2017年高考模拟试卷(6)

开始结束输出S n ←1, S ←0S < 100 n ←n + 1S ←S + 2n NY (第5题)2017年高考模拟试卷(6)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1. 设集合A = {1，x }，B = {2，3，4}，若A ∩B ={4}，则 x = ▲ .2. 若复数z 1＝2+i ，z 1·－z 2＝5，则z 2＝ ▲ .3. 从数6，7，8，9，10，11六个数中，任取两个不同的数， 则两个数互质的概率是 ▲ .4．已知一组数据x 1，x 2，…，x 100的方差是2，则数据 3x 1，3x 2，…，3x 100 的标准差为 ▲ .5．执行右边的程序框图，则输出的S 的值为 ▲ .6．设正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是单位正方形，其表面积14，则AA 1＝ ▲ . 7．不等式组⎩⎨⎧y ≤x +2y ≥x0≤y ≤4x ≥0表示的平面区域的面积为S ，则S 的值为 ▲ ．8．函数y ＝sin(ωx ＋π4)(ω＞0)的图象在［0,1］上恰有三个最高点，则ω的取值范围是 ▲ .9．若两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且(a ＋2b )⊥(a －2b )，则向量a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值是 ▲ .10．已知函数f (x )＝e x -1－tx ，∃x 0∈R ，f (x 0)≤0，则实数t 的取值范围 ▲ ．11．已知数列{a n }是一个等差数列，首项a 1＞0，公差d ≠0，且a 2、a 5、a 9依次成比数列，则 使a 1＋a 2＋…＋a n ＞100a 1的最小正整数k 的值是 ▲ .12．抛物线y 2＝2px (p ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有一个相同的焦点F 2(2，0)，而双曲线的另一个焦点F 1，抛物线和双曲线交于点B 、C ，若△BCF 1是直角三角形，则双曲线的离心率是 ▲ ．13．△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2cos A ＝b 3cos B ＝c 6cos C，则cos A cos B cos C ＝ ▲ ．14．已知函数f (x )＝2x 3+7x 2+6x x 2+4x ＋3，x ∈［0,4］，则f (x )最大值是 ▲ ．第 2页，共 13页AA 1B 1 CD 1 B C 1D MO 1二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）已知α∈(0，π)，且sin(α＋π3)＝6－24．(1)求sin(α－π4)的值；(2)求cos(2α－π3)的值．16．（本小题满分14分）如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，M 是AB的中点，O 1是A 1C 1与B 1D 1的交点． (1)求证：O 1M ∥平面BB 1C 1C ；(2)若平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，求证：四边形BB 1D 1D 是矩形．17.（本小题满分14分）如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有3(N)、2(N)的重物．现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为m (N)的重物，恰好使系统处于平衡状态． (1)若∠AOB ＝120°，求m 的值； (2)求m 的取值范围．ABO 3Nm (N)2N18. 椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 、B ，F 为椭圆C 的右焦点，在椭圆C 上任取异于A 、B 的点P ，直线P A 、PB 分别与直线x =3交于点M ，N ，直线MB 与椭圆C 交于点Q ． (1)求FM →·FN →的值；(2)证明：A 、Q 、N 三点共线．19.（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足123n n a a n ++=-，n *∈N ．（1）若数列{}n a 为等差数列，求1a ；（2）设1(0)a a a =>，2n n *∀∈N ≥，，不等式22113n n n n a a a a ++++≥成立，求实数a 的最小值．20.（本小题满分16分）已知二次函数f (x )=ax 2+bx +1，g (x )=a 2x 2+bx +1．(1)若f (x )≥g (x )对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )有两个不同零点x 1，x 2；函数g (x )有两个不同零点x 3，x 4． (i)若x 3＜x 1＜x 4，试比较x 2，x 3，x 4的大小关系； (ii)若x 1=x 3＜x 2，m 、n 、p ∈1(,)x -∞，()()()()()()f m f n f pg n g p g m '''==，求证m =n =p ．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，D 是弧AC 的中点，DE ⊥AB 于E ，AC 与DE 交于M ，求证：AM ＝DM ．A EBCD M第 4页，共 13页B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知二阶矩阵M 属于特征值3的一个特征向量为a ＝⎣⎡⎦⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点（－1，2）变成点（9，15），求出矩阵M.．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是2222x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）.若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值.D ．（选修４－５：不等式选讲）设函数()|1||1|f x x x =-++，若不等式|||2|||()a b a b a f x +--≤⋅对任意,a b R ∈且0a ≠恒成立，求实数x 的范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分) 如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝45°，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点． （1）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （2）求平面OAB 与平面OCD 所成锐二面角的余弦值．23．设a 0＜a 1＜a 2＜…＜a n (i ∈N *，i ＝1，2，…，n )，以[b ，c ]表示正整数b ，c 的最小公倍数．求证：1[a 0，a 1]＋1[a 1，a 2]＋…＋1[a n －1，a n ]≤1－12n ．2017年高考模拟试卷(5)参考答案一、填空题M D O A B C1．{1,2,3,6}． 2．1i +． 3. 391． 4. 18． 5．29．6．充分不必要． 7．4． 8．76． 9．10．10．已知函数()sin(2)3f x x π=+（0x <π≤），且1()()3f f αβ==（βα≠），则=+βα ▲ ．10．76π．由0x <π≤，知2333x ππ7π+≤≤，因为31()()32f f αβ==<，所以()()3π222332αβππ+++=⨯， 所以76αβπ+=．11．(1，2]． f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＜0，2－x 2，0≤x ＜1，x 4－2x 2，x ≥1．作出函数f (f (x ))的图像可知，当1＜k ≤2时，函数y＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点．12．12．由2AB AC AO +=可得OB OC +=0，即BO OC =，所以圆心在BC 上，且AB AC ⊥． 注意到||||=2AB AO =，所以ππ,,4,2336B C BC AC ====，所以12CA CB ⋅=．13．212-．由()a a b c bc ++=，得1b c b c a a a a ++=⋅，设,b c x y a a==，则1x y xy ++=，1a b c x y =++，因为21()2x y x y xy +++=≤，所以222x y ++≥，所以a b c+的最大值为212-． 14．设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3（x ∈[12，1]）的图象为C ．如果任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，则a 的取值范围是 ▲ ．14．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．由任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，也即x ∈[12，1]时，曲线()y f x =上任意两点连线的斜率都小于1，所以()1f x '≤在x ∈[12，1]上恒成立．由2()31f x a ax '=-≤，即2310ax a -+≥，设()31g t at a =-+，1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，只需1()04g ≥，且(1)0g ≥，所以142a -≤≤．二、解答题第 6页，共 13页15．解：（1）由正弦定理知，b sin A ＝a sin B ＝2，①又a cos B ＝1， ②①，②两式平方相加，得(a sin B )2＋(a cos B )2＝3， 因为sin 2B ＋cos 2B ＝1， 所以a ＝3（负值已舍）；（2）由（1）中①，②两式相除，得sin B cos B＝2，即tan B ＝2，因为A －B ＝π4，所以tan A ＝tan(B ＋π4)＝tan B ＋tanπ41－tan B tanπ4 ＝1＋21－2＝－3－22．（14分）16．证：（1）方法1：取线段PD 的中点M ，连结FM 、AM .因为F 为PC 的中点，所以FM ∥CD ，且FM ＝12CD .因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以EA ∥CD ，且EA ＝12CD .所以FM ∥EA ，且FM ＝EA .所以四边形AEFM 为平行四边形．所以EF ∥AM . 又AM ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .方法2：连结CE 并延长交DA 的延长线于N ，连结PN .因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ， 所以∠BCE ＝∠ANE ，∠CBE ＝∠NAE . 又AE ＝EB ，所以△CEB ≌△NEA . 所以CE ＝NE .又F 为PC 的中点，所以EF ∥NP . 又NP ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .方法3：取CD 的中点Q ，连结FQ 、EQ . 在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE ＝DQ ，且AE ∥DQ .所以四边形AEQD 为平行四边形， 所以EQ ∥AD .又AD ⊂平面P AD ，EQ ⊄平面P AD ， 所以EQ ∥平面P AD .(2分)因为Q 、F 分别为CD 、CP 的中点， 所以FQ ∥PD .又PD ⊂平面P AD ，FQ ⊄平面P AD ，所以FQ ∥平面P AD .又FQ 、EQ ⊂平面EQF ，FQ ∩EQ ＝Q ，所以平面EQF ∥平面P AD .(5分) 因为EF ⊂平面EQF ，所以EF ∥平面P AD . (2) 设AC 、DE 相交于G .在矩形ABCD 中，因为AB ＝2BC ，E 为AB 的中点，所以DA AE ＝CDDA＝ 2.又∠DAE ＝∠CDA ，所以△DAE ∽△CDA ， 所以∠ADE ＝∠DCA .又∠ADE ＋∠CDE ＝∠ADC ＝90°， 所以∠DCA ＋∠CDE ＝90°. 由△DGC 的内角和为180°，得∠DGC ＝90°. 即DE ⊥AC .因为点P 在平面ABCD 内的正投影O 在直线AC 上，所以PO ⊥平面ABCD . 因为DE ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥DE . 因为PO ∩AC ＝O ，PO 、AC ⊂平面P AC ， 所以DE ⊥平面P AC ，又DE ⊂平面PDE ，所以平面P AC ⊥平面PDE .17．解：（1）设n *()n ∈N 年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m 2， 依题意，每年新建安置房面积是以200为首项，50为公差的等差数列， 从而n 年内所建安置房面积之和为(1)200502n n n -⎡⎤+⨯⎢⎥⎣⎦m 2，则(1)200502n n n -+⨯≥3 000，整理得，271200n n +-≥， 解得8 (15)n n -≤≥舍去.答：8年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m 2.（2）依题意，每年新建住房面积是以500为首项，1.1为公比的等比数列， 设第m 年所建安置房面积占当年新建住房面积的比为()p m ， 则1120050(1)3()500(10.1)10 1.1m m m m p m --+-+==⋅+⨯， 由()(1)p m p m =+得，13410 1.110 1.1m mm m -++=⨯⨯，解得7m =. 答：第7年和第8年，所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变. ·····14分 18．解：（1）分别过点A 、B 作直线l 的垂线，垂足为11,B A ， 由题意得11BB AA =，由点到直线距离公式得112a AA BB ==，因为圆A 以1AF 为半径，所以半径为c ，被直线l 截得的弦长为222()2a c -，第 8页，共 13页圆B 以OB 为半径，∴半径为a ，被直线l 截得的弦长为222()2a a -.因为直线l ：33y x =-被圆A 和圆B 截得的弦长之比为156，所以()222222241563324a c c a a a --==，解得a c 34=（a ＞c ＞0）. 因为c e a =，所以所求的离心率为34,（2）存在点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34，设点0(,0)P x ，由题意可得直线方程为0()y k x x =-, 直线截圆A 所得的弦长为2202|(7)|21k x c k ⎛⎫--- ⎪+⎝⎭, 直线截圆B 所得的弦长为2202|(7)|21k x a k ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭,[][]22022220220202(7)2(1)(7)134(1)(7)(7)21k x c k c k x k k a k x k x a k ⎛⎫+- ⎪+-++⎝⎭==+--⎛⎫-- ⎪+⎝⎭,化简得22222220016(7)9(7)(1)(169)k x k x k c a +--=+-（*），由（1）离心率为34，得22169c a =，即方程（*）为0)1)(49(002=++x x k ,解得10-=x 或490-=x ， 即存在2个点)0,1(-和)0,49(-；当10-=x 时，22||61||81k c kk a k ⎧<+⎪⎨<+⎪⎩，解得7157151515k -<<，当490-=x 时，22||421||561k c k k a k⎧<+⎪⎨<+⎪⎩，解得7772121k -<<,即有无数条直线；故存在2个点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34．19．解：（1）∵()()e ,0x f x x k x '=->．（i ）当0k ≤时，()0恒成立'>f x ，∴()f x 的递增区间是0+（，）∞，无递减区间；无极值． （ii ）当0>k 时，由()0'>f x 得，>x k ；由()0'<f x 得，0<<x k ；∴()f x 的递减区间是(0,)k ，递増区间是(,+)∞k ，()f x 的极小值为()e k f k =-，无极大值． （2）①由()4f x x <，可得(1)e 40x x k x ---<，因为e 0x >，所以41e x x x k --<，即41ex x k x >--对任意[1,2]x ∈恒成立， 记4()1ex xg x x =--，则4(1)e 4(1)()1e e x x x x x g x -+-'=-=， 因为[1,2]x ∈，所以()0g x '>，即()g x 在[1,2]x ∈上单调递增，故2max228e 8()(2)1e e g x g -==-=．所以实数k 的取值范围为22e 8(,)e-+∞．②由已知1212()()()f x f x x x =≠，结合（1）可知，0k >,()f x 在(,)-∞k 上单调递减，在(,+)∞k 上单调递增，又(1)0+=f k ，1<+x k 时，()0<f x ．不妨设121<<<+x k x k ，此时2x k >，12->k x k ，故要证122+<x x k ，只要证122k x x ->，只要证12(2)()f k x f x ->， 因12()()f x f x =，即证11(2)()f k x f x ->．设()(2)()h x f k x f x =--2(1)(1)()kx xx k x k x k -+-=---<e e e ， 2()e ()()e e k xxx k h x x k -'=--22()()k x x x k --=e e e ， ∴当<x k 时，()0h x '<，()h x 在(,)-∞k 上单调递减，∴(,)x k ∈-∞时，()()0k k h x h k >=-+=e e ，故当<x k 时，(2)（）->f k x f x ，即11(2)（）->f k x f x 成立，∴122+<x x k ．20．解：（1）111312A B d ===，，；222413A B d ===，，；333716A B d ===，，． …………………………………………………………………3分（2）① 当1n =时，11(1)1a a λλ-=-+，所以11a =；当2n ≥时，由21(1)33n n S a n λλ-=-++，则1121(1)(1)33n n S a n λλ---=-+-+， 两式相减得12(1)3n n n a a a λλλ--=-++，即123n n a a λ-=+， 所以11122233(1)3(1)n n n n b a a b λλλλλ---⎡⎤=++=+==⎢⎥--⎣⎦．……………………………6分因为112313(1)3(1)b a λλλ-=+=--，第 10页，共 13页所以当13λ≠时，数列{}n b 满足1n n bb λ-=（2n ≥），即数列{}n b 是以313(1)λλ--为首项，λ为公比的等比数列；当13λ=时，数列{}n b 不是等比数列． …………………………………………………8分② 由①知，当13λ≠时，13123(1)3(1)n n a λλλλ--=⋅---；当13λ=时，23(1)n a λ=--．……………………………………………………………10分又{}{}1212max min i i i i n d a a a a a a ++=-，，，，，，， {}{}112123max min i i i i n d a a a a a a ++++=-，，，，，，．由于{}{}1223min min i i n i i n a a a a a a ++++，，，≤，，，，所以由1i i d d +>可得，{}{}12121max max i i a a a a a a +<，，，，，，．所以{}1211max i i a a a a ++=，，，对任意的正整数1232i n =-，，，，恒成立，即数列{}n a 的前1n -项单调递增是题设成立的必要条件，易知13λ≠．………………12分因为1i i i d a a +=-，112i i i d a a +++=-，所以1212i i i i i d d a a a +++-=+-1231(12)3(1)i λλλλλ--=⋅+--1231(1)3(1)i λλλλ--=⋅--．当1λ>时，由1n n a a +>，得3103(1)λλ->-，解得1λ>， 此时10i i d d +-≥，不符合1i i d d +>，舍去；当01λ<<，由1n n a a +>，得3103(1)λλ-<-，解得113λ<<，此时10i i d d +-<，符合1i i d d +>．综上所述，λ的取值范围是()113，． ……………………………………………………16分第II 卷（附加题，共40分）21A ．证：因为P A 是圆O 在点A 处的切线，所以∠P AB ＝∠ACB ．因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠P AE ＝∠P AB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△P AE ∽△BDE ． …………………… 10分21B ．解：设点(x 0，y 0)为曲线|x |+|y |=1上的任意一点，在矩阵10103M ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的点为(,)x y ''，则0010103xx y y ⎛⎫'⎡⎤⎡⎤ ⎪=⎢⎥⎢⎥ ⎪' ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭，所以003x x y y ='⎧⎨='⎩ ……5分 所以曲线|x |+|y |=1在矩阵10103M ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的曲线为|x |+3|y |=1， 所围成的图形为菱形，其面积为1222233⨯⨯= .……10分21C ．解：（1）将(2,3)M 及对应的参数3πϕ=代入cos ,(0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），得2cos 33sin3a b ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以42a b =⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的普通方程为221164x y +=. ……4分 （2）曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=，将12(,),(,)2A B πρθρθ+代入得222211cos sin 1164ρθρθ+=，222222sin cos 1164ρθρθ+=，所以221211516ρρ+=. ……10分21D ．解：因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，所以(2a ＋1)＋(2b ＋2)＝5，从而(12a ＋1＋2b ＋1 )[(2a ＋1)＋(2b ＋2)]＝1＋4＋2b ＋22a ＋1＋4(2a ＋1)2b ＋2≥5＋22b ＋22a ＋1×4(2a ＋1)2b ＋2＝9． …………………… 6分 所以12a ＋1＋2b ＋1≥95．当且仅当2b ＋22a ＋1＝4(2a ＋1)2b ＋2，且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23 时，12a ＋1＋2b ＋1取得最小值95． …………………… 10分22．解：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，第 12页，共 13页所以分别以AB 、AC 、1AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C ,因为D 是BC 的中点，所以(1,2,0)D ，……………………………………………………2分 （1）因为111(0,4,0),(1,2,3)A C A D ==-，设平面11A C D 的法向量1111(,,)n x y z =，则1111100n A C n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111140230y x y z =⎧⎨+-=⎩，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以平面11A C D 的法向量1(3,0,1)n =，而1(1,2,3)DB =-， 所以111111335cos ,35n DB n DB n DB ⋅<>==⋅， 所以直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值为33535；…………………………………5分 （2）11(2,0,0)A B =，1(1,2,3)DB =-，设平面11B A D 的法向量2222(,,)n x y z =，则2112100n A B n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩，取222032x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面11B A D 的法向量2(0,3,2)n =，所以121212130cos ,65n n n n n n ⋅<>==⋅， 二面角111B A D C --的大小的余弦值13065．……………………………………………10分 23．（1）证明：0)(121)2()(31222222>-=+-++=-b a b a b ab a B A （2）证明：11,1B A n ==；,)2(,11,311nn n n n b a B b a b a n A n +=--+=≥++令,,y b a x b a =-=+且0,>y x ，于是,)2(],)()[()1(21)2()2(1111111n n n n n n n n x B y x y x y n y y x y x n A =--++=--++=+++++ 因为y x C y x C y x C y x y x nn n n n n n n 11323111112)22(])()[(+-++++≥++=--+ ，所以n n n n nn n n B x x y x C y n A ===⋅+≥++)2(22)1(21111．。