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专题(七) 因式分解的技巧PPT课件(华师大版)
(2)x(x－1)－y(y－1)． 解：(x－y)(x＋y－1)
二、巧用因式分解解决问题 类型一 简化计算 5．(1)计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718； 解：271.8
(2)已知(202X－b)×(202X－b)＝202X，求(202X－b)2＋(202X－b)2的值． 解：设202X－b＝m，202X－b＝n，则mn＝202X， m－n＝(202X－b)－(202X－b)＝202X－b－202X＋b＝2， ∴(202X－b)2＋(202X－b)2＝m2＋n2＝ m2－2mn＋n2＋2mn＝(m－n)2＋2mn＝22＋2×202X＝4040
类型二 求值 6．已知m＋n＝2，求m2－n2＋4n的值．
解：∵m＋n＝2，∴原式＝(m＋n)(m－n)＋4n＝2(m－n)＋4n＝2m－2n＋4n ＝2(m＋n)＝2×2＝4
7．已知a2－a－1＝0，求a3－2a＋202X的值．
解：∵a2－a－1＝0，∴a2＝a＋1，∵a3－2a＋202X＝a3－a－a－1＋202X，
八年级数学上册（华师版） 第十二章 整式的乘除
专题(七) 因式分解的技能
专题(七) 因式分解的技能
一、因式分解的技能 类型一 符号变换 1．分解因式： (1)(m＋n)(x－y)＋(m－n)(y－x)； 解：2n(x－y) (2)－a2－2ab－b2. 解：－(a＋b)2
类型二 系数变换 2．分解因式： (1)4x2－12xy＋9y2； 解：(2x－3y)2
(2)14x2＋x3y＋19y2. 解：316(3x＋2y)2
类型三 指数变换 3．分解因式： (1)x4－y4； 解：(x2＋y2)(x＋y)(x－y)
(2)a4－2a2b2＋b4. 解：(a＋b)2(a－b)2
二、巧用因式分解解决问题 类型一 简化计算 5．(1)计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718； 解：271.8
(2)已知(202X－b)×(202X－b)＝202X，求(202X－b)2＋(202X－b)2的值． 解：设202X－b＝m，202X－b＝n，则mn＝202X， m－n＝(202X－b)－(202X－b)＝202X－b－202X＋b＝2， ∴(202X－b)2＋(202X－b)2＝m2＋n2＝ m2－2mn＋n2＋2mn＝(m－n)2＋2mn＝22＋2×202X＝4040
类型二 求值 6．已知m＋n＝2，求m2－n2＋4n的值．
解：∵m＋n＝2，∴原式＝(m＋n)(m－n)＋4n＝2(m－n)＋4n＝2m－2n＋4n ＝2(m＋n)＝2×2＝4
7．已知a2－a－1＝0，求a3－2a＋202X的值．
解：∵a2－a－1＝0，∴a2＝a＋1，∵a3－2a＋202X＝a3－a－a－1＋202X，
八年级数学上册（华师版） 第十二章 整式的乘除
专题(七) 因式分解的技能
专题(七) 因式分解的技能
一、因式分解的技能 类型一 符号变换 1．分解因式： (1)(m＋n)(x－y)＋(m－n)(y－x)； 解：2n(x－y) (2)－a2－2ab－b2. 解：－(a＋b)2
类型二 系数变换 2．分解因式： (1)4x2－12xy＋9y2； 解：(2x－3y)2
(2)14x2＋x3y＋19y2. 解：316(3x＋2y)2
类型三 指数变换 3．分解因式： (1)x4－y4； 解：(x2＋y2)(x＋y)(x－y)
(2)a4－2a2b2＋b4. 解：(a＋b)2(a－b)2
课件《因式分解》PPT_完美课件_人教版2
所学的解题过程，我们应用了如下关系：
x(a−b)3+y(b−a)3=(a−b)3(x+y)
因式分解与整式乘法是互逆过程.
（1）8a3b2+12ab3c (6) m2－4=(m+2)(m－2)
14.3.1 提公因式法因式分解
理解公因式的概念，会根据“三定法”确定公因式。
(7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r)
新的多项式中若 有小括号，要化
简
即是提公因式后剩下的另一个因式.
练一练
下面的因式分解正确吗？
➢ 3x2y−9xy2=3x(xy−3y2) 3xy (x−3y) ➢ 4x2y−6xy2+2xy=2xy(2x−3y) 2xy (2x−3y+1) ➢ x(a−b)3+y(b−a)3=(a−b)3(x+y) (a−b)3(x−y)
分解因式
例1: 找 3x 2 – 6 x3y 的公因式.
因式分解与整式乘法有何关系?
提公因式并确定另一个因式：要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的另一个因式.
所以，公因式是3x2 .
所以，公因式是3x2 . 所以，公因式是3x2 . 所以，公因式是3x2 .
第十四章 整式的乘法
(5) (a－3)(a+3)=a2－9
定系数，再确定字母，最后确定公因式字母 【名师点拨】别忘记最后核实括号内的多项式是否还有公因式。
2）(x+2)(x-2)= 这种分解因式方法叫提公因式法。
6）a2+2ab+b2= 是pa+pb+pc除以p的商
2xy (2x−3y+1)
的指数；
24《因式分解法》课件(共35张PPT)ppt课件
x＋2 = 0 或 3x－5 = 0
∴ x1 =－2 ，
x2 =
5 3
（3）x2－4 = 0
解：因式分解，得 (x＋2) (x－2) = 0 x＋2 = 0 或 x－2 = 0 ∴ x1 = －2， x
解：因式分解，得
3x 1 5 3x 1 5 = 0
PPT教学课件
回顾与复习
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
直接开平方法 x2=a (a≥0)
配方法 (x+m)2=n (n≥0)
公式法
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
回顾与复习
x1 0,
x2
100 49
2.04
这种解法是不是很简单？
以上解方程 x10 4.9 x 0的方法
是如何使二次方程降为一次的？
x10 4.9x 0 ①
x 0 或 1 0 4.9x 0, ②
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开 方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘 积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而 实现降次，这种解法叫做因式分解法．
10x 4.9x2
根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？
（精确到 0.01 s）
提示
设物体经过 x s 落回地面，这时它 离地面的高度为 0 ，即
10x 4.9x2 0
配方法
公式法
10x 4.9x2 0
10x 4.9x2 0
解：x2 100 x 0
49
x2
100 49
x
50 49
例3.解下列方程 :
因式分解ppt课件
方式.
完全平方式的条件：(1)多项式是二次三项式；(2)首末
两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这
两个数(或式子)的积的2 倍，符号可以是“＋”，也可以
是“－”.
感悟新知
知5－讲
2. 完全平方公式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数
的积的2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2 .
知4－讲
3. 运用平方差公式分解因式的步骤
一判：根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负
平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项放在后面；
二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，
其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示
一个整体；三套：套用平方差公式进行分解；四整理：将
(2)确定另一个因式，另一个因式即多项式除以公因式所
得的商；
(3)写成积的形式.
感悟新知
知3－讲
特别解读
1. 提公因式法实质上是逆用乘法的分配律.
2. 提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形
式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多
项式除以这个公因式所得的商.
感悟新知
知3－练
例 5 把下列多项式分解因式：
感悟新知
例 3 仔细阅读下面例题，解答问题：
知1－练
例题：已知把x2－4x＋m分解因式后有一个因式是x
＋3，求其另一个因式及m的值.
解：设另一个因式为x＋n，则x2－4x＋m＝(x＋3)(x
＋n)，即x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n.
＝－，
＋＝－，
所以
解得
＝－.
《因式分解》ppt全文课件
思路点拨：因式分解法解一元二次方程的步骤是： (1)化方程为一般形式； (2)将方程左边因式分解； (3)至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程； (4)两个一元一次方程的解就是原方程的解． 但要具体情况具体分析．
解：(1)方程可变形为 y(y＋7)＝0， ∴y＋7＝0 或 y＝0.∴y1＝－7，y2＝0. (2)∵方程可变形为 t(2t－1)－3(2t－1)＝0， ∴(2t－1)(t－3)＝0. ∴2t－1＝0 或 t－3＝0.∴t1＝12，t2＝3.
∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0.
∴3x＋2＝0 或 12x＋10＝0.∴x1＝－23，x2＝－56.
《因式分解》上课实用课件（PPT优秀 课件）
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4．我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方 法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中 任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
《因式分解》上课实用课件（PPT优秀 课件）
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2．用因式分解法解下列方程： (1)(x－4)(x＋1)＝0； (2)(5x－1)(x＋1)＝(6x＋1)(x＋1)． 解：(1)(x－4)(x＋1)＝0，即 x－4＝0 或 x＋1＝0. ∴x1＝4，x2＝－1. (2)(5x－1)(x＋1)＝(6x＋1)(x＋1)， ∴(5x－1)(x＋1)－(6x＋1)(x＋1)＝0， (x＋1)(5x－1－6x－1)＝0. ∴(x＋1)(－x－2)＝0. 即 x＋1＝0 或－x－2＝0.∴x1＝－1，x2＝－2.
《因式分解》上课实用课件（PPT优秀 课件）
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【跟踪训练】
人教版《因式分解》ppt课件
因式分解的依据是什么？
因式，分解后得公因式和剩余因式相乘.
想一想：我们今天 学习了哪些知识？
25
归纳总结
1.因式分解： 把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样
的式子变形叫做这个多项式的因式分解.
注：(1)因式分解本质:是将“和”转化为“积”的 变形.
(2)因式分解 互逆运算
整
式乘法
26
归纳总结
=(x-y)(3x-3y+2)
(3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式，
-15xy÷5xy=-3
-10a2÷(-2a)=5a
-15xy÷5xy=-3
二提：提出公因式，用原式除以公因式得剩余
找出下列各题中的公因式：
注意：不要丢掉+1这项！
(2)因式分解
整式乘法
(1) ma +mb；
-2a÷(-2a)=1
分析：(1)是由乘积形式转化为多项式，不属于因式 分 (解2).变形后仍为和的形式，不属于因式分解. (3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式， 属于因式分解.
5
探究新知
问题：观察多项式pa＋pb＋pc，有什么特点吗？
pa＋pb＋pc pa pb pc
我们发现： 各项都有公共的因式p，我们把因式p叫做这
是把几个整式乘积的形式化为多项式.
你能尝试分解因式pa＋pb＋pc吗？
(3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式，
-6a3÷(-2a)=3a2
(3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式，
(1)因式分解本质:是将“和”转化为“积”的 变形.
=-2a(3a2+5a+1)
=(b-3a)2+2 (b-3a)
因式分解ppt(共22张PPT)
3．（随堂练习p3１、２）
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
课件《因式分解》精品PPT课件_人教版2
十字相乘法②随堂练习： 1）4a2–9a+2 a 24a 1
2）7a2–19a–6 7a 2a 3 3）2(x2+y2)+5xy 2x y x 2y
例 .将 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5 分解因式 解：2(6x2 ＋x)2－11(6x2 ＋x) ＋5 = [(6x2 ＋x) －5][2(6x2 ＋x)－1] = (6x2 ＋x－5) (12x2 ＋2x－1 ) = (6x －5)(x ＋1) (12x2 ＋2x－1 )
x2 13x 42 x 6 x 7
对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解， 应重点掌握以下问题：
1.适用范围：只有当q=ab，且p=a+b时 才能用十字相乘法进
我
行分解。
2.掌握方法：拆分常数项，验证一次项.
3.符号规律：
当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
3.(x-2)(x+1)= x2-x-2
4.(x-2)(x-1)= x2-3x+2 5.(x+2)(x+3)= x2+5x+6 6.(x+2)(x-3)= x2-x-6 7.(x-2)(x+3)= x2+x-6 8.(x-2)(x-3)= x2-5x+6
(x+a)(x+b) =x2+(a+b)x+ab
2
-1
例1:2x2－7x+3
解：原式=(2x-1)(x-3) 1
-3
总结:
2 × (-3)+(－1) × 1=-7
《因式分解》ppt课件
因式分解涉及多次运算，强调 计算的准确性，避免后续步骤
出错。
常见错误及纠正方法
分解不彻底
有些学生在因式分解时，不能完全将多项式转化为整式的 积的形式。应指导学生检查每一步的分解是否正确，并确 保所有项都已正确分解。
误用公式
学生在使用公式法进行因式分解时，可能会误用公式。应 确保学生理解并记住正确的公式，并能够正确应用。
在几何图形中，通过因式分解可以计算图形的面积和周长，特别 是在处理一些不规则图形时。
分割与拼接图形
通过因式分解的方法，可以将一个几何图形分割成若干个简单图形， 或者将若干个简单图形拼接成一个复杂的图形。
解决几何问题
因式分解在解决一些几何问题中也有应用，如证明勾股定理、解决 几何图形的面积和体积等问题。
在解方程中的应用
分解因式解方程
对于一些一元二次方程，可以通过因式分解的方 法来求解，简化计算过程。
判断根的性质
通过因式分解，可以判断一元二次方程根的性质， 如根的和与积、根的判别式等。
解决代数问题
因式分解在解代数方程中有着广泛的应用，如求 解一元一次方程、分式方程等。
在几何图形中的应用
面积与周长的计算
THANK YOU
感谢各位观看
题目2： 把下列多项式分解因 式：3x^2 - 6xy + 3y^2。
题目3： 把下列多项式分解因 式：4a^2 - 8ab + 4b^2。
进阶练习题
提升技巧难度
题目2： 把下列多项式分解因式：(2a + b)^2 - (a b)^2。
题目1： 把下列多项式分解因式：(x + 2y)^2 - (x y)^2。
重要性
总结词
因式分解在数学中具有重要意义，是解决许多数学问题的关 键步骤。
出错。
常见错误及纠正方法
分解不彻底
有些学生在因式分解时，不能完全将多项式转化为整式的 积的形式。应指导学生检查每一步的分解是否正确，并确 保所有项都已正确分解。
误用公式
学生在使用公式法进行因式分解时，可能会误用公式。应 确保学生理解并记住正确的公式，并能够正确应用。
在几何图形中，通过因式分解可以计算图形的面积和周长，特别 是在处理一些不规则图形时。
分割与拼接图形
通过因式分解的方法，可以将一个几何图形分割成若干个简单图形， 或者将若干个简单图形拼接成一个复杂的图形。
解决几何问题
因式分解在解决一些几何问题中也有应用，如证明勾股定理、解决 几何图形的面积和体积等问题。
在解方程中的应用
分解因式解方程
对于一些一元二次方程，可以通过因式分解的方 法来求解，简化计算过程。
判断根的性质
通过因式分解，可以判断一元二次方程根的性质， 如根的和与积、根的判别式等。
解决代数问题
因式分解在解代数方程中有着广泛的应用，如求 解一元一次方程、分式方程等。
在几何图形中的应用
面积与周长的计算
THANK YOU
感谢各位观看
题目2： 把下列多项式分解因 式：3x^2 - 6xy + 3y^2。
题目3： 把下列多项式分解因 式：4a^2 - 8ab + 4b^2。
进阶练习题
提升技巧难度
题目2： 把下列多项式分解因式：(2a + b)^2 - (a b)^2。
题目1： 把下列多项式分解因式：(x + 2y)^2 - (x y)^2。
重要性
总结词
因式分解在数学中具有重要意义，是解决许多数学问题的关 键步骤。
因式分解课件ppt
代数领域
在代数领域中，因式分解可以 用于求解方程、研究函数性质
等。
几何领域
在几何领域中，因式分解可以 用于研究图形性质、证明定理
等。
数论领域
在数论领域中，因式分解可以 用于研究素数、分解质因数等
。
04
因式分解的例子
简单的例子
分解成两个或更多整数的乘积
例如: 10 = 2 x 5
中等的例子
分解成若干个整数的乘积，其中一个整数为平方数 例如: 24 = 4 x 6
因式分解课件ppt
xx年xx月xx日
目录
• 因式分解概述 • 因式分解的方法 • 因式分解的应用 • 因式分解的例子 • 因式分解的练习题 • 因式分解的总结与反思
01
因式分解概述
因式分解的定义
数学定义
因式分解是指将一个多项式表示为几个整式的乘积的形式， 这种表示方法称为因式分解或分解因式。
日常定义
应用领域的拓展
因式分解在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，未来随着各学科的发展，其应用领 域也将不断拓展。
与其他数学知识的融合
因式分解作为数学基础知识之一，未来可能会与其他数学知识进行融合，例如与方程、不 等式等数学概念的联系和结合。
THANKS
谢谢您的观看
06
因式分解的总结与反思
因式分解的技巧总结
提公因式法
寻找各项的公共因子，将其提取出来，简化表达 式。
平方差公式
利用平方差公式将某些项进行合并和分解，进一 步简化表达式。
十字相乘法
将二次三项式分解为两个一次因式的乘积，从而 得到更简单的表达式。
因式分解的难点与解决办法
无法确定公因式
对于多项式中含有特殊字母或系数时，需要灵活运用提公因式法 进行分解。
12.5因式分解(全)ppt课件
a
b
c
mm
m
9
方法一：S = m ( a + b + c ) 方法二：S = ma + mb + mc 下面两个式子中哪个是因式分解？ m ( a + b + c ) = ma + mb + mc ma + mb + mc = m ( a + b + c )
在式子ma + mb + mc中，m是这个多项式 中每一个项都含有的因式，叫做 公。因式
这两个整数是____和 ____。
2、计算：12 22 32 42 52 62 2011 2 2012 2 。
2 4 6 8 10 12
4022 4024
3、n是自然数，代入n3 – n中计算时，四个同学算出 如下四个结果，其中正确的只可能是( )。
A. 421800 B. 438911 C. 439844 D. 428158
3、把它与公因式相乘。
11
如何准确地找到多项 式的公因式呢？
1、系数
所有项的系数的最大公因数
2、字母
应提取每一项都有的字母， 且字母的指数取最低的
3、系数与字母相乘
12
例题精讲 用提取公因式法因式分解： ①9a2b 15ab2c = 3ab (3a–5bc)
最大a的公b最的因低最数指低为数指3为数1为1
33
a2 2ab b2 a b2
这个公式可以用文字表述为： 两个数的平方和加上（或减去）
这两个数的积的两倍，等于这两个 数的和（或差）的平方。
牛刀小试(对下列各式因式分解)： ① a2+6a+9 = _______(_a_+_3_)2______ ② n2–10n+25 = _____(n__–_5_)2______ ③ 4t2–8t+4 = _______4_(_t–_1_)_2_____ ④ 4x2–12xy+9y2 = ___(2_x_–_3_y_)_2____
因式分解综合运用ppt课件
5
x - 4 y)(53
x + 4 y)
答案：4xy
（5）a3-ab2
（6）x4-16
答案：a(a+b)(a-b)
答案：(x2+4)(x+2)(x-2)
3. 手表表盘的外圆直径D=3.2cm，内圆直径d=2.6cm， 在外圆与内圆之间涂有黑色材料，如右图.试求涂
上材料的圆环的面积( π=3.14，结果保留两位有效 数字).怎样计算比较简便？
42
= x2 +2· x·
=
x+
5 2； 2
5 2
+
5 2
（2） 16y2-24y+9； = (4y)2 -2 ·4y ·3 + 32； = (4y-3)2 ；
（3）
x2
+
2 3
x
+
1 9
；
2
=
x2 +2·
x·
1 3
+
1 3
=
x
+
1
2；
3
（4）3x4+6x3y2+3x2y4.
因式分解综合运用
• 一、检测训练：分解因式
• （1）a-2a2+a3
(2) x2(a-1)+y2(1-a)
•
• (3)-4x2y2
• (5) (x2-3)2+(3-x2)+1 • (6) m4-2(m2-1/2) • (7) -3a(1-x)-2b(x-1)+(1-x) • (8) 8x(2x+y)3-12x2(2x+y)2
2.7
说一说
1. 平方差公式是什么样子？
x - 4 y)(53
x + 4 y)
答案：4xy
（5）a3-ab2
（6）x4-16
答案：a(a+b)(a-b)
答案：(x2+4)(x+2)(x-2)
3. 手表表盘的外圆直径D=3.2cm，内圆直径d=2.6cm， 在外圆与内圆之间涂有黑色材料，如右图.试求涂
上材料的圆环的面积( π=3.14，结果保留两位有效 数字).怎样计算比较简便？
42
= x2 +2· x·
=
x+
5 2； 2
5 2
+
5 2
（2） 16y2-24y+9； = (4y)2 -2 ·4y ·3 + 32； = (4y-3)2 ；
（3）
x2
+
2 3
x
+
1 9
；
2
=
x2 +2·
x·
1 3
+
1 3
=
x
+
1
2；
3
（4）3x4+6x3y2+3x2y4.
因式分解综合运用
• 一、检测训练：分解因式
• （1）a-2a2+a3
(2) x2(a-1)+y2(1-a)
•
• (3)-4x2y2
• (5) (x2-3)2+(3-x2)+1 • (6) m4-2(m2-1/2) • (7) -3a(1-x)-2b(x-1)+(1-x) • (8) 8x(2x+y)3-12x2(2x+y)2
2.7
说一说
1. 平方差公式是什么样子？
因式分解的ppt课件
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初步应用提公因式法
例1 把 8a3b2+12ab3c 分解因式．
解： 8a3b2+12ab3c =4ab2 2a2+4ab2 3bc =4ab（2 2a2+3bc）.
例2 把 2（ a b+c）-（3 b+c）分解因式．
解： 2（ a b+c）-（3 b+c） =（b+c）（2a-3）.
提公因式法
（5） x2 1 x( x 1 ) x
（6） 18a3bc 3a2b6ac
不是 不是 不是
说明
• 本课是在学生学习了整式乘法的基础上，研究对整 式的一种变形即因式分解，是把一个多项式转化成 几个整式相乘的形式，它与整式乘法是互逆变形的 关系．
什么叫因式分解？ 把一个多项式写随时随地彰显尊贵身份。
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提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个 公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的 乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．
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x x 9 y 3 y
2 2
x y z 2 yz
2 2 2
y( y 2) (m 1)(m 1)
x 4
4
a 3a 9
4 2
你能用分组分解来分解因式吗？
应该怎么做？
x4+4 = x4+4x2+4-4x2 = (x2+2)2-4x2 = (x2+2x+2)(x2-2x+2)
1、a3+a+2 2、x3+x2-12
因式分解
2 2
(1) x 3ax 10a x 2a
2 2
(2) x 4 xy 4 y 2 x 4 y 3
如何分解
形如
ax2+bx+c
或
ax2+bxy+cy2
二次三项式可以用十字相乘法因式分解
对某些二元二次六项式
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f
练习：
多项式 能分解为两个一次因式的积，求k
课堂小结
1.本节我们介绍了哪些方法？ 2.谈谈你的感受
作业
1.一课一练 2.双休卷
课后练习： 1.4 x 1
4
2.x x 1
5
3.x 3x 1
4 2
4.x 7 x 6
32
4
6.x 6 x 11x 6 7.3x 5 xy 2 y x 9 y 4
x 2y -3
将一个二元二次六项式利用上述思想分 解因式的方法称为
利用双十字相乘法因式分解的一般步骤：
2 2 ax +bxy+cy +dx+ey+f 1、先用十字相乘法分解 ax2+bxy+cy2 得到十字相乘图的前两列； 2、再分解f，得到第三列，使得： 二三列交叉相乘的积的和等于ey; 一三列交叉相乘的积的和等于dx.
• 注意：
• 1、必须在与原多项式相等的原则 下进行变形。 • 2、当平方项比较多，但平方差公式还用不 了时，要想到添拆项法。
a 3a 9如何分解？
4 2
练习：
1、x8+x4+1 2、x4+4y4 3、a4+5a2+9 4、9x4+2x2y2+y4
如何分解 x3-3x2+4
试根法
练习：
例题：
已知多项式2x3-x2-13x+k分解因式后有一个因
式为2x+1。求k的值。
因为多项式2x3-x2-13x+k有一个因式是2x+1，所以当2x+1
＝0时，多项式2x3-x2-13x+k＝0， 1 即：当x＝ 时，多项式2x3-x2-13x+k＝0。 2 1 将x＝ 带入上式即可求出k的值。 2
2
这正好是借一（4x2),还一（4x2),即把0拆成字母及 其指数完全相同，但系数互为相反数的两项。
添、拆项法：
分解因式是多项式乘法的逆运算．在多项式 乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为 一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为 零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些 被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项 拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符 号相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．
使用双十字分解
2 2
(1) x 3ax 10a x 2a
2 2
(2) x 4 xy 4 y 2 x 4 y 3
例题：
1、x2-3xy-10y2+x+9y-2； 2、x2-y2+5x+3y+4； 3、xy+y2+x-y-2； 4、6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2； 5、a(6a+11b+4)+b(3b-1)-2.
也可以用十字相乘法因式分解
分解因式： 2 2 2x -7xy-22y -5x+35y-3
分析：先分解 2x2-7xy-22y2 再分解 -3 原式= [(2x-11y)+1][(x+2y)-3]
= (2x-11y+1)(x+2y-3)
上述过程，实施了两次十字相乘法， 若把两步十字相乘法结合在一起： 2x -11y 1
2 2
x y z 2 yz
2 2 2
y( y 2) (m 1)(m 1)
x 4
4
a 3a 9
4 2
你能用分组分解来分解因式吗？
应该怎么做？
x4+4 = x4+4x2+4-4x2 = (x2+2)2-4x2 = (x2+2x+2)(x2-2x+2)
1、a3+a+2 2、x3+x2-12
因式分解
2 2
(1) x 3ax 10a x 2a
2 2
(2) x 4 xy 4 y 2 x 4 y 3
如何分解
形如
ax2+bx+c
或
ax2+bxy+cy2
二次三项式可以用十字相乘法因式分解
对某些二元二次六项式
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f
练习：
多项式 能分解为两个一次因式的积，求k
课堂小结
1.本节我们介绍了哪些方法？ 2.谈谈你的感受
作业
1.一课一练 2.双休卷
课后练习： 1.4 x 1
4
2.x x 1
5
3.x 3x 1
4 2
4.x 7 x 6
32
4
6.x 6 x 11x 6 7.3x 5 xy 2 y x 9 y 4
x 2y -3
将一个二元二次六项式利用上述思想分 解因式的方法称为
利用双十字相乘法因式分解的一般步骤：
2 2 ax +bxy+cy +dx+ey+f 1、先用十字相乘法分解 ax2+bxy+cy2 得到十字相乘图的前两列； 2、再分解f，得到第三列，使得： 二三列交叉相乘的积的和等于ey; 一三列交叉相乘的积的和等于dx.
• 注意：
• 1、必须在与原多项式相等的原则 下进行变形。 • 2、当平方项比较多，但平方差公式还用不 了时，要想到添拆项法。
a 3a 9如何分解？
4 2
练习：
1、x8+x4+1 2、x4+4y4 3、a4+5a2+9 4、9x4+2x2y2+y4
如何分解 x3-3x2+4
试根法
练习：
例题：
已知多项式2x3-x2-13x+k分解因式后有一个因
式为2x+1。求k的值。
因为多项式2x3-x2-13x+k有一个因式是2x+1，所以当2x+1
＝0时，多项式2x3-x2-13x+k＝0， 1 即：当x＝ 时，多项式2x3-x2-13x+k＝0。 2 1 将x＝ 带入上式即可求出k的值。 2
2
这正好是借一（4x2),还一（4x2),即把0拆成字母及 其指数完全相同，但系数互为相反数的两项。
添、拆项法：
分解因式是多项式乘法的逆运算．在多项式 乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为 一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为 零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些 被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项 拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符 号相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．
使用双十字分解
2 2
(1) x 3ax 10a x 2a
2 2
(2) x 4 xy 4 y 2 x 4 y 3
例题：
1、x2-3xy-10y2+x+9y-2； 2、x2-y2+5x+3y+4； 3、xy+y2+x-y-2； 4、6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2； 5、a(6a+11b+4)+b(3b-1)-2.
也可以用十字相乘法因式分解
分解因式： 2 2 2x -7xy-22y -5x+35y-3
分析：先分解 2x2-7xy-22y2 再分解 -3 原式= [(2x-11y)+1][(x+2y)-3]
= (2x-11y+1)(x+2y-3)
上述过程，实施了两次十字相乘法， 若把两步十字相乘法结合在一起： 2x -11y 1