因式分解ppt20 人教版
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数学人教版《因式分解》上课课件
十字相乘法
竖分两端交叉验，交叉相乘和中间，横写因式不能乱。
2 a b 2 9 a b 9 (ab3)2ab3
ab
3 (ab3)2a2b3
2ab
3
3 a b 6 a b 9 a b
数学人教版《因式分解》上课课件1
数学人教版《因式分解》上课课件1
将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4
5 x2 – 6 xy – 8 y2
x–2y
1x
–2y
5x 5x+4y
4y
4xy – 10xy = –6xy ∴5x2–6xy–8y2 =(x–
2y)(5x+4y)
简记口诀：
竖分两端交叉验， 交叉相乘和中间， 横写因式不能乱
十字相乘法②随堂练习：
1）4a2–9a+2 2）7a2–19a–6 3）2(x2+y2)+5xy
（5）6x2+7x+2
简记口诀： 竖分两端交叉验， 交叉相乘和中间， 横写因式不能乱
数学人教版《因式分解》上课课件1
数学人教版《因式分解》上课课件1
把下列各式分解因式
（1）4x2 + 11x + 6 （2）3x2 + 10x + 8 ( 3 ) 6x2 - 7xy – 5y2
（5）2x2 + 13x + 15 （6）3x2 － 15x － 18
6 x2 + 7 x + 2
①竖分二次项与常数项
2x+1
2x
1பைடு நூலகம்
3x
2
3x+2
②交叉乘，和相加 ③检验确定，横写因式
方法规律：
竖分两端交叉验，交叉相乘和中间，横写因式不能乱。
2 a b 2 9 a b 9 (ab3)2ab3
ab
3 (ab3)2a2b3
2ab
3
3 a b 6 a b 9 a b
数学人教版《因式分解》上课课件1
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将下列多项式因式分解
(1)x2+3x-4
5 x2 – 6 xy – 8 y2
x–2y
1x
–2y
5x 5x+4y
4y
4xy – 10xy = –6xy ∴5x2–6xy–8y2 =(x–
2y)(5x+4y)
简记口诀：
竖分两端交叉验， 交叉相乘和中间， 横写因式不能乱
十字相乘法②随堂练习：
1）4a2–9a+2 2）7a2–19a–6 3）2(x2+y2)+5xy
（5）6x2+7x+2
简记口诀： 竖分两端交叉验， 交叉相乘和中间， 横写因式不能乱
数学人教版《因式分解》上课课件1
数学人教版《因式分解》上课课件1
把下列各式分解因式
（1）4x2 + 11x + 6 （2）3x2 + 10x + 8 ( 3 ) 6x2 - 7xy – 5y2
（5）2x2 + 13x + 15 （6）3x2 － 15x － 18
6 x2 + 7 x + 2
①竖分二次项与常数项
2x+1
2x
1பைடு நூலகம்
3x
2
3x+2
②交叉乘，和相加 ③检验确定，横写因式
方法规律：
人教版因式分解全内容完整课件
这些计算过程中都逆用了平方差公式
即：a2 b2 a ba b
七楼A座办公家园
a2 b2 a ba b
此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：
两个数的平方差等于这两个 数的和与这两个数的差的积。
尝试练习(对下列各式因式分解)：
① a2 – 9 = ______(_a_+_3_)_(a_–_3_)_____ ② 49 – n2 = _____(_7_+_n_)_(7_–_n_)_____ ③ 5s2 – 20t2 = ___5_(_s_+_2_t)_(_s–_2_t_)___ ④ 100x2 – 9y2 =_(1_0_x_+__3_y)_(_1_0_x_–_3_y_)
只需找到多项式中的公因式，然 后用原多项式除以公因式，把所得 的商与公因式相乘即可。往往与其 他方法结合起来用。
提公因式法随堂练习：
1）15(m–n)+13(n–m) 2）4(x+y)+4(x–3y)
七楼A座办公家园
二、公式法
只需发现多项式的特点，再将 符合其形式的公式套进去即可完 成因式分解，有时需和别的方法 结合或多种公式结合。
这种方法叫做提公因式法。
ma + mb + mc = m ( a + b + c )
提公因式法一般步骤：
1、找到该多项式的公因式， 2、将原式除以公因式，得到一个新多项式， 3、把它与公因式相乘七。楼A座办公家园
如何准确地找到多项式的公因式呢？
1、系数
所有项的系数的最大公约数
2、字母
应提取每一项都有的字母， 且字母的指数取最低的。
七楼A座办公家园
新课引入
此处运用了什么公式? 逆用 完全平方公式
〔人教版〕因式分解教学PPT课件20
(2) 2a(b+c) - 3(b+c)
分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。
注意：公因式既可以是一个单项式的形式， 也可以是一个多项式的形式
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。
诊断 小明解的有误吗？
把12x2y+18xy2分解因式 解：原式 =3xy(4x + 6y)
3、为了检验分解因式的结果是否正确，可以用
___整__式__乘__法______运算来检验。
4、我们已经学过哪些乘法公式？
___（ ___a__ __b __） _(_a ___ __b _)__ ___a _2 __ __b __2 __； __（ ___a _ __b __） _2 __ __a _2 __ __2 _a ___ _b _b __2 ______.
②两个平方项异号(一正一负)；
回忆完全平方公式
a b 2 a22abb2
a b 2 a22abb2
1.我们共学过几种方法因式分解
提取公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 平方差公式法 a2-b2=(a+b)(a-b)
2.分解因式时,通常先考虑_能__否__提__公__因__式__ 然后再考虑_能__否__进__一__步__分__解__因__式__.
变式2：将下列多项式分解因式
x2 4
2x23 88x
反馈矫正2：把下列各式分解因式
（1）2x2 50
（2）ab3 4ab
（ 3） -16x481y4
注意：（1）如果多项式中有公因式可提，应先
提取公因式，而且还要“提”得彻底； （2）分解因式时，每个因式都要分解彻底
分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。
注意：公因式既可以是一个单项式的形式， 也可以是一个多项式的形式
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。
诊断 小明解的有误吗？
把12x2y+18xy2分解因式 解：原式 =3xy(4x + 6y)
3、为了检验分解因式的结果是否正确，可以用
___整__式__乘__法______运算来检验。
4、我们已经学过哪些乘法公式？
___（ ___a__ __b __） _(_a ___ __b _)__ ___a _2 __ __b __2 __； __（ ___a _ __b __） _2 __ __a _2 __ __2 _a ___ _b _b __2 ______.
②两个平方项异号(一正一负)；
回忆完全平方公式
a b 2 a22abb2
a b 2 a22abb2
1.我们共学过几种方法因式分解
提取公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 平方差公式法 a2-b2=(a+b)(a-b)
2.分解因式时,通常先考虑_能__否__提__公__因__式__ 然后再考虑_能__否__进__一__步__分__解__因__式__.
变式2：将下列多项式分解因式
x2 4
2x23 88x
反馈矫正2：把下列各式分解因式
（1）2x2 50
（2）ab3 4ab
（ 3） -16x481y4
注意：（1）如果多项式中有公因式可提，应先
提取公因式，而且还要“提”得彻底； （2）分解因式时，每个因式都要分解彻底
人教版九年级数学上册《因式分解法》PPT
(1) x2 9 0
(2) x2 2x 1 0
1.理解用因式分解法解一元二次方 程的基本思想，会用因式分解法解 一些一元二次方程； 2.灵活运用适当的方法解一元二次 方程，提高分析问题和解决问题的 能力.
因式分解法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用因式分解的方法 求解.这种用因式分解解一元二次方程的方法就叫因 式分解法.
温馨提示:
1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识 ; 3.理论依据是“两个因式的积等于零，至少有一个因式等于零.”
交流讨论
x2 x
解：方程的两边同时除以x，得 x 1.
原方程的解为x 1.
这样解是否正确呢？
感悟新知
快速回答下列各方程的根分别是多少？
(1)x(x 2) 0
(2)( y 2)( y 3) 0 (3)(3x 2)(2x 1) 0
(4)x2 2x
x1 0, x2 2
y1 2, y2 3
x1
2新知尝试
用因式分解法解下列方程
1.x2 36 0 2.x2 6x 9 3.3x(2x 1) (4x 2) 0 4.(x 4)2 (2x 5)2
一次方程. （4）两个一元一次方程的解 就是原方程的解.
2.解一元二次方程的方法： 直接开平方法 配方法 因式分解法
公式法
3.x1
1,
x2
2 3
4.x1
2,
x2
4 3
这节课，你收获了什么？
这节课上，我学会了…… 这节课上，我感到最困难的是…… 这节课上，我感受最深的是……
小结
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤：
因式分解ppt20 人教版共69页文档
因式分解ppt20 人教版
16、自己选择以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
END
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
16、自己选择以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
END
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
人教版《因式分解》PPT全文课件
人教版《因式分解》上课实用课件（P PT优秀 课件）
人教版《因式分解》上课实用课件（P PT优秀 课件）
知识点详解
如果 a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据. 如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么x＋1＝0或x－1＝0，即x＝1或 x＝-1。 温馨提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等 于零。”
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例题详解
(2) 5x 2
2x
1 4
x2
2x
3 4
解：4x 2 1 0
（2x 1)(2x 1) 0
2x 1 0或2x 1 0
x
1;x
2
1 2
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2 3
,x2
5 6
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练习题
3.先化简，再求值：
x x
1 2
•
x2 x2
4
2x
1
1
x2
1
其中x2-x=0.
解：∵x2－x＝0，∴x(x－1)＝0.
∴x1＝0，x2＝1. 当 x＝1 时，x2－1＝0(舍去)．
∴x＝0.
原式=
x x
1 2
(x
•
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例题详解
(1) x(x 2) x 2 0
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知识点详解
如果 a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据. 如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么x＋1＝0或x－1＝0，即x＝1或 x＝-1。 温馨提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等 于零。”
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例题详解
(2) 5x 2
2x
1 4
x2
2x
3 4
解：4x 2 1 0
（2x 1)(2x 1) 0
2x 1 0或2x 1 0
x
1;x
2
1 2
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2 3
,x2
5 6
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练习题
3.先化简，再求值：
x x
1 2
•
x2 x2
4
2x
1
1
x2
1
其中x2-x=0.
解：∵x2－x＝0，∴x(x－1)＝0.
∴x1＝0，x2＝1. 当 x＝1 时，x2－1＝0(舍去)．
∴x＝0.
原式=
x x
1 2
(x
•
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例题详解
(1) x(x 2) x 2 0
人教版九年级数学上册21.2解一元二次方程因式分解法 课件(共19张PPT)
新知探究
（1）因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练 掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少 有一个因式等于零.” （2）因式分解法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为 “一次”的过程. （3）在解一元二次方程的时候，要具体情况具体分析，选择合适的解一元 二次方程的方法.
公式 x= b b2 4ac 就可得到方程的根.
2a
学习目标 1．理解因式分解法解一元二次方程的推导过程． 2．理解并掌握用因式分解法解一元二次方程．
课堂导入
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么
物体经过x s离地面的高度(单位：m)为
10x－4.9x2.
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？
新知探究
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
新知探究
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
随堂练习
用因式分解法解下列方程： (1) 3x2-12x＝-12；
x1=x2=2.
(2) 3x(x-1)＝2(x-1). x1=1 x2=2/3.
新知探究
例1 解方程：x(x－2)＋x－2＝0. 解： 因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0. 于是得
x－2＝0，或x＋1＝0， x1＝2，x2＝－1.
转化为两个一元 一次方程
新知探究
例2 解方程：5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
新知探究
用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1.移项：将方程化为一般形式； 2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； 3.转化：令每一个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
人教版《因式分解》ppt课件
因式分解的依据是什么？
因式，分解后得公因式和剩余因式相乘.
想一想：我们今天 学习了哪些知识？
25
归纳总结
1.因式分解： 把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样
的式子变形叫做这个多项式的因式分解.
注：(1)因式分解本质:是将“和”转化为“积”的 变形.
(2)因式分解 互逆运算
整
式乘法
26
归纳总结
=(x-y)(3x-3y+2)
(3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式，
-15xy÷5xy=-3
-10a2÷(-2a)=5a
-15xy÷5xy=-3
二提：提出公因式，用原式除以公因式得剩余
找出下列各题中的公因式：
注意：不要丢掉+1这项！
(2)因式分解
整式乘法
(1) ma +mb；
-2a÷(-2a)=1
分析：(1)是由乘积形式转化为多项式，不属于因式 分 (解2).变形后仍为和的形式，不属于因式分解. (3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式， 属于因式分解.
5
探究新知
问题：观察多项式pa＋pb＋pc，有什么特点吗？
pa＋pb＋pc pa pb pc
我们发现： 各项都有公共的因式p，我们把因式p叫做这
是把几个整式乘积的形式化为多项式.
你能尝试分解因式pa＋pb＋pc吗？
(3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式，
-6a3÷(-2a)=3a2
(3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式，
(1)因式分解本质:是将“和”转化为“积”的 变形.
=-2a(3a2+5a+1)
=(b-3a)2+2 (b-3a)
因式分解ppt(共22张PPT)
3．（随堂练习p3１、２）
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
人教版九年级数学上册《因式分解法》课件
2(x2+2x+1)
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛， 那么物体经过x秒离地面的高度（单位：米）为
10x-4.9x2
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？
设物体经过x秒落回地面，这时它离地面的高度为____米，则
10x-4.9x2＝0
10x-4.9x2＝0
x(10-4.9x)=0
用因式分解法解下列方程：
（１）x(x-2)+x-2＝0 25x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
有公因式 解：
吗？
x 2x 1 0
解：整理得
把方程整理成一般形式
x 2 0 或 x 1 0
x1 2，x2 1
4x2 1 0
2x 12x 1 0
2x 1 0 或 2 x 1 0
x=0 或 x+2＝0
2、方程 x2=4x 的根是__x_1___0__, _x_2____4__
x2-4x＝0 x（x-4）＝0 x＝0 或 x-4＝0
3、解方程：
（1） 3x2-6x＝-3
解： 3x2-6x+3=0 3(x2-2x+1)=0 ∴3(x-1)2=0
x-1=0 x1 x2 1
（2）（x+3)(x-3)=1
人教版 九年级上册第二十一章《一元二次方程》
21.2.3 解一元二次方程 -----因式分解法
1、能用因式分解法解数字系数的一元二次方程；
2、通过因式分解解法对一元二次方程进行求解， 体会降次的思想；
3、体验问题解决方法的多样性，灵活选择最为简 便的解决方法。
回顾旧知
1、什么叫做因式分解？
把一个多项式写成几个因式的乘积的形式叫做因式分解。
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛， 那么物体经过x秒离地面的高度（单位：米）为
10x-4.9x2
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？
设物体经过x秒落回地面，这时它离地面的高度为____米，则
10x-4.9x2＝0
10x-4.9x2＝0
x(10-4.9x)=0
用因式分解法解下列方程：
（１）x(x-2)+x-2＝0 25x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
有公因式 解：
吗？
x 2x 1 0
解：整理得
把方程整理成一般形式
x 2 0 或 x 1 0
x1 2，x2 1
4x2 1 0
2x 12x 1 0
2x 1 0 或 2 x 1 0
x=0 或 x+2＝0
2、方程 x2=4x 的根是__x_1___0__, _x_2____4__
x2-4x＝0 x（x-4）＝0 x＝0 或 x-4＝0
3、解方程：
（1） 3x2-6x＝-3
解： 3x2-6x+3=0 3(x2-2x+1)=0 ∴3(x-1)2=0
x-1=0 x1 x2 1
（2）（x+3)(x-3)=1
人教版 九年级上册第二十一章《一元二次方程》
21.2.3 解一元二次方程 -----因式分解法
1、能用因式分解法解数字系数的一元二次方程；
2、通过因式分解解法对一元二次方程进行求解， 体会降次的思想；
3、体验问题解决方法的多样性，灵活选择最为简 便的解决方法。
回顾旧知
1、什么叫做因式分解？
把一个多项式写成几个因式的乘积的形式叫做因式分解。
人教版《因式分解》(完整版)课件
（2）3mx 6my；
（3） 8m2n 2mn ；
（4）12xyz 9x2 y2 ；
（5） 2a( y z) 3b(z y) ； （6）p(a2 b2) q(a2 b2) ．
人教版《因式分解》教学实用课件（P PT优秀 课件）
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强化训练
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例题解析
说出下列多项式各项的公因式： (1)ma + mb ； （m）
(2)4kx－ 8ky ； （4k ）
(3)5y3+20y2 ；
（5 y 2）
(4)a2b－2ab2+ab . （ab）
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(3) (5a-1)2=25a2-10a+1 ； （ 整式乘法 ）
(4) x2+4x+4=(x+2)2.
（ 因式分解 ）
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提公因式法
怎样分解因式: pa pb pc ？
公因式：多项式中各项都有的因式，叫做这个多 项式的公因式．
3.什么是提公因式法？用提公因式法分解因式时 要注意什么问题？
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布置作业
教科书第119页习题14.3第1题．
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由 p(a b c) pa pb pc ，可得 pa pb pc p(a b c)
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2a
2. 什么叫因式分解?
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式 分解，也叫把这个多项式分解因式.
导入新知
3. 分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法:
am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法: a²-b²=(a+b)(a-b), a²±2ab+b²=(a±b) ².
（3）十字相乘法: 【思考】下面的方程如何使解答简单呢？
(2)移项，得 x2－6x＝19.
配方，得 x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2.∴(x－3)2＝28.
∴x－3＝±2 7.∴x1＝3＋2 7，x2＝3－2 7.
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探究新知
(3)3x2＝4x＋1;
(4)y2－15＝2y；
(3)移项，得 3x2－4x－1＝0.
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探究新知
素养考点 2 灵活选择方法解一元二次方程
例2 用适当方法解下列方程：
思路点拨：四种方法的选
(2)x2－6x－19＝0； (3)3x2＝4x＋1; (4)y2－15＝2y；
择顺序是：直接开平方法 →因式分解法→公式法→ 配方法．
∴3x＋2＝0 或 12x＋10＝0. ∴x1＝－23，x2＝－56.
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巩固练习
连接中考
连接中考
1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2） x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ﹣3 ．
2. 什么叫因式分解?
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式 分解，也叫把这个多项式分解因式.
导入新知
3. 分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法:
am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法: a²-b²=(a+b)(a-b), a²±2ab+b²=(a±b) ².
（3）十字相乘法: 【思考】下面的方程如何使解答简单呢？
(2)移项，得 x2－6x＝19.
配方，得 x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2.∴(x－3)2＝28.
∴x－3＝±2 7.∴x1＝3＋2 7，x2＝3－2 7.
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探究新知
(3)3x2＝4x＋1;
(4)y2－15＝2y；
(3)移项，得 3x2－4x－1＝0.
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探究新知
素养考点 2 灵活选择方法解一元二次方程
例2 用适当方法解下列方程：
思路点拨：四种方法的选
(2)x2－6x－19＝0； (3)3x2＝4x＋1; (4)y2－15＝2y；
择顺序是：直接开平方法 →因式分解法→公式法→ 配方法．
∴3x＋2＝0 或 12x＋10＝0. ∴x1＝－23，x2＝－56.
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巩固练习
连接中考
连接中考
1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2） x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ﹣3 ．
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2.先分解因式，再求值
4a2(x 7) 3(x 7)， 其中a 5, x 3.
2021-1-1
x
12
思考 15.4.2 公式法(1)
你能将多项式x2－16 与多项式m 2－4n2分解 因式吗?这两个多项式有什么共同的特点吗?
(a+b)(a－b) = a2－b2
a2－b2 =(a+b)(a－b)
（5）(a b)2 12(a b) 36 .
归纳：
（1） 先提公因式（有的话）； （2） 利用公式（可以的话）； （3） 2021-1-1 分解因式时要x 分解到不能分解为止23.
2.证明：连续两个奇数的平方差可 以被8整除.
2021-1-1
x
24
今天你有什么收获? 你还有什么疑问吗?
作业：习题15.4，2、3、5.
2021-1-1 =3a(x+y)2 .
x =(a+b－6)2.
21
练习
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？
(1) a2－4a+4;
(2)1+4a2;
(3) 4b2+4b－1 ; 2.分解因式：
(4)a2+ab+b2.
(1) x2+12x+36;
(2) －2xy－x2－y2;
(3) a2+2a+1;
x
10
因式分解：
(1)24x3y－18x2y ；
(2)7ma+14ma2 ；
(3)－16x4+32x3－56x2 ； (4)－ 7ab－14abx+49aby ； (5)2a(y－z)－3b(y－z) ； (6)p(a2+b2)－q(a2+b2).
4a2(x 7) 3(x 7)， 其中a 5, x 3.
2021-1-1
x
12
思考 15.4.2 公式法(1)
你能将多项式x2－16 与多项式m 2－4n2分解 因式吗?这两个多项式有什么共同的特点吗?
(a+b)(a－b) = a2－b2
a2－b2 =(a+b)(a－b)
（5）(a b)2 12(a b) 36 .
归纳：
（1） 先提公因式（有的话）； （2） 利用公式（可以的话）； （3） 2021-1-1 分解因式时要x 分解到不能分解为止23.
2.证明：连续两个奇数的平方差可 以被8整除.
2021-1-1
x
24
今天你有什么收获? 你还有什么疑问吗?
作业：习题15.4，2、3、5.
2021-1-1 =3a(x+y)2 .
x =(a+b－6)2.
21
练习
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？
(1) a2－4a+4;
(2)1+4a2;
(3) 4b2+4b－1 ; 2.分解因式：
(4)a2+ab+b2.
(1) x2+12x+36;
(2) －2xy－x2－y2;
(3) a2+2a+1;
x
10
因式分解：
(1)24x3y－18x2y ；
(2)7ma+14ma2 ；
(3)－16x4+32x3－56x2 ； (4)－ 7ab－14abx+49aby ； (5)2a(y－z)－3b(y－z) ； (6)p(a2+b2)－q(a2+b2).
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X2-1 X2-1
因式分解 整式乘法
(x+1)(x-1)
= (x+1)(x-1)
等式的特征：左边是多项式， 右边是几个整式的乘积
初步应用 巩固新知 下列等式中，从左到右的变形是因式分解 的有（ ③ ）
am bm c m(a b) c ② 24x 2 y 3x 8xy 2 ③ x 1 ( x 1)(x 1)
寻找公因式的关键是：
1、定系数
2、定字母 3、定指数
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？ (1) 3x+6y
（3）
(2)ab-2ac
(3)-6 x 2 y-8 xy 2
（a）
（-2xy）
(4)4 (m+n) 2 +2(m+n)（2(m+n)）
整 体 思 想
ma+ mb +mc = m ( a+b+c )
14.3.1提公因式法
14.3.2公式法之平方差公式
14.3.3公式法之完全平方公式
挑战一下
问题：已知a+b=8,ab=4，求a2 b+a b2 的值。
回忆
运用前面所学的知识填空：
(1) m(a+b+c)= ma+mb+mc
(2) (x+1)(x-1)= x2 -1
(3) (a+b)2 = a2 +2ab+b2
=ab（a+b）
=4 ×8
=32
例1: 把下列各式分解因式
(1) 8a3b2 + 12ab3c (2) 2a(b+c) - 3(b+c)
分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。
注意：公因式既可以是一个单项式的形式， 也可以是一个多项式的形式
注意：某项提出莫漏1。
诊断
小华解的有误吗？
把 - x2+xy-xz分解因式
解：原式= - x(x+y-z)
错误
提出负号时括号里的项 没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z) 注意：首项有负常提负，括号里面要变号。
小结
1、什么叫因式分解？ 2、确定公因式的方法： (1)定系数 (2)定字母 (3)定指数
=259 （2） 992＋99 99 × 99 + 99 解：原式＝ 99 （ 99 1 ）
= 99 ×(99+1)
=9900
1、计算（-2）101+（-2）100 2、已知, 2 x y 4 xy 3 , 求代数式 2 x 2 y xy 2 的值。
义务教育课程标准实验教科书北师版
八年级数学 下册
第四章（3）公式法
平方差公式
胜利第一中学 王彩玲
学习目标:
（1）了解运用公式法分解因式的意义；
（2）会用平方差公式进行因式分解；
（3）了解提公因式法是分解因式首先考虑 的方法，再考虑用平方差公式分解因式．
复习回顾：
1、前一节课我们学习一种因式分解的方法是什么？
3
2 x（x _ 2） （ 1 ）2 x 4 x __________ 2 （a b（ ） a _ b 3） （2）（a b）（ 3 a b） __________
记住哟！
3、提公因式法分解因式步骤(分两步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式.
4、提公因式法分解因式应注意的问题： （1）公因式要提尽； （2）某项提出莫漏1; （3）提出负号时,要注意变号.
挑战自我
把 12b(a-b)2 – 18(b-a)3 分解因式 解： 12b(a-b)2 – 18(b-a)3
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。
诊断
小明解的有误吗？
把12x2y+18xy2分解因式 解：原式 =3xy(4x + 6y)
错误
公因式没有提尽， 还可以提出公因式2
正确解：原式=6xy(2x+3y)
注意：公因式要提尽。
小亮解的有误吗？
把3x2 - 6xy+x分解因式
解：原式 =x(3x-6y) 当多项式的某一项和公 错误 因式相同时，提公因式 后剩余的项是1。 正确解：原式=3x· x-6y· x+1· x =x(3x-6y+1)
=12b(a-b)2 + 18(a-b)3
=6(a-b)2 [2b+3(a-b)] =6(a-b)2 (2b+3a-3b)
=6(a-b)2(3a-b)
巧妙计算
(1) 13.8×0.125+86.2×1/8
解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125
=0.125×(13.8+86.2)
=0.125×100
① ④
(2x 1) 4x 4x 1
2 2
ma mb mc
相同因式m
这个多项式有什么特点？
多项式中各项都含有的相同因式， 叫做这个多项式的公因式。
例: 找 3 x 2 – 6 xy 的公因式。
系数：最大 公因数。
3
指数：相同 1 字母的最低 x 字母：相同 次幂 的字母
所以，公因式是3x。
探究
把下列多项式写 成乘积的形式
观察“回忆”与 “探究”，你能 发现它们之间的 联系与区别吗？
(1) ma+mb+mc=( m )(a+b+c )
(2) x2 -1 =(x+1)( x-1 )
(3) a2 +2ab+b2 =( a+b )2
都是多项式化 为几个整式的 积的形式
定义
把一个多项式化为几个整式的乘积的 形式,像这样的式子变形叫做这个多项 式的因式分解，也叫做把这个多项式 分解因式。
1 1 1 1 1 1 7 7 7 （1） 259 ＋ ＋ 259 259 259 259 259 259 259 259 3 33 5 55 15 15 15 1 1 1 17 7 解：原式＝ 259 （ ＋ ＋ ） ） × 解：原式＝ 259 （ 3 3 5 5 15 15
如果一个多项式的各项含有公因式，那么 就可以把这个公因式提出来，从而将多项式 化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的 方法叫做提公因式法。
注:其中一个因式是各项的公因式m,另一
个因式a +b+c是ma+mb+mc除以m 所得的商
挑战一下
问题：已知a+b=8,ab=4，求a2 b+a b2 的值。 a2 b+ a b2=ab· a+ab· b
(2)已知2a+b=5,ab=3,求2a2b+ab2的
值.
解: 2a2b+ab2
=12.5
=ab(2a+b)=3×5=15
看你能否过关？
把下列各式分解因式：
(1)8 m2n+2mn (2)12xyz-9x2y2 (3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )
(4)
3 3 2 2 -x y -x y -xy