命题及其关系教学讲义

命题及其关系、充分条件与必要条件教学讲义

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的__陈述句__叫做命题，其中__判断为真__的语句叫做真命题，__判断为假__的语句叫做假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①若两个命题互为逆否命题，则它们有__相同__的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性__没有关系__.

3．充分条件、必要条件与充要条件

若p⇒q，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件

p是q的__充分不必要__条件p⇒q且q p

p是q的__必要不充分__条件p q且q⇒p

p是q的__充要__条件p⇔q

p是q的__既不充分又不必要__条件p q且q p

1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；

(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；

(3)若A＝B，则p是q的充要条件；

(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；

(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；

(6)若A B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

2．充分条件与必要条件的两个特征：

(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．

(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．

注意：不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p ⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．

1．下列语句为命题的是(D)

A．对角线相等的四边形

B．a<5

C．x2－x＋1＝0

D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形

[解析]只有选项D是可以判断真假的陈述句，故选D．

2．命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆否命题是(A)

A．对角线不互相平分的四边形不是平行四边形

B．不是平行四边形的四边形对角线不互相平分

C．对角线不互相平分的四边形是平行四边形

D．不是平行四边形的四边形对角线互相平分

[解析]原命题即“若四边形是平行四边形，则其对角线互相平分”，故其逆否命题“若四边形的对角线不互相平分，则其不是平行四边形”，即“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”．

3．(教材改编题)“x＝2”是“x2－4＝0”的(A)

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

[解析]x2－4＝0，则x＝±2，故是充分不必要条件．故选A．

4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的(A)

A．逆否命题B．逆命题

C．否命题D．原命题

[解析] 假设命题p 为“若A ，则B ”．根据四种命题的关系可知，命题r 为“若¬A ，则¬B ”，命题s 为“若¬B ，则¬A ”，因此s 是p 的逆否命题． 5．下列命题中为真命题的是( A ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题

[解析] 对于A ，其逆命题是“若x >|y |，则x >y ”，是真命题，这是因为x >|y |≥y ，必有x >y ； 对于B ，其否命题是“若x ≤1，则x 2≤1”，是假命题，如x ＝－5，x 2＝25>1；

对于C ，其否命题是“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，由于x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；

对于D ，若x 2>0，则x ≠0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题． 6．“tan α＝tan β”是“α＝β”的( )条件( D ) A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要

D ．既不充分也不必要

[解析] 当tan α＝tan β时，α＝β＋k π，k ∈Z ，不一定α＝β；当α＝β＝π

2时，tan α，tan β无意

义，因此也不能说tan α＝tan β，故选D ． 7．写出下列命题的否定形式和否命题： (1)若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为零； (2)若a ＋b ＝0，则a ，b 中最多有一个大于零； (3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等； (4)有理数都能写成分数．

[解析] (1)否定形式：若xy ＝0，则x ，y 都不为零． 否命题：若xy ≠0，则x ，y 都不为零． (2)否定形式：若a ＋b ＝0，则a ，b 都大于零． 否命题：若a ＋b ≠0，则a ，b 都大于零．

(3)否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻两个内角不相等． 否命题：若四边形不是平行四边形，则它的相邻两个内角不相等． (4)否定形式：有理数不能都写成分数．

否命题：非有理数不能写成分数． [答案] 略

考点1 四种命题及其关系——自主练透

例1 (1)(2018·长春模拟)已知命题α：如果x <3，那么x <5，命题β：如果x ≥3，那么x ≥5，则命题α是命题β的( A ) A ．否命题 B ．逆命题 C ．逆否命题 D ．否定形式

(2)给出以下四个命题：

①“若x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形面积相等”的否命题；

③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实数根”的逆否命题； ④若ab 是正整数，则a 、b 都是正整数． 其中真命题是__①③__(写出所有真命题的序号)．

(3)(2018·北京，13)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__f (x )＝sin x ，x ∈[0,2](答案不唯一)__. [解析] (1)命题α：如果x <3，那么x <5， 命题β：如果x ≥3，那么x ≥5， 则命题α是命题β的否命题．

(2)①“若x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的逆命题为“若x 、y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，显然是真命题；②“全等三角形面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，假命题；③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实根”的逆否命题为“若x 2＋x ＋q ＝0无实根，则q >－1”，x 2＋x ＋q ＝0无实根则△＝1－4q <0，即q >1

4，从而q >－1，故③为真命题．(也可由

原命题为真得出结论)；④显然是假命题，如ab ＝2时，可能a ＝－1，b ＝－2，故填①③. (3)本题主要考查函数的单调性及最值．

根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一

的最小值点，且f (x )min ＝f (0)即可，除所给答案外，还可以举出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，

1x ，0

等．