【新教材】新人教A版必修一 分段函数常见题型解法 教案
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【知识要点】
分段函数问题是高中数学中常见的题型之一,也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域(最值)、单调性和零点等问题.
1、 求分段函数的解析式,一般一段一段地求,最后综合。即先分后总。注意分段函数的书写格式为:
11
2
2()()()()
n n n f x x D f x x D f x x D f x x D ∈⎧⎪∈⎪=⎨
∈⎪⎪∈⎩,不要写成11
22
()()()()n n n
y f x x D y f x x D f x x D y f x x D =∈⎧⎪=∈⎪=⎨∈⎪
⎪=∈⎩.注意分段函数的每一段的自变量的取值范
围的交集为空集,并集为函数的定义域D 。一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面.
2、分段函数求值,先要看自变量在哪一段,再代入那一段的解析式计算。如果不能确定在哪一段,就要分类讨论.注意小分类要求交,大综合要求并.
3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似,注意小分类要求交,大综合要求并.
4、分段函数的奇偶性的判断,方法一:定义法。方法二:数形结合。
5、分段函数的值域(最值),方法一:先求每一段的最大(小)值,再把每一段的最大(小)值比较,即得到函数的最大(小)值. 方法二:数形结合。
6、分段函数的单调性的判断,方法一:数形结合,方法二:先求每一段的单调性,再写出整个函数的单调性。
7、分段函数的零点问题,方法一:解方程,方法二:图像法,方法三:方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的。
虽然分段函数是一种特殊的函数,在处理这些问题时,方法其实和一般的函数大体是一致的. 【方法讲评】
题型一 分段函数的解析式问题
解题方法 一般一段一段地求,最后综合.即先分后总。
【例1】已知函数)(x f 对实数R x ∈满足)1()1(,0)()(+=-=-+x f x f x f x f ,若当[)1,0∈x 时,
21)2
3
(),1,0()(-=≠>+=f a a b a x f x 。
(1)求[]1,1-∈x 时,)(x f 的解析式;(2)求方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数。
(2))()2()1()1(,0)()(x f x f x f x f x f x f =+∴+=-=-+ )(x f ∴是奇函数,且以2为周期。方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数也就是函数x y x f y 4log )(==和的交点的个数.在同一直角坐标系中作出这俩个函数的图像,由图像得交点个数为2,所以方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数为2.
【点评】(1)本题的第一问,根据题意要把[1,1]-分成三个部分,即(1,0),1,(0,1)x x x ∈-=±∈,再一段一段地求。 在求函数的解析式时,要充分利用函数的奇偶性、对称性等. (2)本题第2问解的个数,一般利用数形结合解答.
【检测1】已知定义在R 上的函数()()2
2f x x =-.
(Ⅰ)若不等式()()223f x t f x +-<+对一切[]0,2x ∈恒成立,求实数t 的取值范围; (Ⅱ)设()()g x x f x =,求函数()g x 在[]0,(0)m m >上的最大值()m ϕ的表达式.
题型二分段函数的求值
解题方法
先要看自变量在哪一段,再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段,就要分
类讨论。注意小分类要求交,大综合要求并. 学。科.网
【例2】已知函数()
()
2
2
log3,2
{
21,2
x
x x
f x
x
-
--<
=
-≥
,若()
21
f a
-= ,则()
f a=()
A. 2-B。0 C. 2 D. 9
【解析】当22
a
-<即0
a>时,()
()
2
11
log3211,
22
a a a
---=⇒+==-(舍);
当22
a
-≥即0
a≤时,()
22
2
2111log42
a a f a
---=⇒=-⇒=-=-,故选A。
【点评】(1)要计算(2)
f a
-的值,就要看自变量2a
-在分段函数的哪一段,但是由于无法确定,所以要就2222
a a
-<-≥
和分类讨论。(2)分类讨论时,注意数学逻辑,小分类要求交,大综合要求并.当0
a>时,解得
1
2
a=-,要舍去。
【例3】【2017山东,文9】设()()
,01
21,1
x x
f x
x x
⎧<<
⎪
=⎨
-≥
⎪⎩
,若()()1
f a f a
=+,则
1
f
a
⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
( )
A. 2 B。 4 C。 6 D。8
【点评】(1)要化简()()1
f a f a
=+,必须要讨论a的范围,要分1
a≥和01
a
<<讨论.当1
a≥时,可以解方程2(1)2(11)
a a
-=+-,得方程没有解。也可以直接由2(1)
y x
=-单调性得到()()1
f a f a
≠+.
【检测2】已知函数
210
()
x x
f x
x x
-
⎧-≤
⎪
=
>
,若0
[()]1
f f x=,则
x=.