二次函数综合(经典)

2011—2012学年A+学堂九年级春季提优（二次函数）

1．如图，直角梯形OABC 中，OC ∥AB ，C (0，3)，B (4，1)，以BC 为直径的圆交x 轴于E 、

D 两点(D 点在

E 点右方)．

(1)求点E 、D 的坐标；

(2)求过B 、C 、D 三点的抛物线的函数关系式；

(3)过B 、C 、D 三点的抛物线上是否存在点Q ，使△BDQ 是以BD 为直角边的直角三角形？

若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．

2．如图，已知抛物线y ＝ax 2

－4x ＋c 经过点A (0，－6)和

B (3，－9)．

(1)求出抛物线的解析式；

(2)写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；

(3)点P (m ，m )与点Q 均在抛物线上(其中m ＞0)，且这两点 关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 的坐标； (4)在满足(3)的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M ， 使得△QMA 的周长最小．

3．如图，抛物线2

y x bx c =++的顶点为(1,4)D --，与y 轴交于点(0,3)C -，与x 轴 交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧）. （1）求抛物线的解析式；

（2）连接,,AC CD AD ，试证明△ACD 为直角三角形；

（3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以,,,A B E F 为顶点的四

边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由.

4. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2

的图象与x 轴交于A 、B 两点，

A 点在原点的左侧，

B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于

C （0，-3）点，点P 是直线BC

下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形C P PO '，那么是否存在点P ，使四边形C P PO '为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.

5. 如图，已知二次函数2

y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点P ，顶点为C （12-，）

。

x

（1）求此函数的关系式；

（2）作点C 关于x 轴的对称点D ，顺次连接A 、C 、B 、D 。若在抛物线上存在点E ，使直线PE 将四边形ACBD 分成面积相等的两个四边形，求点E 的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得△PEF 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标及△PEF 的面积；若不存在，请说明理由。

6. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ；抛物线y

＝－x 2

＋bx ＋c 经过B 、C 两点，并与x 轴交于另一点A ． (1)求该抛物线所对应的函数关系式；

(2)设P (x ，y )是(1)所得抛物线上的一个动点，过点P 作直线l ⊥x 轴于点M ，交直线BC 于点N ．

①若点P 在第一象限内．试问：线段PN 的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x 的值；若不存在，请说明理由； ②求以BC 为底边的等腰△BPC 的面积．

7. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A )0,4(-，B )4,0(-，C )0,2(三点． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．

（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线x y -=上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点

Q 的坐标．

8. 孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线2

(0)y ax a =<的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请解答以下问题： （1

）若测得OA OB ==1），求a 的值；

（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF x ⊥轴

于点F ，测得1OF =，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．．

； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 的连线

段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

9. 如图，抛物线y ＝－ 1 4

x 2

＋x ＋3与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，顶点为点D ，对

称轴l 与直线BC 交于点E ，与x 轴交于点F ． (1)求直线BC 的解析式．

(2)设点P 为该抛物线上的一个动点，以点P 为圆心、

r 为半径作⊙P ． ① 当点P 运动到点D 时，若⊙P 与直线BC 相交， 求r 的取值范围；

②若r ＝455

，是否存在点P 使⊙P 与直线BC 相切？若存在，请求出点P 的坐标；若不存

在，请说明理

10. 已二次函数2

123y x x =--及一次函数2y x m =+.

(l)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x 轴的交点坐标； (2)将该二次函数图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在图10中画出这个新图象，并求出新图象与直线2y x m =+有三个不同公共点时m 的值：

(3)当02x ≤≤时，函数12(y y y =++共点，求m 的取值范围．