北师大版八年级下册数学1.1《等腰三角形》 教案
北师大版八年级数学下第一章1.1等腰三角形第一课时教学设计
1.分组讨论等腰三角形的性质及应用
我会将学生分成若干小组，让他们讨论等腰三角形的性质在实际问题中的应用。例如，如何利用等腰三角形的性质求解底边长度、底角大小等。
2.分组探讨等腰三角形的判定定理
各小组学生还需探讨等腰三角形的判定定理，并尝试运用定理解决实际问题。在此过程中，我会巡回指导，解答学生的疑问。
-对于作业中的共性问题，将在课堂上进行集中讲解，确保学生理解到位。
-表现优秀的作业将在课堂上展示，以激发学生的学习积极性。
2.学会使用等腰三角形的判定定理，判断一个三角形是否为等腰三角形。
-学生能够理解并掌握“两边相等的三角形是等腰三角形”这一判定定理，并能够运用到实际问题的解决中。
3.掌握等腰三角形的周长和面积计算方法，能够解决相关问题。
-学生能够根据等腰三角形的性质，运用周长和面积公式进行计算，解决实际应用问题。
（二）过程与方法
2.培养学生合作交流的意识，增强团队协作能力。
-教学过程中，教师鼓励学生进行小组合作、讨论交流，培养学生合作解决问题的能力。
3.培养学生勇于探索、积极思考的精神，树立正确的价值观。
-教师引导学生面对问题，勇于尝试，不怕困难，培养积极思考、解决问题的精神。
-学生在学习过程中，认识到数学知识在解决实际问题中的价值，树立正确的价值观。
3.提高学生的应用意识，将等腰三角形的知识与实际生活相结合。
-重难点：将理论知识应用于解决生活中的问题。
-设想：设计真实的情境问题，如建筑物的平面设计、艺术作品的对称性分析等，让学生在解决问题的过程中体验数学的价值。
（二）教学设想
1.采用探究式学习法，激发学生的求知欲和主动性。
-设想：通过引入富有挑战性的问题，如“如何确定等腰三角形的高线和中线？”激发学生的好奇心，引导学生通过实验、观察、推理等手段自主探索答案。
2021年北师大版数学八年级下册1.1《等腰三角形》教案
2021年北师大版数学八年级下册1.1《等腰三角形》教案一. 教材分析等腰三角形是八年级下册《数学》的重要内容，主要让学生理解等腰三角形的性质，学会判定一个三角形是否为等腰三角形，并能够运用等腰三角形的性质解决实际问题。
本节课的内容为后续学习等边三角形和其他多边形奠定了基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念和性质，能够识别各种三角形。
但等腰三角形的概念和性质较为抽象，学生需要通过实例和操作活动来加深理解。
此外，学生需要具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力，以便能够灵活运用等腰三角形的性质。
三. 教学目标1.理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质；2.学会判定一个三角形是否为等腰三角形；3.能够运用等腰三角形的性质解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
四. 教学重难点1.等腰三角形的性质；2.判定一个三角形是否为等腰三角形；3.运用等腰三角形的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究等腰三角形的性质；2.利用实物模型和几何画板软件，直观展示等腰三角形的性质；3.运用变式教学法，让学生在多种情境中巩固等腰三角形的性质；4.采用合作学习法，培养学生团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备等腰三角形的实物模型；2.准备几何画板软件，制作等腰三角形的动态展示；3.设计相关问题，引导学生探究等腰三角形的性质；4.准备黑板，用于板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实物模型展示等腰三角形，引导学生观察等腰三角形的特征。
提问：你们能发现等腰三角形有哪些特殊的性质吗？2.呈现（10分钟）利用几何画板软件，动态展示等腰三角形的性质。
引导学生通过观察、操作，发现等腰三角形的两条腰相等，两个底角相等。
3.操练（10分钟）学生分组合作，利用准备好的实物模型，进行操作活动。
让学生通过实际操作，验证等腰三角形的性质。
4.巩固（10分钟）设计一系列问题，让学生回答。
北师大版八年级数学下册1.1.1等腰三角形教学设计
教师在评价学生时，要关注学生在解决问题过程中的思考和方法，鼓励学生勇于尝试，激发学习积极性。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师出示一些生活中的等腰三角形实物，如等腰三角形的玩具、等腰三角形的图标等，引导学生观察这些图形的特点，激发学生的兴趣。
在课堂小结环节，教师引导学生回顾本节课所学内容，总结等腰三角形的性质和判定方法，加深印象。
6.布置课后作业，注重培养学生的实际应用能力。
设计一些实际问题，让学生在课后运用等腰三角形的性质解决问题，提高学生的数学应用意识。
7.开展小组合作活动，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
教学过程中，组织学生进行小组讨论、合作探究，让学生在互动交流中提高自己的表达能力和团队协作能力。
学生在学习过程中，对新知识充满好奇心，但学习动机和兴趣可能因个体差异而有所不同。部分学生可能对几何图形的理解和运用存在一定困难，需要教师在教学过程中关注个体差异，采用分层教学、个别辅导等方式，帮助学生克服学习难点。
此外，学生在合作交流方面已有一定的基础，但部分学生可能在实际操作中缺乏主动性和积极性。因此，在教学过程中，教师应注重引导学生积极参与课堂讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
教学中，提出一些需要运用等腰三角形性质解决的问题，让学生通过自主探究、合作交流，逐步培养逻辑推理能力。
4.采用分层教学策略，针对不同层次的学生，设计不同难度的练习题，使每位学生都能得到有效的提高。
教师根据学生的认知水平和学习需求，设计基础题、提高题和拓展题，让每位学生都能在课堂上学有所得。
5.加强课堂小结，通过师生互动、生生互动，总结等腰三角形的性质和判定方法，巩固所学知识。
北师大版八年级数学下册第一章第一节《等腰三角形》教学案
第一章 三角形的证明整体感知本章知识结构：§1.1等腰三角形（第一课时）【学习目标】1.能证明等腰三角形的性质定理和推论。
2.熟悉证明的基本步骤和书写格式。
【学习重难点】:熟悉证明的步骤和书写格式，能用数学符号语言进行推理证明。
一、自主预习、认真准备1．填空（1）公理： 的两个三角形全等。
（2）公理：的两个三角形全等。
（3）公理：的两个三角形全等。
（4）定理：全等三角形的对应边，对应角。
2．证明：“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
” 已知：如图，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. 求证：△ABC ≌△DEF 证明：3．如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，则；AD 是△ABC 的角平分线，则； AD 是△ABC 的高线，则；二、自主探究、合作交流 活动一：等腰三角形性质1 (1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?尽可能回忆出来.先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流归纳定理：等腰三角形的简单叙述为：(2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?已知：如图, 在△ABC 中, AB=AC.求证：∠B=∠C.(提示：可取BC 的中点D ，连接AD)活动二：等腰三角形性质2在上图中，线段AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？推论： 等腰三角形的互相重合。
简称为： 应用格式：三、训练、检测1.等腰三角形的一个内角为100°,则它的另外两个内角是°和°.2.等腰三角形两边长为3和6，则周长是；若两边长为5和8，则周长是3.等腰三角形的周长为13cm ，其中一边长为3cm ，则其腰长为 .4.如图，已知D.E 在△ABC 的边BC 上,AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE5.如图,在△ABD 中,C 是BD 上的一点,且AC 垂直BD, AC=BC=CD. (1)求证:△ABD 是等腰三角形； (2)求∠BAD 的度数.四、小结与反思：DB A´´ CDAB C DCB A通过探索、猜测、计算、证明得到的定理与等腰三角形、等边三角形有关的结论与直角三角形有关的结论 与一般三角形有关的结论命题的逆命题及其真假尺规作图线段的垂直平分线 角的平分线B A§1.1等腰三角形（第二课时）【学习目标】会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明问题。
北师大版八年级下册1.1《等腰三角形》教案
一、教学内容
北师大版八年级下册1.1《等腰三角形》教案：
1.等腰三角形的定义及性质；
2.等腰三角形的判定；
3.等腰三角形底角和顶角的计算；
4.等腰三角形在实际问题中的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观和空间想象能力，通过等腰三角形的性质和判定，使学生能够把握图形的特征，发展几何直观；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解等腰三角形的基本概念。等腰三角形是指有两边相等的三角形。它的重要性在于其独特的性质和应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了等腰三角形在建筑设计中的应用，以及它如何帮助我们解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调等腰三角形的性质和判定定理这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
-解决与等腰三角形相关的综合问题：涉及到多个知识点的问题，如等腰三角形与其他几何图形的组合问题，学生难以找到解题的切入点。
举例解释：
针对教学难点，教师可以通过以下方法帮助学生：
-设计不同类型的例题和练习题，让学生在不同的情境中应用等腰三角形的性质和判定定理。
-采用问题驱动的教学方法，引导学生通过提问、解答、讨论的方式，探索和解决与等腰三角形相关的复杂问题。
2.培养学生的逻辑思维能力和推理能力，在学习等腰三角形相关知识的过程中，学会运用严密的逻辑推理，形成科学的思维方法；
3.培养学生的数学应用意识，将等腰三角形知识应用于解决实际问题，提高解决生活中几何问题的能力；
4.培养学生的合作意识和团队精神，通过小组讨论、互动交流，共同探究等腰三角形的相关性质和应用。
北师大2024八年级数学下册 1.1 第1课时 等腰三角形的性质 教案
1.1 等腰三角形主要师生活动一、创设情境，导入新知图中有你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?师生活动：教师播放课件，学生独立思考回答问题.问题 1 在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪8 条基本事实？1.两点确定一条直线.2. 两点之间线段最短.3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4. 同位角相等，两直线平行.5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.6. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.7. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.8. 三边分别相等的两个三角形全等.二、探究新知二、小组合作，探究概念和性质知识点一：全等三角形的判定和性质定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).问题2：你能用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？师生活动: 教学时应鼓励学生独立完成. 教师要提醒学生首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”“求证”，最后写出证明过程.已知：如图，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A +∠B +∠C = 180°，∠D +∠E +∠F = 180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠C = 180°－(∠A +∠B)，∠F = 180°－(∠D +∠E).∵∠A =∠D，∠B =∠E (已知)，∴∠C =∠F (等量代换).∵BC = EF (已知)，∴△ABC≌△DEF (ASA).根据全等三角形的定义，我们可以得到：全等三角形的对应边相等，对应角相等.设计意图：学生在七年级下册已经探索并认识了判定三角形全等的“角角边”定理，这里意在让学生根据基本事实证明这一定理.设计意图：七年级下册给出的“全等三角形”的定义是“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”，“全等三角形的对应边相等、对应角相等”则是由全等三角形的定义推出来的，本章很多证明都会用到它，因此，这里特别提出这一结论，以便后续证明使用.知识点二：等腰三角形的性质及其推论问题3：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?定理：等腰三角形的两个底角相等.推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(三线合一).问题4：你能利用基本事实或已知的定理证明这些结论吗议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形. 由此，你得到了解题什么的启发？已知：如图，在△ABC中，AB = AC.求证：∠B = ∠C.方法一：作底边上的中线证明：如图，取BC的中点D，连接AD.∵AB = AC，BD = CD，AD = AD∴△ABD≌△ACD (SSS).∴∠B =∠C(全等三角形的对应角相等).师：还有其他的证法吗？方法二：作顶角的平分线证明：作顶角的平分线AD，则∠BAD =∠CAD.∵AB = AC，∠BAD = ∠CAD，AD = AD，∴△BAD≌△CAD (SAS).∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).师生活动:教学时教师要注意引导学生根据条件正确、规范地写出“已知”“求证”，有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能设计意图：这里让学生回忆以前的折纸过程，目的是引导学生发现证明的思路，学生一般可以由折纸确定辅助线的位置，但对于作辅助线的规范叙述仍需教师帮助.设计意图：教学中，应鼓励学生寻求其他证明方法，实际上，除作底边中线外，还可以通过作顶角平分线的方法证明结论，此时证明的依据是基本事实SAS. 这两种证明方法都是受折纸的启发(轴对称)，通过作辅助线将图形分成两部分，再证明这两部分全等，教师可以引导学生分析这两种证明方法的共性，加深对等腰三角形性质的认识.教学时，可能会有学生通过作底边上的高并利用勾股定理来证明这一定理，对此，教师一方面要保护学生的学习积极性，另一方面也要引导学生认识力，关注证明过程及其表达的合理性.想一想：由△BAD≌△CAD，图中线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么论？由△BAD≌△CAD，可得BD = CD，∠ADB =∠ADC，∠BAD =∠CAD.又∵∠ADB +∠ADC = 180°，∴∠ADB =∠ADC = 90°，即AD⊥BC.故AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的平分线、底边BC上的高.师生活动: 让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论.定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).几何语言：如图，在△ABC中，∵AB = AC (已知)，∴∠B =∠C (等边对等角).推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合(三线合一）.练一练1. 已知，如图，△ABC≌△ADE，∠BED = 20°，则∠AED的度数为( )A.60°B.90°C. 80°D. 20°到：我们虽然在以前探索并认识了勾股定理，但尚未用基本事实证明过，所以从逻辑上来说，勾股定理不能作为这里证明的依据.设计意图：这一结论通常简述为“三线合一”, 即如果某线段是一个等腰三角形的“三线”(顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高) 之一，那么它必定也是这个等腰三角形的另“两线”.设计意图：综合运用全等三角形和等腰三角形的相关知识解决问题,加深学生印象，考察学生对于知识的掌握情况.三、当堂练习，巩固所学师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总结，归纳解题步骤，教师结合学生的具体活动，加以指导.典例精析例1 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.(1) 如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；(2) 如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.证明：(1) 如图①，过A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG.∴BG－DG＝CG－EG，即BD＝CE.(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.三、当堂练习，巩固所学1. 如图，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使∠ABC∠∠AED，还需添加一个条件，这个条件可以是________________________．2. (1) 等腰三角形一个底角为75°，它的另外两个角为__________；(2) 等腰三角形一个角为36°，它的另外两个角为设计意图：在定理证明的基础上进行难度更高的推论证明，巩固学生知识的运用，并培养学生发散思维，提高学生解题技巧.设计意图:考查对全等三角形判定的掌握.设计意图:结论：在等腰三教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS).全等三角形的对应边相等，对应角相等.。
北师大版八年级数学下第一章1.1等腰三角形第一课时教学设计
1.1等腰三角形（第一课时）教学设计一、教材的地位和作用“等腰三角形（第一课时）”选自《义务教育课程标准实验教科书（北师大版）·数学》八年级下册第一章第一节。
现实生活中，等腰三角形的应用比比皆是，利用“轴对称”的知识，进一步研究等腰三角形的特殊性质，不仅是现实生活的需要，而且从思想方法和知识储备上，为学生今后研究“四边形”和“圆”的性质打下坚实的基础。
本节课主要研究的是等腰三角形的重要性质，这是在已经学习过三角形的有关概念及性质、全等三角形、轴对称变换等知识的基础上进行的，它既是前面所学知识的深化和应用，又为两个角相等、两条线段相等、两条直线互相垂直这类问题的证明提供了新的依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。
另外研究和学习本节课不仅让学生体会到数学图形的美及应用价值，而且对培养学生的思维能力、分析能力，使学生学会在等腰三角形中添加适当的辅助线，以及向学生渗透转化、类比思想都有很大作用。
二、学情分析就其知识掌握而言，学生虽然在学习三角形全等时已经具备初步的演绎推理能力，但是对规范的、需要经过缜密思维推理过程的表达，还需要教师在课堂上加以规范和引导。
就其生理、心理特点而言，八年级学生思维正处于活跃期，在课堂上能积极思考，敢于发表自己的见解，演绎推理能力已初步形成，动手能力较强，注意力比较集中，对直观生动的事物很容易产生浓厚兴趣。
因而，一方面教师要运用直观生动的形象激发学生的学习兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面教师要给学生创造更多发表见解的条件和机会，发挥学生在知识探究中的主体作用，让他们真正理解知识的形成过程。
三、教学目标1.掌握等腰三角形的性质定理及其推论，并能运用它们进行有关的证明和计算。
2.培养学生多角度思考问题的习惯，提高学生分析问题和解决问题的能力；使学生进一步了解探究——猜想——归纳——论证的发现真理的方法。
3.通过对等腰三角形的观察、试验、归纳，体验数学活动充满着探索性和创造性。
北师大版八年级下册1.1等腰三角形第一课时优秀教学案例
五、案例亮点
1.生活情境的引入：通过引入实际生活中的等腰三角形，如金字塔、平衡尺等，激发学生的学习兴趣，让学生认识到等腰三角形在生活中的重要性。这种生活情境的引入使得抽象的几何知识与现实生活相结合，提高了学生的学习积极性。
2.问题导向的教学策略：在教学过程中，我设计了一系列具有挑战性和探究性的问题，引导学生深入思考，激发他们的学习兴趣。这些问题既有助于学生巩固已学知识，又能培养他们的问题意识和解决问题的能力。
5.多元化的教学评价：我采用了多元化的教学评价方式，既关注学生的知识掌握程度，也关注他们的过程与方法、情感态度与价值观等方面的成长。通过定期评估、课堂提问、作业批改等方式，及时了解学生的学习情况，为下一步教学提供有力依据。这种多元化的教学评价方式有助于全面了解学生的学习状况，促进学生的全面发展。
2.等腰三角形的判定：
（1）已知两边相等，判断第三边是否相等。
（2）已知两角相等，判断第三角是否相等。
通过实例讲解等腰三角形的判定方法，让学生在实践中掌握知识。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性和探究性的问题，引导学生进行小组讨论。
如：“你能设计一个等腰三角形吗？并尝试解释其性质。”
2.鼓励学生提出问题，培养他们的问题意识和解决问题的能力。
如：“你觉得你的小组在讨论中表现如何？有哪些需要改进的地方？”
3.教师对学生的学习过程和成果进行总结性评价，给出中肯的建议和指导，促进学生的全面发展。
（五）作业小结ห้องสมุดไป่ตู้
1.设计具有针对性的作业，巩固等腰三角形的性质和判定方法。
如：“已知一个三角形是等腰三角形，求证其两腰相等。”
2.要求学生在作业中运用几何语言表达思想，提高他们的几何思维能力。
【北师大版】八年级数学下册《等腰三角形的判定》教案
北师大版八年级数学下册精编教案系列等腰三角形判定教学目标（一）教学知识点探索等腰三角形的判定定理．（二）能力训练要求探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．（三）情感与价值观要求通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解．从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力．教学重点等腰三角形的判定定理的探索和应用。
教学难点等腰三角形的判定与性质的区别。
教具准备作图工具和多媒体课件。
教学方法引导探索法；情景教学法教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]上节课我们学习了等腰三角形的性质，现在大家来回忆一下，等腰三角形有些什么性质呢？[生甲]等腰三角形的两底角相等．[生乙]等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．[师]同学们回答得很好，我们已经知道了等腰三角形的性质，那么满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢？这就是我们这节课要研究的问题．Ⅱ．导入新课[师]同学们看下面的问题并讨论：思考：如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，•能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？[生甲]应该能同时赶到出事地点．因为两艘救生船的速度相同，同时出发，•在相同的时间内走过的路程应该相同，也就是OA=OB ，所以两船能同时赶到出事地点．[生乙]我认为能同时赶到O 点的位置很重要，也就是∠A 如果不等于∠B ，•那么同时以同样的速度就不一定能同时赶到出事地点．[师]现在我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，•那么它们所对的边有什么关系？[生丙]我想它们所对的边应该相等．[师]为什么它们所对的边相等呢？同学们思考一下，给出一个简单的证明． [生丁]我是运用三角形全等来证明的． （投影仪演示了同学证明过程）[例1]已知：在△ABC 中，∠B=∠C （如图）． 求证：AB=AC ．证明：作∠BAC 的平分线AD ． 在△BAD 和△CAD 中12,,,B C AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAD （AAS ）． ∴AB=AC ．提问：你还有不同的证明方法吗？ （演示课件）等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．[师]下面我们通过几个例题来初步学习等腰三角形判定定理的简单运用． （演示课件）[例2]求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．[师]这个题是文字叙述的证明题，•我们首先得将文字语言转化成相应的数学语言，再根据题意画出相应的几何图形．21D CA21EDA已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）． 求证：AB=AC ．[师]同学们先思考，再分析．[生]要证明AB=AC ，可先证明∠B=∠C ．[师]这位同学首先想到我们这节课的重点内容，很好! [生]接下来，可以找∠B 、∠C 与∠1、∠2的关系． [师]我们共同证明，注意每一步证明的理论根据． （演示课件，括号内部分由学生来填） 证明：∵AD ∥BC ，∴∠1=∠B （两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠C （两直线平行，内错角相等）． 又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C ，∴AB=AC （等角对等边）．[师]看大屏幕，同学们试着完成这个题． （课件演示）已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ． 求证：AB=AD ．（投影仪演示学生证明过程） 证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC （两直线平行，内错角相等）． 又∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD=∠DBC ， ∴∠ABD=∠ADB ， ∴AB=AD （等角对等边）． [师]下面来看另一个例题． （演示课件）[例3]如图（1），标杆AB 的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C•向地面上与点B 距离相等的D 、E 两点拉两条绳子，使得D 、B 、E 在一条直线上，量得DE=4米，•绳子CD 和CE 要多长？DCABCA[师]这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题．解：选取比例尺为1：100（即为1cm代表1m）．（1）作线段DE=4cm；（2）作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B；（3）在MN上截取BC=2.5cm；（4）连接CD、CE，△CDE就是所求的等腰三角形，量出CD的长，•就可以算出要求的绳长．[师]同学们按以上步骤来做一做，看结果是多少．Ⅲ．随堂练习（一）课本1．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分别计算∠1、∠2的度数，•并说明图中有哪些等腰三角形。
北师大版数学八年级下册1.1.3《等腰三角形的判定及反证法》说课稿
北师大版数学八年级下册1.1.3《等腰三角形的判定及反证法》说课稿一. 教材分析《等腰三角形的判定及反证法》这一节内容是北师大版数学八年级下册第1章第1节的一部分。
在此之前，学生已经学习了三角形的基本概念和性质，对三角形有了初步的认识。
本节课主要引导学生探究等腰三角形的性质，并运用反证法进行证明。
教材通过引入等腰三角形的定义和性质，让学生体会数学的推理过程，培养学生的逻辑思维能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对三角形的相关知识有一定的了解。
但是，对于等腰三角形的性质和反证法的运用，还需要通过本节课的学习来进一步掌握。
学生在学习过程中，需要通过观察、操作、思考、推理等环节，逐步理解等腰三角形的性质，学会运用反证法进行证明。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能掌握等腰三角形的性质，学会运用反证法进行证明。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考、推理等环节，培养逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：学生体验数学的推理过程，增强对数学的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：等腰三角形的性质，反证法的运用。
2.教学难点：反证法的理解与运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、启发式教学法、合作学习法等。
2.教学手段：多媒体课件、黑板、几何模型等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习三角形的基本概念和性质，引出等腰三角形的定义。
2.探究等腰三角形的性质：学生分组讨论，每组尝试用反证法证明等腰三角形的性质。
3.汇报展示：各组汇报探究过程和结果，教师点评并总结。
4.练习巩固：学生独立完成教材中的练习题，教师讲解答案。
5.拓展延伸：引导学生思考等腰三角形的判定问题，学生自主探究并分享成果。
6.总结反思：学生总结本节课的收获，教师进行情感态度的评价。
七. 说板书设计板书设计如下：等腰三角形的性质1.定义：两腰相等的三角形叫等腰三角形。
a.两腰相等b.底角相等c.高线、中线、角平分线重合2.假设结论不成立3.从假设出发，推出矛盾4.矛盾说明假设不成立，结论成立八. 说教学评价1.学生能准确描述等腰三角形的性质，学会运用反证法进行证明。
北师大版八年级下册数学《等腰三角形》三角形的证明说课教学课件复习
实践探究，交流新知
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不
相等．你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
证明：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么
相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”
定理可得∠C＝∠B，但这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因
(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝
20° ．
(4)若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝ ∠CAD ．
想一想：在等腰三角形中画出一些线段（比如角平分线、中线、高等），你能发
现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？
课件
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(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确.
开放训练，体现应用
例1 (教材第8页例2)已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于
点E，求证：△AED是等腰三角形．
AB＝DC，
证明：在△ABD和△DCA中，BD＝CA，
AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS)
创设情境，导入新课
问题1：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？
(1)等腰三角形两底角相等，也就是“等边对等角”．
(2)“三线合一”．
(3)等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等．
问题2：等腰三角形两底角相等，这个命题的条件和结论是什么？
实践探究，交流新知
新北师大版八年级数学下册《一章三角形的证明1.等腰三角形等腰三角形的判定与反证法》教案_7
（）
（ A ）35° （ B） 20° （C）35 °或 20°（ D）无法确定
4．等腰三角形的顶角等于一个底角的 3 倍，则顶角的度数为
，底角的
度数为
5．等腰三角形三个内角与顶角的外角之和等于 260°，则它的底角度数为
6．等腰△ ABC 中， AB=AC ， BC=6cm，则△ ABC 的周长的取值范围是
三等分，则图中等腰三角形的个数（
）
（ A ）3 （B） 4 （ C）5 （D） 6
2．如图，在△ ABC 中， AB=AC ，BD=BC ， AD=DE=EB ，则∠ A 等于（ ）
（ A ）30° （ B） 36° （C）45 °（D） 54°
3．等腰三角形的一个内角为 70°，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是
7．已知如图，在△ ABC 中，∠ B＝90°，AB ＝BC， BD ＝CE，M 是 AC 的中点，
求证：△ DEM 是等腰三角形
六、能力提升： 1．如图，等腰三角形 ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，BD 平分∠ ABC ，DE⊥BC 且 BC＝10，求△ DCE 的周长。
2．已知△ ABC 中， AB=AC ，D、M 分别为 AC 、BC 的中点， E 为 BC 延长线上 一点，且 CE=12 BC，求证：（1）∠ DMC= ∠ DCM ；（2）DB=DE
布置作业： 【评价反思】
自 学习态度 A
B
C
D
我 学习效果 A
B
C
D
评 合作情况 A
B
C
D
价 尚需改进
反
思
等腰 三角形的
相等。反过来，有两个角相等的三 角形
是
。
定理：
北师大版数学八年级下册《三角形全等和等腰三角形的性质》教案
北师大版数学八年级下册《三角形全等和等腰三角形的性质》教案一. 教材分析北师大版数学八年级下册《三角形全等和等腰三角形的性质》这一节主要让学生掌握三角形全等的判定方法，以及等腰三角形的性质。
在教材中，已经给出了三角形全等的判定方法——SSS、SAS、ASA、AAS，学生需要通过练习来熟练掌握这些方法。
等腰三角形的性质包括：等腰三角形的底角相等，等腰三角形的底边上的高、中线、角平分线重合。
学生需要通过操作活动来探索和证明这些性质。
二. 学情分析学生在学习这一节内容之前，已经学习了三角形、四边形的相关知识，对图形的变换、性质有一定的了解。
但是，对于三角形全等的判定方法，学生可能还不是很熟悉，需要通过练习来加深理解。
对于等腰三角形的性质，学生可能刚开始接触，需要通过操作活动来探索和证明。
三. 教学目标1.知识与技能：理解三角形全等的判定方法，掌握等腰三角形的性质。
2.过程与方法：通过操作活动，培养学生的观察能力、操作能力、证明能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，培养学生合作、探究的精神。
四. 教学重难点1.教学重点：三角形全等的判定方法，等腰三角形的性质。
2.教学难点：三角形全等的判定方法的运用，等腰三角形性质的证明。
五. 教学方法采用问题驱动法、操作活动法、讲解法、讨论法等教学方法，引导学生探索、发现、证明等腰三角形的性质，通过练习让学生熟练掌握三角形全等的判定方法。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、三角板、直尺、圆规。
2.学具：每个学生准备一套三角板、直尺、圆规。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过复习三角形、四边形的相关知识，引导学生进入三角形全等和等腰三角形的性质的学习。
2. 呈现（10分钟）教师通过PPT或者黑板，呈现三角形全等的判定方法和等腰三角形的性质，让学生初步了解这些知识。
3. 操练（10分钟）学生分组，每组用三角板、直尺、圆规拼出两个全等的三角形，然后用这些工具证明两个三角形全等。
北师大2024八年级数学下册 1.1 第3课时 等腰三角形的判定与反证法 教案
1.1 等腰三角形主要师生活动一、创设情境，导入新知如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B =∠C. 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)？师生活动：让学生自主探究，举手回答问题（学生积极踊跃发言，问答提出的问题.）复习回答：问题1：等腰三角形有哪些性质定理及推论？二、探究新知二、小组合作，探究概念和性质知识点一：等腰三角形的判定前面已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?回顾导入：建立数学模型：如图，在△ABC中，∠B =∠C，那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?方法思考：∠作高AD可以吗?∠作角平分线AD呢?∠作中线AD呢?师追问：你能验证你的结论吗？证明：过A作AD平分∠BAC交BC于点D.在∠ABD与∠ACD中，∠∠ABD∠∠ACD (AAS).∠ AB = AC.学生可能会由前面定理的证明获得启发，如作BC的中线，或作CA的平分线，或作BC上的高线，教师应让学生思考判断哪些方法可行，这三种方法中只有后两种方法可以判定所构造的两个三角形全等.这是培养学生推理能力的好机会，也是学生体会从基本事实和已知定理出发进行推理的设计意图：中这里应引导学生养成“反过来”思考问题的意识，即思考一个命题的逆命题的真假，因为这也是获得数学结论的一条重要途径，同时，这样设置问题也为学生下一节学习互逆命题做个铺垫，设计意图：由浅入深，引导学生将实际问题转化为数学问题，培养数形结合思想.设计意图：学生通过观察、思考、证明、归纳等腰三角形的判定方法，培养学生的证明能力，体会解决等腰三角形问题的常用辅助线是作等腰三角形底边上的高线、顶角的角.公理化思想的机会，教师应注意引导，教学中应鼓励学生按要求将证明过程书写出来.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”).应用格式：在∠ABC中，∠∠B =∠C，∠ AB = AC (等角对等边).辨一辨：如图，下列推理正确吗?∵∵1 = ∵2 ，∵ BD = DC(等角对等边).∵∵1 =∵2 ，∵ DC = BC(等角对等边).错，因为都不是在同一个三角形中.典例精析例1 已知：如图，AB = DC，BD = CA，BD与CA相交于点E.求证：∠AED是等腰三角形.证明：∠ AB = DC，BD = CA，AD = DA，∠∠ABD∠∠DCA (SSS).∠∠ADB =∠DAC (全等三角形的对应角相等).∠ AE = DE (等角对等边).∠∠AED是等腰三角形.知识点二：反证法设计意图：给学生独立思考时间，再讨论交流，教师要适当引导，进一步规范学生推理过程的书写.想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗? 如果成立，你能证明它吗?在∠ABC中，如果∠B ≠∠C，那么AB ≠ AC.师生活动：学生先思考，然后小组讨论，发现用正常的证明思路不好解决问题，教师此时提出反证法并出示小明的解题过程.小明是这样想的：如图，在∠ABC中，已知∠B≠∠C，此时，AB与AC要么相等，要么不相等.假设AB= AC，那么根据“等角对等边”定理可得∠B =∠C，但已知条件是∠B ≠∠C.“∠B =∠C ”与“∠B≠∠C ”相矛盾，因此AB ≠ AC.你能理解他的推理过程吗?师生活动：师生一同认识反证法的概念，并总结反证法的证明步骤.反证法概念：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出与已知条件或基本事实或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．用反证法证题的一般步骤：1. 假设：先假设命题的结论不成立；2. 归谬：从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；3. 结论：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角三、当堂练习，巩固所学是直角.已知：∠ABC．求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角．【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A，∠B，∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°．这与三角形的内角和定理矛盾，故假设不成立．所以一个三角形中不能有两个角是直角．三、当堂练习，巩固所学1. 已知：如图，∠A = 36°，∠DBC = 36°，∠C = 72°，∠∠1 = °，∠2 = °；∠ 图中有个等腰三角形；∠ 若AD = 4 cm，则BC = cm；∠ 若过点D作DE∠BC，交AB于点E，则图中有个等腰三角形.2. 已知：等腰三角形ABC的底角平分线BD，CE相交于点O.求证：∠OBC为等腰三角形.3.求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交.设计意图：通过例2，让学生初步感受反证法的证明思路与书写的过程，体会反证法的证明与作用.设计意图：通过设置课堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知.已知：直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∠ l2，l3与l1相交于点P.求证：l3与l2相交.证明：假设______________，那么________.因为已知_________，所以过直线l2外一点P，有两条直线和l2平行，这与“__________________________________________” 矛盾.所以___________，即求证的命题正确.等腰三角形的判定与反证法。
北师大版八年级数学下册 等腰三角形-教案
《1 等腰三角形》教案第1课时教学目标1、知识目标：了解等腰三角形的性质，会利用等腰三角形的性质，进行简单的推理、判断、计算作用．2、能力目标：从设置问题⇒模型演示⇒自己动手探究发现等腰三角形的性质，培养学生的观察力、实验推理能力．3、情感目标：要求学生在学习中运用发现法，体验几何发现的乐趣，在实际操作动手中感受几何应用美．教学重难点重点：等腰三角形两底角相等，等腰三角形三线合一．难点：等腰三角形三线合一的推理应用．教学过程（一）直观演示，大胆猜想1、观察含有等腰三角形图片，让学生从感性上认识等腰三角形，激发学生的兴趣．2、由学生自己动手折纸游戏，演示等腰三角形变换，大胆猜测等腰三角形的性质．（二）证明猜想，形成定理．例、△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠CB1、思考：如何证明你的猜想？〔讲述一种证明方法：作顶角的平分线〕〔解答〕证明：做顶角的平分线AD，AD平分∠A，AD⊥BC．D C B在△ABD 和△ACD 中⎪⎩⎪⎨⎧===CD BD AD AD AC AB所以△ABD ≌△ACD （SSS ），所以∠B=∠C ，∠BAD =∠CAD ，∠ADB =∠ADC ＝90°． 思考：有其它的方法吗？试试看，用不同的方法证明这个结论．2、想一想：在上图中，线段AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD 具有的性质和特征，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”．推论：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．3、小结：根据等腰三角形的性质填空（1）如果AB =AC ，AD 是角的平分线那么-----------------------------------．（2）如果AB =AC ，AD ⊥BC 那么-------------------------------------．（3）如果AB =AC ，BD =CD 那么------------------------------------．总结，积累知识点，从理性上认识等腰三角形的性质，形成知识体系．第2课时教学目标1．知识与能力：理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形中的线段长度关系；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．2．过程与方法：在探索等腰三角形中的线段长度关系的过程中体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．3．情感、态度与价值观：培养学生分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯．教学重难点教学重点：理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形中的线段长度关系；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．教学难点：探索等腰三角形中的线段长度关系的探索和应用．教学过程等腰三角形性质的探究1．让学生回忆上节课的教学内容，引导学生思考从等腰三角形中能找到哪些相等的线段．2．播放课件，结合刚才的问题讲解例1的命题，并为后面将此性质拓展埋下伏笔．3．分别演示：在△ABC 中，∠ABD =k 1∠ABC ，∠ACE =k1∠ACB ，k =31，41时，BD 是否与CE 相等．引导学生探究、猜测当k 为其他整数时，BD 与CE 的关系． 4．引导学生探究，对于上述例题，当AD =k 1AC ，AE =k 1AB ，k =21，31时，通过对例题的引申，培养学生的发散思维，经历探究—猜测—证明的学习过程．5．引导学生进一步推广，把上面3、4中的k 取一般的自然数后，原结论是否仍然成立？要求学生说明理由或给出证明．6．对学生探究的结果予以汇总、点评，鼓励学生在自己做题目的时候也要多思多想，并要求学生对猜测的结果给出证明．7．提出新的问题，引导学生从“等角对等边”这个命题的反面思考问题，即思考它的逆命题是否成立．适时地引导学生思考可以用哪些方法证明？培养学生的推理能力．8．归纳学生提出的各种证法，清楚的分析证明的思路，培养学生演绎证明的初步的推理能力．9．启发学生思考：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，这个结论是否成立？如果成立，能否证明．这实际上是“等边对等角”的逆否命题，通过这样的表述可以提高学生的思维能力．10．总结这一证明方法，叙述并阐释反证法的含义，让学生了解．第3课时教学目的1、使学生掌握等腰三角形的判定定理及其推论；2、掌握等腰三角形判定定理的运用；3、通过例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力；4、熟识等边三角形的性质及判定．教学重难点教学重点：等腰三角形的性质及其应用；等腰三角形的判定定理．教学难点：性质与判定的区别．教学过程一、新课背景知识复习1、请同学们说出互逆命题和互逆定理的概念估计学生能用自己的语言说出，这里重点复习怎样分清题设和结论．2、等腰三角形的性质定理的内容是什么？并检验它的逆命题是否为真命题？启发学生用自己的语言叙述上述结论，教师稍加整理后给出规范叙述：二、新课1、等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简称“等角对等边”）．由学生说出已知、求证，使学生进一步熟悉文字转化为数学语言的方法．已知：如图，△ABC中，∠B=∠C．求证；AB=AC教师可引导学生分析：联想证有关线段相等的知识知道，先需构成以AB、AC为对应边的全等三角形．因为已知∠B=∠C，没有对应相等边，所以需添辅助线为两个三角形的公共边，因此辅助线应从A点引起．再让学生回想等腰三角形中常添的辅助线，学生可找出作∠BAC的平分线AD或作BC边上的高AD等证三角形全等的不同方法，从而推出AB=AC．注意：（1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．（3）判定定理得到的结论是三角形是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系．2、在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等．我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形．等边三角形具有什么性质呢？（1）请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想．（2）你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的？等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A＝∠B＝C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°．（3）上面的条件和结论如何叙述？等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．等边三角形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？等边三角形也称为正三角形．例1．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，求∠1和∠ADC的度数．分析：由AB＝AC，D为BC的中点，可知AB为BC底边上的中线，由“三线合一”可知AD是△ABC的顶角平分线，底边上的高，从而∠ADC＝90°，∠l＝∠BAC，由于∠C＝∠B ＝30°，∠BAC可求，所以∠1可求．问题1：本题若将D是BC边上的中点这一条件改为AD为等腰三角形顶角平分线或底边BC 上的高线，其它条件不变，计算的结果是否一样？问题2：求∠1是否还有其它方法？三、小结由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等，且都为60°．“三线合一”性质在实际应用中，只要推出其中一个结论成立，其他两个结论一样成立，所以关键是寻找其中一个结论成立的条件．第4课时教学目标1．知识与技能：（1）理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法．（2）会用等边三角形的知识解决相应的数学问题．（3）使学生理解含30°角的直角三角形的性质．2．过程与方法：（1）通过探究含30°角的直角三角形的性质，使学生进一步认识到数学来源于生活实践．（2）体验用操作、归纳得出数学结论的过程．3．情感、态度与价值观：（1）通过拼等边三角形这一探究活动，培养学生的合作交流、乐于探究、大胆猜想等良好品质．（2）使学生经历观察、探究、归纳、推理和证明的全过程，培养学生科学、严谨、求真的学习态度．教学难重点教学重点：等边三角形判定定理的发现与证明；理解含30°角的直角三角形的性质及应用．教学难点：等边三角形性质和判定的应用；含30°角的直角三角形性质的探究．教学过程教学过程一．复习回顾等腰三角形概念及性质：（1）叫等腰三角形．（2）等腰三角形的相等．（3）等腰三角形、、互相重合．二．新课讲解活动一：等边三角形的证明1．等边三角形的判定推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．要让学生自己推证这两条推论．2．应用举例例1．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．分析：让学生画图，写出已知求证，启发学生遇到已知中有外角时，常常考虑应用外角的两个特性①它与相邻的内角互补；②它等于与它不相邻的两个内角的和．要证AB=AC，可先证明∠B=∠C，因为已知∠1=∠2，所以可以设法找出∠B、∠C与∠1、∠2的关系．数学表达：已知∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求证：AB=AC．证明：（略）由学生板演即可．活动二：探究直角三角形的性质１．拼一拼：你能用两个含有30°角的三角板摆放在一起构成一个等边三角形吗？你能借助这个图形，找到30°角所对的直角边与斜边之间的数量关系吗？组内交流自己的想法．（如图1）图（1）学生活动：学生两人一组拼并观察图形，分析数量关系，发现∠BAD＝60°，而∠B＝∠D＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以AB=BD＝2BC，进而得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．教师活动：教师巡视观察、倾听各组学生是否发现并理解直角三角形的性质，根据情况进行点拨、引导．2．说一说：你能利用数学语言说一说你的发现吗？学生活动：学生根据图形指出，在Rt△ABC中，因为∠A=30°，所以∠A所对的直角边等于斜边AB的一半．教师活动：教师根据学生叙述进行板书，根据学生叙述情况进行追问、强调．发挥教师的主导作用．3．证一证：师生活动：教师通过追问“这条性质一定是真命题吗？你能验证吗？”引发学生思考，根据图形，自主尝试证明这条性质的正确性．教师巡视指导，观察学生的证明方法，根据学生是否有不同证明方法找学生展示讲解，师生质疑．活动三：变式练习，深化性质1．已知如图（3），在Rt△ABC中，因为∠A=30°，则下列结论正确的为：A、B、C、图（3）图（4）2．已知如图（4），△ABC，∠C=90°，∠A=30°，DE⊥AC于点E，FG⊥AB于点G，请你根据直角三角形的性质写出不同线段间的数量关系．学生活动：学生独立自主完成练习，小组展示，师生质疑矫正．教师活动：教师重点关注学生能否找准30°角所对的直角边，能否根据性质写出线段间的关系．活动四：应用提高、拓展创新1．如图（5）是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7．4m，∠A=30°，立柱BC、DE需要多长？图（5）图（6）2．已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求证：BD=AB．师生活动：学生根据所学知识自行探索，教师引导学生在探索的过程中发现解决问题的关键：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．。
北师大版八年级数学下册1.1.1等腰三角形教学设计
4.教学反馈：
-课后收集学生的作业和反馈，了解学生的学习情况，针对问题进行个别辅导。
-定期进行阶段检测，评估学生对等腰三角形知识的掌握程度，调整教学策略。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在教学开始时，首先通过复习已学的三角形知识，为学生搭建新旧知识之间的桥梁。提问学生对三角形的分类及其性质的理解，引导学生回顾等边三角形的特点。然后，向学生展示一些生活中含有等腰三角形的实物图片，如埃及金字塔、三角形警告标志等，让学生观察并思考这些图形的共同特征。
1.学生对等腰三角形的认识程度不同，部分学生对等腰三角形的定义和性质掌握较好，但仍有部分学生对这些概念的理解不够深入，需要通过具体实例和实际操作来加深理解。
2.学生在解决等腰三角形相关问题时，可能存在思路不清晰、解题方法单一等问题，需要教师在教学中引导学生掌握多种解题方法和技巧。
3.学生的空间想象力、逻辑思维能力和团队合作能力有待提高，教师应通过丰富的教学手段和活动，培养学生的这些能力。
本章节教学设计以等腰三角形为核心，从基础知识、技能培养、过程方法和情感态度四个方面进行全面设计。在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，充分调动学生的积极性，提高教学效果。同时，注重培养学生的几何思维和空间想象力，为后续学习打下坚实基础。
二、学情分析
八年级学生已经在之前的课程中学习了三角形的基本概念、分类以及三角形的基本性质，具备了初步的几何知识基础。在此基础上，学生对等腰三角形的学习将更加深入，但考虑到学生的认知水平和思维能力，以下学情分析如下：
4.小组合作题：
-以小组为单位，讨论等腰三角形在实际问题中的应用，如桥梁建设、建筑设计等。
北师大版数学八年级下册《三角形全等和等腰三角形的性质》教学设计
北师大版数学八年级下册《三角形全等和等腰三角形的性质》教学设计一. 教材分析《三角形全等和等腰三角形的性质》是北师大版数学八年级下册第11章的内容。
本节内容主要让学生掌握三角形全等的条件，等腰三角形的性质及其判定。
通过本节的学习，为学生进一步学习几何证明和解决实际问题打下基础。
二. 学情分析学生在七年级下册已经学习了三角形的性质，对三角形有了一定的了解。
但是，对于三角形全等的判定条件和等腰三角形的性质，还需要通过实例和操作来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.了解三角形全等的条件，能运用SSS、SAS、ASA、AAS判定两个三角形全等。
2.掌握等腰三角形的性质，能运用等腰三角形的性质解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和合作交流能力。
四. 教学重难点1.教学重点：三角形全等的条件，等腰三角形的性质。
2.教学难点：三角形全等的判定条件的运用，等腰三角形性质的证明。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作交流法、实践操作法等教学方法，引导学生主动探究、合作交流，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2.学具：三角板、直尺、圆规、剪刀、彩笔。
3.教学素材：三角形全等的案例、等腰三角形的图片。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的三角形图片，引导学生观察并思考：这些三角形有什么共同特点？你能找出全等的三角形吗？2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现三角形全等的判定条件SSS、SAS、ASA、AAS，并简要介绍每个条件的含义。
然后，通过实例展示和讲解，让学生理解并掌握三角形全等的判定方法。
3.操练（10分钟）学生分组进行实践活动，利用三角板、直尺等工具，尝试找出全等的三角形。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）教师通过PPT呈现一些判断题，让学生判断两个三角形是否全等。
学生独立完成，教师讲解答案。
5.拓展（5分钟）引导学生思考：如何判断一个三角形是否为等腰三角形？教师通过PPT呈现等腰三角形的性质，让学生了解等腰三角形的判定方法。
北师大版八年级下册数学1.1《1等腰三角形》教案
5.培养学生的合作交流能力：在小组讨论和课堂交流中，培养学生主动发表观点、倾听他人意见、共同解决问题的合作交流能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）等腰三角形的定义及性质：理解等腰三角形的底边、腰、顶角、底角的概念及其关系，掌握等腰三角形的两个底角相等、底边两侧的腰相等的核心性质。
3.等腰三角形的底角和顶角：探讨等腰三角形底角相等、顶角相等的性质，并运用这一性质解决相关问题。
4.等腰三角形的面积：学习等腰三角形面积的计算方法，并能熟练运用。
5.等腰三角形在实际问题中的应用：结合实际例子，让学生了解等腰三角形在生活中的应用，提高学生的实际操作能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几方面：
举例：讲解等腰三角形性质时，可通过具体图形让学生观察、总结，强调等腰三角形底角相等这一重点。
（2）等腰三角形的判定：能够运用等腰三角形的性质判断一个三角形是否为等腰三角形，掌握两种判定方法（两边相等或两角相等）。
举例：通过练习题让学生判断不同类型的三角形是否为等腰三角形，强调判定方法的重点。
（3）等腰三角形的面积计算：掌握等腰三角形面积的计算公式，并能熟练应用于实际问题。
2.教学难点突破。在讲解等腰三角形的判定方法和在实际问题中的应用时，我发现部分学生存在一定的困难。为了帮助学生突破难点，我设计了丰富的案例和练习题，让学生在实践中掌握判定方法。然而，仍有部分学生感到困惑。在今后的教学中，我需要更加关注学生的个体差异，因材施教，针对性地进行辅导，以提高他们的实际应用能力。
1.培养学生的逻辑推理能力：通过引导学生探究等腰三角形的性质和判定方法，让学生经历观察、猜想、论证的过程，提高逻辑推理能力。
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《等腰三角形》教学设计等腰三角形是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》八年级下册第一章第一节内容，本章主要是有关命题的证明及三角形的性质；本节要求理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。
所以本节的重点是①等边三角形判定定理的发现与证明，②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明。
本节课，学生将探究等边三角形判定定理和含30°角的直角三角形的性质定理，应该说，这两个定理的证明和探索相对而言，并不复杂，更多的是前面定理的直接运用，因此，本节课可以更多地让学生自主探索。
但第一个定理证明中，需要分类讨论，因此注意揭示其中的分类思想；第2个定理结论比较特殊，直接从定理条件出发，学生一般难能得到这个结论，因此，教科书中设计了一个学生活动，在活动的基础上“无意”中发现了其特殊的结论，这实际上也是一种数学发现的方法，因此也应注意让学生体会。
为此，确定本节课的教学目标：【知识与能力目标】理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。
【过程与方法目标】①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．②经历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；③在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力。
【情感态度价值观目标】①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.【教学重点】①等边三角形判定定理的发现与证明.②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.【教学难点】①含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.②引导学生全面、周到地思考问题.教师准备课件、多媒体；学生准备；练习本；第一环节：提问问题，引入新课活动内容：教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等腰三角形呢？从而引入新课。
活动目的：开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫。
活动效果：在老师的引导下，一般学生都能得出等边三角形的性质；对于等边三角形的判别，学生可能会出现多种情况，如直接从等边三角形性质出发，当然也可能有学生考虑分步进行，现确定它是等腰三角形，再增补条件，确定它是等边三角形。
这是教师可以适时提出问题：如果已知一个三角形是等边三角形的基础上，如何确定它是等边三角形呢？下面是实际教学中的部分师生活动实况：[生]等腰三角形已经有两边分别相等，所以我认为只要腰和底相等，等腰三角形就成了等边三角形．[生]等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60°．我认为等腰三角形的三个内角都等于60°，等腰三角形就是等边三角形了．(此时，部分同学同意此生的看法，部分同学不同意此生的看法，引起激烈地争论．教师可让同学代表充分发表自己的看法．)[生]我不同意这位同学的看法．因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形．根据等角对等边，三个内角都是60°，所以它们所对的边一定相等．但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，我觉得他给的条件太多，浪费![师]给三个角都是60°，这个条件的确有点浪费，那么给什么条件不浪费呢?下面同学们可在小组内交流自己的看法．(2)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流．(教师应给学生自主探索、思考的时间)第二环节：自主探索活动内容：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：活动目的：经历定理的探究过程，即明确有关定理，同时提高学生的自主探究能力。
活动注意事项与效果：由于有了第1环节的铺垫，学生多能探究出：顶角是60°的等腰三角形是等边三角形；底角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形。
对于前两个定理的形式相近，教师可以进一步提出要求：能否用更简捷的语言描述这个结论吗?从而引导学生得出：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
在学生得出这些结论的基础上，教师注意引导学生说明道理，给出证明的思路，选择部分命题，给与严格的证明，由于“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的证明需要分类讨论，因此，可以以此问题作为对学生证明的要求，并与同伴交流证明思路．并要求学生思考证明中的注意事项，从而点明其中的分类思想，提请学生注意：思考问题要全面、周到．第三环节：实际操作 提出问题活动内容：教师直接提出问题：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形。
拿出三角板，做一做：用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗? 在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由．活动目的：让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．活动注意事项与效果：学生一般可以得出下面两种图形：其中第1个图形是等边三角形，对于该图学生也可以得出BD=12AB ，从而得出：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．注意，教学过程中，教师应注意引导学生说明为什么所得到的三角形是等边三角形。
具体的说明过程可以如下：方法1：因为△ABD ≌ACD ，所以AB=AC ．又因为Rt △ABD 中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．方法2：图(1)中，∠B=∠C=60，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC 是等边三角形．如果学生不能很快得出30度所对直角边是斜边一半，教师可以在图上标出各个字母，并要求学生思考其中哪些线段直接存在倍数关系，并在将三角板分开，思考从中可以得到什么结论。
然后在学生得到该结论的基础上，再证明该定理。
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=12AB ． 分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD ． 证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°∠B=60°.延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD(如图所示)．∵∠ACB=90°∴∠ACB=90°∵AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC(SAS)．∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)．∴△ABD 是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．∴BC=12 BD=12AB ． 第四环节：变式训练 巩固新知活动1：直接提请学生思考刚才命题的逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°吗?如果是，请你证明它．在师生分析的基础上，给出证明：已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=12AB ． 求证：∠BAC=30°证明：延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．又∵AC=AC ．∴△ACB ≌△ACD(SAS)．∴AB=AD ．∵CD=BC ，∴BC=12BD ． 又∵BC=12AB ，∴AB=BD ． ∴AB=AD=BD ，即△ABD 是等边三角形．∴∠B=60°．在Rt △ABC 中，∠BAC=30°．注意事项：该命题的证明中辅助线较复杂，但恰有前面原命题探究活动过程的铺垫，可以给学生一些启示，因此，教学中，教师可以引导学生思考：从前面定理证明的辅助线的作法中能否得到启示？活动2 ：呈现例题，在师生分析的基础上，运用所学的新定理解答例题。
[例题]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高CD 的长.分析：观察图形可以发现在Rt △ADC 中，AC=2a 而∠DAC 是△ABC 的一个外角，而∠DAC=×15°=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD ．解：∵∠ABC=∠ACB=15°∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°∴CD=12 AC=12×2a= a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．活动目的：在例题求解中巩固新知。
第五环节：畅谈收获 课时小结让学生对课堂学习进行小结，注意总结具体的知识、结论，以及解决问题的方法和蕴含其中的思想，如分类讨论思想、逆向思维等。
第六环节：布置作业略。