换元法在解二元一次方程组中的妙用讲课稿
二元一次方程组的说课稿（精选10篇）
二元一次方程组的说课稿（精选10篇）二元一次方程组的说课稿（精选10篇）在教学工作者实际的教学活动中，时常需要用到说课稿，借助说课稿我们可以快速提升自己的教学能力。
说课稿要怎么写呢？下面是小编为大家整理的二元一次方程组的说课稿，希望对大家有所帮助。
二元一次方程组的说课稿篇1一、说教材分析1、教材的地位和作用二元一次方程组是初中数学的重点内容之一，是一元一次方程知识的延续和提高，又是学习其他数学知识的基础。
本节课是在学生学习了一元一次方程的基础上，继续学习另一种方程及方程组，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。
通过类比，让学生从中充分体会二元一次方程组，理解并掌握解二元一次方程组的基本概念，为以后函数等知识的学习打下基础。
2、教学目标知识目标：通过实例了解二元一次方程和它的解，二元一次方程组和它的解。
能力目标：会判断一组未知数的值是否为二元一次方程及方程组的解。
会在实际问题中列二元一次方程组。
情感目标：使学生通过交流、合作、讨论获取成功体验，激发学生学习知识的兴趣，增强学生的自信心。
3、重点、难点重点：二元一次方程和二元一次方程的解，二元一次方程组和二元一次方程组的解的概念。
难点：在实际生活中二元一次方程组的应用。
二、教法现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、言道者，教学的一切活动必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。
根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的年龄特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生留出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构。
另外，在教学过程中，我采用多媒体辅助教学，以直观呈现教学素材，从而更好发激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。
二元一次方程组的解法（加减消元法）说课稿
二元一次方程组的解法（加减消元法）说课稿第一篇：二元一次方程组的解法(加减消元法)说课稿二元一次方程组的解法（加减消元法）说课稿尊敬的各位老师，各位同学：大家好！我今天说课的题目是《二元一次方程组的解法》，选自沪教版九年义务教育课本六年级下册第六章第九节，本节两个课时，我今天阐述的是第二课时，用加减消元法解二元一次方程组。
下面我将从教材分析、教法分析、学法分析、教学过程及教学评价等几个方面进行阐述。
一、教材分析1、教材的地位和作用本节课是在学生学习了代入法解二元一次方程组的基础上，继续学习另一种消元的方法---加减消元，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。
教材的编写目的是通过加减来达到消元的目的，让学生从中充分体会化未知为已知的转化过程；理解并掌握解二元一次方程组的最常用的基本方法，为以后函数等知识的学习打下基础.2、教学目标通过对新课程标准的研究与学习，我把本节课的三维教学目标确定如下：知识与技能目标：会用加减消元法解简单的二元一次方程组；理解加减消元法的基本思想，体会化未知为已知的化归思想方法。
过程与方法目标：通过经历加减消元法解方程组，让学生体会消元思想的应用，经过引导、讨论和交流让学生理解根据加减消元法解二元一次方程组的一般步骤。
情感态度及价值观：通过交流、合作、讨论获取成功体验，感受加减消元法的应用价值，激发学生的学习兴趣，同时体会到数学与日常生活的密切联系，认识到数学的价值。
3、教学重、难点由于六年级的学生年龄较小，在学习解二元一次方程组的过程中往往不注意方程组解法的形成过程更无法真正理解消元的思想方法。
而大家都知道，数学的思想与方法才是数学的精髓，是联系各类数学知识的纽带，所以我将本节课的重点和难点确定如下: 重点：用加减消元法解决二元一次方程组难点：在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想为讲清楚重、难点，让学生达到本节设定的目标，我再从教法学法上谈谈。
二元一次方程组解题技巧讲义（补课用）
⼆元⼀次⽅程组解题技巧讲义（补课⽤）⼆元⼀次⽅程组解题技巧讲义（补课⽤）⼀、⼆元⼀次⽅程组的有关概念：1.⼆元⼀次⽅程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程．它的⼀般形式:)0,0(≠≠=+b a c by ax ，如6713,245=-=-n m y x 等是⼆元⼀次⽅程。
2.⼆元⼀次⽅程的解集：适合⼀个⼆元⼀次⽅程的每⼀对未知数的值，叫做这个⼆元⼀次⽅程的⼀个解．对于任何⼀个⼆元⼀次⽅程，令其中⼀个未知数取任意⼀个值，都能求出与它对应的另⼀个未知数的值．因此，任何⼀个⼆元⼀次⽅程都有⽆数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个⼆元⼀次⽅程的解集．3.⼆元⼀次⽅程组及其解：两个⼆元⼀次⽅程合在⼀起就组成了⼀个⼆元⼀次⽅程组．⼀般地，能使⼆元⼀次⽅程组的两个⽅程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做⼆元⼀次⽅程组的解．它的⼀般形式为:=+=+.,222111c y b x a c y b x a 其中2121,,,b b a a 不全为零，如：?==;2,3y x =+=-;5,3n m n m =-=+-;2,53q p q p 都是⼆元⼀次⽅程组。
4.⼆元⼀次⽅程组的解法：代⼊消元法：在⼆元⼀次⽅程组中选取⼀个适当的⽅程，将⼀个未知数⽤含另⼀个未知数的式⼦表⽰出来，再代⼊另⼀个⽅程，消去⼀个未知数得到⼀元⼀次⽅程，求出这个未知数的值，进⽽求得这个⼆元⼀次⽅程组的解，这种⽅法叫做代⼊消元法。
加减消元法：两个⼆元⼀次⽅程中同⼀未知数的系数相反或相等时，将两个⽅程的两边分别相加或相差，从⽽消去这个未知数，得到⼀个⼀元⼀次⽅程，这种求⼆元⼀次⽅程组的解的⽅法叫做加减消元法，简称加减法．例题精析：例1.⽅程ax-4y=x-1是⼆元⼀次⽅程，则a 的取值为（） A 、≠0 B 、≠－1 C 、≠1 D 、≠2 解题思路：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程．选B变式题1：如果（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程，则a ，b 满⾜什么条件？解题思路：∵（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程，∴a －2≠0，b+1≠0，?∴a ≠2，b ≠－1例2.若⼆元⼀次⽅程3x-2y=1有正整数解，则x 的取值应为（）A 、正奇数B 、正偶数D 、0 解题思路：由312x y -=，x 、y 都是正整数，选A变式题1：．⽅程组2528x y x y +=??-=?的解是否满⾜2x －y=8？满⾜2x －y=8的⼀对x ，y 的值是否是⽅程组2528x y x y +=??-=?的解？解：满⾜，不⼀定．∵2528x y x y +=??-=?的解既是⽅程x+y=25的解，也满⾜2x －y=8，?∴⽅程组的解⼀定满⾜其中的任⼀个⽅程，但⽅程2x －y=8的解有⽆数组，如x=10，y=12，不满⾜⽅程组2528x y x y +=??-=?．例3.已知⼆元⼀次⽅程组45ax by bx ay +=??+=? 的解是21x y =??=?,则a+b 的值为____。
浙教版数学七年级下册2.3《解二元一次方程组》(第3课时)教学设计
浙教版数学七年级下册2.3《解二元一次方程组》（第3课时）教学设计一. 教材分析《解二元一次方程组》是浙教版数学七年级下册第3课时的重要内容。
这部分内容是在学生已经掌握了二元一次方程的基础知识上，进一步探究如何解二元一次方程组。
本课时主要让学生了解解二元一次方程组的方法，以及如何运用这些方法解决实际问题。
教材通过具体的案例，引导学生掌握解二元一次方程组的基本步骤和技巧。
二. 学情分析学生在进入这一课时之前，已经学习了二元一次方程的基本概念和性质，对解一元一次方程有了初步的认识。
但学生在解二元一次方程组时，可能会遇到一些困难，如对齐、符号判断等。
因此，在教学中，需要引导学生总结解题规律，提高解题速度和正确率。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握解二元一次方程组的基本方法，能够熟练地运用加减消元法、代入消元法解二元一次方程组。
2.过程与方法目标：通过合作交流，让学生学会如何将实际问题转化为二元一次方程组，并运用解方程组的方法解决问题。
3.情感态度与价值观目标：培养学生勇于探索、克服困难的意志，增强小组合作意识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：使学生掌握解二元一次方程组的基本方法，能够熟练地运用加减消元法、代入消元法解二元一次方程组。
2.教学难点：如何将实际问题转化为二元一次方程组，以及在不同情况下选择合适的解方程组的方法。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、案例教学法等。
通过设置问题，引导学生主动探究；鼓励学生合作交流，分享解题心得；以具体案例为载体，使学生掌握解二元一次方程组的方法。
六. 教学准备1.准备相关案例和练习题，用于引导学生学习和巩固解二元一次方程组的方法。
2.准备课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，引导学生思考如何将其转化为二元一次方程组。
例如，某商店同时出售两种商品，甲商品每件50元，乙商品每件30元，现有一笔钱，问如何选择购买商品才能使花费最接近总额的一半？2.呈现（10分钟）呈现一个具体的二元一次方程组案例，引导学生进行分析。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用1. 引言1.1 介绍换元法换元法是高中数学中常用的一种解题方法，通过对变量进行替换或者转化，可以简化问题的处理过程，使得原本复杂的数学题目变得更容易解决。
换元法在数学中的应用非常广泛，不仅可以用来解一元二次方程、化简代数式，还可以用来证明数学定理、解决几何问题以及处理微积分问题等。
在数学中，换元法是一种灵活的工具，能够帮助我们更加深入地理解数学概念，提高问题解决效率。
通过适当选择变量的替换，可以将原本复杂的问题简化为更容易处理的形式，从而更快地得出解答。
换元法在高中数学学习中起着举足轻重的作用，不仅可以帮助我们更好地掌握数学知识，还可以培养我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
要想在高中数学学习中取得更好的成绩，掌握好换元法这一重要的解题工具是至关重要的。
通过不断练习和理解，我们可以更好地运用换元法解决各种数学问题，提高自己的数学解题能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
1.2 换元法在解高中数学问题中的重要性在高中数学中，换元法可以用于解一元二次方程。
通过适当的变量替换，可以将原问题转化为简单的一次方程问题，从而更容易地求解方程的解。
换元法还可以用于化简复杂的代数式，从而简化计算过程，提高计算效率。
换元法还可以用于证明数学定理。
通过巧妙地引入新的变量，可以简化证明过程，使得证明更加清晰和简洁。
换元法还可以用于解决几何问题和微积分问题，在解决这些问题时发挥着非常重要的作用。
换元法在高中数学解题中的灵活运用可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解题效率和解题能力。
换元法是高中数学学习中不可或缺的重要工具，学生应该认真学习和掌握这一方法，以便更好地应对各种数学问题。
2. 正文2.1 利用换元法解一元二次方程利用换元法解一元二次方程是高中数学学习中非常常见的问题。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
当解一元二次方程时，有时候可以通过换元法来简化计算过程。
用换元法解二元一次方程组课件
换元法适用于难以直接消元或代 入的二元一次方程组，尤其在方 程组系数复杂或无线性关系时更
具优势。
优点
简化计算过程，降低计算的复杂度 ，有时可以化难为易，快速找到答 案。
缺点
需要一定的技巧来选择合适的换元 方式，且对于初学者可能较难理解 和掌握。
06 练习题与答案解析
练习题
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题目1
例题1
解方程组$left{ begin{array}{l} x + y = 7 xy = 10 end{array} right.$
例题2
解方程组$left{ begin{array}{l} x - y = 3 x^{2} - y^{2} = 9 end{ar意事项
在二元一次方程组中，换元法通常用 于消去一个变量，将方程组转化为一 个一元一次方程，从而求解。
换元法的应用场景
当二元一次方程组中存在两个未知数，且其中一个未知数的系数相同或互为相反 数时，可以使用换元法简化求解过程。
当二元一次方程组中存在一个未知数的系数相同或互为相反数时，也可以使用换 元法简化求解过程。
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技巧1
选择新变量时要考虑消元的效 果，尽量选择系数较大的变量
作为新变量。
技巧2
在代回原方程求解时，要注意 验证解的合理性，避免出现不
符合原方程的解。
注意事项1
换元法适用于系数较为简单的 方程组，对于系数复杂或无解 的情况，需要采用其他方法。
注意事项2
在解题过程中要细心，避免计 算错误导致解不正确。
解方程组$left{ begin{array}{l} x + y = 7 xy = 10 end{array} right.$
06 利用换元法解方程(组)
第6讲利用换元法解方程一、方法技巧（一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的.（二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程. 解分式方程、无理方程、整式(高次)方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次.（三）换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径．常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等． 例如：①256011x x x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，可使用局部换元法，设1x y x =+ ②22110x x x x +++=，变形后也可使用局部换元法，设1x t x += ③222212219116x x x x x x x +++++=+++，看着很繁冗，变形整理成222211191116x x x x x x +++++=+++时，就可使用局部换元法. ④()()443182x x +++=，可设()()3122x x y x +++==+，方程变成()()441182y y ++-=，使方程变得易解，这是均值换元法.⑤4326538560x x x x +-++=，符合与中间项等距离的项的系数相等，如46x 与6，35x 与5x 系数相等，可构造1x x +换元，是倒数换元法.⑥32310x x +++=，不易求解，若反过来看，把设x 看作已知数，t ，则方程就变成()()2232110x t x t x ⋅+++-=，数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法.有时根据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简，求解的目的.例如：()()()()()222222223232321321451x x x x x x x x x x -++-+--+--=-+观察发现()()22232321451x x x x x x -++--=-+，故可设232x x u -+=，2321x x v --=，原方程变为()222u uv v u v ++=+，方程由繁变简，可得解.（四）本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧．拓宽学生知识面，培养学生学习和研究数学的兴趣.二、应用举例类型一局部换元（高次方程）【例题1】解方程：42320x x -+=【答案】11x =，21x =-，3x =4x =【解析】试题分析：通过观察发现()242x x =，故设2x y =，原方程变形为2320y y -+=，可把高次方程降次，转化为可解的一元二次方程.试题解析：解：设2x y =，则原方程变形为2320y y -+=， 解得，11y =，22y =，由11y =得21x =，解得11x =，21x =-，由22y =得22x =，解得3x =4x =∴方程的解是11x =，21x =-，3x =，4x =【难度】较易（分式方程）【例题2】解方程：256011x x x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭【答案】134x =-，223x =- 【解析】 试题分析：括号里的分式相同，由这个特点，可以用换元法来解.试题解析： 解：设1x y x =+，于是原方程变形为2560y y ++= 解得13y =-，22y =-当13y =-时，31x x =-+，解得134x =-， 当22y =-时，21x x =-+，解得223x =-经检验134x =-，223x =-均为原方程的根. ∴方程的解是134x =-，223x =- 【难度】较易【例题3】已知实数x 满足22110x x x x +++=，那么1x x+的值是（） 【答案】2-【解析】试题分析： 由于222112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，故设1x t x +=，可解. 试题解析： 解：设1x t x+=， 原方程化简得21120x x x x ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭， ∴220t t -+=，解得11t =，22t =- 由11x x+=化简得210x x -+=，△＜0，无解，舍去 ∴12x x +=- 点评：方程中并无“相同”的部分时，可通过代数式间的关系变形构造出“相同”部分，设元.【难度】一般（无理方程）【例题4103= 【答案】114x =，294x =- 【解析】试题分析： 这是一个根号里含有分式的无理方程，也可通过换元后求解，通过变形发现221x x x ++=，与2x x +互为倒数，y =，则原方程变形为1103y y +=，无理方程化为有理方程.试题解析：()0y y = ＞，则原方程变形为1103y y += 整理得231030y y -+=解得13y =，213y =当13y =3=，解得114x =当213y =13=，解得294x =- 经检验114x =，294x =-都是原方程的根. 原方程的解是114x =，294x =- 【难度】一般【例题510=【答案】112x =+，212x =- 【解析】试题分析：1=，可设两个未知数，利用韦达定理求解. 试题解析：m = n = ，原方程变为1m n +=又∵()2222m n m n mn +=++∴142mn =+，即32mn =- 根据韦达定理，m n 、是方程2302z z --=的根解得112z +=，212z =∵102，∴2z 舍去即m =或n ===解得112x =+，212x =-经检验112x =+，212x =-是原方程的解∴方程的解是11x =+212x =-【难度】一般类型二均值换元 【例题6】解方程：()()443182x x +++=【答案】10x =，24x =-【解析】试题分析：观察方程可知()()312x x +-+=，适合使用均值法换元，故设()()3122x x y x +++==+ 可达到降次目的.试题解析：解：设()()3122x x y x +++==+， 原方程变为()()441182y y ++-=整理得()()()()222221121182y y y y ⎡⎤++--+-=⎣⎦解得210y =-（舍），24y = 即12y =，12y =-由22x +=，得10x =由22x +=-，得24x =-∴原方程的解为10x =，24x =-点评：一般形如()()44x a x b c +++=的方程可用均值法，设22x a x b a b y x ++++==+进行代换，化原方程为双二次方程求解.【难度】较难类型三倒数换元【例题7】解方程：4326538560x x x x +-++= 【答案】112x =，22x =,33x =-，413x =- 【解析】试题分析：本题的特点是：按x 降幂排列后，与中间项等距离的项的系数相等，如46x 与6，35x 与5x 系数相等，可构造1x x +换元. 试题解析：解：显然0x =不是方程的解，故用2x 除方程两边， 整理得221165380x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设1y x x =+，则22212x y x+=-， 上式变为()2625380y y -+-=，整理得265500y y +-= 解得152y =，2103y =-， 由152x x +=，解得112x =，22x = 由1103x x +=-，解得33x =-，413x =- 点评：形如4320ax bx cx bx a ++++=的方程称为倒数方程，其特点是，按某一字母降幂排列后，与中间项等距离的项的绝对值相等，其解法是，用2x 除各项，构造1x x±，使原方程变为一元二次方程得解.【难度】较难类型四常数换元【例题8】解方程32310x x ++=【答案】11x =，2x =，3x = 【解析】试题分析：这是三次方程，且系数中含无理数，不易求解，若反过来看，把设x 设为设t ，则方程就变成关于t 的一元二次方程.试题解析：t=则原方程变形为322210x x t xt t +++-=即()()2232110x t x t x ⋅+++-=整理得)21110x x x ⎡⎤⎡⎤+++=⎣⎦⎣⎦ )2110x x ++=或10x =解得11x =，212x -=，312x -= 【难度】困难三、实战演练类型一局部换元（高次方程）1.已知()()2222138x y x y ++++=，则22x y +的值为（）【答案】1【解析】试题分析：解题时把22x y +当成一个整体考虑，再求解就比较简单.试题解析：解：设22x y t +=，()0t ≥，则 原方程变形为()()138t t ++=，整理得()()510t t +-=，解得15t =-，21t =，∵0t ≥∴1t =∴22x y +的值是1【难度】较易2.解方程：()2222360x x x x +--=【答案】10x =，22x =-，33x =-，41x =【解析】试题分析：观察可知，方程整理后()()2222320x xx x +-+=，可用换元法降次. 试题解析：解：方程整理后()()2222320x xx x +-+= 设22x x y +=，则原方程变为230y y -= 解得10y =，23y =由10y =，得220x x +=，解得10x =，22x =-由23y =，得223x x +=，解得33x =-，41x =∴原方程的解是10x =，22x =-，33x =-，41x =【难度】较易3.方程()()22235320x x ---+=，如果设23x y -=，那么原方程可变形为（） A ．2520y y -+= B.2520y y +-= C.2520y y --= D.2520y y ++=【答案】D【解析】试题分析:注意到23x -与23x -互为相反数，只有符号要变化，可利用换元法变形.试题解析：解：设23x y -=，则23x y -=-用y 表示23x -后代入方程得2520y y ++=故选D.【难度】较易4.解方程：()22213x x +=+【答案】11x =，21x =- 【解析】 试题分析：1.以21x +为一个整体换元，因此要对方程进行变形使其含有21x +.2.把方程展开成标准的双次方程，再对2x 进行换元.试题解析：解法一：原方程可化为()()2221120x x +-+-=，设21x y +=，得220y y --=， 解得12y =，21y =-由212x +=，解得11x =，21x =-由211x +=-，22x =-无实根∴方程的解是11x =，21x =-解法二：由方程得4220x x +-=，设2x y =得220y y +-=，解得11y =，22y =-（舍去）由21x =，解得11x =，21x =-∴方程的解是11x =，21x =-点评：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元对象.在解方程的过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到将次目的的换元方法都可以应用. 【难度】较易（分式方程） 5.解方程2261x x x x=+++ 【答案】12x =-，21x =【解析】试题分析：方程左边分式分母为2x x +，可将右边2x x +看成一个整体，然后用换元法解. 试题解析：解：设2x x y +=，则原方程变形为61y y=+ 解得13y =-，22y =当13y =-时，23x x +=-，△＜0，此方程无实根当22y =时，22x x +=，解得12x =-，21x =经检验，12x =-，21x =都是原方程的根.【难度】较易【解析】试题分析：整理后发现()222x x x x +=+，故()()2211x x x ++=+，就可换元解题了 试题解析：设()21x y +=，则整理得220y y --=解得12y =，21y =-（舍去）【难度】较易7.解方程222212219116x x x x x x x +++++=+++【答案】121x x ==，332x -+=，432x --= 【解析】试题分析：观察到()2222222112211111x x x x x x x x x x x x +++++++==+++++++，设2211x x y x ++=+，原方程可化为11916y y ++=，由繁变简，可解. 试题解析：解：原方程变形得222211191116x x x x x x +++++=+++， 即22221113116x x x x x x ++++=+++ 设2211x x y x ++=+，则原方程变为1136y y += 整理得261360y y -+= 解得132y =，223y = 由132y =得221312x x x ++=+，解得121x x ==由223y =得221213x x x ++=+，解得332x -=，432x -=经检验121x x ==，3x =4x =.∴原方程的解是121x x ==，332x -+=，432x --= 【难度】一般8.解方程：22272720x x x x+-++=【答案】11x =，21x =，312x =-，42x = 【解析】试题分析： 观察可发现22222711272272x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而222112x x x x ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，故可设1x x -为辅助元，可得解. 试题解析： 解：将原方程转化为21122720x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦设1x y x-=，则 原方程转化为22760y y -+=解得12y =，232y =当12y =时，12x x-=，解得11x =，21x = 当232y =时，132x x -=，解得312x =-，42x =经检验11x =21x =312x =-，42x =都是原方程的解所以，原方程的解是11x =，21x =，312x =-，42x = 【难度】一般9.解方程:222322322x x x x-+=-【答案】113x +=，213x =【解析】试题分析： 这个方程左边两个分式互为倒数关系，抓住这一特点，可设2232x y x =- 试题解析： 解：设2232x y x =-，则原方程可化为12y y +=， 即2210y y -+=∴()210y -=，解得1y = 由22132x x =-，得23220x x --=解得：1x =，213x =经检验1x =，2x =都是原方程的根 点评：解有倒数关系的分式方程时，常把原方程中的一个分式作为整体进行换元，换元时要注意分子、分母互换时分式可以用一个新元和它的倒数来表示，即形如()()0b a f x c f x ++=的方程，可设()y f x = 【难度】较易10.解方程：222122272221x x x x x x +=+-+-+-【答案】11x =-21x =-【解析】试题分析：观察方程的分母，发现各分母均是关于x 的二次三项式，仅常数项不同，抓住这一特点，可设22y x x =+ 试题解析：解：设22y x x =+，原方程可化为 122721y y y +=---，即()()12721y y y -=---， 即2120y y --=，解得：14y =，23y =-由224x x +=，解得11x =-21x =-由223x x +=-，△＜0，方程无解经检验11x =-21x =-.∴方程的解是11x =-21x =-【难度】较难11.解方程：222111011102101310x x x x x x ++=++++-+ 【答案】15x =，22x =，35x =-，42x =-【解析】试题分析：观察方程的分母，发现三个分母都是关于x 的二次三项式，仅一次项不同，抓住这一特点，可设2210y x x =++试题解析：解：设2210y x x =++， 则原方程可化为1110915y x y y x ++=+-整理得：224450y xy x --=解得：19y x =，25y x =-由22109x x x ++=，解得15x =，22x =由22105x x x ++=-，解得35x =-，42x =-经检验知，它们都是原方程的解.点评：以上三个例子可以看出，换元时必须对原方程仔细观察、分析，抓住方程的特点，恰当换元，花繁为简，达到解方程的目的.【难度】较难（双元换元） 12.解方程：213134211x x x x x x --⎛⎫+= ⎪++⎝⎭【答案】11x =，26x =，33x =，43x =【解析】试题分析：本题整理后2213134211x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，发现221313131313111x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+++== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 设2131x x a x -=+，2131x b x +=+，可得13a b +=，42ab =，利用韦达定理可求解. 试题解析： 解：设2131x x a x -=+，2131x b x +=+ 可得13a b +=，42ab =由韦达定理，知a ，b 是方程213420z z -+=的两根解得16z =，27z =即67a b =⎧⎨=⎩或76a b =⎧⎨=⎩ 即2213611371x x x x x ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩或2213711361x x x x x ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩ 经检验11x =，26x =，33x =，43x =.所以方程的解是11x =，26x =，33x =，43x =【难度】较难13()()()()()222222223232321321451x x x x x x x x x x -++-+--+--=-+ 【答案】131x x ==，22x =，413x =-【解析】试题分析： 观察发现()()22232321451x x x x x x -++--=-+，故可设232x x u -+=，2321x x v --=，原方程变为()222u uv v u v ++=+，方程由繁变简，可得解 试题解析：解：∵()()22232321451x x x x x x -++--=-+设232x x u -+=，2321x x v --= 原方程变为()222u uv v u v ++=+∵()2222u uv v u v ++=+∴0uv =，即0u =或0v =即2320x x -+=或23210x x --=解得11x =，22x =，31x =，413x =-∴方程的解是131x x ==，22x =，413x =- 点评：对于本题这样繁冗的方程，直接展开求解不可取，可通过观察，找到代数式间的联系，不妨设两个辅助元，将方程变形，目的是使方程有繁变简，可解.【难度】较难（无理方程）14.1=【答案】1x =-【解析】试题分析：解无理方程的基本思想是将其转化为有理方程，通常是设根式为元，本题的两根式存在()()1+12x x +=+的关系，故设一个辅助元即可.试题解析：解：设y =21x y +=，即221x y +=+1y =1y =-两边平方，并整理得0y =0=，解得1x =-经检验1x =-是原方程的解点评：解无理方程时，常把方程中的一个含有未知数的根式作为整体换元，达到化去根号转化为可解的方程的目的.【难度】一般15.解方程组：183x y +=⎧⎪= 【答案】191x y =⎧⎨=-⎩【解析】试题分析：此题是整式方程与无理方程合并的方程组，解题时应从无理方程出发，将其化为有理方程求解.试题解析：u =v =，则原方程组可化为：22173u v u v ⎧+=⎨-=⎩()()12 由（2）得，3u v =+，（3）将（3）代入（1），得()22317v v ++=，解得，11v =，24v =-∴4u =得41==，解得191x y =⎧⎨=-⎩ 经检验，知191x y =⎧⎨=-⎩是原方程组的解 ∴原方程组的解为191x y =⎧⎨=-⎩ 点评：妙用换元法，将无理方程组化为有理方程组，从而把繁杂而生疏的问题转化为简单而熟悉的问题.【难度】一般16.解方程：22650x x --=【答案】15x =，22x =-【解析】试题分析：由于根号里面23x x -与根号外面226x x -，对应系数成比例，故可以将其变形()223130x x ---=，不难找到辅助元.试题解析：y =，则原方程可以化为22530y y --= 解得112y =-（舍去），23y =3=，解得15x =，22x =-经检验15x =，22x =-是原方程的解.点评：以前学过的取平方去根号法解无理方程，是种普遍方法.现在的换元法必须构造出根号内外两个相同的式子才行.【难度】较难类型二均值换元17.解方程：()()()()214719x x x x -+++=【答案】152x -=，252x --=，352x -+=，452x --= 【解析】试题分析：方程的左边是四个二项式乘积，故展开求解不可取，应通过观察找突破口，左边重组后，()()()()2714x x x x -+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2251454x x x x =+-++，可设元求解. 试题解析：解：原方程变形后()()()()271419x x x x -+++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦整理后得()()225145419x x x x +-++=设()()22251454552x x x x y x x +-+++==+-方程可变为()()9919y y -+=，即2100y =解得110y =，210y =-由110y =得25510x x +-=，解得152x -+=，252x -=由210y =-得25510x x +-=-，解得352x -=，452x --=∴方程的解是1x =，2x =352x -=，4x = 点评：本题也可设25x x +为辅助元，但没有均值法计算快捷，恰当的重组变形得到()()()()2714x x x x -+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦是解本题的关键.【难度】一般18.解方程：()()()2673416x x x +++=【答案】123x =-，253x =- 【解析】试题分析：方程左边四个二次项的乘积，显然展开求解不可取，可尝试变形后()()()267686672x x x +++=，取均值，将其由繁变简.试题解析：解：方程变形为()()()267686672x x x +++= 设()()()()67676866674x x x x y x +++++++==+原方程变成()()21172yy y +-= 整理得42720y y --=解得29y =或28y =-（舍去）∴13y =，23y =-即673x +=或673x +=- 解得123x =-，253x =- 【难度】较难类型三倒数换元19.解方程：4322316320x x x x +-++=【答案】12x =-，22x =-32x =，412x = 【解析】试题分析：此题符合倒数方程的特点：按x 降幂排列后，与中间项等距离的项的系数相等，两边同时除以2x ，可构造1x x+为元得解. 试题解析：解：∵这是个倒数方程，且知0x ≠，两边除以2x ，并整理得221123160x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设1x y x +=，则22212x y x+=- 原方程化为223200y y +-=解得14y =-，252y =由14y =-得14x x+=-，解得12x =-，22x =- 由252y =得152x x +=，解得32x =，412x =∴方程的解是12x =-，22x =-32x =，412x = 【难度】较难20.解方程((5598y y ++-= 【答案】2y =±【解析】试题分析：此题无法用通常的方法解决，但注意到5+5-互为倒数且指数均为y ，因此，利用换元法换元后再利用根与系数的关系就可以顺利解决此题了.试题解析：解：设(5y a =+，(5y b =-， 则981a b ab +=⎧⎨=⎩ a 、b 可看作29810t t -+=的根解得149t =+，249t =-则4949a b ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩4949a b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩∴(((2254955y a ±=+=±=±=+ ∴2y =±点评：本题是指数方程，不是中考考点，但解法巧妙，可用来拓展思路，不妨试试！【难度】较难。
活用方法,学好二元一次方程组
活用方法，学好二元一次方程组在解答与二元一次方程组有关的题目的过程中，许多同学往往只按照老师教的方法算出得数，殊不知，很多题目可以从其它的角度考虑，从其它的方法去解，可以让你的思路大开，提高你驭驾知识的能力。
一、多方面思考，活用等量关系。
在利用方程解决实际问题时，最关键之处在于找出等量关系，其中，实际中的等量关系又往往是多个的，在解决此类问题中，我们可以利用不同的等量关系得出不同的解决方法。
以七年级下册第10页，练习第一题为例，结合列表找等量关系。
题目：学校田径队的小刚在400米跑测试时，先以6米/秒的速度跑完了大部分路程，最后以8米/秒的速度冲刺到达终点，成绩为1分零5秒，问小刚在冲刺阶段花了多少时间？分析：本题关于路程、时间、速度之间的关系，可以用它们三者之间的关系来列方程，不管是路程、时间还是速度，又可分成前部分与后部分，还有总路程，与总时间。
所以，可以用总路程与各路程之关的关系，又可以用总时间与各时间之间的关系，还可以用对应的路程、时间、速度之间的关系。
其中几个等量关系可以如下：（1）前段路程+后段路程＝总路程（2）前段时间+后段时间＝总时间（3）前段路程＝前段速度×前段时间（4）后段路程＝后段速度×后段时间如果设冲刺阶段花了x秒，1分零5秒＝65秒示出来，要知前段路程，得先表示出前段时间，前段时间利用前段时间+后段时间＝总时间，可表示出前段时间为：(65－x)秒。
前段路程利用前段路程＝前段速度×前段时间，则前段路程为：6（65－x）米。
后段路程利用后段的时间、路程、速度之间的关系，可得后段路程为：8x米。
根据表格及相等关系，就可列出如下方程：6（65-x）+8x=400这里如果把等量关系写成“前段路程＝总路程－后段路程”，则对应的方程又可以写成：6(65-x)=400-8x当然，还可以再变化成其它形式的方程。
)68400x-+x=65x 表示前段时间和后段路程，“前段时间＝总时间－后段时间”，即(65-x)秒。
《加减消元——解二元一次方程组》评课稿
《加减消元——解二元一次方程组》评课稿授课人评课人《加减消元——解二元一次方程组》评课稿聆听了王老师的课。
下面就王老师的《加减消元——解二元一次方程组》这一课谈谈自己的看法。
王老师这堂课充满了活力，渗透了新的教育理念，教法灵活，趣味盎然。
学生在课堂中能认真地倾听，自由地表达，灵活地运用，整堂课如行云流水，步步流畅，充分地达到了知识的渗透，能力的培养，情感的交流，有效地训练了学生敏锐地观察力，发展了学生的思维能力，激发了学生的想象力和创造力。
从教师个人素质上看，教师的教学水平，组织课堂教学的能力，激发学生兴趣的手段都非常高，正因为有王老师的指导，学生在课堂中肯学，乐学，老师教态自然、亲切，明朗活泼，富有感染力；仪表端庄，举止从容；课堂语言准确清楚，快慢适度，条理性强。
老师的一举手，一投足，一个眼神，都深深地感染着学生，给学生极大的鼓舞，让学生充满了朝气。
从教学程序上看，王老师首先复习回顾了用代入消元法解决二元一次方程组，然后抛出不用代入法能不能解决方程组这个问题。
学生探究这个过程，发现消元的根本，然后之前有了找小系数的经验，本节课继续找系数相对合适的进行消元。
最后学生总结方法的基本步骤，师生交流确定口诀。
教学思路清晰，结构较严谨，环环相扣，过渡自然。
当然，数学是一门逻辑性较强的科目，任何好的理念和设计在实际的教学过程中总会留下一些遗憾：这节课也不例外，授人以鱼，不如授人以渔。
教学过程中有两点，王老师没有注意到。
有些方程组需要经过变换才能正常使用口诀，比如带字母的、含有比例的、含有小数系数的。
不用求出xy分别等于几，就能求出关于xy的代数式的最终值，这就是整体代入的技巧。
用加减消元法解二元一次方程组也有技巧，能用加法的最好不用减法，因为容易出现去括号等错误。
当然，金无足赤，课无完美。
但瑕不掩玉，王老师这节课仍是一堂体现新课程理念的成功案例，具有一定的借鉴意义。
课堂教学无论怎样改，教师都应该以学生能力发展为重点，把促进学生终身发展放在首位，一切与之相悖的做法和想法都摒弃。
巧妙转化_化繁为简——换元法在解题中的应用探究
巧妙转化化繁为简——换元法在解题中的应用探究江苏省南通市通州区实验中学（226300）洪钰［摘要］换元法是最常用的一种数学解题方法，应用换元法可以将原来的变量换为新的变量，将复杂的数学题目简单化。
在应用换元法的过程中，教师应从学生的学习实际出发，引导学生转换思维。
教师应设计多样化的数学教学活动，将换元法的应用融入课堂教学的各个环节中。
［关键词］换元法；解题；转化［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2023）05-0020-03换元法为学生打开了全新的解题思路，应用此解题方法不仅可以锻炼学生的思维能力，而且能促进学生综合素养的提升。
在初中数学教学中，教师要在各个教学环节中融入换元思想，指导学生灵活应用换元法，并学会用辩证的眼光看待数学问题。
一、换元法的应用注意点（一）注意应用性教师在指导学生使用换元法时，需要注意题目和题型，并非所有的数学题都适合应用换元法。
换元法适用于求值问题、因式分解、不等式证明、函数问题等，在应用换元法解题时教师应引导学生正确分析题目类型，灵活换元和转换变量。
在教学中，教师应有效渗透换元思想，帮助学生树立换元理念，让学生在遇到复杂的数学问题时能够学会应用换元法进行正确解答。
中考数学试卷中设置了很多综合性题目，对学生的解题能力有较高的要求，换元法的灵活应用，可以让学生更好地应对考试。
（二）注重结构性教师在指导学生应用换元法解题时，应对题目的结构予以着重关注。
每一道数学题均具有独特的内在结构，在应用换元法前学生需要找到问题的解题规律，如此才能取得更好的解题效果。
整体换元、均值换元以及三角换元适用于不同结构的初中数学问题，应用于不同题型时的作用也存在差异。
比如可以通过三角换元将根号问题转化为三角函数的最值问题。
需要注意的是，换元会将原函数的自变量改变，所以换元法不适用于定义域或奇偶性问题。
在应用换元法解答数学题目时，首先是设新元，将合适的辅助元引入题目中；其次是换元，将原题中的旧元替换为新元；然后是求解新元，具体化题目中的数量关系；最后是求解原题中的未知元。
《二元一次方程组的应用》评课稿
《二元一次方程组的应用》评课稿代大伟老师的课很值得借鉴与思考，他的创造性源于踏踏实实的教学功底，源于对数学课程及教学独到的理解和感悟，代大伟老师在本课设计中不仅能关注到学生的探究“行动”，而且还能使教师关注到学生探究中的“心动”。
亮点一：巧妙的问题链设计对待数学问题的设计精与巧的关键之所在是教师能否抓住问题之间的内在联系进行或纵向的引申与推广，或横向的联系与比照，使问题环环相扣，步步为营，深入浅出，异彩纷呈，使学生在数学问题的思考过程中，尝试进行观察、分析、归纳、概括等活动。
让学生在课堂上扬起他们思维的风帆，逐步训练他们分析问题和解决问题的能力。
问题设计的关键不在于“问题”数量的多与少，而在于“问题”设计的拙与巧，老师整节课问题链设计一脉相承，层层深入，为知识的探究和学生的自我构建起到了很好的辅助作用。
亮点二：在“经历体验”中渗透数学转化思想的设计转化思想实质上是“将未知迁移到已知上，将实际问题转化为数学问题解决”的数学策略。
数学中的转化思想是一种比较重要的数学思想，有利于提高学生解决问题的能力，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来将产生深刻和久远的影响。
亮点三：在探究合作中转变学习方式的设计倡导“主动、探究、合作”的学习方式，引导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力．通过让学生亲历并体验探究过程，使他们能在深入思考和交流讨论中获得感悟与深入理解，本节课的设计合作与独立并重，既培养了学生的合作精神，又培养了学生的独立思考能力．实际上，新课程与新学习方式不仅仅会对学生的发展产生影响，它也会对教师的发展产生不可估量的影响，因为学生学习方式的转变是以教师教学行为的转变为前提的．它应该有一个更高、更大、更令所有人振奋的目标：促进教师与学生共同发展．代老师在本节课中以问题为载体巩固所学知识并为学生提供参与探究合作的时间和空间.亮点四：在实践应用中引导学生学习的设计代老师能在这次活动中设计本节课，也体现了他踏踏实实深入研究教学的风范，代老师这节课的设计不是向旧教材似的直接给出了例题，包办代替分析讲解，而是先创设了情境一步一步地引导学生让学生自己去感悟、理解，本节课代老师还从学情的角度去设计思考,力尽所能的让学生走进数学、亲近数学，以巧妙缜密、自然流畅的设计风格让学生感到学习数学象呼吸一样自然轻松，并通过数学的学习体会生命成长的愉悦感受．本节课的设计是比较成功的，体现了生活化的数学（生动、鲜活、应用的数学）；活动探究的数学（可参与、可操作、可实践的数学）；主体觉醒的数学（自觉、能动、体现自身价值的数学），最终为学生打造一个有价值的，可操作的平易近人的“平凡”的数学，本节课的教学设计也体现了很成型的教学风格．教学是遗憾的艺术，只要是真实的就是有缺憾的，有缺憾是真实的一个指标。
换元法解二元一次方程组
换元法解二元一次方程组1、观察方程，选择适当的方法解方程组32522(32)28x y x x y x +=+⎧⎨+=+⎩2、()()⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-++254622y x y x y x y x3、若方程组 2313,3530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩ 的解是 8.3,1.2,a b =⎧⎨=⎩ 则方程组2(2)3(1)13,3(2)5(1)30.9x y x y +--=⎧⎨++-=⎩的解是（ ）（A ） 6.3,2.2x y =⎧⎨=⎩ （B ）8.3,1.2x y =⎧⎨=⎩（C ）10.3,2.2x y =⎧⎨=⎩（D ）10.3,0.2x y =⎧⎨=⎩ 4、三个同学对问题“若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解。
”提出各自的想法。
甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”。
参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 。
5、探究题: 某同学 解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=--+6174)(36111y x y x y x y x 如下： 解：设A y x =+1, B y x =-1 则原方程组变化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-6174361B A B A 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3121B A ∴⎩⎨⎧=-=+32y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2125y x 经检验⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2125y x 是原方程组的解 (1)你认为他的解答对吗？运用了_ ______思想方法。
(2)请你模仿他的解题方法，解方程组。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=-++6523232y x y x y x y x 二元一次方程组的解法1、若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+=-n m y x m y x 2的解是⎩⎨⎧==12y x ，则n m -为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．22、如果关于x 的方程2324+=-x m x 和m x x 32-=的解相同，则m = 。
人教版七年级数学下册8.1《二元一次方程组》说课稿
人教版七年级数学下册8.1《二元一次方程组》说课稿一. 教材分析《二元一次方程组》是人教版七年级数学下册第8.1节的内容，主要包括二元一次方程组的定义、解法及其应用。
这部分内容是学生学习方程组的基础，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
在教材中，通过引入实际问题，引导学生认识和理解二元一次方程组，并运用数学方法解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了整式的加减、一元一次方程的解法等基础知识。
但七年级的学生对抽象的数学概念和逻辑推理能力尚在培养中，因此，在教学过程中，需要注重引导学生从具体问题中提炼出数学模型，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握二元一次方程组的定义、解法及其应用，能运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过合作学习、探究学习，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 说教学重难点1.重点：二元一次方程组的定义、解法及其应用。
2.难点：如何引导学生从具体问题中提炼出数学模型，以及运用方程组解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学、案例教学、合作学习等方法，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，结合数学软件、网络资源等现代教育技术，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入：通过生活实例引入二元一次方程组的概念，激发学生学习兴趣。
2.新课导入：讲解二元一次方程组的定义、解法，引导学生掌握解题方法。
3.案例分析：分析实际问题，引导学生运用方程组解决问题。
4.小组讨论：学生分组讨论，总结解题方法，分享解题心得。
5.练习巩固：布置练习题，让学生巩固所学知识。
6.课堂小结：总结本节课的主要内容，强调重点知识点。
7.课后作业：布置课后作业，巩固所学知识，提高解题能力。
谈谈换元法在解题中的妙用
数学篇解法荟萃在解答比较复杂的代数问题时，我们通常会采用换元法来帮助我们理清题目中的数量关系，使问题化难为易、化繁为简，然后顺利获解.运用换元法解题首先要根据问题的特征或数量关系引进新的辅助元来替换原问题中的数、字母、式子等，然后求出新元的值，再将求得的值带回所设的换元式，带入替换关系中，求出原来的未知量或变量，最后对解出的答案进行检验.本文主要介绍换元法在因式分解、解方程以及整式运算中的应用.一、换元法在因式分解中的妙用当我们在进行因式分解时，如果一个多项式的项数、字母较多，次数较高或含有代数式乘积的项时，可对多项式中某些相同的部分设辅助元进行代换，让整个题干的因式项数减少或因数次数降低，从而方便解题.例1分解因式(x 2+4x +6)(x 2+6x +6)+x 2.分析：本题中所提供的因式中存在一部分相同的多项式x 2+6，因此在进行因式分解的过程中可以将这部分的多项式利用新元代替，设：x 2+6=y ，因此原式中的x 2+4x +6=4x +y ；x 2+6x +6=6x +y .解：设x 2+6=y ，原式(x 2+4x +6)(x 2+6x +6)+x 2=(4x +y )(6x +y )+x 2，化简得出y 2+10xy +25x 2=(y +5x )2，将x 2+6=y 代入(y +5x )2可得，（x 2+6+5x ）2=[（x +2）（x +3）]2=（x +2）2（x +3）2.评注：用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新的变元可以一起变形.换元法的本质就是简化多项式．二、换元法在解方程中的妙用当我们遇到分式方程、无理方程、高次方程等直接求解比较困难的方程问题时，可考虑运用换元法，把方程中的某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，通过变量代换实现降次、无理式转化为有理式、分式转化为整式的目的，从而使较繁难的问题变为较简易的问题.例2解方程式2x 2-6x -1+3x 2-3x +2=0.分析：要利用换元法解答这题，首先需要让根号内的代数式和根号外的部分代数式相同.如果将x 2-3x +2设为y ，那么就可以将2x 2-6x -1化成与根号内相同的式子，以此来谈谈换元法在解题中的妙用盐城市新洋初级中学林正坤32数学篇解法荟萃换元，就可以把这个无理方程转化为有理方程.解：设x 2-3x +2=y ，那么x 2-3x +2=y 2.原方程式2x 2-6x -1+3x 2-3x +2=0可化为2(x 2-3x +2)+3x 2-3x +2-5=0，将新元代入可将方程式转换为2y 2+3y -5=0，解得y 1=-52，y 2=1，当y =-52的时候，原方程无解，舍去，所以y =1，即x 2-3x +2=1，同理得到x 2-3x +2=1.解得x 1=3-5；x 2=3+5.评注：如果用开平方的方式解答无理方程，会导致整个方程的次方数过高，使解题过程更加困难.因此我们可以根据题目的要求和代数式的特性，利用换元法把无理方程巧妙地转化为有理方程.三、换元法在整式运算中的妙用在整式运算中，对一些较为复杂的题目，直接求解显然不易入手时，同学们可以考虑整体换元.整体换元的关键是要构造元和设元，就是要将已知式中结构相同的某个部分看作一个整体，用一个新的变量去替代它，然后再结合题目形式进行变形求值，从而使问题得以简化.例3求（1+2+3+…+998）（2+3+4+…+999）-（1+2+3+…+999）（2+3+4+…+998）的值.分析：从整式的整体上来看，我们需要找寻其中的共同点，将这些共同点利用新元进行代替，让整个式子得以简化.通过观察我们可以将第一个式子（1+2+3+…+998）设为x ，将（1+2+3+…+999）设为y ，然后就可以将其带入后面两个式子中将整式进行简化.1+2+3+…+999=y .将x ,y 代入原式后可得x (y -1)-y (x -1)=(xy -x )-(xy -y )=y -x =999.评注：本题中每一个代数式都可以用新元替代原有的式子，但是取不同的代数式换元后，运算难度会有所不同，所以我们在利用换元法解题的时候需要仔细观察，寻找规律，找到最合适设置新元的位置代入换算.上期《<勾股定理>拓展精练》参考答案1.B ；2.D ；3.A ；4.C ；5.(0,0)或(94,0)或(-3,0)；6.16；7.7；8.10，4；9.解：（1）∠BAC =90°；理由略；（2）当△ACP 为等腰三角形时，有三种情况：①当AC =AP 时，CP =2CD =2；②当AC =CP 时，∵AC =12+22=5，∴CP =5；③当CP =AP 时，CP =12BC=2.5；因此，当△ACP 为等腰三角形时，CP 的长为2或5或2.5．10.解：（1）设半圆O 的半径为R ，则R =2，作弦EF ∥AD ，且EF =2.8，OH ⊥EF 于H ，连接OF ，图略，由OH ⊥EF ，得HF =1.4，又OH =22-1.42=2.04>1.96=1.4，∴此时隧道的高AB +OH >2.6+1.4=4米，∴这辆卡车能通过此隧道；（2）当车高3.9米时，OH =3.9-2.6=1.3米，此时HF =22-1.32=2.31米，∵通道正中间有一个0.4米宽的隔离带，∴HM =0.2米，。
整体换元法解二元一次方程组
整体换元法解二元一次方程组在数学学科中，方程组的求解是一个极为重要且基础的问题。
对于二元一次方程组，我们通常采用的方法是消元法，即利用代数运算将其中一元消去，从而求得另一元的解。
然而，在一些特殊情况下，消元法往往效率不高，这时我们可以采用其他方法求解方程组。
其中一种被广泛运用的方法是整体换元法，今天我们就来详细地讲解一下整体换元法在解二元一次方程组中的应用。
1. 方程组的基本形式二元一次方程组的一般形式为：$\begin{cases} a_{1}x+b_{1}y=c_{1} \\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\end{cases}$其中 $a_{1}, b_{1}, c_{1}, a_{2}, b_{2}, c_{2}$ 都是已知的数， $x,y$ 是未知数。
我们需要求出 $x, y$ 的值。
2. 整体换元法的基本思路整体换元法作为解方程组的一种方法，其基本思路是将某一方程式中的一元或两元用另一方程中的一元或两元表示出来，然后代入另一方程中，从而得到一个仅含一元 (或常数) 的一次方程，从而解出该一元(或常数)，再代入定义式求出另一元。
3. 完整的解法过程下面以一个具体的例子来说明整体换元法的解法过程。
假设我们有以下方程组：$\begin{cases} 3x+4y=20 \\ 5x-2y=4 \end{cases}$首先，我们将第一条式子中的 $y$ 用第二条式子中的 $x$ 和 $y$ 表示出来，得到：$4y=20-3x$$y=\frac{20-3x}{4}$将 $y$ 代入第二条式子中，得到：$5x-2\cdot \frac{20-3x}{4}=4$$5x-10+\frac{3}{2}x=4$$\frac{13}{2}x=14$$x=\frac{28}{13}$将 $x$ 的值代入第一条式子中，得到：$3\cdot \frac{28}{13}+4y=20$$4y=\frac{200}{13}-\frac{84}{13}$$y=\frac{29}{13}$于是，我们得到了 $x=\frac{28}{13}, y=\frac{29}{13}$，这就是原方程组的解。
用换元法解二元一次方程组
“把水倒掉”,这就是化归,这就 是数学家常用的方法. 换元法是初中数学的一种重要解题方 法,是化归思想在数学中的一种体现. 通过换元, 可把复杂问题简单化, 把 未知转化为已知或可知. 下面我们举例说明换元法在解方程组 中的应用.
复习方程组的解法：
一、找两位同学解下列方程组
5m n 16 (1) 3m 5n 14 5a b 16 (2) 3a 5b 14
x 1 3 x 8 1 ，解得 1 y 1 2 y 1
即为原方程组的解.
C
ax by c x 3 思考题2.已知方程组 的解为 . y 4 m x ny p
3ax 2by c 1解方程组 . 3m x 2ny p a( x 1) 2by c 2解方程组 . m( x 1) 2ny p 3ax 2by 5c 3解方程组 . 3m x 2ny 5 p
a ( x 1) b 2 y c 解：原方程组可化为 . m ( x 1) n 2 y p
x 1 3 x 4 由已知得 , 解得 2y 4 y 2
3ax 2by 5c 3解方程组 . 3m x 2ny 5 p
两式相加得：11a=22,a=2. 将a=2代入方程1得:b=1.
a 2 ∴原方程组的解是 . b 1
5( x 2) (3 y ) 16 练习 1.解方程组 3( x 2) 5(3 y ) 14
解：设x-2=m,3-y=n.则原方程组可化为
5m n 16 m 3 ，解得 . n 1 3m 5n 14 x 2 3 x 5 ，解得 y 2 3 y 1
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解二元一次方程组的基本思路是消元，即通过运用代入法和加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出方程组的解.而对于具有某些特点的二元一次方程组，如果仍按常规方法不仅运算量大，而且容易出错.若能根据题目的特点，适时进行换元，不仅可以减少运算量，而且可以又快又准地解出方程组.
一、单参数换元
例1解方程组
解：由①，得 .
设 ，则 ， ，
代入②，得 .
∴ .
∴ ， .
∴原方程组的解是
二、双参数换元
例2解方程组
解：设 ， .
原方程组可化为 解得
∴ 即 解得
∴原方程组的解为
例3解方程组
解：设，.
原方程组可化为解得
∴，解得
三、均值换元法
例4解方程组解：由①可设源自， ，即 ， ，代入②，得
∴ .
∴
∴原方程组的解为
说明：本题若按常规设法，可设 ， ，此时 ， ﹒由于出现了分数，给运算带来麻烦，因此设 ， ，此时 ， ，没有出现分类，使运算变得简捷.
换元的作用：①降次、②化分式方程为整式方程、③化繁为简。