直线和圆的方程 小结与复习课件1
《直线和圆的方程》课件1 (北师大版必修2)
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如 果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所 转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
y
l
0 x
当直线与x轴平行或重合时 规定倾斜角为00。
0 0
倾斜角的取值范围是 0 180 .
描述直线倾斜程度的量——直线的斜率
2、直线的斜率 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这
0
l2的倾斜角 2 900 300 1200 ,
l2的斜率k2 tan1200 tan( 0 600 ) tan 600 3. 180
例2：求经过A(a, b), B(c, d )两点的 直线的斜率和倾斜角。
( 解：1)当a c时，斜率k不存在；
倾斜角 90
bd (2)当a c时，斜率 k ac
bd bd 若 0, 则倾斜角 arctan ac ac bd bd 若 0, 则倾斜角 arctan( ) ac ac
P37练习：
(1)k 0; (2)k 3; (3)k不存在; (4)k 1
1 y2 y1 OP ( x2 , x1 , y2 y1 ) (1, ) x2 x1 x2 x1
此时，方向向量为(1, k )
例1：如图，直线l1的倾斜角1 300， 直线l1 l2，求l1 , l2的斜率。
解：
3 l1的斜率k1 tan 1 tan 30 , 3
设P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )是直线l上的两个不同点 1
| PP2 | k tan | PP | 1
| PP | y2 y1 2 | PP | x2 x1 1
第二章 直线和圆的方程(单元复习课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
二、本章知识回顾
●2．2.2 直线的两点式方程 ●1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线
的两点式方程(重点). ●2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围．
二、本章知识回顾
●2．2.3 直线的一般式方程 ●1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一
般式方程(重点). ●2.会进行直线方程的五种形式间的转化．
三、本章考点分析
三、本章考点分析
考点 30 圆的弦长问题
规律总结
直线与圆相交时的弦长求法
几何法 代数法
利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，弦长 l之间的关
系
r2
d2
l 2
2
解题
若直线与圆的交点坐标易求出，则求出交点坐标后，直
接用两点间的距离公式计算弦长
弦长
设直线 l：y＝kx＋b 与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)， 将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系
公式法
得弦长 l＝ 1＋k2·|x1－x2|＝ 1＋k2 [ x1＋x2 2－4x1x2]
三、本章考点分析
考点31直线与圆的方程的实际应用答题模板 应用直线与圆的方程解决实际问题 的步骤(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；(2)建系：建立适当的 直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；(3)求解：利用直线与圆的有 关知识求出结果；(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．
二、本章知识回顾
●2．1.2 两条直线平行和垂直的判定 ●1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直(重点). ●2.能应用两条直线平行或垂直解决有关问题(难点)．
二、本章知识回顾
●2．2 直线的方程 ●2．2.1 直线的点斜式方程 ●1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜
《直线和圆的方程》课件
圆的参数方程
圆的参数方程
01
$x=a+rcostheta, y=b+rsintheta$，其中$(a,b)$是圆心，$r$
是半径，$theta$是参数。
参数方程的应用
02
参数方程常用于圆的极坐标表示，方便计算圆的轨迹和运动。
参数方程与直角坐标系的关系
圆的一般方程
圆的一般方程
$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$， 其中$D,E,F$是常数。
圆心坐标
圆心的坐标为$(-frac{D}{2}, frac{E}{2})$，通过圆心可以确 定圆的位置。
半径
半径的平方为 $frac{D^2+E^2-4F}{4}$，通 过半径可以确定圆的大小。
参数$D,E,F$
02
圆的方程的介绍
圆的标准方程
圆的标准方程
圆心坐标
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$是 圆心，$r$是半径。
圆心的坐标为$(a,b)$，通过圆心可以确定 圆的位置。
半径
圆上任一点坐标
半径是圆上任一点到圆心的距离，用$r$表 示。
根据圆的标准方程，圆上任一点的坐标可 以表示为$(a+rcostheta, b+rsintheta)$， 其中$theta$是参数。
《直线和圆的方程》 ppt课件
目 录
• 直线方程的介绍 • 圆的方程的介绍 • 直线与圆的位置关系 • 直线与圆的实际应用
01
直线方程的介绍
直线的斜率与截距式
总结词
斜率截距式是直线方程的基本形式，它描述了直线在直角坐标系中的位置关系 。
中职数学直线和圆的方程ppt课件
x2
y2
Dx
Ey
F
0表示以点(
D 2
,
E) 2
为圆心，1 D2 E2 4F为半径的圆。 2
以下方程是圆的方程吗？ x2＋y2＋2 x＋2 y＋8＝0； x2＋y2＋2 x＋2 y＋2＝0； x2＋y2＋2 x＋2 y＝0．
圆的一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0
D2 E2 4F 0
第8章 直线和圆的方程
• 8.1 两点间的距离和线段中点坐标 • 8.2 直线的方程 • 8.3 两条直线的位置关系 • 8.4 圆
8.4 圆
8.4.1 圆的标准方程
8.4.2 圆的一般方程
y
OA
x
r
复习回顾
圆的标准方程
(x a)2 (y b)2 r 2
圆心的坐标和半径
a, b r
回答下列问题
THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS
THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS THANKS
x2 y 2 Dx Ey F 0
方程的特点个形如：
x2 y 2 Dx Ey F 0
的方程表示的曲线都是圆？
整理可得
(x
D
2
2
)
(y
E
2
2
)
D2
E2
4
第一讲：求直线和圆的方程方法总结
第一讲 求直线和圆的方程方法总结※求直线方程的若干方法：直线是数学中最常见的图形,直线方程数学中最常用方程,该知识点与其他知识点的融合是最紧密的,考查的题型和方法也多样，这里总结复习几种不同的求直线方程的方法. 【关健词】直线方程 方法 一、知识要点概述:1、直线的方程、方程的直线概念；2、直线方程形式（1）点斜式：直线过点00(,)x y 斜率为k ，直线方程：00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴直线； （2）斜截式：直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，直线方程：y kx b =+,它不包括垂直于x 轴直线； （3）两点式：直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，直线方程：121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线；（4）截距式：直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,直线方程：1=+bya x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线；（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A ,B 不同时为0)的形式. 提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点； 直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点.如过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3） 二、解题方法指导:1、求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解直接写出直线方程 设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； （5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.（6）经过两条直线0111=++C y B x A 和0222=++C y B x A 的交点的直线系方程为：λ+++111C y B x A 0)(222=++C y B x A （λ为参数）.2、具体方法有：⑴利用公式求直线方程；⑵通过直线系求直线方程；⑶借助相关点求直线方程——轨迹法； ⑷利用参数求直线方程；⑸通过分析结构求直线方程. 三、范例剖析 1、直接法例1、直线l 在y 轴上的截距为3，且倾斜角α的正弦值为45，求直线l 的方程.解：4sin 5α=，3cos 5α=±，∴直线的斜率43k =±故所求直线的方程为433y x =±+，即4390x y -+=或4390x y +-= 评注：由题意直接选择直线方程五种形式中的任何一个，写出形式适当的方程即为直接法.同时，求解本例时不要混淆概念，倾斜角应在[0,)π内，从而cos α有两个解. 2、待定系数法（公式法）例2、过点P (2，1）作直线l 交y x ,正半轴于AB 两点，当||||PB PA ⋅取到最小值时，求直线l 的方程.解法1：设直线l 的方程为：)0(),2(1≠-=-k x k y令y ＝0解得kx 12-=；令x ＝0，解得k y 21-=，∴A （k 12-，0），B （0，k 21-），∴||||PB PA ⋅＝)4)(11(22k k ++4248)1(4822=⨯+≥++=kk当且仅当12=k 即1±=k 时，||||PB PA ⋅取到最小值.又根据题意0<k ，∴1-=k 所以直线l 的方程为：03=-+y x方法2：由题设，可令直线l 为：1(2)y k x -=-，分别令y =0和x =0 可得21(,0)k A k-，B （0，1-2k ）.∴2221||||1(2)4(121)k PA PB k k-⋅=+-+-- 442)2(2)1(22222222==≥+=k k k k k k当且仅当12=k 即1k =±时，||PA PB ⋅取最小值4.又0k >∴k =-1，这时直线l 的方程是x +y -3=0.方法3：设直线l 方程为1=+b y a x ，l 过（2，1）点∴112=+b a ∴2-=a ab∴22||||(2)14(1)PA PB a b ⋅=-++-8)2(4)2(428)2(4)2(42222+--≥+-+-=a a a a 488=+=（以下略）.评述：此题在求解过程中运用了基本不等式，同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除k ＝1的情形.引申1：过点P （2，1）作直线l 交x 轴、y 轴正方向于A 、B ，求使∆A O B 的面积最小时的直线l 的方程.yBP(2,1)O A解：设所求直线方程为x a y b +=1，则由直线l 过点P （2，1），得21100a ba b +=>>()，即b aa =-2，由b >0，得a >2， 所以S a b a a a A O B∆==⋅-12122221442(2)22a a a a -+==⋅--14(2)22a a =++- 14[(2)4]22a a =-++-14]42≥= 当且仅当a a -=-242，即a b ==42，时，S AOB ∆取得最小值为4 此时所求直线方程为x y421+=，即x y +-=240 评注：由题意直接选择直线方程五种形式中最恰当的一种形式来假设方程，再求解方程，称为公式法.这里选择了截距式方程.引申2：在本例条件下，求求直线l 在两坐标轴截距之和的最小值及其此时直线l 的方程. （参考数学试题精编P 54） 3、直线系法：直线系的定义：具有某种共同性质的直线的集合，叫做直线系．它的方程叫做直线系方程.例3. 求过02321=+-y x l ：与l x y 23420：--=交点且与直线440x y +-=平行的直线方程. 解：设l 1与l 2交点的直线方程为：(*)0)243()232(=--++-y x y x λ即022)43()32(=-+--++λλλy x 因为所求直线与044=-+y x 平行，所以143432λλ--=+，解得λ=-1419 将λ=-1419代入(*)，得:所求直线方程为4660x y +-= 4、相关点法:利用相关点法求直线的方程实质上是轨迹法.例4、 求直线l x y '：--=20关于直线l x y ：330-+=的对称直线方程. 解：设所求的对称直线上任意一点坐标为（x ，y ）关于直线l 的对称点为()x y 00，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅--=++-+⋅13032230000x x yy y y x x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-+-=53545359535400y x y y x x ，因为()x y 00，在直线x y --=20上 所以x y 0020--=，()()-+--++-=45359535453520x y x y ，即7220x y ++=5、参数法例5、直线l 经过M （0，1），且被直线1l ：x -3y +10=0和2l ：2x +y -8=0所截得的线段恰以M 为中点，求直线l 的方程．解法1.：过点M 且与x 轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y =kx +1,与已知直线1l ，2l 交于A ，B 两点，联立方程组：{{()11()3100280y kx y kx I II x y x y =+=+-+=+-=，由（I ）解得A x =731k -，由（II ）解得B x =72k +，点A 平分线段AB ， 2A B M x x x ∴+=即：731k -+72k +=0，解得14k =-，故所求直线的方程为：x +4y -4=0.解法2：设l 交1l 于A （3t -10，t ），l 交2l 于B （u ，8－2u ），利用中点坐标公式得： ∴31002822t u t t u -+=⎧⇒=⎨+-=⎩ , ∴A （-4，2） 由直线方程的两点式可得，直线l 的方程为：102140y x --=---，即x +4y -4=0. 解法3：设l 与已知直线1l ，2l 交于A ，B 两点，点 A （3t -10，t ）在直线1l 上，则由中点坐标公式得A 关于M （0，1）的对称点B （10-3t ，2- t ），点B 在直线2l 上，∴2(103)(2)802t t t -+--=⇒=， 以下同解法2，此处略. 解法4. 设所求直线方程为y =kx +1,代入方程（x -3y +10）·（ 2x +y -8）=0得：()()22253287490k k x k --++-=，同解法1设所求直线与已知直线1l ，2l交于A ，B 两点，由题意：2287253A B k x x k k++=---=2M x =0，可得：14k =-，故所求直线的方程为：x +4y -4=0. 注意：本题所求直线过点M （0，1），故只要设出直线方程的点斜式，由题中另一条件即可确定斜率，思路顺理成章.但是想在解题过程中不断地提高自己的逻辑思维能力以及分析问题，解决问题的能力，还应联系题中已知条件和相关知识，看能否找到新的解法，如解法2，解法3，而解法4在学习了后续知识后会有更深刻的体会. 6、结构分析法：例6、已知两直线l 1:a 1x +b 1y +1=0和l 2：a 2x +b 2y +1=0的交点为P （2，3），求过两点Q 1（a 1，b 1）、Q 2（a 2，b 2）（a 1≠a 2）的直线方程.分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答.解：∵P （2，3）在已知直线上，2a 1+3b 1+1=0，2a 2+3b 2+1=0.∴2（a 1－a 2）+3（b 1－b 2）=0，即2121a a b b --=－32.∴所求直线方程为y －b 1=－32（x －a 1），∴2x +3y －（2a 1+3b 1）=0，即2x +3y +1=0. 评述：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙.解法2：将l 1与l 2的交点P （2，3）代入l 1与l 2的方程，得11222310,230a b a b ++=+=，根据以上两式的结构特点易知：点与Ba b ()22，的坐标都适合方程2x +3y +1=0故经过点A 、B 的直线l 的方程为x y +=23练习：若两条直线33222111=+=+y b x a l y b x a l ：，：相交于点P （1，2），试求经过点Aa b ()11，与)(22b a B ，的直线方程.解：将l 1与l 2的交点P （1，2）代入l 1与l 2的方程，得3211=+b a ，a b 2223+=根据以上两式的结构特点易知：点与Ba b ()22，的坐标都适合方程xy +=23 故经过点A 、B 的直线l 的方程为x y +=23巩固练习：1、过点P （3，0）作一直线，使它夹在两直线l x y 1220：--=和l x y 230：++=之间的线段AB 恰被P 点平分，求此直线方程.解：设所求直线分别与l l 12、交于A 、B ，因为A 在l 1直线上，故可设A t t ()，22- 又P （3，0）为AB 的中点，由中点坐标公式，得B t t ()622--， 由B 在l 2上，得03)22()6(=+-+-t t ，解得，即A ()113163， 由两点式得所求直线方程为0248=--y x .2、一直线被两直线1l ：064=++y x ，2l ：0653=--y x 截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.解：设所求直线与1l ，2l 的交点分别是A 、B ，设A (00,y x ），则B 点坐标为(00,y x --)因为A 、B 分别在1l ，2l 上，所以⎩⎨⎧=-+-=++06530640000y x y x ②①①＋②得：0600=+y x ，即点A 在直线06=+y x 上，又直线06=+y x 过原点，所以直线l 的方程为06=+y x .3、求过点P （2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程.解：在两轴上的截距都是0时符合题意，此时直线方程为3x －2y ＝0 若截距不为0，则设直线方程为ay a x +＝1 将点P （2，3）代入得aa 32+＝1，解得a ＝5 ∴直线方程为55yx +＝1，即x ＋y ＝5. 4、直线方程0=++C By Ax 的系数A 、B 、C 满足什么关系时，这条直线有以下性质? (1)与两条坐标轴都相交；(2)只与x 轴相交;(3)只与y 轴相交； (4)是x 轴所在直线；(5)是y 轴所在直线.答：(1)当A ≠0，B ≠0，直线与两条坐标轴都相交. (2)当A ≠0，B =0时，直线只与x 轴相交. (3)当A ＝0，B ≠0时，直线只与y 轴相交.(4)当A ＝0，B ≠0，C ＝0，直线是x 轴所在直线. (5)当A ≠0，B ＝0，C ＝0时，直线是y 轴所在直线.5、求与直线l ：5x -12y +6=0平行且到l 的距离为2的直线的方程.解：设所求直线的方程为5x -12y +c =0.在直线5x -12y +6=0上取一点P 0（0，21），点P 0到直线5x -12y +c =0的距离为：d =136)12(5211222-=-++⨯-c c ，由题意得136-c =2.所以c =32或c =-20.所以所求直线的方程为5x -12y +32=0和5x -12y -20=0. ※求圆方程的若干方法 一、知识要点总结： 1、圆的方程形式：⑴圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=.⑵圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=>＋－， ⑶圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r .圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤cos ,sin (0)x r y r r t θθ→==≤≤.⑷()()1122,,,A x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--= 2方法总结：求圆方程的主要方法是待定系数法，也经常数形结合来确定.例1、圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为____________ （答：22(1)1x y ++=）；例2、圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ （答：9)3()3(22=-+-y x 或1)1()1(22=++-y x ）；例3（以下各题参考数学精编p 63）求过两圆22(3)13x y ++=和22(3)37x y ++=交点，且圆心在直线y =x -4上的圆的方程.例4、求圆心在直线y =-2x 上，且与直线y =1-x 相切于点A （2，-1）的圆的方程.例5、圆心在直线y =2x -7上的圆C 与y 轴交于点A （0，-4），B （0，-2），求圆的方程.例6、半径为1的圆分别与y 轴正半轴和射线()30y x =≥相切，求圆的方程.例7、设圆方程满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3:1；③圆心到直线l：x-2y=0，求该圆的方程.。
《直线和圆方程》课件
目录
• 直线方程的概述 • 圆的方程 • 直线与圆的交点求解 • 直线和圆的几何性质 • 直线和圆的方程在实际问题中的应
用
01
直线方程的概述
直线的定义
直线是由无数个点组成的几何图形，这些点沿着同一直 线排列，形成一条无限延伸的线。
在平面几何中，直线是连接两个点的最短路径，它没有 宽度和厚度。
圆的参数方程
$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$，其中$(a, b)$是圆心坐 标，$r$是半径，$theta$是参数。
圆的标准方程
圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆
心坐标，$r$是半径。
圆的基本性质
01 02
圆的定义
圆是一个平面图形，由所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的 点组成，表示为 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中 $(h, k)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径。
圆的半径
连接圆心到圆上任意一点的线段的长度称为半径。
03
圆的直径
通过圆心且两端点在圆周上的线段称为直径，长度是半径的两倍。
圆心和半径
直径
通过圆心且两端点在圆上的线段称为 直径。
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到 圆上任一点的线段。
圆的方程表示
圆的一般方程
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$，其中$(h, k)$是圆心坐标
，$r$是半径。
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$是圆心坐标 ，$r$是半径。
直线和圆的方程复习课PPT课件
一、知识框架
直线与直线方程
直
线
与
圆
的
方
圆与圆方程
程
直线的倾斜角和斜率 直线的方程
两直线的位置关系 线性规划及应用 求曲线方程 圆的标准方程 圆的一般方程
圆的参数方程
直线与圆、圆与圆的位置关系
2
1、直线的倾斜角
倾斜角的取值范围是 0 180.
2、直线的斜率
k tan, ( 90 )
4.两点间的距离
5.点到直线的距离
d Ax0 By0 C A2 B2
6.平行直线间距离
d C1 C2 A2 B2
11
两直线特殊位置关系练习
1、如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0
平行，则a=（ B ）
A．－3
B．－6
C．
3 2
2
D． 3
2、若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，
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7
点与直线
1、点与直线的位置关系 2、点关于直线对称的点坐标 3、直线关于点对称的直线方程 4、点到直线的距离
练习
8
点与直线练习
1、已知直线 l1 : A1x B1 y 1和 l2 : A2 x B2 y 1
相交于点P(2,3)，则过点 P1( A1, B1), P2 ( A2 , B2 )的直线 方程为 2x+3y=1＿．
2、点P（2，5）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（ A ）
A(－4，－1) B(－5，－2) C(－6，－3) D(－4，－2）
3、已知△ABC的一个顶点为A(3,-1)，∠B被y轴平分，∠C 被直线y=x平分，则直线BC的方程是 （ A ）
直线和圆的方程复习课资料-2023年学习资料
1.曲线与方程-1曲线上的点的坐标都是这个方程的解；-2以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，-2.求曲 方程-1建立适当的坐标系，用x,y表示曲线上任意一-点M的坐标；-2用坐标x,y表示关系式，即列出方程fx y=0;-3化简方程fx,y=0;-4验证x、y的取值范围。
方程注意点-1、特殊形式的方程都有一定的限制条件。-2、解题时应根据实际情况选用合适的形-式以利解题。-3 当我们决定选用某一特殊形式的方程-时，而又不知道其是否满足限制条件，-应加以讨论，或用特殊形式的变式。-返
点与直线-1、点与直线的位置关系-2、点关于直线对称的点坐标-3、直线关于点对称的直线方程-4、点到直线的 离-练习
高考题选-1、设k心1，fx=kx-1x∈R.在平面直角坐标系-xOy中，函数y=fx的图象与x轴交于A点 它的-反函数y=f-x的图象与y轴交于B点，并且这两-个函数的图象交于P点.已知四边形OAPB的面积-是3 则k等于-0-A3-D-2、已知点P到两定点M-1,0,N1,0距离的比为√2-点N到直线PM的距离为1， 直线PN的方程。-略解：直线PN的方程为：y=-x+1-分析：画图利用解三角形知识，先求∠PMN,再由正弦 理，-求出∠PNM,于是可得直线PN的斜率
两直线相交相关练习-1、光线自右上方沿直线y=2x-1射到x轴上一点M,-被x轴反射，则反射光线所在直线的 程是-y=-2x+1-2、已知△ABC的三边方程是AB:5x一y一12=0，-BC:x+3y+4=0,CA x一5y+12=0,则∠A-π-atctan-3、△ABC的三个顶点是A0,3,B3,3,C2,-0,直线 x=a将△ABC分割成面积相等的两部分，-则a的值是-返回
点与直线练习-1、已知直线☑十和☑-相交于点P2,3,则过点三的直线-方程为-2x+3y=1.-2、点P2 5关于直线x+y=1的对称点的坐标是A-A-4,-1B-5,-2C-6,-3D-4,-2）-3、已知△AB 的一个顶点为A3,-1,∠B被y轴平分，∠C-被直线y=x平分，则直线BC的方程是-A.2x-y+5=0B 2x-y+3=0C.3x-y+5=0D.x+2y-5=0-4、已知点a,2a>0到直线l:x一y+3=0的 离为1，则-a等于v2-1-返回
第一讲求直线和圆的方程方法总结
第一讲求直线和圆的方程方法总结求直线和圆的方程是解决几何问题的基本方法之一，本文将对求直线和圆的方程的方法进行总结和介绍。
主要包括直线的一般方程、点斜式方程和两点式方程，以及圆的一般方程和截距式方程。
一、直线的一般方程直线的一般方程是形如Ax+By+C=0的方程，其中A、B、C均为实数，A和B不能同时为零。
直线的一般方程是直线的最一般形式，适用于所有直线。
它的推导过程为：首先，根据直线的斜率k和截距b，可以得到直线的斜截式方程为y = kx + b；然后，将直线的斜截式方程中的y换成Ax+By+C，化简得到直线的一般方程Ax+By+C=0。
二、直线的点斜式方程直线的点斜式方程是形如y-y₁=k(x-x₁)的方程，其中x₁和y₁是此直线上的一点，k是直线的斜率。
直线的点斜式方程通过给定一点和斜率来确定直线方程。
推导方法为：已知直线上有一点(x₁，y₁)和斜率k，根据斜率的定义可得到k=(y-y₁)/(x-x₁)；通过变形，化简得到点斜式方程y-y₁=k(x-x₁)。
三、直线的两点式方程直线的两点式方程是形如(y-y₁)/(y₂-y₁)=(x-x₁)/(x₂-x₁)的方程，其中(x₁，y₁)和(x₂，y₂)是直线上的两个点。
直线的两点式方程通过给定两个点来确定直线方程。
推导方法为：已知直线上有两个点(x₁，y₁)和(x₂，y₂)，根据点斜式方程的推导过程，可将其化简为两点式方程。
四、圆的一般方程圆的一般方程是形如(x-a)²+(y-b)²=r²的方程，其中(a，b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
圆的一般方程给出了圆与坐标轴的关系。
推导方法为：已知圆心为(a，b)，圆的半径为r，利用圆的定义可以得到距离公式：r²=(x-a)²+(y-b)²；通过展开和整理得到圆的一般方程(x-a)²+(y-b)²=r²。
五、圆的截距式方程圆的截距式方程是形如[x-a]²/α²+[y-b]²/β²=1的方程，其中a、b、α、β均为实数，α和β分别为x轴和y轴的截距。
人教版高中数学直线与圆的方程的应用(共20张PPT)教育课件
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
■
电
:
“
口
罗
部
爬
一
，
1
戏
有
上
来
的
我
个
5
分
钟
后
你
还
色
其
没
清
镜
没
有
楚 弄
有 怎
完 情
么
头
我
就
胆
怯
，
像
运
作
这
个
东
西
(
，
下
不
耐
烦
像
如
果
我
自
己
弄
费
电
影
一
五
分
钟
男
女
实
里
拍
个
就
弄
尼
摄
)
所
镜
完
所
以
最
是
拍 以
后
通
不
第
一
为
则四个顶点坐标分别为 A(a,0),B(0,b),C(0,c),D(0,d)
第一步:建立坐 标y系，用坐标表 示B有(0关,b的) 量。
第二章 直线和圆的方程(单元复习课件)-高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
解得 k=0,即所求直线的方程为 y=1.
综上可知,所求直线的方程为 x=3 或 y=1.
|1-6|
(方法 2)由题意,直线 l1,l2 之间的距离为 d= 2
=
5 2
,且直线 l 被直线 l1,l2 截得
2
5
2
的线段 AB 的长为 5,设直线 l 与直线 l1 的夹角为 θ,则 sin θ=
2
5
(2)若△PAM 的外接圆为圆 N，试问：当点 P 运动时，圆 N 是否过定
点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)求线段 AB 长度的最小值．
解：(1)由题意知，圆M的半径r＝1，设P(－2b，b)，
∵PA是圆M的一条切线，∴∠MAP＝90°.
4
∴|MP|＝ 0＋2b ＋2－b ＝ AM ＋AP ＝2，解得b＝0或b＝5.
人教A版2019高二数学（选修一）
第二章
直线和圆的方程（单元复习）
目录/CONTENTS
知识导图
核心归纳
题型突破
思想方法
链接高考
课堂检测
知识导图
核心归纳
1．直线的倾斜角
(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当
直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的范围为[0，π)．
距离的最大值为|PN|＝d＋r(过圆心C作l的垂线，垂足为P，CP与圆C交于点
M，其反向延长线交圆C于点N(d为圆心到直线的距离)．
(4)已知圆C和圆外的一条直线l，则过直线l上的点作圆的切线，切线长的最小
值为|PM|.
题型突破一：求直线与圆的方程
【例1】圆C的圆心在l1:x-y-1=0上,与l2:4x+3y+14=0相切,且截
直线与圆的方程小结与复习一ppt课件
Y
解：如图当k存在时，k kPA或k kPB
直线l与线段AB相交
P B(3,0)
O
X
而kPA 23（21） 5
A(-2,-3)
02 1 kPB 3 （1） 2
k取值范围是k （ ， 1][5， ）或k不存在 2
从而直线l的倾斜角取值范围是： [arctan 5， arctan 1]
2
例3.求过点P(0,1)的直线l方程，使l在两直线l1：x 3y 10 0 与l2：2x y 8 0之间的线段中点恰为点P.
3
设所求直线方程为y k(x 5)得
3
k
0
0
3 4
5
5
k 3 4
y
L
3x 4y 5 0
o
x
L1
典型例题分析
例1.直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移2
个单位，则直线l又回到原来的位置，求直线l的倾斜角
解：设P(x0 , y0 )是直线l上一点，经平移后到点 Q(x0 3, y0 2)
解法2.设直线l的方程为xy21
（cos a）t （sin a）t
tR
其中 （ ，）为直线l的倾斜角，
2
则A，B两点对应的tA
1 sin
a
,tB
2 cos
a
,
由参数t的几何意义 MA
MB
t At B
2 sin a cos a
4 sin 2a
4
等号当且仅当 sin 2a 1时成立，又 （ ，）， 3
直线的倾斜角及斜率 点斜式
斜截式
直
两点式
一般式
线
方
截距式
程 点到直线距离
直线与圆的方程复习PPT课件课件
的斜率
k
y2
y1
x2 x1
(3)直线的横截距是直线与x轴交点的横坐标，直线的纵截
距是直线与 y 轴交点的纵坐标.
2.直线方程的五种形式.
(1)点斜式：设直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则直线 l 的方程为y-y0＝k(x-x0) (2)斜截式：设直线 l 斜率为k，在y 轴截距为b，则直 线l 的方程为y＝kx+b (3)两点式：设直线 l 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) x1≠ x2，y1≠y2则直线 l 的方程为(y-y1)/(y2-y1)＝(xx1)/(x2-x1) (4)截距式：设直线 l 在x、y轴截距分别为a、b(ab≠0) 则直线l的方程为x/a+y/b＝1. (5)一般式：直线l的一般式方程为Ax+By+C＝0(A2+B2≠0)
(
)
(A
(C)2x+y-7=0
(D)2y-x-4=0
6 曲线y=2x-x3在点(-1，-1)处的切线方程是( A )
A x+y+2=0 B x+y+3=0 C x+y+4=0 D x+y+5=0
能力·思维·方法
1.过点P(2，1)作直线l交x、y轴的正半轴于A、B两点， 当｜PA｜·｜PB｜取到最小值时，求 直线l的方程.
3.经过点(2，1)，且方向向量为v=(-2,2)的直线l的方程 是__x_+_y_-_3_=_0_____.
4.过点(-1，1)在x轴与y轴上截距的绝对值相等的直线 有___2_条____.
5．A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|,
若 直 线 PA 的 方 程 为 x-y+1=0 ， 则 直 线 PB 的B方 程 为
《直线和圆方程》课件
# 直线和圆方程PPT课件
## 简介
本课程将为您介绍直线和圆方程的相关知识，内容包括直线斜率、方程、截 距和圆的一般式、标准式等。
直线斜率与方程
1
直线斜率
直线斜率定义及计算公式。
2
直线方程
直线方程的一般形式、截距形式及示例操作演示。
圆的方程
圆的一般式
圆的一般式的定义、圆心半径计算、面积周长计算。
圆的标准式
圆的标准式的定义、与一般式的区别与联系、实例 计算演示。
综合练习
1 常见的直线和圆问题
介绍一些常见的直线和圆 问题。
2 习题解答
解答一些关于直线和圆的 习题。
3 常见错误点的分析
分析一些学生常犯的错误 点。
总结与展望
通过本课程的学习，相信大家已经了解直线和圆方程的基本概念。希望大家能够进一步提升对数学的理解，达 到更好的学习效果。
继续学习
继续学习数学的其他领域，拓宽 知识广度。
团队学习
与同学一起进行学习，相互讨论 问题和解答。
取得成功
通过努力学习，取得学业上的成 ห้องสมุดไป่ตู้。
圆的方程复习PPT精品课件
没有羽毛动物:
还可以根据其他特征，将他们进行分类
例如 有足和无足 胎生和卵生 有脊柱和无脊柱
根据体内有无脊椎骨
我们可以将所有动物分为两大类
脊椎动物 和
无脊椎动物
脊椎动物
常见的6类动物：
哺乳类动物： 像猫那样， 身体表面长毛， 胎生、小时侯吃奶。
鸟类动物： 像鸽子、鹰那样身体表面长羽毛、 有一对翅膀、 一 对脚、 产卵、 由大鸟孵化出来的动物。
则方程： (X2+Y2+D1X+ E1Y+F1)+λ(X2+Y2+D2X+E2Y+F2)=0(λ≠ -1)
表示过圆C1 ,C2交点的圆的方程 当λ= -1 时,方程为(D1 – D2)x+ (E1 – E2)Y+ F1 – F2=0表示圆C1 ,C2的 公共弦所在的直线方程
直线直线：Ax+By+C=0;圆: (x-a)2 + (y-b)2 =r2，
圆心到直线的距离 d=
方法二：判别式法
直线：Ax+By+C=0;圆：x2 + y2 +Dx+Ey+F=0
一元二次方程
圆与圆位置关系的判定方法：几何法
设两圆的半径分别为R和r (R>r), 圆心距为d ，那么：
(1)两圆外离 (2)两圆外切 (3)两圆相交 (4)两圆内切 (5)两圆内含
动物的共同特点：
1、都会运动； 2、都需要食物、空气和水； 3、都能繁殖后代； 4、都有生长的能力； 5、都能够对外界变化做出反应。
D2 E 2 4F 0
圆心(
D 2
，-
E 2
4.2.3《直线与圆的方程的应用》课件(1)
A
A1
A2 O A3
A4
B
思考1:你能用几何法求支柱A2P2的高 度吗？
10
思考2:如图所示建立直角坐标系， 那么求支柱A2P2的高度，化归为求一 个什么问题？
y
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P2 P x A A1 A2 O A3 A4 B
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5
新课标资源网 老师都说好! 知识探究： 直线与圆的方程在实际生活中的应用
问题Ⅰ:一艘轮船在沿直线返回港口 的途中，接到气象台的台风预报： 台风中心位于轮船正西70 km处， 受影响的范围是半径长为30km的圆 形区域. 已知港口位于台风中心正 北40 km处，如果这艘轮船不改变航 线，那么它是否会受到台风的影响？
y 港 口 x 台 o 风
轮 船
8
思考4:直线4x＋7y－28＝0与圆x2＋ y2＝9的位置关系如何？对问题Ⅰ应 作怎样的回答？
港口
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台风
轮船
9
问题Ⅱ：如图是某圆拱形桥一孔圆 拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度 AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔 4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2 的高度（精确到0.01m） P2 P
11
思考3:取1m为长度单位，如何求圆 y 拱所在圆的方程？ P P
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2
x2+(y+10.5)2=14.52
x A A1 A2 O A3 A4 B
思考4:利用这个圆的方程可求得点P2 的纵坐标是多少？问题Ⅱ的答案如 何？
y 14.5 4 10.5 3.86(m)
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5、经过点P(3,0)，且2X+Y-5=0与直线垂直的直 垂直的直 线方程
1、求曲线的交点问题: 、求曲线的交点问题
把曲线的方程列方程组， 把曲线的方程列方程组，求出方程组的解即是曲线 的交点
2、求曲线的轨迹方程： 、求曲线的轨迹方程：
一般方法： 一般方法： 1、先建立直角坐标系，设（x,y）是曲线上任一 、先建立直角坐标系， ） 点 2、将条件P用点的坐标的数量关系表示出来 、将条件 用点的坐标的数量关系表示出来 3、通过变形、化简，最后得到该曲线的方程 、通过变形、化简，
1、直线 3 x+y+4=0 的倾斜角是（ 、 的倾斜角是（ A、 3
）
π
B、 、
π
6
2π C、 、 3
5π D、 、 6
2、若AC＜0且BC ＜0 ，那么直线 、 那么直线Ax+By+C=0不通过 ＜ 且 不通过 ( ) A、第一象限 、 B、第二象限 、 C 第三象限 D、第四象限 、
一般先把直线化成斜截式， 斜率 及在 及在y轴上的 一般先把直线化成斜截式，由斜率k及在 轴上的 截距b的正负性确定直线的大致图形 截距 的正负性确定直线的大致图形
d=
Ax0 + By0 + C A2 + B 2
5、两平行直线3x+4y-12=0与6x+8y+6=0间的距离是 、两平行直线 与 间的距离是
A
9 5
B 、 -3
C、 6 、
D、3 、
1 4、如果直线 和直线x+ y+b=0平行 那么 平行,那么 、如果直线2x+y+a=0和直线 和直线 平行 2 A a=2,b=1 B a=2b C a=b=0 D a≠2b
直线和圆的方程
小结与复习
1、倾斜角的定义： 、倾斜角的定义
一条直线和向上的方向与 轴的正方向所成的 条直线和向上的方向与x轴的正方向所成的 条直线和向上的方向与 最小正角
2、倾斜角的范围：0°≤ α ＜ 180° 、倾斜角的范围： ° 3、计算公式： 、
K=tan α =
y2 − y 1 x2 − x1
x 5
y ＋ 5
＝1
注意：当直线过原点时， 注意：当直线过原点时，直线到两坐标轴的距离 都为0 都为 2 此时直线方程为： x 此时直线方程为：y= 3
三、两直线的位置关系
L1 、l2 有斜率时： 有斜率时： l1:y=k1 x+b1 l2: y=k 2x+b2
⇔
1、平行：l1 ∥l2 、平行：
k1=k2 且 b1 ≠ b2
圆的切线方程： 圆的切线方程：
通过圆x 上一点(x 通过圆 2 +y2=r2上一点 0,y0)的切线方程是 的切线方程是
X0x+y0y=r2
两根杆分别绕着定点A和 两根杆分别绕着定点 和B(AB=2a)在平面内 在平面内 转动，并且转动时两杆保持相互垂直， 转动，并且转动时两杆保持相互垂直，求杆的交 点的轨迹方程
所在直线为x轴 线段AB中点为 解：以AB所在直线为 轴，线段 所在直线为 中点为 原点， 原点，如图建立直角坐标系 设两杆交点C为 设两杆交点 为(x,y) ,A（-a,0）,B（a,0）A （ ） （ ） 由KAC.kBC )
.
y−0 x−a
= -1
得：x2+y2=a2
圆的方程
一、圆的标准方程 圆的标准方程： 圆的标准方程 圆心（ ），半径为 的圆的方程: 圆心（a,b），半径为 的圆的方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 ），半径为r的圆的方程 特殊地，当圆心这（ ），半径为 的圆的方程： 特殊地，当圆心这（0,0），半径为 的圆的方程： ），半径为r的圆的方程
直线的方程
1、点斜式 : 、
y-y0=k(x-x0)
不包括垂直于x轴的直线 不包括垂直于 轴的直线
2、斜截式： y=kx+b 、斜截式：
y − y1 x − x1 3、 3、两点式 y − y ＝ 2 1 x2 − x1
不包括垂直于x轴的直线 不包括垂直于 轴的直线
不含垂直坐标轴的直线
x y 4、截距式 、截距式： ＋ ＝1 a b 的直线
x2+y2=r2
二、圆的一般方程 圆的一般方程： 圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
(D2+E2-4F＞0) ＞
D 2 + E 2 − 4F 4F E 2 D 2 (x+ ) +(y+ ) = 2 4 2
E D 表示圆心在（ ），半径为 表示圆心在（ ， ），半径为 2 2 的圆
D 2 + E 2 − 4F 2
3、求圆 2+y2-2x-8y=0关于直线 、求圆x 关于直线x-3y+1=0对称的圆方程 关于直线 对称的圆方程
解：圆方程可化为：(x-1)2+(y-4)2=4 圆方程可化为： 所以圆心为(1,4)，半径为2 ，半径为 所以圆心为 的对称点为(3,-2)，这 点（1,4）关于直线 ）关于直线x-3y+1=0的对称点为 的对称点为 ， 点就是对称圆的圆心 又知对称圆的半径与已知圆的半径相等， 又知对称圆的半径与已知圆的半径相等，所以所求的圆方程为 （x-3)2+(y+2)2=4
5、一般式： 一般式： 一般式
不含垂直坐标轴和过原点
Ax+By+C=0 (A、B不全为 ） 、 不全为0） 不全为
3、求过点p(2、3)，并且在两坐标轴上的截距相等 、求过点 、 ， 的直线方程
x y 设直线方程为： 解：设直线方程为： ＋ ＝1，将（2、3）代入即 ， 、 ） a a
得a=5, 所以直线方程为： 所以直线方程为：
2、重合： k1=k2 且b1=b2 、重合： 3、垂直： l1 ⊥l2 ⇔ k1k2 =-1 、垂直：
L1: Ax+By+C=0 , l
2:
Ax+By+C=0
1、平行：l1 ∥l2, 、平行：
2
C1 A1 B1 A2 = B2 ≠ C2
重合: 重合
点到直线的距离公式： 点到直线的距离公式： P(X0,Y0)到直线 到直线Ax +By+C=0的距离 到直线 的距离