五年级奥数余数问题
小学五年级奥数—数论之同余问题
小学五年级奥数—数论之同余问题数论之同余问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：1 当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商2 当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16 39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19 42除以5的余数等于3+4 7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1 3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
五年级高斯奥数之余数含答案
第16讲余数内容概述掌握余数酌概念与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法．学会利用余数的可加性、可减性和可乘性计算余数；学会运用同期性处理各类余数计算问题；学会求解“物不知数’问题．典型问题兴趣篇1.72除以一个数，余数是7．商可能是多少？2.100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？3.20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？4.4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193.规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？5．某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：最后一包有多少个零件？6．(1)220除以7的余数是多少？(2)1414除以11的余数是多少？(3)28121除以13的余数是多少？7．8+8⨯8+ +8⨯8⨯ ⨯810个8除以5的余数是多少？8．一个三位数除以21余17，除以20也余17.这个数最小是多少？2．(1) 421421 421除以 4 和 125 的余数分别是多少？ (2) 808808 808 除以 9 和 11 的余数分别是多少？4．自然数 2 ⨯ ⨯ 2 -1 的个位数字是多少？9．有一个数，除以 3 的余数是 2，除以 4 的余数是 1．请问：这个数除以 12 余数是几？10．100 多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按 1，2，3，…，11 的顺序循环报数，最 后一名同学报的数是 9；如果按 1，2，3，…，13 的顺序循环报数，那么最后一名同学报的 数是 11.请问：一共有多少名小朋友？拓展篇1．1111 除以一个两位数，余数是 66. 求这个两位数．21个421 21个8083．一年有 365 天，轮船制造厂每天都可以生产零件 1234 个，年终将这些零件按 19 个一包的规格打包，最后一包不够 19 个．请问：最后一包有多少个零件？2 ⨯ 2 ⨯ 67个2 5．算式12007 + 22007 + 32007 + + 2006 2007 计算结果的个位数是多少？6．一个自然数除以 49 余 23，除以 48 也余 23.这个自然数被 14 除的余数是多少？7．一个自然数除以 19 余 9，除以 23 余 7．这个自然数最小是多少？9．123123 123 除以 99 的余数是多少？7 ⨯ 7 ⨯ ⨯ 78．刘叔叔养了 400 多只兔子，如果每 3 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 2只；如果每 5 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 4 只；如果每 7 只兔子关在一 个笼子里，那么最后一个笼子里有 5 只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？123个12310．把 63 个苹果，90 个橘子，130 个梨平均分给一些同学，最后一共剩下 25 个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？11．有一个大于 l 的整数，用它除 300、262、205 得到相同的余数，求这个数．12．用 61 和 90 分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数 是后一次的 2 倍，如果这个数大于 1，那么这个数是多少？超越篇1．从 l 依次写到 99，可以组成一个多位数 12345…979899.这个多位数除以 11 的余数是多少？2．算式 7 + 7 ⨯ 7 + +计算结果的末两位数字是多少？ 2008个73．算式1⨯ 3 ⨯ 5 ⨯ 7 ⨯ ⨯ 2007 计算结果的末两位数字是多少？4．有 5000 多根牙签，按以下 6 种规格分成小包：如果 10 根一包，最后还剩 9 根；如果 9 根一包，最后还剩 8 根；如果依次以 8、7、6、5 根为一包，最后分别剩 7、6、5、4 根．原 来一共有牙签多少根？5．有三个连续的自然数，它们从小到大依次是5、7、9的倍数，这三个连续自然数最小是多少？6．请找出所有的三位数，使它除以7、11、13的余数之和尽可能大．7．已知21!AB0909421717094CD000.那么四位数ABCD是多少？8．有一些自然数n，满足：2n-n是3的倍数，3n-n是5的倍数，5n-n是2的倍数，请问：这样的，n中最小的是多少？第12讲余数内容概述掌握余数的概念与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法．学会利用余数的可加性、可减性和可乘性计算余数；学会运用同期性处理各类余数计算问题；学会求解“物不知数’问题．典型问题兴趣篇1.72除以一个数，余数是7．商可能是多少？【答案】1或5【解析】72-7=65，再分解质因数65＝5×13，还有1×65＝65，所以商可能是1或52.100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？【答案】8或16【解析】100和84同余，做差后是这个数的倍数，100-84=16，所以这个除数可能是8或16 3.20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？【答案】8；0，8；0【解析】一个数除以9的方法：各位数字之和除以9，2+8+8+8=26，26÷9=2…8；除以8的方法：末三位除以8，808÷8=101…0；除以25的方法：末两位除以25，8÷25=0…8；除以11的方法：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差除以11，2+0+0+0=2，0+8+8+8=24，24-2=22，22÷11=2 04.4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193.规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？【答案】5【解析】1+0+1=2，2÷3=…2，1+2+6=9，9÷3=…0，1+7+3=11，11÷3=…2，1+9+3=13…1，最多打了5盘5．某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】168 ⨯ 8 ⨯ ⨯ 8 【解析】余数问题，求 128×23×300÷17 的余数128÷17=7...9 23÷17=1...6 300÷17=17 (11)9×6×11=594 594÷17=34 (16)6．(1) 220 除以 7 的余数是多少？(2) 1414 除以 11 的余数是多少？(3) 28121 除以 13 的余数是 多少？【答案】（1）4；（2）4；（3）2【解析】因为 23 除以 7 的余数是 1，20=3×6+2，所以 220 除以 7 的余数就是 22 除以 7 的余 数 即为 4；同理，1414 除以 11 的余数是 4；28121 除以 13 的余数是 27． 8 + 8 ⨯ 8 + +除以 5 的余数是多少？ 10个8【答案】2【解析】根据余数的和等于和的余数的方法，除以 5 的余数是 28．一个三位数除以 21 余 17，除以 20 也余 17.这个数最小是多少？【答案】437【解析】最小公倍数问题，【21，20】＝420，再加上 17，这个数最小是 4379．有一个数，除以 3 的余数是 2，除以 4 的余数是 1．请问：这个数除以 12 余数是几？【答案】5【解析】除以 3 的余数是 2 的数是 5，而 5 恰好除以 4 余 1，5 除以 12 余数是 510．100 多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按 1，2，3，…，11 的顺序循环报数，最 后一名同学报的数是 9；如果按 1，2，3，…，13 的顺序循环报数，那么最后一名同学报的 数是 11.请问：一共有多少名小朋友？【答案】141【解析】根据题意，可转化为一个 100 多的数除以 11 余 9，除以 3 余 11，所以先求 11 和 13 的最小公倍数，再减去 2 就是所求，一共有 141 名小朋友拓展篇1．1111 除以一个两位数，余数是 66. 求这个两位数．【答案】95【解析】先从 1111 里减去余数 66，再分解质因数，所求的两位数要大于余数 66，所以是2．(1) 421421 421除以 4 和 125 的余数分别是多少？ (2) 808808 808 除以 9 和 11 的余数分别是多少？4．自然数 2 ⨯ ⨯ 2 -1 的个位数字是多少？ 9521个42121个808 【答案】（1）1，46；（2）3，5【解析】（1）21÷4=5…1；421÷125=3…46；（2）（8+8）×21÷9=37…3；808808÷11 余 0，最后还剩一个 808，8+8=16，16÷11 余 53．一年有 365 天，轮船制造厂每天都可以生产零件 1234 个，年终将这些零件按 19 个一包 的规格打包，最后一包不够 19 个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】15【解析】先求出一年的总数，再除以 19 余数为 152 ⨯ 2 ⨯ 67个2【答案】7【解析】找出 2 的 n 次方的个位数字的周期，2，4，8，6…，再看 67 除以 4 的余数是 3， 所以个位数字是 8－1＝75．算式12007 + 22007 + 32007 + + 2006 2007 计算结果的个位数是多少？【答案】1【解析】每个数乘方的个位数字的周期是 4，2007 除以 4 余 3，所以原式就与 1 到 2006 的 3 次方的个位数字是一样的，以 10 个数为一个周期列出为 1，8，7，4，5，6，3，2，9，0…， 2006 除以 10 余数为 6，所以前 6 个的和即是所求 1＋8＋7＋4＋5＋6＝31，所以个位数字是 16．一个自然数除以 49 余 23，除以 48 也余 23.这个自然数被 14 除的余数是多少？【答案】9【解析】【49，48】＋23＝2375，被 14 除余 97．一个自然数除以 19 余 9，除以 23 余 7．这个自然数最小是多少？9．123123 123 除以 99 的余数是多少？【答案】237【解析】7+23k -9 能被 19 整除，最小为 2378．刘叔叔养了 400 多只兔子，如果每 3 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 2 只；如果每 5 只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有 4 只；如果每 7 只兔子关在一 个笼子里，那么最后一个笼子里有 5 只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？【答案】404【解析】根据题意是一个 400 多的数除以 3 余 2，除以 5 余 4，除以 7 余 5，最后所求的数 是 404123个123【答案】90【解析】6 个 123 能被 99 整除，123 里有 20 个 6 余 3，所以 123123123 除以 99 余数是 9010．把 63 个苹果，90 个橘子，130 个梨平均分给一些同学，最后一共剩下 25 个水果没有分 出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？【答案】20【解析】三个数分别的余数不知道，但是余数的和是 25，可以把这三个数相加，根据余数 的和等于余数的和来计算，63＋90＋130－25＝258，再分解质因数，最后剩下个数最多的水 果剩下 20 个11．有一个大于 l 的整数，用它除 300、262、205 得到相同的余数，求这个数．【答案】19【解析】根据同余的两个数的差能被这个数整除，300－262＝38，262－205＝57，再求（38，57）＝1912．用 61 和 90 分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数 是后一次的 2 倍，如果这个数大于 1，那么这个数是多少？【答案】17【解析】先把余数变相同，再作差求解即可。
五年级奥数-数论之余数问题
数论之余数问题余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b=q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理0r =0r ≠a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m 同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
五年级高斯奥数之余数含答案
第16讲余数内容概述掌握余数酌概念与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法．学会利用余数的可加性、可减性和可乘性计算余数；学会运用同期性处理各类余数计算问题；学会求解“物不知数’问题．典型问题兴趣篇1. 72除以一个数，余数是7．商可能是多少？2. 100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？3. 20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？4. 4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193.规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？5．某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：最后一包有多少个零件？6．(1) 220除以7的余数是多少？(2) 1414除以11的余数是多少？(3) 28121除以13的余数是多少？7．810888888个⨯⨯⨯++⨯+除以5的余数是多少？8．一个三位数除以21余17，除以20也余17.这个数最小是多少？9．有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1．请问：这个数除以12余数是几？10．100多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11.请问：一共有多少名小朋友？拓展篇1．1111除以一个两位数，余数是66. 求这个两位数．2．(1) 42121421421421个除以4和125的余数分别是多少？(2) 80821808808808个除以9和11的余数分别是多少？3．一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个．请问：最后一包有多少个零件？4．自然数12222267-⨯⨯⨯⨯个的个位数字是多少？5．算式20072007200720072006321++++ 计算结果的个位数是多少？6．一个自然数除以49余23，除以48也余23.这个自然数被14除的余数是多少？7．一个自然数除以19余9，除以23余7．这个自然数最小是多少？8．刘叔叔养了400多只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？9． 123123123123123个除以99的余数是多少？10．把63个苹果，90个橘子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？11．有一个大于l 的整数，用它除300、262、205得到相同的余数，求这个数．12．用61和90分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数是后一次的2倍，如果这个数大于1，那么这个数是多少？超越篇1．从l 依次写到99，可以组成一个多位数12345…979899.这个多位数除以11的余数是多少？2．算式72008777777个⨯⨯⨯++⨯+计算结果的末两位数字是多少？3．算式20077531⨯⨯⨯⨯⨯ 计算结果的末两位数字是多少？4．有5000多根牙签，按以下6种规格分成小包：如果10根一包，最后还剩9根；如果9根一包，最后还剩8根；如果依次以8、7、6、5根为一包，最后分别剩7、6、5、4根．原来一共有牙签多少根？5．有三个连续的自然数，它们从小到大依次是5、7、9的倍数，这三个连续自然数最小是多少？6．请找出所有的三位数，使它除以7、11、13的余数之和尽可能大．7．已知.0000940909421717!21CD AB 那么四位数ABCD 是多少？8．有一些自然数n ，满足：2n - n 是3的倍数，3n - n 是5的倍数，5n - n 是2的倍数，请问：这样的，n 中最小的是多少？第12讲余数内容概述掌握余数的概念与基本性质，掌握除以某些特殊数的余数的计算方法．学会利用余数的可加性、可减性和可乘性计算余数；学会运用同期性处理各类余数计算问题；学会求解“物不知数’问题．典型问题兴趣篇1. 72除以一个数，余数是7．商可能是多少？【答案】1或5【解析】72-7=65，再分解质因数65＝5×13，还有1×65＝65，所以商可能是1或52. 100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？【答案】8或16【解析】100和84同余，做差后是这个数的倍数，100-84=16，所以这个除数可能是8或163. 20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？【答案】8；0，8；0【解析】一个数除以9的方法：各位数字之和除以9，2+8+8+8=26，26÷9=2…8；除以8的方法：末三位除以8， 808÷8=101…0；除以25的方法：末两位除以25，8÷25=0…8；除以11的方法：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差除以11， 2+0+0+0=2，0+8+8+8=24，24-2=22，22÷11=2 04. 4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193.规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？【答案】5【解析】1+0+1=2，2÷3=…2，1+2+6=9，9÷3=…0，1+7+3=11，11÷3=…2，1+9+3=13…1，最多打了5盘5．某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】16【解析】余数问题，求128×23×300÷17的余数128÷17=7...9 23÷17=1...6 300÷17=17 (11)9×6×11=594 594÷17=34 (16)6．(1) 220除以7的余数是多少？(2) 1414除以11的余数是多少？(3) 28121除以13的余数是多少？【答案】（1）4；（2）4；（3）2【解析】因为23除以7的余数是1，20=3×6+2，所以220除以7的余数就是22除以7的余数 即为4；同理，1414除以11的余数是4；28121除以13的余数是27．810888888个⨯⨯⨯++⨯+除以5的余数是多少？ 【答案】2【解析】根据余数的和等于和的余数的方法，除以5的余数是28．一个三位数除以21余17，除以20也余17.这个数最小是多少？【答案】437【解析】最小公倍数问题，【21，20】＝420，再加上17，这个数最小是4379．有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1．请问：这个数除以12余数是几？【答案】5【解析】除以3的余数是2的数是5，而5恰好除以4余1，5除以12余数是510．100多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11.请问：一共有多少名小朋友？【答案】141【解析】根据题意，可转化为一个100多的数除以11余9，除以3余11，所以先求11和13的最小公倍数，再减去2就是所求，一共有141名小朋友拓展篇1．1111除以一个两位数，余数是66. 求这个两位数．【答案】95【解析】先从1111里减去余数66，再分解质因数，所求的两位数要大于余数66，所以是952．(1) 42121421421421个除以4和125的余数分别是多少？(2) 80821808808808个除以9和11的余数分别是多少？【答案】（1）1，46；（2）3，5【解析】（1）21÷4=5…1；421÷125=3…46；（2）（8+8）×21÷9=37…3；808808÷11余0，最后还剩一个808，8+8=16， 16÷11 余53．一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】15【解析】先求出一年的总数，再除以19余数为154．自然数12222267-⨯⨯⨯⨯个的个位数字是多少？ 【答案】7【解析】找出2的n 次方的个位数字的周期，2，4，8，6…，再看67除以4的余数是3，所以个位数字是8－1＝75．算式20072007200720072006321++++ 计算结果的个位数是多少？【答案】1【解析】每个数乘方的个位数字的周期是4，2007除以4余3，所以原式就与1到2006的3次方的个位数字是一样的，以10个数为一个周期列出为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0…，2006除以10余数为6，所以前6个的和即是所求1＋8＋7＋4＋5＋6＝31，所以个位数字是16．一个自然数除以49余23，除以48也余23.这个自然数被14除的余数是多少？【答案】9【解析】【49，48】＋23＝2375，被14除余97．一个自然数除以19余9，除以23余7．这个自然数最小是多少？【答案】237【解析】7+23k-9能被19整除，最小为2378．刘叔叔养了400多只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？【答案】404【解析】根据题意是一个400多的数除以3余2，除以5余4，除以7余5，最后所求的数是4049． 123123123123123个除以99的余数是多少？【答案】90【解析】6个123能被99整除，123里有20个6余3，所以123123123除以99余数是9010．把63个苹果，90个橘子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？【答案】20【解析】三个数分别的余数不知道，但是余数的和是25，可以把这三个数相加，根据余数的和等于余数的和来计算，63＋90＋130－25＝258，再分解质因数，最后剩下个数最多的水果剩下20个11．有一个大于l 的整数，用它除300、262、205得到相同的余数，求这个数．【答案】19【解析】根据同余的两个数的差能被这个数整除，300－262＝38，262－205＝57，再求（38，57）＝1912．用61和90分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数是后一次的2倍，如果这个数大于1，那么这个数是多少？【答案】17【解析】先把余数变相同，再作差求解即可。
五年级的奥数余数问题解答
五年级的奥数余数问题解答1、(四中小升初选拔试题)被除数,除数,商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数.分析: 方法1:通过对题意的理解我们可以得到:被除数=除数×商+余数=除数×33+52;又有被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数;所以除数×33+52=2058-除数;则除数=(2058-52)÷34=59,被除数=2058-59=1999.方法2:此题也可以按这个思路来解:从被除数中减掉余数52后,被除数就是除数的33倍了,所以可以得到:2143-33-52-52= (33+1)×除数,求得除数=59 ,被除数=33×59+52=1999 .转化成整数倍问题后,可以帮助理解相关的性质.2、(美国长岛小学数学竞赛)写出所有的除109后余数为4的两位数.分析:还是把带有余数的问题转化成整除性的问题,也就是要找出能整除(109-4)的所有的两位数.进一步,要找出能整除105的两位数,很简单的方法就是把105分解质因数,从所得到的质因子中去凑两位数.109-4=105=3×5×7.因此这样的两位数是:15;35;21.3、有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.4、数11…1(2007个1),被13除余多少分析:根据整除性质知:13能整除111111,而2007÷6后余3,所以答案为7.5、求下列各式的余数:(1)2461×135×6047÷11 (2)2123÷6分析:(1)5;(2)6443÷19=339……2,212=4096 ,4096÷19余11 ,所以余数是11 .6、1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位数.分析:1013-12=1001,1001=7×11×13,那么符合条件的所有的两位数有13,77,91 有的同学可能会粗心的认为11也是.11小于12,所以不行.大家做题时要仔细认真.7、学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班分析:所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数,所求答案为17.8、(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果分析:此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313— 7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .9、(第十三届迎春杯决赛) 已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 .分析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17,因此所求的两位数51或68或84.10、已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a 和b的值.分析:127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.11.19941994…1994(1994个1994)除以15的余数是______.分析:法1:从简单情况入手找规律,发现1994÷15余14,19941994÷15余4,199419941994÷15余9,1994199419941994÷15余14,......,发现余数3个一循环,1994÷3=664...2,19941994…1994(1994个1994)除以15的余数是4;法2:我们利用最后一个例题的结论可以发现199419941994能被3整除,那么19941994199400…0能被15整除,1994÷3=664...2,19941994…1994(1994个1994)除以15的余数是4.12.a>b>c 是自然数,分别除以11的余数是2,7,9.那么(a+b+c)×(a-b)×(b-c)除以11的余数是多少分析:(a+b+c)÷11的余数是7;(a—b)÷11的余数是1l+2—7=6;(b—c)÷11的余数是11+7—9=9.所求余数与7 6×9÷11的余数相同,是4.13.一盒乒乓球,每次8个8个地数,10个10个地数,12个12个地数,最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个？分析与解答:如果这盒乒乓球少3个的话,8个8个地数,10个10个地数,12个12个的数都正好无剩余,也就是这盒乒乓球减少3个后是8,10,12的公倍数,又要求至少有多少个乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍数,然后再加上3.2 8 10 122 4 5 62 5 3故8,10,12的最小公倍数是22253=120.所以这盒乒乓球有123个.14、自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____.分析与解答:设这个自然数为,且去除63,90,130所得的余数分别为a,b,c,则63-a,90-b,130-c都是的倍数.于是(63-a)+ (90-b)+(130-c)=283-(a+b+c)=283-25=258也是的倍数.又因为258=2343.则可能是2或3或6或43(显然,86,129,258),但是a+b+c=25,故a,b,c中至少有一个要大于8(否则,a,b,c都不大于8,就推出a+b+c不大于24,这与a+b+c=25矛盾).根据除数必须大于余数,可以确定=43.从而a=20,b=4,c=1.显然,1是三个余数中最小的.15、求123456789101112……199200除以9的余数是________;解答:一位数个位数字之和是1+2+3+…..9=45二位数数字之和是1×10+1+2+3+…….9 (10-19)2×10+1+2+3+…….9 (20-29)……9×10+1+2+3+…….9 (90-99) 余90,9余0,11余2故二位数总和为(1+2…..+9)×10+1+2…..+9=495100—199与1—99的区别在于百位多了100个1,共100所以原数数字值和为45+495+495+100+2=1137,除以9余3.16、(23+105k)2)一个数除以7余3,除以11余7,除以13余4,符合此条件的数最小是________;如果它是一个四位数,那么最大可能是________;、满足除以7余3,除以11余7的最小数为73,设此数为73+77a=13b+4, 69-a=13b.a最小等于4.满足条件的最小数是381.设最大的四位数为381+1001x,最大的四位数为9390.(1732)17、今天周一,天之后是星期________;这个数的个位数字是________;天之后是星期________;解答:只要求出÷7的余数就可以知道天后是星期几.≡52007(mod7),56≡1(mod7)2007≡3(mod6), ≡52007≡53≡6(mod7) s所以天之后是星期日2007的个位数字是720072的个位数字是920073的个位数字是320074的个位数字是120075的个位数字是118、一个三位数,被17除余5,被18除余12,那么它可能是________________;一个四位数,被131除余112,被132除余98,那么它可能是________;解答:设此三位数为17a+5=18b+12. 可得到17a=17b+b+7,所以b+7一定能被17整除,b=10,27,44.这个三位数为192,498,804.设此四位数为131x+112=132y+98,可得到131x=131y+y-14,所以y-14一定能被131整除,y=14,145(太大)这个四位数是194619、甲,乙,丙三个数分别为603,939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍,A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2 倍.A是________;解答:如果A除丙所得的余数是1份的话,那么A除乙所得余数就是2份,A除甲所得的余数就是4份.把2乙-甲,则没有余数,即2乙-甲使A 的倍数;同理乙-2丙也同样没有余数,是A的倍数.939×2-603=1275,939-393×2=153A是1275和153的公约数,而1275与153的最大公约数是51,所以A可能是1,3,17,51 再实验得到A为17,余数分别为8,4,2.。
五年级奥数余数问题
五年级奥数余数问题一、题目。
1. 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数最小是多少？解析：我们先列出除以3余2的数：2、5、8、11、14、17、20、23、26…再列出除以5余3的数：3、8、13、18、23、28…然后列出除以7余2的数：2、9、16、23、30…可以发现23同时满足这三个条件，所以这个数最小是23。
2. 有一个数，除以4余1，除以5余2，除以6余3，这个数最小是多少？解析：这个数加上3就能被4、5、6整除。
4、5、6的最小公倍数是4 = 2×2，5 = 5，6=2×3，最小公倍数LCM = 2×2×3×5 = 60。
所以这个数最小是60 3=57。
3. 一个数除以5余4，除以8余3，求这个数最小是多少？解析：设这个数为x。
根据除以5余4，可设x = 5a+4（a为整数）。
又因为除以8余3，所以5a + 4=8b+3（b为整数），即5a=8b 1。
通过试值法，当b = 2时，a = 3。
此时x=5×3 + 4=19，19除以8余3，所以这个数最小是19。
4. 一个数除以9余7，除以11余9，这个数最小是多少？解析：这个数加上2就能被9和11整除。
9和11互质，它们的最小公倍数是9×11 = 99。
所以这个数最小是99 2 = 97。
5. 某数除以7余1，除以8余2，除以9余3，求这个数最小是多少？解析：这个数加上6就能被7、8、9整除。
7、8、9的最小公倍数为7×8×9=504。
所以这个数最小是504 6 = 498。
6. 一个数除以3余1，除以5余2，除以7余3，这个数最小是多少？解析：中国剩余定理：先求5×7 = 35，35除以3余2，2×2 = 7，7除以3余1。
再求3×7=21，21除以5余1，1×2 = 2，2除以5余2。
然后求3×5 = 15，15除以7余1，1×3=3，3除以7余3。
五年级奥数：第14讲 余数问题
五年级奥数：第14讲余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。
例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c 的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。
将5056分解质因数，得到5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
五年级奥数测试卷 余数问题 答案
精品文档A所得的商与余数相同？1．哪些自然数除以6，这个两位数是多少？．310被一个数两位数除，余数是37256789的积除以9的余数。
3．求12345678×都有余数，三个余数的和为、90、1304．有一个自然数，用它分别去除63 25，这三个余数中最小的一个是几？。
205，得到相同的余数（且余数都不为0）5．有一个整数，除300，262，这个整数是多少？。
这五十个数中，取出若干个数使其中任意49、50．从1、2、3、……、6 两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？除以13的余数是几？．已知A=199119911991………1991，问A71991个19918．将自然数从1到2005连续写成一个多位数1234……20042005，这个多位数除以3的余数是多少？9．有5个不同的自然数（0除外），它们当中任意3个数的和是3的倍数，任意4个数的和是4的倍数，为了使这5个数的和尽可能小，这5个数分别是多少？10．一个十几岁的男孩，把自己的岁数写有父亲的岁数之后，组成一个四位数，从这个四位数中减去他们两个人岁数之差和4289。
男孩几岁？B1．71427和19的积被7除，余数是几？2．某数用3除余1，用5除余3，用7除余5，此数最小为多少？3．一个四位数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4……被10除余9，求出这样的四位数。
12．有一个整数，用它去除63、91、129，所得的3个余数的和是25，这个整数是多少？2005的末两位数是多少?4．35．888888……88÷26的余数是多少？2001个86．某数除1186余1，除2609余2，除4263少3，这个数最大是多少？7．一个数除以11所得的余数是3，如果把这个数增加11后，除以13所得的商不变，且余数为0，这个数是多少？8．n=191919……1919，n被9除所得的商的个位数是多少？1919个19199．能被5除尽，被715除余10，被247除余140，被391除余245，被187精品文档．精品文档的最小整数是多少？除余109的后面得35写在任意一个自然数的右面（例如：将2写在10．将自然数N1996称为魔术数。
小学五年级奥数 余数定理
余数问题（二）本讲主线【课前小练习】(★)1. 余数的三大性质2. 三性的实际应用⑴21除以5的余数是____; 32除以5的余数是____;⑵21＋32除以5的余数是_____;⑶32－21除以5的余数是_____;⑷32×21除以5的余数是.知识要点屋版块一：余数的三大性质1. 余数的三大性质：【例1】(★★)⑴和的余数等于余数的和⑵差的余数等于余数的差⑶积的余数等于余数的积⑴123＋456＋789除以11的余数是多少？⑵123×456×789的结果除以23的余数是多少？知识要点屋1. 特征求余法：⑴尾数系，(2、5) ，(4、25) ，(8、125)⑵和系，3，9⑶11：奇数位数字之和－偶数位数字之和的差.⑷7、11、13：截断法. 【例3】(★★☆)一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个. 年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个. 请问：最后一包有多少个零件？【例2】(★★★)188＋288＋388＋…＋2088除以9、11的余数各是多少？【拓展】(★★★)自然数3100 1的个位数字是多少？1版块二：三大性质的实际应用【例4】(★★★★)(全国小学数学奥林匹克试题) 【例6】(★★★)六张卡片上分别标上2357、2367、4143、1419、2485、8465六个数，甲取4张，乙取1张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的8倍，则丙手中卡片上的数是_____.有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是_______.【例5】(★★★)(南京市少年数学智力冬令营试题)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组. 这样的数组共有组. 【例7】(★★★★)从1～20中最多可以选取多少个数，使得取出的数中任意三个数的和能被3整除？知识大总结【今日讲题】1. 余数的三大性质⑴和的余数等于余数的和⑵差的余数等于余数的差⑶积的余数等于余数的积2. 替换求余法3. 整除判定法则—特征求余法例2，例3，例4，例6【讲题心得】___________________.【家长评价】__________________________________________________________________.2。
五年级奥数之余数问题
五年级奥数之余数问题余数问题例1、有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？例2、XXX在计算有余数的除法时，把被除数113错写成了131.结果商比原来多3，但余数恰巧相同，那么余数是多少？例3、444……4÷6，当商是整数时，余数是几？（100个4）例4、有一列数，前两个数是3和4，从第3个数开始，每一个数都是前两个数的和。
这一列数中第100个数除以4，余数是多少？例5、甲数除以9余7，乙数除以9余5.甲、乙两数的和除以9余数是几？甲乙两数的差除以9余数是几？甲、乙两数的积除以9余数是几？例6、一个自然数除以2余1，除以5余1，除以7余1，这个自然数最小是多少？例7、自然数、、除以m的余数相同，m最大是多少？例8、自然数2836、4582、5146、6522除以一个自然数，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为多少？例9、XXX玩具店有大小相同的红、黄、蓝、绿四种颜色的小球分别为344、277、411和555个。
现在要用一种精致的小盒分别去装这些小球，每只盒子里装的小球同样多，剩下的红、黄、蓝三色小球也恰好同样多。
剩下的绿球有多少个？例10、9练：1、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，符合这些条件的最小数是多少？2010被7除余几？2、XXX计算有余数的除法时，把被除数137错写成173.商比原来多3，余数正好相同。
问除数、余数各是多少？3、555……55÷13，当商是整数时，余数是几？（2001个5）4、有一串数排成一行，个中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数起，每一个数恰好是前两个数的和。
在这一串数中，第1991个数被3除，所得的余数是几？5、甲数除以5余3，乙数除以5余2.甲、乙两数的和除以5余数是几？甲乙两数的差除以5余数是几？甲、乙两数的积除以5余数是几？6、一个自然数除以3余2，除以5余1，除以7余1，这个自然数最小是多少？7、自然数1000、2001、967除以m的余数不异，那末m 是几何？8、一个自然数，除1200、1314、1048所得的余数不异且大于5，那末这个自然数与余数的和是几何？9、甲、乙、丙、丁四个学校划分有69人、85人、93人、97人游览。
小学五年级奥数课件 余数问题
290=291、2、5、29、10、58、
110÷A=□…b
145、280
160÷A=□…c
A：29、58
（170+660+160）÷A=…50
如果A=58 a=12 b=52
300÷A=…50
如果A=29 a=12 b=23
340-50=190
∴290被A整除 C=15
原式=（188+2088）×20÷2 =2276×10
除以：8×1=8 除以：10×10=100
100÷11=9…1
知识链接
2、特征求余法： ⑴ 尾数系,(2、5) ,(4、25) ,(8、125) ⑵ 和系,3,9 ⑶ 11：奇数位数字之和－偶数位数字之和的差. ⑷ . 7、11、13：截断法.
例题【五】（★ ★ ★ ★）
在1995,1998,2000,2001,2003中,若其中几个数的和被9除余7,
则将这几个数归为一组. 这样的数组共有
组.
要求：和的余数为7 余数依次是6,0,2,3,5 余数和是7:2+5, 0+2+5； 3+6+2+5； 0+2+5+3+6 共有4组符合题意要求。
例题【六】（★ ★ ★ ★）
六张卡片上分别标上2357、2367、4143、1419、2485、8465六个 数, 甲取4张,乙取1张,丙取1张,结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之 和一个人是另一个人的8倍,则丙手中卡片上的数是 .
甲、乙手中卡数字和应9的倍数 以9的余数：8,0,3,6,1,5 因为,这个6个数的和除数是5, 所以,多了余5的卡片
例题【三】（★ ★ ★）
一年有365天,轮船制造厂每天都可以生产零件1234个. 年终将这些零件 按19个一包的规格打包,最后一包不够19个. 请问：最后一包有多少个零 件？
五年级奥数：余数问题
五年级奥数：余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。
例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
例题 15122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。
将5056分解质因数，得到5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例题 2被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
小学奥数思维训练余数通用版
⼩学奥数思维训练余数通⽤版2014年五年级数学思维训练：余数1．（4分）72除以⼀个数，余数是7．商可能是多少？2．（4分）100和84除以同⼀个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？3．（4分）20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？4．（4分）4个运动员进⾏乒乓球⽐赛，他们的号码分别为101、126、173、193．规定每两⼈之间⽐赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：⽐赛盘数最多的运动员打了多少盘？5．（4分）某⼯⼚有128名⼯⼈⽣产零件，他们每个⽉⼯作23天，在⼯作期间每⼈每天可以⽣产300个零件．⽉底将这些零件按17个⼀包的规格打包，发现最后⼀包不够17个．请问：最后⼀包有多少个零件？6．（4分）（1）220除以7的余数是多少？（2）1414除以11的余数是多少？（3）28121除以13的余数是多少？7．（4分）8+8×8+…+除以5的余数是多少？8．（4分）⼀个三位数除以21余17，除以20也余17．这个数最⼩是多少？9．（4分）有⼀个数，除以3余数是2，除以4余数是1．问这个数除以12余数是⼏？10．（4分）100多名⼩朋友站成⼀列，从第⼀⼈开始依次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，最后⼀名同学报的数是9；如果按1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后⼀名同学报的数是11．请问：⼀共有多少名⼩朋友？11．（4分）1111除以⼀个两位数，余数是66．求这个两位数．12．（4分）（1）除以4和125的余数分别是多少？（2）除以9和11的余数分别是多少？13．（4分）⼀年有365天，轮船制造⼚每天都可以⽣产零件1234个，年终将这些零件按19个⼀包的规格打包，最后⼀包不够19个．请问：最后⼀包有多少个零件？14．（4分）⾃然数的个位数字是．15．（4分）算式12007+22007+32007+…+20062007计算结果的个位数是多少？16．（4分）⼀个⾃然数除以49余23，除以48也余23．这个⾃然数被14除的余数是多少？17．（4分）⼀个⾃然数除以19余9，除以23余7．这个⾃然数最⼩是多少？18．（4分）刘叔叔养了400多只兔⼦，如果每3只兔⼦关在⼀个笼⼦⾥，那么最后⼀个笼⼦⾥有2只；如果每5只兔⼦关在⼀个笼⼦⾥，那么最后⼀个笼⼦⾥有4只；如果每7只兔⼦关在⼀个笼⼦⾥，那么最后⼀个笼⼦⾥有6只．请问：刘叔叔⼀共养了多少只兔⼦？19．（4分）除以99的余数是多少？20．（4分）把63个苹果，90个橘⼦，130个梨平均分给⼀些同学，最后⼀共剩下25个⽔果没有分出去．请问：剩下个数最多的⽔果剩下多少个？1 / 1321．（4分）有⼀个⼤于l的整数，⽤它除300、262、205得到相同的余数，求这个数．22．（4分）⽤61和90分别除以某⼀个数，除完后发现两次除法都除不尽，⽽且前⼀次所得的余数是后⼀次的2倍，如果这个数⼤于1，那么这个数是多少？23．（4分）从l依次写到99，可以组成⼀个多位数12345…979899．这个多位数除以11的余数是多少？24．（4分）算式计算结果的末两位数字是多少？25．（4分）算式1×3×5×7×…×2007计算结果的末两位数字是多少？26．（4分）有5000多根⽛签，按以下6种规格分成⼩包：如果10根⼀包，最后还剩9根；如果9根⼀包，最后还剩8根；如果依次以8、7、6、5根为⼀包，最后分别剩7、6、5、4根．原来⼀共有⽛签多少根？27．（4分）有三个连续⾃然数，它们⼩道⼤依次是5、7、9的倍数，这三个连续⾃然数最⼩是多少？28．（4分）请找出所有的三位数，使它除以7、11、13的余数之和尽可能⼤．29．（4分）已知21!=．那么四位数是多少？30．（4分）有⼀些⾃然数n，满⾜：2n﹣n是3的倍数，3n﹣n是5的倍数，5n﹣n是2的倍数，请问：这样的，n中最⼩的是多少？参考答案1．商可能是5．【解析】试题分析：根据在有余数的除法中，余数总⽐除数⼩，即除数最⼩为：余数+1，进⽽根据“被除数﹣余数=商×除数”解答即可．解：72﹣7=6565=13×5，所以，72除以⼀个数，余数是7．商可能是5．点评：解答此题的关键：根据在有余数的除法中，余数总⽐除数⼩，得出余数最⼤为：除数﹣1，然后被除数、除数、商和余数四个量之间的关系进⾏解答即可．2．这个除数可能是8或16．【解析】试题分析：要求这个除数可能是多少，根据同余定理，先求出100和84这两个数的差，再求出这三差的公约数，然后找出不能整除100和84的数，即为这个除数．解：余数相同，那么除数是100﹣84=16的约数，除数可能是1，2，4，8，16其中不能整除100和84的有8和16所以除数是8或者16．答：这个除数可能是8或16．点评：解答此题的关键是理解同余定理，求出两个数之差的公因数，进⽽解决问题．3．20080808除以9的余数是1807280；除以25的余数是8；除以8和11没有余数．【解析】试题分析：根据在有余数的除法中，“被除数=商×除数+余数”解答即可．解：20080808÷9=2231200 (1807280)20080808÷8=251010120080808÷25=803232 (8)20080808÷11=1825528答：20080808除以9的余数是1807280；除以25的余数是8；除以8和11没有余数．点评：解答此题根据被除数、除数、商和余数四个量之间的关系进⾏解答即可．4．打球盘数最多的运动员是126号，打了5盘．【解析】试题分析：能被3整除的条件是：这个整数的各位数字和是3的整数倍；如15，1+6=6，6=3×2，所以15能被3整除；再如19，1+9=10，10÷3=3…1，则19不能被3整除，19÷3=6…1，通过此题说明了⼀个问题：数字和除以3余数是⼏，则这个数字除以3就余数是⼏；此题从101、126、173、193中任意选出2个数有6种，求和，除以3，再看和的数字除以3余数是⼏，再分别求出每个运动员打球的盘数，即可得解．解：101+126=227，2+2+7=11，11÷3=3…2；101+173=274，2+7+4=13，13÷3=4…1；101+193=294，2+9+4=15，15÷3=5；126+173=299，2+9+9=20，20÷3=6…2；126+193=319，3+1+9=13，13÷3=4…1；173+193=366，3+6+6=15，15÷3=5；101号运动员打球的盘数为：2+1+0=3（盘），126好运动员打球的盘数为：2+2+1=5，1 / 13173号运动员打球的盘数为：1+2+0=3（盘），193号运动员打球的盘数为：0+1+0=1（盘），答：打球盘数最多的运动员是126号，打了5盘．点评：完成本题关键是根据题意，得出每个运动员打球的盘数，然后得出答案．5．16个零件.【解析】试题分析：⽤每⼈每天可以⽣产的零件个数乘以⼈数，乘以天数得到零件的总个数，⽤零件的总个数除以每包的个数，得到的商是包数，余数是剩下的零件个数，最后⼀包有的零件个数．解：300×128×23÷17=38400×23÷17=883200÷17=51952（包）…16（个）答：最后⼀包有16个零件．点评：本题关键弄清得到商表⽰量是什么，得到的余数表⽰什么量．6．（1）4；（2）4；（3）2.【解析】试题分析：（1）分别求出23、24、25、26…除以7的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可；（2）⾸先根据1414=（11+3）14，可得1414除以11同余314除以11；然后分别求出33、34、35、36…除以11的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可；（3）⾸先根据28121=（13×2+2）121，所以28121除以13同余2121，然后分别求出24、25、26、27…除以13的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可．解：（1）因为23÷7=1…1，24÷7=2…2，25÷7=4…4，26÷7=9…1，…所以从23开始，除以7的余数分别是1、2、4、1、2、4…，每3个⼀循环，分别是1、2、4，因为（20﹣2）÷3=6，所以220除以7的余数是4；（2）根据1414=（11+3）14，可得1414除以11同余314除以11，因为33÷11=2…5，34÷11=7…4，35÷11=22…1，36÷11=66…3，37÷11=198…9，38÷11=596…5，…所以从33开始，除以11的余数分别是5、4、1、3、9、5…，每5个⼀循环，分别是5、4、1、3、9，因为（14﹣2）÷5=2…2，所以1414除以11的余数是4；（3）根据28121=（13×2+2）121，所以28121除以13同余2121，因为24÷13=1…3，25÷13=2…6，26÷13=4…12，27÷13=9…11，28÷13=19…9，29÷13=39…5，210÷13=78…10，211÷13=157…7，212÷13=315…1，213÷13=630…2，214÷13=1260…4，215÷13=2520…8，216÷13=5041…3，所以从24开始，除以13的余数分别是3、6、12、11、9、5、10、7、1、2、4、8、3…，每12个⼀循环，分别是3、6、12、11、9、5、10、7、1、2、4、8，因为（121﹣3）÷12=9…10，所以28121除以13的余数是2．点评：此题主要考查了带余除法的性质的应⽤，以及同余定理的应⽤．7．2.【解析】试题分析：被5整除的数的特点是个位数字是0和5，所以只要看个位数字，即可，余数只能是0、1、2、3、4中的⼀个．解：乘积的个位数字分别是8，4，2，6，8，4，2，6，8，4；所以8+8×8+8×8×8+…+8×8×8×8…×8（10个8）的个位数字和是：8+4+2+6+8+4+2+6+8+4=52，所以8+8×8+8×8×8+…+8×8×8×8…×8（10个8）的个位数字是2，2即为余数；答：除以5的余数是2．点评：解决此题的关键是理解被5整除的特征．8．437.【解析】试题分析：因为这个数除以21，除以20都余17，要求这个数最⼩是多少，就是⽤20、21的最⼩公倍数加上17即可．解：21和20的最⼩公倍数是21×20=420420+17=437所以这个数最⼩是437．答：这个数最⼩是437．点评：此题考查了带余除法，根据题⽬特点，先求2个数的最⼩公倍数，然后加上余数，解决问题．9．5.【解析】试题分析：利⽤带余数的除法运算性质，将这个数看成A+B，A为可以被12整除的部分，B 则为除以12的余数，得出A可以被3或4整除，再结合已知这个数除以3余2，除以4余1，得出B也相同，归纳出符合要求的只有5．解：将这个数看成A+B，A为可以被12整除的部分，B则为除以12的余数．A可以被12整除，则也可以被3或4整除．因为这个数“除以3余2，除以4余1”，所以B也是“除以3余2，除以4余1”，⼜因为B是⼤于等于1⽽⼩于等于11，在这个区间内，只有5是符合的．答：这个数除以12余数是5．点评：此题主要考查了带余数的除法运算，假设出这个数，分析得出符合要求的数据．10．141.【解析】试题分析：由题意知，⼀共有多少名⼩朋友，也就是求11和13的最⼩倍数，由此解答问题．解：因为9=11﹣2，11=13﹣2，所以只要再多2个⼈，⼈数就是11与13的公倍数，11与13的公倍数为143，所以共有143﹣2=141⼈，符合题意；⽽143×2＞100，不符合题意．答：共有141⼈．点评：此题主要把实际问题转化为求最⼩倍数的数学问题，解决数学问题，回到实际问题，这是数学中常⽤的⼀种⽅法．11．95.3 / 13【解析】试题分析：因为1111﹣66=1045，1045=5×11×19，所以两位因数有：11，19，55，95；⼜因为余数⼩于除数，但是11，19，55＜66，所以只有95符合题意，即这个两位数是95，此时1111÷95=11…66．解：因为1111﹣66=1045，1045=5×11×19，所以两位因数有：11，19，55，95；∵余数⼩于除数，但是11，19，55＜66，∴只有95符合题意，即这个两位数是95，此时1111÷95=11…66．答：这个两位数是95．点评：此题主要考查了带余除法的性质的应⽤，解答此题的关键是求出1111与66的差，进⽽将其分解质因数．12．（1）除以4和125的余数分别是1和46．（2）除以9和11的余数分别是3和5．【解析】试题分析：（1）421被4除后余数是1，放到下⼀个421，得到1421，除以4，余数仍然是1，再放到下⼀个421⾥，⼜得到1421，余数还是1，依此类推，⽆论多少个421，余数都是1．同理421除以125余数是46，放到下⼀个421中，得到46421，除以125，余数仍然是46，以此类推，⽆论多少个421，余数都是46．（2）被9整除的数的特点是数字和是9的倍数，所以9个808⼀定被9整除，18个808同样被9整除，还有3个808，数字和是（8+8）×3=48，48÷9=5…3，所以余数是3；⼀个808除以11余数是5，与下⼀个808得到5808，除以11，结果余数是0，所以每两个808可以被整除11，则20个808被11整除，只要看最后⼀个808除以11余数为⼏，即可得解．解：（1）421÷4=105 (1)1421÷4=355 (1)再放到下⼀个421⾥，⼜得到1421，余数还是1，依此类推，⽆论多少个421，余数都是1．421÷125=3 (46)46421÷125=371 (46)放到下⼀个421中，得到46421，除以125，余数仍然是46，以此类推，⽆论多少个421，余数都是46．答：除以4和125的余数分别是1和46．（2）被9整除的数的特点是数字和是9的倍数，所以9个808⼀定被9整除，18个808同样被9整除，还有3个808，数字和是（8+8）×3=48，48÷9=5…3，所以余数是3；808÷11=73 (5)5808÷11=528⼀个808除以11余数是5，与下⼀个808得到5808，除以11，结果余数是0，所以每两个808可以被整除11，则20个808被11整除，只要看最后⼀个808除以11余数为5．答：除以9和11的余数分别是3和5．点评：完成本题要根据余数的不同分别讨论解决．13．15个零件【解析】试题分析：⽤每天⽣产的零件个数乘以天数得到零件的总个数，⽤零件的总个数除以每包的个数，得到的商是包数，余数是剩下的零件个数就是最后⼀包有的零件个数．解：1234×365÷19=450410÷19=23705（包）…15（个）答：最后⼀包有15个零件．点评：本题关键弄清得到商表⽰量是什么，得到的余数表⽰什么量．14．7.【解析】试题分析：除去第⼀个2外，其余的每4个2相乘都有个位数字是4、8、6、2的循环出现，故⽤（67﹣1）除以4，得出是16组余2，所以个位数字是8，最终确定⾃然数的个位数字是7．解：除去第⼀个2外，其余的每4个2相乘都有个位数字是4、8、6、2的循环出现，为⼀组；（67﹣1）÷4=16（组）…2（个）；所以67个2相乘的个位数字是8，则⾃然数的个位数字是 8﹣1=7．故答案为：7．点评：此题考查乘法中的巧算，关键是找出2连乘时积的变化规律，再进⼀步求得解．15．1.【解析】试题分析：12007的个位数是1，22007的个位数是8，32007的个位数是7，42007的个位数是4，52007的个位数是5，62007的个位数是6，72007的个位数是3，82007的个位数是2，92007的个位数是9，102007的个位数是0，112007的个位数是1…，每10个数⼀循环，依次为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0；1+8+7+4+5+6+3+2+9+0=45，2006÷10=200…6，所以算式12007+22007+32007+…+20062007计算结果的个位数同算式200×45+1+8+7+4+5+6=931的个位数相同，即它的个位数是1，据此解答即可．解：12007的个位数是1，22007的个位数是8，32007的个位数是7，42007的个位数是4，52007的个位数是5，62007的个位数是6，72007的个位数是3，82007的个位数是2，92007的个位数是9，102007的个位数是0，112007的个位数是1…，每10个数⼀循环，依次为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0；因为1+8+7+4+5+6+3+2+9+0=45，2006÷10=200…6，所以算式12007+22007+32007+…+20062007计算结果的个位数同算式200×45+1+8+7+4+5+6=931的个位数相同，即它的个位数是1．点评：此题主要考查了乘积的个位数问题的应⽤，解答此题的关键是判断出：12007、22007、32007、…的个位数依次为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0，每10个数⼀循环．16．9.【解析】试题分析：⼀个⾃然数除以49余23，除以48也余23，则这个⾃然数是49和48的最⼩公倍数加23，因为48和49互质，所以这个数是49×48+23，然后除以14，49×48÷14=7×24整除，只要看23除以14的余数，即可得解．解：23÷14=1 (9)答：这个⾃然数被14除的余数是9．5 / 13点评：关键是明⽩这个⾃然数是49×48+23，49×48能被14整除．17．237.【解析】试题分析：设这个⾃然数为x，根据这个⾃然数除以19余9，除以23余7，列出⽅程，求解即可．解：设这个⾃然数为x，根据题意，可得x=19m+9=23n+7（m、n都是⾃然数），整理得：x﹣7=19m+2=23n，因为23×10=19×12+2，所以x﹣7=230，解得x=237，即这个⾃然数最⼩是237．答：这个⾃然数最⼩是237．点评：此题主要考查了有余数的除法各部分之间的关系的应⽤．18．419只.【解析】试题分析：求3、5、7的最⼩公倍数，进⼀步找出⽐400多⼀些的公倍数，⽤这个公倍数减去1即可得到答案．解：3、5、7这三个数两两互质，所以它们的最⼩公倍数是这三个数的乘积，3×5×7=105105×2=210105×3=315105×4=420420﹣1=419答：刘叔叔⼀共养了419只兔⼦．点评：本题关键理解好“每3只兔⼦关在⼀个笼⼦⾥，那么最后⼀个笼⼦⾥有2只”可以理解为“每3只兔⼦关在⼀个笼⼦⾥，那么最后⼀个笼⼦⾥少1只”由此理解后⾯的内容，即求出3，5，7的公倍数减去1即可得到答案．19．90.【解析】试题分析：6个123除以99刚好整除，这样求出123⾥有多少个6，余数是⼏，就看⼏个123并列除以99的余数，即可得解．解：123123123123123123÷99=1243667910334577每6个整除1次，123÷6=20 (3)前120个123并列能整除99，123123123÷99=1243667 (90)答：123个123并列除以99的余数是90．点评：找到⼏个123并列可以被99整除，是解决此题的关键．20．20.【解析】试题分析：求出苹果、梨、橘⼦的总个数，然后⽤⽔果的总个数减去25即可得到剩下的⽔果的总数，然后把⽔果的总个数分解质因式，确定出学⽣的⼈数，然后进⼀步求出剩下⽔果的个数，进⼀步确定剩下个数最多的⽔果．解：63+90+130﹣25=258258=2×3×43由此可知学⽣的⼈数是43⼈，余下的苹果的个数：63﹣1×43=20（个）余下橘⼦的个数：90﹣2×43=4（个）余下梨的个数：130﹣3×43=1（个）20＞4＞1所以余下的苹果最多，剩下20个．答：剩下个数最多的⽔果剩下20个．点评：本题关键求出发给的学⽣的⼈数，然后确定出余下⽔果最多的是那种⽔果．21．19.【解析】试题分析：a，b数被⼀个数d去除，有相同的余数，那么d可以整除（a﹣b），由此找出300与262的差，以及262与205的差，它们的⾮1的公约数就是要求的数．解：这个数除300、262，得到相同的余数，所以这个数整除300﹣262=38，同理，这个数整除262﹣205=57，因此，它是38、57的公约数19．点评：本题利⽤同余定理的性质，得出要求的数是被除数两两之间差的公约数，从⽽得解．22．17.【解析】试题分析：假设这个数是a，61除以a余数是2c；90除以a余数是c，则180除以a的余数就是2c；那么两个等式左右相减，余数被减去了，即得到的被除数能被a整除，所以只要把180减去61，分解质因数，即可得解．解：假设这个数是a，61除以a余数是2c；90除以a余数是c，则：61÷a=b…2c90×2÷a=d…2c则90×2﹣61=119=17×7因为61÷17=3 (10)90÷17=5 (5)10=5×2符合题意；答：这个数为17．点评：解决此题的关键是理解90的2倍减去61就是所求的数的整数倍，从⽽转化为求90×2﹣61的因数．23．4.【解析】试题分析：被11整除的数，奇数位和与偶数位和的差能被11整除，因此可以先求出此数奇数位上的和以及偶数位上的和．解：在此数前补⼀位0不影响．即01 23 45 ...67 89 10 11 (99)如上每两位⼀段．易知，被11整除的数，奇数位和，与偶数位和的差，能被11整除．则上数，从10往后，偶数位上，数字1到9均出现10次．奇数位上，0到9出现9次．因此奇数位和=（0+1+2+3…+9）×9+（1+3+5+7+9）=45×9+25偶数位和=（1+2+3…+9）×10+（0+2+4+6+8）=45×10+20则他们的差，偶﹣奇7 / 13=45×10+20﹣45×9﹣25=45﹣5=40 不能被11整除，⽽要是调整奇数位的最后⼀位（99的个位9），减少4的话．这个差将被11整除．意味着01 23 45 …95 能被11整除，则原数被11除余4．答：这个多位数除以11的余数是4．点评：解决此题的关键是理解被11整除的数，奇数位和与偶数位和的差能被11整除．24．00.【解析】试题分析：要求算式计算结果的末两位数字是多少，只要求出的和除以100的余数，即为其末两位数字，据此解答即可．解：7除以100的余数为7，7×7除以100的余数为49，7×7×7除以100的余数为43，7×7×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1；⽽7×7×7×7×7除以100的余数等于7，…则7+7×7+…+7×7×…除以100所得的余数，4个数⼀循环，依次为7，49，43，1，因为2008÷4=502，所以算式计算结果除以100的余数同余502×（7+49+43+1）=50200，⼜因为50200除以100余数为0，所以算式计计算结果的末两位数字是00．点评：此题主要考查了乘积的个位数问题的应⽤，解答此题的关键是分析出：7+7×7+…+7×7×…除以100所得的余数，4个数⼀循环，依次为7，49，43，1．25．75.【解析】试题分析：因为是奇数相乘，有下⾯这个规律：25（2n+1）（2n+3）=100n2+200n+75（25经过相邻的两个奇数相乘后变成75），75（2n+1）（2n+3）=300n2+600n+225（75经过相邻的两个奇数相乘后变成25），这个规律是从15开始的，也就是当n＞2时，（8n+1）！和（8n﹣1）！最后两位是25，（8n+3）!和（8n+5）!最后两位是75；⼜因为2013=251×8+5，所以计算结果的末两位数字是75．解：因为是奇数相乘，有下⾯这个规律：25（2n+1）（2n+3）=100n2+200n+75（25经过相邻的两个奇数相乘后变成75），75（2n+1）（2n+3）=300n2+600n+225（75经过相邻的两个奇数相乘后变成25），这个规律是从15开始的，也就是当n＞2时，（8n+1）！和（8n﹣1）！最后两位是25，（8n+3）!和（8n+5）!最后两位是75；⼜因为2013=251×8+5，所以计算结果的末两位数字是75．答：算式1×3×5×7×…×2007计算结果的末两位数字是75．点评：此题主要考查了乘积的个位数问题的应⽤，解答此题的关键是分析出：当n＞2时，（8n+1）！和（8n﹣1）！最后两位是25，（8n+3）!和（8n+5）!最后两位是75．26．5039根．【解析】试题分析：根据10根⼀包，最后还剩9根，9根⼀包，最后还剩8根，分别以8、7、6、5根为⼀包，最后也分别剩7、6、5、4根，可以推知此数加上1就是8、7、6、5的公倍数，再求出8、7、6、5的公倍数减去1得解．解：这个数+1=8、7、6、5的公倍数8、7、6、5的最⼩公倍数为：2×4×7×3×5=840满⾜5000多这个条件的公倍数是840×6=5040⽛签的数量就是5040﹣1=5039（根）答：原来⼀共有⽛签 5039根．点评：解决此题关键在于求出符合条件（5000多）的8、7、6、5的公倍数，再⽤它减去1即可．27．160.【解析】试题分析：17，19和21这三个数都是奇数，且相邻的两个数都相差2，所以它们的最⼩公倍数仍然是⼀个奇数，这个最⼩公倍数分别加上5、7、9所得到的和都是偶数，且相邻的两个数仍然相差2，我们把这三个和分别除以2，就可以得到⼀组符合题⽬要求的连续⾃然数．5、7、9最⼩公倍数是5×7×9=315，315+5=320能被5整除，315+7=322能被7整除，315+9=24能被9整除，所以320，322，324分别能被5、7、9整除，这三个数都是偶数，且都相差2，把这三个数分别除以2，得到160，161，162，它们也⼀定能分别被5、7、9整除，⼜因为160⼩于最⼩公倍数315，所以160，161，162是符合题⽬要求的最⼩的⼀组，因此这三个连续⾃然数中最⼩的那个数最⼩是160．解：5、7、9最⼩公倍数是5×7×9=315，315+5=320能被5整除，315+7=322能被7整除，315+9=24能被9整除，所以320，322，324分别能被5、7、9整除，这三个数都是偶数，且都相差2，把这三个数分别除以2，得到160，161，162，它们也⼀定能分别被5、7、9整除，⼜因为160⼩于最⼩公倍数315，所以160，161，162是符合题⽬要求的最⼩的⼀组，因此这三个连续⾃然数中最⼩的那个数最⼩是160．点评：完成此题是在了解5、7和9这⼀组数的基础上求出最⼩公倍数，然后⽤最⼩公倍数分别加上5、7、9所得到的和都是偶数，且相邻的两个数仍然相差2，我们把这三个和分别除以2，就可以得到⼀组符合题⽬要求的连续⾃然数，从⽽求出三个连续⾃然数中最⼩的那个数．28．三位数285、636除以7、11、13的余数之和最⼤．【解析】试题分析：根据题意，要使余数之和最⼤，三个余数只能分别为 6、10、12，那么这个三位数加上1就能同时被7、11、13整除，所以所求的三位数为7、11、13的公倍数减去1，则它最⼩是：7×11×13﹣1=1000，它是⼀个四位数，不符合题意，因此，余数之和最⼤时，三个余数分别为 5、10、12 或6、9、12或6、10、11；然后分类讨论，求出满⾜题意的三位数即可．解：根据题意，要使余数之和最⼤，三个余数只能分别为 6、10、12，那么这个三位数加上1就能同时被7、11、13整除，9 / 13所以所求的三位数为7、11、13的公倍数减去1，则它最⼩是：7×11×13﹣1=1000，它是⼀个四位数，不符合题意，因此，余数之和最⼤时，三个余数分别为 5、10、12 或6、9、12或6、10、11；（1）当三个余数分别为5、10、12时，则这个数加1后能被11、13整除，且它被7除后余5，所以所求的三位数为：11×13k﹣1，它被7除的余数为：3k﹣1=5，解得k=2，所以这个三位数是：11×13×2﹣1=285；（2）当三个余数分别为6、9、12时，则这个数加1后能被7、13 整除，且它被11除后余9，所以所求的三位数为：7×13k﹣1，它被11除的余数为3k﹣1=9+11，解得k=7，所以这个三位数是：7×13×7﹣1=636；（3）当三个余数分别为6、10、11，则这个数加1后能被 7、11整除，且它被13除后余11，所以所求的三位数为：7×11k﹣1，它被13除的余数为：12k﹣1=11，解得k=1，所以这个数是：7×11﹣1=76，它是⼀个两位数，不符合题意；综上，三位数285、636除以7、11、13的余数之和最⼤．点评：此题主要考查了最⼤与最⼩问题的应⽤，考查了分类讨论思想的应⽤，解答此题的关键是判断出余数和最⼤的情况．29．5140．【解析】试题分析：21!=21×20×19×…×15×14×…×11×10×9×8×…5×4×…×1；通过21!分解后的数字，根据数的整除的特点解答即可．解：21!=21×20×19×...×15×14×...×11×10×9×8×...5×4× (1)显然21!末尾有4个0，故D=0；⼜21!含有质因⼦2的个数超过7个，所以去掉末尾4个0后，得到的新数后三位是8的倍数，即94C是8的倍数，可得C=4；由于21!能被9整除，所以各位数字之和能被9整除，可得A+B=6或15；由于21!能被11整除，所以奇数位数字和与偶数位数字之差能被11整除，可得：A﹣B=4或B﹣A=7；由于A+B与A﹣B奇偶性相同，所以有：或；解得：或显然只有符合题意．所以四位数是5140．答：四位数是5140．点评：解答本题的关键是灵活运⽤数的整除的特点．30．15.【解析】试题分析：因为2n﹣n是3的倍数，3n﹣n是5的倍数，5n﹣n是2的倍数，所以n是3的倍数，2n是5的倍数，4n是2的倍数，⼜因为2n是5的倍数，所以n的个位是0或5；然后分类讨论，求出n中最⼩的是多少即可．解：因为2n﹣n是3的倍数，3n﹣n是5的倍数，5n﹣n是2的倍数，所以n是3的倍数，2n是5的倍数，4n是2的倍数，因为2n是5的倍数，所以n的个位是0或5；（1）当n的个位是0时，它是3的倍数，所以n最⼩是30；（2）当n的个位是5时，它是3的倍数，所以n最⼩是15；综上，可得n中最⼩的是15．答：n中最⼩的是15．点评：此题主要考查了最⼤与最⼩问题的应⽤，解答此题的关键是熟练掌握是2、3、5的倍数的特征．11 / 13。
五年级奥数余数问题
余数问题各种与余数有关的整数问题,其中包括求方幂的末位数字,计算具有规律的多位数除以小整数的余数，以及用逐步试算法找出满足多个余数条件的最小数等．1.号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【分析与解】因为两个数和的余数同余与余数的和．有101,126,173,193除以3的余数依次为2,0,2,1．则101号运动员与126,173,193号运动员依次进行了2,1,0盘比赛,共3盘比赛；126号运动员与101,173,193号运动员依次进行了2,2,l盘比赛,共5盘比赛；173号运动员与101,126,193号运动员依次进行了1,2,0盘比赛,共3盘比赛；193号运动员与101,126,173号运动员依次进行了0,1,0盘比赛,共1盘比赛．所以,打球盘数最多的运动是126号,打了5盘．评注:两个数和的余数,同余与余数的和；两个数差的余数,同余与余数的差；两个数积的余数,同余与余数的积.2?2?2?...?2?1的个位数字是多少?.自然数267个22?2?2?...?2的个数数字,再减去1 【分析与解】我们先计算即为所求.(特别的如果是O,那么67个2减去1后的个位数字因为借位为9)将一个数除以10,所得的余数即是这个数的个位数字.而积的余数,同余余数的积．有2除以10的余数为2,2×2除以10的余数为4,2×2×2除以10的余数为8,2×2×2×2除以i0的余数为6；2,2?2?...?22?2?...?2除以的余数为除以××2×2× 222i0104,10除以的余数为的余数为6个27个21 / 62?2?...?2除以10的余数为6；………… 8,8个2也就是说,n个2相乘所得的积除以10的余数每4个数一循环．2?2?2...?2以10的余数同余与2×2×2,即除余数为8,67÷4=16……3 因为，所以所以67个22?2?2...?2?110的余数为7．除以67个22?2?2...?2?1的个位数字为即7．67个2评注：n个相同的任意整数相乘所得积除以10的余数每4个数一循环．7?7?...?7计算结果的末两位数字是多少?3.算式7+7×7+…+1990个77?7?...?7的和除以100【分析与解】我们只用算出7+7×7+…+7的余数,即为其末两位数字．1990个77除以100的余数为7,7×7除以100的余数为49,7×7×7除以100的余数为43,7 ×7 ×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1；7?7?...?77?7?...?7?7的余数,即为7,而除以100的余数等于……5个74个77?7?...?7除以100所得的余数,4个数一循环这样我们就得到一个规律,依次为7,49,43,1．n个7?7?7?...?7的和除以100 1990÷4=497……2,所以7+7×7+…+7×7×…的余数同余．1990个7 497×(7+49+43+1)+7+49=49756,除以100余56．7?7?...?7计算结果的末两位数字是所以算式7+7×7+ (56)1990个74.1990…1990除以9的余数是多少?【分析与解】能被9整除的数的特征是其数字和能被9整除,如果这个数的数字和除以9余a,那么再减去a而得到的新数一定能被9整除,因而这个新数加上a后再除以9,所得的余数一定为a,即一个数除以9的余数等于其数字和除以9的余数．1990...1990的数字和为20×(1+9+9+0)＝380，380的数字和又是3+8=11,11除以9的余数为2,所以20个19901990...1990除以9的余数是2．20个19905.将1,2,3，…,30从左往右依次排列成一个51位数,这个数被11除的余数是多少?【分析与解】 1,2,3,...,30这30个数从左往右依次排列成一个51位数为：123456...910 (15)...19202l...25 (2930)记个位为第l位,十位为第2位,那么：2 / 6它的奇数位数字和为:0+9+8+7+6+…+l+9+8+7+6+…+1+9+7+5+3+l=115：2?2?2?...?21?1?1?...?1+8+6+4+2=53 它的偶数位数字和为:3++；10个10个它的奇数位数字和与偶数位数字和的差为115—53：62．而62除以1l的余数为7．所以将原来的那个51位数增大4所得到的数123456…910…15…192021…25…2934就是1l 倍数,则将123456…910…15…192021…25…2934减去4所得到数除以11的余数为7．即这个51位数除以11的余数是7．评注:如果记个位为第1位,十位为第2位,那么一个数除以11的余数为其奇数位数字和A减去偶数位数字和B的差A-B=C,再用C除以1l所得的余数即是原来那个数的余数.(如果减不开可将偶数位数字和B减去奇数位数字和A,求得B-A=C,再求出C除以1l的余数D,然后将11-D即为原来那个数除以11的余数)．如:123456的奇数位数字和为6+4+2=12,偶数位数字和为5+3+1=9,奇数位数字和与偶数位数字和的差为12-9=3,所以123456除以11的余数为3．又如:654321的奇数位数字和为1+3+5=9,偶数位数字和为2+4+6=12,奇数位数字和减不开偶数位数字和,那么先将12-9=3,显然3除以11的余数为3,然后再用11-3=8,这个8即为654321除以11的余数．6.一个1994位的整数,各个数位上的数字都是3.它除以13,商的第200位（从左往右数)数字是多少?商的个位数字是多少?余数是多少?333...3，而整除13的数的特征是将其后三位与前面的数隔开而得到两个【分析与解】这个数即为1994个3新数，将这两个新数做差，这个差为13的倍数．33＝333...333333...333?33333333333...3＝ 1994÷6=332……2，即显然有能够被13整除,而2个3332?66个3个36个31994个3332?333...33300333...3除以13的余数即为33除以13的余数为7 而．是13的倍数，所以332?6个31994个3333333?13333...33?13?25641025641333...3325641?除以13,而所得的商每有所以6个,6个312个3k个3数一循环,从左往右依次为2、5、6、4、1、0．333...3333...3除以13的个位即为335．除以, 200÷6=33……2所以除以13所得商的第200位为1994个31994个3的个位，为2．即商的第200位(从左往右数)数字是5,商的个位数字是2,余数是7．199119911991...1991.问:a除以13的余数是几7.己知：a=?1991个1991【分析与解】因为199119911991能被13整除,而1991÷3=663……2．3 / 6有00...000...0199119911991...1991+199119911991+199119911991×1=199119911991×1×a=0个7964－127964－12个019911991个00...000...000...0+19911991+…+199119911991×1 +199119911991×17964-36个07964-48个02 4个0所以a除以13的余数等于19911991除以13的余数8．8.有一个数,除以3余数是2,除以4余数是1.问这个数除以12余数是几?【分析与解】我们将这个数加上7,则这个数能被3整除,同时也能被4整除,显然能被12整除,所以原来这个数除以12的余数为12-7=5．9.某个自然数被247除余63,被248除也余63.那么这个自然数被26除余数是多少?【分析与解】我们将这个数减去63,则得到的新数能被247整除,也能被248整除,而相邻的两个整数互质,所以得到的新数能被247×248整除,显然能被26整除．于是将新数加上63除以26的余数等于63除以26的余数为11．所以这个自然数被26除余数是11．10.一个自然数除以19余9,除以23余7.那么这个自然数最小是多少?【分析与解】这个自然数可以表达为19m+9,也可以表达为23n+7,则有19m+9=23n+7，即23n-19m=2，将未知数系数与常数对19取模,有4n≡2(mod 19)．n最小取10时,才有4n≡2(mod 19).所以原来的那个自然数最小为23×lO+7=237．评注：有时往往需要利用不定方程来清晰的表示余数关系,反过来不定方程往往需要利用余数的性质来求解．11.如图15-l,在一个圆圈上有几十个孔(少于100个).小明像玩跳棋那样从A孔出发沿着逆时针方向，4 / 6每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔.他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔.最后他每隔6孔跳一步,正好回到4孔.问这个圆圈上共有多少个孔?【分析与解】设这个圆圈有n个孔,那么有n除以3余1,n除以5余1.n能被7整除．则将n-1是3、5的倍数,即是15的倍数,所以n=15t+1,又因为凡是7的倍数,即15t+1=7A,将系数与常数对7取模,有t+1≡0(mod7),所以t取6或6与7的倍数和.对应孔数为15×6+l=91或91与105的倍数和，满足题意的孔数只有91．即这个圆圈上共有91个孔．12.某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1,2,3，…,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数,并且每家的电话号码都能被这家的门牌号码整除.已知这些电话的首位数字都小于6,并且门牌号码是9的这一家的电话号码也能被13整除,问这一家的电话号码是什么数? 【分析与解】设这12个连续的自然数为n+1,n+2,n+3,…,n+12,那么有它们依次能被1,2,3,…,12整除,显然有凡能同时被1,2,3,…,12整除.即n为1,2,3,…,12的公倍数．…,12]=2×3×5×7×11=27720,所以n是27720的倍数,设为27720k.则有第9家的门32[1,2,3,牌号码为27720k+9为13的倍数,即27720k+9=13A.将系数与常数对13取模有:4k+9≡0(mod 13),所以后可以取l或1与13的倍的和.有要求n+1,n+2,n+3,…,n+12,为六位数,且首位数字都小于6,所以k只能取14,有7n=27720×14=388080．那么门牌号码是9的这一家的电话号码是388080+9=388089．13.有5000多根牙签,可按6种规格分成小包.如果10根一包,那么最后还剩9根.如果9根一包,那么最后还剩8根.第三、四、五、六种的规格是,分别以8,7,6,5根为一包,那么最后也分别剩7,6,5,4根.原来一共有牙签多少根?【分析与解】设这包牙签有n根,那么加上1根后为n+1根此时有n+1根牙签即可以分成10根一包，又可以分成9根一包,还可以分成8、7、6、5根一包.所以,n+1是10、9、8、7、6、5的倍数,即它们的公倍数．×3×5×7=2520,即n+1是2520的倍数,在满足题下只能是2520×2=5040, 32 [10,9,8,7,6,51=2所以n=5039．即原来一共有牙签5039根．5 / 614.有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少?【分析与解】设这个除数为M,设它除63,90,130所得的余数依次为a,b,c,商依次为A,B,C．63÷M=A……a 90÷M=B……b 130÷M=C……ca+b+c=25,则(63+90+130)-(a+b+c)=(A+B+C)×M,即283-25=258=(A+B+C)×M．所以M是258的约数.258=2×3×43,显然当除数M为2、3、6时,3个余数的和最大为3×(2-1)=3，3×(3-1)=6,3×(6-1)=15,所以均不满足．而当除数M为43×2,43×3,43×2×3时,它除63的余数均是63,所以也不满足．那么除数M只能是43,它除63,90,130的余数依次为20,4,1,余数的和为25,满足．显然这3个余数中最大的为20．15.一个数去除551,745,1133,1327这4个数,余数都相同.问这个数最大可能是多少?【分析与解】这个数A除55l,745,1133,1327,所得的余数相同,所以有551,745,1133,1327两两做差而得到的数一定是除数A的倍数．1327-1133=194,1133-745=388,745-551=194,1327-745=582,1327-551=776,1133-551=582．这些数都是A的倍数,所以A是它们的公约数,而它们的最大公约数(194，388，194，582，776，582)=194．所以,这个数最大可能为194．6 / 6。
五年级奥数测试卷-余数问题-答案
A1．哪些自然数除以6所得的商与余数相同？2．310被一个数两位数除，余数是37，这个两位数是多少？3．求12345678×56789的积除以9的余数。
4．有一个自然数，用它分别去除63、90、130都有余数，三个余数的和为25，这三个余数中最小的一个是几？5．有一个整数，除300，262，205，得到相同的余数（且余数都不为0）。
这个整数是多少？6．从1、2、3、……、49、50。
这五十个数中，取出若干个数使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？7．已知A=199119911991………1991，问A除以13的余数是几？1991个1991 8．将自然数从1到2005连续写成一个多位数1234……20042005，这个多位数除以3的余数是多少？9．有5个不同的自然数（0除外），它们当中任意3个数的和是3的倍数，任意4个数的和是4的倍数，为了使这5个数的和尽可能小，这5个数分别是多少？10．一个十几岁的男孩，把自己的岁数写有父亲的岁数之后，组成一个四位数，从这个四位数中减去他们两个人岁数之差和4289。
男孩几岁？B1．71427和19的积被7除，余数是几？2．某数用3除余1，用5除余3，用7除余5，此数最小为多少？3．一个四位数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4……被10除余9，求出这样的四位数。
12．有一个整数，用它去除63、91、129，所得的3个余数的和是25，这个整数是多少？4．32005的末两位数是多少? 5．888888……88÷26的余数是多少？2001个86．某数除1186余1，除2609余2，除4263少3，这个数最大是多少？7．一个数除以11所得的余数是3，如果把这个数增加11后，除以13所得的商不变，且余数为0，这个数是多少？8．n=191919……1919，n被9除所得的商的个位数是多少？1919个19199．能被5除尽，被715除余10，被247除余140，被391除余245，被187除余109的最小整数是多少？10．将自然数N写在任意一个自然数的右面（例如：将2写在35的后面得352），如果得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数。
五年级奥数——尾数和余数
尾数和余数例1写出除213后余3的全部两位数。
1、写出除109后余4的全部两位数。
2、178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？3、写出除1290后余3的全部三位数。
例2 125×125×125×……×125（100个125相乘）积的尾数是几？9×9×9×……×9（51个9相乘）积的个位数是几？23×23×23×……23（2000个23相乘）×18×18×18×……×18（2001个18）的个位数字是几？1、（21×26）×（21×26）×……×（21×26）（1000个）积的尾数是几？2、4×4×4×……×4（50个4相乘）积的个位数是几？3、0.7×0.7×0.7×……×0.7（2002个0.7）×0.6×0.6×0.6×……×0.6（2002个0.6）积的尾数是多少？例3 444……4（100个4）÷6，当商是整数时，余数是几？1、555……55（2001个5）÷13，当商是整数时，余数是几？2当商是整数时，余数各是几？（1）666……6（50个6）÷4 （2）888……8（80个8）÷7（3）444……4（1000个4）÷74 （4）111……1（1000个1）÷54、把1/7化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？例3 有一列数，前两个数是3与4，从第3个数开始，每一个数都是前面两个数的和。
这一列数中第2001个数除以4，余数是多少？1、有一串数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10.从第三个数七，每个数恰好是前面两个数的和。
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3、确定循环类结果的数字或余数
4、采用试除法解决余数问题
1、当需要求解有规律的一组数字的尾数（个位数字时），找到循环周期是关键，最后用要求解的数除以周期，根据余数得到个位数字的顺序，最终得到答案。
2、两个数分别除以同一个数，得到2个不同的余数，则这两个数和、差、积的余数就是这2个余数的和、差、积与这个除数作商的余数。
考点一：分解被除数写出符合条件的除数
例1、写出除213后余3的全部两位数。
例2、写出除1290后余3的全部三位数。
考点二：确定一个乘积结果的尾数
例1、125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？
例2、4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？
考点三：确定循环类结果的数字或余数
6、一列数1,2,4,7,11,16,22,29，……。这列数的规律是第二个数比第一个数多1；第三个数比第二个数多2，第四个数比第三个数多3。依次类推，这列数左起第1992个数被5除余数是几？
7、已知，甲数除以9余7，乙数除以9余5，甲数比乙数大。
（1）甲、乙两数的和除以9余数是几？
（2）甲、乙两数的差除以9余数是几？
例1、把 化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？
例2、有一串数：5、8、13、21、34、55、89பைடு நூலகம்…，其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这串数中，第1000个数被3除后所得的余数是多少？
考点四：采用试除法解决余数问题
例1、555…55[2001个5]÷13，当商是整数时，余数是几？
课后反击
1、写出除109后余4的全部两位数
2、1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？
3、（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？
4、把 化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。
5、888…8÷7[200个8]当商是整数时，余数是几？
（3）甲、乙两数的积除以9余数是几？
8、1×2×……×100+1×2×……×99+……+1×2×3+1×2+1的个位数字是几？
1、【2015•希望杯初赛】9个13相乘，积的个位数字是
2、【2015•希望杯初赛】如果自然数ɑ、b、c除以14都余5，则ɑ+ b+c除以14，得到的余数是
3、【2016鹏程杯】设ɑ=1+21+22+23+24+……+2999+21000，则ɑ被3除的余数是
本节课我学到
我需要努力的地方是
解决这类问题通常需要先观察数据规律发现特征后再选择合适的方法进行解答：
1.根据题目中各数的特点，找出规律，确定周期，根据周期再求问题；
2.循环小数的问题，要通过计算得出商，发现循环节是由哪几个数字组成的，有几位，周期就是几；
3.求一串数除以某数得到的余数，可通过试除，还余多少，就把余下的数除以某数，就直接求出余数了。
一、基本概念
1.自然数末位的数字称为自然数的尾数。
377896的尾数是6,573450的尾数是0.
2.除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
35÷6=5……5,余数是5；18881÷3=6293……2,余数是2.
尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
二、方法技巧
学科教师辅导讲义
学员编号：
年级：五年级
课时数：3
学员姓名：
辅导科目：奥数
学科教师：
授课主题
第08讲——尾数与余数
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
1了解尾数、余数概念；
2掌握一般规律类、周期类、循环类不同情况下尾数或余数的求解方法；
3培养学生观察发现、总结归纳的学习能力。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
4、【2016•华罗庚金杯小学高年级组决赛题C】n为正整数，形式为2n-1的质数称为梅森数，例如：22-1=3，
23-1=7是梅森数。最近，美国学者刷新了最大的梅森数，n=74207281，这个梅森数也是目前已知的最大的质数，它的个位数字是
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、分解被除数写出符合条件的除数
4、 写成循环小数后，小数点后第50个数字是几？
5、666…6÷4[100个6]当商是整数时，余数是几？
6、94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差的个位是多少？
7、有一串数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这一串数中，第1991个数被3除，所得的余数是几？
例2、444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是几？
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击
1、178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？
2、（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？
3、9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？