（1，√2）．【解答】解：∵在等腰Rt △ABC 中，斜边AB ＝2，D 为直角边BC 上的一点， ∴AC ＝BC =√2，∠ACB ＝90°，将△ACD 沿直AD 折叠至△AC 1D 的位置，使得点C 1在平面ABD 外，且点C 1在平面ABD 上的射影H 在线段AB 上，设AH ＝x ， ∴AC 1＝AC =√2，CD ＝C 1D ∈（0，√2），∠AC 1D ＝90°， C 1H ⊥平面ABC ，∴AH ＜AC 1=√2，当CD =√2时，B 与D 重合，AH ＝1，当CD ＜√2时，AH ＞12AB ＝1， ∵D 为直角边BC 上的一点， ∴CD ∈（0，√2），∴AH 的取值范围是（1，√2）．故答案为：（1，√2）．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）设数列{a n }前n 项和为S n ，且满足a 1＝r ，S n ＝a n +1−132(n ∈N ∗)．（Ⅰ）试确定r 的值，使{a n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设b n ＝log 2a n ，求数列{|b n |}的前n 项和T n ．【解答】解：（Ⅰ）当n ＝1时，S 1=a 2−132，a 2=a 1+132，当n ≥2时，S n−1=a n −132，与已知式作差得a n ＝a n +1﹣a n ，即a n +1＝2a n （n ≥2），欲使{a n }为等比数列，则a 2＝2a 1＝2r ，又a 2=a 1+132，∴r =132，故数列{a n }是以132为首项，2为公比的等比数列，所以a n =2n−6；（Ⅱ）由（I ）知b n ＝n ﹣6，∴|b n |={6−n ，n ＜6n −6，n ≥6，若n ＜6，T n =−b 1−⋯−b n =11n−n 22，若n ≥6，T n =−b 1−⋯−b 5+b 6+⋯+b n =n 2−11n2+30，∴T n ={11n−n 22，n ＜6n 2−11n2+30，n ≥6． 18．（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32，48，32．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的数学期望和方差；（i）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32，48，32．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．应从甲部门的员工中抽取：7×3232+48+32=2人，乙部门的员工中抽取：7×4832+48+32=3人，丙部门的员工中抽取：7×3232+48+32=2人．（Ⅱ）（i）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）=C43C73=435，P（X＝1）=C31C42C73=1835，P（X＝2）=C32C41C73=1235，P（X＝3）=C33C73=135，∴随机变量X的分布列为：X0123P43518351235135E（X）=0×435+1×1835+2×1235+3×135=97，D（X）＝（0−97）2×435+（1−97）2×1835+（2−97）2×1235+（3−97）2×135=198343．（ii）抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．基本事件总数n=C73=35，A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，则事件A包含的基本事件个数m=C73−C33−C43=30，∴事件A 发生的概率P （A ）=m n =3035=67． 19．（12分）已知五边形ABECD 有一个直角梯形ABCD 与一个等边三角形BCE 构成，如图1所示，AB ⊥BC ，且AB ＝BC ＝2CD ，将梯形ABCD 沿着BC 折起，形成如图2所示的几何体，且AB ⊥平面BEC ．（1）求证：平面ABE ⊥平面ADE ；（2）求二面角A ﹣DE ﹣B 的平面角的余弦值．【解答】证明：（1）：取BE 的中点F ，AE 的中点G ，连接FG 、GD 、CF ，则GF ∥=12AB ．∵DC =∥12AB ，：．CD ∥GF 且CD ＝GF ，：．四边形CFGD 为平行四边形，：．CF ∥DG ．∵AB ⊥平面BEC ，∴AB ⊥CF ． ∵CF ⊥BE ，AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面ABE ， ∵CF ∥DG ， ∴DG ⊥平面ABE ，∵DG ⊂平面ADE ，∴平面ABE ⊥平面ADE ．以O 为坐标原点，OE 、BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，过O 且平行于AB 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝4，则A （0，﹣2.4），B （0，﹣2，0），D （0，2，2），E （2√3，0，0）， ∴ED →=（﹣2√3，2，2），EA →=（﹣2√3，﹣2，4），EB →=（﹣2√3，﹣2，0），设平面EAD 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则有{n →⋅ED →=0n →⋅EA →=0，即{−√3x +y +z =0−√3x −y +2z =0．取z ＝2，得x =√3，y ＝1，则n →=（√3，1，2），设平面BDE 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅ED →=0m →⋅EB →=0，即{−√3x +y +z =0√3x +y =0，取x ＝1，得y =−√3，z ＝2√3，则m →=（1，−√3，2√3）．cos ＜m →，n →＞=m →⋅n→|m →||n →|=√64，又由图可知，二面角A ﹣DE ﹣B 的平面角为锐角，即二面角A ﹣DE ﹣B 的平面角的余弦值是√64．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上的任意一点，且|PF 1|•|PF 2|的最大值为4，椭圆C 的离心率与双曲线x 24−y 212=1的离心率互为倒数．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P （﹣1，32），过点P 作两条直线l 1，l 2与圆（x +1）2+y 2＝r 2（0＜r ＜32）相切且分别交椭圆于M ，N ，求证：直线MN 的斜率为定值．【解答】解：（Ⅰ）双曲线x 24−y 212=1的离心率为42=2，可得椭圆C 的离心率为12，设椭圆的半焦距为c ，∴a ＝2c ， ∵|PF 1|•|PF 2|≤（|PF 1|+|PF 2|2）2＝a 2，∴a 2＝4， ∴c ＝1，又b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣1＝3 ∴椭圆方程为x 24+y 23=1；（Ⅱ）证明：显然两直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由于直线l 1，l 2与圆（x +1）2+y 2＝r 2（0＜r ＜32）相切，则有k 1＝﹣k 2，直线l 1的方程为y −32=k 1（x +1），联立椭圆方程3x 2+4y 2＝12，消去y ，得x 2（3+4k 12）+k 1（12+8k 1）x +（3+2k 1）2﹣12＝0， ∵P ，M 为直线与椭圆的交点，所以x 1﹣1=−k 1(12+8k 1)3+4k 12，同理，当l 2与椭圆相交时，x 2﹣1=k 1(12−8k 1)3+4k 12，∴x 1﹣x 2=−k 1(12+8k 1)3+4k 12−k 1(12−8k 1)3+4k 12=−24k 13+4k 12，而y 1﹣y 2＝k 1（x 1+x 2）+2k 1=12k 13+4k 12， ∴直线MN 的斜率k =y 1−y2x 1−x 2=−12．21．（12分）已知函数f （x ）＝x 3﹣x −√x ．（Ⅰ）判断f(x)x的单调性；（Ⅱ）求函数y ＝f （x ）的零点的个数；（Ⅲ）令g （x ）=2f(x)+√x +lnx ，若函数y ＝g （x ）在（0，1e）内有极值，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设φ（x ）=f(x)x =x 2﹣1x（x ＞0），则φ'（x ）＝2x 12√x 0，∴φ（x ）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）∵φ（1）＝﹣1＜0，φ（2）＝320，且φ（x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴φ（x ）在（1，2）内有零点，又f （x ）＝x 3﹣x −√x =x •φ（x ），显然x ＝0为f （x ）的一个零点， ∴f （x ）在（0，+∞）上有且只有两个零点；（Ⅲ）g （x ）=ax 2+ax x 3−x +lnx ＝lnx +ax−1，则g '（x ）=1x −a (x−1)2=x 2−(2+a)x+1x(x−1)2，设h （x ）＝x 2﹣（2+a ）x +1，则h （x ）＝0有两个不同的根x 1，x 2，且有一根在（0，1e）内，不妨设0＜x 1＜1e，由于x 1x 2＝1，即x 2＞e ，由于h （0）＝1，故只需h （1e ）＜0即可，即1e 2−（2+a ）⋅1e +1＜0，解得a ＞e +1e−2，∴实数a 的取值范围是（e +1e−2，+∞）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C 1：x 2﹣y 2＝2，曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）在极坐标系中，射线θ=π6与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点（异于极点O ），定点M （3，0），求△MAB 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C 1：x 2﹣y 2＝2，∴曲线C 1的极坐标方程为：ρ2cos 2θ﹣ρ2sin 2θ＝2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分） ∵曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ（θ为参数）．∴曲线C 2的普通方程为：（x ﹣2）2+y 2＝4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分） ∴x 2+y 2﹣4x ＝0，∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：点A 的极坐标为（2，π6），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）点B 的极坐标为（2√3，π6），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴|AB |＝|2﹣2√3|＝2√3−2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分） M （3，0）点到射线θ=π6（ρ≥0）的距离为d ＝3sin π6=32，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） ∴△MAB 的面积为：S △MAB =12|AB |d =12×(2√3−2)×32=3√3−32．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x +2|﹣5．（Ⅰ）解不等式：f （x ）≥|x ﹣1|；（Ⅱ）当时x ≥﹣1时，函数g （x ）＝f （x ）+|x ﹣m |恒为正值，求实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）|2x +2|﹣5≥|x ﹣1|等价于{x ≤−1−2x −2−5≥1−x 或{−1＜x ≤12x +2−5≥1−x 或{x ＞12x +2−5≥x −1，解得x ≤﹣8或x ∈∅或x ≥2，综上所述，不等式f （x ）≥|x ﹣1|的解集为（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞）；（Ⅱ）当m ＝﹣1时，则g （x ）＝|2x +2|﹣5+|x ＝1|＝3|x +1|﹣5＝3x ﹣2＞0，只需g （﹣1）＝﹣3﹣2＞0，不可能！当m ＞﹣1时，g （x ）＝|2x +2|+|x ﹣m |﹣5＝|x ﹣m |+2x ﹣3={3x −m −3，x ≥m x +m −3，x ＜m ，要使函数g （x ）＝f （x ）+|x ﹣m |恒为正值，则g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣1+m ﹣3＞0，可得m ＞4，当m ＜﹣1时，g （x ）＝|2x +2|+|x ﹣m |﹣5＝3x ﹣m ﹣3＞0恒成立，只需要g （x ）min ＝﹣3﹣m ﹣3＞0，可得m ＜﹣6，综上所述，实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（4，+∞）．。

河南省顶级2019届高三考前模拟考试数学(理)试卷含答案

俯视图3112019年高考考前模拟考试理科数学试题考试时间：2019年5月30日15：00—17:00一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}2230A x x x =--≥，{}22B x x =-≤<，则AB =.[2,1]A -- .[1,2)B - .[1,1]C - .[1,2)D2.若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =.12A i + .12B i - .12C i -+ .12D i--3.设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为.3A .3B - .1C .1D -4.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点3) ，则该双曲线的离心率为1.2A .2B 72C 7.2D 5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是.32A π+ .12B π+3.12C π+ 3.32D π+6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 .12A 种 .18B 种 .24C 种 .36D 种7.在如图所示的流程图中，若输入,,a b c 的值分别为2，4，5，则输出的x =.1A .2B.lg 2C .10D8.将函数()2sin(2)3f x x π=+图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，在()g x 图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为.12A x π=.4B x π=5.24C x π=.24D x π=- 9.设12,F F 是椭圆:C 2213x y m+=的两个焦点，若C 上存在点P 满足o12120F PF ∠=，则m 的取值范围是.A (0,1][12,)+∞ 3.(0,][23,)2B +∞ 3.(0,][23,)4C +∞ 3.(0,][12,)4D +∞10.甲、乙两艘轮船都要在某一泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机的到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为9.16A 1.2B 7.16C 1.16D11.在三棱柱111C B A ABC -中，122AB AC AA ===23BAC π∠=，1AA ⊥平面ABC ，则该三棱柱的外接球的体积为.40A π .4010B π 40.3C π4010.3D π12. 已知函数1()()x f x x a e=-，曲线()y f x =上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是21.(,0)A e -2.(,0)B e - 21.(,+)C e-∞ 2.(,)D e -+∞ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

河南省六市2019届高三第一次联考(一模)数学(理)试题Word版含答案

河南省六市2019届高三第一次联考（一模）数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1)2lg(|{<-=x x A ，集合}032|{2<--=x x x B ，则=B A （） A ．)12,2( B ．)3,1(- C ．)12,1(- D ．)3,2( 2．已知i 为虚数单位，若),(11R b a bi a ii∈+=-+，则=+b a （） A ．0 B ．1 C ．1- D ．23．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（） A ．101 B ．51 C ．103 D ．524．汽车以s m t v /)23(+=作变速运动时，在第1s 至2s 之间的1s 内经过的路程是（） A ．m 5 B ．m 211 C ．m 6 D ．m 2135．为考察B A ,两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A ．药物B 的预防效果优于药物A 的预防效果 B ．药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果C ．药物A 、B 对该疾病均有显著的预防效果D ．药物A 、B 对该疾病均没有预防效果6．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A ．152B ．15C ．2D ．47．已知数列}{n a 满足：2)1(11=-+++n n n a a ，则其前100项和为（） A ．250 B ．200 C ．150 D ．1008．已知锐角ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若)(2c a a b +=，则)sin(sin 2A B A-的取值范围是（） A. )22,0( B. )23,21( C. )22,21( D.)23,0( 9．设201721,,,a a a 是数列2017,,2,1 的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的F 的值为（）A ．2015B ．2016C ．2017D ．201810．在三棱锥ABC S -中，BC SB ⊥，AC SA ⊥，BC SB =，AC SA =，SC AB 21=，且三棱锥ABC S -的体积为239，则该三棱锥的外接球半径是（）A ．1B ．2C ．3D ．411．椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与函数x y =的图象交于点P ，若函数x y =的图象在P 处的切线过椭圆的左焦点)0,1(-F ，则椭圆的离心率是（） A ．213- B ．215- C ．223- D ．225-12．若关于x 的方程0=+-+m e x e e x xxx 有3个不相等的实数解321,,x x x ，且3210x x x <<<，其中R m ∈，71828.2=e ，则)1)(1()1(3213221---x x x e x e x e x 的值为（） A ．1 B ．m -1 C ．m +1 D ．e 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知)2,3(-=a ，)2,0(=+b a ，则=||b .14．已知二项式n xx )1(2+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是（用数字作答）.15．已知P 是双曲线C ：1222=-y x 右支上一点，直线l 是双曲线的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，1F 是双曲线的左焦点，则||||1PQ PF +的最小值是 .16．已知动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+++≥≤+1)1)(1(14222y y x x x y x ，则x y x 622-+的最小值是 .三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a 中，11=a ，其前n 项的和为n S ，且满足)2(1222≥-=n S S a n nn .（1）求证：数列}1{nS 是等差数列；（2）证明：当2≥n 时，2313121321<++++n S n S S S .18．我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如下图表：（1）若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元.利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算.（单位：亿元，结果保留两位小数）19．如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，060=∠BAD ，O 为AC 与BD 的交点，E 为PB 上任意一点.（1）证明：平面⊥EAC 平面PBD ；（2）若//PD 平面EAC ，并且二面角C AE B --的大小为045，求AD PD :的值.20．已知抛物线C ：)0(22>=p py x 的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于点B A ,，当直线l 的倾斜角是045时，AB 的中垂线交y 轴于点)5,0(Q .（1）求p 的值；（2）以AB 为直径的圆交x 轴于点N M ,，记劣弧MN 的长度为S ，当直线l 绕F 点旋转时，求||AB S的最大值.21．已知函数)(221ln )(2R k kx x x x f ∈-+=. （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若)(x f 有两个极值点21,x x ，且21x x <，证明：23)(2-<x f .请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y tx 12（t 为参数），圆C 的极坐标方程为)4sin(24πθρ+=.（1）求直线l 的普通方程与圆C 的执直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线L 交于B A ,两点，若P 点的直角坐标为)1,2(，求||||||PB PA -的值.23．选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式m x x ≤-+|12||2|有解. （1）求实数m 的取值范围；（2）已知m b a b a =+>>,0,0，证明：312222≥+++b a b b a a .河南省六市2019届高三第一次联考（一模）数学（理）试题答案一、选择题1-5：CBCDB 6-10：BDCDC 11-12：BA 二、填空题13．5 14．10 15．221+ 16．940- 三、解答题17．解：（1）当2≥n 时，12221-=--n nn n S S S S ，112--=-n n n n S S S S2111=--n n S S ，从而}1{nS 构成以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知，122)1(111-=⨯-+=n n S S n ，∴121-=n S n ∴当2≥n 时，)111(21)22(1)12(11nn n n n n S n n --=-<-=从而232123)1113121211(21113121321<-<--++-+-+<++++n n n S n S S S n . 18．解：（1）数据整理如下表：从图表中知采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：32515158=+⨯人，80岁以下应抽取：52515258=+⨯人（2）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：6160020452015=+++ 用样本估计总体，80岁及以上长者为：116166=⨯万，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为%75.2%10040011=⨯. （3）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X 元，54)0(==X P ，6009560047551)120(=⨯==X P ，600176008551)200(=⨯==X P ，60056002551)220(=⨯==X P ，60036001551)300(=⨯==X P ，则随机变量X 的分布列为：286003300522017200951200=⨯+⨯+⨯+⨯+=EX全市老人的总预算为84102176.210661228⨯=⨯⨯⨯元政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元.19.解：（1）因为⊥PD 平面ABCD ，∴AC PD ⊥，又ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，故⊥AC 平面PBD ∴平面⊥EAC 平面PBD .（2）解：连结OE ，因为//PD 平面EAC ，所以OE PD //，所以⊥OE 平面ABCD ，又O 是BD 的中点，故此时E 为PB 的中点，以O 为坐标原点，射线OE OB OA ,,分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系设h OE m OB ==,，则m OA 3=，),0,0(),0,,0(),0,0,3(h E m B m A向量)0,1,0(1=n 为平面AEC 的一个法向量设平面ABE 的一个法向量为),,(2z y x n =，则02=⋅AB n 且02=⋅BE n 即03=+-my mx 且0=-hz my ，取1=x ，则3=y ，h mz 3=，则)3,3,1(2hm n = ∴2221212103313|,cos |45cos hm n n ⋅++==><=，解得26=m h故2:6:2:2:===m h m h AD PD .20.（1）)2,0(pF ，当l 的倾斜角为045时，l 的方程为2p x y +=，设),(),,(2211y x B y x A ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=py x p x y 222得0222=--p px x p p x x y y p x x 3,2212121=++=+=+，得AB 的中点为)23,(p p D AB 中垂线为)(23p x p y --=-0=x 代入得525==p y∴2=p（2）设l 的方程为1+=kx y ，代入y x 42=得0442=--kx x444)(2||22121+=++=++=k x x k y y ABAB 中点为)12,2(2+k k D令α2=∠MDN （弧度），||||212AB AB S ⋅=⋅=αα∴α=||AB S∴D 到x 轴的距离12||2+=k DE∴22112212||21||cos 222+-=++==k k k AB DE α当02=k 时，αcos 取最小值21，α的最大值为3π 故||AB S的最大值为3π.21．（1）kx x x x f 221ln )(2-+=，),0(+∞∈x 所以xkx x k x x x f 1221)('2+-=-+=（1）当0≤k 时，0)('>x f ，所以)(x f 在),0(+∞上单调递增（2）当0>k 时，令12)(2+-=kx x x t ，当0442≤-=∆k 即10≤<k 时，0)(≥x t 恒成立，即0)('≥x f 恒成立所以)(x f 在),0(+∞上单调递增当0442>-=∆k ，即1>k 时， 0122=+-kx x ，两根122,1-±=k k x 所以)1,0(2--∈k k x ，0)('>x f )1,1(22-+--∈k k k k x ，0)('<x f ),1(2+∞-+∈k k x ,0)('>x f 故当)1,(-∞∈k 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增当),1(+∞∈k 时，)(x f 在)1,0(2--k k 和),1(2+∞-+k k 上单调递增 )(x f 在)1,1(22-+--k k k k 上单调递减.（2）)0(221ln )(2>-+=x kx x x x f k x xx f 21)('-+= 由（1）知1≤k 时，)(x f ),0(+∞上单调递增，此时)(x f 无极值当1>k 时，xkx x k x x x f 1221)('2+-=-+= 由0)('=x f 得0122=+-kx x 0442>-=∆k ，设两根21,x x ，则k x x 221=+，121=⋅x x 其中11102221-+=<<--=<k k x k k x )(x f 在),0(1x 上递增，在),(21x x 上递减，在),(2+∞x 上递增121ln )1(21ln )(21ln 221ln )(22222222222122222222--=+-+=+-+=-+=x x x x x x x x x x x x kx x x x f 令)1(121ln )(2>--=x x x x t 01)('<-=x x x t ，所以)(x t 在),1(+∞上单调递减，且23)1(-=t 故23)(2-<x f . 22. 解：（1）直线l 的普通方程为1-=x y ，θθπθρcos 4sin 4)4sin(24+=+=，所以θρθρρcos 4sin 42+=所以曲线C 的直角坐标方程为04422=--+y x y x .（2）点)1,2(P 在直线l 上，且在圆C 内，由已知直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 221222（t 为参数）代入04422=--+y x y x ，得0722=--t t ，设两个实根为21,t t ，则07,22121<-==+t t t t ，即21,t t 异号所以2||||||||||||||2121=+=-=-t t t t PB PA .23.解：（1）1|)12(2||12||2|=--≥-+x x x x ，故1≥m（2）由题知1≥+b a ，故222)()22)(22(b a b a b a ba b b a a +≥++++++， ∴31)(312222≥+≥+++b a b a b b a a .。

2019年河南省普通高中高考数学模拟试卷含解析(理科)(3月份)-普通用卷

2019年河南省普通高中高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0，1，2，3}，B={y|y=x2+1，x∈R}，P=A∩B，则P的子集个数为（）A. 4B. 6C. 8D. 162.已知复数z满足（1+i）z=（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图，下列说法正确的是（）A. 该超市208年的12个月中11月份的收益最高B. 该超市2018年的12个月中1月份和3月份的收益最低C. 该超市2018年上半年的总收益高于下半年的总收益D. 该超市2018年下半年的总收益比上半年的总收益增长了约4.下列命题是真命题的是（）A. ∈，B. 若，则C. 已知A，B为的两个内角，若，则D. 函数的图象与函数的图象关于直线对称5.函数y=的图象大致为（）A. B.C. D.6.已知a=log23•log34，则（ax+）6的展开式中的常数项为（）A. 15B. 60C. 120D. 2407.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，E为正方体内任意一点，则AE的长度大于3的概率等于（）A. B. C. D.8.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 3B.C.D. 19. 已知 ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，且a 2+b 2-c 2=4 S ，c =1，则 b -a 的最大值为（）A. B. 2 C. 3 D.10. 已知 ABC 的顶点A ，B 在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，顶点C 为该抛物线的焦点，则满足条件的正三角形个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 已知奇函数f （x ）是定义在R 上的增函数，g （x ）=sin•f （x ），若a =g （-log 26.1），b =g （20.9），c =g （2），则a ，b ，c 的大小关系为（） A. B.C.D.12. 已知函数f （x ）=3sin （ωx +φ），（ω＞0，0＜φ＜），f （-）=0，f （）=f （x ），且函数f （x ）在区间（，）上单调，则ω的最大值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设实数x ，y 满足，则z =x -3y 的最大值为______． 14. 辗转相除法，又名欧几里得算法，乃求两个正整数之最大公约数的算法．它是已知最古老的算法之一，在中国则可以追溯至汉朝时期出现的《九章算术》．图中的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入m =1995，n =228，则输出的m 的值为______．15. 已知双曲线-=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，左、右顶点分别为A 1，A 2，坐标原点为O ，若以线段A 1A 2为直径的圆与该双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，且∠PFO =45°，则双曲线的离心率为______． 16. 已知点P ，A ，B ，C 均在表面积为36π的球面上，其中PA ⊥平面ABC ，∠BAC =30°，AC = AB ，则三棱锥P -ABC的体积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n +1=2S n （n ∈N *）．（1）求数列{S n }的通项公式；（2）求数列{na n }的前n 项和T n ．18.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，P是AB的中点，将ADP沿DP向上折起到A1DP的位置，使平面A1DP⊥平面BCDP．（1）求证：A1D⊥CP；（2）求二面角B-A1C-P的余弦值．19.第十一届全国少数民族传统体育运动会将于2019年9月8日至16日在郑州市举行，全国少数民族传统体育运动会每四年举办一次，是我国级别最高、影响力最大的民族传统体育赛事，其中以龙舟项目最为刺激、场面最为宏大，其起源可追溯到原始社会末期，已被列入国家级物质文化遗产名录．河南省参加公开组标准龙舟500米直道竞速比赛的队伍从甲、乙两队中选拔产生．甲、乙两队共参加十轮对抗赛成绩统计如表：（1）把甲、乙两队的成绩整理在如图所示的茎叶图中（单位：秒），并根据茎叶图判断两队成绩的方差的大小（不需要计算）．（2）用频率估计总体，甲、乙两队进行三轮比赛，甲队获胜的次数为X，求X的分布列和数学期望．（3）若正式比赛时共分三轮，取最好的一轮成绩作为最终成绩决出冠军．根据往届成绩，150秒以内（含150秒）可获冠军，否则不能获得冠军．用样本频率估计总体，你认为哪个队参加比赛获冠军的概率较大？该队获冠军的概率是多少？20.已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，点P为椭圆上任意一点（除A1，A2外），PA1，PA2的斜率的乘积等于，且圆O：x2+y2=1经过椭圆的焦点．（1）求椭圆的方程；（2）如图，若直线l1：y=kx+m与圆O相切，且与椭圆相交于A，B两点，直线l2与11平行且与椭圆相切于点C（点O，C位于直线l1的两侧），记ABC，OAB的面积分别为S1，S2，求的取值范围．21.已知函数f（x）=．（1）若直线l：y=kx+2e与y=f（x）的图象相切，求实数k的值；（2）设a≥2e，求证：对∀k＜0，直线l：y=kx+a与y=f（x）的图象有唯一公共点．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2交于P，Q两点，求+的值．23.关于x的不等式|x-2|＜m（m∈N*）的解集为A，且∈A，∉A．（1）求m的值；（2）若a，b，c均为正实数，且ab+bc+ca=mabc，求证：a+4b+9c≥36．答案和解析1.【答案】C【解析】解：B={y|y≥1}，A={0，1，2，3}；∴P=A∩B={1，2，3}；∴P的子集个数为：．故选：C．可解出B={y|y≥1}，从而进行交集的运算即可得出P={1，2，3}，从而根据组合知识即可得出集合P的子集个数．考查列举法、描述法的定义，交集的运算，以及集合子集个数的求法．2.【答案】D【解析】解：由（1+i）z===，得z=，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，-），所在的象限为第四象限．故选：D．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】D【解析】解：①由图知，该超市208年的12个月中7月份的收益最高，故选项A错误，②由图知，该超市2018年的12个月中4月份的收益最低，故选项B错误，③由图知，该超市2018年上半年的总收益为140万元，下半年的总收益为240万元，故选项C错误，④由③知：该超市2018年下半年的总收益比上半年的总收益增长了≈0.714，故选项D正确，综合①②③④得：选项D正确，故选：D．先对图象数据的分析处理，再逐一进行检验即可得解本题考查了对图象数据的分析处理，属中档题4.【答案】C【解析】解：由y=3x和y=log3x的图象关于直线y=x对称，且y=x和y=3x的图象无交点，且y=x在y=3x的下方，可得∀x＞0，3x＞log3x，故A错误；若a＞b，m=0时，am2=bm2，故B错误；A，B为ABC的两个内角，若A＞B，可得a＞b，即2RsinA＞2RsinB，则sinA＞sinB，故C正确；令t=1+x，即x=t-1，可得y=f（t）和y=f（2-t）的图象关于t=1即x=0对称，故D错误．故选：C．由指数函数和对数函数的图象关于直线y=x对称，可判断A；由a＞b．m=0，可判断B；由三角形的正弦定理和边角关系，可判断C；由函数的图象对称可判断D．本题考查函数的对称性和不等式的性质、正弦定理和三角形的边角关系，考查判断能力和推理能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：当x→+∞时，y→+∞，排除D，由y=0得=0，得x-1=0，即x=1，即函数只有一个零点，排除A，B，故选：C．求出函数零点的个数，以及当x→+∞时时，函数的极限，利用排除法进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数零点个数以及极限思想，利用排除法是解决本题的关键．6.【答案】D【解析】解：已知a=log23•log34=•=log24=2，则（ax+）6=（2x+）6的展开式的通项公式为T r+1=•26-r•x6-3r，令6-3r=0，求得r=2，可得展开式中的常数项为•24=240，故选：D．利用对数的运算，求得a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查对数的运算，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：由题意可知总的基本事件为正方体内的点，可用其体积33=27，满足|AE|≤3的基本事件为A为球心3为半径的求内部在正方体中的部分，其体积为V=×π×33=，故则AE的长度大于3的概率P=1-=1-．故选：A．由题意可得概率为体积之比，分别求正方体的体积和八分之一球的体积可得．本题考查几何概型，涉及正方体和求的体积公式，属基础题．8.【答案】C【解析】解：几何体的直观图如图，是底面为直角梯形的直棱柱，截去一个三棱锥的几何体，所以几何体的体积为：V DCGE-ABHF-V F-BGH==．故选：C．画出几何体的直观图，判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查空间几何体的体积的求法，三视图与直观图的判断，考查空间想象能力以及计算能力．9.【答案】B【解析】解：∵ ABC中，S=absinC，cosC=，且a2+b2-c2=4S，∴2abcosC=4××absinC，解得：tanC=，∵C∈（0，π），∴C=，∵c=1，∴=2，可得：a=2sinA，b=2sinB=2sin（-A），∴b-a=2sinB-2sinA=2sin（-A）-2sinA=2（cosA+sinA）-2sinA=cosA+sinA=2sin（A+）≤2．可得b-a的最大值为2．故选：B．利用三角形面积公式表示出S，利用余弦定理列出关系式，分别代入已知等式，整理求出tanC的值，即可确定出C的度数，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得b-a=2sin（A+），利用正弦函数的性质可求最大值．此题考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：由抛物线y2=2px（P＞0）的焦点F（，0），等边三角形的一个顶点位于抛物线y2=2px（P＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于x轴轴对称，两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为：y=±（x-），每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．满足条件的三角形ABC的个数为2，故选：B．由题意可知：y2=2px（P＞0）的焦点F（，0），则两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为：y=±（x-），每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．满足条件的三角形ABC的个数为2，本题主要考查了抛物线的简单性质．主要是利用抛物线和正三角形的对称性，考查数形结合思想，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数且在R上是增函数，则f（0）=0，则有在（0，+∞）上，f（x）＞0，f′（x）＞0，g（x）=sin•f（x），则g（-x）=sin（-）f（-x）=sin•f（x）=g（x），则函数g（x）为偶函数，g′（x）=cos f（x）+sin•f′（x），在（0，π）上，有g′（x）＞0，g（x）在（0，π）上为增函数，a=g（-log26.1）=g（log26.1），且20.9＜21＜2=log24＜log26.1＜π，则有b＜c＜a；故选：D．根据题意，由f（x）的奇偶性以及单调性可得在（0，+∞）上，f（x）＞0，f′（x）＞0；对于g（x），由其解析式可得g（-x）=sin（-）f（-x）=sin•f（x）=g（x），则函数g（x）为偶函数，求出其导数分析可得g（x）在（0，π）上为增函数，又由a=g（-log26.1）=g（log26.1），且20.9＜21＜2=log24＜log26.1＜π，分析可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析g（x）的单调性以及奇偶性，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=3sin（ωx+φ），（ω＞0，0＜φ＜），f（-）=3sin（-+φ）=0，∴-+φ=mπ，（m∈Z）①f（）=f（x），∴f（x）的图象关于直线x=对称．（k∈Z）②由①②得：，（k∈Z）由于：0＜φ＜），故：f（x）=3sin（ωx+），当函数为单调减函数时，，（k∈Z）整理得（k∈Z）由于函数f（x）在区间（）上单调，当k=0时，故；解得：3≤ω≤5（k∈Z），只有C选项在3≤ω≤5的范围内．故选：C．首先根据函数的关系式求出，进一步利用函数的单调区间建立不等式组，最后解不等式组求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．13.【答案】0【解析】解：由z=x-3y得y=x-z，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=x-z，由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=x-z的截距最小，此时z最大，由，得A（3，1）．代入目标函数z=x-3y，得z=3-3×1=0，故答案为：0．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．14.【答案】57【解析】解：由程序语言知：算法的功能是利用辗转相除法求m、n的最大公约数，当输入的m=1995，n=228，1995=8×228+171；228=1×171+57，171=3×57+0，可得输出的m=57．故答案为：57程序的运行功能是求m=1995，n=228的最大公约数，根据辗转相除法可得m的值．本题考查了辗转相除法的程序框图，掌握辗转相除法的操作流程是关键，属于基础题．15.【答案】【解析】解：双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），双曲线的渐近线方程为y=x，由∠PFO=45°，可得直线PF的方程为y=-（x-c），联立渐近线方程，可得P（，），由|OP|=a，可得（）2+（）2=a2，由a2+b2=c2，可得2a3=b3+a2b，即有（a-b）（2a2+ab+b2）=0，可得a=b，则e===．故答案为：．求出双曲线的右焦点F和一条渐近线方程，由题意可设直线PF的方程，联立渐近线方程求得P的坐标，由|OP|=a，结合离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】3【解析】解：∵点P，A，B，C均在表面积为36π的球面上，∴球的半径为：r==3，∵PA⊥平面ABC，∠BAC=30°，AC=AB，∴BC==AB．外接圆的半径为：r==AB．三棱锥的高PA=2=．则三棱锥P-ABC的体积：V==×，令AB2=x，则V2=≤×（）3=9．当且仅当x=9-x，即x=6，即AB=时取等号．三棱锥P-ABC的体积取最大值为3．故答案为：3．求出球的半径，三角形ABC的外接圆的半径，求出PA，然后求解棱锥的体积，利用基本不等式求解最值即可．本题考查几何体的体积计算，探索几何体的位置情况，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n，则：S n+1-S n=2S n．整理得：（常数），所以：数列{S n}是以S1=a1=1为首项，3为公比的等比数列．故：．（2）当n≥2时，，故：．则：当n=1时T1=1，当n≥2时，①则：②，①-②得：，整理得：，当n=1时符合上式，故：．【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求数列的和．18.【答案】证明：（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，P是AB的中点，∴DP==，CP==，∴CD2=4=DP2+CP2，∴CP⊥DP，∵平面A1DP⊥平面BCDP，平面A1DP∩平面BCDP=PD，CP⊂平面BCDP，∴CP⊥平面A1DP，∵A1D⊂平面A1DP，∴A1D⊥CP．解：（2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，作A1E⊥DP于点E，则A1E=，P（1，1，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（，，0），A1（，，），从而=（，-，），=（1，0，0），=（1，-1，0），设=（x，y，z）是平面A1BC的法向量，则，取z=3，得=（0，，3），设=（x，y，z）为平面A1CP的法向量，则，取z=，得=（1，1，），∴cos＜，＞===，∴二面角B-A1C-P的余弦值为．【解析】（1）推导出CP⊥DP，从而CP⊥平面A1DP，由此能证明A1D⊥CP．（2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，作A1E⊥DP于点E，利用向量法能求出二面角B-A1C-P的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）把甲、乙两队的成绩整理在茎叶图中，如图所示；根据茎叶图判断甲队成绩的方差小于乙队成绩的方差；（2）在10轮比赛中，甲队获胜4次，用频率估计总体，甲队在每轮比赛中获胜的概率为P==，由题意知，X～B（3，），X=0，1，2，3；计算P（X=0）==，P（X=1）=××=，P（X=2）=××=，P（X=3）==；X数学期望为E（X）=3×=．（3）由于甲队10轮比赛中成绩在150秒以内（含150秒）的有5次，乙队10轮比赛中成绩在150秒以内（含150秒）的有6次，用样本频率估计总体，乙队参加比赛获冠军的概率较大；记“乙队参加比赛获得冠军”为事件B，则P（B）=1-=，所以乙队获冠军的概率是．【解析】（1）根据题意填写茎叶图，利用茎叶图中的数据判断甲队成绩的方差小于乙队成绩的方差；（2）根据题意知甲队在每轮比赛中获胜的概率，得出随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值；（3）由甲、乙两队10轮比赛中成绩在150秒以内（含150秒）的次数，判断乙队参赛获冠军的概率较大，再计算乙队获冠军的概率值．本题考查了茎叶图与概率的计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．20.【答案】解：（1）设椭圆上任意点P（除A1，A2外）的坐标为（x0，y0），∵A1（-a，0），A2（a，0），PA1，PA2的斜率的乘积等于，∴•=-，即=，∵+=1，∴y02=（a2-x02），∴=，∵圆O：x2+y2=1经过椭圆的焦点，∴c=1，∴a2-b2=1，解得a2=4，b2=3，故椭圆的方程为+=1．（2）直线l1：y=kx+m与圆O相切，则=1，即m2=1+k2，设直线l2的方程为y=kx+n，（n≠0），由，消y可得（3+4k2）x2+8knx+4n2-12=0，∵直线l2与椭圆相切于点C，∴ =64k2n2-4（3+4k2）（4n2-12）=0，∴n2=4k2+3，设C，O到线AB的距离分别为d1，d2，则d2=1，d1=-1，∴==-1=-1=-1，∵1+k2≥1，∴0＜≤1，∴3≤4-＜4，∴-1≤＜1，故的取值范围为[-1，1）【解析】（1）设椭圆上任意点P（除A1，A2外）的坐标为（x0，y0），根据斜率的乘积和点M在椭圆上，即可求出a2=4，b2=3则方程可得，（2）由直线和圆相切可得m2=1+k2，再根据直线l2与11平行且与椭圆相切于点C，可得n2=4k2+3，分别求出设C，O到线AB的距离分别为d1，d2，则面积比即为距离比，根据函数的性质即可求出本题考查了直线与椭圆的位置关系、直线与圆相切、点到直线的距离公式、根的判别式、三角形面积计算公式、不等式的性质、考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）设切点为（x0，），函数的导数f′（x）=，则切线斜率为f′（x0）=，则切线方程为y-=（x-x0），即直线l的方程为y=x+，∵y=kx+2e与y=f（x）的图象相切，∴=2e，即2ln x0-2e x0-1=0，令h（t）=2ln t-2e t-1，则h′（t）=-2e，由h′（t）＞0得-2e＞0，得0＜t＜e，此时为增函数，由h′（t）＜0得-2e＜0，得t＞e，此时为减函数，即当x=e时，h（t）取得极大值，h（e）=2ln e-2e•e-1=3-2-1=0，即h（t）=0有唯一的一个解t=e，即x0=e，则k====-．（2）令g（x）=-kx-a，则g′（x）=-k，g″（x）=，当0＜x＜e时，g″（x）＜0，g′（x）单调递减，当x＞e时，g″（x）＞0，g′（x）单调递增，∴g′（x）≥g′（e）=--k．①当k≤-时，g′（x）≥0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（e k）=-k•e k-a＜k（e-k-e k）＜0，当x≥1时，≥0，当x≥-时，-kx-a≥0，∴取x1=max{1，-}，则g（x1）≥-k•（-）-a=0，∴g（x）有唯一零点．②当＜k＜0时，注意到k=，a=2时，g（x）=+x-2在（0，+∞）上单调递增，∵g（e）=+-2=0，∴当0＜x≤e时，≤-x-2＜kx+a，故g（x）＜0，∴g（x）在（0，e]上没有零点，当x＞e时，g′（x）在[e，+∞）上单调递增，g′（e）=--k＜0，g′（-）=-k＞-k=0∴存在t∈（e，+∞），当e＜x＜t时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞t时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（e）=-k•e-a≤--k•e=-＜0，g（t）＜g（e）＜0，取x2=max{1，-}，则g（x2）＞0，∴g（x）=0有唯一零点，综上当a≥2e时，对∀k＜0，直线l：y=kx+a与y=f（x）的图象有唯一公共点．【解析】（1）设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义建立方程关系进行求解即可．（2）构造函数g（x）=-kx-a，求函数的导数，研究函数的极值和单调性，结合函数零点存在定理进行证明即可．本题主要考查导数的几何意义以及函数零点存在的判断，求出函数的导数，利用函数和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．22.【答案】解：（1）由消去参数t得x2=y，即C1的普通方程为x2=y，由ρ=得mρsinθ+ρcosθ=2，将ρsinθ=y，ρcosθ=x代入得x+my-2=0，即C2的直角坐标方程为x +my-2=0．（2）由可得=4t，故4t的几何意义是抛物线x2=y上的点（原点除外）与原点连线的斜率，由题意知当m=0时，C2：x=2，则C1与C2只有一个交点，故m≠0，把代入x+my-2=0得4mt2+t-2=0设此方程的两根分别为t1，t2，则t1+t2=-，t1t2=-，所以+=+===【解析】（1）由消去参数t 得x2=y，利用ρsinθ=y，ρcosθ=x可得C2的直角坐标方程；（2）联立C1的参数方程与C2的普通方程，利用韦达定理以及参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）∵∈A，∉A，∴|-2|＜m，||≥m，∴＜m≤，∵m∈N*，∴m=1．证明（2）：由（1）及以及条件知++=1，a，b，c均为正实数，∴a+4b+9c=（a+4b+9c）（++）=14++++++≥14+2+2+2=36，当且仅当a=2b=3c时等号成立，故a+4b+9c≥36【解析】（1）根据题意可得|-2|＜m，||≥m，即可求出m的值，（2）由1）及以及条件知++=1，再利用乘1法即可证明本题主要考基本不等式，不等式的解法，体现了转化论的数学思想，属于基础题．。

〔精品〕2019年河南省普通高中高考数学模拟试卷及解析(理科)(3月份)

2019年河南省普通高中高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{y|y ＝x 2+1，x ∈R }，P ＝A ∩B ，则P 的子集个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．162．（5分）已知复数z 满足（1+i ）z ＝（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图，下列说法正确的是（）A ．该超市2018年的12个月中11月份的收益最高B ．该超市2018年的12个月中1月份和3月份的收益最低C ．该超市2018年上半年的总收益高于下半年的总收益D ．该超市2018年下半年的总收益比上半年的总收益增长了约71.4%4．（5分）下列命题是真命题的是（）A ．?x 0∈（0，+∞），3＜log 3x 0B ．若a ＞b ，则am 2＞bm2C ．已知A ，B 为△ABC 的两个内角，若A ＞B ，则sinA ＞sinBD ．函数y ＝f （1+x ）的图象与函数y ＝f （1﹣x ）的图象关于直线x ＝1对称5．（5分）函数y ＝的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）已知a＝log23?log34，则（ax+）6的展开式中的常数项为（）A．15B．60C．120D．2407．（5分）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，E为正方体内任意一点，则AE的长度大于3的概率等于（）A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．1﹣8．（5分）已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3B．C．D．19．（5分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且a 2+b2﹣c2＝4S，c＝1，则b﹣a的最大值为（）A．B．2C．3D．10．（5分）已知△ABC的顶点A，B在抛物线y 2＝2px（p＞0）上，顶点C为该抛物线的焦点，则满足条件的正三角形个数为（）A．1B．2C．3D．411．（5分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，g（x）＝sin?f（x），若a＝g（﹣log26.1），b＝g（20.9），c＝g（2），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a12．（5分）已知函数f（x）＝3sin（ωx+φ），（ω＞0，0＜φ＜），f（﹣）＝0，f（）＝f（x），且函数f（x）在区间（）上单调，则ω的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省六市2019届高三第一次联考试题数学(理) Word版含答案

2019年河南省六市高三第一次联考试题数学(理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题，23题为选考题，其它题为必考题。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项:1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。

第I 卷(选择题共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合 A = {032|2≤--x x x }，B = {)2ln(|x y x -=}，则=B A A.(l,3) B.(l,3] C.[-1,2) D.(-1,2)2.设复数i z +=1,则=+25z zA. 225i +-B. 225i --C. 225i +D. 225i -3. 040sin 200cos 50sin 70cos -的值为 A. 23-B. 23C. 21-D. 21 4.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、 ……、《辑古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。

这10部专著中有1部产生于魏晋南北朝时期。

某中学拟从这10部专著中选择2部作为 “数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为 A.1514 B. 151 C. 92 D. 97 5.已知函数R x a x x x f x x ∈++++=-),77()1ln(3)(2，则“a=0”是“函数)(x f 为奇函数的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的表面积为A. π264-B. π264+C. π280-D. π280+ 7.若x xe c b x a e x ln ln 1,)21(,ln ),1,(===∈-，则A. b >c >aB. c > b > aC. b > a > cD. a > b >c8.若将函数πϕϕϕ<<0)2cos(3)2sin()(+++=x x x f 的图象向左平移4π个单位长度，平移后的图象关于点)0,2(π对称，则函数)cos()(ϕ+=x x g 在]6,2[ππ-上的最小值是 A. 21-B. 23-C. 21D.229.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则目标函数y x z -=3的最大值是A. -6B. 23- C. -1 D.610. 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4,cos cos 2==-b BCb c a ，则△ABC 的面积的最大值A. 34B. 32C. 33D. 311. 抛物线x y 82=的焦点为F ，设（11,y x )，B(22,y x )是抛物线上的两个动点，若||332421AB x x =++，则∠AFB 的最大值为 A.3π B. 43π C. 65π D.32π12.函数)(x f 是定义在（1，+∞)上的可导函数，)('x f 为其导函数，若)2()(')1()(2-=-+x x x f x x f ,则不等式)(2e f <0的解集为A. (0,1)B. (0,2)C. (1,2)D. (2, +∞)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。

2019届河南省高考模拟试题精编理科数学

2019届河南省高考模拟试题精编(三)理科数学(考试用时：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

不按以上要求作答无效。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z＝(i为虚数单位)，那么z的共轭复数为()＋i－i＋i－i2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为()A．1 B．2 C．3 D．1或23．如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A．8－B．8－πC．8－D．8－4．《张丘建算经》中“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？”意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里路，问每天走的里数为多少？”则该匹马第一天走的里数为()800,127)5．已知点x，y满足约束条件错误!，则z＝3x＋y的最大值与最小值之差为()A．5 B．6 C．7 D．86．新闻台做《一校一特色》访谈节目，分A，B，C三期播出，A期播出两所学校，B期，C期各播出1所学校，现从8所候选学校中选出4所参与这三项任务，不同的选法共有()A．140种B．420种C．840种D．1 680种7．执行如图的程序框图，则输出x的值是()A．2 018 B．2 019D．28．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点与抛物线y2＝8x的焦点重合，且其离心率e＝，则该双曲线的方程为()－＝1 －＝1－＝1 －＝19．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中，⊥平面，且＝＝，则异面直线与所成角的余弦值为()B．－D．－10．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是()A．男医生B．男护士C．女医生D．女护士11．如图，在△中，＝2，＝2，与交于点F，过点F作直线，分别交，于点Q，P，若＝λ，＝μ，则λ＋μ的最小值为()C．212．已知x＝－1是函数f(x)＝(2＋＋c)的一个极值点，四位同学分别给出下列结论，则一定不成立的结论是()A．a＝0 B．b＝0 C．c≠0 D．a＝c第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．2017年高校毕业生就业形势仍然相当严峻，某社会调研机构对即将毕业的大学生就业所期望的月薪(单位：元)进行调查，共调查了3 000名大学生，并根据所得数据绘制了频率分布直方图(如图)，则所期望的月薪在[2 500,3 500)内的大学生有名．14．化简：2α2α2)＝.15．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，若2＋－3＝0，则弦中点到抛物线C 的准线的距离为．16．在数列{}中，a 1＝2，a 2＝8，对所有正整数n 均有＋2＋＝＋1，则018)n ＝. 三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)△的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c －a ＝2 A .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，求a ＋c 的最大值．18．(本小题满分12分)为了解当代中学生喜欢文科、理科的情况，某中学一课外活动小组在学校高一进行文、理分科时进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位：分)进行统计，将数据按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科意向”学生，低于60分的称为“理科意向”学生．(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科意向”与性别有关？理科意向文科意向总计男110女50总计(2)1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科意向”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望E(ξ)和方差D(ξ)．参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.参考临界值：P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82 819．(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P-的底面是直角梯形，∥，∠＝90°，＝2，⊥平面.(1)设E为线段的中点，求证：∥平面；(2)若＝＝，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中取两个定点A1(－，0)，A2(，0)，再取两个动点N1(0，m)，N2(0，n)，且＝2.(1)求直线A1N1与A2N2的交点M的轨迹C的方程；(2)过R(3,0)的直线与轨迹C交于P，Q两点，过点P作⊥x轴且与轨迹C 交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若＝λ(λ＞1)，求证：＝λ.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x－)－m(a，m∈R)在x＝e(e为自然对数的底数)时取得极值，且有两个零点记为x1，x2.(1)求实数a的值，以及实数m的取值范围；(2)证明：x1＋x2＞2.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系下，圆O：ρ＝θ＋θ和直线l：ρ＝(ρ≥0,0≤θ≤2π)．(1)求圆O与直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知a＞0，b＞0，函数f(x)＝|2x＋＋2－|＋1的最小值为2.(1)求a＋b的值；(2)求证：a＋3≥3－b.高考理科数学模拟试题精编(三) 班级：姓名：得分：请在答题区域内答题高考理科数学模拟试题精编(三)1-5 6-10 11-1213．答案：1 35014．答案：4 α15．答案：16．答案：1017．解：(1)∵2c－a＝2 A，∴根据正弦定理，得2 C－A＝2 A，∵A＋B＝π－C，(2分)可得C＝(A＋B)＝A＋A，∴代入上式，得2 A＝2 A＋2 A－A，化简得(2 B－1) A＝0 (4分)由A是三角形的内角可得A＞0，∴2 B－1＝0，解得B＝，∵B∈(0，π)，∴B＝；(6分)(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2 B，得12＝a2＋c2－.(8分)∴(a＋c)2－3＝12，由≤2，－3≥－3×，(a＋c)2－3≥(a＋c)2－(a＋c)2，∴12≥(a＋c)2，(当且仅当a＝c＝2时)，即(a＋c)2≤48，∴a＋c≤4，(11分) ∴a＋c的最大值为4.(12分)18．解：(1)由频率分布直方图可得分数在[60,80)之间的学生人数为0.012 5×20×200＝50，在[80,100]之间的学生人数为0.007 5×20×200＝30，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为向向男8030110女405090总计12080200(4分)又K2＝≈16.498＞6.635，所以有99%的把握认为是否为“文科意向”与性别有关．(6分)(2)易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科意向”的概率为p ＝＝.依题意知ξ～，(8分)所以P(ξ＝i)＝33－i(i＝0,1,2,3)，所以ξ的分布列为ξ012 3P所以期望E(ξ)＝＝，方差D(ξ)＝(1－p)＝.(12分)19．解：(1)证明：取的中点G，连接，，则綊，又綊，所以綊，四边形为平行四边形．(4分)所以∥，又⊄平面，⊂平面，所以∥平面.(6分)(2)以A为坐标原点，的方向为y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设＝2，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，B(2,1,0)，＝(0,0,2)，＝(2,1,0)，＝(0,2，－2)，＝(2,0,0)．(8分)设n＝(x，y，z)是平面的法向量，则错误!，即错误!，令x＝1，得y＝－2，则n＝(1，－2,0)是平面的一个法向量，同理，m＝(0，－1，－1)是平面的一个法向量．(10分)所以〈m，n〉＝＝＝，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.(12分)20．解：(1)依题意知，直线A1N1的方程为y＝(x＋)，①直线A2N2的方程为y＝－(x－)，②(2分)设M(x，y)是直线A1N1与A2N2的交点，①×②得y2＝－(x2－6)，又＝2，整理得＋＝1.故点M的轨迹C的方程为＋＝1.(4分)(2)证明：设过点R的直线l：x＝＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则N(x1，－y1)，由错误!，消去x，得(t2＋3)y2＋6＋3＝0，(*)(6分)所以y1＋y2＝－，y1y2＝.由＝λ，得(x1－3，y1)＝λ(x2－3，y2)，故x1－3＝λ(x2－3)，y1＝λy2，(8分) 由(1)得F(2,0)，要证＝λ，即证(2－x1，y1)＝λ(x2－2，y2)，只需证2－x1＝λ(x2－2)，只需＝－，即证2x1x2－5(x1＋x2)＋12＝0，又x1x2＝(1＋3)(2＋3)＝t2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9，x1＋x2＝1＋3＋2＋3＝t(y1＋y2)＋6，所以2t2y1y2＋6t(y1＋y2)＋18－5t(y1＋y2)－30＋12＝0，即2t2y1y2＋t(y1＋y2)＝0，(10分)而2t2y1y2＋t(y1＋y2)＝2t2·－t·＝0成立，即＝λ成立．(12分)21．解：(1)f′(x)＝x－a 2)＝2)，由f′(x)＝0⇒x＝＋1，且当0＜x＜＋1时，f′(x)＞0，当x＞＋1时，f′(x)＜0，所以f(x)在x＝＋1时取得极值，所以＋1＝e⇒a＝0.所以f(x)＝)－m(x＞0)，f′(x)＝2)，函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，f(e)＝－m.(3分)又x→0(x＞0)时，f(x)→－∞；x→＋∞时，f(x)→－m，f(x)有两个零点x1，x2，故错误!，解得0＜m＜错误!.(5分)(2)证明：不妨设x1＜x2，由题意知错误!.则x1x2＝m(x1＋x2)，＝m(x2－x1)⇒m＝.欲证x1＋x2＞2，只需证(x1·x2)＞2，只需证m(x1＋x2)＞2，即证＞2.(7分)即证＞2，设t＝＞1，则只需证t＞.即证t－＞0.(9分)记u(t)＝t－(t＞1)，则u′(t)＝－＝＞0.所以u(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以u(t)＞u(1)＝0，所以原不等式成立，故x1＋x2＞2，得证．(12分)22．解：(1)圆O：ρ＝θ＋θ，即ρ2＝ρθ＋ρθ，故圆O的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0，(2分)直线l：ρ＝，即ρθ－ρθ＝1，则直线的直角坐标方程为：x－y＋1＝0.(5分)(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得错误!，解得错误!即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，(9分)转化为极坐标为.(10分)23．解：(1)因为f(x)＝|2x＋＋|2x－＋1≥|2x＋a－(2x－b)|＋1＝＋＋1，当且仅当(2x＋a)(2x－b)≤0时，等号成立，(2分)又a＞0，b＞0，所以＋＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b＋1＝2，所以a ＋b＝1.(5分)(2)证明：由(1)知，a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝1＋4＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝且a＋b＝1，即a＝，b＝时取等号．(7分)所以3≥39＝2，所以a＋b＋3≥1＋2＝3，即a＋3≥3－b.(10分)。

2019届河南省高考押题一理科数学试卷【含答案及解析】

C
【解析】
试题分析：弓=卜I活乩卜（咕,]£={2=』2015齐1：1卜（匕代）,
A\（C1显"（7习i（TUELai]、选匚
第2题【答案】
pI
【解析】
34XII-3/-1142?I
肚题分析：十T待丄二、所以X丄二，虚部为二」选D.
I+2』555
第3题【答案】
【解析】
试题分析*P& =0或}-、=>0艺打<?1,为假命■题yQa2—3.v>0r>3®x<0
:点，汴的中点为」.
（1）求证：四点.，；共圆；
（2）求证：厂胪「匕「，朋
23.选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线：的参数方程为':「I，在同一平面直角坐标系中，将曲
[y=2mn（9
‘•1
x =_x
线匸上的点按坐标变换"3得到曲线£/，以原பைடு நூலகம்为极点，壬轴的正半轴为
F1
V二一匸
极轴，建立极坐标系.
（1）写出曲线：与曲线：的极坐标的方程；
【解析】
试题分析：+解集为全体实数尺,所戏入二4&-砒“O舀—b,所求槪率対为
J：Q7)办少刊打」，霽
2x24亍
第8题【答案】
【解析】
—x4^4x5~2<—x—x4^4*t=
2' 3 2
第9题【答案】
A
【解析】
试题井析：口上=2叮乂(一》=一3；向量2烷+殆任向童加方问上的投影为
ItII1.—
(4+303+血_42+少9+阮(-3)__19_「19抠令|2fl-bi|,/4x4-f9+ 4x(-3)~"13''

2019届河南省高考模拟试题精编(四)理科数学(解析版)

2019届河南省高考模拟试题精编(四)理科数学(考试用时：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

不按以上要求作答无效。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合A＝{0,1}，B＝{x|(x＋2)(x－1)＜0，x∈Z}，则A∪B＝() A．{－2，－1,0,1}B．{－1,0,1}C．{0,1}D．{0}2．设i是虚数单位，若复数a－103－i(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3 B．－1 C．1 D．3 3．函数f(x)＝sin x·(4cos2x－1)的最小正周期是()A.π3 B.2π3C．π D．2π4．在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一枚硬币一次，设命题p是“甲抛的硬币正面向上”，q是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为()A．(綈p)∨(綈q) B．p∧(綈q)C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q5．若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π2B.2π3C.π6D.5π66．某几何体三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为( )A.32＋833πB.32＋33πC.4＋333πD.4＋33π7．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，若将f (x )图象上的所有点向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋π4，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π6，k ∈Z 8．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的a i (i ＝1,2，…，15)分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为( )A ．6B ．7C ．8D ．910．已知A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤π2}，B 是曲线y ＝sin x 与x 轴围成的封闭区域，若向区域A 内随机投入一点M ，则点M 落入区域B 的概率为( )A.2πB.4πC.2π3 D.4π3 11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为( )A. 2B. 3C ．23＋1D.3＋112．已知底面是边长为2的正方形，侧棱长是1的直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是平面A 1B 1C 1D 1上的动点．给出以下三个结论，则正确结论的个数是( )①与点D 距离为3的点P 形成一条曲线，且该曲线的长度是2π2；②若DP∥平面ACB 1，则DP 与平面ACC 1A 1所成角的正切值的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，＋∞；③若DP ＝3，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为6 2.A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在多项式(1＋2x )6(1＋y )5的展开式中，xy 3项的系数为________． 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为________．15．已知三棱锥A -BCD 中，BC ⊥CD ，AB ＝AD ＝2，BC ＝1，CD ＝3，则该三棱锥的外接球的体积为________．16．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题： (1)函数f (x )是周期函数；(2)函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫－34，0对称；(3)函数f (x )为R 上的偶函数； (4)函数f (x )为R 上的单调函数．其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的公比q ＞1，a 1＝1，且2a 2，a 4,3a 3成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n＝2na n，求数列{b n}的前n项和T n.18．(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE ＝2，M为线段BF上一点，且DM⊥平面ACE.(1)求BM的长；(2)求二面角A-DM-B的余弦值的大小．19．(本小题满分12分)某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．(1)若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；(2)若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X(元)．求随机变量X的分布列和数学期望．20．(本小题满分12分)已知点F为椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x4＋y2＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(2x －4)e x ＋a (x ＋2)2(x ＞0，a ∈R ，e 是自然对数的底数)．(1)若f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，证明：函数f (x )有最小值，并求函数f (x )的最小值的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos αy ＝1＋sin α(α为参数，π≤α≤2π)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22t . (1)求C 2的直角坐标方程；(2)当C 1与C 2有两个公共点时，求实数t 的取值范围． 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝|x －2|＋2x －3，记f (x )≤－1的解集为M . (1)求M ；(2)当x ∈M 时，证明：x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.高考理科数学模拟试题精编(四)班级：__________姓名：__________得分：____________题号123456789101112答案请在答题区域内答题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13.____________14.____________15.____________16.____________三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分)21.(本小题满分12分)请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．高考理科数学模拟试题精编(四)1．解析：选B.∵集合A＝{0,1}，B＝{x|(x＋2)(x－1)＜0，x∈Z}＝{－1,0}，∴A∪B＝{－1,0,1}．故选B.2．解析：选D.由a－103－i＝a－10(3＋i)(3－i)(3＋i)＝a－(3＋i)＝a－3－i为纯虚数得a－3＝0，即a＝3.3．解析：选B.∵f(x)＝sin x[2(1＋cos 2x)－1]＝2sin x cos 2x＋sin x＝sin 3x＋sin(－x)＋sin x＝sin 3x.∴最小正周期T＝2π3.故选B.4．解析：选A.綈p，表示“甲抛的硬币正面向下”，綈q表示“乙抛的硬币正面向下”．则(綈p)∨(綈q)表示“至少有一人抛的硬币是正面向下”．故选A.5．解析：选C.通解：因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝0，即a·a－a·b＝|a|2－|a|·|b|cos〈a，b〉＝0，所以cos〈a，b〉＝|a|2|a|·|b|＝32，又〈a，b〉∈[0，π]，故a与b的夹角为π6，选C.优解：因为a⊥(a－b)，所以利用三角形法则不难得出，向量a，b，a－b 构成直角三角形，且a，b的夹角必定为锐角，从而可知选C.6．解析：选D.该几何体是由一个圆锥和一个球组成的，球的半径和圆锥的底面半径都是1，圆锥的高为3，所以该几何体的体积V＝13π×12×3＋43π×13＝4＋33π，故选D.7．解析：选A.由图象知，A＝2，周期T＝4⎝⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，所以ω＝2ππ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，因为函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2，所以2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ，所以2×π12＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，因为|φ|＜π2所以令k ＝0得φ＝π3，即f (x )＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，把函数f (x )图象上的所有点向右平移π6个单位长度后，得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin 2x 的图象，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z)，所以函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z)，故选A.8．解析：选B.由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．9．解析：选D.由算法流程图可知，其统计的是成绩大于等于110的人数，所以由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，因此输出结果为9.10.解析：选D.构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3，正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M ，根据图形的对称性得：面积为S ＝2∫π0sin x d x ＝－2cos x π0＝4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率P ＝4π3，故选D .11．解析：选D .∵直线y ＝33(x ＋c)过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P.∴|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|sin 60°＝3c ，由双曲线的定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝23－1＝3＋1，选D .12．解析：选C .如图，与点D 的距离为3的点P 形成一个以D 1为圆心，半径为2的圆弧MN ，其长度为14×2π×2＝2π2，所以①正确；因为平面A 1DC 1∥平面ACB 1，所以点P 必须在面对角线A 1C 1上运动，当点P 在A 1(或C 1)时，DP 与平面ACC 1A 1所成的角为∠DA 1O(或∠DC 1O)，tan ∠DA 1O ＝63，此时DP 与平面ACC 1A 1所成的角最小，当点P 在O 1时，DP 与平面ACC 1A 1所成的角为∠DO 1O ，tan ∠DO 1O ＝2，此时DP 与平面ACC 1A 1所成的角最大，所以DP 与平面ACC 1A 1所成角的正切值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤63，2，所以②错误；设P(x ，y,1)，则x 2＋y 2＝2，所以DP 在前后、左右、上下面上的投影长分别是y 2＋1、x 2＋1、x 2＋y 2，所以DP 在6个面上的正投影长度之和为2(y 2＋1＋x 2＋1＋2)≤2⎝⎛⎭⎪⎫2y 2＋1＋x 2＋12＋2＝6 2.所以③正确．13．解析：在多项式(1＋2x)6(1＋y)5的展开式中，通项为C r6(2x)r ·C m5y m ，其中r ＝0,1，…，6，m ＝0,1，…，5.所以xy 3项的系数为C 16·2·C 35＝120.答案：12014．解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ⇒sin B ＝b sin C c ＝12，又c ＞b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.答案：3＋115．解析：因为BC ＝1，CD ＝3，BC ⊥CD ，所以BD ＝2，又AB ＝AD ＝2，所以AB ⊥AD ，所以三棱锥A-BCD 的外接球的球心为BD 的中点，半径为1，所以三棱锥A-BCD 的外接球的体积为4π3.答案：4π316．解析：f(x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f(x)，所以f(x)是周期为3的周期函数，(1)正确；函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，则f(x)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，(2)正确；因为f(x)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，－34＝－x ＋⎝⎛⎭⎪⎫－32＋x 2，所以f(－x)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＋32＝－f(x)，所以f(－x)＝f(x)，(3)正确；f(x)是周期函数，在R 上不可能是单调函数，(4)错误．故真命题的序号为(1)(2)(3)．答案：(1)(2)(3)17．解：(1)由2a 2，a 4,3a 3成等差数列可得2a 4＝2a 2＋3a 3，即2a 1q 3＝2a 1q ＋3a 1q 2，(2分)又q ＞1，a 1＝1，故2q 2＝2＋3q ，即2q 2－3q －2＝0，得q ＝2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(6分)(2)b n ＝2n ×2n －1＝n ×2n ，(7分)T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ①， 2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1 ②.(9分) ①－②得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1，(11分)－T n ＝2(2n －1)2－1－n ×2n ＋1，T n ＝(n －1)×2n ＋1＋2.(12分)18．解：(1)设AC ∩BD ＝O ，取EF 中点N ，连接NO ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∵四边形BDEF 是矩形，∴ON ⊥BD ，(1分)∵平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ∩平面ABCD ＝BD ，ON ⊂平面BDEF ，∴ON ⊥平面ABCD ，(2分)以O 为原点，以OC ，OB ，ON 为坐标轴建立空间坐标系如图所示：∵底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，(3分)∴OB ＝OD ＝1，OA ＝OC ＝3，∵四边形BDEF 是矩形，DE ＝2，∴A (－3，0,0)，B (0,1,0)，C (3，0,0)，E (0，－1,2)，D (0，－1,0)，设BM ＝h ，则M (0,1，h )，(4分)∴DM→＝(0,2，h )，AE →＝(3，－1,2)． ∵DM ⊥平面ACE ，∴DM→⊥AE →，(5分) ∴－2＋2h ＝0，解得h ＝1，∴BM ＝1.(6分)(2)AD →＝(3，－1,0)，DM →＝(0,2,1)，设平面ADM 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m ·AD →＝0m ·DM→＝0，(7分)∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝02y ＋z ＝0，令x ＝3，得m ＝(3，3，－6)，(8分) 又AC ⊥平面BDM ，∴n ＝(1,0,0)是平面BDM 的一个法向量，(9分)∴cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝343×1＝14，(11分)∴二面角A-DM-B的余弦值为14.(12分)19．解：设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C.则P(A)＝16，P(B)＝13，P(C)＝12(2分)(1)若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域，∴P＝P(A)＋P(B)＝16＋13＝12，即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是12.(4分)(2)由题意得，该顾客可转动转盘2次．随机变量X的可能值为0,30,60,90,120.(5分)P(X＝0)＝12×12＝14；P(X＝30)＝12×13×2＝13；P(X＝60)＝12×16×2＋13×13＝518；P(X＝90)＝13×16×2＝19；P(X＝120)＝16×16＝136，(9分)所以，随机变量X的分布列为：X 0306090120P141351819136(11分)其数学期望E(X)＝0×14＋30×13＋60×518＋90×19＋120×136＝40.(12分) 20．解：(1)由题意，得a＝2c，b＝3c，则椭圆E为x24c2＋y23c2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝c 2x 4＋y 2＝1，得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.(2分)∵直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0⇒c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2)由(1)得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∵直线x 4＋y 2＝1与y 轴交于P (0,2)，∴|PM |2＝54，当直线l 与x 轴垂直时，|PA |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1，(6分)∴λ|PM |2＝|PA |·|PB |⇒λ＝45，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋23x 2＋4y 2－12＝0⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，依题意得，x 1x 2＝43＋4k 2，且Δ＝48(4k 2－1)＞0，(8分) ∴|PA |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ，∴λ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋4k 2，(10分)∵k 2＞14，∴4k 2＞1，∴3＋4k 2＞4，∴0＜13＋4k 2＜14，∴1＜1＋13＋4k 2＜54，∴45＜45⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋4k 2＜1，即45＜λ＜1. 综上所述，λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，1.(12分)21．解：(1)f ′(x )＝2e x ＋(2x －4)e x ＋2a (x ＋2)＝(2x －2)e x ＋2a (x ＋2)，依题意，当x ＞0时，函数f ′(x )≥0恒成立，即a ≥－(x －1)e x x ＋2恒成立，记g (x )＝－(x －1)e xx ＋2，则g ′(x )＝－x e x (x ＋2)－(x －1)e x (x ＋2)2＝－(x 2＋x ＋1)e x(x ＋2)2＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x )＜g (0)＝12，所以a ≥12.(6分)(2)因为[f ′(x )]′＝2x e x ＋2a ＞0，所以y ＝f ′(x )是(0，＋∞)上的增函数，又f ′(0)＝4a －2＜0，f ′(1)＝6a ＞0，所以存在t ∈(0,1)使得f ′(t )＝0，(8分)又当x ∈(0，t )时，f ′(x )＜0，当x ∈(t ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以当x ＝t 时，f (x )min ＝f (t )＝(2t －4)e t ＋a (t ＋2)2.且有f ′(t )＝0⇒a ＝－(t －1)e tt ＋2，则f (x )min ＝f (t )＝(2t －4)e t －(t －1)(t ＋2)e t ＝e t (－t 2＋t －2)，t ∈(0,1)．(10分)记h (t )＝e t (－t 2＋t －2)，则h ′(t )＝e t (－t 2＋t －2)＋e t (－2t ＋1)＝e t (－t 2－t －1)＜0，所以h (1)＜h (t )＜h (0)，即f (x )的最小值的取值范围是(－2e ，－2)．(12分)22．解：(1)∵曲线C 2的极坐标方程为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝22t ，∴曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －t ＝0.(4分)(2)曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1(0≤x ≤2,0≤y ≤1)，为半圆弧，(5分)如图所示，曲线C 2为平行于直线x ＋y ＝0的直线，或为直线x ＋y ＝0，当直线C 2与曲线C 1相切时，由|1＋1－t |2＝1，解得t ＝2－2或t ＝2＋2(舍去)，(7分)当直线C 2过A ，B 两点时，t ＝1，(9分)由图可知，当曲线C 2与直线C 1有两个公共点时，实数t 的取值范围是(2－2，1]．(10分)23．解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤23x －5，x ＞2.(1分)当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1，解得x ≤0，此时x ≤0；当x ＞2时，由f (x )＝3x －5≤－1，解得x ≤43，显然不成立．故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}．(5分)(2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14.(8分)令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数，∴g (x )≤g (0)＝0.故x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.(10分)。

2019 年河南省郑州市高考数学一模试卷(理科)

2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1．（5分）若复数（a∈R）的实部和虚部相等，则实数a的值为（）A．1B．﹣1C．D．﹣2．（5分）已知集合M＝{x|﹣3≤x＜4}，N＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，则（）A．M∪N＝R B．M∪N＝{x|﹣3≤x＜4}C．M∩N＝{x|﹣2≤x≤4}D．M∩N＝{x|﹣2≤x＜4}3．（5分）已知矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，现向矩形ABCD内随机投掷质点M，则满足•≥0的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）下列函数既是奇函数，又在[﹣1，1]上单调递增的是（）A．f（x）＝|sin x|B．f（x）＝lnC．f（x）＝（e x﹣e﹣x）D．f（x）＝ln（﹣x）5．（5分）在△ABC中，三边长分别为a，a+2，a+4，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t+，则实数t 的值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2+（y+）2＝1上一点，则|MN|+|MF2|的最小值为（）A．8B．9C．10D．118．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，﹣）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移后得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（）A．[﹣]B．[]C．[0，]D．[] 9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．16+（32+16+16）πB．16+（16+16+16）πC．16+（32+32+32）πD．16+（16+32+32）π10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中的底面为等腰直角三角形，AB⊥AC，点M，N 分别是边AB1，A1C上动点，若直线MN∥平面BCC1B1，点Q为线段MN的中点，则Q 点的轨迹为（）A．双曲线的一支（一部分）B．圆弧（一部分）C．线段（去掉一个端点）D．抛物线的一部分11．（5分）抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则的最小值为（）A．B．1C．D．212．（5分）已知函数f（x）＝，设A＝{x∈Z|x（f（x）﹣a）≥0，若A中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a的个数为（）A．31B．32C．33D．34二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的13．（5分）已知（）n的展开式的各项系数和为64，则展开式中x3的系数为14．（5分）已知变量x，y满足，则z＝的取值范围是15．（5分）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春•长沙》与《清平乐•六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有种．（用数字作答）．16．（5分）如图放置的边长为1的正方形P ABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P （x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则对函数y＝f（x）有下列判断：①函数y＝f（x）是偶函数；②对任意的x∈R，都有f（x+2）＝f（x﹣2）③函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递减；④函数y＝f（x）的值域是[0，1]；⑤f（x）dx＝．其中判断正确的序号是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个考生都必须作答第223题为选考题，考生根据要求作答本小题满分60分17．（12分）已知数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1+b2+b3＝12．（I）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）令c n＝+a n，求数列{c n}的前n项和S n．18．（12分）已知四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，E、M分别是BC、PD上的中点，直线EM与平面P AD所成角的正弦值为，点F在PC上移动．（Ⅰ）证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面P AD．（Ⅱ）求点F恰为PC的中点时，二面角C﹣AF﹣E的余弦值．19．（12分）2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量．（Ⅰ）若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQ 的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值；（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在[170，180）内．组数分组天数第一组[50，80）3第二组[80，110）4第三组[110，140）4第四组[140，170）6第五组[170，200）5第六组[200，230）4第七组[230，260）3第八组[260，290）1①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI为标准，如果AQI小于180，则去进行社会实践活动．以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X，求X的分布列及数学期望．20．（12分）设M点为圆C：x2+y2＝4上的动点，点M在x轴上的投影为N．动点P满足2＝，动点P的轨迹为E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx+m与曲线E交于两点A，B（A，B不是左右顶点），且满足||＝||，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣8x+alnx（a∈R）．（I）当x＝1时，f（x）取得极值，求a的值并判断x＝1是极大值点还是极小值点；（Ⅱ）当函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1≠1时，总有＞t（4+3x1﹣x）成立，求t的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1：x2+（y﹣3）2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ＝（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M（﹣4，0），求△MPQ的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x﹣2a|+|2x﹣2|（a∈R）．（Ⅰ）当a＝时，解不等式f（x）＞6；（Ⅱ）若对任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立，求a的取值范围．2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1．（5分）若复数（a∈R）的实部和虚部相等，则实数a的值为（）A．1B．﹣1C．D．﹣【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出实数a的值．【解答】解：∵复数＝的实部和虚部相等，∴，解得a＝．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）已知集合M＝{x|﹣3≤x＜4}，N＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，则（）A．M∪N＝R B．M∪N＝{x|﹣3≤x＜4}C．M∩N＝{x|﹣2≤x≤4}D．M∩N＝{x|﹣2≤x＜4}【分析】先分别求出集合M，N，由此能求出M∪N和M∩N．【解答】解：∵集合M＝{x|﹣3≤x＜4}，N＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x|﹣2≤x≤4}，∴M∪N＝{x|﹣3≤x≤4}，M∩N＝{x|﹣2≤x＜4}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（5分）已知矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，现向矩形ABCD内随机投掷质点M，则满足•≥0的概率是（）A．B．C．D．【分析】建立以点B为坐标原点，BC，BA所在直线为x轴，y轴的直角坐标系得：B（0，0），C（4，0），A（0，2），D（4，2）设M（x，y），则＝（﹣x，﹣y），＝（4﹣x，﹣y），由•≥0得：（x﹣2）2+y2≥4，由其几何意义和几何概型可得解【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（0，0），C（4，0），A（0，2），D（4，2）设M（x，y），则＝（﹣x，﹣y），＝（4﹣x，﹣y），由•≥0得：（x﹣2）2+y2≥4，由几何概型可得：p＝＝1﹣＝，故选：B．【点评】本题考查了向量的数量积运算及几何概型，属中档题4．（5分）下列函数既是奇函数，又在[﹣1，1]上单调递增的是（）A．f（x）＝|sin x|B．f（x）＝lnC．f（x）＝（e x﹣e﹣x）D．f（x）＝ln（﹣x）【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及（﹣1，1）上的单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝|sin x|，为偶函数，不符合题意；对于B，f（x）＝ln，其定义域为（﹣e，e），有f（﹣x）＝ln＝﹣ln＝﹣f （x），为奇函数，设t＝＝﹣1+，在（﹣e，e）上为减函数，而y＝lnt为增函数，则f（x）＝ln在（﹣e，e）上为减函数，不符合题意；对于C，f（x）＝（e x﹣e﹣x），有f（﹣x）＝（e﹣x﹣e x）＝﹣（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，且f′（x）＝（e x+e﹣x）＞0，在R上为增函数，符合题意；对于D，f（x）＝ln（﹣x），其定义域为R，f（﹣x）＝ln（+x）＝﹣ln（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，设t＝﹣x＝，y＝lnt，t在R上为减函数，而y＝lnt为增函数，则f（x）＝ln（﹣x）在R上为减函数，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．5．（5分）在△ABC中，三边长分别为a，a+2，a+4，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为（）A．B．C．D．【分析】设最小角为α，故α对应的边长为a，然后利用余弦定理化简求解即可得a的值，再由三角形面积公式求解即可．【解答】解：设最小角为α，故α对应的边长为a，则cosα＝＝，解得a＝3．∵最小角α的余弦值为，∴＝．∴＝．故选：A．【点评】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式的应用，是基础题．6．（5分）如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t+，则实数t 的值为（）A．B．C．D．【分析】由题意，可根据向量运算法则得到＝+（1﹣m），从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值【解答】解：由题意及图，＝，又，＝，所以＝，∴＝+（1﹣m），又＝t+，所以，解得m＝，t＝，故选：C．【点评】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题难度较低，7．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2+（y+）2＝1上一点，则|MN|+|MF2|的最小值为（）A．8B．9C．10D．11【分析】求得双曲线的a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接EF1，交双曲线于M，圆于N，计算可得所求最小值．【解答】解：由题意可得2a＝6，即a＝3，渐近线方程为y＝±x，即有＝，即b＝1，可得双曲线方程为﹣y2＝1，焦点为F1（﹣，0），F2，（，0），由双曲线的定义可得|MF2|＝2a+|MF1|＝6+|MF1|，由圆E：x2+（y+）2＝1可得E（0，﹣），半径r＝1，|MN|+|MF2|＝6+|MN|+|MF1|，连接EF1，交双曲线于M，圆于N，可得|MN|+|MF1|取得最小值，且为|EF1|＝＝4，则则|MN|+|MF2|的最小值为6+4﹣1＝9．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．8．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，﹣）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移后得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（）A．[﹣]B．[]C．[0，]D．[]【分析】首先利用函数的图象确定函数的关系式，进一步求出函数的单调区间，再根据所求的区间的子集关系确定结果．【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，﹣）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，则：T＝π，所以：ω＝2将函数f（x）的图象向左平移后，得到g（x）＝sin（2x++θ）是偶函数，故：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于：，所以：当k＝0时．则，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），当k＝0时，单调递减区间为：[]，由于[]⊂[]，故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质周期性和单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．16+（32+16+16）πB．16+（16+16+16）πC．16+（32+32+32）πD．16+（16+32+32）π【分析】首先把三视图进行复原，进一步求出各个几何体的表面积，最后确定总面积．【解答】解：根据几何体的三视图得到：该几何体是由：上面是一个长方体，下面是由两个倒扣的圆锥构成，故：上面的正方体的表面积为：，设中间的圆锥展开面的圆心角为n，所以：，解得：n＝，所以圆锥的展开面的面积为S＝，所以：中间的圆锥的表面积为，同理得：下面的圆锥的表面积为，所以总面积为：S＝，故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用，主要考查几何体的体积公式的应用和运算能力的应用，属于中档题．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中的底面为等腰直角三角形，AB⊥AC，点M，N 分别是边AB1，A1C上动点，若直线MN∥平面BCC1B1，点Q为线段MN的中点，则Q 点的轨迹为（）A．双曲线的一支（一部分）B．圆弧（一部分）C．线段（去掉一个端点）D．抛物线的一部分【分析】画出图形，利用直线与平面平行以及垂直关系，然后推出Q点的轨迹为线段．【解答】解：如图当N与C重合，M与B1重合时，MN⊂平面BCC1B1，MN的中点为O；当N与A1重合，M与A重合时，MN∥平面BCC1B1，MN的中点为H；一般情况，如平面PQRK∥平面BCC1B1，可得点M，N，取MN的中点D，作DE⊥KR于E，NF⊥KR于F，易知，E为KR中点，且D在OH上，故选：C．【点评】本题考查直线与平面的位置关系的应用，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力．11．（5分）抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则的最小值为（）A．B．1C．D．2【分析】设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|CD|＝a+b，由余弦定理可得|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．【解答】解：设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|在梯形ABPQ中，∴2|CD|＝|AQ|+|BP|＝a+b．由余弦定理得，|AB|2＝a2+b2﹣2ab cos60°＝a2+b2﹣ab配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2＝（a+b）2得到|AB|≥（a+b）＝|CD|．∴≥1，即的最小值为1．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，利用抛物线的定义和余弦定理求的最值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）＝，设A＝{x∈Z|x（f（x）﹣a）≥0，若A中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a的个数为（）A．31B．32C．33D．34【分析】由x＝0∈A，画出函数图象，x（f（x）﹣a）≥0等价于当x＞0时，f（x）≥a；当x＜0时，a≥f（x），平移y＝a，符合条件的整数根，除零外有三个即可，由此能求出满足条件的整数a的个数．【解答】解：∵x＝0∈A，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可．画出f（x）的图象如下图：当x＞0时，f（x）≥a；当x＜0时，a≥f（x）．即y轴左侧的图象在y＝a下面，y轴右侧的图象在y＝a上面，∵f（3）＝﹣3×9+18＝﹣9，f（4）＝﹣3×16+24＝﹣24，f（﹣3）＝﹣（﹣3）3﹣3×（﹣3）2+4＝4，f（﹣4）＝﹣（﹣4）3﹣3×（﹣4）2+4＝20，平移y＝a，由图可知：当﹣24＜a≤﹣9时，A＝{1，2，3}，符合题意；a＝0时，A＝{﹣1，1，2}，符合题意；2≤a≤3时，A＝{1，﹣1，﹣2}，符合题意；4≤a＜20时，A＝{﹣1，﹣2，﹣3}，符合题意；∴整数a的值为﹣23，﹣22，﹣21，﹣20，﹣19，﹣18，﹣17，﹣16，﹣15，﹣14，﹣13，﹣12，﹣11，﹣10，﹣9，0，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，共34个．故选：D．【点评】本题考查不等式的整数解的个数的求示，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的13．（5分）已知（）n的展开式的各项系数和为64，则展开式中x3的系数为20【分析】先利用二项式系数的性质求得n＝6，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于，3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数．【解答】解：令x＝1，可得（）n的展开式的各项系数和为2n＝64，∴n＝6，故（）n＝（）6的展开式的通项公式为T r+1＝•x3r﹣6，令3r﹣6＝3，可得r＝3，故展开式中x3的系数为＝20，故答案为：20．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．（5分）已知变量x，y满足，则z＝的取值范围是[﹣13，﹣4]【分析】由约束条件作出可行域，再由z＝的几何意义求解得答案．【解答】解：由变量x，y满足作出可行域如图：A（2，3），解得B（，），z＝的几何意义为可行域内动点与定点D（3，﹣1）连线的斜率．∵k DA＝＝﹣4，k DB＝＝﹣13．∴z＝的取值范围是[﹣13，﹣4]．故答案为：[﹣13，﹣4]．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春•长沙》与《清平乐•六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有144种．（用数字作答）．【分析】由特殊位置优先处理，先排最后一个节目，共＝4（种），相邻问题由捆绑法求解即剩余五个节目按A与F不相邻排序，共＝72（种）排法，定序问题用倍缩法求解即可B排在D的前面，只需除以即可，【解答】解：《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山》，分别记为A，B，C，D，E，F，由已知有B排在D的前面，A与F不相邻且不排在最后．第一步：在B，C，D，E中选一个排在最后，共＝4（种）选法第二步：将剩余五个节目按A与F不相邻排序，共＝72（种）排法，第三步：在前两步中B排在D的前面与后面机会相等，则B排在D的前面，只需除以＝2即可，即六场的排法有4×72÷2＝144（种）故答案为：144．【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数原理，属中档题．16．（5分）如图放置的边长为1的正方形P ABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P （x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则对函数y＝f（x）有下列判断：①函数y＝f（x）是偶函数；②对任意的x∈R，都有f（x+2）＝f（x﹣2）③函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递减；④函数y＝f（x）的值域是[0，1]；⑤f（x）dx＝．其中判断正确的序号是①②⑤．【分析】根据正方形的运动，得到点P的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可．【解答】解：当﹣2≤x≤﹣1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，当﹣1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆，当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，当3≤x≤4时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，∴函数的周期是4．因此最终构成图象如下：①，根据图象的对称性可知函数y＝f（x）是偶函数，故①正确；②，由图象即分析可知函数的周期是4．即f（x+4）＝f（x），即f（x+2）＝f（x﹣2），故②正确；③，函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递增，故③错误；④，由图象可得f（x）的值域为[0，]，故④错误；⑤，根据积分的几何意义可知f（x）dx＝π•（）2+×1×1+π×12＝+，故⑤正确．故答案为：①②⑤．【点评】本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个考生都必须作答第223题为选考题，考生根据要求作答本小题满分60分17．（12分）已知数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1+b2+b3＝12．（I）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）令c n＝+a n，求数列{c n}的前n项和S n．【分析】（I）设等比数列的公比为q，运用对数的运算性质和等比数列的通项公式，解方程即可得到公比，可得所求通项公式；（Ⅱ）b n＝log2a n＝log24n＝2n，c n＝+a n＝+4n＝﹣+4n，运用分组求和和裂项相消求和，化简可得所求和．【解答】解：（I）数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，公比设为q，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1+b2+b3＝12，即有log2a1+log2a2+log2a3＝12，log2（a1a2a3）＝12，即a23＝212，即有a2＝16，q＝4，则a n＝4n；（Ⅱ）b n＝log2a n＝log24n＝2n，c n＝+a n＝+4n＝﹣+4n，前n项和S n＝（1﹣+﹣+…+﹣）+（4+16+…+4n）＝1﹣+＝+．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18．（12分）已知四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，E、M分别是BC、PD上的中点，直线EM与平面P AD所成角的正弦值为，点F在PC上移动．（Ⅰ）证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面P AD．（Ⅱ）求点F恰为PC的中点时，二面角C﹣AF﹣E的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出AE⊥P A，AE⊥AD，从而AE⊥平面P AD，由此能证明无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面P AD．（Ⅱ）以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣E的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，E、M分别是BC、PD上的中点，∴AE⊥P A，AE⊥AD，∵P A∩AD＝A，∴AE⊥平面P AD，∵点F在PC上移动，∴AE⊂平面AEF，∴无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面P AD．解：（Ⅱ）直线EM与平面P AD所成角的正弦值为，点F恰为PC的中点时，以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2，AP＝x，则E（，0，0），M（0，1，），＝（），平面P AD的法向量＝（1，0，0），∴|cos＜＞|＝＝＝，解得x＝AP＝2，C（，1，0），A（0，0，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），＝（），＝（），＝（），设平面ACF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣，0），设平面AEF的法向量＝（x，y，z），则，取y＝2，得＝（0，2，﹣1），设二面角C﹣AF﹣E的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角C﹣AF﹣E的余弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（12分）2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量．（Ⅰ）若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQ 的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值；（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在[170，180）内．组数分组天数第一组[50，80）3第二组[80，110）4第三组[110，140）4第四组[140，170）6第五组[170，200）5第六组[200，230）4第七组[230，260）3第八组[260，290）1①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI为标准，如果AQI 小于180，则去进行社会实践活动．以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X，求X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）设重度污染区AQI的平均值为x，利用加权平均数求出x的值；（Ⅱ）①由题意知11月份AQI小于180的天数，计算所求的概率即可；②由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．【解答】解：（Ⅰ）设重度污染区AQI的平均值为x，则74×2+114×5+2x＝118×9，解得x＝172；（Ⅱ）①11月份仅有一天AQI在[170，180）内，则AQI小于180的天数为18天，则该校周日去进行社会实践活动的概率为P＝＝；②由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X0123P数学期望为E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．【点评】本题考查了平均数与离散型随机变量的分布列和数学期望计算问题，是基础题．20．（12分）设M点为圆C：x2+y2＝4上的动点，点M在x轴上的投影为N．动点P满足2＝，动点P的轨迹为E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx+m与曲线E交于两点A，B（A，B不是左右顶点），且满足||＝||，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（Ⅰ）设P（x，y），M（x0，y0），由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法可得轨迹方程；（2）由向量条件结合矩形对角线相等可得DA，DB垂直，斜率之积为﹣1，再联立直线与椭圆方程，得根于系数关系，逐步求解得证．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），M（x0，y0），则N（x0，0），∴，，∵，∴x0＝x，，代入圆的方程得，，即，故动点P的轨迹为E的方程为：；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，D（﹣2，0），∵，∴DA⊥DB，设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，∴，，…①∴y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝，…②由DA⊥DB得：，即﹣y1y2＝x1x2+2（x1+x2）+4，…③由②③得：＝0，…④把①代入④并整理得：7m2﹣16km+4k2＝0，得：（7m﹣2k）（m﹣2k）＝0，即m＝或m＝2k，故直线l的方程为y＝k（x+），或y＝k（x+2），当直线l的方程为y＝k（x+）时，l过定点（﹣）；当直线l的方程为y＝k（x+2）时，l过定点（﹣2，0），这与A，B不是左顶点矛盾．故直线l的方程为y＝k（x+），过定点（﹣）．【点评】此题考查了轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，难度较大．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣8x+alnx（a∈R）．（I）当x＝1时，f（x）取得极值，求a的值并判断x＝1是极大值点还是极小值点；（Ⅱ）当函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1≠1时，总有＞t（4+3x1﹣x）成立，求t的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出a的值，得到函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（Ⅱ）求出函数极值点，问题转化为[2lnx1+]＞0，根据0＜x1＜1时，＞0.1＜x1＜2时，＜0．即h（x）＝2lnx+（0＜x＜2），通过讨论t的范围求出函数的单调性，从而确定t的范围即可．【解答】解：（I）f′（x）＝2x﹣8+，（x＞0），∵当x＝1时，f（x）取得极值，∴f′（1）＝2﹣8+a＝0，解得a＝6，此时，f（x）＝x2﹣8+6lnx，f′（x）＝2x﹣8+＝，令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜3，故f（x）在（0，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+∞）递增，故x＝1是极大值点；（II）当函数f（x）在（0，+∞）内有两个极值点x1，x2（x1＜x2）且x1≠1时，则u（x）＝2x2﹣8x+a＝0在（0，+∞）上有两个不等正根．∴，∴0＜a＜8．∴x1+x2＝4，x1x2＝，0＜x1＜x2，∴x2＝4﹣x1，a＝2x1x2＝2x1（4﹣x1），可得0＜x1＜2．∴＞t（4+3x1﹣x）成立，即＞t（4﹣x1）（x1+1），即＞t（x1+1），即﹣t（x1+1）＞0，即[2lnx1+]＞0，且0＜x1＜1时，＞0．1＜x1＜2时，＜0．即h（x）＝2lnx+（0＜x＜2）．h′（x）＝（0＜x＜2），①t＝0时，h′（x）＝＞0．∴h（x）在（0，2）上为增函数，且h（1）＝0，∴x∈（1，2）时，h（x）＞0，不合题意舍去．②t＞0时，h′（x）＞0．同①不合题意舍去．③t＜0时，（i）△≤0时，解得t≤﹣1，h′（x）≤0，在（0，2）内函数h（x）为减函数，且h（1）＝0，可得：0＜x＜1时，h（x）＞0．1＜x＜2时，h（x）＜0，∴[2lnx+]＞0成立．（ii）△＞0时，﹣1＜t＜0，h′（x）分子中的二次函数对称轴x＝﹣＞1，开口向下，且函数值＝2（t+1）＞0，即a＝min{﹣，2}，则x∈（1，a）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，h（1）＝0，h（x）＞0，故舍去．综上可得：t的取值范围是t≤﹣1．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1：x2+（y﹣3）2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ＝（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M（﹣4，0），求△MPQ的面积．【分析】（Ⅰ）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换和图象的旋转问题求出结果．（Ⅱ）利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．【解答】1解：（Ⅰ）知曲线C1：x2+（y﹣3）2＝9，整理得：x2+y2﹣6y+9＝9，转换为极坐标方程为：ρ＝6sinθ，A是曲线C1上的动点，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2．所以得到的直角坐标方程为：（x+3）2+y2＝9，转换为极坐标方程为：ρ＝﹣6cosθ．（Ⅱ）由于射线θ＝（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，则：|OQ|＝，|OP|＝，所以：，，所以：S△MPQ＝S△MOQ﹣S△MOP＝3．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x﹣2a|+|2x﹣2|（a∈R）．（Ⅰ）当a＝时，解不等式f（x）＞6；（Ⅱ）若对任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）代入a的值，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）问题转化为|3x0﹣2a|+3x0＞4恒成立，故x0≥a时，6x0＞2a+4恒成立，x0＜a时，2a＞4，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）a＝时，|3x﹣1|+|2x﹣2|＞6，故或或，解得：x＞或x＜﹣，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；（Ⅱ）若对任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立，则|3x0﹣2a|+3x0＞4恒成立，故x0≥a时，6x0＞2a+4恒成立，故6×a＞2a+4，解得：a＞2，x0＜a时，2a＞4，解得：a＞2，综上，a∈（2，+∞）．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。

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2019届河南省高考模拟试题精编(一)理科数学（word版）(考试用时：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

不按以上要求作答无效。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设全集Q＝{x|2x2－5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是()A．3B．4C．7D．82．若复数z＝m(m－1)＋(m－1)i是纯虚数，其中m是实数，则1z＝()A．i B．－i C．2i D．－2i3．已知等差数列{a n}的公差为5，前n项和为S n，且a1，a2，a5成等比数列，则S6＝()A．80 B．85 C．90 D．954．小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是( )A.34B.23C.12D.135．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图的是( )6．已知p ：a ＝±1，q ：函数f (x )＝ln(x ＋a 2＋x 2)为奇函数，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4x 2＋43展开式的常数项为( ) A ．120 B ．160 C ．200 D ．2408．我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为( )A ．3.119B ．3.126C ．3.132D ．3.1519．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6|对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z) 10．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线C 相交于M ，N 两点，若PF→＝3MF →，则|MN |＝( ) A.212B.323C ．10D ．1111．等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则当n ∈N *时，S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A ．－23B ．－712C.14D.5612．已知函数f (x )＝|2x －m |的图象与函数g (x ) 的图象关于y 轴对称，若函数f (x )与函数g (x )在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 B ．[2,4] C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[4，＋∞)D ．[4，＋∞) 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知|a |＝2，|b |＝1，(a －2b )·(2a ＋b )＝9，则|a ＋b |＝________.14．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋5≥02x ＋y －4≤0y ＋2≥0，则z ＝x ＋y 的最小值为________．15．已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过原点的直线l 与双曲线交于M ，N 两点，且MF →·NF →＝0，△MNF 的面积为ab ，则该双曲线的离心率为________．16．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”．其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等．如图所示，在空间直角坐标系xOy 平面内，若函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，0)cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的图象与x 轴围成一个封闭区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向上移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A 相等，则此圆柱的体积为________．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值．18．(本小题满分12分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AC 与BD 相交于点E ，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝4，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面PAC ； (2)求二面角A -PC -D 的余弦值．19．(本小题满分12分)某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为13.(1)若出现故障的机器台数为X ，求X 的分布列；(2)该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%?(3)已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值．20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝43，A ⎝⎛⎭⎪⎫3，－132是椭圆上一点． (1)求椭圆C 的标准方程和离心率e 的值；(2)若T 为椭圆C 上异于顶点的任一点，M ，N 分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线TM 与y 轴交于点P ，直线TN 与x 轴交于点Q ，求证：|PN |·|QM |为定值．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R)．(1)若函数f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a 和b 的值； (2)讨论方程f (x )＝0的解的个数，并说明理由．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1cos θy ＝tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P (3,0)，求|PA |·|PB |的值． 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －3|＋|x ＋m |(x ∈R)． (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥6的解集；(2)若不等式f (x )≤5的解集不是空集，求参数m 的取值范围．高考理科数学模拟试题精编(一)班级：___________姓名：__________得分：___________请在答题区域内答题18.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分)20.(本小题满分12分)详解答案高考理科数学模拟试题精编(一)1． D. 2． A. 3． C. 4．D. 5． D. 6． C. 7．B. 8．B. 9． C. 10 B. 11． C. 12． A. 13 答案： 3 14. 答案：－13 15．答案： 2 16．答案：π＋417．解：(1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，∵△ABC 的面积等于3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，(4分)联立⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(6分)(2)∵sin C ＋sin (B －A)＝2sin 2A ，∴sin (B ＋A)＋sin (B －A)＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ，(8分) ①当cos A ＝0时，A ＝π2；(9分)②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理b ＝2a ，联立⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4b ＝2a，解得a ＝233，b ＝433， ∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.(12分)18．解：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA. 又tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，tan ∠BAC ＝BCAB ＝ 3.(2分)∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°，(4分) ∴∠AEB ＝90°，即BD ⊥AC.又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC.(6分) (2)建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，则A(0,0,0)，B(23，0,0)，C(23，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,4)，CD→＝(－23，－4,0)，PD →＝(0,2，－4)，BD →＝(－23，2,0)，设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y,1)，则CD →·n ＝0，PD →·n ＝0，∴⎩⎨⎧－23x －4y ＝02y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－433y ＝2，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－433，2，1.(8分)由(1)知平面PAC 的一个法向量为m ＝BD →＝(－23，2,0)，(10分) ∴cos 〈m ，n 〉＝m·n|m |·|n |＝8＋4933×4＝39331，由题意可知二面角A -PC -D 为锐二面角， ∴二面角A -PC -D 的余弦值为39331.(12分)19．解：(1)一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为A ，则事件A 的概率为13，该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，因出现故障的机器台数为X ，故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，P (X ＝0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681，P (X ＝1)＝C 14·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，P (X ＝2)＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2481，P (X ＝3)＝C 34·⎝ ⎛⎭⎪⎫133·23＝881，P (X ＝4)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181.即X 的分布列为：(4分)(5分)(2)设该厂有n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修”为x ≤n ，即x ＝0，x ＝1，…，x ＝n ，这n ＋1个互斥事件的和事件，则(6分)∵7281≤90%≤8081， ∴至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修的概率不少于90%.(8分)(3)设该厂获利为Y 万元，则Y 的所有可能取值为：18,13,8 P (Y ＝18)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝7281， P (Y ＝13)＝P (X ＝3)＝881，P (Y ＝8)＝P (X ＝4)＝181，(10分) 即Y 的分布列为：(11分) 则E (Y )＝18×7281＋13×881＋8×181＝1 40881，故该厂获利的均值为1 40881.(12分) 20．解：(1)解法一：∵|F 1F 2|＝43，∴c ＝23，F 1(－23，0)，F 2(23，0)．(1分)由椭圆的定义可得2a ＝(3＋23)2＋⎝⎛⎭⎪⎫－1322＋(3－23)2＋⎝⎛⎭⎪⎫－1322＝1214＋254＝112＋52＝8，解得a ＝4，∴e ＝234＝32，b 2＝16－12＝4，(3分) ∴椭圆C 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(5分)解法二：∵|F 1F 2|＝43，∴c ＝23，椭圆C 的左焦点为F 1(－23，0)，故a 2－b 2＝12，(2分)又点A (3，－132)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则3b 2＋12＋134b 2＝1，化简得4b 4＋23b 2－156＝0，得b 2＝4，故a 2＝16，∴e ＝234＝32，椭圆C 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(5分) (2)由(1)知M (4,0)，N (0,2)，设椭圆上任一点T (x 0，y 0)(x 0≠±4且x 0≠0)，则x 2016＋y 204＝1. 直线TM ：y ＝y 0x 0－4(x －4)，令x ＝0，得y P ＝－4y 0x 0－4，(7分)∴|PN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4y 0x 0－4.(8分) 直线TN ：y ＝y 0－2x 0x ＋2，令y ＝0，得x Q ＝－2x 0y 0－2，∴|QM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋2x 0y 0－2.(10分) |PN |·|QM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4y 0x 0－4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋2x 0y 0－2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋4y 0－8x 0－4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋4y 0－8y 0－2 ＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－8x 0－16y 0＋16x 0y 0－2x 0－4y 0＋8，由x 2016＋y 204＝1可得x 20＋4y 20＝16，代入上式得|PN |·|QM |＝16，故|PN |·|QM |为定值．(12分)21．解：(1)因为f ′(x )＝x －ax (x ＞0)，又f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，所以f (2)＝2－a ln 2＝2＋b ，f ′(2)＝2－a2＝1，解得a ＝2，b ＝－2ln 2.(2分)(2)当a ＝0时，f (x )在定义域(0，＋∞)内恒大于0，此时方程无解．(4分) 当a ＜0时，f ′(x )＝x －ax ＞0在区间(0，＋∞)内恒成立，所以f (x )在定义域内为增函数．因为f (1)＝12＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 1a ＝12e 2a －1＜0，所以方程有唯一解．(6分)当a ＞0时，f ′(x )＝x 2－ax .当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(0，a )内为减函数，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(a ，＋∞)内为增函数，所以当x ＝a 时，取得最小值f (a )＝12a (1－ln a )．(8分)当a ∈(0，e)时，f (a )＝12a (1－ln a )＞0，方程无解；(9分)当a ＝e 时，f (a )＝12a (1－ln a )＝0，方程有唯一解；(10分)当a ∈(e ，＋∞)时，f (a )＝12a (1－ln a )＜0，因为f (1)＝12＞0，且a ＞1，所以方程f (x )＝0在区间(0，a )内有唯一解，当x ＞1时，设g (x )＝x －ln x ，g ′(x )＝1－1x ＞0，所以g (x )在区间(1，＋∞)内为增函数，又g (1)＝1，所以x －ln x ＞0，即ln x ＜x ，故f (x )＝12x 2－a ln x ＞12x 2－ax .因为2a ＞a ＞1，所以f (2a )＞12(2a )2－2a 2＝0.所以方程f (x )＝0在区间(a ，＋∞)内有唯一解，所以方程f (x )＝0在区间(0，＋∞)内有两解，综上所述，当a ∈[0，e)时，方程无解，当a ＜0或a ＝e 时，方程有唯一解，当a ＞e 时，方程有两解．(12分)22．解：(1)由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θy ＝tan θ(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1.(2分)当α＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12ty ＝32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，(3分)得t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝t 1＋t 22＝3，故线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，332.(5分) (2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得(cos 2α－sin 2α)t 2＋6cos αt ＋8＝0，(7分)则|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪8cos 2α－sin 2α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8(1＋tan 2α)1－tan 2α，(9分) 由已知得tan α＝2，故|PA |·|PB |＝403.(10分)23．解：(1)当m ＝1时，f (x )≥6等价于⎩⎨⎧x ≤－1－(x ＋1)－(x －3)≥6，或⎩⎨⎧－1＜x ＜3(x ＋1)－(x －3)≥6，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3(x ＋1)＋(x －3)≥6，(3分)解得x ≤－2或x ≥4，所以不等式f (x )≥6的解集为{x |x ≤－2或x ≥4}．(5分) (2)解法一：化简f (x )得，当－m ≤3时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3－m ，x ≤－mm ＋3，－m ＜x ＜32x ＋m －3，x ≥3，(6分)当－m ＞3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3－m ，x ≤3－3－m ，3＜x ＜－m ，2x ＋m －3，x ≥－m(7分)根据题意得：⎩⎨⎧－m ≤3m ＋3≤5，即－3≤m ≤2，(8分)或⎩⎨⎧－m ＞3－m －3≤5，即－8≤m ＜－3，(9分)。

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