空间直线与平面平面与平面的位置关系

精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号_

D D所成的角，

2

=

3

D

C

P

A

B

解析：∵AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∴AP ⊥PBC 连PD ，则PD 就是AD 在平面PBC 上的射影 ∴∠PDA 就是AD 与平面PBC 所成角

又∵∠ABP =∠ACP =60o ，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点， ∴PD=

BC 2

7

, PA=6BC ∴AD=BC 231 ∴31

217

cos ==∠AD

PD

PDA ∴AD 与平面PBC 所成角的余弦值为

31

217

巩固练习： 1

选择题

（1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ） （A ）（0o,90o ）

（B ）[0o,90o] （C ）[0o,180o] （D ）[0o,180o)

（2）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④

两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是 （ ）

（A ）1个

（B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

（3）从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线

条数不可能是（ ）

（A ）0条或1条 （B ）0条或无数条

（C ）1条或2条

（D ）0条或1条或无数条

答案：（1）B (2)C (3)D 2．填空题

（1）设斜线与平面?所成角为θ，斜线长为l ，则它在平面内的射影长是 .

即二面角A BC D

--的大小为

2 arctan

2

（3）取AC的中点E，连接,

EF OF，则//,//

EF AB OE CD

∴OE与EF所成的锐角或直角即为异面直线AB和CD所成角

易求得45

OEF

∠=

即异面直线AB和CD所成角为45

例5、设P是△ABC所在平面M外一点，当P分别满足下列条件时，判断点P在M内的射影的位置．

（1）P到三角形各边的距离相等．

（2）P到三角形各顶点的距离相等．

（3）PA、PB、PC两两垂直．

解析：设P在平面M内的射影是O．

（1）O是△ABC的内心；

（2）O是△ABC的外心；

（3）O是△ABC的垂心．

例6、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求证： （1）A 1C ⊥平面C 1DB 于G ； （2）垂足G 为正△C 1DB 的中心； （3）A 1G ＝2GC ．

解析：（1）连AC ，对平面ABCD 来说，A 1A 是垂线，A 1C 是斜线，AC 是A 1C 在平面ABCD 上的射影，因为AC ⊥DB （正方形的性质），所以? A 1C ⊥DB ． 同理可证A 1C ⊥BC 1．

因为A 1C ⊥平面C 1DB （直线与平面垂直的判定理）

（2）因为A 1B ＝A 1C 1＝A 1D ，所以BG ＝GC 1＝DG ，故G 是正△C 1DB 的外心，正三角形四心合一，所以G 是正△C 1DB 的中心．

（3）在正方体的对角面A 1ACC 1内，由平面几何可知△A 1GC 1∽△OGC ，且A 1C 1∶OC ＝A 1G ∶GC ，所以A 1G ∶GC ＝2∶1，因此A 1G ＝2GC ． 变式练习：

已知：Rt △ABC 在平面α内，PC ⊥平面α于C ，D 为斜边AB 的中点，CA ＝6，CB ＝8，PC ＝

12．求：

（1）P ，D 两点间的距离； （2）P 点到斜边AB 的距离．

解析：（1）

（2）作PE ⊥AB 于E ，连CE 则CE ⊥AB ．（三垂线定理的逆定理）PE 就是P 点到AB 边的距离．

可用等积式CE ·AB ＝AC ·CB ，即斜边上的高与斜边的乘积等于两直角边的乘积．

因CE ·AB 是Rt △ABC 面积的二倍，而AC ·CB 也是Rt △ABC 面积的二倍，所以它们相等；也可用△BCE ∽△ABC ，对应边成比例推出这个等积式．

E F C 1

B 1A 1D 1

D A B C (3)求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值

解析：(1)tg ∠AFE =EF AE =2(2)异面直线AD 与BC 所成的角的余弦值为1030

7、如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，过顶点B 、D 、C 1作截面，则二面角B -DC 1-C 的余弦值是多少

解析：c os θ＝33

8、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、A 1D 1的中点，求：

（1）D 1B 1与面AC 所成角的余弦值；

（2）EF 与面A 1C 1所成的角； （3）EF 与面AC 所成的角．