高中立体几何练习题(根据历年高考题改编)

立体几何复习精选

一．选择

10 1模

5．已知p ：直线a 与平面α内无数条直线垂直，q ：直线a 与平面α垂直．则p 是q 的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

三．大题 18．如图5所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，ADP BAD △∽△． （1）求线段PD 的长；

（2）若11PC R =，求三棱锥P ABC -的体积．

C P

A B

图5

D

09 1模

如图4，A A 1是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，

C 是底面圆周上异于,A B 的任意一点， 12AA AB ==．

（1）求证：BC ⊥平面AC A 1；

（2）求三棱锥1A ABC -的体积的最大值．

18在长方体1111112,ABCD A B C D AB BC A C -==中，过、、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图4所示的几何体111ABCD A C D -，且这个几何体的体积为

403

。 （1）证明：直线1A B ∥平面11CDD C ; （2）求棱1A A 的长;

（3）求经过11A C 、、B 、D 四点的球的表面积。

10 1模 17．（本小题满分14分）

如图6，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且3AE =，6AB =． （1）求证：AB ⊥平面ADE ；

（2）求凸多面体ABCDE 的体积．

A

B

C D E

图5

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ． （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求点O 到平面ABM 的距离．

O

A

P

B

M

18．解：（1）

BD 是圆的直径90BAD ∴∠=，又ADP BAD △∽△，

AD DP BA AD ∴=，22

2

34(sin 60)431(sin 30)22

R AD BD DP R BA BD R ⨯

===

=⨯； （2）在Rt BCD △中，

cos 452CD BD R

==2222229211PD CD R R R PC +=+==

PD CD ∴⊥，又90PDA ∠=PD ∴⊥底面ABCD

2

11

321231sin(6045)222

22224ABC

S AB BC R R R ⎛⎫+=+=⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭

△ 三棱锥P ABC -的体积为23

11

3131333

44

P ABC ABC V S PD R R R -++=

==△

（1）证明：∵C 是底面圆周上异于A 、B 的一点，且AB 为底面圆的直径，

∴BC AC ⊥． …… 2分

∵1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，

∴1BC AA ⊥. …… 4分 ∵⊂=11,AA A AC AA 平面AC A 1,⊂AC 平面AC A 1, ∴BC ⊥平面1A AC ． …… 6分

（2）解法1:设AC x =,在Rt △ABC 中，BC 0＜x ＜2)，

故1

11111332

A ABC ABC V S AA AC BC AA -∆=⋅=⨯⋅⋅13=0＜x ＜2),

即1

13A ABC V -== ∵2

02,04x x <<<<,

∴当2

2x =，即x =1A ABC -的体积的最大值为

3

2

． 解法2: 在Rt △ABC 中，42

2

2

==+AB BC AC , BC AC A A A A S V ABC ABC A ⨯⨯⨯⨯=⋅=

-213131111∆ BC AC ⨯⨯=3

1

2312AB ⨯= 3

2

=. 当且仅当BC AC =时等号成立，此时2==BC AC ∴三棱锥ABC A -1的体积的最大值为3

2

.

（1）证法1：如图，连结1D C ，∵1111ABCD A B C D -是长方体， ∴11A D BC 且11A D BC =．∴四边形11A BCD 是平行四边形． ∴11A B D C ．∵1A B ⊄平面11CDD C ，1D C ⊂平面11CDD C ，

∴1A B

平面11CDD C ．

（2）解：设1A A h =，∵几何体111ABCD AC D -的体积为40

3

， ∴1111111111403ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=即11114033

ABCD A B C S h S h ∆⨯-⨯⨯=， 即1140

2222323

h h ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=

，解得4h =．∴1A A 的长为4．

（3）如图，连结1D B ，设1D B 的中点为O ，连11OA OC OD ，，， ∵1111ABCD A B C D -是长方体，∴11A D ⊥平面1A AB ．

∵1A B ⊂平面1A AB ，∴11A D ⊥1A B ．

∴1112OA D B =

．同理111

2

OD OC D B ==． ∴11OA OD OC OB ===．

∴经过1A ，1C ，B ，D 四点的球的球心为点O ．

∵2222222

111124224D B A D A A AB =++=++=．

∴()

2

2

21144242D B S OB D B ππππ⎛⎫

=⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭

球．

故经过1A ，1C ，B ，D 四点的球的表面积为24π． 10-1

1）证明：∵AE ⊥平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，