多元函数的极值与拉格朗日乘数法

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多元函数求极值(拉格朗日乘数法)-8页文档资料

第八节多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。

熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。

教学重点：多元函数极值的求法。

教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。

教学内容：一、多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点，如果都适合不等式则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。

如果都适合不等式则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。

使函数取得极值的点称为极值点。

例1 函数2243y x z +=在点（0，0）处有极小值。

因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。

从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点。

例２函数22y x z +-=在点（0，0）处有极大值。

因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点。

例３函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。

因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。

定理1（必要条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：证不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。

依极大值的定义，在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有类似地可证从几何上看，这时如果曲面),(y x f z =在点),,(000z y x 处有切平面，则切平面成为平行于xOy 坐标面的平面00=-z z 。

多元函数极值

提示: 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)≠(0, 0) 时, z>0. 因此z=0是函数的极小值.
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一,多元函数的极值及最大值,最小值
极值的定义设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义, 如果对于该邻域内任何异于(x0, y0)的点(x, y), 都有 f(x, y)<f(x0, y0)(或f(x, y)>f(x0, y0)), 则称函数在点(x0, y0)有极大值(或极小值)f(x0, y0). 例2 函数z = x2 + y2 在 (0, 0)处有极大值点 .
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二,条件极值拉格朗日乘数法
条件极值对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 例如, 求V=xyz在条件2(xy+yz+xz)=a2下的最大值.
a2 2xy 由条件2(xy+ yz + xz)=a2 , 解得z = 得 , 于是 2(x+ y) xy a2 2xy V= ( ). 2 (x+ y) 这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题.
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二,条件极值拉格朗日乘数法
条件极值对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 (2)用拉格朗日乘数法在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值, 需要用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法. 下面导出函数z=f(x, y)在条件(x, y)=0下取得的极值的必要条件. 假定f(x, y)及(x, y)有各种所需要的条件.

多元函数的极值与条件极值

多元函数的极值与条件极值在数学分析中，极值是一个重要的概念。

对于多元函数而言，我们可以通过求取偏导数或利用拉格朗日乘数法来确定其极值点。

在这篇文章中，我们将探讨多元函数的极值以及条件极值。

一、多元函数的极值在开始讨论多元函数的极值之前，我们先来回顾一元函数的极值。

对于一个实数域上的函数f(x)，如果存在x=a，使得在a的某个去心邻域内，函数值小于（或大于）f(a)，则称f(a)是函数f的一个极大（或极小）值。

同样地，我们可以将这一概念推广到多元函数上。

考虑一个定义在n维欧几里得空间上的函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，其中x₁,x₂,...,xₙ是实数。

我们称向量x=(x₁,x₂,...,xₙ)为函数f的一个驻点，如果在x的某个邻域内，函数值在x点取得极值。

对于多元函数，我们需通过求取偏导数来判断其极值点。

偏导数的定义如下：对于函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，它在x=(a₁,a₂,...,aₙ)处的偏导数∂f/∂xᵢ (i=1,2,...,n)是当变量xᵢ在点(x₁,x₂,...,xₙ)处以及其他变量a₁,a₂,...,aₙ保持不变时的导数。

求解偏导数后，我们可以通过将偏导数相应的变量取0，得到一组等式，从而解得极值点。

二、多元函数条件极值在实际问题中，我们经常会遇到有约束条件的优化问题，这就引出了条件极值的概念。

对于一个满足一组约束条件的多元函数，我们要在满足条件的前提下，找到它的极值点。

拉格朗日乘数法是求解带有约束条件的多元函数极值的常用方法。

设函数f(x₁,x₂,...,xₙ)的约束条件为g(x₁,x₂,...,xₙ)=0。

首先构建拉格朗日函数L(x₁,x₂,...,xₙ,λ)=f(x₁,x₂,...,xₙ)+λg(x₁,x₂,...,xₙ)，其中λ为拉格朗日乘数。

然后，求解函数L的偏导数∂L/∂xᵢ(i=1,2,...,n)和∂L/∂λ，并将它们置为0。

解这组方程，即可得到满足条件的极值点。

多元函数求极值（拉格朗日乘数法）

熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。

教学重点：多元函数极值的求法。

教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。

教学内容：一、多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内),(y x f z =),(00y x 异于的点，如果都适合不等式),(00y x ，00(,)(,)f x y f x y <则称函数在点有极大值。

如果都适合不等式(,)f x y ),(00y x 00(,)f x y ，),(),(00y x f y x f >则称函数在点有极小值．极大值、极小值统称为极值。

(,)f x y ),(00y x ),(00y x f 使函数取得极值的点称为极值点。

例1 函数在点（0，0）处有极小值。

因为对于点（0，0）的2243y x z +=任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。

从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面的顶点。

2243y x z +=例２函数在点（0，0）处有极大值。

因为在点（0，0）处22y x z +-=函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于平面下方的锥面的顶点。

xOy 22y x z +-=例３　函数在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。

因为在xy z =点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。

定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点),(y x f z =),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：),(00y x 0),(,0),(0000==y x f y x f y x 证不妨设在点处有极大值。

关于多元函数的极值和最值计算

关于多元函数的极值和最值计算多元函数的极值和最值计算是高等数学中的重要部分，它涉及到多元函数的极大值和极小值的求解以及在给定区域内的最大值和最小值的确定。

在这篇文章中，我们将详细介绍多元函数的极值和最值计算的方法和步骤。

首先，让我们来了解一下多元函数的概念。

在高等数学中，一个多元函数是指具有多个变量的函数，它通常被表示为f(x1,x2,...,xn)，其中x1,x2,...,xn是变量，f是一个函数。

多元函数与一元函数不同，它的输入变量不再是一个实数，而是多个实数。

因此，多元函数的求解方法也与一元函数有所不同。

下面我们将分别介绍多元函数的极大值和极小值的求解方法。

首先是多元函数的极大值和极小值的求解。

要求解多元函数的极大值和极小值，我们需要找到函数的驻点（即导数等于零的点）以及临界点（即定义域的边界点）。

第一步是计算多元函数的偏导数。

在多元函数中，我们根据变量的个数来计算偏导数。

例如，对于一个两个变量的函数f(x1,x2)，我们需要计算f对x1的偏导数∂f/∂x1和f对x2的偏导数∂f/∂x2第二步是找到偏导数为零的点。

我们将得到一个方程组，其中每个方程都是一个偏导数等于零的方程。

通过求解这个方程组，我们可以找到多元函数的驻点。

第三步是找到临界点。

临界点是指函数定义域的边界点。

我们需要判断多元函数在这些边界点是否存在极值。

为此，我们可以计算函数在边界点处的取值，并与其他驻点的函数值进行比较。

通过这些步骤，我们可以确定多元函数的极大值和极小值。

接下来，让我们介绍多元函数在给定区域内的最大值和最小值的确定方法。

要确定多元函数在给定区域内的最大值和最小值，我们需要利用拉格朗日乘数法。

首先，确定给定区域的边界条件。

给定区域可以是一个封闭区域，也可以是一个开放区域。

第一步是通过拉格朗日乘数法构建一个方程。

这个方程的形式是多元函数加上一个或多个约束条件的等式。

拉格朗日乘子是用来考虑约束条件对函数极值的影响的。

多元函数条件极值拉格朗日乘数怎么解

多元函数条件极值拉格朗日乘数怎么解1. 转化为无条件极值在讨论多元函数极值问题时，如果遇到除了在定义域中寻求驻点（可能的极值点）外，对自变量再无别的限制条件，我们称这类问题为函数的无条件极值。

如求的极值，就是无条件极值问题。

然而在实际中，我们也会遇到另一类问题。

比如，讨论表面积为的长方体的最大体积问题。

若设长方体的三度为, 则体积，同时应满足于是我们的问题的数学含义就是：当自变量满足条件下取何值时能使函数取得最大值。

（这里我们暂不论证指出这个最大值就是极大值）。

一般抽象出来，可表为如下形式：即函数在条件下的取极大（小）值问题。

今后，我们称这种问题为函数的条件极值问题。

对自变量有附加条件的极值称为条件极值。

一般称为目标函数，为约束条件( 或约束方程) 。

对于有些实际问题, 可以把条件极值问题化为无条件极值问题。

例如上述问题, 由条件, 解得, 于是得 V .只需求 V 的无条件极值问题。

例6 求函数在约束条件下的条件极值。

解由约束条件可解出代入目标函数，有：令得驻点由于当时，，当时，在时取极大值，又当时，由约束条件可解出，而，此例说明条件极值可有如下一种解法：如果能从约束方程中解出一个自变量，代入目标函数后，就可转化为无条件极值。

通过讨论无条件极值可得问题的解答。

但在很多实际问题中，往往不容易从约束条件中解出一个自变量，从而上述方法就失效了。

因此，对条件极值我们应讨论一般解法。

2. 关于条件极值的拉格朗日乘数法在很多情形下, 将条件极值化为无条件极值并不容易。

需要另一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法。

拉格朗日乘数法：要找函数 z = f ( x , y ) 在条件 j ( x , y ) = 0 下的可能极值点, 可以先构成辅助函数 F ( x , y ) = f ( x , y )+ lj ( x , y ) , 其中 l 为某一常数。

然后解方程组.由这方程组解出 x , y 及 l , 则其中( x , y ) 就是所要求的可能的极值点。

(条件极值)多元函数的极值与拉格朗日乘数法

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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例已知长方体长宽高的和为18, 问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？解设长方体的长、宽、高分别为x、y、z ,
由题意知，周长： x y z 18
长方体的体积为 V xyz
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下面要介绍解决条件极值问题的一般方法: 拉格朗日乘数法
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法: 现要寻求目标函数 z f ( x, y ) 在约束条件 ( x , y ) 0
利用隐函数的概念与求导法 (1)
(2)
下取得极值的必要条件. 如函数(1)在( x0 , y0 ) 取得所求的极值, 那末首先有 ( x0 , y0 ) 0 (3) 由条件 ( x, y ) 0 确定y是x的隐函数 y y( x ). 不必将它真的解出来,则 z f ( x , y ( x )),于是函数(1) 在( x0 , y0 ) 取得所求的极值. 即, x x0 取得极值.
则f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下:
(1) AC B 2 0时有极值,
当A 0时有极大值, 当A 0时有极小值;
(2) AC B 2 0时没有极值; (3) AC B 2 0时可能有极值,也可能无极值.
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
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多元函数的极值与拉格朗日乘数法
z f ( x , y ( x ))在 x x0 取得极值.
z f ( x , y ) (1) ( x , y ) 0 ( 2)
由一元可导函数取得极值的必要条件知:
f dy f dz 0 (4) x x y 0 dx x x 0 x0 dx x x0 x x y y0 y y0 ( x, y ) 0 x ( x 0 , y0 ) dy 其中代入(4)得: y ( x 0 , y0 ) dx x x0 ( x0 , y0 ) 0 ( 3) x ( x 0 , y0 ) f x ( x 0 , y0 ) f y ( x 0 , y0 ) 0 ( 5) y ( x 0 , y0 ) (3) ,(5)两式就是函数(1)在条件(2)下的在( x0 , y0 ) 取得极值的必要条件.

多元函数微分学求最值,直接建立拉格朗日乘数法

多元函数微分学求最值，直接建立拉格朗日乘数法【多元函数微分学求最值，直接建立拉格朗日乘数法】引言在高等数学中，多元函数微分学是一个重要的分支，它研究多元函数的极值与最值问题。

其中一种常见的求最值的方法是通过建立拉格朗日乘数法。

本文将从简单到复杂的角度，逐步探讨多元函数微分学求最值的方法，并结合拉格朗日乘数法来解决实际问题。

一、多元函数的极值1.1 极值概念在单变量函数中，我们通过求导数，令导数为零来判断函数的极值点。

而在多元函数中，我们需要通过求偏导数来判断函数的极值点。

对于一个n元函数$f(x_1,x_2,…,x_n)$，偏导数用$\frac{\partial f}{\partial x_i}$表示。

1.2 极值的判断条件多元函数的极值点与一元函数类似，也需要满足导数为零的条件。

对于一个n元函数$f(x_1,x_2,…,x_n)$，如果在某一点$(a_1,a_2,…,a_n)$处，满足以下条件：$\frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2,…,a_n)=0\\\frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1,a_2,…,a_n)=0\\……\\\frac{\partial f}{\partial x_n}(a_1,a_2,…,a_n)=0$那么该点就是函数的极值点。

但这仅仅是极值的必要条件，并不一定是充分条件。

二、最值问题的解决方法2.1 直接法在一元函数中，我们通过求导数来解决最值问题，而在多元函数中，我们也可以直接计算偏导数，并令其为零来解决最值问题。

举例说明：设有一个二元函数$f(x,y)=2x^2+3y^2$，我们要求在$x^2+y^2=1$的条件下，函数$f(x,y)$的最小值。

解法：根据条件$x^2+y^2=1$，我们可以得到一个方程组：$2x-λ\cdot2x=0\\2y-λ\cdot2y=0\\x^2+y^2-1=0$其中，λ为拉格朗日乘子。

多元函数的极值与拉格朗日乘法

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充分条件
如果多元函数$f(x)$在点$x_0$处的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）是正定的或负定的，则该点为极小值或极大值点。
多元函数的极值示例
球面函数
考虑函数$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$，该函数在原点$(0,0,0)$ 处取得极小值。
倒立方体函数
考虑函数$f(x,y,z)=-(x^2+y^2+z^2)$，该函数在原点 $(0,0,0)$处取得极大值。
拉格朗日乘法的应用场景
拉格朗日乘法适用于求解受约束条件限制的多元函数的极值问题，如线性规划、非线性规划、最优控制等问题。
在实际应用中，拉格朗日乘法可以用于求解生产计划、资源分配、物流优化等问题，以实现最优资源配置和最大经济效益。
拉格朗日乘法的计算步骤
第一步
构造拉格朗日函数，将约束条件与目标函数相结合。
第二步
对拉格朗日函数求极值，得到可能的极值点。
第三步
验证得到的极值点是否满足约束条件，并确定是否为真正的极值点。
第四步
根据实际情况选择合适的算法进行求解，如梯度下降法、牛顿法等。
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拉格朗日乘法在多元函数极值中的应
用
应用方法
定义拉格朗日乘数
对于多元函数$f(x,y)$，引入F(x,y,lambda) = f(x,y) + lambda(g(x,y))$。
求解条件极值
将拉格朗日函数$F(x,y,lambda)$分别对$x, y, lambda$求偏导数，并令偏导数等于零，得到条件极值方程组。
解方程组求极值
解条件极值方程组，得到可能的极值点，再根据函数的性质判断这些点是否为极值点。

多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值
定理1（必要条件）设函数()y x f z ,=在点()00,y x 具有偏导数且在点()00,y x 处有极值，则有
()()0,,0,0000==y x f y x f y x
定理2（充分条件）设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导，又 ()()0,,0,0000==y x f y x f y x ，令
()()()C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===000000,,,,,,
则()y x f ,在()00,y x 处是否取得极值的条件如下：
（1）02>-B AC 时具有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；
（2）02<-B AC 时没有极值（在()00,y x 处不取极值）；
（3）02=-B AC 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

二、条件极值拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法要找函数()y x f z ,=在条件()0,=y x ϕ下的可能极值点，可先作拉格朗日函数
()()()y x y x f y x L ,,,λϕ+=，
其中λ为参数。

()()()()()0,0,,0
,,==+=+y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ
解出y x ,及λ,这样得到的()y x ,就是函数()y x f z ,=在附加条件()0,=y x ϕ下的可能极值点。

多元函数的极值及其求法

条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法
要找函数zf(x,y)在条件(x,y)0下的可能
极值点 ,
先构造函数 F(x, y) f (x, y) (x, y)，其中
为某一常数，可由
fx(x, y) x(x, y) 0,

0,
Ft(x, y,z,t) 0,
(x, y,z,t) 0, ( x , y , z , t ) 0 .
解出 x, y, z, t 即得可能极值点的坐标.
例6 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积.
解设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V . 则问题就是条件 2 x y 2 y z2 x z a 2 0 下，求函数 V x( x y 0 ,y z 0 , z 0 )的最大值.
若满足不等式
f (x, y) f (x0, y0)，
则称函数在(x0, y0)有极大值；
若满足不等式
f (x, y) f (x0, y0)，
则称函数在(x0, y0)有极小值；
极大值、极小值统称为极值 .
使函数取得极值的点称为极值点 .
例1 函数z 3x2 4y2
例 5求 zx 2x y 2 y 1的最大值和最小值 .
解令
zx(x2(y x2 2 1y )2 21 x)(2xy)0, zy(x2(y x2 2 1y )2 21 y)(2xy)0,
得驻点 (1,1)和 (1,1),
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四、小结
多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值拉格朗日乘数法

多元函数求条件极值的原理

多元函数求条件极值的原理多元函数的条件极值是指在一定条件下使函数取得极大值或极小值的点。

求条件极值的原理包括拉格朗日乘数法和边界条件法两种方法。

一、拉格朗日乘数法：当多元函数在一定的约束条件下取得条件极值时，可以使用拉格朗日乘数法来求解极值点。

其基本思想是在考虑目标函数值的同时，引入一个约束函数，通过寻找约束函数和目标函数的共同极值点来得到条件极值。

设多元函数为f(x1,x2,...,xn)，约束条件为φ(x1,x2,...,xn)=0，其中φ(x1,x2,...,xn) 表示n-1 个关于x1,x2,...,xn 的函数，同样需要求导来得到其极值点。

具体步骤如下：1. 构建拉格朗日函数L(x1,x2,...,xn,λ)=f(x1,x2,...,xn)+λφ(x1,x2,...,xn)，其中λ是拉格朗日乘数。

2. 对L(x1,x2,...,xn,λ) 分别对x1,x2,...,xn 及λ求偏导数，并令其等于0。

3. 解方程组，得到x1,x2,...,xn 和λ的取值。

4. 将x1,x2,...,xn 和λ的取值代入f(x1,x2,...,xn) 计算函数值，得到条件极值。

拉格朗日乘数法的原理和求解过程比较复杂，但是可以通过引入拉格朗日乘数将约束条件转化为一个等式来求解条件极值问题。

二、边界条件法：边界条件法用于求解多元函数在给定边界条件下的条件极值问题。

当约束条件形式为不等式时，可以通过将不等式约束条件转化为等式约束条件，并在约束区域的边界上求解得到条件极值。

具体步骤如下：1. 将不等式约束条件转化为等式约束条件，得到约束函数φ(x1,x2,...,xn)=0。

2. 对多元函数f(x1,x2,...,xn) 和约束函数φ(x1,x2,...,xn) 构建拉格朗日函数L(x1,x2,...,xn,λ)=f(x1,x2,...,xn)+λφ(x1,x2,...,xn)，其中λ是拉格朗日乘数。

3. 对L(x1,x2,...,xn,λ) 分别对x1,x2,...,xn 及λ求偏导数，并令其等于0。

多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法

3、最值应用问题
函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值驻点最值可疑点偏导不存在的点边界上的最值点我们可以把最值问题分为两类：
（1）连续函数在开区域上的最值；
方法：将函数在D内的所有驻点和偏导不存在的点处的
函数值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. （2）连续函数在闭区域上的最值：
问题的实质：求 U ( x , y ) = ln x + ln y 在条件 8 x + 10 y = 200下的极值点．
两个引例中都是求多元函数的最值！为了求最值，先讨论与最值有密切联系的极值问题！从上面的两个引例中可以看到，与一元函数极值不同，多元函数的极值分为两类：
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步定出 AC − B 的符号，再判定是否是极值.
2
注意：如果 AC − B 2 = 0 ，只能用定义判定是否是极值！
例5.讨论函数
及
在点(0,0)
是否取得极值.
z
O
x
y
推广如果三元函数 u = f ( x , y , z )在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P ( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条件为 f x ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0 ， f y ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0 ， f z ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0 .
无其他条件. 如引例1。
条件极值：对自变量附加条件的极值问题称为条件
极值. 如引例2。思考：为什么一元函数的极值没有分类！
一、多元函数极值的定义

多元函数极值与拉格朗日乘数法

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推广: 自变量多于两个，
约束条件多于一个的情况.
例目标函数 u f ( x, y, z, t)
约束条件 ( x, y, z, t) 0 (x, y, z,t) 0
拉格朗日函数
L( x, y, z, t, 1, 2 ) f ( x, y, z, t) 1( x, y, z, t) 2 (x, y, z, t)
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说明上例的条件极值问题,是通过将约束条件代入目标函数中求解; 但并不是所有情况下都能这样做，更多时候用到的是下面要介绍的，解决条件极值问题的一般方法—— 拉格朗日乘数法
21
Lagrange(拉格朗日)乘数法
求函数 z f ( x, y) 在条件 ( x, y) 0
下的可能极值点, 先构造拉格朗日函数
(2) AC B2 0时, f ( x0 , y0 ) 不是极值;
(3)AC B2 0时 f ( x0 , y0 ) 可能是极值,
也可能不是极值.
4
求函数 z f ( x, y) 极值的一般步骤:
第一步
解方程组
f f
x y
( (
x, x,
y y
) )
0 0
求出实数解, 得驻点.
第二步对于每一个驻点 ( x0 , y0 ), 求出二阶偏导数的值 A、B、C.
2
说明
1、驻点
具有偏导的极值点
如,点(0,0)是函数z xy的驻点,但不是极值点.
2、偏导数不存在的点，也可能是极值点.
例 z x2 y2
z
在点(0,0)处的偏导数不存在,
O•
x
y
但(0,0)是函数的极大值点.
3
二元函数极值的充分条件

高中数学备课教案多元函数的条件极值与拉格朗日乘数法

高中数学备课教案多元函数的条件极值与拉格朗日乘数法高中数学备课教案-多元函数的条件极值与拉格朗日乘数法一、引言多元函数的条件极值与拉格朗日乘数法是高中数学课程中的重要内容之一。

本文将介绍多元函数的条件极值的概念及其判定条件，并详细讲解拉格朗日乘数法的原理和应用。

通过本课教案的学习，学生将能够准确理解和运用多元函数的条件极值及拉格朗日乘数法，并能够解决相关的实际问题。

二、多元函数的条件极值1. 概念及定义多元函数的条件极值是指在一定的限制条件下，函数取得的极大值或极小值。

与单元函数的极值相似，多元函数的条件极值也是在局部范围内进行判定的。

2. 判定条件多元函数的条件极值有以下两种判定条件：（1）一阶导数法：通过对多元函数的偏导数进行求解，判断偏导数为0的点是否为极值点。

（2）二阶导数法：通过求解多元函数的二阶偏导数，判断二阶偏导数的正负性来判断点的类型：极大值、极小值或鞍点。

三、拉格朗日乘数法1. 概念及原理拉格朗日乘数法是一种求解带条件的多元函数极值的方法。

通过构建拉格朗日函数，将约束条件融入目标函数中，并通过解方程组求解出极值点坐标。

2. 应用步骤（1）确定目标函数和约束条件，列出拉格朗日函数：L(x, y, λ) = f(x, y) - λg(x, y)其中，f(x, y)为目标函数，g(x, y)为约束条件，λ为拉格朗日乘数。

（2）求解方程组：∇L(x, y, λ) = 0解方程组得到(x0, y0, λ0)为可能的极值点。

（3）构建极值点的类型判定表通过计算二阶偏导数或其他方法，得出(x0, y0, λ0)的极值类型：极大值、极小值或鞍点。

（4）判断边界点如果有边界点的话，将边界点的值代入目标函数，比较与已求得的极值的大小，得出最终的极值。

四、教学设计1. 知识讲解通过板书、课件等形式，详细讲解多元函数的条件极值的概念、判定条件，以及拉格朗日乘数法的原理和应用步骤。

2. 实例演示给出多元函数的具体实例，引导学生运用条件极值的判定方法和拉格朗日乘数法，一步步求解极值。

多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法

若销售产品所得的利润等于销售量的 1 5
减去总广告费，两种方式的广告费共25千元，怎样分配两种方式的广告费能使利润最大，最大
利润是多少？
解
约束条件下的利润函数为
Lx, y S 25,
5
具体利润函数为 L(x, y) 40x 20y 5 x 10 y
在约束条件 x y 25
在点 3，2各计算值A 12;B 0;C 6。则B2 AC 0
则原函数在点 (3,2) ，取得最大值点。
在点 3，0各计算值A 12;B 0;C 6。则B2 AC 0
则原函数在点 (3,0) ，无极值点。
在点1，2各计算值A 12;B 0;C 6。则B2 AC 0
求函数 z=f(x,y)极值的一般步骤：
第一步解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步定出 B2 AC 的符号，再判定是否是极值.
例4: 求函数f x, y x3 y3 3x2 3y2 9x的极值
拉格朗日函数是
G(x, y,) 40x 20y 25 x y 25
5 x 10 y
解一阶导数为零的方程组：
Gx x,
y

200
5 x2

0
Gy x,
y

200
10 y2

0
x y 25 0
解方程得 15,10
最大利润
x

x
x,