1.1 归纳与类比 课件3, (北师大选修2-2)

不完全归纳法
完全归纳法 ：每一个对象或每
一个类的考察 见课本第7页习题1-1 第3题。
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例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测; 把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次? 解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3
四、作业:课本P7习题1-1中1、 2 Ⅴ、教后反思：
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21
2
一.引例：
2 1.当n=0,1,2,3,4,5时，计算n-n+11的值，根据所计算得 的值，你能得到什么结论？
n 0 1 2 3 4 5
n2-n+11
3
2.矩形的对角线的平方等于长和宽的平方和. 你能推出长方体有什么性质？ 长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和. 3.所有的树都是植物， 梧桐是树. 你能得出什么结论？ 梧桐是植物.
以上三个推理有什么特征？
由部分到整体、由特殊到一般.
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哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著 名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥 德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除 的数）之和。 如6＝3＋3，12＝5＋7等等。 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)， 提出了以下的猜想: (a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。
2
1
3
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解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1
当n=2时,a2= 3 当n=3时,a3= 7 当n=4时,a4= 15
猜想 an= 2n -1
2
1
3
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三、课堂练习
2 2 3 3 练习 ：已知 2 2 ，3 3 ， 1 3 3 8 8 4 4 a a 4 4 ， ，若 6 6 ， 15 15 b b (a , b均为实数），请推测 __ b 35 a 6 __
例2.前提：三角形的内角和是180 ，凸四边形的内角和 是360，凸五边形的内角和是540 ，……
结论： 凸n边形的内角和是(n-2)180 .
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2 2+1 2 2+2 2 2+3 例3.前提： < ， < ， < ，… 3 3+1 3 3+2 3 3+3
b b+m 结论： < (a、b、m均为正实数). a a+m
7 7
9
15 15
16
15
10 9
小结： 归纳推理的特点：
(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结 论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包容的范围.
(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实 还需经过逻辑证明和实践检验.因此，它不能作为数学证明 的工具.
(3)归纳推理是一种具有创造性的推理。通过归纳法得到的 猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和 提出问题. 16
歌德巴赫猜想的提出过程：
…
9
定义：
从个别事实中推演出一般性的结论,像 这样的推理通常称为归纳推理
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； 实验、观察 概括、推广 整
猜测一般性结论
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an 例1:已知数列{an}的第1项a1=1且 a n+1 = 1+an (n=1,2,3 „),试归纳出这个数列的通项公式.
4 5 5 6 6 8
4 5 6 6 8 6
6 8 9 10 12 12
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猜想 F+V-E=2
多面体 面数(F)
欧拉公式
棱数(E)
顶点数面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔
4 5 5 6 6 8
4 5 6 6 8 6 10
6 8 9 10 12 12
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例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶
点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们 之间的关系.
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多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔
4 5 5
4 5 6
6 8 9
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多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔
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歌德巴赫猜想: 即:偶数＝奇质数＋奇质数 “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质 数之和”
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30， 改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17． 6＝3+3， 8＝3+5， 10＝5+5, 12＝5+7， 14＝7+7， 16＝5+11, 18 =7+11, „， 1000＝29+971， 1002=139+863,
北师大版高中数学选修2-2 第一章《推理与证明》
§1归纳与类比
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Ⅰ、教学目标 1．知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推 理的含义；（2）能利用归纳进行简单的推理；（3）体会并认 识归纳推理在数学发现中的作用. 2．方法与过程：归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法， 通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性 命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。 3．情感态度与价值观：通过本节学习正确认识合情推理在数 学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析事物、发 现事物之间的质的联系的良好品质， 善于发现问题，探求新知识。 Ⅱ、教学重点：了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单 的推理。 教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的归纳推理能力。 Ⅲ、教学方法：探析归纳，讲练结合 Ⅳ、教学过程
上述3个案例的推理各有什么特点
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二.新课： 1.推理 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 推理.任何推理都包含前提和结论两个部分.
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2.例题： 例1.前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟 是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴 都是爬行动物，
结论： 所有的爬行动物都是用肺呼吸的.