4 机械振动习题详解

习题四一、选择题1．两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同，第一个质点的振动方程为1cos()x A t ωα=+。

当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处，则第二个质点的振动方程为 [ ]（A ）)π21cos(2++=αωt A x ； （B ）)π21cos(2-+=αωt A x ；（C ）)π23cos(2-+=αωt A x ； （D ）)cos(2π++=αωt A x 。

答案：B解：由题意，第二个质点相位落后第一个质点相位π/2，因此，第二个质点的初相位为π21-α，所以答案应选取B 。

2．劲度系数分别为k 1和k 2的两个轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为m 的物体，构成一个竖挂的弹簧振子，则该系统的振动周期为 ［ ］（A ）21212)(2k k k k m T +π=； （B ）)(221k k mT +π= ；（C ） 2121)(2k k k k m T +=π； （D ）2122k k mT +π=。

答案：C解：两根弹簧串联，其总劲度系数2121k k k k k +=，根椐弹簧振子周期公式，k mT π2=，代入2121k k k k k +=可得答案为C 。

3．一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，（如图所示），作成一复摆．已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量231ml J =，此摆作微小振动的周期为 ［ ］ （A ）g l π2； （B ）g l 22π； （C ）g l 322π； （D ）gl 3π。

答案：C解：由于是复摆，其振动的周期公式为glmgl J T 322222πππ===ω，所以答案为C 。

4．一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为A 21，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为［ ］ 答案：B解：根椐题意，此简谐振动的初相位为3π-，或35π，所以答案为B 。

5．一物体作简谐振动，振动方程为)21cos(π+=t A x ω．则该物体在t = 0时刻的动能与t = T /8（T 为振动周期）时刻的动能之比为［ ］（A ）1:4； （B ）1:2； （C ）1:1； （D ）2:1。

答案：D解：物体的速度为)21sin(π+-=t A v ωω，动能为)21(sin 21222π+t mA ωω。

所以在t = 0时刻的动能为2221ωmA ，t = T /8时的动能为2241ωmA ，因此，两时刻的动能之比为2:1，答案应选D 。

二、填空题1．一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为A = _______cm ；ω =__________rad/s ；ϕ =________。

答案：10；(π/6)；π/3。

解：由图可直接看出，A =10cm ，周期T =12s ，所以2rad/s 6T ππω==；再由图看出，t = 0时刻质点在位移5cm处，下一时刻向着平衡位置方向移动，所以其初相为 ϕ = π/3。

2．一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示。

当振子处在位移为零、速度为A ω-、加速度为零和弹性力为零的状态时，应对应于曲线上的________点；当振子处在位移的绝对值为A 、速度为零、加速度为2A ω-和弹性力为kA -的状态时，应对应于曲线上的____________点。

ω-答案：（b ，f ）；（ a ，e ）。

解：因b 和f 点对应着位移为零、速度为A ω-、加速度为零和弹性力为零的状态，a ，e .点对应着位移的绝对值为A 、速度为零、加速度为2A ω-和弹性力为kA -的状态。

3．两个同方向的简谐振动曲线如图所示。

其合振动的振 幅为__________________________；合振动的振动方程为_____________________________。

)212cos(12π+π-=t T A A x 。

解：由图可知，两振动其初相位差为π11221122sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+，而123, 22ππϕϕ==，由此得2πϕ=。

所以合振动的振动方程为)212cos(12π+π-=t T A A x4．在一竖直轻弹簧下端悬挂质量 = 5g m 的小球，弹簧伸长=1cm l 而平衡。

经推动后，该小球在竖直方向作振幅为 = 4cm A 的振动，则小球的振动周期为__________；振动能量为_________________。

答案：0.201s ；-3 3.9210J ⨯。

解：平衡时，有k l mg ∆=，所以/k mg l =∆。

（1）2220.201s T ω===π；（2） 22-311= 3.9210J 22mg E kA A l==⨯∆。

5．为测定某音叉C 的频率，选取频率已知且与C 接近的另两个音叉A 和B ，已知A 的频率为800 Hz ，B 的频率是797 Hz ，进行下面试验：第一步，使音叉A 和C 同时振动，测得拍频为每秒2次。

第二步，使音叉B 和C 同时振动，测得拍频为每秒5次。

由此可确定音叉C 的频率为______________。

答案：802 Hz解：设音叉C 的频率为ν，由2800=-ν和5797=-ν，联立求得802Hz ν=。

三、计算题·--1．在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长0=1.2cm l 而平衡．再经拉动后，该小球在竖直方向作振幅为 = 2cm A 的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式。

答案：)1.9cos(1022t x π⨯=-。

解：设小球的质量为m ，则弹簧的劲度系数0/l mg k =选平衡位置为原点，向下为正方向。

小球在x 处时，根据牛顿第二定律得202d ()d xmg k l x m t -+= 将 0/l mg k = 代入整理后得 220d 0d x gx t l +=所以此振动为简谐振动，其角频率为 28.589.1ω===π 设振动表达式为 cos()x A t ωϕ=+由题意： 0t =时，20210m x A -==⨯，00v =，由此解得 0ϕ=。

所以 )1.9cos(1022t x π⨯=-2．一质量0.25kg m =的物体，在弹簧的力作用下沿x 轴运动，平衡位置在原点. 弹簧的劲度系数25N/m k =。

（1）求振动的周期T 和角频率ω；（2）如果振幅15cm A =，0t =时物体位于7.5cm x =处，且物体沿x 轴反向运动，求初速0v 及初相ϕ；（3）写出振动方程表达式。

答案：（1）0.63s T =，10rad/s ω=；（2）0 1.3m/s v =-，13ϕ=π；（3）)3110cos(10152π+⨯=-t x 。

解： （1） 10rad/s ω=，20.63s T ω==π； （2） 15cm A =；当0t =时，07.5cm x =，00v <，+x )由A =得0 1.3m/s v =-=-由 100tg v x ϕω--=，得13ϕ=π，或43π 因00x >，所以应取 13ϕ=π（3）振动方程)3110cos(10152π+⨯=-t x (SI)3．一质点作简谐振动，其振动方程为)4131cos(100.62π-π⨯=-t x (SI)（1）当x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？（2）质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？ 答案：（1）24.2410m x -=±⨯；（2）0.75 s 。

解：（1）势能 221kx W P =； 总能量 221kA E = 由题意 4/2122kA kx =，24.2410m x -==±⨯。

（2）周期 26s T ω==π从平衡位置运动到2A x ±=的最短时间t ∆为T /8，所以0.75 s t t =∆=4．一质量 = 3.96 kg M 的物体，悬挂在劲度系数 = 400 N/m k 的轻弹簧下端．一质量= 40g m 的子弹以 = 152 m/s v 的速度从下方竖直朝上射入物体之中 ，然后子弹与物体一起作谐振动 ．若取平衡位置为原点。

x 轴指向下方，如图，求：（1）振动方程（因 m M <<，m 射入M 后对原来平衡位置的影响可以忽略）；（2）弹簧振子的总能量。

答案：（1）)2110cos(152.0π+=t x ；（2） 4.62J E =。

解：（1）由动量守恒定律 ()mv M m V =+，得 mvV M m=+；又010rad/s ω= 0t =时，00cos x A ϕ== 00sin v A V ωϕ=-=- 由上二式解得 =0.152 m A ，12ϕ=π，所以，振动方程 )2110cos(152.0π+=t x (SI)（2）振子中的总能量 21() 4.62J 2E M m V =+=5．一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为-21 =510cos(4 +)3x t π⨯(SI) ，-22 =310sin(4 -)6x t π⨯画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程。

答案：（1）旋转矢量如图；（2）合振动方程-2=210cos(4 +)3x t π⨯。

解： -2-2-222 =310sin(4 -)=310cos(4 --)=310cos(4 -)6623x t t t ππππ⨯⨯⨯ 作两振动的旋转矢量图，如图所示。

由图得，合振动的振幅和初相分别为 = (5-3)cm = 2cm A ， =3πϕ，所以 合振动方程为 -2=210cos(4 +)3x t π⨯ (SI)x O ω ω π/3 -2π/3 A1A 2A。