斯勒茨基方程例题+答案

1．查理消费苹果和香蕉。他的效用函数是2),(xy y x U =，其中

x 是苹果的消费量，y 是香蕉的消费量。苹果的价格是$1，香蕉的价格是$2，他的收入是$30。如果香蕉的价格下降至$1，请计算香蕉的斯勒茨基替代效应和收入效应。

2．假设阿曼达的效用函数为Y X U ⋅=，她的初始收入为100，X 的价格2=X P 。现在X 的价格变为1='X P ，Y 的价格不变，请计算商品X 的希克斯替代效应和收入效应。

1．解：查理的效用函数是2),(xy y x U =，则其最优消费选择（需求函数）为：

x

p m x ⋅=31，y p m y ⋅=32， 因此原消费束为)10,10(),(=y x 。

设m '为价格变动后，恰好能支付得起原消费束的货币收入，则

20)21(1030)(),(=-⋅+=-'⋅+='y y

y p p m p y m m 因此， 替代效应3

1023032120323232),(),(=⋅-⋅=⋅-''⋅=-''=∆y y y y s p m p m m p y m p y y ， 收入效应32012032130323232),(),(=⋅-⋅=''⋅-'⋅=

''-'=∆y y y y m p m p m m p y m p y y 。

2．解：由效用函数为Y X U ⋅=，可得需求函数为：

X P M X ⋅=21，Y

P M Y ⋅=21 原来的效用为：Y P Y X U 10021210021⋅⨯⋅=

⋅=。 希克斯替代效应要求调整收入额保持效用不变，因此调整后的收入M '应满足：

Y

Y P M M P '⋅⨯'⋅=⋅⨯⋅2112110021210021 解得5.70250≈='M

因此，

希克斯替代效应

25.102

1002115.7021)100,2()5.70,1(),(),(=⋅-⋅=-=-''=X X M P X M P X X X

希克斯收入效应 75.141

5.7021110021)5.70,1()100,1(),(),(=⋅-⋅=-=''-'=X X M P X M P X X X

习题：补偿变化和等价变化

卡尔的效用函数为},min{),(y x y x U =，他有$150的收入，且x 和y 的价格均为$1。卡尔的老板想将他调到另外一个城市去，那里x 的价格为$1，而y 的价格为$2，但是老板并不给卡尔加薪。

由于对补偿变化和等价变化很是了解，卡尔非常抱怨老板的这一决定。他说，尽管前往另外一个城市并不使他反感，但这相当于削减了他的一部分工资$A ，而如果给他加薪$B ，他将不介意前往另外的城市。请计算$A 、$B 分别是多少？

解：如下图所示，A 为等价变化，B 为补偿变化。

由效用函数可知，当y x =时效用达到最大化。 调任前，150=+y x ，y x =，可得75==y x ，效用751=U ； 调任后，1502=+y x ，y x =，可得50==y x ，效用502=U 。

设等价变化后的效用为U 3， 则由23U U =，可得502/)150(=-A ，所以50=A 。 设补偿变化后的效用为U 4， 则由14U U =，可得753/)150(=+B ，所以75=B 。