【新教材】新人教A版必修一 分段函数常见题型解法 教案

【知识要点】

分段函数问题是高中数学中常见的题型之一,也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值)、单调性和零点等问题.

1、 求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合。即先分后总。注意分段函数的书写格式为：

11

2

2()()()()

n n n f x x D f x x D f x x D f x x D ∈⎧⎪∈⎪=⎨

∈⎪⎪∈⎩，不要写成11

22

()()()()n n n

y f x x D y f x x D f x x D y f x x D =∈⎧⎪=∈⎪=⎨∈⎪

⎪=∈⎩.注意分段函数的每一段的自变量的取值范

围的交集为空集，并集为函数的定义域D 。一般左边的区域写在上面，右边的区域写在下面.

2、分段函数求值,先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算。如果不能确定在哪一段,就要分类讨论.注意小分类要求交,大综合要求并.

3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交,大综合要求并.

4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法。方法二:数形结合。

5、分段函数的值域（最值），方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小)值比较，即得到函数的最大(小）值. 方法二:数形结合。

6、分段函数的单调性的判断，方法一:数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性。

7、分段函数的零点问题，方法一：解方程,方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的。

虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的. 【方法讲评】

题型一 分段函数的解析式问题

解题方法 一般一段一段地求，最后综合.即先分后总。

【例1】已知函数)(x f 对实数R x ∈满足)1()1(,0)()(+=-=-+x f x f x f x f ，若当[)1,0∈x 时，

21)2

3

(),1,0()(-=≠>+=f a a b a x f x 。

（1）求[]1,1-∈x 时，)(x f 的解析式；（2）求方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数。

（2）)()2()1()1(,0)()(x f x f x f x f x f x f =+∴+=-=-+ )(x f ∴是奇函数,且以2为周期。方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数也就是函数x y x f y 4log )(==和的交点的个数.在同一直角坐标系中作出这俩个函数的图像，由图像得交点个数为2,所以方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数为2.

【点评】(1）本题的第一问，根据题意要把[1,1]-分成三个部分,即(1,0),1,(0,1)x x x ∈-=±∈，再一段一段地求。 在求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性、对称性等. （2)本题第2问解的个数，一般利用数形结合解答.

【检测1】已知定义在R 上的函数()()2

2f x x =-.

(Ⅰ)若不等式()()223f x t f x +-<+对一切[]0,2x ∈恒成立,求实数t 的取值范围； （Ⅱ）设()()g x x f x =,求函数()g x 在[]0,(0)m m >上的最大值()m ϕ的表达式．

题型二分段函数的求值

解题方法

先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分

类讨论。注意小分类要求交，大综合要求并. 学。科.网

【例2】已知函数()

()

2

2

log3,2

{

21,2

x

x x

f x

x

-

--<

=

-≥

，若()

21

f a

-= ,则()

f a=（）

A. 2-B。0 C. 2 D. 9

【解析】当22

a

-<即0

a>时，()

()

2

11

log3211,

22

a a a

---=⇒+==-（舍）；

当22

a

-≥即0

a≤时，()

22

2

2111log42

a a f a

---=⇒=-⇒=-=-，故选A。

【点评】(1）要计算(2)

f a

-的值，就要看自变量2a

-在分段函数的哪一段，但是由于无法确定,所以要就2222

a a

-<-≥

和分类讨论。(2）分类讨论时，注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.当0

a>时，解得

1

2

a=-，要舍去。

【例3】【2017山东，文9】设()()

,01

21,1

x x

f x

x x

⎧<<

⎪

=⎨

-≥

⎪⎩

，若()()1

f a f a

=+，则

1

f

a

⎛⎫

=

⎪

⎝⎭

( ）

A. 2 B。 4 C。 6 D。8

【点评】(1）要化简()()1

f a f a

=+，必须要讨论a的范围，要分1

a≥和01

a

<<讨论.当1

a≥时,可以解方程2(1)2(11)

a a

-=+-,得方程没有解。也可以直接由2(1)

y x

=-单调性得到()()1

f a f a

≠+.

【检测2】已知函数

210

()

x x

f x

x x

-

⎧-≤

⎪

=

>

,若0

[()]1

f f x=，则

x=．