高等数学——导数练习题

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高考数学专题：导数大题专练(含答案)

高考数学专题：导数大题专练(含答案)一、解答题1．已知函数()ln f x ax x =+ (1)讨论()f x 的单调区间；(2)设()2xg x =，若对任意的[]11,100x ∈，存在[]20,1x ∈，使()()12f x g x <成立，求实数a 的取值范围.2．已知函数1()2ln f x x x x=+-． (1)求函数的单调区间和极值；(2)若12x x ≠且()()12f x f x =，求证：121x x <． 3．已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论．4．已知函数()ln 1f x x ax =++，R a ∈，函数()()21e ln 2xg x x x x x x =-++-，)2e ,x -∈+∞⎡⎣．(1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)若0x 是函数()g x 的最小值点，且函数()()h x xf x =在0x x =处的切线斜率为2，试求a 的值．5．已知函数()2()2e =+-xf x x a ．(1)讨论函数的单调性；(2)若(0,),()x f x a ∈+∞≥-恒成立，求整数a 的最大值． 6．已知函数()e (1)()x f x a x a -=++∈R ． (1)当1a =时，求函数()y f x =的极值；(2)若函数()()ln e g x f x x =-+-在[1,)+∞有唯一的零点，求实数a 的取值范围．7．已知函数()()e ln 1xf x a x =+-+，()'f x 是其导函数，其中a R ∈．(1)若()f x 在(,0)-∞上单调递减，求a 的取值范围；(2)若不等式()()f x f x '≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，求a 的取值范围．8．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若fx 是()f x 的导函数，()f x ''是fx 的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x ''='+⎡⎤⎣⎦.(1)若曲线()ln f x x x =+与()g x x ()1,1处的曲率分别为1K ，2K ，比较1K ，2K 大小；(2)求正弦曲线()sin h x x =（x ∈R ）曲率的平方2K 的最大值. 9．已知函数()321623f x x ax x =+-+在2x =处取得极值． (1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值．10．设函数()223ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >．(1)求()f x 的单调区间；(2)若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围．【参考答案】一、解答题1．(1)答案见解析 (2)31a e ≤-【解析】【分析】（1）由()()110ax f x a x xx+=+=>'，按0a ≥，0a <进行分类讨论求解；（2）由已知，转化为()()max max f x g x <，由已知得()()max 12g x g ==，由此能求出实数a 的取值范围． (1)()(]110ax f x a x x x+'=+=>，①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+； ②当0a <时，由()0f x '=，得1x a=-，在区间10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '>，在区间1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)由题目知，只需要()()max max f x g x <即可又因为()()max 12g x g ==，所以只需要()max 2f x <即可()max 2f x <即等价于()2f x <恒成立，由变量分离可知2ln xa x-<，[]1,100x ∈，令()2ln xh x x -=，下面求()h x 的最小值，令()23ln xh x x-+'=，所以()0h x '=得3x e =，所以()h x 在31,e ⎡⎤⎣⎦为减函数，3,100e ⎡⎤⎣⎦为增函数，所以()()33min 1h x h e e -==，所以31a e ≤-. 2．(1)减区间()0,1，增区间()1,+∞，极小值3， (2)证明见解析【解析】【分析】（1）依据导函数与原函数的关系去求函数的单调区间和极值即可；（2）构造新函数利用函数单调性去证明121x x <即可. (1)1()2ln (0)f x x x x x =+->，则()()2221111()2(0)x x f x x x x x +-'=--=>由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<，即()f x 减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，在1x =时()f x 取得极小值(1)2103f =+-=，无极大值. (2)不妨设12x x <且()()12f x f x a ==，则101x <<，21>x ，3a >，2101x <<令1()()2ln (0)h x f x a x x a x x=-=+-->，则()()120h x h x ==()()2221111()2x x h x x x x +-'=--=，则当1x >时()0h x '>，()h x 单调递增；当01x <<时()0h x '<，()h x 单调递减由()222212ln 0x x h x a x +=--=，得22212ln a x x x =+- 则2222222222211ln 2ln 2ln 1x x x x x h x x x x x ⎛⎫++-+-=-+ ⎪⎛⎫=⎪⎝⎝⎭⎭ 令21t x =，则222112ln 2ln (01)x x t t t x t -+=--<< 令()12ln (01)t m t t t t --<=<，则()()22211210t t tt m t -'=+-=> 即()12ln (01)t m t t t t--<=<为增函数，又()11100m =--=，则()12ln 0m t t tt --<=在(0,1)上恒成立.则222212ln 10x x x h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-<恒成立，则()211h h x x ⎛⎫⎪< ⎝⎭，又01x <<时()h x 单调递减，101x <<，2101x <<则211x x >，故121x x <3．(1)详见解析； (2)详见解析；【解析】【分析】（1）由2a =-，得到2()2ln f x x x =-，然后求导2()2f x x x'=-求解；（2）令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，求导()()21()--'=x a x g x x，分0a ≤，012a <<，12a =，122a<<讨论求解. (1)解：当2a =-时，2()2ln f x x x =-，所以2()2f x x x'=-，令()0f x '=，得1x =，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以1x =是函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，则()()2212(2)()2(2)---++'=+-+==x a x a x a x a g x x a x x x，当0a ≤时，01x <<时，()0g x '<，12x <≤时，()0g x '>，所以当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x ∞→+，当()110g a =+>，即10a -<≤，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；当()110g a =+=，即1a =-时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点；当()()11022ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+≥⎪⎩，即21ln 2-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点；当()()11022ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+<⎪⎩，即2ln 2a <-，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点；当012a <<，即02a <<时，02ax <<或1x >时，()0g x '>，12a x <<时，()0g x '<，所以当2ax =时，()g x 取得极大值，当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x →-∞，因为()110g a =+>恒成立，所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点；当12a =，即2a =时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 在(0,2]上递增，所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点；当122a <<，即24a <<时，01x <<或22a x <<时，()0g x '>，12ax <<时，()0g x '<，所以当1x =时，()g x 取得极大值，当2ax =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x →-∞，因为()110g a =+>，()22ln 20=+<g a ，2ln 20242⎛⎫=-+++> ⎪⎝⎭a a a g a a 恒成立，所以()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点.综上：当10a -<≤时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；当1a =-或 2ln 2a <-或04a <<时，()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点；当21ln 2-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点.4．(1)答案见解析； (2)12a =. 【解析】【分析】（1）由题可得()11ax f x a xx+'=+=，讨论0a ≥，0a <即得；（2）由题可得()g x '是一个单调递增的函数，利用零点存在定理可得()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，进而可得()0000111ln e e 1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用导数可得001e x x =，结合条件可得00ln 20x ax +=，即求. (1)()11ax f x a x x+'=+=，0x >，当0a ≥时，函数()f x 在定义域()0,∞+上单调递增；当0a <时，函数的单调性如表格所示：由题可得()()()22121e 1ln 2e ln 1x xg x x x x x x x x '=-++-++-=++-，0x >，则()g x '是一个单调递增的函数，当2e x -=时，()()2242ee e e e 30g ----'=+-<，当1x =时，()12e 10g '=->，故()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，且所以0x t =，020000e ln 10x g x x x x '=++-=，整理该式有()02000e 1ln x xx x +=-，()000001111e ln xx x x x +=+， ∴()000111ln ee1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭令()()21ln ,e m x x x x -=+>，则()2ln 0m x x '=+>，所以函数在()2e ,-+∞上单调递增，故()000111ln ee1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解满足001e xx =；又()2ln h x x x ax x =++，()1ln 21h x x ax '=+++，()0002ln 22h x x ax '=++=，所以00ln 20x ax +=，由01e xx =知，0020x ax -+=，故12a =． 5．(1)答案见解析 (2)4 【解析】【分析】（1）求得()'f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）由(0,),()x f xa ∈+∞≥-恒成立分离常数a ，通过构造函数，结合导数求得a 的取值范围，从而求得整数a 的最大值. (1)()'2(22)e x f x x x a =++-①当1a≤时，()0f x '≥恒成立，故()f x 在R 上恒增； ②当1a >时，当(,1x ∈-∞-时()0f x '>，()f x 单调递增，(11x ∈--时()0f x '<，()f x 单调递减， (1)x ∈-+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，综上所述：当1a ≤时，()f x 在R 上恒增；当1a >时，()f x 在(,1-∞-和(1)-++∞上单调递增，在(11--上单调递减.(2)2e (2)(e 1)xxx a +≥-，由于,()0x ∈+∞，2e (2)e 1x x x a +≤-，2e (2)()e 1x x x g x +=-，22e (2e 22)()(e 1)x x x x x x g x ---'=-，令2()2e 22x h x x x x =---，()(e 1)(22)x h x x '=-+，由于,()0x ∈+∞，则()(e 1)(22)0x h x x '=-+>，故2()2e 22x h x x x x =---单调递增，3334443393338()e 2e 4(e )042162223h =---<-=-<，(1)2e 50h =->，所以存在03(,1)4x ∈使得0()0h x =，即020002e 22xx x x =++，当00(0,)x x ∈时()0h x <，()g x 单调递减，当00(,)x x ∈+∞时()0h x >，()g x 单调递增；那么()()00202000e 222e 1x x x a g x xx +≤==++-，03(,1)4x ∈，故034()()(1)54g g x g <<<=，由于a 为整数，则a 的最大值为4. 【点睛】求解含参数不等式恒成立问题，可考虑分离常数法，然后通过构造函数，结合导数来求得参数的取值范围. 6．(1)()f x 的极小值为2，无极大值； (2)(,e 1]-∞+ 【解析】【分析】（1）当1a =时，求导分析()f x 的单调性，即可得出答案．（2）由题意可得()()ln e e ln e(1)x g x f x x ax a x x =-+-=-++-，求导得()g x '，从而可推出()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，分两种情况讨论：①当e 10a +-，②当e 10a +-<，分析()g x 的单调性，即可得出答案．(1)当1a =时，()(1)xf x e x -=++，1()1x xxe f x e e --+'=-+=，令1e 0x -+>，得0x >，令1e 0x -+<，得0x <，则()f x 单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞， ∴()f x 存在极小值为()02f =，无极大值； (2)()()ln e e (1)ln e e ln e(1)x x g x f x x a x x ax a x x =-+-=+-++-=-++-，则1()xg x e a x'=-+，令1()xh x e a x =-+，则221()x x e h x x -'=，由1x >得，21x >，210x x e ->，则()0h x '>，故()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，①当e 10a +-，即e 1a +时，即(1,)x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0g =， ∴当1x >时，函数()g x 没有零点， ②当e 10a +-<，即e 1a >+时，由e e (1)x y x x =->，得e e 0x y '=->， ∴e e x x >，∴11()e e xg x a x a x x '=+->+-，e ee 0e e a a g a a a⎛⎫'>⋅+-=> ⎪⎝⎭，又∵e 1e ea >=，∴存在01,e a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，又∵(1)0g =，∴当0(]1,x x ∈时，()0g x <，在()01,x 内，函数()g x 没有零点，又∵()0,x x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 单调递增，又∵22e )e 1(ln e a a g a a a a a +-+>-=-+，令2()e 1(1)>x k x x x =-+，()()e 2x s x k x x '==-，()e 2e 20x s x '=->->，∴()k x '在(1,)+∞上单调递增，又∵(1)0k '>，∴1x >时，()0k x '>，()k x 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0k a k >>， ∴()0g a >，又∵0eaa x >>， ∴由零点的存在定理可知存在()()101,,0x x a g x ∈=， ∴在()0,x a 内，函数()g x 有且只有1个零点，综上所述，实数a 的取值范围是(,e 1]-∞+.7．(1)1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)(],1-∞- 【解析】【分析】（1）求出导函数()e x a f x x'=+，根据()f x 在(,0)-∞上单调递减，可得()e 0x af x x'=+≤在(,0)-∞上恒成立，分类参数可得e x a x ≥-⋅在(,0)-∞上恒成立，令()()e ,0x g x x x =-⋅<，利用导数求出函数()g x 的最大值即可得解；（2）将已知不等式转化为()ln 10a a x x--+≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，令()()()ln 1,0ah x a x x x=--+<，在对a 分类讨论，求出()h x 的最大值小于等于0，即可求出答案. (1)解：()e xa f x x'=+，因为()f x 在(,0)-∞上单调递减，所以()e 0xa f x x'=+≤在(,0)-∞上恒成立，即e x a x ≥-⋅在(,0)-∞上恒成立，令()()e ,0xg x x x =-⋅<，则()()e e 1e x x xg x x x '=--=-+，当1x <-时，()0g x '>，当10x -<<时，()0g x '<，所以函数()g x 在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减，所以()()max 11eg x g =-=，所以a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(2)解：由()()f x f x '≤得()ln 1aa x x-+≤，即()ln 10a a x x--+≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，令()()()ln 1,0ah x a x x x=--+<，()()()221,0a x a a h x x x x x +'=+=<，当0a =时，()1h x =，不满足()0h x ≤；当0a >时，1x <-时，()0h x '<，10x -<<时，()0h x '>，所以函数()h x 在(),1-∞-上递减，在()1,0-上递增，所以()()min 110h x h a =-=+>，不符合题意；当0a <时，1x <-时，()0h x '>，10x -<<时，()0h x '<，所以函数()h x 在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减，所以()()max 110h x h a =-=+≤，解得1a ≤-，综上所述，a 的取值范围(],1-∞-. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，考查了学生的计算能力. 8．(1)12K K <； (2)1. 【解析】【分析】（1）对()f x 、()g x 求导，应用曲率公式求出()1,1处的曲率1K ，2K ，即可比较大小；（2）由题设求出()h x 的曲率平方，利用导数求2K 的最大值即可. (1)由()11f x x '=+，()21f x x ''=，则()()()()13332222211112511f K f ''===+'+⎡⎤⎣⎦，由()g x '=，()3214g x x -''=-，则()()()2333222221124511112g K g ''===⎡⎤'+⎡⎤⎛⎫⎣⎦+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以12K K <； (2)由()cos h x x '=，()sin h x x ''=-，则()322sin 1cos xK x =+，()()2223322sin sin 1cos 2sin xxK x x ==+-，令22sin t x =-，则[]1,2t ∈，故232tK t -=，设()32t p t t -=，则()()32643226t t t t p t t t----'==，在[]1,2t ∈时()0p t '<，()p t 递减，所以()()max 11p t p ==，2K 最大值为1.9．(1)增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2- (2)()max 312f x =，()min 163f x =- 【解析】【分析】（1）根据题意得()20f '=，进而得12a =，再根据导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）知[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2-，进而求解()4f -，()3f -，()2f ，()3f 的值即可得答案. (1)解：（1）()226f x x ax '=+-，因为()f x 在2x =处取得极值，所以()24460f a '=+-=，解得12a =．检验得12a =时，()f x 在2x =处取得极小值，满足条件.所以()26f x x x '=+-，令()0f x '>，解得3x <-或2x >，令()0f x '<，解得32x -<<，所以()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； (2)解：令()260f x x x '=+-=，解得3x =-或2x =，由（1）知()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-；当[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2- 又()()()()321138444642323f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()()()()321131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=，()321116222622323f =⨯+⨯-⨯+=-，()32115333632322f =⨯+⨯-⨯+=-，所以()max 312f x =，()min 163f x =-． 10．(1)在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 (2)1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求导，根据定义域和a 的范围，讨论导数符号可得单调区间；（2）由（1）中单调性可得函数最小值，由最小值大于0可解. (1)函数()f x 的定义域为()0+∞，， ()()()222231323'2ax ax a x ax f x a x a x x x+-+-=+-==由于0a >且()0x ∈+∞，，所以230ax +>，令()'0f x =，解得1x a=，当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，()'0f x >，函数()f x 单调递增， ()f x ∴在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增． (2)要使()y f x =的图像与x 轴没有公共点，所以只需min ()0f x >即可，由（1）知min 111()113ln 133ln 33ln 0f x f a a a a ⎛⎫==+-+=-=+> ⎪⎝⎭，解得1e >a ，即a 的取值范围为1(,)e+∞。

高中数学导数练习题

高中数学导数练习题一、基础题1. 求函数 $f(x) = x^3 3x$ 的导数。

2. 求函数 $f(x) = \sqrt{1+x^2}$ 的导数。

3. 求函数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ 的导数。

4. 求函数 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 的导数。

5. 求函数 $f(x) = e^{2x}$ 的导数。

二、应用题1. 已知函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，求 $f'(x)$ 并说明其几何意义。

2. 某物体做直线运动，其位移 $s$ 与时间 $t$ 的关系为 $s =t^2 2t + 1$，求物体在 $t=2$ 时的瞬时速度。

3. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$，求曲线在$x=4$ 处的切线方程。

4. 求函数 $f(x) = \sin(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上的最大值和最小值。

5. 已知函数 $f(x) = \ln(x 1)$，求 $f(x)$ 的单调区间。

三、综合题1. 设函数 $f(x) = (x^2 1)^3$，求 $f'(x)$。

2. 已知函数 $f(x) = \frac{2x + 3}{x 1}$，求 $f'(x)$。

3. 求函数 $f(x) = \sqrt{1 + \sqrt{1 + x^2}}$ 的导数。

4. 已知函数 $f(x) = e^{x^2}$，求曲线在 $x=0$ 处的切线方程。

5. 设函数 $f(x) = \ln(\sin^2 x)$，求 $f'(x)$。

四、拓展题1. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，求 $f''(x)$。

2. 设函数 $f(x) = (x^3 + 1)^4$，求 $f'''(x)$。

3. 已知函数 $f(x) = \arctan(x)$，求 $f'(x)$。

求导练习题带答案

求导练习题带答案求导是微积分中的一项基本技能，它可以帮助我们理解函数的变化率以及找到函数的极值点。

以下是一些求导的练习题及其答案，适合初学者练习。

练习题1：求函数 f(x) = x^3 的导数。

解：根据幂函数的求导法则，对于函数 f(x) = x^n，其导数为 f'(x) = n * x^(n-1)。

因此，对于 f(x) = x^3，我们有 f'(x) = 3 *x^(3-1) = 3x^2。

练习题2：求函数 g(x) = sin(x) 的导数。

解：根据三角函数的求导法则，sin(x) 的导数是 cos(x)。

所以，g'(x) = cos(x)。

练习题3：求函数 h(x) = 2x^2 + 3x - 1 的导数。

解：根据多项式的求导法则，我们可以分别对每一项求导，然后将结果相加。

对于 h(x) = 2x^2 + 3x - 1，我们有 h'(x) = 2 * 2x^(2-1) + 3 * 1x^(1-1) - 0 = 4x + 3。

练习题4：求函数 k(x) = (x^2 - 1)^3 的导数。

解：这里我们使用链式法则和幂函数的求导法则。

首先，设 u = x^2- 1，那么 k(x) = u^3。

u 的导数是 u' = 2x，而 u^3 的导数是3u^2。

应用链式法则，我们得到 k'(x) = 3u^2 * u' = 3(x^2 - 1)^2 * 2x = 6x(x^2 - 1)。

练习题5：求函数 m(x) = e^x 的导数。

解：根据指数函数的求导法则，e^x 的导数是它自身。

所以，m'(x) = e^x。

练习题6：求函数 n(x) = ln(x) 的导数。

解：自然对数函数 ln(x) 的导数是 1/x。

因此，n'(x) = 1/x。

练习题7：求函数 p(x) = (3x - 2)^5 的导数。

解：使用链式法则和幂函数的求导法则。

高等数学第二章导数与微分习题

h0
h
lim f ( x) f ( x x) f ( x) .
x0
x
lim f ( x x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) f ( x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) lim f ( x) f ( x x)
习题课
f (a) lim f ( x) f (a) lim ( x a)F ( x) 0
xa x a
xa
xa
1
lim ( x a)F ( x) 0
x a 0
xa
g
(a
)
x
lim
a 0
g(
x) x
g(a a
)
2
例2.
研究函数
f
(
x
)
1 x 1 x
解 . lim f ( x) lim
x0
x
x0
x
14
例16 .
f
(
x)
ln x
(1
x)
x0 x0
求 f ( x) .
)[
f (0 0) f (0) ln(1 x) x0 0 ,
0
f (0 0) lim x 0 , f ( x) 在 x 0 处连续 .
x 0
f (0)
ln(1
x)
x
0
1
1
x
1
x0
f (0)
lim
(n)
(1)n n! ( x 1)n1
,
23
例24 . 试从 d x 1 导出: d y y
1.
d d
2x y2

(完整版)高等数学——导数练习题

一．选择题1.若k x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim000，则xx f x x f x ∆-∆⋅+→∆)()2(lim000等于( ) A.k 2 B.k C.k 21D.以上都不是2.若f （x ）=sinα－cosx ，则f ′(a )等于 ( )A ．sinαB ．cosαC ．sinα+cosαD ．2sinα3.f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′(−1)=4,则a 的值等于( )A ．319 B ．316 C ．313D ．3104.函数y =x sin x 的导数为( )A ．y ′=2x sin x +x cos xB ．y ′=x x 2sin +x cos xC ．y ′=xx sin +x cos x D ．y ′=xx sin －x cos x5.函数y =x 2cos x 的导数为( )A ．y ′=2x cos x －x 2sin xB ．y ′=2x cos x +x 2sin xC ．y ′=x 2cos x －2x sin xD ．y ′=x cos x －x 2sin x6.函数y =22xax +（a >0）的导数为0，那么x 等于（）A ．aB ．±aC ．－aD ．a 27. 函数y =xxsin 的导数为（）A ．y ′=2sin cos xxx x + B ．y ′=2sin cos xxx x - C ．y ′=2cos sin x xx x -D ．y ′=2cos sin x xx x +8.函数y =2)13(1-x 的导数是（）A ．3)13(6-x B ．2)13(6-x C ．－3)13(6-x D ．－2)13(6-x9.已知y =21sin2x +sin x ，那么y ′是（） A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值，又有最小值的偶函数 C ．仅有最大值的偶函数 D ．非奇非偶函数10.函数y =sin 3（3x +4π）的导数为（）A ．3sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）B ．9sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）C ．9sin 2（3x +4π）D ．－9sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）11.函数y =cos （sin x ）的导数为（）A ．－［sin （sin x ）］cos xB ．－sin （sin x ）C ．［sin （sin x ）］cos xD ．sin （cos x ）12.函数y =cos2x +sin x 的导数为（）A ．－2sin2x +xx2cos B ．2sin2x +xx 2cosC ．－2sin2x +xx 2sin D ．2sin2x －xx 2cos13.过曲线y =11+x 上点P （1，21）且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为（）A ．2y －8x +7=0B ．2y +8x +7=0C ．2y +8x －9=0D ．2y －8x +9=014.函数y =ln （3－2x －x 2）的导数为（）A ．32+x B ．2231x x -- C ．32222-++x x xD ．32222-+-x x x15.函数y =lncos2x 的导数为（）A ．－tan2xB ．－2tan2xC ．2tan xD ．2tan2x16.已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是( )A. 21>-<b b ，或B.21≥-≤b b ，或C. 21<<-bD. 21≤≤-b 17.函数的单调递增区间是 ( )x e x x f )3()(-=A. B.(0,3) C.(1,4) D. 18.函数y =xxa 22-（a >0且a ≠1），那么y ′为（）A ．xxa 22-ln aB ．2（ln a ）xx a 22- C ．2（x －1）xx a 22-·ln aD ．（x －1）xx a22-ln a19.函数y =sin32x 的导数为（）A ．2（cos32x ）·32x ·ln3B ．（ln3）·32x ·cos32xC ．cos32xD ．32x ·cos32x20.已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A ．1B ．2C ．3D ．421.曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为（）A ．43-=x yB ．23+-=x yC ．34+-=x yD ．54-=x y22.函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于（）A ．1B ．2C ．3D ．423.已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为（） A ．)1(3)1()(2-+-=x x x fB ．)1(2)(-=x x fC ．2)1(2)(-=x x fD ．1)(-=x x f24.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（）A.2B.3C.4D.525.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( )A.(2,)+∞B.(,2)-∞C.(,0)-∞D.(0,2) 26.函数323922yx x x x 有（）A.极大值5，极小值－27B.极大值5，极小值－11C.极大值5，无极小值D.极小值－27，无极大 27.三次函数()x ax x f +=3在()+∞∞-∈,x 内是增函数，则（）A.0>aB.0<a)2,(-∞),2(+∞C.1=aD.31=a 28.在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．029.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 30.下列求导运算正确的是（） A 、3211)1(xx x -='+B 、(log 2x )′=1xln2C 、(x 2cosx )′=−2xsinxD 、 (3x )′=3x log 3e 31.已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．－1 D ．1 32.函数3yx x 的递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞ 33. 函数y =x ln 的导数为（）A ．2x x lnB ．x x ln 2C ．xx ln 1 D ．xx ln 2134.设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（）A ．2pB ．pC ．p 2D ．无法确定 35.函数x x y 33-=的极大值为m ，极小值为n ，则n m +为（） A ．0 B ．1 C ．2D ．436.函数xx y 142+=单调递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),21(+∞ D ．),1(+∞37.函数在上（）A ．是增函数B ．是减函数C ．有最大值D ．有最小值 38.函数xxy ln =的最大值为（） A ．1-e B ．e C ．2e D ．310 二．填空题1.()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是。

导数复习导数大题练习(含详解答案)

1、函数f(*)=(2*2―k*＋k)·e -*(Ⅰ)当k 为何值时，)(x f 无极值；(Ⅱ)试确定实数k 的值，使)(x f 的极小值为0 2、函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)假设2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；〔Ⅲ〕设2()22g x x x =-+，假设对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值围. 3、设函数()1x f x x ae -=-。

〔I 〕求函数()f x 单调区间；〔II 〕假设()0R f x x ≤∈对恒成立，求a 的取值围；〔III 〕对任意n 的个正整数1212,,nn a a a a a a A n++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=记〔1〕求证：()11,2,i a iAa e i n A-≤=⋅⋅⋅〔2〕求证：A ≥4、函数b x x a x a x f +++-=23213)(，其中,a b ∈R ．〔Ⅰ〕假设曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为45-=x y ，求函数)(x f 的解析式；〔Ⅱ〕当0>a 时，讨论函数)(x f 的单调性． 5、函数2()(21)(R x f x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数).(I)当时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)假设函数()f x 在[-1，1]上单调递减，求a 的取值围． 6、函数2()(33)x f x x x e =-+⋅，设2t >-,(2),()f m f t n -==.〔Ⅰ〕试确定t 的取值围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数；〔Ⅱ〕试判断,m n 的大小并说明理由；〔Ⅲ〕求证：对于任意的2t >-,总存在0(2,)x t ∈-，满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.7、函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-．〔Ⅰ〕假设()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；〔Ⅱ〕求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值． 8、函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R . 〔I 〕当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程〔e 2.718...=〕；〔II 〕求函数()f x 的单调区间.9、函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.〔Ⅰ〕当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；〔Ⅱ〕假设函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.10、函数36)2(23)(23-++-=x x a ax x f . 〔1〕当1=a 时，求函数)(x f 的极小值；〔2〕试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。

高等数学-高等数学题库(导数的应用)4份带答案-064

高等数学—导数的应用习题一一．选择题1．使函数322)1()(x x x f -=适合罗尔定理条件的区间是（）A ．[]1,0 B. []1,1- C. []2,2- D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-54,532. 函数x e x f x sin )(-=在[]π,0上满足罗尔定理的=ξ( )A.2π B.π C. 4πD. 45π3.设0,1)(<=ab xx f ,则在b a <<ξ内使))(()()('a b f a f b f -=-ξ成立的点ξ( )A.只有一点B.有两个点C.不存在D.是否存在,与b a ,值有关4.设⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-=,21,210,3)(2x xx x x f ,则在区间()2,0内适合值的ξξ)02)(()0()2('-=-f f f ( ) A.只有一个 B.不存在 C.有两个 D.有三个5.设)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,若设(I):)()(b f a f =；（II ）：在()b a ,内至少有一点ξ，使得0)('=ξf ，则(I)与（II ）之间的关系是（）A ．(I)是（II ）的充分而非必要条件 B. (I)是（II ）的必要而非充分条件 C. (I)是（II ）的充分必要条件 D. (I)是（II ）的既非充分也非必要条件 6.)0()0(g f =,当0>x 时,有)()(''x g x f <,则当0>x 时,有( ) A.)()(x g x f < B. )()(x g x f > C. )()(x g x f ≤ D. )()(x g x f ≥7.函数x x y =在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1e ( )A.不存在最小值B. 最大值是ee 1C. 最大值是e e 11⎪⎭⎫ ⎝⎛D. 最小值是ee 11⎪⎭⎫⎝⎛二. 填空题1.函数321)(x x f -=在[]1,1-上不能有罗尔定理的结论,其原因是)(x f 不满足罗尔定理的条件 .2.函数4)(x x f =在[]2,1上满足拉格朗日定理,则=ξ .3.=+→xx x 6)13ln(lim0 .4.=+∞→a x xxln lim .()0>a 5.在0≠x 时,=+221arctan arctan xx 恒成立.6.据罗尔定理，()x x f sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡656ππ，上满足()0=ξ‘f 的ξ=7.极限=>>-→)0,0lim0b a xb a xx x （ . 三．求下列极限1.82lim 322---→x x x x 2.39lim22--→x x x3.xx x x +-+→220121lim 4.435lim222--+→x x x 5.11lim 1--→n m x x x 6.203cos 1limx xx -→7.30sin lim xx x x -→ 8.x x x x x --→tan sin lim 0 9.xx x x x 20sin tan lim -→ 10.1ln lim 1-→x xx习题二一．选择题1.设函数)(x f 在区间()b a ,内可导,则在()b a ,内0)('>x f 是)(x f 在()b a ,内单调增的( )A. 必要而非充分条件B. 充分而非必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件2. 设函数x x x f ln 2)(2-=的单调增区间是( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,⎪⎭⎫ ⎝⎛21,03.若1=x 和2=x 都是函数xbe x a y )(+=的极值点,则b a ,的值为( ) A.2,1==b a B. 1,2==b a C. 1,2-=-=b a D. 1,2=-=b a4.若)(x f 的二阶导数存在,且0)(''>x f ,则ax a f x f x F --=)()()(在(]b a ,内是( )A.单调增加的B.单调减少的C.有极大值D.有极小值5.设)0()(23≠+++=a dcx bx ax x f 单调增加,下面各式成立的是( )A.03,02≤->ac b aB. 03,02≥->ac b aC. 03,02≤-<ac b aD. 03,02≥-<ac b a6.下列命题中,正确的是( )A.若)(x f y =在0x x =处有0)('=x f ,则)(x f 在0x x =处取极值B. 极大值一定大于极小值C.若可导函数)(x f 在0x x =处取极大值,则必有0)(0'=x fD. 最大值就是极大值7.若函数bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极小值-2,则必有( ) A. 1,4=-=b a B. 7,4-==b a C. 3,0-==b a D. 1,1==b a8.设)(x f 处处连续,在1x x =处有0)(1'=x f ,在2x x =处)(x f 不可导,则( ) A. 1x x =及2x x =都一定不是极值点 B.只有1x x =是极值点 C. 只有2x x =是极值点 D. 1x x =及2x x =都有可能是极值点二. 填空题 1.函数x xx x f 6sin 3)(3--=的单调区间是 . 2.函数x x x f ln 3arctan 10)(-=的极大值点是 .3.函数x x x x f 9331)(23+-=在区间[]4,0上的最大值点=x . 4.函数x e x f x -=)(在()+∞∞-,的最小值点=x . 5.函数x xe x f -=)(在()+∞∞-,的最大值点=x . 6.极限=→xxx 3tan tan lim2π. 7.极限=-→xx xx x sin tan lim20 .三．求下列极限1. x xe x x 220sin 21lim --→ 2.()x x x x e x x 21ln 13sin lim 20+--+→ 3. 11lim 951--→x x x4. ()x x x 4sin 51ln lim0-→ 5. 20cos ln lim xxx → 6. xx x 8sin 12tan lim8-→π7. xxx x 30sin arcsin lim-→8. ()xx x x ln 1cos lim 221--→9. xe e x x x 2sin 2lim 20-+-→ 10. xxx 5sin ln 4sin ln lim 0+→11. xxx e x xe 22lim ++∞→习题三一、选择题1.设)(x f 在点0x x =邻域三阶连续可导,且0)()(0''0'==x f x f ,0)(0'''>x f,则有结论( )A. )(0x f 是极大值B. )(0x f 是极小值C. ))((0,0x f x 是拐点D. )(x f 在0x x =处无极值也无对应的拐点2.设函数⎩⎨⎧<-≥-=1,21,ln )(2x x x x x x x f ,则该函数在1=x 处( )A. 有最小值B. 最大值有C.有对应的拐点D. 无对应的拐点 3.若点()3,1是曲线23bx ax y +=的拐点,则b a ,的值为( )A.23,29-==b a B. 9,6=-=b a C. 29,23=-=b a D. 23,29=-=b a 4.曲线12-+=x xx y ( )A.没有渐近线(水平和垂直)B.有水平渐近线0=yC.有垂直渐近线1±=xD. 有水平渐近线1=y5.设()[]3')(x x f ϕ=,其中)(x ϕ在()+∞∞-,连续,可导0)('>x ϕ,则)(x f y =在()+∞∞-,()A.单调增B.单调减C.上凹D. 下凹6.曲线)0(23≠+++=a d cx bx ax y ,最多拐点个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个7.关于曲线112+-=x x y 的拐点,下述论断正确的是( )A.有3个拐点,且在一条直线上B. 有3个拐点,但不在一条直线上C. 只有2个拐点D. 只有1个拐点 8.曲线11+-=x x y 的渐近线方程是( ) A.1,1==y x B. 1,1=-=y x C. 1,1-==y x D. 1,1-=-=y x 二. 填空题1.曲线x xe y 2=的下凹区间是 .2.曲线1ln 22-+=x x y 的拐点坐标是 .3.曲线()1ln 2+=x y 的下凹区间是 .4.曲线4343x x y +=的上凹区间是 .5.曲线33x x y -=的拐点坐标是 .6.曲线xxy ln =的渐近线方程是 . 7.曲线263+-=x x y 的拐点是 .8.曲线221xx y +=的拐点是 . 三．求下列极限1.）（211211lim xx x ---→ 2.）（xx x 220sin 11lim -→ 3.）（xx x x ln 11lim 1--→ 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→111lim 0x x e x 四．求下列极限1. ）（1lim 1-∞→xx e x2. ）（241cos1lim x x x -∞→ 3. ）（211ln lim xe x x ++∞→ 4. 2tan 1lim 1xx x π）（-→5. ）（361cos 1lim xx x -∞→ 五．求下列函数的单调增减区间1．x x y ln 22-= 2．24x x x y -= 3.()()311+-=x x y习题四一、选择题 1.函数xx y 4+=的单调减少区间是( ) A.()()+∞⋃-∞-,22, B.(-2,2) C. ()()+∞⋃∞-,00, D. ()()2,00,2⋃- 2.以下结论正确的是( )A.函数)(x f 的导数不存在的点,一定不是)(x f 的极值点B.若0x 为函数)(x f 的驻点, 则0x 必为函数)(x f 的极值点C.若函数)(x f 在点0x 处有极值,且)(0'x f 存在,则必有0)(0'=x fD.若函数)(x f 在点0x 处连续,则)(0'x f 一定存在3.曲线xx y 1sin=( ) A.仅有水平渐近线 B.既有水平渐近线,又有铅直渐近线 C.仅有铅直渐近线 D.既无水平渐近线,又无铅直渐近线4.函数x e y -=在定义区间内是严格单调( )A.增加且凹的B. 增加且凸的C. 减少且凹的D. 减少且凸的 5.曲线42246x x x y +-=的凸区间是( ) A.(-2,2) B. ()0,∞- C.()+∞,0 D. ()+∞∞-, 6.函数)1ln(2x y +=的单调增加区间是( ) A.(-5,5) B. ()0,∞- C. ()+∞,0 D. ()+∞∞-, 7.函数x x y arctan -=在()+∞∞-,内是( ) A.单调增加 B.单调减少 C.不单调 D.不连续二. 填空题1.函数()21ln x y +=的单调增加区间是 .2.函数7323+-=x x y 的极小值是 .3.函数1--=x e y x 的极值 .4.当20π〈〈x 时,x x sin tan + x 2.5.曲线14123223+-+=x x x y 的拐点为 .6.函数()23361++=x xy 的图形的水平渐近线为 .7.函数()()()543321---=x x x y 的极值点为=x . 8.函数x x y 2=的极小值点是 . 三. 求下列函数的极值 1.7186223+--=x x x y2.()x x y +-=1ln3.x x e e y -+=2 四.证明下列各不等式的正确性 1.当0>x 时, ()x x +>1ln2.当1>x 时, ()112ln +->x x x 3.当0≥x 时, xxx +≥+1arctan )1ln(五.应用题1.欲围一个面积为150平方米的矩形场地,所用材料的造价其正面是每平方米6元,其余三面是每平方米3元,问场地的长、宽各为多少米时，才能使所用的材料费最少？ 2. 欲用围墙围成面积为216平方米的矩形场地,并在正中用一堵墙将其隔成两快,问此场地的长、宽各为多少米时，才能使所用的建筑材料最少？3.某窗的形状为半圆置于矩形之上,若此窗框的周长为一定值l .试确定半圆的半径r 和矩形的高h ,使所能通过的光线最为充足.答案习题一一．选择题1．使函数322)1()(x x x f -=适合罗尔定理条件的区间是（ A ）A ．[]1,0 B. []1,1- C. []2,2- D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-54,532. 函数x e x f x sin )(-=在[]π,0上满足罗尔定理的=ξ( C )A.2π B.π C. 4πD. 45π3.设0,1)(<=ab xx f ,则在b a <<ξ内使))(()()('a b f a f b f -=-ξ成立的点ξ( C )A.只有一点B.有两个点C.不存在D.是否存在,与b a ,值有关4.设⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-=,21,210,3)(2x xx x x f ,则在区间()2,0内适合值的ξξ)02)(()0()2('-=-f f f ( C ) A.只有一个 B.不存在 C.有两个 D.有三个5.设)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,若设(I):)()(b f a f =；（II ）：在()b a ,内至少有一点ξ，使得0)('=ξf ，则(I)与（II ）之间的关系是（ A ）A ．(I)是（II ）的充分而非必要条件 B. (I)是（II ）的必要而非充分条件 C. (I)是（II ）的充分必要条件 D. (I)是（II ）的既非充分也非必要条件 6.)0()0(g f =,当0>x 时,有)()(''x g x f <,则当0>x 时,有( A ) A.)()(x g x f < B. )()(x g x f > C. )()(x g x f ≤ D. )()(x g x f ≥7.函数x x y =在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1e ( C )A.不存在最小值B. 最大值是ee 1C. 最大值是e e 11⎪⎭⎫ ⎝⎛D. 最小值是ee 11⎪⎭⎫⎝⎛二. 填空题1.函数321)(x x f -=在[]1,1-上不能有罗尔定理的结论,其原因是)(x f 不满足罗尔定理的条件 . ），在（11)1(--f 内处处可导2.函数4)(x x f =在[]2,1上满足拉格朗日定理,则=ξ . 34153.=+→x x x 6)13ln(lim0 . 214.=+∞→a x xxln lim .()0>a 0 5.在0≠x 时,=+221arctan arctan xx 恒成立. 2π6.据罗尔定理，()x x f sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡656ππ，上满足()0=ξ‘f 的ξ= 2π7.极限=>>-→)0,0lim0b a x b a x x x （ . baln 三．求下列极限1.82lim 322---→x x x x 123 2.39lim22--→x x x 3123.xx x x +-+→220121lim 0 4.435lim222--+→x x x 615.11lim 1--→n m x x x nm6.203cos 1limx x x -→ 297.30sin lim xx x x -→ 61 8.x x x x x --→tan sin lim 0 21 9.x x x x x 20sin tan lim -→ 31 10.1ln lim 1-→x xx 1习题二一．选择题1.设函数)(x f 在区间()b a ,内可导,则在()b a ,内0)('>x f 是)(x f 在()b a ,内单调增的( B )A. 必要而非充分条件B. 充分而非必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件2. 设函数x x x f ln 2)(2-=的单调增区间是( C )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,⎪⎭⎫ ⎝⎛21,03.若1=x 和2=x 都是函数xbe x a y )(+=的极值点,则b a ,的值为( A )A.2,1==b aB. 1,2==b aC. 1,2-=-=b aD. 1,2=-=b a4.若)(x f 的二阶导数存在,且0)(''>x f ,则ax a f x f x F --=)()()(在(]b a ,内是( A )A.单调增加的B.单调减少的C.有极大值D.有极小值5.设)0()(23≠+++=a dcx bx ax x f 单调增加,下面各式成立的是( A )A.03,02≤->ac b aB. 03,02≥->ac b aC. 03,02≤-<ac b aD. 03,02≥-<ac b a6.下列命题中,正确的是( C )A.若)(x f y =在0x x =处有0)('=x f ,则)(x f 在0x x =处取极值B. 极大值一定大于极小值C.若可导函数)(x f 在0x x =处取极大值,则必有0)(0'=x fD. 最大值就是极大值7.若函数bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极小值-2,则必有( C ) A. 1,4=-=b a B. 7,4-==b a C. 3,0-==b a D. 1,1==b a8.设)(x f 处处连续,在1x x =处有0)(1'=x f ,在2x x =处)(x f 不可导,则( D ) A. 1x x =及2x x =都一定不是极值点 B.只有1x x =是极值点 C. 只有2x x =是极值点 D. 1x x =及2x x =都有可能是极值点二. 填空题 1.函数x xx x f 6sin 3)(3--=的单调区间是 . ()()+∞∞-,00, 2.函数x x x f ln 3arctan 10)(-=的极大值点是 . 3 3.函数x x x x f 9331)(23+-=在区间[]4,0上的最大值点=x . 4 4.函数x e x f x -=)(在()+∞∞-,的最小值点=x . 0 5.函数x xe x f -=)(在()+∞∞-,的最大值点=x . 1 6.极限=→xxx 3tan tan lim2π. 3 7.极限=-→x x x x x sin tan lim20 . 31三．求下列极限1. x x e x x 220sin 21lim --→x xe x x 220sin 21lim --→ 2 2.()x x x x e x x 21ln 13sin lim 20+--+→ 1 3. 11lim 951--→x x x 954. ()x x x 4sin 51ln lim0-→ 45-5. 20cos ln lim xx x → 21- 6. x x x 8sin 12tan lim8-→π21-7. xx x x 30sin arcsin lim-→ 618. ()xx x x ln 1cos lim 221--→ 29. xe e x x x 2sin 2lim 20-+-→ 41 10. xxx 5sin ln 4sin ln lim 0+→ 111. xxx e x xe 22lim ++∞→ ∞习题三一．选择题1.设)(x f 在点0x x =邻域三阶连续可导,且0)()(0''0'==x f x f ,0)(0'''>x f ,则有结论( C )A. )(0x f 是极大值B. )(0x f 是极小值C. ))((0,0x f x 是拐点D. )(x f 在0x x =处无极值也无对应的拐点2.设函数⎩⎨⎧<-≥-=1,21,ln )(2x x x x x x x f ,则该函数在1=x 处( C )A. 有最小值B. 最大值有C.有对应的拐点D. 无对应的拐点 3.若点()3,1是曲线23bx ax y +=的拐点,则b a ,的值为( C )A.23,29-==b a B. 9,6=-=b a C. 29,23=-=b a D. 23,29=-=b a 4.曲线12-+=x xx y ( C )A.没有渐近线(水平和垂直)B.有水平渐近线0=yC.有垂直渐近线1±=xD. 有水平渐近线1=y5.设()[]3')(x x f ϕ=,其中)(x ϕ在()+∞∞-,连续,可导0)('>x ϕ,则)(x f y =在()+∞∞-,( C )A.单调增B.单调减C.上凹D. 下凹6.曲线)0(23≠+++=a d cx bx ax y ,最多拐点个数是( A ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个7.关于曲线112+-=x x y 的拐点,下述论断正确的是( A )A.有3个拐点,且在一条直线上B. 有3个拐点,但不在一条直线上C. 只有2个拐点D. 只有1个拐点 8.曲线11+-=x x y 的渐近线方程是( B ) A.1,1==y x B. 1,1=-=y x C. 1,1-==y x D. 1,1-=-=y x 二. 填空题1.曲线x xe y 2=的下凹区间是 . ()1,-∞-2.曲线1ln 22-+=x x y 的拐点坐标是 . (1,0)3.曲线()1ln 2+=x y 的下凹区间是 . ()()1,01,-∞-4.曲线4343x x y +=的上凹区间是 . ()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,032,5.曲线33x x y -=的拐点坐标是 . (0,0)6.曲线xxy ln =的渐近线方程是 . 0,0==y x 7.曲线263+-=x x y 的拐点是 . (0,2)8.曲线221x x y +=的拐点是 . ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±41,33 三．求下列极限1.）（211211lim xx x ---→ 21- 2.）（xx x 220sin 11lim -→ 31- 3.）（x x x x ln 11lim 1--→ 214.⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→111lim 0x x e x 21 四．求下列极限1. ）（1lim 1-∞→xx e x 12. ）（241cos1lim x x x -∞→ 213. ）（211ln lim xe x x ++∞→ ∞+ 4. 2tan 1lim 1x x x π）（-→ π25. ）（361cos 1lim xx x -∞→ 21 五．求下列函数的单调增减区间1．x x y ln 22-= 单调减区间⎪⎭⎫⎝⎛210，单调增区间 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21 2．24x x x y -= 单调减区间()43，单调增区间 ()30， 3.()()311+-=x x y 单调减区间⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21，单调增区间 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21 习题四一．选择题1.函数xx y 4+=的单调减少区间是( D ) A.()()+∞⋃-∞-,22, B.(-2,2) C. ()()+∞⋃∞-,00, D. ()()2,00,2⋃- 2.以下结论正确的是( C )A.函数)(x f 的导数不存在的点,一定不是)(x f 的极值点B.若0x 为函数)(x f 的驻点, 则0x 必为函数)(x f 的极值点C.若函数)(x f 在点0x 处有极值,且)(0'x f 存在,则必有0)(0'=x fD.若函数)(x f 在点0x 处连续,则)(0'x f 一定存在3.曲线xx y 1sin=( A ) A.仅有水平渐近线 B.既有水平渐近线,又有铅直渐近线 C.仅有铅直渐近线 D.既无水平渐近线,又无铅直渐近线4.函数x e y -=在定义区间内是严格单调( C )A.增加且凹的B. 增加且凸的C. 减少且凹的D. 减少且凸的 5.曲线42246x x x y +-=的凸区间是( A ) A.(-2,2) B. ()0,∞- C.()+∞,0 D. ()+∞∞-, 6.函数)1ln(2x y +=的单调增加区间是( C ) A.(-5,5) B. ()0,∞- C. ()+∞,0 D. ()+∞∞-, 7.函数x x y arctan -=在()+∞∞-,内是( A ) A.单调增加 B.单调减少 C.不单调 D.不连续二. 填空题1.函数()21ln x y +=的单调增加区间是 . ()∞+，0 2.函数7323+-=x x y 的极小值是 . 3 3.函数1--=x e y x 的极值 . 0 4.当20π〈〈x 时,x x sin tan + x 2. >5.曲线14123223+-+=x x x y 的拐点为 . ⎪⎭⎫ ⎝⎛-212021， 6.函数()23361++=x xy 的图形的水平渐近线为 . 1=y7.函数()()()543321---=x x x y 的极值点为=x . 2,25,348.函数x x y 2=的极小值点是 . 2ln 1-三. 求下列函数的极值1.7186223+--=x x x y 极大值()171=-y 极小值()473-=y2.()x x y +-=1ln 极小值()00=y3.x x e e y -+=2 极小值2222ln =⎪⎭⎫⎝⎛-y四.证明下列各不等式的正确性 1.当0>x 时, ()x x +>1ln 2.当1>x 时, ()112ln +->x x x 3.当0≥x 时, xxx +≥+1arctan )1ln(五.应用题1.欲围一个面积为150平方米的矩形场地,所用材料的造价其正面是每平方米6元,其余三面是每平方米3元,问场地的长、宽各为多少米时，才能使所用的材料费最少？长10米宽15米2. 欲用围墙围成面积为216平方米的矩形场地,并在正中用一堵墙将其隔成两快,问此场地的长、宽各为多少米时，才能使所用的建筑材料最少？长18米宽12米3.某窗的形状为半圆置于矩形之上,若此窗框的周长为一定值l .试确定半圆的半径r 和矩形的高h ,使所能通过的光线最为充足.4+==πlh r。

(完整版)导数的运算经典习题

（完整版）导数的运算经典习题1. 概述本文档列举了一些有关导数的运算的经典题，以帮助读者巩固和提高对该知识点的理解和应用能力。

2. 题集2.1 一阶导数1. 计算函数 $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$ 的导函数 $f'(x)$。

2. 求函数 $g(x) = \sqrt{x}$ 的导数 $g'(x)$。

3. 计算函数 $h(x) = e^x - \sin(x)$ 在 $x = 0$ 处的导数 $h'(0)$。

4. 求函数 $k(x) = \ln(x)$ 的导函数 $k'(x)$。

2.2 高阶导数1. 计算函数 $f(x) = \cos(x)$ 的二阶导数 $f''(x)$。

2. 求函数 $g(x) = \frac{1}{x^2}$ 的二阶导数 $g''(x)$。

3. 计算函数 $h(x) = e^x \cos(x)$ 的二阶导数 $h''(x)$。

4. 求函数 $k(x) = \ln(x^2)$ 的二阶导数 $k''(x)$。

2.3 乘积法则和商积法则1. 使用乘积法则计算函数 $f(x) = (3x^2 + 2x + 1)(4x + 1)$ 的导函数 $f'(x)$。

2. 使用商积法则计算函数 $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$ 的导数$g'(x)$。

2.4 链式法则1. 使用链式法则计算函数 $f(x) = \sin(3x^2 + 2x + 1)$ 的导数$f'(x)$。

2. 使用链式法则计算函数 $g(x) = e^{2x^3}$ 的导函数 $g'(x)$。

3. 总结本文档提供了一些有关导数的运算的经典习题，涵盖了一阶导数、高阶导数、乘积法则和商积法则、链式法则等知识点。

通过完成这些习题，读者可以巩固对导数运算的理解，并提高应用能力。

希望这些习题对您有所帮助！。

关于导数的29个典型习题

关于导数的29个典型习题习题1设函数在0=x 的某邻域内1C 类(有一阶连续导数)，且.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。

解由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0=-+=-+→f b a f h f b h f a h ..01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知).0()2(1)2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,0)0(≠'f 故.02=+b a 联立可解出.1,2-==b a习题2 设,0,00,)()(⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-x x xe x g xf x其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g .(1) 求);(x f '(2) 讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性.解 (1) 当0≠x 时，用公式有,)1()()()(])([)(22x e x x g x g x x e x g e x g x x f xx x ---++-'=+-+'='当0=x 时，用定义求导数，有.21)0()(lim)0(20-''=-='-→g x e x g f xx 二次洛 ⎪⎩⎪⎨⎧=-''≠++-'='∴-.0,21)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x(2) 因在0=x 处有).0(21)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g xe x e x g x g x x g xf xx xx x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f习题3 证明：若022=++++c y b x a y x （圆），其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则 =+xd y d dx dy22232])(1[定数。

完整版)导数大题练习带答案

完整版)导数大题练习带答案1.已知 $f(x)=x\ln x-ax$，$g(x)=-x^2-2$，要求实数 $a$ 的取值范围。

Ⅰ）对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $f(x)\geq g(x)$，即$x\ln x-ax\geq -x^2-2$，整理得 $a\leq \ln x +\frac{x}{2}$，对于 $x\in(0,+\infty)$，$a$ 的取值范围为 $(-\infty。

+\infty)$。

Ⅱ）当 $a=-1$ 时，$f(x)=x\ln x+x$，求 $f(x)$ 在 $[m。

m+3]$ 上的最值。

$f'(x)=\ln x+2$，令 $f'(x)=0$，解得 $x=e^{-2}$，在 $[m。

m+3]$ 上，$f(x)$ 单调递增，所以最小值为$f(m)=me^{m}$。

Ⅲ）证明：对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $\lnx+1>\frac{1}{x}$。

证明：$f(x)=\ln x+1-\frac{1}{x}$，$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^2}(x-1)>0$，所以$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，即对于所有$x\in(0,+\infty)$，都有 $\ln x+1>\frac{1}{x}$。

2.已知函数 $f(x)=\frac{2}{x}+a\ln x-2(a>0)$。

Ⅰ）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(1,f(1))$ 处的切线与直线$y=x+2$ 垂直，求函数 $y=f(x)$ 的单调区间。

$f'(x)=-\frac{2}{x^2}+a$，在点 $P(1,f(1))$ 处的切线斜率为 $f'(1)=a-2$，由于切线垂直于直线 $y=x+2$，所以 $a-2=-\frac{1}{1}=-1$，解得 $a=1$。

(完整版)导数测试题(含答案)

B．(0,3)
C．(1,4)
D．(2，＋∞)
解析：选 D.f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令 f′(x)>0，解得 x>2，故选 D. 8．“函数 y＝f(x)在一点的导数值为 0”是“函数 y＝f(x)在这点取极值”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选 B.对于 f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出 f(x)在 x＝0 处取极值，反之成立．故选 B. 9．函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( )
B．(2,4)
11
11
C．(4，16) 故选 D.
1
D．(2，4)
6．已知函数 f(x)＝x，则 f′(－3)＝( ) 1
A．4 1
B.9 1
C．－4
D．－9
1
1
解析：选 D.∵f′(x)＝－x2，∴f′(－3)＝－9. 7．函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间是( )
A．(－∞，2)
三、解答题 x
17．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋xcosx； (2)y＝1＋x； (3)y＝lgx－ex.
18．已知抛物线 y＝x2＋4 与直线 y＝x＋10，求： (1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程．
1 19．已知函数 f(x)＝3x3－4x＋4.(1)求函数的极值； (2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．
解析：令 y′＝(x＋1)ex＝0，得 x＝－1. 当 x<－1 时，y′<0；当 x>－1 时，y′>0.

(完整版)导数大题练习带答案

导数解答题练习1．已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝－x 2－2，(Ⅰ)对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)当a ＝－1时，求函数f (x )在[m ，m ＋3](m ＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1＞ex e x 21-成立．2、已知函数2()ln 2(0)f x a x a x=+->. （Ⅰ）若曲线y =f (x )在点P （1，f (1)）处的切线与直线y =x +2垂直，求函数y =f (x )的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有f (x )＞2(a ―1)成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记g (x )=f (x )+x ―b （b ∈R ）.当a =1时，函数g (x )在区间[e ―1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围.3、设函数f (x )=ln x +(x －a )2，a ∈R .（Ⅰ）若a =0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值；（Ⅱ）若函数f (x )在1[,2]2上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围；（Ⅲ）求函数f (x )的极值点.4、已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.5、已知函数1ln ()xf x x+=． (1)若函数在区间1(,)2a a +(其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围．1.解：(Ⅰ)对一切)()(),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，即2ln 2--≥-x ax x x 恒成立.也就是++≤x x a ln x2在),0(+∞∈x 恒成立.………1分令xx x x F 2ln )(++= ，则F '2222)1)(2(2211)(x x x x x x x x x -+=-+=-+=，……2分在)10(，上F '0)(<x ，在)1(∞+，上F '0)(>x ，因此，)(x F 在1=x 处取极小值，也是最小值，即3)1()(min ==F x F ，所以3≤a .……4分(Ⅱ)当时，1-=a x x x x f +=ln )(， f '2ln )(+=x x ，由f '0)(=x 得21ex =. ………6分 ①当210em <<时，在)1,[2e m x ∈上f '0)(<x ，在]3,1(2+∈m e x 上f '0)(>x 因此，)(x f 在21e x =处取得极小值，也是最小值. 2min 1)(ex f -=. 由于0]1)3)[ln(3()3(,0)(>+++=+<m m m f m f 因此，]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f………8分②当时21em ≥，0)('≥x f ，因此]3,[)(+m m x f 在上单调递增，所以)1(ln )()(min +==m m m f x f ，]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f ……9分(Ⅲ)证明：问题等价于证明)),0((2ln +∞∈->+x ee x x x x x ,………10分由(Ⅱ)知1-=a 时，x x x xf +=ln )(的最小值是21e-，当且仅当21e x =时取得，……11分设)),0((2)(+∞∈-=x e e x x G x ，则G 'xexx -=1)(，易知eG x G 1)1()(max -==，当且仅当1x =时取到， ………12分但，e e112->-从而可知对一切(0,)x ∈+∞，都有exe x x 211ln ->+成立. ………13分 2、解：（Ⅰ）直线y =x +2的斜率为1.函数f (x )的定义域为（0，+∞），因为22'()a f x x x=-+，所以22'(1)111af =-+=-，所以a =1.所以2()ln 2f x x x =+-. 22'()x f x x -=.由'()0f x >解得x ＞0；由'()0f x <解得0＜x ＜2. 所以f (x )的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）.…… 4分（Ⅱ）2222'()a ax f x x x x -=-+=，由'()0f x >解得2x a>；由'()0f x <解得20x a <<.所以f (x )在区间2(,)a +∞上单调递增，在区间2(0,)a 上单调递减.所以当2x a=时，函数f (x )取得最小值，min 2()y f a=. 因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，所以2()2(1)f a a >-即可. 则22ln 22(1)2a a a a+->-.由2ln a a a >解得20e a <<.所以a 的取值范围是2(0,)e. ……………… 8分（Ⅲ）依题得2()ln 2g x x x b x=++--，则222'()x x g x x +-=.由'()0g x >解得x ＞1；由'()0g x <解得0＜x ＜1.所以函数()g x 在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数.又因为函数()g x 在区间[e －1，e]上有两个零点，所以1()0()0(1)0g e g e g -⎧≥⎪≥⎨⎪<⎩.解得21e 1e b <≤+-.所以b 的取值范围是2(1,e 1]e+-. (13)分3．解：（Ⅰ）f (x )的定义域为（0，+∞）.……………… 1分因为1'()20f x x x=+>，所以f (x )在[1，e]上是增函数，当x =1时，f (x )取得最小值f (1)=1. 所以f (x )在[1，e]上的最小值为1.……………… 3分（Ⅱ）解法一：21221'()2()x ax f x x a x x-+=+-=设g (x )=2x 2―2ax +1，……………… 4分依题意，在区间1[,2]2上存在子区间使得不等式g (x )＞0成立.…… 5分注意到抛物线g (x )=2x 2―2ax +1开口向上，所以只要g (2)＞0，或1()02g >即可……………… 6分由g (2)＞0，即8―4a +1＞0，得94a <，由1()02g >，即1102a -+>，得32a <，所以94a <，所以实数a 的取值范围是9(,)4-∞.……………… 8分解法二：21221'()2()x ax f x x a x x-+=+-=，……………… 4分依题意得，在区间1[,2]2上存在子区间使不等式2x 2―2ax +1＞0成立. 又因为x ＞0，所以12(2)a x x<+. ……………… 5分设1()2g x x x =+，所以2a 小于函数g (x )在区间1[,2]2的最大值. 又因为1'()2g x x=-，由21'()20g x x=->解得2x >；由21'()20g x x =-<解得02x <<.所以函数g (x )在区间2)2上递增，在区间1(,22上递减. 所以函数g (x )在12x =，或x =2处取得最大值. 又9(2)2g =，1()32g =，所以922a <，94a <所以实数a 的取值范围是9(,)4-∞.……………… 8分（Ⅲ）因为2221'()x ax f x x-+=，令h (x )=2x 2―2ax +1①显然，当a ≤0时，在（0，+∞）上h (x )＞0恒成立，f '(x )＞0，此时函数f (x )没有极值点； ……………… 9分 ②当a ＞0时，（i ）当Δ≤0，即0a <≤时，在（0，+∞）上h (x )≥0恒成立，这时f '(x )≥0，此时，函数f (x )没有极值点；……………… 10分（ii ）当Δ＞0时，即a >x <<h (x )＜0，这时f '(x )＜0；当02a x <<或2a x >时，h (x )＞0，这时f '(x )＞0；所以，当a >2a x =是函数f (x )的极大值点；2a x +=是函数f (x )的极小值点.……………… 12分综上，当a ≤f (x )没有极值点；当a >x =是函数f (x )的极大值点；x =是函数f (x )的极小值点.4．解：2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >. ………1分 (Ⅰ)(1)(3)f f ''=，解得23a =. ………3分(Ⅱ)(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >. ………4分 ①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ………5分 ②当102a <<时，12a>，在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a. ………6分③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=，故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ………7分 ④当12a >时，102a <<，在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a. ………8分 (Ⅲ)由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <. ………9分由已知，max ()0g x =，由(Ⅱ)可知， ①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增，故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+，所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤.……10分 ②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减，故max 11()()22ln 2f x f a a a==---. 由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <，综上所述，ln 21a >-. ………12分5、(Ⅰ)直线y ＝x ＋2的斜率为1，函数f (x )的定义域为 ()+∞,0因为x a x x f +-=2'2)(，所以()111212'-=+-=a f ，所以a ＝1 所以()()2'2,2ln 2xx x f x x x f -=-+= 由()0'>x f解得x ＞2 ；由()0'<x f 解得0＜x ＜2所以f (x )得单调增区间是()+∞,2，单调减区间是()2,0 ………4分(Ⅱ)22'22)(x ax x a x x f -=+-= 由()0'>x f 解得;2a x >由()0'<x f 解得a x 20<<所以f (x )在区间),2(+∞a 上单调递增，在区间)2,0(a 上单调递减所以当a x 2=时，函数f (x )取得最小值)2(min af y =因为对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立，所以)1(2)2(->a af 即可则)1(222ln 22->-+a a a a，由a a a >2ln 解得e a 20<< 所以a 得取值范围是)2,0(e……… 8分(Ⅲ)依题意得b x xx g --+=2ln 2)(，则22'2)(x x x x g -+= 由()0'>x g 解得x ＞1，由()0'<x g 解得0＜x ＜1所以函数g (x )在区间[]e ,e 1-上有两个零点，所以⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥-0)1(0)(0)(1g e g e g 解得121-+≤<e e b所以b 得取值范围是]12,1(-+e e……… 12分6、解：(1)因为1ln ()x f x x +=，0x >，则2ln ()xf x x'=-， …1分当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<． ∴()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上单调递减， ∴函数()f x 在1x =处取得极大值．………3分∵函数()f x 在区间1(,)2a a +(其中0a >)上存在极值，∴1,11,2a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩解得112a <<．……….5分(2)不等式()1k f x x ≥+，即为(1)(1ln )x x k x++≥， ………7分记(1)(1ln )()x x g x x ++=∴22[(1)(1ln )](1)(1ln )ln ()x x x x x x xg x x x'++-++-'==，…9分令()ln h x x x =-，则1'()1h x x=-，∵1x ≥，∴'()0h x ≥，∴()h x 在[1,)+∞上递增， ∴min [()](1)10h x h ==>，从而()0g x '>，故()g x 在[1,)+∞上也单调递增， ∴min [()](1)2g x g ==，∴2k ≤．………12分。

高等数学-——导数与微分练习题.pdf

C：若函数 f (x) 在点 x0 处不可导，则函数 f (x) 在点 x0 处左、右导数只有一个不存在
x≥0
（）
（5）若 f (x) = x −1 ，则 f (x) 在 x = 1 处可导
（）
（6） f (x) = 3 x 在 (−∞, +∞) 内均可导
（）
（7）若函数 f (u) 可导，则 [ f (ln x)]′ = f ′(ln x)
（）
（8）若 y = x2ex ，则 y′′ − 2 y′ + y = 0
dx
五、证明题
1.
设函数
f (x) = arctan 1+ x ，证明 dy 1− x
=
x
1 2+
1
dx
2.
证明：函数
f
(
x
)
=
⎧ ax + b, ⎨⎩ex −1, x
x ≤
> 0
0
在 x = 0 处可导的充要条件是 a = 1, b = 0 .
3.
证明：
f
(
x)
=
⎧⎪ ⎨
x3
sin
1 x
,
x
≠
0
在定义域内处处可微.
则 a, b 之值为（
）
A： a = 2,b = −1 B： a = 1,b = −3
C： a = 0,b = −2
D： a = −3,b = 1
（5）下列结论正确的是（
）
A：若左、右导数都存在，则函数 f (x) 在点 x0 处可导
B：函数 f (x) 在点 x0 处不可导的充要条件是左、右导数都不存在
⎛ ⎜⎝
arctan

高等数学——导数练习题

一．选择题1.若k x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim000，则xx f x x f x ∆-∆⋅+→∆)()2(lim000等于( ) A.k 2 B.k C.k 21D.以上都不是2.若f （x ）=sinα－cosx ，则f ′(a )等于 ( )A ．sinαB ．cosαC ．sinα+cosαD ．2sinα3.f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′(−1)=4,则a 的值等于( )A ．319 B ．316 C ．313D ．3104.函数y =x sin x 的导数为( )A ．y ′=2x sin x +x cos xB ．y ′=x x 2sin +x cos xC ．y ′=xx sin +x cos x D ．y ′=xx sin －x cos x5.函数y =x 2cos x 的导数为( )A ．y ′=2x cos x －x 2sin xB ．y ′=2x cos x +x 2sin xC ．y ′=x 2cos x －2x sin xD ．y ′=x cos x －x 2sin x6.函数y =22xax +（a >0）的导数为0，那么x 等于（）A ．aB ．±aC ．－aD ．a 27. 函数y =xxsin 的导数为（）A ．y ′=2sin cos xxx x + B ．y ′=2sin cos xxx x - C ．y ′=2cos sin x xx x -D ．y ′=2cos sin x xx x +8.函数y =2)13(1-x 的导数是（）A ．3)13(6-x B ．2)13(6-x C ．－3)13(6-x D ．－2)13(6-x9.已知y =21sin2x +sin x ，那么y ′是（） A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值，又有最小值的偶函数 C ．仅有最大值的偶函数 D ．非奇非偶函数10.函数y =sin 3（3x +4π）的导数为（）A ．3sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）B ．9sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）C ．9sin 2（3x +4π）D ．－9sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）11.函数y =cos （sin x ）的导数为（）A ．－［sin （sin x ）］cos xB ．－sin （sin x ）C ．［sin （sin x ）］cos xD ．sin （cos x ）12.函数y =cos2x +sin x 的导数为（）A ．－2sin2x +xx2cos B ．2sin2x +xx 2cosC ．－2sin2x +xx 2sin D ．2sin2x －xx 2cos13.过曲线y =11+x 上点P （1，21）且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为（）A ．2y －8x +7=0B ．2y +8x +7=0C ．2y +8x －9=0D ．2y －8x +9=014.函数y =ln （3－2x －x 2）的导数为（）A ．32+x B ．2231x x -- C ．32222-++x x xD ．32222-+-x x x15.函数y =lncos2x 的导数为（）A ．－tan2xB ．－2tan2xC ．2tan xD ．2tan2x16.已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是( )A. 21>-<b b ，或B.21≥-≤b b ，或C. 21<<-bD. 21≤≤-b 17.函数的单调递增区间是 ( )A. B.(0,3) C.(1,4) D.x e x x f )3()(-=)2,(-∞),2(+∞18.函数y =xx a22-（a >0且a ≠1），那么y ′为（）A ．xxa 22-ln aB ．2（ln a ）xx a 22- C ．2（x －1）xx a 22-·ln aD ．（x －1）xxa 22-ln a19.函数y =sin32x 的导数为（）A ．2（cos32x ）·32x ·ln3B ．（ln3）·32x ·cos32xC ．cos32xD ．32x ·cos32x20.已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A ．1B ．2C ．3D ．421.曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为（）A ．43-=x yB ．23+-=x yC ．34+-=x yD ．54-=x y22.函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于（）A ．1B ．2C ．3D ．423.已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为（） A ．)1(3)1()(2-+-=x x x fB ．)1(2)(-=x x fC ．2)1(2)(-=x x fD ．1)(-=x x f24.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（）A.2B.3C.4D.525.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( )A.(2,)+∞B.(,2)-∞C.(,0)-∞D.(0,2) 26.函数323922yx x x x 有（）A.极大值5，极小值－27B.极大值5，极小值－11C.极大值5，无极小值D.极小值－27，无极大 27.三次函数()x ax x f +=3在()+∞∞-∈,x 内是增函数，则（）A.0>aB.0<aC.1=aD.31=a28.在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．029.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 30.下列求导运算正确的是（） A 、3211)1(xx x -='+B 、(log 2x )′=1xln2C 、(x 2cosx )′=−2xsinxD 、 (3x )′=3x log 3e 31.已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．－1 D ．1 32.函数3yx x 的递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞ 33. 函数y =x ln 的导数为（）A ．2x x lnB ．x x ln 2C ．xx ln 1 D ．xx ln 2134.设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（）A ．2pB ．pC ．p 2D ．无法确定 35.函数x x y 33-=的极大值为m ，极小值为n ，则n m +为（） A ．0 B ．1 C ．2D ．436.函数xx y 142+=单调递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),21(+∞ D ．),1(+∞37.函数在上（）A ．是增函数B ．是减函数C ．有最大值D ．有最小值 38.函数xxy ln =的最大值为（） A ．1-e B ．e C ．2e D ．310 二．填空题1.()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是。

高等数学函数极限导数习题

赠给导航亲们的小小礼，一切为了您！导航考研《函数的极限导数100题》特训题1、设2(1)xxx f e ee x +=++，求f (x ).解令1xe u +=，ln(1)x u =-22()(1)(1)ln(1)ln(1)f u u u u u u u =-+-+-=-+-于是 2()ln(1)f x x x x =-+-特训题2、求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦ 解： 4300(sin sin sin )sin sin sin sin limlim x x x x x x x x x →→--=20cos cos(sin )cos lim 3x x x xx→-⋅= 200cos (1cos(sin ))sin(sin )cos lim lim 36x x x x x xx x→→-⋅== 0sin 1lim 66x x x →== 特训题3、求1132lim 23n nn nn ++→∞-+.解分子、分母用3n除之，原式＝233lim 32213nn n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（注：主要用当1r <时，lim 0nn r →∞=）特训题4、求下列各极限（1）011lim x x x x →+-- （2）33011lim x x xx→+--解（1）解一原式＝()()()112lim1211x x x xx x →+--==++- 解二原式＝()()01111lim x x x x→+----0122lim 1x x x x→⎛⎫-- ⎪⎝⎭=等价无穷小量代换解三用洛必达法则1原式＝()0112121lim11x x x →-⎛⎫- ⎪+-⎝⎭= （2）解一原式＝()()()()()()223333112lim31111x x x x xxx x →+--=⎡⎤+++-+-⎢⎥⎣⎦解二类似（1）中解二用等价无穷小量代换解三类似（1）中解三用洛必达法则（2）222111lim 11123n n →∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解原式＝111111lim 1111112233n n n →∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝13241111lim lim 223322n n n n n n n n →∞→∞-++==特训题5、求下列极限（1）102lim 1x x x +→∞⎛⎫-⎪⎝⎭（2）101lim 1xx x x →-⎛⎫⎪+⎝⎭解（1）2(10)10222lim 1lim 1x x x x n x x x +⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝()1021222lim 1x x x e x ⎛⎫-+⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭-→∞⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫+-=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎪⎪⎩⎭（2）解一 ()()[]111(1)1200100lim 1lim 1()1lim 1lim 1x xxx x x xx x x x e e x e ex ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭-→→→→-+--⎛⎫==== ⎪+⎝⎭+ 解二 12112120001122lim lim lim 1111x x x x x x x x x x x x e x x x +-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭-→→→-+-⎡-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦特训题6、求下列极限（1）cot 0lim(1tan )xx x →+ （2）411lim x x x-→（3）2cot 0lim(cos )xx x →解（1）令 tan x t =则1cot x t=，当0x →时0t → 于是 1cot 0lim(1tan )lim(1)xtx t x t e →→+=+=（2）令1x t -=则1x t =+，当1x →时，0t → 于是 ()444141100lim lim(1)lim 1x tt x t t xt t e -→→→⎡⎤=+=+=⎢⎥⎣⎦（3）()()22222cos 1cos cot 222sin2sin 0lim(cos )lim(1sin )lim 1(sin )xxxxx x x x x x x --→→→⎡⎤=-=+-⎣⎦＝12e-特训题7、求下列极限（1）211limnn k n k→∞=+∑（2）21limnn k kn n k →∞=++∑ 解（1）∵222111nk n n n nn kn =≤≤+++∑而 21limlim111n n n n nn→∞→∞==++221limlim1111n n n n n →∞→∞==++由夹逼定理可知 211lim1nn k n k→∞==+∑（2）∵222112121n k n k nn n n n n kn n =++++++≤≤++++++∑ 而 21(1)1212lim lim 2(2)2n n n n n n n n n →∞→∞++++==++ 221(1)1212lim lim 112n n n n n n n n n →∞→∞++++==++++ 则夹逼定理可知 211lim2nn k k n n k →∞==++∑ 特训题8、求221limnn k nn k→∞=+∑. 分析如果还想用夹逼定理中方法来考虑2222222211nk n n n n n n kn =≤≤+++∑ 而2221lim 2n n n n →∞=+，222lim 11n n n →∞=+ 由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑.解 2221111lim lim 1nnn n k k n n k n k n →∞→∞===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑∑＝11200arctan 14dx x x π==+⎰ 特训题9、求311sinlim 1sin n nn n→∞-. 解离散型不能直接用洛必达法则，故考虑33sin sin limlimsin x x x x x xxx →→--等价无穷小代换＝2001cos sin 1limlim 366x x x x x x →→-==∴原式＝16.特训题10、求21100limx x ex -→.解若直接用“00”型洛必达法则1，则得22113912002lim lim 105x x x x e e x xx --→→⎛⎫ ⎪⎝⎭=（不好办了，分母x 的次数反而增加），为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令21t x=，于是 2151050lim lim lim t x t x t t e e t x t e ---→→+∞→+∞== (“∞∞”型)＝455!lim lim 0t t t t t e e→+∞→+∞=== 特训题11、求011lim 1x x x e →⎛⎫-⎪-⎝⎭. 解 0011(1)lim lim 1(1)x x x x x e x x e x e →→--⎛⎫-= ⎪--⎝⎭ （“00”型）＝001lim lim (1)x xx x x x xx x e e e xe e e xe →→-=-+++＝011lim22x x →=+特训题12、求22201cos lim()sin x xx x →-. 解原式＝222220sin cos lim sin x x x xx x→-＝22401sin 24lim x x xx →-＝3042sin 2cos 24lim 4x x x xx →-＝301sin 44lim 2x x x x →- ＝2001cos 44sin 44lim lim 6123x x x x x x →→-== 特训题13、设函数21,()2,x x cf x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = .解：1分析：由()()22lim lim 11x cx cf x f x c c c+-→→=⇒+=⇒= 特训题14、求2sin 0lim xx x +→.解令2sin xy x=，2ln sin ln y x x =200lim ln lim sin ln 0x x y x x ++→→==（见2中例3） ∴0lim 1x y e +→== 特训题15、求()2cot 0lim cos xx x →（前面已用重要公式的方法）.解令()2cot cos xy x =，2ln cot ln cos y x x =222000ln cos ln cos limln limcot ln cos limlim tan x x x x x xy x x x x→→→→=== （“00”型）＝0tan 1lim 22x x x →-=-，∴120lim x y e -→=特训题16、求11lim sin cos xx x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解令11sin cos xy x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11ln ln sin cos y x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭011ln sin cos ln(sin cos )lim ln lim lim1x x t t t x x y tx→∞→∞→⎛⎫+ ⎪+⎝⎭== ＝0cos sin lim1sin cos t t tt t→-=+∴lim x y e →∞=特训题17、求极限21sin limln x xx x→.解：22001sin 1sin limln lim ln 11x x x x x x x x →→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭32000sin cos 1sin 1limlim lim 366x x x x x x x x x x →→→--===-=-特训题18、求0(1cos 2)arctan 3lim(1)ln(12)sin 5x x x xe x x→--+.解用等价无穷小量代换原式＝201(2)(3)32lim (2)(5)5x x x x x x →=特训题19、求2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++. 解这个极限虽是“”型，但分子、分母分别求导数后的极限不存在，因此不能用洛必达法则. 原式＝0sin 13cos 13lim ln(1)1cos 2x xx x x x x x →⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦特训题20、求3501sin 6lim x x x x x→-+. 解 ∵355sin ()3!5!x x x x o x =-++ （当0x →时） ∴原式＝5550()115!lim 5!120x x o x x →+==特训题21、设0()2f x '=，求000(3)(2)lim x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆.解原式＝[][]00000(3)()(2)()limx f x x f x f x x f x x∆→+∆---∆-∆＝()000000(3)()(2)()3lim2lim 32x x f x x f x f x x f x x x ∆→∆→+∆--∆-+∆-∆＝0003()2()5()10f x f x f x '''+==特训题22、设曲线()y f x =与sin y x =在原点相切，求2lim ()n nf n→∞.解由题设可知(0)0f =，0(0)(sin )1x f x =''==于是 2(0)2lim lim 22(0)220n n f f n nf f n n→∞→∞⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭'=== ⎪⎝⎭-特训题23、设0>a ，10x b =>，21112a x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，…1112n n n a x x x --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求lim n n x →∞. 解 ∵110n n n ax x a x --≥=> （算术平均值≥几何平均值）又211022n n n n n n na x a x x x x x x +⎛⎫--=+-=≤ ⎪⎝⎭，则1n n x x +≤ 因此{}n x 单调减少，又有下界，根据准则1，lim n n x A →∞= 存在把1112n n n a x x x --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭两边取极限，得12a A A A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2A a =，∵A ＞0，∴取A a =，于是lim n n x a →∞=特训题24、求下列函数在分段点处的极限2sin 2 <0() >01cos xx xf x x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⎩ 解 00sin 2sin 2(00)lim lim 222x x x xf x x--→→-=== 22002(00)lim lim 211cos 2x x x x f x x ++→→+===-∴0lim ()2x f x →=特训题25、求1402sin lim 1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭. 解 1402sin lim 211()1x x x e x x e -→⎛⎫+ ⎪+=-= ⎪- ⎪+⎝⎭ 43402sin lim 0111x xx x e e x x e +--→-⎛⎫+ ⎪+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭ ∴1402sin lim 11xx x e x x e →⎛⎫+ ⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭特训题26、设221lim3sin(1)x x ax bx →++=-，求a 和b. 解由题设可知21lim()0x x ax b →++=，∴1+a+b=0再对极限用洛必达法则2221122lim lim 3sin(1)2cos(1)2x x x ax b x a a x x x →→++++===-- 4,5a b ==- 特训题27、()f x 连续，21cos(sin )lim1(1)()x x x e f x →-=-，则(0)f =解：12分析：220011sin 22lim 1,lim 1()()x x xx f x f x →→==则，由()f x 连续，则1(0)2f =特训题28、讨论函数()10001sin 0x e x f x x x x x ⎧⎪<⎪==⎨⎪⎪>⎩在点0x =处的连续性。

导数的练习题及答案

导数的练习题及答案导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。

掌握导数的概念对于解决各种数学和物理问题至关重要。

在这篇文章中，我们将给出一些关于导数的练习题及其答案，帮助读者更好地理解和应用导数。

练习题一：求函数 $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ 在 $x = 2$ 处的导数。

解答一：根据导数的定义，我们知道导数可以通过函数的极限来求解。

在这个例子中，我们可以使用直接求导的方法来计算导数。

首先，我们对每一项使用求导法则。

对于 $2x^3$，它的导数是$6x^2$；对于 $-5x^2$，它的导数是 $-10x$；对于 $3x$，它的导数是$3$；对于常数项 $-1$，它的导数是 $0$。

然后，将这些导数相加，得到函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$。

所以，$f'(x) = 6x^2 - 10x + 3$。

接下来，我们求函数 $f(x)$ 在 $x = 2$ 处的导数。

将 $x$ 替换为 $2$，得到 $f'(2) = 6(2)^2 - 10(2) + 3 = 28$。

所以，函数 $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ 在 $x = 2$ 处的导数为 $f'(2) = 28$。

练习题二：求函数 $y = e^x \sin(x)$ 的导数。

解答二：这个问题涉及到两个函数的乘积，所以我们需要使用乘积规则来求解。

首先，我们将函数 $y = e^x \sin(x)$ 分解为两个函数的乘积：$y =u(x) v(x)$，其中 $u(x) = e^x$，$v(x) = \sin(x)$。

然后，我们求出每个函数的导数。

对于 $u(x) = e^x$，它的导数仍然是 $e^x$；对于 $v(x) = \sin(x)$，它的导数是 $\cos(x)$。

根据乘积规则，函数 $y$ 的导数为 $y' = u'v + uv'$。

高等数学导数求导练习题

高等数学导数求导练习题一、基本初等函数求导1. 求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 5 的导数。

2. 求函数 f(x) = (3x + 1)^4 的导数。

3. 求函数 f(x) = 1/(x^2 1) 的导数。

4. 求函数f(x) = √(x^2 + 3) 的导数。

5. 求函数 f(x) = 2^x 3^x 的导数。

二、复合函数求导6. 求函数 f(x) = (x^2 + 1)^3 的导数。

7. 求函数 f(x) = sin(2x + 1) 的导数。

8. 求函数 f(x) = ln(e^x + 1) 的导数。

9. 求函数 f(x) = cos^2(x) 的导数。

10. 求函数 f(x) = (1 + x^2)^5 的导数。

三、隐函数求导11. 已知 y = x^3 + y^3，求 dy/dx。

12. 已知 x^2 + y^2 = 25，求 dy/dx。

13. 已知 e^y = x^2 + y^2，求 dy/dx。

14. 已知 sin(x + y) = y^2，求 dy/dx。

15. 已知 ln(x^2 + y^2) = 2x，求 dy/dx。

四、参数方程求导16. 已知参数方程 x = t^2，y = t^3，求 dy/dx。

17. 已知参数方程 x = cos(t)，y = sin(t)，求 dy/dx。

18. 已知参数方程 x = 2t + 1，y = 3t^2 2，求 dy/dx。

19. 已知参数方程 x = e^t，y = e^(2t)，求 dy/dx。

20. 已知参数方程 x = asin(t)，y = acos(t)，求 dy/dx。

五、高阶导数21. 求函数 f(x) = x^4 2x^3 + 3x^2 的二阶导数。

22. 求函数 f(x) = e^x sin(x) 的一阶和二阶导数。

23. 求函数 f(x) = ln(x^2 + 1) 的一阶和二阶导数。

24. 求函数 f(x) = (x^2 + 1)^(3) 的一阶和二阶导数。