52自动控制理论-第五章02
《自动控制理论(第3版)》第05章课件
= Im
（1）极坐标图
A() = () = 90
0 =0
Re
（2）波特图
L() = 20lgA() = 20lg () = 90
注意：由于微分环节与
L()/dB
20
0
1
20dB/dec
10
积分环节的传递函数互
为倒数， L()和 ()
仅相差一个符号。因此，
()/(°)
90°
Im
=
=0
Re
0
1
36
8 延迟环节
其频率特性为 ：G(j) = e jT 幅值为：A() = e jT = 1 相角为：() = T (rad) = 57.3T()
由于幅值总是1，相角随频率而变化，其极坐标图为一单位圆。
Im
L()/dB
0
0
=0
Re
()/(°)
0°
T大 T小
由于( )随频率的增长而线性滞后，将严重影响系统的稳定性 37
L ()2l0 g G (j) dB “分贝”
坐标特点 纵轴 (),(单位：度或者弧)度
⑴ 幅值相乘 = 对数相加，便于叠加作图；
特点 ⑵ 可在大范围内表示频率特性；
⑶ 利用实验数据容易确定 L(),进而确定G(s)。
17
频率特性 G(jw) 的表示方法
以 G(j) 1 为例。
Ts1sj
1. 幅相特性(Nyquist)
称为RC网络的幅频特性，后者称为相频特性。
⑤
1
jarc T tan 1
j 1 1 j T 1
e e 1 (T )2
1 j T
1 j T
完全地描述了网络在正弦输入电压作用下，稳态输
自动控制原理第五章
1第五章 频域分析法目的：①直观，对高频干扰的抑制能力。
对快(高频)、慢(低频)信号的跟踪能力。
②便于系统的分析与设计。
③易于用实验法定传函。
§5.1 频率特性一. 定义)()()()(1n p s p s s s G +⋅⋅⋅+=θ在系统输入端加一个正弦信号：t R t r m ωsin )(⋅=))(()(22ωωωωωj s j s R s R s R m m -+⋅=+⋅=↔ 系统输出：))(()()()()(1ωωωθj s j s R p s p s s s Y m n -+⋅⋅+⋅⋅⋅+=2t j t j e A e A t y t y ωω⋅+⋅+=↔-瞬态响应)()(1 若系统稳定，即)(s G 的极点全位于s 左半平面，则 0)(l i m 1=∞→t y t 稳态响应为：t j t j ss e A eA t y ωω⋅+⋅=-)( 而)(21)()(22ωωωωωj G R j j s s R s G A m j s m -⋅-=+⋅+⋅⋅=-= )(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m ⋅=-⋅+⋅⋅== ∴t j m t j m ss e j G R je j G R j t y ωωωω⋅⋅+⋅-⋅-=-)(21)(21)( =])()([21t j t j m e j G e j G R jωωωω-⋅--⋅⋅ 又)(s G 为s 的有理函数，故)()(*ωωj G j G -=，即3φωωj e j G j G )()(=φωωj e j G j G -=-)()( ∴][)(21)()()(φωφωω+-+--⋅=t j t j m ss e e j G R jt y =)sin()(φωω+⋅⋅t j G R m=)sin(φω+⋅t Y m可见：对稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，其稳态响应也是一个同频率的正弦信号。
自动控制原理第五章
KT j 1 2T 2
0 : U(0) K
V (0) 0
1: T
:
U(1) K T2
U() 0
V(1) K T2
V() 0
●
●
K
●
0.707K
V(ω)
K/2 K
●
●
U(ω)
-K/2
●
10
3 由零、极点分布图绘制
1)在[s]上标出开环零极点；
G( j ) K K / T 1 jT j 1 / T
低频段 1
T
L( ) 20lg A( ) 20lg () arctgT 0
10
高频段
1
T
20lg A() 20lgT ( ) arctgT 900
转折频率 1
T
20lg A( ) 20lg 2 3.01 0db
( ) arctgT 450
15
20 0 -20 -40 -60 90 45 0 -45 -90
3) 振荡环节
1
G(s) (s / n )2 2 (s / n ) 1
n
1 T
0
4) 一阶微分 G(s) Ts 1 (T>0)
0 1
5) 二阶微分 G(s) (s / n )2 2 (s / n ) 1 (n 0, 0 1)
6) 纯滞后环节 G(s) e s
19
5-3-2 最小相位典型环节的频率特性
0.01
0.1
T
10
T
●
●
●
●
0.1
1/T1
10
T 0.1 () arctg0.1 5.70
T 1 ( ) arctg10 84.30
自动控制原理第五章课后习题答案(免费)[1]
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自动控制原理第五章课后习题答案（免费）5－１设单位反馈系统的开环传递函数为对系统进行串联校正，满足开环增益 及 解:① 首先确定开环增益K,00()12lim v s K SG S k →===② 未校正系统开环传函为:012()(1)G s s s =+M a g n i t u d e (d B )1010101010P h a s e (d e g )Bode DiagramGm = 70.5 dB (at 200 rad/sec) , P m = 16.5 deg (at 3.39 rad/sec)Frequency (rad/sec)③ 绘制未校正系统的开环对数频率特性,得到幅穿频率 3.4c ω=,对应相位角'0()164,16c G j ωγ∠=-∴=,采用超前校正装置,最大相角 0(180())4016630m c G j ϕγωγ=-+∠+=-+=④ 11sin ,31m αϕαα--=∴=+ 0()(1)KG s s s =+40γ=︒112K s -=⑤ 在已绘图上找出10lg 10lg3 4.77α-=-=-的频率 4.4m ω=弧度/秒 令c m ωω=⑥0.128/,0.385/m T s T s ωα=⇒==∴=校正装置的传函为:110.385()110.128Ts s G s Ts s α++==++校正后的开环传函为:012(10.39)()()()(1)(10.13)c s G s G s G s s s s +==++ 校正后1801374340γ=-=>,满足指标要求.-100-50050100M a g n i t u d e (d B )101010101010P h a s e (d e g )Bode DiagramGm = 99.2 dB (at 1.82e+003 rad/sec) , P m = 42.4 deg (at 4.53 rad/sec)Frequency (rad/sec)5－２设单位反馈系统的开环传递函数为要求 设计串联迟后校正装置。
自动控制理论第五章
因为 G(j)G(j)ej() G(j)G(j)ej()
所以 C (t)AG (j)S(in t)
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第五章 频率响应
3
自动控制理论
图5-1
例:
E E 1 2((ss))1R 1 C ,E 1(Ss)S2A 2
20lg1 jT 20lg 1 1 jT
arg(1 jT) arg( 1 ) 1 jT
3. 积分、微分因子
1 1)积分因子 j
( j)1
L()20 lg
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图5-10
第五章 频率响应
10
自动控制理论
()90
2)微分因子 j
()20 lg
() a G 1 ( r j) g a G 2 r ( j) g a G n r ( j) g
例5-2 G(S)H(S)10 (10.1S) S(10.5S)
解 （1）幅频特性 10(1 j )
G( j)
j(1
10
j)
2
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图5-2
第五章 频率响应
4
自动控制理论
e2(t)
A S
1T22
i(n tarcTta) n
G(j) 1TA22 ()tg1T
图5-3
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第五章 频率响应
5
自动控制理论
二、由传递函数确定系统的频率响应
例5-1 G (s) S 1 2 (4 S 0 S 1 ) 1 3 (S 2 1 j( 3 S )0 S ( 1 )2 j3 ) 试绘制系统的幅频和相频特性曲线。
自动控制原理(第五章)
L(ω)
0.1ωn
ωn
10ωn -40 db/dec
ω
-40
() G( j)
n 0 90 n 180 n
φ( ω )
ω
-90o -180o
自动控制原理 ——线性系统的频域分析法
7) 二阶微分环节
G( s) ( s
-30
自动控制原理 ——线性系统的频域分析法
3) 微分环节
G( s) s G( j ) j
20
L( )(dB)
0 0.01 0.1 1 10
20dB / dec
G ( j )
j
40
G ( j ) j 90
0
( )()
90 60 30 0 0.01 0.1 1 10
0
0 .1 1 T
1 T
10
1 T
自动控制原理 ——线性系统的频域分析法
2 n 6) 振荡环节 G(s) 2 2 s 2n s n 2 n G( j) 2 j ( j)2 2n ( j) n
பைடு நூலகம்
G( j )
2 2 2 (1 2 ) (2 ) 0 n n
G ( j )
1
自动控制原理 ——线性系统的频域分析法
L( )(dB)
0 .1 1 T
L( ) 20lg G ( j0)
-20 20lg 1 T 1 时，L( ) 20lg 1 0 T ( )() 1 1 时，L( ) 200 lg .1 T T T ( ) G ( j ) 0 arctanT
自动控制原理 ——线性系统的频域分析法
自动控制原理第五章频域分析法
第19页/共187页
频率特性
对应的幅值和相角：
同理，可求得对应于2的|G(j2)|和(j2) 。
若对取所有可能的值，则可得到一系列相应的幅值和相位。 其中幅值随频率变化而变化的特性称为系统的幅频特性。 相角随频率变化而变化的特性称为系统的相频特性。
第20页/共187页
每当ω增加十倍， L(ω)减少20dB负20分贝十倍频程 －20dB/ dec
第34页/共187页
5－3典型环节和开环系统频率特性
第35页/共187页
积分环节L(ω)
[-20]
[-20]
[-20]
第36页/共187页
5－3典型环节和开环系统频率特性
三、微分环节
幅频特性与ω成正比，相频特性恒为90°
第12页/共187页
5-2频率特性
以RC网络为例，说明频率特性的基本概念。
取拉氏变换，求网络的传递函数
如果输入为正弦量：
由电路分析，电路达到稳态时，输出也是以ω为角频率的正弦量。
在传递函数中G(s)中，只要令s=jω，则可由⑴式得到⑵式。
第13页/共187页
5-2频率特性
控制系统的三种数学模型：微分方程、传递函数、频率特性可以相互转换，它们的关系见右图。
交接频率将近似对数幅频特性曲线分为二段：低频段和高频段。
第41页/共187页
惯性环节G(jω)
φ(ω) = -tg-10.5 ω
ω
0
0.5
1
2
4
5
8
20
φo(ω)
A(ω)
0
1
-14.5
0.97
-26.6
0.89
自动控制理论第五章
kg K 2K s (0.5s 1) s ( s 2) s ( s 2)
k g 2K
开环有两个极点： p1= 0， p2=－2 开环没有零点。 闭环特征方程为： D(s) = s2 +2s + kg = 0 s 解得闭环特征根（亦即闭环极点） s1 1 1 k g ；2 1 1 k g 可见，当kg 变化，两个闭环极点也随之连续变化。 当kg 从0→∞变化时，直接描点作出两个闭环极点的变化轨迹
（1）当 kg = 0时，s1 = 0、s2 = －2，此时闭环极点 就是开环极点。 （2）当0＜kg＜1时，s1、s2均为负实数，且位于负 实轴的（－2，0） 一段上。 （3）当kg = 1时，s1 = s2 = －1，两个负实数闭环极 点重合在一起。 （4）当1＜kg＜∞时，s1，2 =－1± j k g 1 ，两个闭 环极点变为一对共轭复数极点。s1、s2的实部不随kg 变化，其位于过（－1，0）点且平行于虚袖的直线 上。 （5）当kg＝∞时， s1 = －1+ j∞、s2 = －1－j∞， 此时s1、s2将趋于无限远处。
例：求上例中根轨迹上
s2 (0.5, j1)
点对应的kg 。
k 解 ：g s2 p1 s2 p2 0.5 j 0 0.5 j 1 1.118 1.118 1.25 s2 p1 、 s2 p2 也可以用直尺测量向量的长度。
5．2 绘制根轨迹的基本规则
不符合相角条件， s1不在根轨迹上。
满足相角条件， s2在根轨迹上。
2. 用幅植条件确定kg的值 幅值条件：
n
kg
s p
j 1 m i 1
j
s zi
自动控制原理课件第五章
1 幅相频率特性
• • •
曲线或极坐标图。 在复平面，把频率特性的模和角同时表示出来的图就是 幅相曲线或极坐标图。 它是以 为参变量，以复平面上的矢量 G ( j ) 表示的一 种方法。 例 惯性环节幅相频率特性
G ( j ) k 1 jT k 1 T
2 2
•幅相频率特性曲线：又称奈奎斯特（Nyquist）
模从- 相角从-/2-3/2
-1
Im
ω
∞
Re
ω ω
0
系统开环对数频率特性例题2
系统开环对数频率特性
系统开环对数频率特性例题3
系统开环传函：
G (s)
-1 -1 0.05 0.1 1 2 10 100 -2 -90°
20 lg 40 20 lg 1 0 . 05 20 lg
L( )
为横坐标，
为纵坐标。
5-3 典型环节及开环频率特性 一、典型环节的频率特性p177
•要求掌握以下各环节幅相频率特性及对数频率 特性。
比例环节、微分环节、 积分环节、 惯性环 节、 振荡环节、 一阶微分环节、 二阶微分 环节、 延时环节。 非最小相位环节 开环传函中包含右半平 面 的零点或极点。
比例 G( s ) k , G( j ) k , 积分 ( s ) , G ( j ) G , s j 微分
1 1
k, 0
1
, 90
G( s ) s, G( j ) j ,
, 90
惯性环节（对比一阶微分环节）
G( s) 1 Ts 1 1 1 T
s
G ( j ) e
j
cos j sin
自动控制原理第五章PPT课件
s (1 0 .1 s)
s1 0 .1 s
比例环节
一阶微分环节
积分环节
惯性环节
.
23
非最小相位环节 ：开环零点、极点位于S平面右 半部分
➢ 比例环节：-K
➢ 惯性环节：1/(-Ts+1)，式中. T>0
24
最小相位系统与非最小相位系统
除比例环节外，非最小相位环节和与之对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的 位置，非最小相位环节对应于s右半平面开环零点或极点，而最小相位环节对应于s左半 平面开环零点或极点。
• 对于不稳定系统则不可以通过试验方法来确定，因 为输出响应稳态分量中含有由系统传递函数的不稳
定极点产生的发散或震荡分量。
.
8
线性定常系统的传递函数为零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比
其反变换为
G(s)= C(s) R(s)
g(t) 1 jG(s)estds
2 j j 式中位于G(s)的收敛域。若系统稳定，则可取零，如果r(t)的傅氏变换 存在，可令s=j,则有
d () 是 关 于 的 奇 函 数 。
.
5
.
6
因而
1
G (j) c b 2 2 ( () ) d a 2 2 ( () ) 2 ,
G (j) a r c ta n b ()c () a ()d () a ()c () d ()b ()
G ( j )c a (( )) jjd b ( ( ) )G (j )ej G (j)
Tddut0u0ui
TRC
uo t
取拉氏变换并带入初始条件uo0
1
1 A
U o ( s ) T s 1 [ U i( s ) T u o 0 ] T s 1 [ s 2 2 T u o 0 ]
自动控制原理第5章2
20lgM=0.25dB
α=-2°
α=2°
-0.5 (0.944)
1.0
20lgA(dB)
10°
8
30°
3.0
-10° -2.0
(0.794)
6.0
-30°
-4.0 (0.631) -6.0 (0.501)
-8
60°
-60°
-10.0
90°
-90°
-12
150° -150°
(0.316)
-15.0
(0.178)
M(ω)
Mr
1
0.707
0
ωr
ωb
ω
自9 动5控.7制原频理域性能指标与瞬态性能指标之间的关系
我们知道，时间响应的性能指标直观、具有实际意义，因此，系 统性能的优劣通常用时间响应性能指标来衡量。
所以研究频率特性的性能指标与瞬态响应性能指标之间的关系， 对于用频域法分析、设计控制系统是非常重要的。
开环频域指标主要包括剪切频率ωc 、相角裕度 γ以及幅 值裕度Kg ；
闭环频域指标主要包括谐振峰值Mr，谐振频率ωr 以及 带宽频率ωb ；
时域暂态指标可以用相对超调量和调节时间来描述。
本节主要讨论上述性能指标之间的关系。
自10动控5制.7原.1理开环频域性能指标与瞬态性能指标之间的关系
1．相角裕度和相对超调量之间的关系
典型二阶系统的开环频率特性为 G() 1 GK ( j)
在尼柯尔斯图上画出GK ( j) 特性曲线，并在不同频率点处读
取和θ值，可以求得
GK ( j)
1 GK ( j)
的幅值和相角。
自8 动控5制.原6.理2 闭环频域性能指标
用闭环频率特性来评价系统的性能，通常用以下指标： （1）谐振峰值resonant peak magnitude Mr。谐振峰值是闭 环系统幅频特性的最大值。 （2）谐振频率resonant peak frequency ωr。谐振频率是闭 环系统幅频特性出现谐振峰值时的频率。 （3）带宽bandwidth频率ωb 。带宽频率是闭环系统频率特性 幅值由其初始值M(0)减小到0.707 M(0)时的频率，也称频带宽 度。 闭环系统的频域性能指标示于下图：
《自动控制理论》参考答案第五章
第五章一、单项选择题1-5：D 、B 、D 、A 、B 6-10：B 、D 、C 、A 、C 11-13：D 、A 、B二、分析计算题5-1解 （a)依图：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=++=++=2121111212111111221)1(11)()(R R C R R T C R RR R K s T s K sCR sC R R R s U s U r c ττ ωωτωωωωω11121212121)1()()()(jT j K C R R j R R C R R j R j U j U j G r c a ++=+++==(b)依图：⎩⎨⎧+==++=+++=C R R T CR s T s sCR R sCR s U s U r c )(1111)()(2122222212ττ ωωτωωωωω2221211)(11)()()(jT j C R R j C R j j U j U j G r c b ++=+++==5-2解 系统闭环传递函数为: 21)(+=Φs s 图5-76 系统结构图 频率特性:2244221)(ωωωωω+-++=+=Φj j j 幅频特性: 241)(ωω+=Φj相频特性: )2arctan()(ωωϕ-= 系统误差传递函数: ,21)(11)(++=+=Φs s s G s e则 )2arctan(arctan )(,41)(22ωωωϕωωω-=++=Φj j e e（1）当t t r 2sin )(=时,2=ω，r m =1则 ,35.081)(2==Φ=ωωj 45)22arctan()2(-=-=j ϕ4.1862arctan )2(,79.085)(2====Φ=j j e e ϕωω)452sin(35.0)2sin()2(-=-Φ=t t j r c m ss ϕ )4.182sin(79.0)2sin()2(+=-Φ=t t j r e e e m ss ϕ （2） 当 )452cos(2)30sin()(︒--︒+=t t t r 时: ⎩⎨⎧====2,21,12211m m r r ωω5.26)21arctan()1(45.055)1(-=-===Φj j ϕ 4.18)31arctan()1(63.0510)1(====Φj j e e ϕ)]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t c m m s ϕϕ+-⋅Φ-++⋅Φ=)902cos(7.0)4.3sin(4.0--+=t t)]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t e e e m e e m s ϕϕ+-⋅Φ-++⋅Φ=)6.262cos(58.1)4.48sin(63.0--+=t t5-4解 ()()()12G j K j K e j ==-+ωωπω=→∞00,()G j ω→∞∞=,()G j 0ϕωπ()=-2幅频特性如图解5-4(a)。
自动控制原理 第五章-2
Determine the stability of the system for two cases (1)K is small(2) K is large
G ( j ) H ( j )
K (1 jT1 )(1 jT2 )( j ) (1 T12 2 )(1 T22 2 ) K ((T1 T2 ) j (1 T 1T2 2 ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )
0 ~ 90
K ( j 3) G ( j ) H ( j ) j ( j 1) K [4 j (3 2 )] (1 2 )
Im[G( j ) H ( j )] 0
c 3
G ( j ) H ( j )
K ( j 3) j ( j 1)
越(－∞，－1)区间一次。 开环频率特性曲线逆时针穿越(－∞，－1)区间时，随ω增加，频 率特性的相角值增大，称为一次正穿越N’+。 反之，开环频率特性曲线顺时针穿越(－∞，－1)区间时，随ω增 加，频率特性的相角值减小，则称为一次负穿越N’－。 频率特性曲线包围(－1，j0)点的情况，就可以利用频率特性曲线 在负实轴(－∞，－1)区间的正、负穿越来表达。
除劳斯判据外，分析系统稳定性的另一种常用判据 为奈奎斯特（Nyquist）判据。Nyquist稳定判据是奈奎斯 特于1932年提出的，是频率法的重要内容，简称奈氏判 据。奈氏判据的主要特点有
1.根据系统的开环频率特性，来研究闭环系统稳定性，而 不必求闭环特征根；
2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）。 3.可分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计； 4.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。
N(s)=0 的根为开环传递函数的极点。
自动控制原理(第2版)第5章频率响应法(2)简明教程PPT课件
( ) arctan 1
这表示L(ω)的低频渐近线为0dB的一条水平 线。
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自动控制原理
当 1 时，略去式中的1，则得 L( ) 20lg 1
可见，L(ω)高频部 分的渐近线是一条斜率 为–20dB/dec的直线， 当输入信号的频率每增 加十倍频程时对应输出 信号的幅值便下降20dB
1 20 lg K 20 lg K
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自动控制原理
2. 一阶因子
(1 jT )
1
一阶因子 (1 jT )1 分别为
的对数幅频和相频表达式
2
其中
L(ω)≈–20lg1dB=0dB
2 当 1 时，略去上式中的 ( ) 项，则得 1
L( ) 20lg 1 1 1 1 T
1 arg(1 jT ) arg( ) 1 jT
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自动控制原理
惯性环节L(ω)
L(ω)dB
1 ① G(s)= 0.5s+1
100 ② G(s)= s+5
40 26dB 20
[-20]
0dB 0o -20 - 30o - 45o o -40 - 60 - 90o 0.1 0.2
自动控制原理
第五章 频率响应法
Chapter 5 Frequency Response Methods
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College of Electromechanical ＆ Information Engineering
自动控制原理
5.2
对 数 坐 标 图
对数频率特性曲线由对数幅频曲线和对数相频 曲线两张图组成，是工程中广泛使用的一组曲线。 它又称为伯德曲线或伯德图。
自动控制理论 自考 习题解答第5章稳定性分析
第五章 稳定性分析5—1 解：（1） 系统的特征方程为020)1(212=++⇒=++s s s s 。
因为二阶特征方程的所有项系数大于零，满足二阶系统的稳定的充分必要条件，即两个特征根均在S 平面的左半面，所以此系统稳定。
（2） 系统的特征方程为030)1(312=+-⇒=-+s s s s 。
因为二阶特征方程的项系数出现异号，不满足二阶系统的稳定的充分必要条件，所以此系统不稳定。
（注：BIBO 稳定意旨控制系统的输入输出（外部）稳定，系统稳定的充分必要条件是输出与输入之间传递函数的极点均在S 平面的左半平面。
若传递函数无零极点对消现象时，内部稳定与外部稳定等价。
此系统只含极点不含零点，所以传递函数的极点和特征方程的特征根等价，故直接可以用特征根的位置判系统的稳定性。
） 5—2 解： （1）Θ特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；又Θ三阶系统的系数内项乘积大于外项乘积（5011020⨯>⨯），满足稳定的充分条件。
∴ 该控制系统稳定。
（2）Θ特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；Θ特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；列写Routh故系统有两个特征根在S平面的右半部。
（3）Θ特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；又Θ三阶系统的系数内项乘积小于外项乘积（30020⨯⨯），不满足<81稳定的充分条件。
∴该控制系统不稳定。
（4）Θ特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；稳定。
由于第一列元素符号变化两次，系统特征根有两个在右半平面，其它4个根在左半平面。
（5）Θ特征方程中所有项系数大于零，满足稳定的必要条件；不稳定。
由于表中出现全为0的行，为确定特征根的分布可构造辅助方程012048402324,43324=+⇒=+⇒=++=s s s s s s k利用辅助方程的导数方程的对应项系数代替全零行元素，继续完成表的列写。
结果：第一列元素无负数，右半平面无根，有4个根在虚轴上。
自动控制理论(邹伯敏)第五章答案(1)
自动控制理论第五章答案题5-2 (1) 解存在一个积分环节，低频处斜率为20/dB dec -，在1ω=时，()20log 20L K dB ω== 在2ω≥处，惯性环节对加速衰减，斜率由20/dB dec -变为40/dB dec - 在10ω≥处，又加入一个惯性环节，斜率由40/dB dec -变为60/dB dec - 系统相频特性按下式计算()90arctan(0.5)arctan(0.1)ϕωωω=---ω0 1 10 100 ∞()ϕω-90-122-214-263-270()/L dBω20dB40dB 60dB -20dB -40dB -60dB()/L dBω-90°-180°-270°（2）解（原有答案的相频特性曲线画错，现已更正）2275(10.2)0.75(10.2)()(16100)(0.010.161)s s G s s s s s s s ++==++++存在一个积分环节，低频处斜率为20/dB dec -，在1ω=时，()20log 2.5L K dB ω==- 在5ω≥处，增加一个微分环节，斜率由20/dB dec -变为0/dB dec在10ω≥处，加入一个二阶因子，斜率由0/dB dec 变为40/dB dec -，其中=0.80.707ζ>，不会产生谐振。
系统相频特性按下式计算216()90arctan(0.2)arctan()100ωϕωωω=-+-- ω0 1 10- 10+ 100 ∞()ϕω-90-88-117636()/LdBω20dB40dB 60dB -20dB -40dB -60dB()/L dBω-90°-180°题5-5 （d ）在低频处斜率为20/dB dec -，存在一个积分环节K s ，20lg0100100KK =⇒= 在=0.01ω，斜率变为40/dB dec -，说明加入一个惯性环节110.01s +在20ω=，斜率变为60/dB dec -，说明又加入一个惯性环节1120s +所以，传递函数为100()(1001)(0.051)(1)(1)0.0120K G s s s s s ==++++ （f ）在低频处斜率为20/dB dec -，存在一个积分环节K s ，20lg0100100KK =⇒= 在=45.3ω，斜率变为60/dB dec -，说明加入一个振荡环节22100()(21)45.345.3G s s ss ζ=++设1100()L ωω=为积分环节的幅频特性，则11(45.3)(100)20lg(45.3)20lg(100) 6.88L L -=-+=，又有1(100)0L =，所以1(45.3)6.88(45.3)6.884.8511.73L L =⇒=+=45.3100()|20lg 11.7345.30.286L ωωζ==-=⇒= 所以，传递函数为22100()0.572(1)45.345.3G s s s s =++题5-9（2）奈氏曲线为首先画出ω由0--∞→的奈氏图，再由于系统为I 型系统，s 平面上原点附近半圆在GH 平由图可以看出，N=0，又P=0，所以Z=0，系统稳定。
自动控制--第五章 单容对象动特性及其数学描述
2 实验测定（测试法建模） 通过实验测定，称为实验测定法。根据生产过 程的输入和输出的实测数据，进行某种数学处理后 建立输入-输出模型。 (1) 经典辨识法：不考虑测试过程中的偶然误差 ，只对少量测试数据进行简单的数学处理，计算工 作量小，一般不用计算机。
如图5-5所示为双容对象，由两个一阶非周期性 的惯性环节串联起来，被调量是第二水槽的水位h2。 当输入量有一个阶跃 增加ΔQ1 时，被调量 变化的反应（飞升） 曲线如图5-6中所示的 Δh2曲线。
1 S 形曲线
这里不再是单容对象的简单的
指数曲线，而是呈S 形的一条曲线。
B
2 容量滞后
由于多了一个容器就使调节对
截面积A，一个是流入量与流出量的差额。其中，A称为
水槽的容量系数，又称液容C。
假定流量Q1的变化量ΔQ1与调节阀1的开度的变化量成
正比, 比例系数为 K， 即 Q1 K 1
（5-5）
假定输出水流量Q2随水位而变化，二者之间关系为：
Δh
Δh
ΔQ2 RS RS ΔQ2
其中， R是S 流出管路上的阀门2的阻力，或称液阻。
1 1
两个实根 T中，大多数对象的飞
升曲线是过阻尼的，因此，这种传递函数可以适用于
一大批工业对象。
5．4 测定动态特性的频域方法
5．4．1 正弦波方法
1 测定原理 利用线性系统频率保持性，记录输出的稳定振荡 波形，就可测得精确的频率特性。 波形稳定后，测出输出振幅与相位，与输入振幅 与相位比较，便可知道对象的频率特性，进而求的数 学模型。
《自动控制原理》教学参考 第五章
第5章频域分析教学要求掌握系统频率特性分析与系统幅角之间的关系，掌握乃奎斯特图和伯德图的绘制方法，根据系统的乃奎斯特图和伯德图分析系统的性质。
教学重点⑴了解频率特性的基本概念，掌握其不同的表示方法；⑵了解典型环节的频率特性；⑶熟练掌握伯德图和乃奎斯特图的绘制方法；⑷理解和掌握乃奎斯特稳定判据，会用乃奎斯特判据判断系统的稳定性；⑸熟练掌握系统稳定裕量的物理含义和计算方法；⑹建立开环频率特性和系统瞬态特性之间的对应关系，能够定性地分析系统的瞬态性能；⑺了解闭环系统频率特性及其和系统瞬态特性的关系。
教学难点频率特性的绘制，频率特性与系统时域指标之间的关系，频域指标。
课时安排本章安排理论讲授12课时，实验4课时。
教学大纲一．频率特性的基本概念1．频率特性的定义2．频率特性的图形表示方法二．典型环节的频率特性1．比例环节2．积分环节3．惯性环节4．微分环节5．振荡环节6．滞后环节三．开环系统频率特性图的绘制1．开环幅相频率特性的特点2．系统伯德图的绘制3．最小相位系统和非最小相位系统四．频域稳定性判据1．乃奎斯特稳定性判据2．对数频率特性判据3．系统的稳定裕量五．开环频率特性与系统性能的关系1．开环对数频率特性的基本性质2．系统特性和闭环频率特性的关系主要概念1．频率特性 2．幅频特性 3．相频特性 4．乃奎斯特图 5．伯德图6．最小相位系统 7．非最小相位系统 8．乃奎斯特稳定性判据 9．幅角原理 10．辅助函数11．对数频率特性判据 12．相位裕量 13．增益裕量 14．截止频率 15．转折频率 16．带宽17．低频段、中频段、高频段实验 典型系统的频率特性测试一．实验目的1．掌握测量典型一阶系统和二阶系统频率特性曲线的方法； 2．掌握软件仿真求取一阶和二阶系统开环频率特性的方法。
二．实验内容1．搭建一阶惯性环节，绘制其频率特性曲线； 2．搭建典型二阶环节，绘制其频率特性曲线；3．用软件仿真求取一阶和二阶系统频率特性曲线，跟实验结果加以比较。
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1
斜率为： -20=-20dB/dec
1 T1 1 T2
20
1 T1 1 T2
45
20 40 60 80
40
60
90 135 180
270
10 [例]系统开环传函为： GK ( s) (0 25s 1)(0 (0.25 1)(0.25 25s 2 0 0.4 4 s 1)
自动控制理论
周治国
第五章 控制系统的频率特性
• • • • • • §5.1 §5 2 §5.2 §5 3 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6 引言 频率特性 典型环节频率特性图 奈奎斯特稳定判据 控制系统的相对稳定性 频率特性与控制系统的性能指标
本次课重点
• 典型环节对数频率特性图 • 最小相位系统 • 开环对数频率特性的绘制
渐近线误差
L( ) 20 lg (1 T 2 2 ) 2 (2T ) 2
L( ) 20 lg (1 T 2 2 ) 2 (2T ) 2 40 lg(T )
L( n ) 20 lg(2 )
6.振荡环节-I
n2 G ( s) 2 2 s 2 n n n 1 0 .4
(4)从低频渐近线开始，沿增大的方向，每遇到一个转 折频率改变 次渐近线斜率 直到绘出转折频率最高的环 折频率改变一次渐近线斜率，直到绘出转折频率最高的环 节为止； 惯性环节： -20dB/dec 振荡环节： -40dB/dec 一阶微分环节：+20dB/dec 二阶微分环节：+40dB/dec (5)若有必要可对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性； (6)相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。 相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得 注意：对数幅频特性曲线上要标明斜率！
§5.3
典型环节频率特性图
n
5 3 4开环对数频率特性的绘制 5.3.4
将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式： 将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式
G ( s ) G1 ( s )G2 ( s ) Gn ( s ) G ( j ) Gi ( j ) A( )e j ( )
G ( s) K K 1 K 2 K 5 K 10 K 100
2.积分环节
1 G ( s) s
3.惯性环节
1 G ( s) Ts 1 T 1
补充：
1 G (s) Ts 1 T 1
1 G (s) Ts 1 T 1
1 G (s) s 1 Ts
纯微分环节
G(s) s
二阶微分
G(s) T 2 s2 2 Ts 1
1.0 10 0.7 0.5 0.3 0.1 0.2
振荡环节
1 G( s) 2 2 T s 2 Ts 1
0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0
[例]开环系统传函为： 试画出该系统的伯德图 试画出该系统的伯德图。
K , T1 T2 0 GK ( s ) s( (1 T1s )( )(1 T2 s )
1 1 2 T1 T2
( )
解： 系统 1, 1 1.该系统是1型系统 2.低频渐近线过点 (1,20lgK) 3.伯德图如下： 3 L()
60 dB / dec
§5.3
典型环节频率特性图
5 3 4开环对数频率特性的绘制 5.3.4
绘制开环系统Bode图的步骤:
(1)将开环传递函数表示为典型环节的串联； (2)确定各环节的转折频率并由小到大标在对数频率轴上； (3)计算 算20lgK，过点 过点(1,20lgK)作斜率等于 作斜率等 -20dB/dec 的直线，得到最低频段的渐近线或其延长线 线 得到最低 线 其 线(最低 最低频段的 斜率由积分环节个数决定)；
7.二阶微分环节
G ( s ) s 2 2 n n
2
n 1 0 .4
传递函数互为倒数的典型环节
1 惯性环节 G(s) Ts 1
一阶微分环节 G(s) Ts 1
对数幅频特性曲线关于0dB线对称； 相频特性曲线关于0o线对称。
积分环节
G (s) 1 s
3 3
§5.3
典型环节频率特性图
5.3.4开环对数频率特性的绘制
例2：已知开环传递函数 s 10( + 1) 5 G(s ) = 2 s s s s( + 1)( + + 1) 2 2 2 绘制系统的开环对数频率特性曲线
1 6.振荡环节-II
n2 G ( s) 2 2 s 2 n n n 1 0 .1 ~ 1
6.振荡环节-III
0 .1
n2 G ( s) 2 2 s 2 n n n 1 0 .1 ~ 1
1
6.振荡环节-Matlab程序
1 G (s) Ts 1
4.纯微分环节
G ( s) s
5.一阶微分环节
G ( s ) s 1 1
补充：
G ( s ) s 1 1
G ( s ) s 1 1
G ( s ) s 1
G ( s ) s 1
6.振荡环节-I
0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0
L( )(dB B)
1 10T
( )(°)
0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0
1 5T 1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T
1 时 T 1 时 T 1 时 T
L( ) 0
低频渐近线为0dB的水平线
L( ) 20 lg (T 2 2 ) 2 40 lg T
高频渐近线斜率为 40dB/Dec 高频渐近线斜率为-
1/T --转折频率
相频特性： 0时
( ) 0
2 1 时 ( ) arc tan( ) 90 T 0 时 ( ) 180
试绘制系统的开环对数频率特性。 解： 1.该系统是0型系统
1 1 4 T1
0, K 10, T1 0.25, T2 0.5
1 2 2 T2
20 lg l K 20dB
2 低频渐近线过点(1,20lg10) 2. (1 20lg10) 3.开环对数幅频特性如下： L() 20 1 2 -40 40 4
20 dB / dec
60 dB / dec 80 dB / dec 7 .5
60 dB / dec
1 2 2 2
3 3
20 dB / dec
60 dB / dec
80 dB / dec 7 .5
60 dB / dec
1 2 2 2
斜率为 -20 斜率为： 20=0dB/dec
-60 100
40 60
2
4
红线为渐近线 兰线为实际曲线 红线为渐近线，兰线为实际曲线。
2000 s 4000 [例]系统开环传函为： GK ( s ) 2 s ( s 1)( s 2 10s 400)
试绘制系统的开环对数幅率特性。 解：
i 1
n A( ) Ai ( ) i 1 n ( ) ( ) i i 1
L( ) 20 lg A( ) 20 lg Ai ( )
i 1
n
结论： 对数幅频特性=组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和。 相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。
1 1 1 T1
2
1 2 T2
20 lg K 20dB
1 3 20 T3
2.低频渐近线过点(1,20) 斜率为： -20=-40dB/dec
3.开环对数幅频特性：
转折频率
环节 惯性 一阶微分 微分 振荡
1 1
L( )
60
40
40dB / dec
2 2
sys6 tf(num, den); den [1,1.4,1]; sys7 tf(num, den); den [1,1.6,1]; [1 1 6 1]; sys8 tf(num, den); den [1,1.8,1]; sys9 tf(num, den); den [1,2,1]; sys10 sys 0 tf( tf(num, u , de den); ); bode(sys1, sys2, sys3, sys4, sys5, sys6 sys7, sys6, sys7 sys8, sys8 sys9, sys9 sys10); grid on;
20 lg G( j w)
§5.3
典型环节频率特性图
对数频率特性图
§5.3
典型环节频率特性图
1 比例（放大）环节 1. 2.积分环节 3.惯性环节 4.纯微分环节 5 一阶微分环节 5. 阶微分环节 6.振荡环节 7.二阶微分环节 8.延迟环节
5 3 2对数频率特性图 5.3.2
1.比例（放大）环节
§5.3
典型环节频率特性图
5.3.3最小相位系统
如果一个环节传递函数的极点和零点的实部都小于或等于零， 则称这个环节为最小相位环节。 数学上可以证明，对于最小相位系统，对数幅频和相频特性不 ， 是相互独立的，两者之间存在着严格的关系。两者包含的信息 内容是相同的。 从建立数学模型和分析、设计系统的角度看，只要详细地画出 两者中的 个就足够了 两者中的一个就足够了。
num [1]; den [1,0.2,1]; sys1 tf(num, den); den [1,0.4,1]; [1 0 4 1]; sys2 tf(num, den); d [1,0.6,1]; den [1 0 6 1] sys3 tf(num, den); den [1,0.8,1]; sys4 tf(num, den); den [1,1,1]; sys5 y tf(num, f( , den); ); den [1,1.2,1];