高中数学周周回馈练(三)(含解析)新人教A版选修11
2023年新教材人教A版高中数学选择性必修第三册6.2.4组合数 同步课时练习题含答案解析
6.2.4 组合数（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题 1．（2022春·甘肃兰州·高二校考期中）在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有（ ）A ．11347C CB ．20347C C C ．11349C CD ．1120347347C C C C +【答案】A【分析】根据组合的基本概念求解.【详解】在50件产品中含有3件次品,所以有47件不是次品, 任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有11347C C .2．（2022春·浙江·高二校联考阶段练习）2356C +C =（ ）A ．25B ．30C ．35D ．403．（2022春·辽宁葫芦岛·高二兴城市高级中学校联考阶段练习）已知3434，则x =（ ）A ．3或10B ．3C ．17D ．3或17【答案】A【分析】根据组合数的性质求解即可【详解】因为363434C C x x -=，故36x x =-或3634x x -=+，即3x =或10x = 二、多选题4．（2022·高二课时练习）下列问题中，属于组合问题的是（ ） A ．10支战队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少次比赛 B ．10支战队以单循环进行比赛，这次比赛的冠、亚军获得者有多少种可能 C ．从10名员工中选出3名参加同一种的娱乐活动，有多少种选派方法 D ．从10名员工中选出3名分别参加不同的娱乐活动，有多少种选派方法 【答案】AC【分析】区分一个具体问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无顺序.有顺序就是排列问题；无顺序就是组合问题,.【详解】A 是组合问题，因为每两个队进行一次比赛，并没有谁先谁后，没有顺序的区别.； B 是排列问题，因为甲队获得冠军、乙队获得亚军和甲队获得亚军、乙队获得冠军是不一样的，存在顺序区别；C 是组合问题，因为3名员工参加相同的活动，没有顺序区别；D 是排列问题，因为选的3名员工参加的活动不相同，存在顺序区别， 三、填空题5．（2023·高二课时练习）计算：0123444444C C C C C ++++=______．6．（2022秋·广东江门·高二台山市华侨中学校考期中）若n ，则______.【详解】解：2C C n n-=)530=，解得7．（2022秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）若n n ，则正整数的值是______．8．（2022秋·河北唐山·高二校考期末）若1111C C =，则正整数x 的值是________．【答案】1或4【分析】解方程2x －1＝x 或2x －1＋x ＝11，即得解.【详解】解：∵211111C C x x-=，∴2x －1＝x 或2x －1＋x ＝11，解得x ＝1或x ＝4． 经检验，x ＝1或x ＝4满足题意.9．（2022秋·山东潍坊·高二统考阶段练习）若12C C 15m m +=，则m =_________．【答案】5【分析】利用组合数公式，列式求解作答.10．（2022秋·上海崇明·高二统考期末）已知x N ∈，则方程55的解是___________．【答案】1或2##2或1.【分析】根据组合数的性质列方程求解即可.【详解】因为2155C C x x -=，x N ∈，所以由组合数的性质得21x x =-或521x x -=-， 解得1x =或2x =，11．（2022秋·浙江·高二校联考期中）已知34C C m m =，则m =________．【答案】7【分析】根据组合数性质C C r n rn n -=分析即可. 【详解】因为C C r n rn n -=，故347m =+=.12．（2023·高二课时练习）设N x ∈，则123231C C x x x x ---++=______．【答案】4或7或11【分析】先由组合数的意义判断出2x =或3x =或4x =，分别代入求解.【详解】由组合数的意义可知：231123x x x x -≥-⎧⎨+≥-⎩，解得：24x ≤≤.又N x ∈，所以2x =或3x =或4x =.当2x =时，1231123113C C C C 4x x x x ---++=+=； 当3x =时，1232323134C C C C 347x x x x ---++=+=+=； 当4x =时，1233523155C C C C 10111x x x x ---++=+=+=.13．（2023·高二课时练习）若108C C n n =，则20C n的值为______．必须被选派的不同方案有______种． 【答案】35【分析】毕业生甲必须被选派，即从7人中选4人，计算得到答案.【详解】毕业生甲必须被选派的不同方案有47C 35=种.四、解答题15．（2021秋·广东广州·高二统考期末）平面内有A ，B ，C ，D ，E 共5个点． (1)以其中2个点为端点的线段共有多少条？ (2)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？(1)288A 6A x x -<(2)567117C C 10C m m m -=17．（2023·高二课时练习）在1，2，3，…，30这30个数中，每次取两两不等的三个数，使它们的和为3的倍数，共有多少种不同的取法？ 【答案】1360种【分析】将这30个数按除以3后的余数分为三类，分两种情况进行求解，再相加即可. 【详解】把这30个数按除以3后的余数分为三类：{}3,6,9,,30A =⋅⋅⋅，{}1,4,7,28B =⋅⋅⋅，{}2,5,8,,29C =⋅⋅⋅，每个集合各有10个元素．三个数的和为3的倍数的取法分两类：①在同一个集合中取三个数，有3103C 种取法；②在每个集合中各取一个数，有()3110C 种取法．由分类加法计数原理，共有()33110103C C 1360+=种不同的取法．18．（2023·高二课时练习）空间有10个点，其中任意4点不共面． (1)过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？(2)以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？ 【答案】(1)120个 (2)210个【分析】（1）（2）根据组合数的计算即可求解.【详解】（1）3个点确定一个平面，且任意4点不共面，所以从10个点中任选3个点即可构成一个平面，因此所有的平面个数为310C 120=（个）；（2）任意4点不共面，所以从10个点中任选4个点即可构成一个四面体，因此所有的四面体个数为410C 210=（个）；19．（2023·高二课时练习）有n 个人，每个人都以同样的概率被分配到N 个房间()n N ≤中的任意一间去，分别求下列事件的概率． (1)指定的n 间房中各有一人； (2)恰有n 间房，其中各有一人； (3)指定的某间房中恰有()m m n ≤人．一、单选题 1．（2022春·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）沈阳二中24届篮球赛正如火如荼地进行中，全年级共20个班，每四个班一组，如1—4班为一组，5—8班为二组……进行单循环小组赛（没有并列），胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后胜出的三个班级再进行单循环赛，按积分的高低（假设没有并列）决出最终的冠亚季军，请问此次篮球赛学校共举办了多少场比赛？（ ） A ．51 B ．42 C ．39 D ．36【答案】D【分析】先进行单循环赛，6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后3个班再进行单循环赛，分别求出所需比赛场次，即可得出答案. 【详解】先进行单循环赛，有245C =30场，胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，6支球队打3场，决出最后胜出的三个班， 最后3个班再进行单循环赛，由23C =3场. 所以共打了30+3+3=36场.2．（2022秋·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）因为疫情防控的需要，某校高二年级4名男教师和3名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的志愿服务．根据岗位需求应派3人巡视商户，且至少一名男教师；另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温，则这7名教师不同的安排方法有（ ）种． A ．34 B ．816 C ．216 D ．210【答案】B【分析】先采用间接法求解巡视商户的3人中至少一名男教师的安排方法种数，然后再求解另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法种数，综合即可得出结果． 【详解】从7人中任选3人，不同的选法有37C 种，而不选男教师的选法有33C 种， 则巡视商户的3人中至少一名男教师安排方法有3373C C 34-=种，另外4人去不同的4个小区测量出入人员体温的安排方法有44A 24=种．则这7名教师不同的安排方法有3424816⨯=种．3．（2022春·新疆巴音郭楞·高二新疆和静高级中学校考阶段练习）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）种 A ．450 B ．72 C ．90 D ．3604．（2023·高二单元测试）设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]22=，514⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．对于给定的。
人教版高中数学选择性必修第三册6.2.3- 6.2.4组合与组合数A组基础同步训练(含解析)
人教版高中数学选择性必修第三册6.2.3-6.2.4组合与组合数A 组基础同步训练（原卷版）一、选择题1．从10名学生中挑选出3名学生参加数学竞赛，不同的选法有（）A ．310A 种B ．3！C ．310C 种D ．以上均不对2．（2021·江苏扬州市高二期末）下列计算结果是21的是（）.A ．2246A C +B ．37C C ．27A D ．27C 3．（2021·广东江门高二月考）若6个人分4张无座的足球门票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是（）A ．46B ．64C ．15D ．3604．（2021·全国高二课时练）已知n ，*m N ∈，n m ≥，下面哪一个等式是恒成立的（）A ．!!mn n C m =B ．!()!A mn n n m =-C ．111m m m n n n C C C --++=D ．111mm m n nn C C C -+++=5．（多选题）（2021·全国高二课时练）(多选)若2132020x x C C -+=，则x 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．76．（多选题）（2021·安徽铜陵高二期末）已知233mA C -+0！=4，则m 的值可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题7．（2021·湖北黄石高二期末）若713n n C C =，则18n C =______.8．（2021·全国高二课时练）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有______个.9．（2020·全国高三专题练习）为了奖励班上进步大的8名学生，班主任购买了5本相同的书和3本相同的笔记本作为奖品分发给这8名学生，每人一件，则不同的分法有_________种．10．古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为________三、解答题11．已知1677A 20A xx -=，x N +∈.（1）求x 的值；（2）求2012017C C xx x --++的值.12．（2021·江苏淮安市金湖中学高二）一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？人教版高中数学选择性必修第三册6.2.3-6.2.4组合与组合数A 组基础同步训练（解析版）一、选择题1．从10名学生中挑选出3名学生参加数学竞赛，不同的选法有（）A ．310A 种B ．3！C ．310C 种D ．以上均不对【答案】C【详解】根据组合数的概念可知C 选项正确.2．（2021·江苏扬州市高二期末）下列计算结果是21的是（）.A ．2246A C +B ．37C C ．27A D ．27C 【答案】D 【详解】22464!6!1215272!2!4!A C +=+=+=，377!353!4!C ==，277!425!A ==，277!212!5!C ==.3．（2021·广东江门高二月考）若6个人分4张无座的足球门票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是（）A ．46B ．64C ．15D ．360【答案】C【详解】因为是无座的足球门票，所以可以看成相同的元素，因此可以看成组合问题，则有466!6515(64)!4!2C ⨯===-⋅.故选：C4．（2021·全国高二课时练）已知n ，*m N ∈，n m ≥，下面哪一个等式是恒成立的（）A ．!!mn n C m =B ．!()!A mn n n m =-C ．111m m m n n n C C C --++=D ．111mm m n nn C C C -+++=【答案】B【详解】由组合数的定义可知()!!!mn n C m n m =-，A 选项错误；由排列数的定义可知()!!mn A n n m =-，B 选项正确；由组合数的性质可知111rr r n nn C C C ++++=，则C 、D 选项均错误.故选B.5．（多选题）（2021·全国高二课时练）(多选)若2132020x x C C -+=，则x 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】AC 【详解】因为2132020x x C C -+=，所以213x x -=+或21320x x -++=，解得4x =或6x =，故选：AC.6．（多选题）（2021·安徽铜陵高二期末）已知233mA C -+0！=4，则m 的值可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BC【详解】∵233mA C -+0！=4，∴3mA =6．当m =2时成立；当m =3时也成立．故选：BC ．二、填空题7．（2021·湖北黄石高二期末）若713n n C C =，则18n C =______.【答案】190【解析】137n n C C =则13720n =+=，所以18n C =182202020191902C C ⨯===8．（2021·全国高二课时练）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有______个.【答案】64【解析】正方体的8个顶点中任取4个共有4870C =个，不能组成四面体的4个顶点有，已有6个面，对角面有6个，所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有701258-=个，故选C9．（2020·全国高三专题练习）为了奖励班上进步大的8名学生，班主任购买了5本相同的书和3本相同的笔记本作为奖品分发给这8名学生，每人一件，则不同的分法有_________种．【答案】56【详解】解：根据题意，5本相同的书和3本相同的笔记本发给8名学生，每人1本，需要在8人中任选3人，领取笔记本，剩下5人领取书即可，则有3856C =种不同的分法.10．古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为________【答案】12【详解】解：古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数2510n C ==，取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有：水克火，木克土，火克金，土克水，金克木，共5种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为51102P ==．三、解答题11．已知1677A 20A xx -=，x N +∈.（1）求x 的值；（2）求2012017C C xx x --++的值.【详解】（1）由已知得：6!7!720(6)!(8)!x x ⨯=⨯--，化简得：215360x x -+=，解得3x =或12x =，又因为617x x ⎧⎨-⎩ ，所以3x =.（2）将3x =代入得1723232020202021C C C C C 1330+=+==.12．（2021·江苏淮安市金湖中学高二）一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？【详解】解:(1)从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法：红球3个，红球2个和白球1个.当取红球3个时，取法有1种；当取红球2个和白球1个时，.取法有213412C C =种.根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有11213+=种.(2)使总分不少于6分情况有两种：红球2个和白球2个，红球3个和白球1个.第一种，红球2个和白球2个，取法有223418C C =种;第二种，红球3个和白球1个，取法有31344C C=种,根据分类计数原理，使总分不少于6分的取法有18422+=种.。
2020学年高中数学周周回馈练(九)(含解析)新人教A版选修1-2(2021-2022学年)
周周回馈练(九)对应学生用书P107一、选择题1.若a为实数,且(2＋ａi)（a-2i)=－4i,则a=( )A．-1 B.0Ｃ．1D．2答案B解析∵(2＋a i)(a－2i)＝－４i,∴4a+(a２-4）ｉ=－４i。
∴错误!未定义书签。
解得a＝0。
故选B.2.设i是虚数单位,则复数错误!未定义书签。
在复平面内所对应的点位于（ )Ａ．第一象限Ｂ.第二象限Ｃ．第三象限 D.第四象限答案Ｂ解析2i1-i＝错误!=错误!=－1＋i，由复数的几何意义知－1+i在复平面内的对应点为（－1，1),该点位于第二象限,故选B.3.已知复数z满足(1－i）z＝i2０１6(其中i是虚数单位）,则z的虚部为( )Ａ.错误!未定义书签。
B．－1２C．错误!i D．－错误!i 答案B解析∵２016=４×504，∴i201６＝i4＝1。
∴z=错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
＋1２i，∴错误!未定义书签。
=１2－错误!未定义书签。
i，∴错误!未定义书签。
的虚部为－错误!。
故选B。
4．设z＝（2t2＋５t-3）＋（t2＋２t＋2）ｉ,ｔ∈R,则以下结论正确的是()A．z对应的点在第一象限B．ｚ一定不为纯虚数C。
错误!未定义书签。
对应的点在实轴的下方D．z一定为实数答案C解析∵t2＋2t+2＝(ｔ＋1)2＋1>０,∴z对应的点在实轴的上方.又∵z与错误!未定义书签。
ﻬ对应的点关于实轴对称．∴Ｃ项正确．5.设z的共轭复数为错误!，若ｚ+错误!未定义书签。
＝４,z·错误!未定义书签。
＝８，则错误!等于(）A．１Ｂ．-i C．±1 D．±i答案D解析设z=ａ+b i（a,b∈R),则错误!未定义书签。
＝a-ｂi，由条件可得错误!解得错误!未定义书签。
因此错误!或错误!未定义书签。
所以错误!未定义书签。
＝＼f（2-２i,2＋2i)=错误!未定义书签。
＝错误! =错误!未定义书签。
＝-ｉ，或错误!=错误!＝错误!未定义书签。
(新教材人教A版)高二数学选择性必修第三册同步练习 分类变量与列联表 提高练(解析版)
8.3 分类变量与列联表 ---B 提高练一、选择题1．（2021·全国高二课时练）在一次独立性检验中,得出列联表如下：且最后发现,两个分类变量A 和B 没有任何关系,则a 的可能值是（ ） A ．200 B ．720 C ．100 D ．180 【答案】B 【详解】由题意知a ab +与c c d+基本相等,由列联表知2001000与180180a +基本相等,2001801000180a=+,解得720a =．故选：B 2．（2021·江苏高二专题练习）为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算得x 2＝7.01,则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为（ ）A ．0.1%B ．1%C ．99%D ．99.9% 【答案】C【详解】易知x 2＝7.01>6.635,对照临界值表知,有99%的把握认为喜欢乡村音乐与性别有关系． 故选：C3．（2021·江苏盐城市高二月考）某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查,随机抽取了200人进行调查统计得下方的22⨯列联表.则根据列联表可知（ ）参考公式：独立性检验统计量22()()()()()n ad bcXa b c d a c b d-=++++,其中n a b c d=+++.下面的临界值表供参考：A．有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系B．没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系C．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系D．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系【答案】A【详解】22200(25152535)4.167 3.8411604050150X⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯,根据临界值知有95%的把握认为经常用流行语与年轻人有关系,故选：A4．（2021·河南信阳市高二月考）某医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对流感的预防作用,根据1000名注射了疫苗的人与另外1000名未注射疫苗的人半年的感冒记录作出如下的22⨯的列联表,并提出假设:oH“这种疫苗不能起到预防流感的作用”’则下列说法正确是（）附：22()()()()()n ad bcXa b c d a c b d-=++++．A．这种疫苗能起到预防流感的有效率为99%；B．若某人未使用该疫苗,则他在半年中有超过99%的可能性得流感；C．有1%的把握认为“这种疫苗能起到预防流感的作用”；D．有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防流感的作用”．【答案】D【详解】222()2000(200740260800)=10.164 6.635 ()()()()100010004601540n ad bcXa b c d a c b d-⨯-⨯=≈> ++++⨯⨯⨯,由临界值表可知,有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防流感的作用”,故选：D5．（多选题）（2021·山东泰安一中高二月考）为了增强学生的身体素质,提高适应自然环境、克服困难的能力,某校在课外活动中新增了一项登山活动,并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,得到如图所示的等高条形统计图,则下列说法中正确的有（）附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++,其中n a b c d=+++.A．被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多B．被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多C．若被调查的男女生均为100人,则有99%的把握认为喜欢登山和性别有关D．无论被调查的男女生人数为多少,都有99%的把握认为喜欢登山和性别有关【答案】AC【详解】因为被调查的男女生人数相同,由等高条形统计图可知,喜欢登山的男生占80%,喜欢登山的女生占30%,所以A 正确,B 错误；设被调查的男女生人数均为n ,则由等高条形统计图可得22⨯列联表如下：由公式可得()2220.80.70.30.2501.10.999n n n n n n n n n n χ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯. 当100n =时,250006.63599χ=>,所以有99%的把握认为喜欢登山和性别有关； 当10n =时,2500 6.63599χ=<,所以没有99%的把握认为喜欢登山和性别有关,显然2χ的值与n 的取值有关,所以C 正确,D 错误.故选：AC.6．（多选题）（2021·全国高二专题练）在一次恶劣气候的飞行航程中,调查男女乘客在机上晕机的情况,如下表所示：则下列说法正确的是（ ）附：参考公式：()()()()()22n ad bc a c b d a b c d χ-=++++ ,其中n a b c d =+++. 独立性检验临界值表A ．11126n n n ++> B ．2 2.706χ<C ．有90%的把握认为,在恶劣气候飞行中,晕机与否跟男女性别有关D ．没有理由认为,在恶劣气候飞行中,晕机与否跟男女性别有关 【答案】ABD【详解】由列联表数据,知1112211122211261528156284646n n n n n n n n n n +++++++=⎧⎪+=⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪+=⎪⎩,得11221121213182719n n n n n +++=⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩ ∴11121246627919n n n ++==>=,即A 正确∴2246(1213615)0.77518281927χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯< 2.706,即B 正确且没有理由认为,在恶劣气候飞行中,晕机与否跟男女性别有关；即D 正确,故选：ABD 二、填空题7．（2021·河南濮阳市高二期末）下表是不完整的22⨯列联表,其中3a c =,2b d =,则a =______.【答案】15【详解】由题意得5512055a b c d +=⎧⎨+=-⎩,又3a c =,2b d =,所以255365a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得15a =. 8. （2021·山东高二专题练习）为了判断某高中学生是否选修文科与性别的关系,现随机抽取50名学生,得到如下2×2列联表：已知P (x 2≥3.841)≈0.05,P (x 2≥6.635)≈0.01.根据表中数据,得到x 2＝250(1320107)23272030⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈4.844,则认为选修文科与性别有关系出错的概率约为________． 【答案】0.05【详解】因为x 2≈4.844>3.841,而P (x 2≥3.841)≈0.05,故认为选修文科与性别有关系出错的概率约为0.05. 9．（2021·江苏高二专题练习）某卫生机构对366人进行健康体检,有阳性家族史者糖尿病发病的有16例,不发病的有93例,有阴性家族史者糖尿病发病的有17例,不发病的有240例,认为糖尿病患者与遗传有关系的概率约为________．参考数据：P (x 2≥3.841)≈0.05,P (x 2≥6.635)≈0.01. 【答案】95%【详解】列出2×2列联表：所以随机变量x 2的值为x 2＝2366(162401793)10925733333⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈6.067>3.841,而P (x 2≥3.841)≈0.05, 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下,即有95%的把握认为糖尿病患者与遗传有关． 10．（2021·河南郑州市高二）假设有两个分类变量X 和Y ,它们的可能取值分别为{}12,x x 和{}12,y y ,其22⨯列联表如表,对于以下数据,对同一样本能说明X 和Y 有关系的可能性最大的一组为______. ①9,8,7,6a b c d ==== ②9,7,6,8a b c d ====③8,6,9,7a b c d ==== ④6,7,8,9a b c d ====【答案】② 【详解】对于选项A,69872ad bc -=⨯-⨯=；对于选项B,896730ad bc -=⨯-⨯=；对于选项C,87692ad bc -=⨯-⨯=；对于选项D,69872ad bc -=⨯-⨯=；由ad bc-越大,说明X 和Y 有关系的可能性越大.三、解答题11.（2020·江苏南京市高三期中）在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用,把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较,结果如下表所示．（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人,以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X ,试写出X 的分布列；（2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？你的结论是什么？请说明理由． 附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A ,类B ）和Ⅱ（有两类取值：类1,类2）统计数据的一个2×2列联表：有22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,其中n a b c d =+++. 临界值表（部分）为【详解】（1）因为使用血清的人中感冒的人数为3,未使用血清的人中感冒的人数为6,一共9人,从这9人中选4人,其中使用血清的人数为X ,则随机变量X 的可能值为0,1,2,3．因为0436495(0)42C CP X C ===,13364910(1)21C C P X C ===, 2236495(2)14C C P X C ===,3136491(3)21C C P X C ===, 所以随机变量X 的分布列为（2）将题中所给的2×2列联表进行整理,得提出假设0H ：是否使用该种血清与感冒没有关系.根据2χ公式,求得2240(176314) 1.29032020319χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为当0H 成立时,“20.708χ≥”的概率约为0.40,“21.323χ≥”的概率约为0.25,所以有60%的把握认为：是否使用该种血清与感冒有关系,即“使用该种血清能预防感冒”,得到这个结论的把握不到75%． 由于得到这个结论的把握低于90%,因此,我的结论是：没有充分的证据显示使用该种血清能预防感冒,也不能说使用该种血清不能预防感冒.12．（2021·江苏南通高二月考）学生视力不良问题突出,是教育部发布的我国首份《中国义务教育质量监测报告》中指出的众多现状之一.习近平总书记作出重要指示,要求全社会都要行动起来,共同呵护好孩子的眼睛,让他们拥有一个光明的未来.为了落实总书记指示,掌握基层情况,某单位调查了某校学生的视力情况,随机抽取了该校100名学生(男生50人,女生50人),统计了他们的视力情况,结果如下：（1）是否有90%的把握认为近视与性别有关？ 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,其中n a b c d =+++.（2）如果用这100名学生中男生和女生近视的频率分别代替该校男生和女生近视的概率,且每名学生是否近视相互独立.现从该校学生中随机抽取4人(2男2女),设随机变量X 表示4人中近视的人数,试求X 的分布列及数学期望()E X . 【详解】（1）根据22⨯列联表中的数据可得22100(25302520)100 1.01 2.7065050455599χ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯=,根据临界值表可知,没有90%的把握认为近视与性别有关； （2）由题意可知男生近视的概率为12,女生近视的概率为35,X 的可能取值为0,1,2,3,4,则 220022121(0)2525P X C C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 22210021222121231(1)252555P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,22222200211222222121312337(2)2525255100P X C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,22221122222123133(3)2552510P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,222222139(4)25100P X C C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以X 的分布列如下：于是X 的数学期望为11373911()01234255100101005E X =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=. 35。
2025届高考数学一轮复习人教A版多选题专题练：第三章-函数概念与性质(含解析)
2025届高考数学一轮复习人教A 版多选题专题练：第三章 函数概念与性质一、多项选择题A.()()31ff -=C.函数的定义域是(],0-∞4．下列各组函数表示同一个函数的是A.()0(0)f x x x =≠，()()10g x x =≠B.()()21f x x x =+∈Z ，()()21g x x x =-∈ZC.()f x =()x =D.()221f x x x =--，()221g t t t =--5．如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止.用下列对应的图象表示该容器中水面的高度h 与时间t 之间的关系，其中正确的( )A. B.C. D.．下列函数中，值域为[1,)+∞的是( )A.1y x =-1y x =+9．下列函数中，值域为[1,)+∞的是( )A.y =1y x =+ C.y =y =10．函数的定义域为R ,已知()1f x +是奇函数,()()22f x f x +=-,当[]1,2x ∈时,()22f x ax =+,则下列各选项正确的是( )()f xA.()()4f x f x +=B.()f x 在[]0,1单调递增C.()10f = D.13533f ⎛⎫=⎪⎝⎭11．下列对函数的奇偶性判断正确的是( )A.()2f x x x =+--B.22,0(),0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩是奇函数C.()f xD.()f x =+12．已知函数()7πcos 212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则( )A.π24fx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于原点对称B.()f x 的图象关于直线x =C.()f x 在2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.()()2g x f x =-)0,2π上有4个零点13．已知()f x 是定义在[)0,+∞上的单调递增且图象连续不断的函数,若,,恒有,则( )A.B.,14．下列函数中,满足()()22f x f x =的是( )A.()f x ()f x x= C.()f x =()f x x x=-x ∀[)0,y ∈+∞()f x y +=121x x >>()00f =[)00,x ∃∈+∞()01f x =122x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭122x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭15．已知函数()222,193,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩的最小值为()1f ,则a 的可能取值是( )A.1B.3C.5D.716．已知定义在()0,+∞的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+,且()412f =,当1x >时,()0f x >,则( )参考答案1．答案：BC解析：函数()2,212,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩的定义域是[)2,-+∞，故A 错误；当21x -≤<时，()2f x x =，值域为[]0,4，当1x ≥时，()2f x x =-+，值域为(],1-∞，故()f x 的值域为(],4-∞，故B 正确；当1x ≥时，令()22f x x =-+=，无解，当21x -≤<时，令()22f x x ==，得到x =C 正确；当21x -≤<时，令()21f x x =<，解得()1,1x ∈-，当1x ≥时，令()21f x x =-+<，解得()1,x ∈+∞，故()1f x <的解集为()()1,11,-+∞ ，故D 错误.故选：BC.2．答案：AD解析：令()121x t t -=≠，则x =2221142()1(1)12t f t t t -⎛⎫- ⎪⎝⎭==---⎛⎫⎪⎝⎭，则24()1(1)(1)f x x x =-≠-，故C 错误；1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 正确；()23f =，故B 错误；22214411(1)11x f x x x ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭（0x ≠且1x ≠），故D 正确.故选：AD.3．答案：AD解析：选项A ：由图像可得(3)2f -=，所以((3))(2)1f f f -==，A 正确；选项B ：图像法只能近似地求出函数值，且有时误差较大，故由图像不能得出(1)f -的确定值，B 错误；选项C ：由图像可得函数的定义域为[3,0][2,3]- ，C 错误；选项D ：由图像可得函数的值域为[1,5]，D 正确.故选：AD.4．答案：AD解析：对于选项A ，()0(0)f x x x =≠，()()10g x x =≠两个函数的定义域均为{}0x x ≠，且01y x ==，所以对应关系也相同，所以是同一个函数，故A 正确；D.函数的值域为(0,)+∞，所以该选项不符合题意.故选：BC.7．答案：BD解析：对于选项A ，2M ∈N .故不能构成从M 到N 的函数.对于选项B ，x M ∀∈，y x N =∈.故能构成从M 到N 的函数.对于选项C ，4M ∈，但5N ∉.故不能构成从M 到N 的函数.对于选项D ，x M ∀∈，2y x N =∈.故能构成从M 到N 的函数.故选：BD.8．答案：ABD解析：选项A ，B ，D 均满足函数的定义，选项C 中同一个分数可以对应多个考试号，不满足对于任意的x ，都有唯一的y 与其对应，故选项C 不符合题意.选ABD.9．答案：BC解析：A.函数的值域为[0,)+∞，所以该选项不符合题意；B.因为||0x ≥，||11x ∴+≥，所以函数的值域为[1,)+∞，所以该选项符合题意；C.因为20x ≥，211x ∴+≥，1∴≥，所以函数的值域为[1,)+∞，所以该选项符合题意；D.函数的值域为(0,)+∞，所以该选项不符合题意.故选：BC.10．答案：AC解析：()1f x + 是奇函数,则(1)(1)(2)()f x f x f x f x +=--+⇒+=--,(12)(1)(1)0f f f ∴-+=-⇒=,故C 正确;又()()22f x f x +=-,故()(2)()(2)f x f x f x f x --=-⇒-=+,所以(2)(4)()f x f x f x -+=+=,即4T =是()f x 的一个周期,故A 正确;由()f x 关于()1,0中心对称,即函数()f x 在[0,1]上的单调性与[]1,2上的单调性一致,由(1)202f a a =+=⇒=-,则[]1,2x ∈时,()222f x x =-+,此时函数单调递减,即B 错误;由上知:213115542233333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-=-⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选:AC 11．答案：AD解析：对A,x ∈R ,()22|2||2|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-,故函数为奇函数,A 正确;对B,因为(2)2f =,(2)2f -=,故函数不是奇函数,B 不正确;对C,由()f x 2022x ≥+≠,即[1,1]x ∈-,所以()f x =又()()f x f x -===-,所以函数为奇函数,C 不正确;对D,由()f x =+221010x x -≥-≥,解得{1,1}x ∈-,所以()0f x =,故()f x 既是奇函数又是偶函数,故D 正确.故选:AD这与()f x 单调递增矛盾,故[)0,x ∀∈+∞,()1f x ≠,故B 错误;对于选项CD:若存在1x ,使得()11f x >,因为()f x 的图象连续不断,()11f x >,()001f =<,故存在2x ,使得()21f x =,与上述()1f x ≠矛盾,故[)0,x ∀∈+∞,()1f x <,可得1212x x f +⎛⎫<⎪⎝⎭,则()()()()()1212121f x f x f x x f x f x ++=≥+当且仅当()()12f x f x =时取等号,又因为12x x ≠,()f x 单调递增,故不取等号,即()12f x x +>令0y x =≥时,可得()2fx =则()12f x x +=当[)0,1x∈)x ()0,1x ∈,因为1y x=0,1可知()g x ∈1<,又因为(0g x ),且在[)0,1上单调递增,因为()12121221222212x x f x x g f f x xx x f +⎛⎫ ⎪⎛+⎫⎛⎫⎝⎭==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡+⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,()()122f x f x g +⎛⎫=⎪⎝⎭可知()()121222f x f x x x g f g +⎛⎫⎛+⎫⎛⎫>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭,故C 错误,D 正确.故选:AD.14．答案：ABD解析：对于A 选项,()f x ()2x ()f x 对于B 选项,()f x x =,满足()()22f x f x =,所以B 正确;对于C 选项,()f x =()2f x =,()2f x =,不满足()()22f x f x =,所以C 不正确;对于D 选项,()f x =()22x x =()2f x x =因为()()()f xy f x f y =+,所以()()()f xy f y f x -=,所以()3f x +-2232x x f f x ⎛⎫+⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()236f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭等价于()2322x x f f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭,因为()f x 在()0,+∞上单调递增,所以23020322x x x x ⎧⎪+>⎪⎪>⎨⎪⎪+<⎪⎩,解得01x <<,则D 正确.故选：AD.17．答案：BC解析：当0x >时，由于(2)()1f x f x +=得到()()()()14124f x f x f x f x ===+++１，则(10)(108)(2)2f f f =-==，A 错；()1(11)(118)(3)1f f f f =-===(12)(1212)(0)410f f f =-==<，C 对；(13)(1312)(1)220f f f =-==<，D 错；故选：BC.18．答案：AD 解析：由题设，2a a =-，2log b b =-，3c c =-，所以，问题可转化为y x =-与2x y =、2log y x =、3y x =的交点问题，函数图象如下：由图及2x y =、2log y x =对称性知：0a b +=，0c =，且101a c b -<<=<<，所以A 、D 正确，B 、C 错误.故选：AD.19．答案：ABD解析：因为幂函数()()22657m f m m x x -+-=在()0,+∞上是增函数，所以2257160m m m ⎧-+=⎨->⎩，解得3m =，所以()3f x x =，所以()()()33f x x x f x -=-=-=-，故()3f x x =为奇函数，函数图象关于原点对称，所以()f x 在(),0-∞上单调递增.。
高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册《第二章 直线和圆的方程》章节练习(含解析)
人教A版（2019）选择性必修第一册《第二章直线和圆的方程》章节练习一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）直线l经过两条直线3x+4y−5=0和3x−4y−13=0的交点，且与直线x+ 2y+1=0垂直，则l的方程是()A. 2x+y−7=0B. 2x−y−7=0C. 2x+y+7=0D. 2x−y+7=02.（5分）到直线2x+y+1=0的距离为√55的点的集合是()A. 直线2x+y−2=0B. 直线2x+y=0C. 直线2x+y=0和2x+y−2=0D. 直线2x+y=0和2x+y+2=03.（5分）直线√3x+y−1=0的倾斜角是()A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘4.（5分）过P(2,−2)的直线l与圆(x−1)2+y2=1相切，则直线l的方程为()A. 3x+4y+2=0或y=−2B. 4x+3y−2=0或y=−2C. 3x+4y+2=0或x=2D. 4x+3y−2=0或x=25.（5分）若方程x2+y2−x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是()A. m<12B. m>12C. m<0D. m⩽126.（5分）直线x+√2y−1=0的斜率是()A. √2B. −√2C. √22D. −√227.（5分）已知直线m过点A(2,−3)，且在两个坐标轴上的截距相等，则直线m的方程是()A. 3x+2y=0B. x+y+1=0C. x+y+1=0或3x+2y=0D. x+y−1=0或3x−2y=08.（5分）直线x+2y+3=0在y轴上的截距为()A. 32B. 3 C. −3 D. −32二、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“若A、B为平面上相异的两点，则所有满足：|PA||PB|=λ(λ>0,且λ≠1)的点P的轨迹是圆“，后来人们称这个圆为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系xOy中，A(−2,0)，B(4,0)，若λ=12，则下列关于动点P的结论正确的是()A. 点P的轨迹方程为x2+y2+8x=0B. ΔAPB面积的最大值为6C. 在x轴上必存在异于A、B的两定点M、N，使得|PM||PN|=12D. 若点Q(−3,1)，则2|PA|+|PQ|的最小值为5√210.（5分）已知双曲线C：x2−y24=1，则()A. 双曲线C的离心率等于焦距的长B. 双曲线y2−x24=1与双曲线C有相同的渐近线C. 双曲线C的一条准线被圆x2+y2=1截得的弦长为4√55D. 直线y=kx+b(k,b∈R)与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，211.（5分）已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0.下列命题正确的有()A. 直线l与圆C可能相切B. y轴被圆C截得的弦长为4√6C. 直线l被圆C截得的最短弦长为2√5D. 直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为2x−y−5=012.（5分）设有一组圆C k:(x−1)2+(y−k)2=k4(k∈N∗).下列四个命题正确的是()A. 存在k，使圆与x轴相切B. 存在一条直线与所有的圆均相交C. 存在一条直线与所有的圆均不相交D. 所有的圆均不经过原点13.（5分）过点P(-1,1)的直线l与圆x2+y2+4x=0相交于A,B两点，当|AB|取得最值时，直线l的方程是()A. x-y+2=0B. x-y=0C. x-y-2=0D. x+y=0三、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）圆x2+y2+x=0与圆x2+y2−2y=0的公共弦所在的直线方程为______．15.（5分）已知点A(0,2)关于直线l的对称点为B(4,0)，点C(6,3)关于直线l的对称点为D(m,n)，则m+n= ______ ．16.（5分）已知点P(1,3)，点Q(−1,2)，点M为直线x−y+1=0上一动点，则|PM|+|QM|的最小值为______ .17.（5分）设直线l：3x+4y+4=0，圆C：(x−2)2+y2=r2(r>0)，若圆C上存在两点P，Q，直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，则r的取值范围是______.18.（5分）过点P(3,4)且与直线2x−y+1=0平行的直线方程为 ______.四、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知线段AB两个端点的坐标为A(2,4)，B(3,2)，点P(x,y)是线段AB上一个动点．(1)求yx 的最大值和最小值． (2)求y−x y+x 的取值范围．20.（12分）已知圆心在原点的圆被直线y =x +1截得的弦长为√14． (1)求圆的方程；(2)设动直线y =k(x −1)(k ≠0)与圆C 交于A ，B 两点，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得AN 与直线BN 关于x 轴对称？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．21.（12分）圆心为C 的圆经过点A (0,2)和点B (2,0)，且圆心C 在直线l 1:2x −y −4=0上.(Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅰ)求直线l 2:3x +4y −8=0被圆C 截得的弦的长度.22.（12分）如图，A(m,√3m)和B(n,−√3n)两点分别在射线OS 、OT 上移动，且OA →.OB →=−12，O 为坐标原点，动点P 满足OP →=OA →+OB →． (Ⅰ)求m ⋅n 的值；(Ⅱ)求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？(Ⅲ)若直线l 过点E(2,0)交(Ⅱ)中曲线C 于M 、N 两点，且ME →=3EN →，求l 的方程．23.（12分）已知圆M ：x 2+y 2−2x −2y −2=0，直线L 过点P(2,3)且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB |=2√3，求直线L 的方程．答案和解析1.【答案】B;【解析】该题考查直线方程的求解，涉及直线的交点和直线的垂直问题，属基础题．先解方程组求出交点，然后利用垂直得到斜率，然后求出方程即可．解：联立方程{3x+4y−5=03x−4y−13=0，解得x=3，y=−1，故所求直线l过点(3,−1)，由直线x+2y+1=0的斜率为−12，可知l的斜率为2，由点斜式方程可得：y+1=2(x−3)，即2x−y−7=0，故选B．2.【答案】D;【解析】设点(x,y)满足条件，则√22+1=√55，整理得2x+y=0和2x+y+2=0，故选D.3.【答案】C;【解析】此题主要考查直线的倾斜角的求法，是基本知识的应用.首先求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可.解：设直线的倾斜角为α.因为直线√3x+y−1=0的斜率为−√3，所以tanα=−√3，α=120∘，故选C.4.【答案】D;【解析】解：圆(x−1)2+y2=1的圆心为(1,0)，半径为1，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，圆心(1,0)到l的距离为1，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x−2)−2，即kx−y−2k−2=0，因为直线l与圆(x−1)2+y2=1相切，所以√k2+1=1，解得k=−34，此时直线l的方程为4x+3y−2=0，综上，直线l的方程为4x+3y−2=0或x=2.故选：D.分直线l的斜率不存在和存在两种情况分类讨论，从而可得直线l的方程．此题主要考查圆的切线方程，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于基础题．5.【答案】A;【解析】解：方程x2+y2−x+y+m=0即(x−12)2+(y+12)2=12−m，此方程表示圆时，应有12−m>0，解得m<12，故选：A．方程x2+y2−x+y+m=0即(x−12)2+(y+12)2=12−m，此方程表示圆时，应有12−m>0，由此求得实数m的取值范围．这道题主要考查求圆的标准方程，二元二次方程表示圆的条件，属于基础题．6.【答案】D;【解析】由直线一般式的斜率计算公式即可得出．该题考查了直线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解：直线x+√2y−1=0的斜率k=√2=−√22．故选：D．7.【答案】C;【解析】解：①当直线经过原点时，直线方程为y=−32x，即3x+2y=0；②当直线不经过原点时，设所求的直线方程为x+y=a，则a=2−3=−1，因此所求的直线方程为x+y+1=0．综上所述，直线m的方程是3x+2y=0或x+y+1=0．故选：C．分类讨论：当直线经过原点时，当直线不经过原点时两种情况，求出即可．该题考查了截距式、分类讨论等基础知识，属于基础题．8.【答案】D;【解析】此题主要考查直线方程的截距的概念，属于基础题.利用直线方程的截距的概念，令x=0，则y=−32，即可求解；解：因为直线x +2y +3=0， 令x =0，则y =−32，所以在y 轴上的截距为−32. 故选D.9.【答案】ACD;【解析】解：对于选项A ，设P(x,y)，因为P 满足|PA ||PB |=12，所以√(x+2)2+y 2√(x−4)2+y2=12， 化简得x 2+8x +y 2=0，故A 正确；对于选项B ，由选项A 可知，点P 的轨迹方程为x 2+y 2+8x =0，即(x +4)2+y 2=16，所以点P 的轨迹是以(−4,0)为圆心，4为半径的圆， 又|AB |=6，且点A ，B 在直径上，故当点P 到圆的直径距离最大的时候，ΔPAB 的面积最大值， 因为圆上的点到直径的最大距离为半径，即ΔPAB 的高的最大值为4， 所以ΔPAB 面积的最大值为12×6×4=12，故B 错误；对于选项C ，假设在x 轴上存在异于A ，B 的两定点M ，N ，使得|PM ||PN |=12， 设M(m,0)，N(n,0)， 故√(x−m)2+y 2√(x−n)2+y 2=12，即√(x −n)2+y 2=2√(x −m)2+y 2，化简可得x 2+y 2=8m −2n 3x +4m 2−n 23=0.又点P 的轨迹方程为x 2+y 2+8x =0，可得{−8m −2n3=84m 2−n 23=0，解得{n =−12或{n −4(舍去)，故存在异于A ，B 的两定点M(−6,0)，N(−12,0)，使得|PM ||PN |=12，故C 正确；对于选项D ，因为|PA ||PB |=12，所以2|PA |=|PB |，所以2|PA |+|PQ |=|PB |+|PQ |，又点P 在圆x 2+8x +y 2=0上， 如图所示，所以当P，Q，B三点共线时2|PA|+|PQ|取最小值，此时(2|PA|+|PQ|)min=|BQ|=√[4−(−3)]2+(0−1)2=5√2，故D正确．故选：ACD.设出点P的坐标，根据|PA||PB|=12即可求出点P的轨迹方程，即可判断选项A是否正确；根据点A(−2,0)，B(4,0)的位置关系和圆的性质，即可求出ΔAPB面积的最大值，进而判断选项B是否正确；设M(m,0)，N(n,0)，根据|PM||PV|=12可求出点P的轨迹方程，再与x2+y2+8x=0方程进行对比，根据系数关系，列出方程组，即可求出m，n值，进而判断选项C是否正确；由题意可知2|PA|=PB，所以2|PA|+|PQ|=|PB|+|PQ|，当P，Q，B三点共线时，2|PA|+|PQ|取最小值，最小值为|BQ|，由此即可判断选项D是否正确．此题主要考查了轨迹方程，圆的方程以及与圆有关的最值问题，属于中档题．10.【答案】CD;【解析】此题主要考查双曲线的几何性质，考查直线和圆相交所得弦的弦长，考查直线和双曲线的位置关系，属于中档题.根据双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系，直线和圆的位置关系等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.解：由双曲线C方程可知，a=1，b=2，c=√5，所以离心率e=ca=c≠2c，故A不正确;双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±2x，而双曲线y2−x24=1的焦点在y轴上，渐近线方程为y=±12x，二者渐近线方程不同，所以B错误;圆x2+y2=1的圆心(0,0)到双曲线C的准线y=±a2c =±√55的距离为√55，所以准线被圆x 2+y 2=1截得的弦长为2×√12−(√55)2=2√45=4√55， 故C 正确;由直线与双曲线的位置关系可知直线y =kx +b 与双曲线C 的公共点个数只可能为0，1，2，故D 正确. 故选：CD .11.【答案】BD;【解析】解：将直线l ：(2m +1)x +(m +1)y −7m −4=0整理为(x +y −4)+m(2x +y −7)=0，令{2x +y −7=0，解得{y =1， 故无论m 为何值，直线l 恒过定点D(3,1)， ∵圆C ：(x −1)2+(y −2)2=25， ∴圆C(1,2)，半径r =5，∵|CD |=√(1−3)2+(2−1)2<5， ∴定点D 在圆内，直线l 与圆相交，故A 错误， ∵圆C ：(x −1)2+(y −2)2=25，∴令x =0，则(y −2)2=24，解得y =2±2√6， 故y 轴被圆C 截得的弦长为4√6，故B 正确， 圆心C(1,2)，r =5，CD =√5，当截得的弦长最短时，l ⊥CD ，k CD =−12，则直线l 的斜率为2，最短弦长为2√52−(√5)2=4√5，故C 错误，故此时直线l 的方程为y −1=2(x −3)，即2x −y −5=0，故D 正确． 故选：BD .先求出直线l 的定点，通过两点之间的距离公式，可判断该定点在圆内，即可求解A 选项，令x =0，则(y −2)2=24，解得y =2±2√6，即可求解B 选择，结合椭圆最短弦的性质，即可求解CD 选项．此题主要考查直线与圆的位置关系，考查最短弦问题，属于中档题．12.【答案】ABD; 【解析】此题主要考查了圆的标准方程和直线与圆的位置关系，考查推理能力和计算能力，属于一般题．当k =1时A 正确；对于B 、存在直线 x =1；由于所有直线与圆都相交，故C 错误；将(0,0)代入即可判断D 错误.解：对于A：存在k，使圆与x轴相切⇔k=k2(k∈N∗)有正整数解⇔k=1，故A正确；对于B：因为圆心(1,k)恒在直线x=1上，故B正确；对于C：当k取无穷大的正数时，半径k2也无穷大，因此所有直线与圆都相交，故C不正确；对于D：将(0,0)代入得1+k2=k4，即1=k2(k2−1)，因为右边是两个相邻整数相乘为偶数，而左边为奇数，故方程恒不成立，故D正确．故选ABD.13.【答案】AD;【解析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.分|AB|取得最小值和最大值两种情况，求出直线l的斜率，从而求得直线l的方程.解：圆x2+y2+4x=0即圆(x+2)2+y2=4，是以C(−2,0)为圆心，r=2为半径的圆，k PC=1=1，−1+2过点P(−1,1)的直线l与圆x2+y2+4x=0相交于A,B两点，点P(−1,1)在圆内，当|AB|取得最小值时，AB⊥PC,即k PC.k AB=−1，∴k AB=−1，直线l的方程是y−1=−(x+1)，即x+y=0，当|AB|取得最大值时，直线l经过圆心C，k AB=k PC=1，∴直线l的方程是y−1=x+1，即x−y+2=0，故选AD.14.【答案】x+2y=0;【解析】解：圆x2+y2+x=0与圆x2+y2−2y=0的公共弦所在的直线方程即为两圆方程相减可得：即为x+2y=0．故答案为：x+2y=0．两圆公共弦即为方程相减．该题考查公共弦方程，为基础题．;15.【答案】335【解析】该题考查直线关于点、直线对称的方程，根据题意，得到折痕为A，B的对称轴；也是C，D的对称轴，求出A，B的斜率及中点，求出对称轴方程，然后求出C，D的斜率令其等于对称轴斜率的负倒数，求出C，D的中点，将其代入对称轴方程，列出方程组，求出m，n的值，得到答案．解：根据题意，得到折痕为A(0,2)，B(4,0)的对称轴；也是C(6,3)，D(m,n)的对称轴，AB的斜率为k AB=−12，其中点为(2,1)，所以图纸的折痕所在的直线方程为y−1=2(x−2)所以k CD=n−3m−6=−12，①CD的中点为(m+62,n+32)，所以n+32−1=2(m+62−2)②由①②解得m=65，n=275，所以m+n=335．故答案为：335．16.【答案】3;【解析】利用对称思想方法求距离最值问题，考查转化思想和计算能力，属于中档题．由已知可判断P，Q在已知直线的两侧，求出P关于直线的对称点P′的坐标，根据对称性转化为|P′M|+|QM|的最小值的问题，利用两点之间的路程已知线段为最短得到问题的答案．解：设P(1,3)关于直线的对称点的坐标为P′(a,b)，根据PP′与已知直线垂直，并且线段PP′的中点做已知直线上，∴{b−3a−1=−11+a 2−3+b2+1=0，∴a=2，b=2，∴P′(2,2)，由于P′与Q的纵坐标相同，∴|PM|+|QM|=|P′M|+|QM|的最小值为|P′Q|=2+1= 3，故答案为3.17.【答案】[√2,+∞);【解析】此题主要考查直线和圆的位置关系，转化思想是解决问题的关键，属中档题.由切线的对称性和圆的知识将问题转化为MC⊥l时，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于90°即可．解：圆C：(x−2)2+y2=r2，圆心为：(2,0)，半径为r，∵在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，∴在直线l上存在一点M，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于90°，∴只需MC⊥l时，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于90°即可∵C到直线l：3x+4y+4=0的距离2，则r⩾2×sin45°=√2.故答案为[√2,+∞).18.【答案】2x-y-2=0;【解析】解：设与直线2x−y+1=0平行的直线的方程为2x−y+c=0，由点P(3,4)在直线2x−y+c=0上，可得c=−2，故直线的方程为2x−y−2=0.故答案为：2x−y−2=0.设与直线2x−y+1=0平行的直线的方程为2x−y+c=0，由点P(3,4)在直线2x−y+c=0上，求出c，再确定直线的方程．此题主要考查的知识要点：直线的方程的求法，平行直线系的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)如图所示，其中A(2,4)，B(3,2)，则yx =y−0x−0可看作是直线OP的斜率，由图知，k OB⩽k OP⩽k OA，而k OB=23，k OA=2，所以(yx )max=2，(yx)min=23；(2)因为yx ∈[23,2]，所以y−xy+x=yx−1yx+1=yx+1−2yx+1=1−2yx+1∈[−15,13]，所以y−xy+x 的取值范围是[−15,13].;【解析】此题主要考查直线斜率几何意义的应用，(1)依题意，yx =y−0x−0可看作是直线OP的斜率，由图知，k OB⩽k OP⩽k OA，从而求得最值.(2)由(1)知y x∈[23,2]，所以y−x y+x=1−2y x+1，从而求得结果.20.【答案】解：（1）圆心（0，0）到直线y=x+1的距离为d=√2由圆的性质可得r 2=d 2+（√142）2=4 ∴圆的方程为：x 2+y 2=4．（2）设N （t ，0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由{x 2+y 2=4y =k(x −1)，得（k 2+1）x 2-2k 2x+k 2-4=0． ∴x 1+x 2=2k 21+k2，x 1x 2=k 2−4k 2+1若直线AN 与直线BN 关于x 轴对称，则k AN =-k BN ⇒y 1x 1−t+y 2x 2−t=0⇒k(x 1−1)x 1−t+k(x 2−1)x 2−t=⇒2x 1x 2-（t+1）（x 1+x 2）+2t=0⇒2(k 2−4)k 2+1−2k 2(t+1)k 2+1+2t =0，⇒t=4．∴在x 轴正半轴上存在定点N （4，0），使得AN 与直线BN 关于x 轴对称．; 【解析】(1)圆心(0,0)到直线y =x +1的距离为d =√2由圆的性质可得r 2=d 2+(√142)2=4，即可；(2)设N(t,0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).由{x 2+y 2=4y =k(x −1)，得(k 2+1)x 2−2k 2x +k 2−4=0．x 1+x 2=2k 21+k 2，x 1x 2=k 2−4k 2+1， 若直线AN 与直线BN 关于x 轴对称，则k AN =−k BN ⇒y 1x 1−t+y 2x 2−t=0⇒k(x 1−1)x 1−t+k(x 2−1)x 2−t=0即可求得t ．该题考查了圆的方程，圆的弦长的计算，定点问题，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0. 由{4+2E +F =04+2D +F =02×(−D 2)−(−E2)−4=0， 解得：{D =−8E =−8F =12，故所求圆C 的方程为x 2+y 2−8x −8y +12=0.(Ⅰ)圆心到l 2的距离为d =√32+42=4，所以弦长的一半为√20−16=2， 于是直线l 2被圆C 截得的弦的长度为4.; 【解析】此题主要考查圆的方程的求解，以及直线和圆相交时弦长公式的计算，考查学生的运算能力.(Ⅰ)利用待定系数法即可求圆C 的方程；(Ⅰ)根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．22.【答案】解：（Ⅰ）由已知得 OA →.OB →=(m ，√3m).(n ，−√3n)(1分) =−2mn =−12∴m.n =14（4分）（Ⅱ）设P 点坐标为（x ，y ）（x ＞0），由OP →=OA →+OB →得(x ，y )=(m ，√3m)+(n ，−√3n)=(m +n ，√3(m −n))（5分） ∴{x =m +n y =√3(m −n)消去m ，n 可得x 2−y 23=4mn ，又因mn =14（8分） ∴P 点的轨迹方程为x 2−y 23=1(x ＞0)它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线x 2−y 23=1的右支（9分）（Ⅲ）设直线l 的方程为x=ty+2，将其代入C 的方程得3（ty+2）2-y 2=3 即（3t 2-1）y 2+12ty+9=0易知（3t 2-1）≠0（否则，直线l 的斜率为±√3，它与渐近线平行，不符合题意） 又△=144t 2-36（3t 2-1）=36（t 2+1）＞0设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则y 1+y 2=−12t3t 2−1，y 1y 2=93t 2−1 ∵l 与C 的两个交点M ，N 在y 轴的右侧 x 1x 2=（t y 1+2）（t y 2+2） =t 2y 1y 2+2t （y 1+y 2）+4 =t 2.93t 2−1+2t .−12t 3t 2−1+4=−3t 2+43t 2−1＞0∴3t 2-1＜0，即0＜t 2＜13又由x 1+x 2＞0同理可得0＜t 2＜13（11分） 由ME →=3EN →得（2-x 1，-y 1）=3（2-x 2，y 2） ∴{2−x 1=3(2−x 2)−y 1=3y 2由y 1+y 2=−3y 2+y 2=−2y 2=−12t3t 2−1得y 2=6t3t 2−1由y 1y 2=(−3y 2)y 2=−3y 22=93t 2−1得y 22=−33t 2−1消去y 2得36t 2(3t 2−1)2=−33t 2−1解之得：t 2=115，满足0＜t 2＜13（13分）故所求直线l 存在，其方程为：√15x −y −2√5=0或√15x +y −2√5=0（14分）; 【解析】(I)由向量数量积OA →.OB →=−12的坐标运算即可求得m ⋅n 的值；(II )欲求P 点的轨迹C 的方程，设点P(x,y)，只须求出其坐标x ，y 的关系式即可，由题意向量关系将x ，y 用m ，n 表示，最后消去m ，n 得到一个关系式，即得点P 的轨迹方程． (III )设直线l 的方程为x =ty +2，将其代入C 的方程得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量运算即可求得t 值，从而求得l 的方程．本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求直线方程的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．23.【答案】解：当直线L 的斜率存在时，设直线L 的方程为y −3=k(x −2)，即kx −y +3−2k =0，作MC ⊥AB 于C ，在直角三角形MBC 中，BC =√3，MB =2， 所以MC =1，又因为MC =√k 2+1=1，解得k =34，所以直线方程为3x −4y +6=0.当直线斜率不存在时，其方程为x =2，圆心到此直线的距离也为1， 所以也符合题意，综上可知，直线L 的方程为3x −4y +6=0或x =2.; 【解析】分斜率存在和斜率不存在两种情况，分别由条件利用点到直线的距离公式，弦长公式求出斜率，可得直线L 的方程．此题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．。
高中数学 第3章 导数及其应用 3.3.3 习题(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
选修1-1第三章3.3一、选择题1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是导学号 92600712 ( )A．12；－8 B．1；－8C．12；－15 D．5；－16[答案] A[解析]y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1，x＝－1时y＝12，x＝1时y＝－8.∴y max＝12，y min＝－8.故选A．2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)导学号 92600713( )A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值[答案] D[解析]f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∵x∈(－1,1)，∴f′(x)<0，即函数在(－1,1)上是减少的，∴既无最大值，也无最小值．3．函数f(x)＝3x－x3(－3≤x≤3)的最大值为导学号 92600714( )A．18 B．2C．0 D．－18[答案] B[解析]f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0，得x＝±1，－3≤x<－1时，f′(x)<0，－1<x<1时，f′(x)>0,1<x≤3时，f′(x)<0，故函数在x＝－1处取极小值，在x＝1处取极大值．∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，又f(－3)＝0，f(3)＝－18，∴[f(x)]max＝2，[f(x)]min＝－18.4．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为导学号 92600715( )A ．2B ．4C ．18D ．20[答案] D[解析]f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.f (0)＝－a, f (1)＝－2－a, f (3)＝18－a ，∴f (x )max ＝18－a ，f (x )min ＝－2－a ， ∴18－a －(－2－a )＝20.5．下列说法正确的是导学号 92600716( ) A ．函数的极大值就是函数的最大值 B ．函数的极小值就是函数的最小值 C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值 [答案] D[解析] 根据最大值、最小值的概念可知选项D 正确．6．函数f (x )＝ln x －x 在区间[0，e]上的最大值为导学号 92600717( ) A ．－1 B ．1－e C ．－e D ．0[答案] A[解析]f ′(x )＝1x －1＝1－xx，令f ′(x )>0，得0<x <1， 令f ′(x )<0，得1<x <e ，∴f (x )在(0,1)上递增，在(1，e)上递减，∴当x ＝1时，f (x )取极大值，这个极大值也是最大值．∴f (x )max ＝f (1)＝－1.二、填空题7．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝x 2e x 的值域是________.导学号 92600718[答案] [0，e][解析]f ′(x )＝2x ·e x －x 2·e x e x 2＝2x －x2e x ， 令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2.f (－1)＝e, f (0)＝0, f (1)＝1e，∴f (x )max ＝e, f (x )min ＝0， 故函数f (x )的值域为[0，e]． 8．若函数f (x )＝3x －x 3＋a ，－3≤x ≤3的最小值为8，则a 的值是________.导学号 92600719[答案] 26[解析]f ′(x )＝3－3x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1.f (1)＝2＋a ，f (－1)＝－2＋a .又f (－3)＝a ，f (3)＝－18＋a .∴f (x )min ＝－18＋a .由－18＋a ＝8.得a ＝26. 三、解答题9．(2016·某某某某市高二检测)已知函数f (x )＝x 3－2ax 2＋3ax 在x ＝1时取得极值.导学号 92600720(1)求a 的值；(2)若关于x 的不等式f (x )－k ≤0在区间[0,4]上恒成立，某某数k 的取值X 围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－4ax ＋3a ， 由题意得f ′(1)＝3－4a ＋3a ＝0，∴a ＝3. 经检验可知，当a ＝3时f (x )在x ＝1时取得极值． (2)由(1)知， f (x )＝x 3－6x 2＋9x ， ∵f (x )－k ≤0在区间[0,4]上恒成立， ∴k ≥f (x )max 即可．f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x 2－4x ＋3)＝3(x －1)(x －3)，令f ′(x )>0，得3<x <4或0<x <1， 令f ′(x )<0，得1<x <3.∴f (x )在(0,1)上递增，(1,3)上递减，(3,4)上递增，∴当x ＝1时， f (x )取极大值f (1)＝4，当x ＝3时， f (x )取极小值f (3)＝0. 又f (0)＝0，f (4)＝4， ∴f (x )max ＝4，∴k ≥4.一、选择题1．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为导学号 92600721( ) A ．239B ．229C ．329D ．38[答案] A[解析]f ′(x )＝1－3x 2＝0，得x ＝33∈[0,1]， ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫33＝239，f (0)＝f (1)＝0. ∴f (x )max ＝239.2．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上图象连续不断且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为导学号 92600722( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )[答案] A[解析] 令u (x )＝f (x )－g (x )， 则u ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0， ∴u (x )在[a ，b ]上为单调减少的， ∴u (x )的最大值为u (a )＝f (a )－g (a )．3．设在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，且在区间[a ，b ]上存在导数，有下列三个命题：①若f (x )在[a ，b ]上有最大值，则这个最大值必是[a ，b ]上的极大值； ②若f (x )在[a ，b ]上有最小值，则这个最小值必是[a ，b ]上的极小值； ③若f (x )在[a ，b ]上有最值，则最值必在x ＝a 或x ＝b 处取得． 其中正确的命题个数是导学号 92600723( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] A[解析] 由于函数的最值可能在区间[a ，b ]的端点处取得，也可能在区间[a ，b ]内取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此3个命题都是假命题．4．当x ∈[0,5]时，函数f (x )＝3x 2－4x ＋c 的值域为导学号 92600724( ) A ．[f (0)，f (5)] B ．[f (0)，f (23)]C ．[f (23)，f (5)]D ．[c ，f (5)][答案] C[解析]f ′(x )＝6x －4，令f ′(x )＝0，则x ＝23，0<x <23时，f ′(x )<0，x >23时，f ′(x )>0，得f (23)为极小值，再比较f (0)和f (5)与f (23)的大小即可．二、填空题5．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值的和是________.导学号 92600725[答案] －10[解析]f ′(x )＝6x 2－6x －12，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝2.但x ∈[0,3]，∴x ＝－1舍去，∴x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表，知f (x )max ＝5，f (x )min ＝－15， 所以f (x )max ＋f (x )min ＝－10.6．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)，x ∈[1,4]，f (x )的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________.导学号 92600726[答案]103[解析]f ′(x )＝4ax 3－12ax 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，或x ＝3.1<x <3时，f ′(x )<0,3<x <4时，f ′(x )>0，故x ＝3为极小值点． ∵f (3)＝b －27a ，f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ，∴f (x )的最小值为f (3)＝b －27a ，最大值为f (4)＝b .∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝3，∴a ＋b ＝103.三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.导学号 92600727(1)求a 、b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．[解析] (1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2，又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 而由切线方程y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－22a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－4.∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )、 f ′(x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f (23)＝9527，又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.8．设f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5.导学号 92600728(1)求函数f (x )的单调递增、递减区间；(2)当x ∈[－1,2]时， f (x )<m 恒成立，某某数m 的取值X 围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0⇒x ＝1或x ＝－23.所以当x ∈(－∞，－23)时f ′(x )>0, f (x )为增函数；当x ∈(－23，1)时， f ′(x )<0, f (x )为减函数．当x ∈(1，＋∞)时， f ′(x )>0, f (x )为增函数．所以f (x )的递增区间为(－∞，－23)和(1，＋∞)，f (x )的递减区间为(－23，1)．(2)当x ∈[－1,2]时， f ′(x )<m 恒成立，只需使f (x )在[－1,2]上的最大值小于m 即可．由(1)知f (x )极大值＝f (－23)＝5＋2227，f (x )极小值＝f (1)＝72.又f (－1)＝112， f (2)＝7，所以f (x )在[－1,2]上的最大值为f (2)＝7. 所以m >7.。
2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：周周回馈练(五) Word版含解析
姓名，年级：时间：周周回馈练（五）一、选择题1．设集合A＝｛x｜（x－1）2＜3x＋7，x∈R｝，则集合A∩Z中元素的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7答案C解析解不等式(x－1)2＜3x＋7，然后求交集．由(x－1）2＜3x＋7，得－1＜x＜6，∴集合A为{x｜－1＜x＜6}，∴A∩Z的元素有0，1，2，3，4，5，共6个元素．2．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是( )A．错误!＞错误! B．a＋错误!＞b＋错误!C．a＋错误!＞b＋错误! D．错误!＞错误!答案C解析解法一：由a＞b＞0⇒0＜错误!＜错误!⇒a＋错误!＞b＋错误!．故选C．解法二:(特值法)令a＝2，b＝1，排除A,D，再令a＝错误!，b＝错误!，排除B．3．已知a＜b＜c且a＋b＋c＝0，则二次函数f（x)＝ax2＋bx＋c的零点个数为( ）A．1 B．2C．0 D．0或1或2答案B解析因为a＜b＜c且a＋b＋c＝0，所以a＜0，c＞0,所以对方程ax2＋bx＋c＝0，有Δ＝b2－4ac＞0,因此二次函数f（x)＝ax2＋bx＋c有两个零点，故选B．4．若a＜b＜c，则错误!＋错误!的值为( )A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数答案A解析错误!＋错误!＝错误!＝错误!．∵a＜b＜c，∴c－b＞0,a－c＜0，a－b＜0,∴错误!＞0．5．已知不等式x22－x＜错误!的解集为(1,2）∪（k，＋∞），则实数k的取值范围为( ）A．［2，＋∞） B．(1,2)C．（1，2)∪(3,＋∞) D．（－∞，1）∪（2,＋∞）答案A解析由错误!＜错误!，得错误!＜0，即错误!＜0，等价于(x－1)(x－2）（x－k）＞0．又原不等式的解集为（1,2)∪(k，＋∞),所以k≥2．故选A．6．已知函数f(x）＝ln 错误!＋sin x，则关于a的不等式f（a－2）＋f（a2－4）＜0的解集是（）A．（3，2） B．(－3，2） C．(1，2） D．(3，错误!）答案A解析∵f(x)的定义域为（－1，1），函数y＝ln 错误!和y＝sin x均是奇函数,且在（－1，1)上都是单调递增的,∴f（x)也是奇函数且在（－1，1)上单调递增，∴f（－x）＝－f(x)，由f（a－2)＋f（a2－4）＜0，得f(a2－4)＜－f(a－2）＝f(2－a)⇔－1＜a2－4＜2－a＜1⇔错误!解得错误!＜a＜2,故选A．二、填空题7．设a≥0，若P＝a＋1＋错误!，Q＝错误!＋错误!,则P________Q(填“＞"“＜"或“＝"）．答案＜解析由题意，知P＞0,Q＞0，则P2－Q2＝(错误!＋错误!)2－(错误!＋错误!)2＝[2a＋6＋2错误!]－[2a＋6＋2错误!]＝2（错误!－错误!）＜0，所以P＜Q．8．若全集I＝R，f（x),g（x)均为x的二次函数，P＝｛x｜f(x)＜0}，Q＝{x|g （x)≥0}，则不等式组错误!的解集可用P,Q表示为________．答案P∩∁I Q解析因为g(x)≥0的解集为Q,所以g（x)＜0的解集为∁I Q，因此错误!的解集为P∩∁I Q．9．如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM 上，点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB＝3，AD＝2．那么要使矩形花坛AMPN 的面积大于27，则DN的取值范围为________．答案(0，1）∪(4,＋∞)解析设DN为x(x＞0），则AN＝x＋2．由错误!＝错误!，得AM＝错误!，所以S矩形AMPN＝AN·AM＝错误!．由S矩形AMPN＞27,得3x＋22x＞27．又x＞0，则x2－5x＋4＞0,解得0＜x＜1或x＞4，即DN的取值范围是(0，1）∪(4,＋∞）．三、解答题10．已知x2＋px＋q〈0的解集为错误!，若f（x)＝qx2＋px＋1．(1)求不等式f（x)〉0的解集；(2）若f(x)〈错误!恒成立，求a的取值范围．解(1）因为x2＋px＋q<0的解集为错误!〈x<错误!,所以－错误!,错误!是方程x2＋px ＋q＝0的两实数根，由根与系数的关系得错误!解得错误!所以不等式f(x）>0,则qx2＋px＋1>0,即－错误!x2＋错误!x＋1>0，整理得x2－x－6〈0，解得－2<x<3,所以不等式f(x)〉0的解集为｛x｜－2〈x<3}．（2）依题意f(x)<错误!，则－错误!x2＋错误!x＋1<错误!,即x2－x＋a－6〉0恒成立，因为函数g(x）＝x2－x＋a－6的图象开口向上,所以Δ＝1－4(a－6)<0，解得a〉错误!．所以a的取值范围为错误!．11．已知关于x的方程x2－2tx＋t2－1＝0的两实根介于（－2，4）之间，求t的取值范围．解令f(x)＝x2－2tx＋t2－1．∵x2－2tx＋t2－1＝0的两实根介于(－2,4）之间，∴错误!解得错误!∴－1＜t＜3，即t的取值范围为(－1,3）．12．一服装厂生产某种风衣，月销售x(件）与售价p(元/件）之间的关系为p＝160－2x，生产x件的成本总数R＝500＋30x(元）．（1）该厂的月产量为多大时，月获得的利润不少于1300元？（2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？解（1）设该厂月获利为y，则y＝(160－2x)x－(500＋30x）＝－2x2＋130x－500，由题意y≥1300，∴20≤x≤45，∴当月产量在20至45件之间时，月获利不少于1300元．(2)由(1）知y＝－2错误!2＋1612．5．∵x为正整数，∴当x＝32或33时，y取最大值为1612．。
高中数学(人教A版)选择性必修三课后习题：组合、组合数(课后习题)【含答案及解析】
第六章计数原理6.2 排列与组合6.2.3 组合 6.2.4 组合数课后篇巩固提升必备知识基础练1.某新农村社区共包括8个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为( )A.4B.8C.28D.64“村村通”公路的修建是组合问题,故共需要建C 82=28(条)公路.2.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动,若选出的4人中既有男生又有女生,则不同的选法共有( ) A.140种 B .120种 C .35种 D .34种1男3女有C 41C 33=4(种);若选2男2女有C 42C 32=18(种);若选3男1女有C 43C 31=12(种).所以共有4+18+12=34(种)不同的选法.故选D .3.已知C n+17−C n 7=C n 8,则n 等于( )A.14B.12C.13D.15,得C n+17=C n+18,故7+8=n+1,解得n=14.4.某校有6名志愿者,在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务,任务是组织游客参加“祝福祖国征集留言”“欢乐世园共绘展板”“传递祝福发放彩绳”三项活动,其中1人负责“征集留言”,2人负责“共绘展板”,3人负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有( ) A.30种 B.60种 C.120种 D.180种6人中选1人负责“征集留言”,从剩下的人中选2人负责“共绘展板”,最后剩下的3人负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有C 61C 52C 33=60(种).故选B.5.安排A,B,C,D,E,F 共6名义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两位义工照顾一位老人,考虑到义工与老人住址距离问题,义工A 不安排照顾老人甲,义工B 不安排照顾老人乙,则安排方法共有( ) A.30种 B.40种 C.42种 D.48种名义工照顾三位老人,每两位义工照顾一位老人共有C 62C 42=90(种)安排方法,其中A 照顾老人甲的情况有C 51C 42=30(种), B 照顾老人乙的情况有C 51C 42=30(种),A 照顾老人甲,同时B 照顾老人乙的情况有C 41C 31=12(种).故符合题意的安排方法有90-30-30+12=42(种). 故选C.6.若已知集合P={1,2,3,4,5,6},则集合P 的子集中含有3个元素的子集数为 .,因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关,是组合问题,共有C 63=20(个)子集.7.不等式C n 2-n<5的解集为 .C n 2-n<5,得n (n -1)2-n<5,∴n 2-3n-10<0.解得-2<n<5.由题设条件知n ≥2,且n ∈N *,∴n=2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}.8.若对任意的x ∈A ,则1x ∈A ,就称A 是“具有伙伴关系”的集合.集合M=-1,0,13,12,1,2,3,4的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为 .-1;1;12,2;13,3,共4组.所以集合M 的所有非空子集中,具有伙伴关系的非空集合中的元素,可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组.又因为集合中的元素是无序的,所以所求集合的个数为C 41+C 42+C 43+C 44=15.9.如图,某区有7条南北向街道,5条东西向街道.(1)图中有多少个矩形?(2)从A 点走向B 点最短的走法有多少种?在7条南北向街道中任选2条,5条南北向街道中任选2条,这样4条线可组成一个矩形,故可组成矩形有C 72·C 52=210(个).(2)每条东西向的街道被分成6段,每条南北向街道被分成4段,从A 到B 最短的走法包括10段,其中6段方向相同,另4段方向也相同,每种走法,即从10段中选出6段,这6段是走东西方向的(剩下4段即走南北方向的),共有C 106=C 104=210(种)走法.关键能力提升练10.楼道里有12盏灯,为了节约用电,需关掉3盏不相邻的灯,则关灯方案有( ) A.72种B.84种C.120种D.168种3盏不相邻的灯,即将这3盏灯插入9盏亮着的灯形成的10个空中,所以关灯方案共有C103=120(种).11.(2021江苏江宁校级期中)计算组合数C129得到的值为()A.1 320B.66C.220D.240=220.,C129=C123=12×11×103×2×112.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()A.33B.34C.35D.36所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C21·A33=12(个);②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C21·A33+A33=18(个);③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C31=3(个).故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33(个).故选A.13.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有()A.50种B.60种C.120种D.210种,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7).甲任选一种为C61,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A52种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C61·A52=120(种),故选C.14.(多选)有13名医生,其中女医生6人,现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区,若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为N,则下列等式能成为N的算式是()A.C135−C71C64B.C72C63+C73C62+C74C61+C75C.C135−C71C64−C65D.C72C113名医生,其中女医生6人,男医生7人.(方法一直接法)2男3女C72C63;3男2女C73C62;4男1女C74C61;5男C75,所以N=C72C63+C73C62+C74C61+C75.(方法二间接法)13名医生,任取5人,减去4、5名女医生的情况,即N=C135−C71C64−C65.故选BC.15.某同学有同样的画册2本、同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有种.,就所剩余的1本进行分类:第1类,剩余的是1本画册,此时满足题意的赠送方法有4种;第2类,剩余的是1本集邮册,此时满足题意的赠送方法有C 42=6(种).因此,满足题意的赠送方法共有4+6=10(种).16.C 88+C 98+C 108+C 118= .88+C 98+C 108+C 118=C 129=C 123=220.17.4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,则恰好有1个空盒子的放法有 种.,必有1个盒子内放入2个小球,从4个小球中取出2个小球,有C 42种取法,此时把它看作1个小球,与另2个小球共3个小球放入4个盒子中,有A 43种放法,所以满足题意的放法有C 42·A 43=144(种).18.(2021湖南模拟)甲、乙、丙、丁4名同学到A ,B ,C 三个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,且同学甲安排在A 小区,则共有 种不同的安排方案.:(1)A 小区安排2人(同学甲及另一名同学),则有C 31A 22=6(种)安排方案.(2)A 小区只安排同学甲1人,则有C 32A 22=6(种)安排方案,根据分类加法计数原理可得共有6+6=12(种)安排方案.19.(1)计算:C 85+C 10098C 77.(2)求证:C m+2n =C m n +2C m n -1+C m n -2.=C 83+C 1002×1=8×7×63×2×1+100×992×1=56+4 950=5 006.C n+1m =C n m +C n m -1可知,右边=(C m n +C m n -1)+(C m n -1+C m n -2)=C m+1n +C m+1n -1=C m+2n =左边.所以原等式成立.学科素养创新练20.有9本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下,各有多少种分法? (1)甲得4本、乙得3本、丙得2本; (2)一人得4本、一人得3本、一人得2本; (3)甲、乙、丙各得3本.分三步完成:第1步,从9本不同的书中,任取4本分给甲,有C 94种方法; 第2步,从余下的5本书中,任取3本给乙,有C 53种方法; 第3步,把剩下的书给丙,有C 22种方法,所以甲得4本、乙得3本、丙得2本,共有C 94C 53C 22=1 260(种)不同的分法.(2)分两步完成:第1步,按4本、3本、2本分成三组有C 94C 53C 22种方法;第2步,将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有A 33种方法,所以一人得4本、一人得3本、一人得2本,共有C 94C 53C 22A 33=7 560(种)不同的分法.(3)用与(1)相同的方法即可求解,可得甲、乙、丙各得3本,共有C 93C 63C 33=1 680(种)不同的分法.21.按照下列要求,分别求有多少种不同的方法? (1)5个不同的小球放入3个不同的盒子;(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球; (3)5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球; (4)5个不同的小球放入3个不同的盒子,恰有1个空盒.个不同的小球放入3个不同的盒子,每个小球都有3种可能,利用分步乘法计数原理可得不同的方法有35=243(种).(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,先把5个小球分组,分法有2,2,1和3,1,1两种,再放入3个不同的盒子,故不同的方法共有C 52C 32C 11A 22+C 53A 33=150(种).(3)5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,类似于在5个小球间的空隙中,放入2个隔板,把小球分为3组,故不同的方法共有C 42=6(种).(4)5个不同的小球放入3个不同的盒子,恰有一个空盒,先把5个小球分2组,分法有3,2,0和4,1,0两种,再放入3个不同的盒子,故不同的方法共有(C 53C 22+C 54)A 33=90(种).。
2023-2024学年全国高中高一下数学人教A版期末试卷(含解析)
2023-2024学年全国高一下数学期末试卷考试总分：146 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）1. 已知，则 A.B.C.D.2. 甲、乙两名篮球运动员最近五场比赛的得分如茎叶图所示，则 A.甲的中位数和平均数都比乙高B.甲的中位数和平均数都比乙低C.甲的中位数比乙的中位数高，但平均数比乙的平均数低D.甲的中位数比乙的中位数低，但平均数比乙的平均数高3. 把一个体积为 ，表面涂有红色的正方体木块锯成个体积为的小正方体.从这个小正方体中随机取出块，则这块至少有面涂有红色的概率是( )A.cosα=13sin(2α+)=(π2)−7979±42–√9−89()64c m 3641c m 364111387B.C.D. 4. 已知且，则与的夹角为（ ）A.B.C.D.5. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：频率本根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）A.该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为B.该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率估计为C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间6. 设，是两条不同的直线， ，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，则；③若，，则.其中正确命题的序号是( )A.①和②B.②和③C.①和③D.①②③781858||=1,||=a →b →3–√⊥a →b →a →−b →a →π33π42π35π64.56%10.510%6.5 4.58.5m n αβγm ⊥αn//αm ⊥n α//ββ//γm ⊥αm ⊥γm//αn//αm//n7. 如图，在平面直角坐标系中，扇形的圆心角为，半径为，是上一点，其横坐标为，则＝（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 5 小题 ，每题 5 分 ，共计25分 ）8. 已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由个和个排列而成，记，表示所有可能取值中的最小值．则下列说法正确的是( )A.有个不同的值B.若，则与无关C.若，则与无关D.若，则9. 已知，则以下关系成立的有( )A.B.C.xOy AOB 3π41P AB ^22–√3sin ∠BOP 2–√33–√34+2–√63+2–√6a →b →x 1→x 2→x 3→x 4→x 5→y 1→y 2→y 3→y 4→y 5→2a →3b →S =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅x 1→y 1→x 2→y 2→x 3→y 3→x 4→y 4→x 5→y 5→S min S S 5⊥a →b →S min ||a →//a →b →S min ||b →||>4||b →a →>0S min z =+i 123–√2=−1z 3=−z 2z¯¯¯=1z 12−z +1=02D.10. 从一批产品中取出三件产品，设“三件产品不是次品”，“三件产品全是次品”，“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是 A.与互斥且为对立事件B.与互斥且为对立事件C.与存在有包含关系D.与不是对立事件11. 在管理学研究中，有一种衡量个体领导力的模型，称为“五力模型”，即一个人的领导力由五种能力——影响力、控制力、决断力、前瞻力和感召力构成．如图是某企业对两位领导人领导力的测评图，其中每项能力分为三个等级，“一般”记为分、“较强”记为分、“很强”记为分，把分值称为能力指标，则下列判断正确的是( )A.甲、乙的五项能力指标的均值相同B.甲、乙的五项能力指标的方差相同C.如果从控制力、决断力、前瞻力考虑，乙的领导力高于甲的领导力D.如果从影响力、控制力、感召力考虑，甲的领导力高于乙的领导力12. 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为，则关于上、下两空间图形的说法正确的是( )A.侧面积之比为B.侧面积之比为C.体积之比为D.体积之比为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）−z +1=0z 2A =B =C =()A B B C A C A C 4561:21:41:81:271:2613. 函数的对称轴方程是________.14. 如图，四棱锥中，底面为四边形．其中为正三角形，又．设三棱锥，三棱锥的体积分别是，，三棱锥，三棱锥的外接球的表面积分别是，．对于以下结论：①；②＝；③；④；⑤＝；⑥．其中正确命题的序号为________．15. 已知样本，，，，的平均数为，方差为，则，，，，的平均数和方差分别是________.16. 在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．已知三棱柱是一个“堑堵”，其中＝＝＝，点是的中点，则四棱锥的外接球的表面积为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ） 17. 如图，，是单位圆上的动点，是圆与轴正半轴的交点，设．（1）当点的坐标为时，求的值．（2）若，且当点，在圆上沿逆时针方向移动时，总有，试求的取值范围． 18. 某教师对所教两个班名学生网课期间参加体育活动的情况调查后整理得到如下列表（已知这名学生男女比例恰为）参加体育锻炼未参加体育锻炼总计男同学女同学总计补全列联表，并判断是否有的把握认为“参加体育锻炼与性别有关系？”按分层抽样在未参加体育锻炼的学生中抽取人，再从这人中随机选取人接受采访，求抽到男同学和女同学各人的概率．附：.y =cos2x P −ABCD ABCD △ACD ⋅=⋅=3⋅DA →DB →DB →DC →DB →AB →P −ABD P −ACD V 1V 2P −ABD P −ACD S 1S 2<V 1V 2V 1V 2>V 1V 2<S 1S 2S 1S 2>S 1S 2x 1x 2x 3x 4x 551−2x 1−2x 2−2x 3−2x 4−2x 5ABC −A 1B 1C 1AB BC B B 12M A 1C 1M −CB B 1C 1A B O C x ∠COA =αA (，)3545cos2α1+sin2α0≤α≤π3A B ∠AOB =π3BC 90901:1352590(1)99.5%(2)7721=，n =a +b +c +d K 2n (ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)P (K 2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828ABCD −A B C D ABCD A B C B19. 如图，在四棱柱中，底面为菱形，＝．（1）证明：平面平面；（2）若＝，是等边三角形，求二面角的余弦值． 20. 已知．（1）求向量的夹角；（2）求． 21. 某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是城市环境卫生大为改观，深得市民好评．“创文”过程中，某网站推出了关于环境治理和保护问题情况的问卷调查，现从参与问卷调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出的值；（2）若已从年龄较小的第，组中用分层抽样的方法抽取人，现要再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求第组恰好抽到人的概率． 22. 如图，在四棱锥中，＝＝＝，＝，＝，，，分别为，的中点，．（1）求证：平面；（2）求直线与底面所成角的大小ABCD −A 1B 1C 1D 1ABCD A B 1C B 1BD ⊥D 1B 1ABCD ∠DAB 60∘△D B B 1−BD −A 1C 1||=6,||=4,(−2)⋅(+3)=−72a b a b a b ,a b θ|+3|a b 2002001[15,25)2[25,35)3[35,45)4[45,55)5[55,65)a 1255322A −DBCE AD BD AE CE =5–√BC 4DE 2DE//BC O H DE AB AO ⊥CE DH //ACE DH DBCE参考答案与试题解析2023-2024学年全国高一下数学期末试卷一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）1.【答案】A【考点】两角和与差的三角函数【解析】结合诱导公式及二倍角余弦公式进行化简即可求解．【解答】因为，则＝．2.【答案】B【考点】众数、中位数、平均数、百分位数【解析】分别计算出两组数据的中位数和平均数即可得出选项．【解答】解：甲的平均数为：，中位数为，乙的平均数为：，中位数为，所以甲的中位数和平均数都比乙低.故选.3.【答案】cosα=13sin(2α+)=cos2απ22α−1=−cos 279=2925+28+29+31+32529=3028+29+30+31+32530BB【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】由题意，先弄清至少有一面涂红漆的小正方体个数以及没有颜色的小正方体的个数，从中随机取出一块，根据古典概型及其概率计算公式解之即可.【解答】解：由题意可知，正方体的边长为，没有颜色的小正方体有个，至少有一面涂有红色的小正方体有个，从个正方体中随机取出块，这一块至少有一面有红色的概率是.故选.4.【答案】C【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】设与的夹角为，因为，所以，所以，故，所以又，所以，故选．【解答】C 5.【答案】C【考点】频率分布直方图【解析】=4cm 64−−√3856641P ==566478B a →−b →a →θ⊥a →b →⋅=0a →b →⋅(−)=⋅−=−1a →b →a →a →b →a →2=+−2⋅=1+3=4(−)b →a →2a →2b →2a →b →−=2∣∣∣b →a →∣∣∣cosθ===−a ⋅(b −a)||⋅a|a →−11×212θ∈[0,π]θ=2π3C此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】A【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系命题的真假判断与应用【解析】利用空间线面平行以及垂直判定定理，依次判断，即可求出选项.【解答】解：由，是两条不同直线，，，是三个不同平面，得在①中，，，则由线面垂直的性质定理得，故①正确；在②中，若，，，则由面面平行性质定理、线面垂直的判定定理得，故②正确；在③中，若，，则与相交、平行或异面，故③错误，综上所述，正确命题的序号是①②.故选.7.【答案】C【考点】任意角的三角函数两角和与差的三角函数【解析】由题意求得点坐标，根据三角函数的定义写出、，再计算的值．【解答】由题意知，点，m n αβγm ⊥αn//αm ⊥n α//ββ//γm ⊥αm ⊥γm//αn//αm n A P sin ∠P OA cos ∠P OA sin ∠BOP P (,)22–√313∠P OA =1根据三角函数的定义知，，，所以＝＝．二、 多选题 （本题共计 5 小题 ，每题 5 分 ，共计25分 ）8.【答案】B,D【考点】平面向量数量积的性质及其运算平面向量数量积【解析】写出的所有可能组合，计算它们的值，结合选项进行判断．【解答】解：共有三种组合方式，分别记作，，，则，．，故错误；当时，，故正确；当时，或，故错误；当时，，，∴，.又，∴，故正确．故选．9.【答案】A,B,D sin ∠P OA =13cos ∠P OA =22–√3sin ∠BOP sin(−∠P OA)3π4sin cos ∠P OA −cos sin ∠P OA 3π43π4=×−(−)×2–√222–√32–√213=4+2–√6S S S 1S 2S 3=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅S 1a →a →a →a →b →b →b →b →b →b →=2+3a →2b →2=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅S 2a →b →a →b →b →b →b →a →b →a →=4⋅+a →b →b →2=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅S 3a →a →a →b →b →a →b →b →b →b →=+2⋅+2a →2a →b →b →2A ⊥a →b →=S min =S 2b →2B //a →b →⋅=||||a →b →a →b →−||||a →b →C ||>4||b →a →−4<⋅<4a →2a →b →a →2>16b →2a →2>0S 2>0S 3>0S 1>0S min D BD复数的运算共轭复数【解析】根据复数的运算得到，在对选项逐一判定即可得解.【解答】解：因为，所以,，，故正确；，因为，所以，故正确；， ，故错误；， ，故正确．故选.10.【答案】B,C,D【考点】互斥事件与对立事件【解析】本题中给了三个事件，四个选项都是研究互斥关系的，可先对每个事件进行分析，再考查四个选项得出正确答案．【解答】解：为"三件产品全不是次品"，指的是三件产品都是正品，为"三件产品全是次品"，为"三件产品不全是次品"，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，由此知：与是互斥事件，但不对立；与是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；与是互斥事件，也是对立事件．故选．11.=−+i z 2123–√2z =+i 123–√2==+i +=−+i z 2(+i)123–√22143–√234i 2123–√2A =(−+i)(+i)=−=−1z 3123–√2123–√2(i)3–√2214A B =−i z ¯¯¯123–√2=−z 2z ¯¯¯B C 1z =1+i 123√2=−i 123√2(+i)(−i)123√2123√2=−i 123–√2C D −z +1=−+i −(+i)+1=0z 2123–√2123–√2D ABD A B C A B A C B C BCDA,B【考点】众数、中位数、平均数、百分位数极差、方差与标准差【解析】【解答】解：甲的五项能力指标为，，，，，平均值为，乙的五项能力指标为，，，，，平均值为，则正确；由于均值相同，各项指标也相同（只是顺序不同），所以方差也相同，则正确；从控制力、决断力、前瞻力考虑，甲的均值为，乙的均值为，所以甲的领导力高于乙的领导力，则不正确；从影响力、控制力、感召力考虑，甲、乙的指标均值相同，方差也相同，所以甲、乙水平相当，则不正确．故选．12.【答案】B,D【考点】棱锥的结构特征棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积截面及其作法【解析】计算出小棱锥与原棱锥的相似比，结合两个棱锥侧面积之积为相似比的平方、体积之比为相似比的立方可求得结果．【解答】解：由题意可知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，则小棱锥与原棱锥的底面边长之比为，高之比为，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为，体积之比为，65454=4.86+5+4+5+4564545=4.86+4+5+4+55A B 143133C D AB 1:31:31:91:27所以小棱锥与棱台的侧面积之比为，体积之比为．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】余弦函数的对称性余弦函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：，令，则，∴的对称轴方程为.故答案为：.14.【答案】①⑤【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积命题的真假判断与应用【解析】利用已知条件，推出，然后推出，说明三棱锥的外接球相同，然后推出结果．【解答】不妨设＝，又为正三角形，由，得，即有，所以＝，1:81:26BD x =(k ∈Z)kπ2y =cos2x 2x =kπ,k ∈Z x =,k ∈Z kπ2y =cos2x x =(k ∈Z)kπ2x =(k ∈Z)kπ2DB ⊥AC <V 1V 2P −ACD |AD |2△ACD ⋅=⋅=3⋅DA →DB →DB →DC →DB →AB →⋅−⋅=⋅(−)=0DA →DB →DB →DC →DB →DA →DC →DB ⊥AC ∠ADB 30∘=3⋅→→=3⋅(−)→→DB |=4–√得，化简可以得，∴＝，易得，故，由于＝＝，所以与的外接圆相同（四点共圆），所以三棱锥，三棱锥的外接球相同，所以＝．15.【答案】，【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数、百分位数【解析】根据平均数的变化规律可得出数据，，，，的平均数是；先根据数据，，，，的方差为，求出数据，，，，的方差是．【解答】解：数据，，，，的平均数是，数据，，，，的平均数是.数据，，，，的方差为，数据，，，，的方差是．故答案为：，．16.【答案】【考点】异面直线及其所成的角【解析】将直三棱柱中的四棱锥单独如图所示，四棱锥是外接球的球心在过底面正方形的中心做底面的垂线上，设球心为，做交于点，可得＝，连接，可得＝＝，在两个三角形中求出的值，进而求出外接球的表面积．【解答】解：连接 ，取的中点，连接，，为中点， ，且 ，⋅=3⋅DB →DC →DB →AB →⋅=3⋅(−)DB →DC →DB →DB →DA →|DB |=43–√3∠DAB 90∘S <△ABD S △ACD <V 1V 2∠ADB ∠ACD 60∘△ABD △ACD P −ABD P −ACD S 1S 231−2x 1−2x 2−2x 3−2x 4−2x 55−2x 1x 2x 3x 4x 51−2x 1−2x 2−2x 3−2x 4−2x 51∵x 1x 2x 3x 4x 55∴−2x 1−2x 2−2x 3−2x 4−2x 55−2=3∵x 1x 2x 3x 4x 51∴−2x 1−2x 2−2x 3−2x 4−2x 5×1=11231π3O ON //P E ME N NE OP OC OM OC OM R R C B 1B 1C E DE BE ∵D AC ∴DE =A 12B 1DE//A B 1A B BD ∠BDE则异面线 与所成的角即为 ，， ，， ， , , ， 为等边三角形， .故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）17.【答案】解：（1）∵点的坐标为，∴，，∴，，∴（2）∵（，），，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【考点】三角函数【解析】（1）根据三角形函数线以及点的坐标，求出，，再根据二倍角公式，分别求出，，代入计算即可；（2）先表示出点的坐标，根据点与点的距离公式，根据三角函数的图象和性质即可求出，的取值范围．【解答】解：（1）∵点的坐标为，A B 1BD ∠BDE ∵∠ABC =90∘AB =BC =B =2B 1∴AC =22–√BD =2–√A =C =2B 1B 12–√∴DE =A =12B 12–√BE =C =12B 12–√∴△BDE ∴∠BDE =π3π3A (，)354545sinα=45cosα=35cos2α=2α−1=−cos 2725sin2α=2sinαcosα=2425==−cos2α1+sin2α−7251+242517B cos(α+)π3sin(α+)π3C(1,0)|BC =[cos(α+)−1+(α+)=2−2cos(α+)|2π3]2sin 2π3π30≤α≤π3≤α+≤π3π32π3−≤cos(α+)≤12π3121≤2−2cos(α+)≤3π31≤|BC |≤3–√A sinα=45cosα=35cos2αsin2αB BC A (，)354545α=4α=3∴，，∴，，∴（2）∵（，），，∴，∵，∴，∴，∴，∴．18.【答案】解：补全列联表如下：参加体育锻炼未参加体育锻炼总计男同学女同学总计所以，故有的把握认为“参加体育锻炼与性别有关系”．因为参加未体育锻炼的男同学有人，女同学有人，按分层抽样从中抽取人，则男同学应抽取人，记为，女同学应抽取人，记为，再从这人中随机抽取人共有种情况，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，抽到男同学和女同学各人有种情况，即，故所求的概率为．【考点】独立性检验列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】此题暂无解析sinα=45cosα=35cos2α=2α−1=−cos 2725sin2α=2sinαcosα=2425==−cos2α1+sin2α−7251+242517B cos(α+)π3sin(α+)π3C(1,0)|BC =[cos(α+)−1+(α+)=2−2cos(α+)|2π3]2sin 2π3π30≤α≤π3≤α+≤π3π32π3−≤cos(α+)≤12π3121≤2−2cos(α+)≤3π31≤|BC |≤3–√(1)351045202545553590=K 290(35×25−10×20)245×45×55×35=≈10.519>7.87910×27211×9×799.5%(2)102572x,y 5a ，b ，c ，d ，e 7221xy xa xb xc xd xe ya yb yc yd ye ab ac ad ae bc bd be cd ce de 110xa ，xb ，xc ，xd ，xe ，ya ，yb ，yc ，yd ，ye 1021【解答】解：补全列联表如下：参加体育锻炼未参加体育锻炼总计男同学女同学总计所以，故有的把握认为“参加体育锻炼与性别有关系”．因为参加未体育锻炼的男同学有人，女同学有人，按分层抽样从中抽取人，则男同学应抽取人，记为，女同学应抽取人，记为，再从这人中随机抽取人共有种情况，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，抽到男同学和女同学各人有种情况，即，故所求的概率为．19.【答案】证明：如图，设与相交于点，连接，又面为菱形，故，为中点，又＝，故，又在平面内，在平面内，且＝，∴平面，又在平面内，∴平面平面；由是等边三角形，可得，故平面，∴，，两两互相垂直，则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设＝，则，则，设平面的一个法向量为，则，可取，设平面的一个法向量为，则，可取，∴，∴二面角的余弦值为．(1)351045202545553590=K 290(35×25−10×20)245×45×55×35=≈10.519>7.87910×27211×9×799.5%(2)102572x,y 5a ，b ，c ，d ，e 7221xy xa xb xc xd xe ya yb yc yd ye ab ac ad ae bc bd be cd ce de 110xa ，xb ，xc ，xd ，xe ，ya ，yb ，yc ，yd ，ye 1021AC BD O O B 1ABCD AC ⊥BD O AC A B 1C B 1O ⊥AC B 1BD BD D 1B 1O B 1BD D 1B 1BD ∩O B 1O AC ⊥BD D 1B 1AC ABCD BD ⊥D 1B 1ABCD △D B B 1O ⊥BD B 1O ⊥B 1ABCD O B 1AC BD O AB 2AO =,O =3–√B 13–√A(,0,0),B(0,1,0),(0,0,),D(0,−1,0),(,−1,),(−,−1,)3–√B 13–√A 13–√3–√C 13–√3–√BD C 1=(x,y,z)n⋅=2y =0n BD →⋅=−x −y +z =0n O C 1→3–√3–√=(1,0,1)n BD A 1=(a,b,c)m⋅=2b =0m BD →⋅=a −b +c =0m O A 1→3–√3–√=(−1,0,1)m cos <,>==0m n ⋅m n ||||m n−BD −A 1C 10【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直【解析】（1）首先由，可得平面，而在平面内，由面面垂直的判定即得证；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式计算得出答案．【解答】证明：如图，设与相交于点，连接，又面为菱形，故，为中点，又＝，故，又在平面内，在平面内，且＝，∴平面，又在平面内，∴平面平面；由是等边三角形，可得，故平面，∴，，两两互相垂直，则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设＝，则，则，设平面的一个法向量为，则，可取，设平面的一个法向量为，则，可取，∴，∴二面角的余弦值为．AC ⊥BD O ⊥AC B 1AC ⊥BD D 1B 1AC ABCD AC BD O O B 1ABCD AC ⊥BD O AC A B 1C B 1O ⊥AC B 1BD BD D 1B 1O B 1BD D 1B 1BD ∩O B 1O AC ⊥BD D 1B 1AC ABCD BD ⊥D 1B 1ABCD △D B B 1O ⊥BD B 1O ⊥B 1ABCD O B 1AC BD O AB 2AO =,O =3–√B 13–√A(,0,0),B(0,1,0),(0,0,),D(0,−1,0),(,−1,),(−,−1,)3–√B 13–√A 13–√3–√C 13–√3–√BD C 1=(x,y,z)n⋅=2y =0n BD →⋅=−x −y +z =0n O C 1→3–√3–√=(1,0,1)n BD A 1=(a,b,c)m⋅=2b =0m BD →⋅=a −b +c =0m O A 1→3–√3–√=(−1,0,1)m cos <,>==0m n ⋅m n ||||m n−BD −A 1C 1020.【答案】由＝，＝，＝，所以，所以＝；所以，又，所以向量的夹角为；＝，所以．【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】（1）由平面向量的数量积求和的值；（2）根据平面向量的数量积求模长．【解答】由＝，＝，＝，所以，所以＝；所以，又，所以向量的夹角为；＝，所以．21.【答案】由＝，解得＝．第，组的人数分别为人，人，从第，组中用分层抽样的方法共抽取人，则第，组抽取的人数依次为人，人，分别记为，，，，；设从人中随机抽取人，则有，，，，，，，，，共个基本事件；其中第组恰好抽到人包含，，，，，共个基本事件；所以第组抽到人的概率．||a 6||b 4(−2)⋅(+3)a b a b −72+⋅−6=−72a 2a b b 2⋅=−72−36+6×16a b −12cosθ===−⋅a b ||×||a b −126×412θ∈[0,π],a b θ=2π3=+6⋅+9=36+6×(−12)+9×16(+3)a b 2a 2a b b 2108|+3|==6a b 108−−−√3–√cosθθ|+3|a b ||a 6||b 4(−2)⋅(+3)a b a b −72+⋅−6=−72a 2a b b 2⋅=−72−36+6×16a b −12cosθ===−⋅a b ||×||a b −126×412θ∈[0,π],a b θ=2π3=+6⋅+9=36+6×(−12)+9×16(+3)a b 2a 2a b b 2108|+3|==6a b 108−−−√3–√10×(0.010+0.015+a +0.030+0.010)1a 0.0351220301251223a 1a 2b 1b 2b 353(,,)a 1a 2b 1(,,)a 1a 2b 2(,,)a 1a 2b 3(,,)a 1b 1b 2(,,)a 1b 1b 3(,,)a 1b 2b 3(,,)a 2b 1b 2(,,)a 2b 1b 3(,,)a 2b 2b 3(,,)b 1b 2b 31022(,,)a 1b 1b 2(,,)a 1b 1b 3(,,)a 1b 2b 3(,,)a 2b 1b 2(,,)a 2b 1b 3(,,)a 2b 2b 3622P ==61035【考点】频率分布直方图【解析】（1）由频率分布直方图能求出．（2）第，组抽取的人数分别为人，人，从第，组中用分层抽样的方法抽取人，第，组抽取的人数分别为人，人，分别记为，，，，．从人中随机抽取人，利用列举法能求出第组抽到人的概率．【解答】由＝，解得＝．第，组的人数分别为人，人，从第，组中用分层抽样的方法共抽取人，则第，组抽取的人数依次为人，人，分别记为，，，，；设从人中随机抽取人，则有，，，，，，，，，共个基本事件；其中第组恰好抽到人包含，，，，，共个基本事件；所以第组抽到人的概率．22.【答案】证明：取线段的中点，连接，．因为是的中位线，所以．又因为＝，，所以＝，．所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面．所以平面．连接，取的中点，连接，．a 1220301251223a 1a 2b 1b 2b 3532210×(0.010+0.015+a +0.030+0.010)1a 0.0351220301251223a 1a 2b 1b 2b 353(,,)a 1a 2b 1(,,)a 1a 2b 2(,,)a 1a 2b 3(,,)a 1b 1b 2(,,)a 1b 1b 3(,,)a 1b 2b 3(,,)a 2b 1b 2(,,)a 2b 1b 3(,,)a 2b 2b 3(,,)b 1b 2b 31022(,,)a 1b 1b 2(,,)a 1b 1b 3(,,)a 1b 2b 3(,,)a 2b 1b 2(,,)a 2b 1b 3(,,)a 2b 2b 3622P ==61035AC F EF HF HF △ABC HF =BC =2,HF ∥BC 12DE 2DE//BC HF DE HF //DE DEFH EF //HD EF ⊂ACE DH ⊂ACE DH //ACE OB OB G HG DG易知，易知是的中位线，所以且．因为＝，为中点，，又，所以．因为，，所以．又＝，，平面，所以底面．所以是与底面所成的角．易求等腰梯形的高为所以＝．在中，由．得＝．故直线与底面所成角的大小为．【考点】直线与平面所成的角直线与平面平行【解析】（1）利用中位线的性质及平行线的传递性，可证四边形为平行四边形，由此即可得证；（2）关键是找出是与底面所成的角，进而转化到三角形中解三角形即可．【解答】证明：取线段的中点，连接，．因为是的中位线，所以．又因为＝，，所以＝，．OD =DE =1,AO ===212A −O D 2D 2−−−−−−−−−−√−()5–√212−−−−−−−−−√HG △AOB HG//AO HG =AO =112AD AE O DE AO ⊥DE HG//AO HG ⊥DE AO ⊥CE HG//AO HG ⊥CE DE ∩CE E DE CE ⊂DBCE HG ⊥DBCE ∠HDG DH DBCE DBCE ==2C −E 2()BC −DE 22−−−−−−−−−−−−−−−−−√−()5–√2()4−222−−−−−−−−−−−−−−√DG 1Rt △HDG tan ∠HDG ===1HG DG 11∠HDG 45∘DH DBCE 45∘DEFH ∠HDG DH DBCE AC F EF HF HF △ABC HF =BC =2,HF ∥BC 12DE 2DE//BC HF DE HF //DE DEFH所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面．所以平面．连接，取的中点，连接，．易知，易知是的中位线，所以且．因为＝，为中点，，又，所以．因为，，所以．又＝，，平面，所以底面．所以是与底面所成的角．易求等腰梯形的高为所以＝．在中，由．得＝．故直线与底面所成角的大小为．DEFH EF //HD EF ⊂ACE DH ⊂ACE DH //ACE OB OB G HG DG OD =DE =1,AO ===212A −O D 2D 2−−−−−−−−−−√−()5–√212−−−−−−−−−√HG △AOB HG//AO HG =AO =112AD AE O DE AO ⊥DE HG//AO HG ⊥DE AO ⊥CE HG//AO HG ⊥CE DE ∩CE E DE CE ⊂DBCE HG ⊥DBCE ∠HDG DH DBCE DBCE ==2C −E 2()BC −DE 22−−−−−−−−−−−−−−−−−√−()5–√2()4−222−−−−−−−−−−−−−−√DG 1Rt △HDG tan ∠HDG ===1HG DG 11∠HDG 45∘DH DBCE 45∘。
2020学年高中数学周周回馈练(二)(含解析)新人教A版选修1-1(2021-2022学年)
周周回馈练(二）一、选择题１．在命题“方程ｘ2＝４的解为ｘ=±２”中使用的联结词是（）A.且 B．或Ｃ.非 D．无法确定答案B解析x＝±2的含义是x＝2或ｘ=－2,故此命题中使用的联结词是“或".2．已知命题p：∀x〉0,总有（x+1）e x>1,则綈p为( )Ａ．∃x0≤0，使得(x０＋1)e x０≤1Ｂ.∃x０>0，使得(x0＋1)e x0≤1C.∀x>0，总有(x＋1)e x≤1D.∀ｘ≤０,总有(x＋1)ｅx≤1答案B解析綈p为∃ｘ0>0，使得(x0+1)ｅx0≤1。
３.下列结论中不正确的是（）A.如果命题p∨q是真命题,那么命题ｐ不一定是真命题B．如果命题ｐ∧q是真命题,那么命题p一定是真命题C．如果命题p∧q是假命题,那么命题p不一定是假命题Ｄ．如果命题p∨q是假命题，那么命题p不一定是假命题答案D解析若p∨q是真命题,则p不一定是真命题,A正确;若p∧q是真命题,则ｐ与ｑ都是真命题,B 正确；若p∧q是假命题,命题p不一定是假命题，因为q是假命题时也成立，C正确;若ｐ∨q是假命题,则命题p与q均为假命题,D不正确.4.下列命题的否定为假命题的是( )Ａ.∃x0∈R,ｘ＼o＼al（2,0)+2x0＋2≤０B.任意一个四边形的四个顶点共圆C．所有能被３整除的整数都是奇数D．∀x∈R,sin2x＋cos2ｘ=1答案D解析A中，当x∈R时,x２＋2ｘ+２=(x＋1)2ﻬ+1≥1＞0，所以A中命题是假命题，该命题的否定是真命题;B中,由平面几何的知识可知该命题是假命题，所以其否定是真命题;C中，由于6能被3整除,但６是偶数,不是奇数,所以Ｃ中的命题是假命题,该命题的否定是真命题;Ｄ中,由同角三角函数基本关系式可知该命题是真命题,其否定是假命题.故选D。
５．已知命题s:函数ｙ＝siｎｘ是周期函数，且是奇函数,则①命题ｓ是ｐ∧q形式的命题；②命题s是真命题;③綈s:函数ｙ=sin x不是周期函数,且不是奇函数；④綈ｓ是假命题．其中叙述正确的个数是()Ａ．0 B．1 C.2 D．3答案Ｄ解析命题ｓ是p∧ｑ形式的命题,①正确;命题s是真命题,②正确,④正确;綈s:函数y＝sinｘ不是周期函数，或不是奇函数，③不正确.６.已知命题p:若a=(1,２)与ｂ＝（-２，λ)共线,则λ＝-4;命题q：∀k∈R,直线y=kｘ+1与圆x2+y２－2y＝0相交,则下面结论正确的是( )A．（綈ｐ）∨q是真命题Ｂ．p∧（綈q）是真命题C．p∧q是假命题Ｄ.ｐ∨ｑ是假命题答案A解析命题p为真，命题q：圆心(0,1)到直线kｘ－y+1=0的距离为d＝错误!未定义书签。
高中数学周周回馈练(二)(含解析)新人教A版选修22
高中数学周周回馈练（二）（含解析）新人教A 版选修22(满分75分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则函数f (x )的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D．(－1,0) 答案 C解析 由题意，易知x >0，因为f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x，由f ′(x )>0，可得x2－x －2>0，解得x >2，故选C.2．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的极大值是( )A ．－2a ＋cB ．－4a ＋cC ．－3aD ．c 答案 B解析 由导函数f ′(x )的图象，知当0<x <2时，f ′(x )>0；当x >2时，f ′(x )<0；当x ＝2时，f ′(x )＝0.又f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，所以b ＝－3a ，f (x )＝ax 3－3ax 2＋c ，所以函数f (x )的极大值为f (2)＝－4a ＋c ，故选B.3．设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 答案 D解析 f ′(x )＝13－1x ＝x －33x ，令f ′(x )＝0，得x ＝3，当0<x <3时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在区间(0,3)上为减函数．又f (1)＝13>0，f (e)＝e 3－1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e＋1>0，所以y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．4．函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在[0,1]上的最小值为f (1)，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，－1] C ．(－1，＋∞) D．[－1，＋∞) 答案 B解析 f ′(x )＝2x ＋2a ，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)，说明f (x )在[0,1]上单调递减，所以x ∈[0,1]时，f ′(x )≤0恒成立，a ≤－x ， 所以a ≤－1，故选B.5．函数f (x )＝x3＋sin x 的图象大致是( )答案 C解析 显然函数f (x )为奇函数，排除B.又f ′(x )＝13＋cos x ，可知f ′(x )有无数个零点，因此函数f (x )有无数个极值点，排除A.又当x 是一个比较小的正数时，f (x )＝x3＋sin x >0，排除D.故选C.6．对于在R 上可导的函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则下列说法错误的是( ) A ．f (x )在(0，＋∞)上是增函数 B ．f (x )在(－∞，0)上是减函数 C ．x ＝1时，f (x )取得极小值 D ．f (0)＋f (2)≥2f (1) 答案 A解析 当x ≥1时，f ′(x )≥0，函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数；当x <1时，f ′(x )≤0，f (x )在(－∞，1)上是减函数，故说法A 错误，说法B 正确；当x ＝1时，f (x )取得极小值，也是最小值，说法C 正确；f (1)为函数的最小值，故有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，得f (0)＋f (2)≥2f (1)，说法D 正确．故选A.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．函数f (x )＝e x (x 2－4x ＋3)在[0,1]上的最小值是________． 答案 0解析 f ′(x )＝e x (x 2－4x ＋3)＋e x (2x －4)＝e x (x 2－2x －1)＝e x [(x －1)2－2]，当x ∈[0,1]时，f ′(x )<0，f (x )在[0,1]上是减函数，f (x )min ＝f (1)＝0.8．若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析 因为f (x )＝mx 2＋ln x －2x ， 所以f ′(x )＝2mx ＋1x－2.由题意知f ′(x )＝2mx ＋1x－2≥0在(0，＋∞)上恒成立．即2m ≥2x －1x 2在(0，＋∞)上恒成立．设t ＝－1x2＋2x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12＋1.故当x ＝1时，t 有最大值为1. 即2m ≥1，所以m ≥12.9．给出下列四个命题：①若f ′(x 0)＝0，则x 0是f (x )的极值点；②“可导函数f (x )在区间(a ，b )上不单调”等价于“f (x )在区间(a ，b )上有极值”； ③若f (x )＞g (x )，则f ′(x )＞g ′(x )；④如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能取得最大值和最小值．其中真命题的序号是________． 答案 ④解析 ④显然是真命题；对f (x )＝x 3，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，故①是假命题；f (x )＝|x |在(－1,1)上不单调，但x ＝0不是极小值，故②是假命题；f (x )＝x ＋1＞g (x )＝x ，但f ′(x )＝g ′(x )＝1，故③是假命题．三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．设函数f (x )＝ln (2x ＋3)＋x 2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最大值和最小值． 解 易知f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞. (1)f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝22x ＋1x ＋12x ＋3.当－32<x <－1时，f ′(x )>0；当－1<x <－12时，f ′(x )<0；当x >－12时，f ′(x )>0，从而f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12上单调递减． (2)由(1)知f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ln 2＋14.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ln 32＋916－ln 72－116＝ln 37＋12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 499<0， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝116＋ln 72.11．已知f (x )＝2ln (x ＋a )－x 2－x 在x ＝0处取得极值． (1)求实数a 的值；(2)若关于x 的方程f (x )＋b ＝0的区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2x ＋a－2x －1，当x ＝0时，f (x )取得极值， 所以f ′(0)＝0，解得a ＝2，检验知a ＝2符合题意． (2)令g (x )＝f (x )＋b ＝2ln (x ＋2)－x 2－x ＋b ，则g ′(x )＝2x ＋2－2x －1＝－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋52x ＋2(x >－2)．g (x )，g ′(x )在(－2，＋∞)上的变化状态如下表： x (－2,0) 0 (0，＋∞)g ′(x ) ＋0 － g (x )2ln 2＋b要使f (x )＋b ＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，只需⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0，g 0>0，g 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤0，2ln 2＋b >0，2ln 3－2＋b ≤0，所以－2ln 2<b ≤2－2ln 3.故实数b 的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3]．12．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值． 解 (1)由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5.而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f ′(x )＝6－24003x ＋52，令f ′(x )＝0，即24003x ＋52＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．。
高中数学(人教A版)选择性必修三课后习题：排列、排列数(课后习题)【含答案及解析】
第六章计数原理6.2 排列与组合6.2.1 排列 6.2.2 排列数课后篇巩固提升必备知识基础练1.A 76-A 65A 54等于( )A.12B.24C.30D.36=7×6A 54-6A 54A 54=36.2.6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端,丙、丁两本书必须相邻,则不同的摆放方法有( ) A.24种 B.36种 C.48种 D.60种1步,甲、乙两本书必须摆放在两端,有A 22种不同的摆放方法;第2步,丙、丁两本书视为整体与其他两本共三本,有A 22A 33种不同的摆放方法. 根据分步乘法计数原理,共有A 22A 33A 22=24(种)不同的摆放方法,故选A. 3.已知A n+12−A n 2=10,则n 的值为( )A.4B.5C.6D.7A n+12−A n 2=10,得(n+1)n-n (n-1)=10,解得n=5.4.将4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上,每辆汽车上有一名司机和一名售票员,则可能的分配方法有( ) A .A 88种B .A 84种C .A 44×A 44种D.2A 44种A 44种安排方法,由分步乘法计数原理知共有A 44×A 44种不同的安排方法.5.7个人排成一队参观某项目,其中A ,B ,C 三人进入展厅的次序必须是先B 再A 后C ,则不同的列队方式的种数为( ) A.120 B.240 C.420D.840,先将7人排成一列,有A 77种排法,其中A ,B ,C 三人进入展厅的次序必须是先B 再A 后C ,即A ,B ,C 三人顺序一定,则不同的列队方式有A 77A 33=840种.6.由数字0,1,2,3,4,5可以组成能被5整除,且无重复数字的不同的五位数有( )A.(2A 54−A 43)个B .(2A 54−A 53)个C .2A 54个D .5A 54个5整除,则个位需为5或0,有2A 54个,但其中个位是5的含有0在首位的排法有A 43个,故共有(2A 54−A 43)个.7.某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有不同排法 种.方法一)若第一节排数学,共有A 33=6(种)排法;若第一节不排数学,第一节有2种排法,最后一节有2种排法,中间两节任意排,有2×2×2=8(种)排法.根据分类加法计数原理,共有6+8=14(种)排法,故答案为14.(方法二 间接法)4节课全部可能的排法有A 44=24(种),其中体育排第一节的有A 33=6(种),数学排最后一节的有A 33=6(种),体育排第一节且数学排最后一节的有A 22=2(种),故符合要求的排法有A 44-2×A 33+A 22=14(种).8.7名班委有7种不同的职务,甲、乙、丙三人在7名班委中,现对7名班委进行职务具体分工. (1)若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任,有多少种不同的分工方案? (2)若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担任,有多少种不同的分工方案?先排正、副班长,有A 32种方案,再安排其余职务有A 55种方案,由分步乘法计数原理,知共有A 32×A 55=720(种)不同的分工方案.(2)7人中任意分工,有A 77种不同的分工方案,甲、乙、丙三人中无一人担任正、副班长的分工方案有A 42A 55种,因此甲、乙、丙三人中至少有一人担任正、副班长的分工方案有A 77−A 42A 55=3 600(种).9.把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列. (1)43 251是这个数列的第几项? (2)这个数列的第96项是多少? (3)求这个数列的各项和.先考虑大于43 251的数,分为以下三类:第1类,以5开头的有A 44=24(个); 第2类,以45开头的有A 33=6(个); 第3类,以435开头的有A 22=2(个).故不大于43 251的五位数有A 55-(A 44+A 33+A 22)=88(个),即43 251是第88项.(2)数列共有A 55=120(项),96项以后还有120-96=24(项),即比96项所表示的五位数大的五位数有24个,所以小于以5开头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项,即为45 321.(3)因为1,2,3,4,5各在万位上时都有A 44个五位数,所以万位上数字的和为(1+2+3+4+5)·A 44·10000,同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有A 44个五位数,所以这个数列的各项和为(1+2+3+4+5)·A 44·(1+10+100+1 000+10 000)=15×24×11 111=3 999 960.关键能力提升练10.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有( ) A.120个 B.80个 C.40个 D.20个3时,个位与百位从1,2中选,有A 22种选法;当十位是4时,个位与百位从1,2,3中选,有A 32种选法; 当十位是5时,个位与百位从1,2,3,4中选,有A 42种选法; 当十位是6时,个位与百位从1,2,3,4,5中选,有A 52种选法.故伞数有A 22+A 32+A 42+A 52=2+6+12+20=40(个).11.(多选)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排,下列说法正确的是( ) A.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,那么不同的排法有24种 B.最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有54种 C.甲、乙不相邻的排法种数为72种D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种,可将甲、乙捆绑看成一个元素,则不同的排法有A 44=24(种),故A 正确;最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有A 31A 33+A 44=42(种),故B 不正确; 甲、乙不相邻的排法种数为A 33A 42=72(种),故C 正确;甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有A 55A 33=20(种),故D 正确.故选ACD.12.用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的6位数,其中个位数字小于十位数字的六位数共有( ) A.300个 B .464个 C .600个 D .720个方法一)确定最高位有A 51种不同方法.确定万位、千位、百位,从剩下的5个数字中取3个排列,共有A 53种不同的方法,剩下两个数字,把大的排在十位上即可,由分步乘法计数原理知,共有A 51A 53=300(个).(方法二)由于个位数字大于十位数字与个位数字小于十位数字的应各占一半,故有12A 51A 55=300(个). 13.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天.若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有( )A.504种B.960种C.1 008种D.1 108种A22A66=1 440(种).其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方案有A51A22A44=240(种);满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方案有A51A22A44=240(种);满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班,丁在10月7日值班的方案有A41A22A33=48(种).故符合题设要求的不同安排方案有1 440-2×240+48=1 008(种),故选C.14.某大楼安装了5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定.每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同,记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中,每秒有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是() A.1 205秒B.1 200秒C.1 195秒D.1 190秒5秒,所有不同的闪烁为A55个,相邻两个闪烁的时间间隔为5秒,因此需要的时间至少是5×A55+(A55-1)×5=1 195(秒).15.3个人坐在有8个座位的一排上,若每个人的两边都要有空位,则不同的坐法种数为.5个空座位,再让3个人带着座位插到中间4个空中去,所以共有A43=24(种)坐法.16.某老师一天上3个班级的课,每班一节,如果一天共9节课,且老师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上),那么这位老师一天的课表的所有排法有种.9节课中任意安排3节共有A93=504(种),其中前5节课连排3节共有3A33=18(种);后4节课连排3节共有2A33=12(种).故老师一天课表的所有排法共有504-18-12=474(种).17.某次文艺晚会上共演出8个节目,其中有2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目,求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种?(1)一个唱歌节目开头,另一个放在最后压台;(2)2个唱歌节目互不相邻;(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.先排唱歌节目有A22种排法,再排其他节目有A66种排法,所以共有A22×A66=1 440(种)排法.(2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目,有A66种排法,再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目,有A72种插入方法,所以共有A66×A72=30 240(种)排法.(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素,与3个曲艺节目排列共有A44种排法,再将3个舞蹈节目插入,共有A53种插入方法,最后将2个唱歌节目互换位置,有A22种排法,故所求排法共有A44×A53×A22=2 880(种)排法.学科素养创新练18.从数字0,1,3,5,7中取出三个不同的数作系数,可以组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实根的方程有多少个?:首先确定a,只能从1,3,5,7中选一个,有A41种,然后从余下的4个数中任选两个作b,c,有A42种, 所以由分步乘法计数原理知,可以组成一元二次方程A41×A42=48(个).方程要有实根,必须满足Δ=b2-4ac≥0.分类讨论如下:当c=0时,a,b可在1,3,5,7中任取两个进行排列,有A42个.当c≠0时,分析根的判别式知,b只能取5,7.当b取5时,a,c只能取1,3这两个数,有A22种;当b取7时,a,c可取1,3或1,5这两组数,有2A22种,此时共有(A22+2A22)个.由分类加法计数原理知,有实根的一元二次方程共有A42+A22+2A22=18(个).。
2020学年高中数学周周回馈练(九)(含解析)新人教A版选修2-3(2021-2022学年)
周周回馈练（九)(满分75分)一、选择题（本大题共6小题，每小题5分,共30分)１.甲击中目标的概率是错误!未定义书签。
,如果击中赢１0分,否则输１１分，用X表示他的得分，计算X的均值为（)A.0。
５分 B．－0.5分 C．1分 D.5分答案Ｂ解析E(X)=1０×错误!未定义书签。
+(-１1）×错误!＝-错误!．2．已知离散型随机变量X的分布列如下:则其数学期望E(X）等于()A．1 B．0．6 C.２+3mＤ.２。
4答案D解析由分布列的性质得m=1－0。
5－0。
2＝0.3,所以E（X）=1×０。
5＋3×0。
３+５×0。
2=2．4。
3.已知随机变量Ｘ～B错误!未定义书签。
，则D（２X＋１）等于( )Ａ．6 B.4 C.３ D．９答案A解析D（2X+1)=D(Ｘ)×22＝4Ｄ（Ｘ)，Ｄ（X)＝6×错误!×错误!=错误!未定义书签。
,∴D(２X＋1)＝４×错误!=6.4．设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k）=Ｃ错误!未定义书签。
错误!k·错误!n-k，k＝0，1,２,…,ｎ，且E(ξ)＝２4，则Ｄ（ξ）的值为( )A.８B．12Ｃ。
＼f(2，9) D.16答案A解析由题意可知ξ～B错误!，∴错误!n＝E(ξ)=24.∴n＝36。
又D(ξ)＝n×＼f(2,3)×错误!未定义书签。
＝错误!×36=8。
5．设ξ是离散型随机变量,Ｐ（ξ＝x1）＝错误!,P(ξ＝ｘ2)＝错误!，且x１<x２，现已知：E （ξ）＝＼ｆ（4,３)，D(ξ)=错误!未定义书签。
,则x1+x2的值为( )A 。
＼f （5，3） Ｂ。
错误! C.３ D.错误!未定义书签。
答案 Ｃ解析 ∵E (ξ)＝错误!未定义书签。
,D (ξ)=错误!，P (ξ=x 1)=错误!，P (ξ＝x 2)=错误!未定义书签。
2024年高考总复习优化设计一轮用书数学配人教A版(适用于新教材)课时规范练11
课时规范练11《素养分级练》P300基础巩固组1.设9-log 3√a =3,则8a =( ) A.4 B.3 C.2 D.1答案:C 解析:因为9-log 3√a=3-2log 3√a=3log 3(√a )-2=(√a )-2=(a 12)-2=a -1=1a =3,所以a=13,故8a =813=(23)13=2.2.已知a=log 32,那么log 38-2log 36用a 表示是 ( )A.5a-2B.a-2C.3a-(1+a )2D.3a-a 2-1答案:B解析:log 38-2log 36=log 323-2(log 32+log 33)=log 32-2=a-2.3.函数y=log a (x-1)+4的图象恒过定点P ,点P 在幂函数y=f (x )的图象上,则f (4)=( ) A.16 B.8 C.4 D.2答案:A解析:当x=2时,y=log a 1+4=4,所以函数y=log a (x-1)+4的图象恒过定点(2,4).记f (x )=x m ,则有2m =4,解得m=2,所以f (4)=42=16.4.(2023·广东中山模拟)已知3x =5,log 39√55=y ,则x+2y=( )A.3B.4C.5D.6答案:B解析:∵3x =5⇔x=log 35,y=log 39√55, ∴x+2y=log 35+2log 39√55=log 35×815=log 381=4.5.(2023·江西宜春上高模拟)已知1a=ln 3,b=log 35-log 32,c=2ln √3,则a ,b ,c 的大小关系为 ( )A.a>c>bB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a答案:C解析:c=2ln √3=ln 3,1=ln e <ln 3<ln e 2=2,即1<c<2,又1a =ln 3,所以a=1ln3=ln e ln3=log 3e,12=log 3√3<log 3e <log 33=1,即12<a<1,b=log 35-log 32=log 352,12=log 3√3<log 352<log 33=1,即12<b<1.又e >52,所以log 3e >log 352,即a>b.综上,c>a>b.6.已知函数f (x )=log a (x-b )(a>0,且a ≠1)的图象如图所示,则以下结论一定正确的是( )A.a+b<0B.ab<-1C.0<a b <1D.log a |b|>0 答案:C解析:由图象可知f (x )在定义域内单调递增,所以a>1.令f (x )=log a (x-b )=0,即x=b+1,所以函数f (x )的零点为b+1,结合函数图象可知0<b+1<1,所以-1<b<0,因此a+b>0,故A 错误;-a<ab<0,又因为a>1,所以-a<-1,因此ab<-1不一定成立,故B 错误;因为a -1<a b <a 0,即1a<a b <1,且0<1a<1,所以0<a b <1,故C 正确;因为0<|b|<1,所以log a |b|<log a 1,即log a |b|<0,故D 错误. 7.(2023·北京朝阳高三检测)若m ln 2=1,则2-m = . 答案:1e解析:因为m ln 2=1,所以m=1ln2=log 2e,所以2-m=2-log 2e=2log 21e=1e.8.(2023·河北邢台高三检测)已知函数f (x )=9+x 2x ,g (x )=log 2x+a ,若存在x 1∈[3,4],任意x 2∈[4,8],使得f (x 1)≥g (x 2),则实数a 的取值范围是 . 答案:-∞,134解析:设f (x )在[3,4]上的最大值为f (x )max ,g (x )在[4,8]上的最大值为g (x )max ,由题意知,只需f (x )max ≥g (x )max 即可.在[3,4]上,f (x )=9x +x ≥2√9x ·x =6,当且仅当x=3时,等号成立,由对勾函数的性质知f (x )在[3,4]上单调递增,故f (x )max =254.在[4,8]上,g (x )单调递增,则g (x )max =3+a ,所以254≥3+a ,解得a ≤134.9.若x1满足2x=5-x,x2满足x+log2x=5,则x1+x2等于.答案:5解析:由题意5-x1=2x1,5-x2=log2x2,故x1和x2是直线y=5-x和曲线y=2x、曲线y=log2x交点的横坐标.根据函数y=2x和函数y=log2x互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称,故曲线y=2x、曲线y=log2x与y=5-x的图象的交点关于直线y=x对称.即点(x1,5-x1)和点(x2,5-x2)构成的线段的中点在直线y=x上,即x1+x22=5-x1+5-x22,解得x1+x2=5.10.(2022·陕西安康高三期末)已知函数f(x)=(log a x)2+2log a x+3(a>0,a≠1).(1)若f(3)=2,求a的值;(2)若对任意的x∈[8,12],f(x)>6恒成立,求a的取值范围.解:(1)因为f(3)=2,所以(log a3)2+2log a3+3=2,所以(log a3+1)2=0,所以log a3=-1,解得a=13.(2)由f(x)>6,得(log a x)2+2log a x-3>0,即(log a x+3)(log a x-1)>0,即log a x<-3或log a x>1.当0<a<1时,log a12≤log a x≤log a8,则log a8<-3或log a12>1,因为log a12<log a1=0,则log a12>1不成立,由log a8<-3可得1a 3<8,得12<a<1;当a>1时,log a8≤log a x≤log a12,则log a12<-3或log a8>1,因为log a12>log a1=0,则log a12<-3不成立,所以log a8>1,解得1<a<8.综上,a的取值范围是12,1∪(1,8).综合提升组11.已知函数y=f(x)(x∈R)是奇函数,当x<0时,f(x)=8x3-log2(-x),则满足f(log4x)≥0的x的取值范围是()A.12,+∞ B.12,2C.12,1∪[2,+∞) D.1,12∪[1,2]答案:C解析:令t=log4x,先考虑f(t)≥0的解.若t=0,因为f(t)为R上的奇函数,所以f(0)=0≥0,故t=0为f(t)≥0的解.若t<0,此时f(t)=8t3-log2(-t),因为y=8t3,y=-log2(-t)在(-∞,0)上均单调递增,故f(t)=8t3-log2(-t)在(-∞,0)上单调递增,而f-12=-1+1=0.故f(t)≥0在(-∞,0)上的解为-12≤t<0.因为f(t)为R上的奇函数,故f(t)≥0在(0,+∞)上的解为t≥12,故f(t)≥0的解为-12≤t≤0或t≥12,故-12≤log4x≤0或log4x≥12,所以12≤x≤1或x≥2.12.若关于x的不等式log14(3x+λ·2x)≤1对任意的x∈[0,+∞)恒成立,则实数λ的取值范围是.答案:-34,+∞解析:关于x的不等式lo g14(3x+λ·2x)≤1对任意的x∈[0,+∞)恒成立,则3x+λ·2x≥14对任意的x∈[0,+∞)恒成立,即λ≥14·2x -32x对任意的x∈[0,+∞)恒成立.令g(x)=14·2x-32x,x∈[0,+∞),由于y=14·2x在[0,+∞)上单调递减,y=-32x在[0,+∞)上单调递减,故g(x)=14·2x-32x在[0,+∞)上单调递减,故g(x)≤g(0)=-34,故λ≥-34.创新应用组13.(多选)(2023·湖北黄冈中学模拟)已知正数x,y,z满足3x=4y=12z,则()A.1x +1y=1zB.6z<3x<4yC.xy<4z2D.x+y>4z 答案:ABD解析:设3x=4y=12z=t,t>1,则x=log3t,y=log4t,z=log12t,所以1x +1y=1log3t+1 log4t =log t3+log t4=log t12=1z,A正确;因为6z3x=2log12tlog3t=2log t3log t12=log129<1,则6z<3x,因为3x4y=3log3t4log4t=3log t4 4log t3=log t64log t81=log8164<1,则3x<4y,所以6z<3x<4y,B正确;因为x+y-4z=log3t+log4t-4log12t=1log t3+1log t4−4log t12=log t3+log t4log t3log t4−4log t3+log t4=(log t3-log t4)2log t3log t4(log t3+log t4)>0,则x+y>4z,D正确;因为1z =1x+1y=x+yxy,则xyz=x+y>4z,所以xy>4z2,C错误.故选ABD.。
高中数学周周回馈练(七)(含解析)新人教A版选修2_3
周周回馈练(七)(满分75分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．在(1＋x ＋x 2)10的展开式中，各项的系数之和为( ) A ．1 B ．310－1 C ．310D ．210答案 C解析 设(1＋x ＋x 2)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 20x 20，令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 20＝310，选C.2．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4 答案 C 解析(1＋2x )3(1－3x )5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋6x 12 ＋12x ＋8x 32 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5x 13 ＋10x 23 －10x ＋5x 43 －x 53 ，故x 的系数是－10＋12＝2.3．若多项式x 2＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝( ) A ．9 B ．10 C ．－9 D ．－10 答案 D解析 x 10的系数为a 10，∴a 10＝1，x 9的系数为a 9＋C 110·a 10，∴a 9＋10＝0，∴a 9＝－10.故应选D.4．(1＋ax ＋by )n展开式中不含x 的项的系数的绝对值的和为243，不含y 的项的系数的绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5答案 D解析 令a ＝0，y ＝1，则(1＋b )n＝243＝35；令b ＝0，x ＝1，则(1＋a )n＝32＝25，则可取a ＝1，b ＝2，n ＝5，选D.5．对于二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 3n(n ∈N )，四位同学作出了四种判断，下列判断中正确的是( )①存在n ∈N ，展开式中有常数项 ②对任意n ∈N ，展开式中没有常数项 ③对任意n ∈N ，展开式中没有x 的一次项 ④存在n ∈N ，展开式中有x 的一次项 A ．①与③ B ．②与③ C ．②与④ D ．①与④答案 D解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 3n 展开式的通项为T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n －r ·(x 3)r ＝C r n x r －n ·x 3r ＝C r n x 4r －n，当展开式中有常数项时，有4r －n ＝0，即存在n 、r 使方程有解；当展开式中有x 的一次项时，有4r －n ＝1，即存在n ，r 使方程有解，即分别存在n ，使展开式中有常数项和一次项．6．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所连的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列前n 项和为S n ，则S 16等于()A ．164B ．155C ．144D ．128答案 A解析 S 16＝C 12＋C 22＋C 13＋C 23＋…＋C 19＋C 29 ＝C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 210 ＝C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 210－1 ＝C 311－1＝164. 故选A.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7.⎝⎛⎭⎪⎪⎫32＋133n 展开式中的第7项与倒数第7项的比是1∶6，则展开式中的第7项为________．答案563解析 第7项：T 7＝C 6n (32)n －6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1336，倒数第7项：T n －5＝C n －6n (32)6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133n －6，由C 6n 32n －6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1336C n －6n326⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133n －6＝16， 得n ＝9.故T 7＝C 69(32)9－6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1336＝C 39×2×19＝563.8．设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________. 答案 0解析 利用二项式展开式的性质，可知第11项和第12项二项式系数最大，而项的系数互为相反数，即a 10＋a 11＝0.9．在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的展开式中，记第k 项的二项式系数为f (k )．若f (1)＋1，f (2)，f (3)成等差数列，则所有奇数项的二项式系数的和为________．答案 8解析 由已知，得f (1)＋1＝C 0n ＋1＝2，f (2)＝C 1n ＝n ，f (3)＝C 2n ＝n n －2.∵f (1)＋1，f (2)，f (3)成等差数列，∴f (1)＋1＋f (3)＝2f (2)，即2＋n n －2＝2n ，解得n ＝4(n ＝1舍去)，∴所有奇数项的二项式系数的和为12×24＝8.三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n 的展开式的各项系数之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫43b －15b 5的展开式中的常数项，求：(1)⎝⎛⎭⎪⎫3a－3a n展开式的二项式系数和； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n展开式中a －1项的二项式系数． 解 依题意，令a ＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫3a －3a n 展开式中各项系数和为(3－1)n ＝2n，⎝⎛⎭⎪⎫43b －15b 5展开式中的通项为T r ＋1＝C r 5(43b )5－r ⎝⎛⎭⎪⎫－15b r ＝(－1)r ·C r 545－r·5－r 2b 10－5r 6.若T r ＋1为常数项，则10－5r6＝0，即r ＝2，故常数项为T 3＝(－1)2C 25×43×5－1＝27， 于是有2n＝27，得n ＝7. (1)⎝⎛⎭⎪⎫3a －3a n展开式的二项式系数和为2n ＝27＝128. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a 7的通项为T r ＋1＝C r 7⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 7－r ·(－3a )r ＝C r 7(－1)r ·37－r·a 5r －216 ，令5r －216＝－1，得r ＝3，∴所求a －1项的二项式系数为C 37＝35.11．已知(3x 2＋3x 2)n展开式中各项系数和比二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．解 令x ＝1得展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝4n .又展开式中二项式系数和为C 0n ＋C 1n＋…＋C n n ＝2n，由题意有4n －2n ＝992.即(2n )2－2n －992＝0，(2n －32)(2n＋31)＝0. 所以2n ＝－31(舍去)或2n＝32.所以n ＝5.(1)因为n ＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第三、四两项，它们是T 3＝C 25(3x 2)3·(3x 2)2＝90x 6.T 4＝C 35(3x 2)2(3x 2)3＝270x 223. (2)设展开式中第r ＋1项的系数最大， 又T r ＋1＝C r 5(3x 2)5－r ·(3x 2)r ＝C r 53rx 10＋4r3 ，得⎩⎪⎨⎪⎧C r5·3r≥C r －15·3r －1C r5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r15－r ≥3r ＋1⇒72≤r ≤92. 又因为r ∈N *，所以r ＝4，所以展开式中第5项系数最大． T 5＝C 4534x 263＝405x 263 . 12．当n ∈N ，n >1时，求证：2<⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n n<3.证明 ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＝1＋C 1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 1＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2＋…＋C n n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n n >1＋C 1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 1＝2，⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＝1＋C 1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 1＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n2＋…＋C n n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1nn＝2＋n n －2！n2＋13！·n n －n －n3＋…＋1n ！·n ！n n <2＋12！＋13！＋…＋1n ！<2＋12＋122＋…＋12n －1＝2＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12＝3－12n －1<3.故2<⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n<3.。
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高中数学周周回馈练（三）（含解析）新人教A 版选修11一、选择题 1．方程x －22＋y 2＋x ＋22＋y 2＝10化简的结果是( )A.x 225＋y 216＝1 B.x 225＋y 221＝1 C.x 225＋y 24＝1 D.y 225＋x 216＝1 答案 B解析 由方程左边的几何意义及椭圆定义可知，方程表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，且c ＝2，a ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝21，故化简结果为x 225＋y 221＝1.2．点P 在椭圆x 25＋y 24＝1上一点，以点P 以及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积为1，则点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫±152，1 B.⎝⎛⎭⎪⎫152，±1 C.⎝⎛⎭⎪⎫152，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫±152，±1 答案 D解析 设P (x 0，y 0)，∵a 2＝5，b 2＝4，∴c ＝1， ∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝|y 0|＝1，∴y 0＝±1.∵x 205＋y 204＝1，∴x 0＝±152.故选D. 3．“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 若方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <5，m >－3，m ≠1，即－3<m <5且m ≠1. 所以“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的必要而不充分条件，故选B.4．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．0或1 答案 A 解析 由题意，得4m 2＋n 2＞2，所以m 2＋n 2＜4，所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有2个交点．故选A.5．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点F 作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( )A.67B.167C.716D.76 答案 B解析 椭圆方程化为标准方程为x 24＋y 22＝1，所以左焦点为F (－2，0)，又直线斜率k＝tan π3＝3，所以弦AB 所在直线方程为y ＝3(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝3x ＋2，x 2＋2y 2＝4，可得7x 2＋122x ＋8＝0， 所以x 1＋x 2＝－1227，x 1x 2＝87，所以|AB |＝1＋32·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫－12272－4×87＝167.故选B.6．已知F 1，F 2为椭圆x 2100＋y 2b2＝1(0<b <10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点，若∠F 1PF 2＝60°，且△F 1PF 2的面积为6433，则椭圆的离心率为( )A.35B.45C.925D.1625 答案 A解析 因为S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin60°＝6433，所以|PF 1|·|PF 2|＝2563，又|PF 1|＋|PF 2|＝20，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝400，① 由余弦定理知，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos60°＝|F 1F 2|2＝4(100－b 2)，② ①－②得，3|PF 1||PF 2|＝4b 2， 所以b 2＝64，所以c 2＝100－64＝36，所以c ＝6，又a ＝10，所以e ＝35.故选A.二、填空题 7．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±322＋y 2＝254解析 由题圆一定过短轴两个端点(0，±2)，设圆心(m,0)，若过右顶点，则4－m ＝m 2＋4，得m ＝32，即圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52，圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254，若过左顶点，同理得圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝254.8．直线y ＝kx －2与椭圆x 2＋4y 2＝80相交于不同的两点P 、Q ，已知PQ 的中点横坐标为2，求k 的值为________．答案 12解析 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21＝80，x 22＋4y 22＝80，两式相减，得(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝－4(y 2＋y 1)(y 2－y 1)， 整理得y 2－y 1x 2－x 1＝－x 2＋x 14y 2＋y 1， 依题意k ＝y 2－y 1x 2－x 1，x 1＋x 2＝4， 代入得k ＝－44y 1＋y 2，设PQ 的中点坐标为M (x 0，y 0)，则y 0＝y 1＋y 22＝－12k，于是M ⎝⎛⎭⎪⎫2，－12k ，代入直线y ＝kx －2，得－12k ＝2k －2，解得k ＝12. 9．若点O 和点F 分别为椭圆x 22＋y 2＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则|OP |2＋|PF |2的最小值为________．答案 2解析 设P (x 0，y 0)，而F (－1,0)， ∴|OP |2＋|PF |2＝x 20＋y 20＋(x 0＋1)2＋y 20. 又y 20＝1－x 202，∴|OP |2＋|PF |2＝x 20＋2x 0＋3＝(x 0＋1)2＋2≥2. ∴|OP |2＋|PF |2的最小值为2. 三、解答题10．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长为10，离心率为35；(2)焦点在x 轴上，且一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，焦距为6. 解 (1)由题意得：2a ＝10，a ＝5.又e ＝c a ＝35，∴c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16.当焦点在x 轴上时，椭圆方程为x 225＋y 216＝1；当焦点在y 轴上时，椭圆方程为y 225＋x 216＝1.(2)∵焦距为6，∴2c ＝6，c ＝3.在△OB 1F 中，B 1F ＝OB 21＋OF 2＝b 2＋c 2＝a ，同理得：B 2F ＝a . 又B 1F ⊥B 2F ， ∴在△B 1FB 2中，B 1F 2＋B 2F 2＝B 1B 22，即2a 2＝4b 2. 又a 2－b 2＝c 2， ∴b 2＝c 2＝9，a 2＝18. 又焦点在x 轴上，∴所求的椭圆方程为x 218＋y 29＝1.11．已知椭圆C 的焦点分别为F 1(－22，0)，F 2(22，0)，长轴长为6，设直线y ＝x ＋2交椭圆C 于A ，B 两点．(1)求线段AB 的中点坐标； (2)求△OAB 的面积．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意知a ＝3，c ＝22，所以b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 2＝1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 29＋y 2＝1，消去y ，得10x 2＋36x ＋27＝0.因为Δ>0，所以点A ，B 不重合．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－185，所以y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋4＝25，故线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，15. (2)设直线y ＝x ＋2与x 轴交于点M ，则点M 的坐标为(－2,0)，则S △OAB ＝S △OAM ＋S △OBM . 由(1)可知，y 1＋y 2＝(x 1＋2)＋(x 2＋2)＝x 1＋x 2＋4＝25，y 1y 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝－12，则S △OAB ＝12×2×|y 1|＋12×2×|y 2|＝|y 1－y 2|＝y 1－y 22＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝365. 12．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，且A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．解 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，∵其离心率为32，∴a 2－4a ＝32，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x24＝1.(2)A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可以设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4， ∴x 2A ＝41＋4k2.将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，∴x 2B ＝164＋k2.由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .。