第24章圆复习总结与小结

半径的直线是该圆的切线 ； ③到圆心的距离等于半径
的直线是该圆的切线 ；④过圆直径的端点，垂直于此
直径的直线是该圆的切线．
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
4.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于 D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D. 试说明:AC是⊙D的切线.
过D点作DF⊥AC于F点，然
3.⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方
程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内部
B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外部
D．点A不在⊙O上
2.直线与圆的位置关系
r ●O ┐d
相交
r ●O
d ┐ 相切
1、直线和圆相交 2、直线和圆相切 3、直线和圆相离
第24章 圆
复习与小结
本章知识结构图
圆的基本性质
与圆有关的位置关系
圆
正多边形和圆
圆的对称性 弧、弦圆心角之间的关系
同弧上的圆周角与圆心角的关系
点和圆的位置关系
三角形的外接圆
直线和圆的位置关系 切线 三角形内切圆
圆和圆的位置关系
等分圆
有关圆的计算
弧长 扇形的面积
圆锥的侧面积和全面积
圆的基本性质
点、直线与圆 的位置关系
A.AB=2CD B.AB＜2CD C.AB＞2CD
D.不能确定
3、 如图2，⊙O中A⌒B的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么
∠BOC等于 ( )；
A．150° B．130°
C．120°
D．60°
4、在△ABC中，∠A＝70°，若O为△ABC的外心，
∠BOC=
；若O为△ABC的内心，∠BOC=
．
C
C
B
三角形外接圆的圆心 叫三角形的外心
B
C
三角形内切圆的圆心 叫三角形的内心。
实质
性质
三角形的外心
三角形三边垂直平分线的交点
到三角形各顶点 的距离相等
三角形的内心
三角形三内角角平分线的交点 到三角形各边的 距离相等
三角形的外心是否一定在三角形的内部？
A A
●O
●O ┐
B
C
B
C
A ●O
B
C
锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.
弓形是什么？有几种类型？ 同心圆、同圆、等圆和等弧
怎样的两个圆叫同心圆？ 怎样的两个圆叫等圆？ 同圆和等圆有什么性质？ 什么叫等弧？
圆的性质
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度 α ，都能与原来的图形重合。
2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比 2:1 ．
三、选择题：
下列命题正确的是（ C ）
A、三角形外心到三边距离相等
B、三角形的内心不一定在三角形的内部
C、等边三角形的内心、外心重合
D、三角形一定有一个外切圆
四、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径为2cm,则 这个三角形的面积为__3_0c_m__2 ．
d < r; d = r; d > r.
r ●O d
┐ 相离
切线的判定定理
定理 经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线.
如图
∵OA是⊙O的半径, 且CD⊥OA,
●O
∴ CD是⊙O的切线.
C
A
D
（１）定义
（２）圆心到直线的距离d＝圆的半径r
（３）切线的判定定理：经过半径的外端, 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
A ●O
B
直角三角形的内切圆半 径与三边关系.
r abc. A 2
D
O
●┗
F
┓
B
EC
B
三角形的内切圆半径与圆面积.
S 1 ra b c.
2A
D
F
O
●
┓
E
C
反证法的三个步骤： 1、提出假设 2、由题设出发，引出矛盾 3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确
用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”， 先应当假设这个三角形中 A. 有一个内角小于60° B. 每一个内角都小于60° C. 有一个内角大于60° D. 每一个内角都大于60°
点与圆的位置关系 d与r的关系
．A．
点在圆内
d＜r
．
点在圆上
d＝r
C
．
点在圆外
d＞r
B
1.如图,OA是⊙O的半径,已知AB=OA,试探索当∠OAB的 大小如何变化时点B在圆内?点B在圆上?点B在圆外?
O•
A
B
OP
2.有两个同心圆，半径分别为Ｒ和r，Ｐ是圆环内一点，则 ＯＰ的取值范围是＿r＿＜＿OP＿＜＿R .
AB=16，CD=12，则AB、CD间的 距离是__2_cm或14cm .
1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
推论2：圆内的两条平行弦所夹的弧相等
练一练
1.两个同心圆的直径分别为5 cm和3 cm，则圆环部分的宽 度为_____ cm；
2.如图1,已知⊙O，AB为直径，AB⊥CD，垂足为E，由图你
0
内含
同心圆是内含的特殊情况
d<R-r
6.正多边形和圆：
特别的:
等边三角形的外心与内心重合. 内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.
A
O
B
D
C
练一练
一、判断。 1、三角形的外心到三角形各边的距离相等； （ × ）
2、直角三角形的外心是斜边的中点．
（√）
二、填空：
1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆
半径 6.5cm ，内切圆半径 2cm ；
D
A
O
B
图1
图2
5.如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆 心角是＿6＿0°＿,圆周角是＿30＿°＿或＿150＿°＿.
O A
B
6.已知ABC三点在圆O上，连接ABCO，如果
∠ AOC=140 °，求∠ B的度数． 解：在优弧AC上定一点D，连结AD、CD. D
∵ ∠ AOC=140 °
∴ ∠ D=70 °
练一练
1、两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的弦
BC与小圆相切，则BC=_____ cm； 2、如图2，在以O为圆心的两个同心圆 A
P
B
中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，
O
设AB=12，则两圆构成圆环面积为_____；
3、下列四个命题中正确的是（ ）．
①与圆有公共点的直线是该圆的切线 ； ②垂直于圆的
垂径定理
1.定理 条弧.
C
A
M└
●O
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两
B
若 ① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
重视：模型“垂径定理直角三角形”
C
垂径定理推论
A M└
B
(1)直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦；
●O
(3) 平分弦 ；(4)平分劣弧；
切线的判定定理的两种应用
1、如果已知直线与圆有交点，往往要 作出过这一点的半径，再证明直线垂直于 这条半径即可；
2、如果不明确直线与圆的交点，往往要 作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂 线段等于半径即可．
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
∵CD切⊙O于Ａ, OA是⊙O的半径 ∴CD⊥OA.
还能知道哪些正确的结论?请把它们一一写出来
;
3.为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆
柱型水管的直径为100 cm，截面如图2，若管内污水的面宽
AB=60 cm，则污水的最大深度为
cm
AΒιβλιοθήκη Baidu
C
E
D
O
m
n
B
图1
O
A
B
图2
4.M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为10 cm， 最短的弦长为8 cm，则OM=_____ cm.
(5)平分优弧.
知二得三
D
注意: “ 直径平分弦则垂直弦.”
这句话对吗?( 错 )
垂径定理推论1
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
例.⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
圆周角定理及推论
D
B
C
C
E
●O
A
●O
BA
●O
B
A
C
定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等, 都等于这弧所对的圆心角的一半.
推论：1.同弧(或等弧）所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等
2.直径（或半圆）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径．
辅助线 规律
圆
能力树
圆的定义
1.圆的定义辨析
篮球是圆吗？
圆必须在一个平面内
以3cm为半径画圆，能画多少个？ 以点O为圆心画圆，能画多少个？ 由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？
半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置
圆是“圆周”还是“圆面”？
圆是一条封闭曲线
圆周上的点与圆心有什么关系？
2.圆的定义（集合观点）
圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； 到定点的距离等于定长的点都在圆上。
一个圆把平面内的所有点 分成了多少类？ 你能模仿圆的集合定义思 想，说说什么是圆的内部 和圆的外部吗？
与圆有关的概念
弦和直径 什么是弦？什么是直径？ 直径是弦吗？弦是直径吗？
弧与半圆 什么是圆弧（弧）？怎样表示？ 弧分成哪几类？ 半圆是弧吗？弧是半圆吗？
5.如图,是某机械厂的一种零件平面图. (1)请你根据所学的知识找出该零件所在圆的圆心(要求正确 画图,不写做法,保留痕迹). (2)若弦AB=80cm,A⌒B的中点C到AB的距离是20cm,求该零件所 在的半径长.
A
B
6.如图，AB是⊙O的任意一条弦，OC⊥AB，垂足为P， 若 CP=7cm，AB=28cm ，你能帮老师求出这面镜子的半 径吗？
4.四边形与圆的位置关系
圆内接四边形的性质： （1）对角互补； （2）任意一个外角都等于它的内对角
圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是（
）
A、1∶2∶3∶4
B、1∶3∶2∶4
C、4∶2∶3∶1
D、4∶2∶1∶3
5.圆与圆的位置关系
交点个数
d
R
r
0
名称
外离
1
外切
2
相交
1
内切
d , R , r 的关系 d>R+r d=R+r R-r< d < R+ r d=R-r
C
●O
A
D
切线的性质定理出可理解为
如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个，那么 第三个也成立。①经过切点、②垂直于切线、③经过圆心。
如① ②
③
① ③
②
② ③
①
切线长定理及其推论:
从圆外一点向圆所引的两条切线长
相等;并且这一点和圆心的连线平分
两条切线的夹角. ∵PA,PB切⊙O于A,B
1
P
2
∴PA=PB ∠1=∠2
正多边 形和圆
弧长和扇 形面积
圆
知识树
垂径定理 圆心角，圆
旋转
周角定理
中心 圆的基本性质
轴
几个相关概念与计算
正多边 形和圆
等分圆
外接圆
内切圆
点、直线与圆 的位置关系
确弧定长和圆扇 的形条的计件算
圆锥的侧 面积和全 面积
圆 切线的性质和判定
弧长 扇形面积
知识树
运动变 化观点
数形结 合思想
分类、方 程思想
C
7
B
P
14
A
O 综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径
圆心角、弧、弦、弦心距的关系
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧, ③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们 所对应的其余各组量都分别相等.
A
D
B
●O
┏
A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
⌒⌒
O
C
∴ ∠ B=180°－70 °=110 °
A
B
7.平面上一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm,最 短为2cm,则圆O的半径为_2_或__4_c_m_.
与圆有关的位置关系:
1.点和圆的位置关系
(1)点在圆内 (2)点在圆上 (3)点在圆外
如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径为r, 则d与r的大小关系为:
后证明DF等于圆D的半径
BD
F
5.如图，AB在⊙O的直径，点D在AB的延长线上, 且BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°. (1)CD是⊙O的切线吗？说明你的理由; (2)AC=_____，请给出合理的解释.
只要连接OC，而后 证明OC垂直CD
A
C
O
B
D
3.三角形的外接圆和内切圆：
A
A
O
I
3.如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形
练一练
1、如图1，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，A⌒C度数为60°，
OD⊥2B、C，已D知为A垂⌒B,足C⌒D，是且同O圆D=的10两，段则弧AB，=_且__A_⌒B_=，2CB⌒DC，=_则__弦__A；B与CD之
间的关系为（ ）；
五.填空
1.过一点的圆有___无_数____个 2.过两点的圆有___无__数____个，这些圆的圆心 的都在_连__结__着__两__点__的__线__段的垂直平分线
上. 3.过三点的圆有___0_或__1_个
4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三
角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村
庄距离相等） 5.锐角三角形的外心在三角形__内__，直角三角 形的外心在三角形_在_ 斜边的中点上 ，钝角三 角形的外心在三角形__外__。