数学实验手册案例解读七上
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2
计算机模拟
π
实验2 在数轴上表示无理数
实验重点突出两个层面： 一是构造面积为2的正方形和直径为1的圆； 二是在数轴上表示出正方形的边长和圆周长。 实验主要以两种方式展开： 一是利用附录中的图形实物操作； 二是利用几何画板软件模拟探究。 实验抓住一个关键词： 表示——数形结合
案例：‚同弧所对的圆周角与圆心角的性质‛ 先让学生自己利用《几何画板》画出弧AB所对 的圆周角∠ACB、圆心角∠AOB，然后度量出它们 的度数，提问这两个角度在数量上有什么的关系？ 这个关系是特殊的吗？偶然的吗（如图2-1）让 学生拖动点C，改变点C的位置，提问∠ACB、 ∠AOB度数变化了吗？数量关系变化了吗（如图 2-2）．再改变弧AB的大小，结论仍然成立吗？
实验2 在数轴上表示无理数
设计意图： 旨在为学生直观理解无理数也可以用数轴上的点 来表示。实验由两个小实验构成，其中每个小实验又 采用实物操作和计算机模拟两种方式进行操作探究， 互为补充、相得益彰。对无理数的认识与理解，原先 八年级的学生尚感困难，现在面对七年级的学生，当 属难上加难。因此，拟通过学生动手实验，让他们在 经历中感受、在活动中体会、在交流中提升、在总结 中理解。 实物操作
实验1 感受无理数
教学建议： 5.可进行实验工具改进。 （1）将两枚骰子的六个面分别标上0、1、2、3、4、 5六个数字，同时抛掷这两枚骰子，则朝上点数之和 有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，这11个 数字出现的概率分别是，，，，，，，，，，，当和 为10时放弃重新抛掷．虽然数字之和出现的概率不同， 但0～9这十个数字都有可能出现．记录结果，得到的 无限不循环小数就有一定的普遍性． （2）做一枚正十二面体的骰子，在其中十个面上分 别标上0～9这十个数字，空两个面．这样随机抛掷这 枚骰子，进行实验，0～9这十个数字出现的概率相同， 掷到空的一面朝上时放弃重新抛掷．记录结果，也可 得到具有普遍性的无限不循环小数．
中学数学实验的特点
数学实验一般具有可操作性和实践性特点，注重实 测与直观,让数学在‚实验‛的过程中对所研究的内容 ‚可视化‛,让学生从中获得数、形的观念,并逐步对其适 度抽象,进行更高层次上的‛再实验‛或‚再创造‛过程, 进而体会数学的研究方法和构成体系。因此，‚数学实验‛ 可以有效帮助转变学生的学习方式，使学生逐步学会数学 思维的物质实践方法,掌握数学研究的规律,培养理性思考 问题的习惯,能够解决学科的和实际生活的问题,并检验和 论证问题的结果。 另外，数学实验适度减缓了学生探索数学问题的坡度， 使数学学习进程相对学生的思维水平和经验背景更为合理 和科学。数学实验强调探究过程，突出探究方法，积累基 本活动经验，培养学生的科学探究素养。‚始于欢乐， 终于智慧‛，通过实验活动，使学生在学到知识和技能 的同时，经历科学探究的过程，体验科学探究方法，渗透 热爱科学、尊重事实的科学精神。
改变的部分：
改变的部分：
数学教学现状！！！
我们在思考……
转变教与学的方式，促进学生数学思维的 发展和提升其数学理解力，让学生感受到：
数学好学、好学数学、学好数学!
我们要行动……
教师的观念
凡是能动手做的，就一定让学生尝试 实验探究的过程远比结论要重要 例如：圆锥的侧面展开图面积公式，重点不是用 来计算的，而是怎样探究出面积计算方法的
所谓的动手“做数学”就是指根据教学内容、教学目标， 结合学生的身心特点，从实际出发，充分利用周围的环境 和素材，通过观察、操作、猜想、分析等一系列过程，发 现某些数学规律，获得某种数学理论，检验某个数学猜想， 解决某类实际问题的一类学习活动。 而数学活动经验是指学习者在参与数学活动过程中所形 成的感性认识、情绪体验和应用意识，它是一种感性的、 情境化的过程性知识。在数学学习中，要使学生能真正理 解数学知识，感悟数学的理性精神，形成创新能力，就应 该在动手做数学的过程中，让学生积累丰富而有效的数学 活动经验。
中考试题特点
立足基础
关注思想
尊重经验 突出能力
《义务教育数学课程标准》2011版
“双基”走向“四基”——提出基本数学思想、数学基本活 动经验； “两能”发展为“四能”——提出培养学生发现问题、提出 问题的能力； 数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。 帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生 不断经历、体验各种数学活动过程的结果。数学活动经验需 要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习 活动过程中逐步积累的。 数学课程资源是指应用于教与学活动中的各种资源。 其中之一是“环境与工具”——如日常生活环境中的数学信 息，用于操作的学具或教具，数学实验室等；
如何使用？ 作为教学片段穿插在日常的教学过程； 作为整节课的数学实验课； 利用专门的数学实验室进行教学。
实验1 感受无理数
设计意图：旨在通过计算、掷骰子、 操作Excel等活动，丰富对有理数和 无理数的有关内容的认识，引导学 生从有限小数、无限循环小数出发 认识Hale Waihona Puke Baidu限不循环小数，感受到无限 不循环小数是客观存在的.同时让学 生经历观察、抽象、概括发现无理 数的过程。 观察 操作 构造
实验1 感受无理数
教学建议： 5.可进行实验工具改进。 （3）取10枚完全相同的棋子或小球，在上面分别标 上0～9这十个数字，将其放进不透明的袋子中，进行 有放回的随机摸球或取棋子活动，记录结果，仍然可 得到带有普遍性的无限不循环小数． （4）做分别标有0～9这10个数字的10张签（除所 标数字不同外，其它都相同），以抽签方式产生每个 数位上的数字，同样可得到具有普遍性的无限不循环 小数．
学生的话：我们早早准备，等待张老师的到来，头脑中早已
映出即将发生的情景：张老师手执三角板，一手紧握粉笔，脚也随 着图形移动，可谓‘手舞足蹈’；或者手捧讲义，一字一句，象布 道的牧师．但无论情景如何，只会令我们乏味，屡生睡意，毕竟此 科呆板有余，活泼不足． …… 我摸不清头脑：乏味的数学课为何在电脑房里上？但这也是件快 乐的事，可玩会电脑了．我们在欢呼声中拥进了电脑室． …… 轮到我们操作了，大家一扫往日上课的疲惫、昏昏欲睡的颓态， 精神十足地完成操作任务，不一会儿，就熟练掌握今天所学内容． 厌烦的数学课变得有趣了，不同寻常；疲倦的我们何时变得来劲 了，不同寻常；但最不同寻常的是，一向严谨，专攻数学的张老师， 何时也变得精于电脑设计了？ ……
‚数学实验‛的核心理念
‚教与学方式的转变‛
瑞典幼儿园的特殊镜头： 从小在大森林里做实验。如分别将塑料袋、香蕉皮、玻璃 等埋入，做好记号，过几个星期后再挖出来看看发生了什么变 化，孩子们会发现。。。这时老师会告诉他们哪些东西可以吸 收，哪些东西丢到土地里会影响环境。。。
我们在行动……
开展数学实验教学研究
建设数学实验室
《课程标准（2011年版）》要求“有条件的学校可以建立数学实验室供学生使 用，以拓宽他们的学习领域，培养他们的实践能力，发展其个性品质与创新精神， 促进不同的学生在数学上得出不同的发展。”
开发教具学具
二、实施数学实验教学的相关要求
1.加强对数学实验的理解
‚初中数学实验‛是指为获得某种数学理论，检 验某个数学猜想，解决某类数学问题，运用一定 的物质手段，在数学思维活动的参与下进行的一 种探索活动。 数学实验，是学生通过观察、操作、试验等实践 活动来进行数学学习的一种方式，这种学习方式， 不是学生被动接受课本上的或老师叙述的现成结 论，而是学生从自己的‚数学现实‛出发，通过 自己动手、动脑，用观察、模仿、实验、猜想等 手段获得经验，逐步建构并发展自己的数学认知 结构的活动过程。
2.行动上落实，将数学实验融入常态教学
（2）专题式实验教学 专题式实验教学是指一节完成的数学实验课，一般来 说，包括实验过程和验证过程。
3.用好《数学实验手册》
参考资料：
创作团队：
作词：阎肃
创作目的：
作曲：孙川
演唱：那英
为纪念《商标法》颁布10周年的晚会，宣传打假 而创作的． 在了解了这首歌曲的创作背景后，您对这 首歌的感受有什么变化吗？具体是什么？
图形与几何部分
删去：“梯形、等腰梯形的相关要求”；“探索并了解圆与圆的位置 关系”；“关于影子、视点、视角、盲区等内容，以及对雪花曲线和莫 比乌斯带等图形的欣赏”；关于镜面对称的要求。 增加： 1.“会比较线段的大小，理解线段的和、差，以及线段中点的意义”； “了解平行于同一条直线的两条直线平行”；“会按照边长的关系和角 的大小对三角形进行分类”；“了解并证明圆周角定理及其推论（其中 增加了“圆内接四边形的对角互补”）；“了解正多边形的概念及正多 边形与圆的关系”； 尺规作图:“过一点作已知直线的垂线、已知一直角边和斜边作直角 三角形、作三角形的外接圆、内切圆、作圆的内接正方形和正六边形”。 选学内容 * “了解平行线性质定理的证明”； * “了解相似三角形判定定理的证明”； * 探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧； * 探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等；
实验1 感受无理数
紧扣两个目的： 一是感受无理数的存在； 二是领悟无理数的特点。 感受要有充分的时间来保证，领悟要有参与性 的操作作基础。
实验1 感受无理数
具体实验流程： 1.操作感受——认识无理数的基础； (明白整数、分数、有限小数、无限循环小数之间的关系) 2.活动思考——感受无理数的存在及领悟无理数的特点。 （感受无限不循环小数的“无限性”和“不循环性”） 3.尝试构造——建立在自己认知水平上的意义建构。 （由数学活动上升为数学思考） 4.拓展延伸——让学生接受数学文化的熏陶。
2.行动上落实，将数学实验融入常态教学
（1）片段式实验教学 片段式实验教学是指穿插在数学课堂教学中的实验， 如根据教学的需要，在某一数学主题学习内容前，设置引 入一个与主题内容有关的实验情境，在课堂上通过教师的 演示或学生的操作，在较短时间内完成实验。片段式实验 可以直接为随后的教学主题服务，通过观察可获得猜想， 一般具有启发性、归纳性、直观性等特征，从实验规模上 可以理解是‚小实验‛。
数学实验手册的定位：
是学生学习数学的辅助用书； 是学生观察现象、动手实践、分析思考的一个文本； 是学生感受和发现数学、分析和思考问题、理解和 掌握数学、运用数学解决问题的指导用书。
帮助教师有计划、有步骤的将知识形成过程实验化， 探究过程具体化、数据化，应用过程可信化。 可以有效地改进教与学的方式。
实验1 感受无理数
教学建议： 1.本实验片段可以放在“2.2 有理数与无理数”教学的前半 段，大约用时15分钟，这样可以为课本上“理性”分析无理数 的产生过程作铺垫。 2.利用Excel软件中的“=RANDBETWEEN(0，1)”产生随 机数，如果课堂上时间有限，可以让学生课外进行。需要注意 的产生随机数是“动态改变”的。 3.通过构造小数7.808008000800008…，主要是让学生体 会到这个有一定规律的小数也是无限不循环小数，即也是无理 数。 4.课后可以将用逼近法探究根号2值得大小以及根号2不是无 理数的证明等知识，作为课堂的延伸，也可让学生在网上收集 有关祖冲之和圆周率的相关资料，和大家共享，。
我们在路上
--------关于开展初中数学实验教学的实践与思考
蝴蝶的故事
一只茧上裂开了一个小口，有一个人看到，蝴蝶艰难地将 身体从那个小口中一点点地挣扎出来，几个小时过去了， 似乎没有任何进展。看样子它似乎已经竭尽全力了。这个 人实在看得心疼，决定帮助一下蝴蝶：他拿来一把剪刀， 小心翼翼地将茧破开。蝴蝶很容易地挣脱出来。这个人期 待着，看到一只健康美丽而飞翔的蝴蝶。然而，这一刻始 终没有出现！实际上，这只蝴蝶在余下的时间都极其可怜 的带着萎缩的身子和瘪塌的翅膀在爬行，它永远也没能飞 起来。这个好心好意的人并不知道，蝴蝶从茧上的小口挣 扎而出，是上天的安排，它要通过这一挤压过程将体液从 身体挤压到翅膀，这样它才能在脱茧而出后展翅飞翔……
计算机模拟
π
实验2 在数轴上表示无理数
实验重点突出两个层面： 一是构造面积为2的正方形和直径为1的圆； 二是在数轴上表示出正方形的边长和圆周长。 实验主要以两种方式展开： 一是利用附录中的图形实物操作； 二是利用几何画板软件模拟探究。 实验抓住一个关键词： 表示——数形结合
案例：‚同弧所对的圆周角与圆心角的性质‛ 先让学生自己利用《几何画板》画出弧AB所对 的圆周角∠ACB、圆心角∠AOB，然后度量出它们 的度数，提问这两个角度在数量上有什么的关系？ 这个关系是特殊的吗？偶然的吗（如图2-1）让 学生拖动点C，改变点C的位置，提问∠ACB、 ∠AOB度数变化了吗？数量关系变化了吗（如图 2-2）．再改变弧AB的大小，结论仍然成立吗？
实验2 在数轴上表示无理数
设计意图： 旨在为学生直观理解无理数也可以用数轴上的点 来表示。实验由两个小实验构成，其中每个小实验又 采用实物操作和计算机模拟两种方式进行操作探究， 互为补充、相得益彰。对无理数的认识与理解，原先 八年级的学生尚感困难，现在面对七年级的学生，当 属难上加难。因此，拟通过学生动手实验，让他们在 经历中感受、在活动中体会、在交流中提升、在总结 中理解。 实物操作
实验1 感受无理数
教学建议： 5.可进行实验工具改进。 （1）将两枚骰子的六个面分别标上0、1、2、3、4、 5六个数字，同时抛掷这两枚骰子，则朝上点数之和 有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，这11个 数字出现的概率分别是，，，，，，，，，，，当和 为10时放弃重新抛掷．虽然数字之和出现的概率不同， 但0～9这十个数字都有可能出现．记录结果，得到的 无限不循环小数就有一定的普遍性． （2）做一枚正十二面体的骰子，在其中十个面上分 别标上0～9这十个数字，空两个面．这样随机抛掷这 枚骰子，进行实验，0～9这十个数字出现的概率相同， 掷到空的一面朝上时放弃重新抛掷．记录结果，也可 得到具有普遍性的无限不循环小数．
中学数学实验的特点
数学实验一般具有可操作性和实践性特点，注重实 测与直观,让数学在‚实验‛的过程中对所研究的内容 ‚可视化‛,让学生从中获得数、形的观念,并逐步对其适 度抽象,进行更高层次上的‛再实验‛或‚再创造‛过程, 进而体会数学的研究方法和构成体系。因此，‚数学实验‛ 可以有效帮助转变学生的学习方式，使学生逐步学会数学 思维的物质实践方法,掌握数学研究的规律,培养理性思考 问题的习惯,能够解决学科的和实际生活的问题,并检验和 论证问题的结果。 另外，数学实验适度减缓了学生探索数学问题的坡度， 使数学学习进程相对学生的思维水平和经验背景更为合理 和科学。数学实验强调探究过程，突出探究方法，积累基 本活动经验，培养学生的科学探究素养。‚始于欢乐， 终于智慧‛，通过实验活动，使学生在学到知识和技能 的同时，经历科学探究的过程，体验科学探究方法，渗透 热爱科学、尊重事实的科学精神。
改变的部分：
改变的部分：
数学教学现状！！！
我们在思考……
转变教与学的方式，促进学生数学思维的 发展和提升其数学理解力，让学生感受到：
数学好学、好学数学、学好数学!
我们要行动……
教师的观念
凡是能动手做的，就一定让学生尝试 实验探究的过程远比结论要重要 例如：圆锥的侧面展开图面积公式，重点不是用 来计算的，而是怎样探究出面积计算方法的
所谓的动手“做数学”就是指根据教学内容、教学目标， 结合学生的身心特点，从实际出发，充分利用周围的环境 和素材，通过观察、操作、猜想、分析等一系列过程，发 现某些数学规律，获得某种数学理论，检验某个数学猜想， 解决某类实际问题的一类学习活动。 而数学活动经验是指学习者在参与数学活动过程中所形 成的感性认识、情绪体验和应用意识，它是一种感性的、 情境化的过程性知识。在数学学习中，要使学生能真正理 解数学知识，感悟数学的理性精神，形成创新能力，就应 该在动手做数学的过程中，让学生积累丰富而有效的数学 活动经验。
中考试题特点
立足基础
关注思想
尊重经验 突出能力
《义务教育数学课程标准》2011版
“双基”走向“四基”——提出基本数学思想、数学基本活 动经验； “两能”发展为“四能”——提出培养学生发现问题、提出 问题的能力； 数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。 帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生 不断经历、体验各种数学活动过程的结果。数学活动经验需 要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习 活动过程中逐步积累的。 数学课程资源是指应用于教与学活动中的各种资源。 其中之一是“环境与工具”——如日常生活环境中的数学信 息，用于操作的学具或教具，数学实验室等；
如何使用？ 作为教学片段穿插在日常的教学过程； 作为整节课的数学实验课； 利用专门的数学实验室进行教学。
实验1 感受无理数
设计意图：旨在通过计算、掷骰子、 操作Excel等活动，丰富对有理数和 无理数的有关内容的认识，引导学 生从有限小数、无限循环小数出发 认识Hale Waihona Puke Baidu限不循环小数，感受到无限 不循环小数是客观存在的.同时让学 生经历观察、抽象、概括发现无理 数的过程。 观察 操作 构造
实验1 感受无理数
教学建议： 5.可进行实验工具改进。 （3）取10枚完全相同的棋子或小球，在上面分别标 上0～9这十个数字，将其放进不透明的袋子中，进行 有放回的随机摸球或取棋子活动，记录结果，仍然可 得到带有普遍性的无限不循环小数． （4）做分别标有0～9这10个数字的10张签（除所 标数字不同外，其它都相同），以抽签方式产生每个 数位上的数字，同样可得到具有普遍性的无限不循环 小数．
学生的话：我们早早准备，等待张老师的到来，头脑中早已
映出即将发生的情景：张老师手执三角板，一手紧握粉笔，脚也随 着图形移动，可谓‘手舞足蹈’；或者手捧讲义，一字一句，象布 道的牧师．但无论情景如何，只会令我们乏味，屡生睡意，毕竟此 科呆板有余，活泼不足． …… 我摸不清头脑：乏味的数学课为何在电脑房里上？但这也是件快 乐的事，可玩会电脑了．我们在欢呼声中拥进了电脑室． …… 轮到我们操作了，大家一扫往日上课的疲惫、昏昏欲睡的颓态， 精神十足地完成操作任务，不一会儿，就熟练掌握今天所学内容． 厌烦的数学课变得有趣了，不同寻常；疲倦的我们何时变得来劲 了，不同寻常；但最不同寻常的是，一向严谨，专攻数学的张老师， 何时也变得精于电脑设计了？ ……
‚数学实验‛的核心理念
‚教与学方式的转变‛
瑞典幼儿园的特殊镜头： 从小在大森林里做实验。如分别将塑料袋、香蕉皮、玻璃 等埋入，做好记号，过几个星期后再挖出来看看发生了什么变 化，孩子们会发现。。。这时老师会告诉他们哪些东西可以吸 收，哪些东西丢到土地里会影响环境。。。
我们在行动……
开展数学实验教学研究
建设数学实验室
《课程标准（2011年版）》要求“有条件的学校可以建立数学实验室供学生使 用，以拓宽他们的学习领域，培养他们的实践能力，发展其个性品质与创新精神， 促进不同的学生在数学上得出不同的发展。”
开发教具学具
二、实施数学实验教学的相关要求
1.加强对数学实验的理解
‚初中数学实验‛是指为获得某种数学理论，检 验某个数学猜想，解决某类数学问题，运用一定 的物质手段，在数学思维活动的参与下进行的一 种探索活动。 数学实验，是学生通过观察、操作、试验等实践 活动来进行数学学习的一种方式，这种学习方式， 不是学生被动接受课本上的或老师叙述的现成结 论，而是学生从自己的‚数学现实‛出发，通过 自己动手、动脑，用观察、模仿、实验、猜想等 手段获得经验，逐步建构并发展自己的数学认知 结构的活动过程。
2.行动上落实，将数学实验融入常态教学
（2）专题式实验教学 专题式实验教学是指一节完成的数学实验课，一般来 说，包括实验过程和验证过程。
3.用好《数学实验手册》
参考资料：
创作团队：
作词：阎肃
创作目的：
作曲：孙川
演唱：那英
为纪念《商标法》颁布10周年的晚会，宣传打假 而创作的． 在了解了这首歌曲的创作背景后，您对这 首歌的感受有什么变化吗？具体是什么？
图形与几何部分
删去：“梯形、等腰梯形的相关要求”；“探索并了解圆与圆的位置 关系”；“关于影子、视点、视角、盲区等内容，以及对雪花曲线和莫 比乌斯带等图形的欣赏”；关于镜面对称的要求。 增加： 1.“会比较线段的大小，理解线段的和、差，以及线段中点的意义”； “了解平行于同一条直线的两条直线平行”；“会按照边长的关系和角 的大小对三角形进行分类”；“了解并证明圆周角定理及其推论（其中 增加了“圆内接四边形的对角互补”）；“了解正多边形的概念及正多 边形与圆的关系”； 尺规作图:“过一点作已知直线的垂线、已知一直角边和斜边作直角 三角形、作三角形的外接圆、内切圆、作圆的内接正方形和正六边形”。 选学内容 * “了解平行线性质定理的证明”； * “了解相似三角形判定定理的证明”； * 探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧； * 探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等；
实验1 感受无理数
紧扣两个目的： 一是感受无理数的存在； 二是领悟无理数的特点。 感受要有充分的时间来保证，领悟要有参与性 的操作作基础。
实验1 感受无理数
具体实验流程： 1.操作感受——认识无理数的基础； (明白整数、分数、有限小数、无限循环小数之间的关系) 2.活动思考——感受无理数的存在及领悟无理数的特点。 （感受无限不循环小数的“无限性”和“不循环性”） 3.尝试构造——建立在自己认知水平上的意义建构。 （由数学活动上升为数学思考） 4.拓展延伸——让学生接受数学文化的熏陶。
2.行动上落实，将数学实验融入常态教学
（1）片段式实验教学 片段式实验教学是指穿插在数学课堂教学中的实验， 如根据教学的需要，在某一数学主题学习内容前，设置引 入一个与主题内容有关的实验情境，在课堂上通过教师的 演示或学生的操作，在较短时间内完成实验。片段式实验 可以直接为随后的教学主题服务，通过观察可获得猜想， 一般具有启发性、归纳性、直观性等特征，从实验规模上 可以理解是‚小实验‛。
数学实验手册的定位：
是学生学习数学的辅助用书； 是学生观察现象、动手实践、分析思考的一个文本； 是学生感受和发现数学、分析和思考问题、理解和 掌握数学、运用数学解决问题的指导用书。
帮助教师有计划、有步骤的将知识形成过程实验化， 探究过程具体化、数据化，应用过程可信化。 可以有效地改进教与学的方式。
实验1 感受无理数
教学建议： 1.本实验片段可以放在“2.2 有理数与无理数”教学的前半 段，大约用时15分钟，这样可以为课本上“理性”分析无理数 的产生过程作铺垫。 2.利用Excel软件中的“=RANDBETWEEN(0，1)”产生随 机数，如果课堂上时间有限，可以让学生课外进行。需要注意 的产生随机数是“动态改变”的。 3.通过构造小数7.808008000800008…，主要是让学生体 会到这个有一定规律的小数也是无限不循环小数，即也是无理 数。 4.课后可以将用逼近法探究根号2值得大小以及根号2不是无 理数的证明等知识，作为课堂的延伸，也可让学生在网上收集 有关祖冲之和圆周率的相关资料，和大家共享，。
我们在路上
--------关于开展初中数学实验教学的实践与思考
蝴蝶的故事
一只茧上裂开了一个小口，有一个人看到，蝴蝶艰难地将 身体从那个小口中一点点地挣扎出来，几个小时过去了， 似乎没有任何进展。看样子它似乎已经竭尽全力了。这个 人实在看得心疼，决定帮助一下蝴蝶：他拿来一把剪刀， 小心翼翼地将茧破开。蝴蝶很容易地挣脱出来。这个人期 待着，看到一只健康美丽而飞翔的蝴蝶。然而，这一刻始 终没有出现！实际上，这只蝴蝶在余下的时间都极其可怜 的带着萎缩的身子和瘪塌的翅膀在爬行，它永远也没能飞 起来。这个好心好意的人并不知道，蝴蝶从茧上的小口挣 扎而出，是上天的安排，它要通过这一挤压过程将体液从 身体挤压到翅膀，这样它才能在脱茧而出后展翅飞翔……