【新教材】新人教A版必修一 分段函数常见题型解法 教案

【知识要点】分段函数问题是高中数学中常见的题型之一,也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值)、单调性和零点等问题.1、 求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合。

即先分后总。

注意分段函数的书写格式为：1122()()()()n n n f x x D f x x D f x x D f x x D ∈⎧⎪∈⎪=⎨∈⎪⎪∈⎩，不要写成1122()()()()n n ny f x x D y f x x D f x x D y f x x D =∈⎧⎪=∈⎪=⎨∈⎪⎪=∈⎩.注意分段函数的每一段的自变量的取值范围的交集为空集，并集为函数的定义域D 。

一般左边的区域写在上面，右边的区域写在下面.2、分段函数求值,先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算。

如果不能确定在哪一段,就要分类讨论.注意小分类要求交,大综合要求并.3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交,大综合要求并.4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法。

方法二:数形结合。

5、分段函数的值域（最值），方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小)值比较，即得到函数的最大(小）值. 方法二:数形结合。

6、分段函数的单调性的判断，方法一:数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性。

7、分段函数的零点问题，方法一：解方程,方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的。

虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的. 【方法讲评】题型一 分段函数的解析式问题解题方法 一般一段一段地求，最后综合.即先分后总。

【例1】已知函数)(x f 对实数R x ∈满足)1()1(,0)()(+=-=-+x f x f x f x f ，若当[)1,0∈x 时，21)23(),1,0()(-=≠>+=f a a b a x f x 。

（1）求[]1,1-∈x 时，)(x f 的解析式；（2）求方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数。

（2）)()2()1()1(,0)()(x f x f x f x f x f x f =+∴+=-=-+ )(x f ∴是奇函数,且以2为周期。

方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数也就是函数x y x f y 4log )(==和的交点的个数.在同一直角坐标系中作出这俩个函数的图像，由图像得交点个数为2,所以方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数为2.【点评】(1）本题的第一问，根据题意要把[1,1]-分成三个部分,即(1,0),1,(0,1)x x x ∈-=±∈，再一段一段地求。

在求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性、对称性等. （2)本题第2问解的个数，一般利用数形结合解答.【检测1】已知定义在R 上的函数()()22f x x =-.(Ⅰ)若不等式()()223f x t f x +-<+对一切[]0,2x ∈恒成立,求实数t 的取值范围； （Ⅱ）设()()g x x f x =,求函数()g x 在[]0,(0)m m >上的最大值()m ϕ的表达式．题型二分段函数的求值解题方法先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论。

注意小分类要求交，大综合要求并. 学。

科.网【例2】已知函数()()22log3,2{21,2xx xf xx---<=-≥，若()21f a-= ,则()f a=（）A. 2-B。

0 C. 2 D. 9【解析】当22a-<即0a>时，()()211log3211,22a a a---=⇒+==-（舍）；当22a-≥即0a≤时，()2222111log42a a f a---=⇒=-⇒=-=-，故选A。

【点评】(1）要计算(2)f a-的值，就要看自变量2a-在分段函数的哪一段，但是由于无法确定,所以要就2222a a-<-≥和分类讨论。

(2）分类讨论时，注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.当0a>时，解得12a=-，要舍去。

【例3】【2017山东，文9】设()(),0121,1x xf xx x⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()()1f a f a=+，则1fa⎛⎫=⎪⎝⎭( ）A. 2 B。

4 C。

6 D。

8【点评】(1）要化简()()1f a f a=+，必须要讨论a的范围，要分1a≥和01a<<讨论.当1a≥时,可以解方程2(1)2(11)a a-=+-,得方程没有解。

也可以直接由2(1)y x=-单调性得到()()1f a f a≠+.【检测2】已知函数210()x xf xx x-⎧-≤⎪=>,若0[()]1f f x=，则x=．题型三 分段函数解不等式解题方法先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算。

如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交,大综合要求并.【例3】已知函数则的解集为（ ）A 。

B 。

C.D.【点评】（1）本题中()f x 的自变量x 不确定它在函数的哪一段，所以要分类讨论. (2)当20x -<<时,计算()f x -要注意确定x -的范围,02x <-<,所以求()f x -要代入第一段的解析式.数学思维一定要注意逻辑和严谨. (3)分类讨论时，一定要注意数学逻辑,小分类要求交，大综合要求并.【检测3】已知函数()()()22log 2,02,{2,20,x x f x f x x --+≤<=---<<则()2f x ≤的解集为__________．【检测4】【2017课标3,理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.【例4】判断函数⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f 的奇偶性 【解析】由题得函数的定义域关于原点对称。

设0,x <2()f x x x =+,则0x ->，222()()()()f x x x x x x x f x -=---=--=-+=- 设0,x >2()f x x x =-+则0x -<，222()()()()f x x x x x x x f x -=--=-=--+=- 所以函数()f x 是奇函数。

【点评】（1）对于分段函数奇偶性的判断,也是要先看函数的定义域,再考虑定义，由于它是分段函数,所以要分类讨论. （2）注意,当0x <时，求()f x -要代入下面的解析式，因为0x ->,不是还代入上面一段的解析式.【检测5】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时22)(+=x xx f 。

(1)求()f x 的解析式;（2）判断()f x 的单调性（不必证明）；（3） 若对任意的t R ∈，不等式0)2()3(22≤++-t t f t k f 恒成立，求k 的取值范围。

【例5】若函数62()3log 2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩(01)a a >≠且的值域是[4,)+∞,则实数a 的取值范围是.【点评】（1）分段函数求最值（值域），方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大(小）值。

方法二：数形结合。

（2）本题既可以用方法一，也可以利用数形结合分析解答. （3)对于对数函数log a y x =，如果没有说明a 与1的大小关系，一般要分类讨论.【检测6】设()()2,014,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨+++⎪⎩，＞若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为( ） A. []2,3- B. []2,0- C 。

[]1,3 D. []0,3【检测7】已知函数()()222log 23,1{1,1x ax a x f x x x -+≥=-<的值域为R ,则常数a 的取值范围是（ )A 。

][()1123-，，B. ][()12-∞+∞，，C. ()[)1123-，， D 。

(,0]-∞{}[)123，题型六分段函数单调性解题方法 方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性.【例6】若()()3,1{log ,1a a x a x f x x x --<=> 是(),-∞+∞上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）。

A. ()1,+∞ B 。

3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. (),3-∞D. ()1,3【点评】（1）函数是一个分段函数是增函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是增函数;条件二：左边一段的最大值必须小于等于右边一段的最小值. 函数是一个分段函数是减函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是减函数；条件二：左边一段的最小值必须大于等于右边一段的最大值。

(3）一个分段函数是增函数，不能理解为只需每一段是增函数。

这是一个必要不充分条件。

【检测8】已知函数()[)()232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数，则常数a 的取值范围是 ( )A ．()1,2B ．(][),12,-∞+∞C ．[]1,2D ．()(),12,-∞+∞题型七分段函数零点问题解题方法方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的.【例7】已知函数()21,0,{log ,0,x x f x x x +≤=>则函数()()1y ff x =+的所有零点构成的集合为__________．【点评】（1）分段函数的零点问题,一般有三种方法，方法一:解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法。

和一般函数的零点问题的处理方法是一样的。

（2)本题由于函数()()1y f f x =+的图像不方便作出，所以选择解方程的方法解答. （3）在函数()()1y f f x =+中,由于没有确定x 的取值范围,所以要分类讨论。

【例8】已知函数()()22,191,1x x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩，若函数()()g x f x k =-仅有一个零点，则k 的取值范围是________.【解析】函数()()22,1{91,1x xf x x x x >=-≤，若函数()()g x f x k =-仅有一个零点,即()f x k =,只有一个解，在平面直角坐标系中画出，()y f x =的图象,结合函数图象可知，方程只有一个解时，()4,0,23k ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，故答案为()4,0,23⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【点评】（1）直接画()()g x f x k =-的图像比较困难，所以可以利用方程+图像的方法。