中考数学题型专项训练：二次函数与最值问题(含答案)
中考数学二次函数最值问题（典型中考题）带答案
二次函数作为初中数学的重点内容同样也是难点内容一般同学都很பைடு நூலகம்把控尤其是最值问题多数同学遇到这样的题目都直接放弃
中考数学二次函数最值问题（典型中考题）带答案
二次函数作为初中数学的重点内容，同样也是难点内容，一般同学都很难把控，尤其是最值问题，多数同学遇到这样的题目都直接放弃。
但是如果我们了解了二次函数最值的常考题型，典型题，以及解题方法，这样是可以帮助同学们在这一部分突破一定的分数的。
2023年中考数学压轴题专题11 二次函数与单线段最值问题【含答案】
专题11二次函数与单线段最值问题【例1】（2022•襄阳）在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D 的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．①求A，B，C，D四点的坐标；②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；（2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值．【例2】（2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P 在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．【例3】（2021•青海）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，C点的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1）x+c＞2的解集；（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ＝时，求P点的坐标．【例4】（2022•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C （0，﹣3）．（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．1．（2020•河北模拟）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0，c＜0）的对称轴为x＝4，C为顶点，且A（2，0），C（4，﹣2）【问题背景】求出抛物线C的解析式．【尝试探索】如图2，作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′，作直线x＝k交BC′于点M，交抛物线C于点N．①连接ND，若四边形MNDC′是平行四边形，求出k的值．②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时，请直接写出线段MN的长度的最大值．【拓展延伸】如图4，作矩形HGOE，且E（﹣3，0），H（﹣3，4），现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移，设运动时间为t，得到矩形H′G′O′E′，连接AC′，若矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，请求出t的取值范围．2．（2018秋•宁城县期末）已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（﹣3，0），（1）如图1，已知顶点坐标D为（﹣1，4）或B点（0，3），选择适当方法求抛物线的解析式；（2）如图2，在抛物线的对称轴DH上求作一点M，使△ABM的周长最小，并求出点M的坐标；（3）如图3，将图2中的对称轴向左移动，交x轴于点P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），与抛物线，线段BC的交点分别为点E、F，用含m的代数式表示线段EF的长度，并求出当m为何值时，线段EF最长．3．（2021•桥西区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，且CO＝BO，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，求线段DE的长度；（3）如图3，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，连接CP，CD，抛物线上是否存在点P，使△CDE∽△PCF，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．4．（2022•和平区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点A的坐标为（﹣2，4），且经过坐标原点，与x轴负半轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标；（2）过点A作AC⊥x轴于点C，若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点（点D与点A不重合），过点D 作DE⊥x轴于点E，连接AO，DO，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，当点D在第二象限时，在平面内存在一条直线，这条直线与抛物线在第二象限交于点F，在第三象限交于点G，且点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等，请直接写出线段FG的长．5．（2022•鹿城区校级二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标．（2）连结AD，点E是对称轴与x轴的交点，过E作EF∥AD交抛物线于点F（F在E的右侧），过点F作FG∥x轴交ED于点H，交AD于点G，求HF的长．6．（2021•南岗区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣3，0），B（4，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点，过点P作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，连接CG交x轴于点N，设点P的横坐标为t，ON的长为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接PB，将线段PB绕着点P顺时针旋转90°得到线段PD，点D恰好落在y轴上，点E在线段OB上，连接PE，点Q在EB的延长线上，且EQ＝PE，连接DQ交PE于点F，若PE＝3PF，求QN的长．7．（2021•凉山州模拟）如图1，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为（1，0），且OA＝OC＝3OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；（3）如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于E点，当PE的值最大时，求此时P点的坐标及PE的最大值．8．（2022•无锡二模）已知抛物线y＝mx2﹣2mx+3（m＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝3OA．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若M、N是第一象限的抛物线上不同的两点，且△BCN的面积总小于△BCM的面积，求点M的坐标；（3）若D为抛物线的顶点，P为第二象限的抛物线上的一点，连接BP、DP，分别交y轴于点E、F，若EF＝OC，求点P的坐标．9．（2021•乳源县三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△AMC的面积；（3）若点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．10．（2021•河池）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线CA的解析式；（2）如图，直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，DG⊥CA于点G，若E为GA的中点，求m的值．（3）直线y＝nx+n与抛物线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，其中x1＜x2．若x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，结合函数图象，探究n的取值范围．11．（2021•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m），与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，m的值和点C的坐标；（2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当＝时，求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．12．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．①求m的取值范围；②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．13．（2020•武汉模拟）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C．（1）则点A的坐标为，点B的坐标为．（2）如图1，过点A的直线y＝ax+a交y轴正半轴于点F，交抛物线于点D，过点B作BE∥y轴交AD于E，求证：AF＝DE．（3）如图2，直线DE：y＝kx+b与抛物线只有一个交点D，与对称轴交于点E，对称轴上存在点F，满足DF＝FE．若a＝1，求点F坐标．14．（2020•哈尔滨模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+5经过坐标轴上A、B和C三点，连接AC，tan C＝，5OA＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t，连接BQ交y轴于点E，连接CQ、CB，△BCQ的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）已知点D是抛物线的顶点，连接CQ，DH所在直线是抛物线的对称轴，连接QH，若∠BQC＝45°，HR∥x轴交抛物线于点R，HQ＝HR，求点R的坐标．15．（2019•衡阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y 轴交于点E．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2020•天津）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2．①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？17．（2020•凉山州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ 的长最大时，求点P的坐标．18．（2020•滨州）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，﹣），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l 的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．19．（2016•巴彦淖尔）如图所示，抛物线y＝ax2﹣x+c经过原点O与点A（6，0）两点，过点A作AC⊥x 轴，交直线y＝2x﹣2于点C，且直线y＝2x﹣2与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标；（2）求点A关于直线y＝2x﹣2的对称点A′的坐标，并判断点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P（x，y）是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点Q，设线段PQ的长为l，求l与x的函数关系式及l的最大值．20．（2018•葫芦岛）如图，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），点E（4，5），与y轴交于点B，连接AB．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F．①当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和△ABF的面积；②当点F到直线AE的距离为时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标．【例1】（2022•襄阳）在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D 的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．①求A，B，C，D四点的坐标；②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；（2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值．【分析】（1）根据函数上点的坐标特点可分别得出A，B，C，D的坐标；①当m＝2时，代入上述坐标即可得出结论；②过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，所以P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．根据三角形的面积公式可得△PAB的面积，再利用二次函数的性质可得出结论；（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），①y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，需要分两种情况：当点M的坐标大于点B的坐标时；当点M的坐标小于点B的坐标时，分别得出m的取值范围即可；②根据①中的条件可知，分两种情况，分别得出BC的长度，利用二次函数的性质可得出结论．【解答】解：（1）∵直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴A（2，0），B（0，﹣2m）；∵y＝﹣（x﹣m）2+2，∴抛物线的顶点为D（m，2），令x＝0，则y＝﹣m2+2，∴C（0，﹣m2+2）．①当m＝2时，﹣2m＝﹣4，﹣m2+2＝﹣2，∴B（0，﹣4），C（0，﹣2），D（2，2）．②由上可知，直线AB的解析式为：y＝2x﹣4，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣2．如图，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，设点P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2+4t﹣2），E（t，2t﹣4）．∴PE＝﹣t2+4t﹣2﹣（2t﹣4）＝﹣t2+2t+2，∴△PAB的面积为：×（2﹣0）×（﹣t2+2t+2）＝﹣（t﹣1）2+3，∵﹣1＜0，∴当t＝1时，△PAB的面积的最大值为3．此时P（1，1）．（2）由（1）可知，B（0，﹣2m），C（0，﹣m2+2），①∵y轴上有一点M（0，m），点C在线段MB上，∴需要分两种情况：当m≥﹣m2+2≥﹣2m时，可得≤m≤1+，当m≤﹣m2+2≤﹣2m时，可得﹣3≤m≤1﹣，∴m的取值范围为：≤m≤1+或﹣3≤m≤1﹣．②当≤m≤1+时，∵BC＝﹣m2+2﹣（﹣2m）＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3，∴当m＝1时，BC的最大值为3；当m≤﹣m2+2≤﹣2m时，即﹣3≤m≤1﹣，∴BC＝﹣2m﹣（﹣m2+2）＝m2﹣2m﹣2＝（m﹣1）2﹣3，当m＝﹣3时，点M与点C重合，BC的最大值为13．∴当m＝1时，BC的最大值为3；当m＝﹣3时，BC的最大值为13．【例2】（2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P 在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．【分析】（1）①根据正方形的性质得出点A，B，C的坐标；②利用待定系数法求函数解析式解答；（2）根据两角相等证明△MCP∽△PBA，列比例式可得n与m的关系式，配方后可得结论．【解答】解：（1）①四边形OABC是边长为3的正方形，∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；②把A（3，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：，解得：；（2）∵AP⊥PM，∴∠APM＝90°，∴∠APB+∠CPM＝90°，∵∠B＝∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠CPM，∵∠B＝∠PCM＝90°，∴△MCP∽△PBA，∴＝，即＝，∴3n＝m（3﹣m），∴n＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+（0≤m≤3），∵﹣＜0，∴当m＝时，n的值最大，最大值是．【例3】（2021•青海）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，C点的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣1）x+c＞2的解集；（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点．当PQ＝时，求P点的坐标．【分析】（1）根据题意得出A、B点的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）根据（1）的解析式由图象判断即可；（3）作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，根据函数图象点P的位置分三种情况分别计算出P点的坐标即可．【解答】解：（1）当x＝0，y＝0+2＝2，当y＝0时，x+2＝0，解得x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，2），把A（﹣2，0），C（1，0），B（0，2）代入抛物线解析式，得，解得，∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2；（2）方法一：ax2+（b﹣1）x+c＞2，即﹣x2﹣2x+2＞2，当函数y＝﹣x2﹣2x+2＝2时，解得x＝0或x＝﹣2，由图象知，当﹣2＜x＜0时函数值大于2，∴不等式ax2+（b﹣1）x+c＞2的解集为：﹣2＜x＜0；方法二：ax2+（b﹣1）x+c＞2，即﹣x2﹣x+2＞x+2，观察函数图象可知当﹣2＜x＜0时y＝﹣x2﹣x+2的函数值大于y＝x+2的函数值，∴不等式ax2+（b﹣1）x+c＞2的解集为：﹣2＜x＜0；（3）作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，作PQ⊥AB于Q，①如图1，当P在AB上方时，在Rt△OAB中，∵OA＝OB＝2，∴∠OAB＝45°，∴∠PDQ＝∠ADE＝45°，在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，∴PQ＝DQ＝，∴PD＝＝1，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），∴PD＝﹣x2﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x，即﹣x2﹣2x＝1，解得x＝﹣1，∴此时P点的坐标为（﹣1，2），②如图2，当P点在A点左侧时，同理①可得PD＝1，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x，即x2+2x＝1，解得x＝±﹣1，由图象知此时P点在第三象限，∴x＝﹣﹣1，∴此时P点的坐标为（﹣﹣1，﹣），③如图3，当P点在B点右侧时，在Rt△OAB中，∵OA＝OB＝2，∴∠OAB＝45°，∴∠PDQ＝∠DPQ＝45°，在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，∴PQ＝DQ＝，∴PD＝＝1，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x，即x2+2x＝1，解得x＝±﹣1，由图象知此时P点在第一象限，∴x＝﹣1，∴此时P点的坐标为（﹣1，），综上，P点的坐标为（﹣1，2）或（﹣﹣1，﹣）或（﹣1，）．【例4】（2022•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C （0，﹣3）．（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．【分析】（1）设二次函数的表达式为交点式，将点C坐标代入，进而求得结果；（2）先把AC，CE，AE的平方求出或表示出来，然后分为∠CAE＝90°，∠ACE＝90°及∠AEC＝90°，然后根据勾股定理逆定理列出方程，解方程，进而求得结果；（3）根据∠APD＝90°确定点P在以AD的中点为圆心，为半径的圆上，进一步求得结果．【解答】解：（1）由题意设二次函数表达式为：y＝a（x+1）•（x﹣3），∴a•（﹣3）＝﹣3，∴a＝1，∴y＝（x+1）•（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4）；（2）存在点E，使△ACE是直角三角形，过程如下：设点E（1，m），∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴AC2＝10，AE2＝4+m2，CE2＝1+（m+3）2，当∠EAC＝90°时，AE2+AC2＝CE2，∴14+m2＝1+（m+3）2，∴m＝，∴E1（1，），当∠ACE＝90°时，AC2+CE2＝AE2，∴11+（m+3）2＝4+m2，∴m＝﹣，∴E2（1，﹣），当∠AEC＝90°时，AE2+CE2＝AC2，∴5+m2+（m+3）2＝10，∴m＝﹣1或﹣2，∴E3（1，﹣1），E4（1，﹣2），综上所述：点E（1，）或（1，﹣）或（1，﹣1）或（1，﹣2）；（3）设AD的中点为I，∵A（﹣1，0），D（1，﹣4），∴AD＝＝2，I（0，﹣2），∴PA⊥PD，∴∠ADP＝90°，∴点P在以AD的中点I为圆心，为半径的圆上，∵BI＝＝，＝﹣．∴PB最小1．（2020•河北模拟）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0，c＜0）的对称轴为x＝4，C为顶点，且A（2，0），C（4，﹣2）【问题背景】求出抛物线C的解析式．【尝试探索】如图2，作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′，作直线x＝k交BC′于点M，交抛物线C于点N．①连接ND，若四边形MNDC′是平行四边形，求出k的值．②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时，请直接写出线段MN的长度的最大值．【拓展延伸】如图4，作矩形HGOE，且E（﹣3，0），H（﹣3，4），现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移，设运动时间为t，得到矩形H′G′O′E′，连接AC′，若矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，请求出t的取值范围．【分析】【问题背景】A（2，0），对称轴为x＝4，则点B（6，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x ﹣6），将点C的坐标代入上式即可求解；【尝试探索】①四边形MNDC′是平行四边形，则MN＝DC′＝2，即|k2﹣4k+6﹣（﹣k+6）|＝2，解得：k＝3或3，②MN＝（﹣k+6）﹣（k2﹣4k+6）＝﹣k2+3k，即可求解；【拓展延伸】（Ⅰ）当t＝2时，矩形过点A，此时矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分；（Ⅱ）当H′E′与对称轴右侧抛物线有交点时，此时y＝H′E′＝4，即x2﹣4x+6＝4，解得：x＝4（舍去4﹣2），即可求解．【解答】解：【问题背景】A（2，0），对称轴为x＝4，则点B（6，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x﹣6），将点C的坐标代入上式得：﹣2＝a（4﹣2）•（4﹣6），解得：a＝，故抛物线的表达式为：…①；【尝试探索】①点C′（4，2），由点B、C′的坐标可得，直线BC′的表达式为：y＝﹣x+6…②，四边形MNDC′是平行四边形，则MN＝DC′＝2，设点N的坐标为：（x，k2﹣4k+6），则点M（k，﹣k+6），即|k2﹣4k+6﹣（﹣k+6）|＝2，解得：k＝3或3，故k的值为：；②联立①②并解得：x＝0或6，故抛物线C与直线BC′围成的封闭图形对应的k值取值范围为：0≤k≤6，MN＝（﹣k+6）﹣（k2﹣4k+6）＝﹣k2+3k，∵0，故MN有最大值，最大值为；【拓展延伸】由点A、C′的坐标得，直线AC′表达式为：y＝x﹣2…③，联立①③并解得：x＝2或8，即封闭区间对应的x取值范围为：2≤x≤8，（Ⅰ）当t＝2时，矩形过点A，此时矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，（Ⅱ）当H′E′与对称轴右侧抛物线有交点时，此时y＝H′E′＝4，即x2﹣4x+6＝4，解得：x＝4（舍去4﹣2），即x＝4+2，则t＝3+4+2＝7+2，故t的取值范围为：2≤t≤．2．（2018秋•宁城县期末）已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（﹣3，0），（1）如图1，已知顶点坐标D为（﹣1，4）或B点（0，3），选择适当方法求抛物线的解析式；（2）如图2，在抛物线的对称轴DH上求作一点M，使△ABM的周长最小，并求出点M的坐标；（3）如图3，将图2中的对称轴向左移动，交x轴于点P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），与抛物线，线段BC的交点分别为点E、F，用含m的代数式表示线段EF的长度，并求出当m为何值时，线段EF最长．【分析】（1）根据顶点D坐标设其顶点式，再将点C（2）连接BC，交DH于点M，使△ABM周长最小，即AM+BM最小，先求出BC直线解析式，再令x＝﹣1，求得M（﹣1，2）；（3）由题意得出E（m，﹣m2﹣2m+3），F（m，m+3），据此可知EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3），再根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）由抛物线的顶点D的坐标（﹣1，4）可设其解析式为y＝a（x+1）2+4，将点C（﹣3，0）代入，得：4a+4＝0，解得a＝﹣1，则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；（2）连接BC，交DH于点M，此时△ABM的周长最小，当y＝0时，﹣（x+1）2+4＝0，解得x＝﹣3或x＝1，则A（1，0），C（﹣3，0），当x＝0时，y＝3，则B（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（0，3），C（﹣3，0）代入得，解得：，∴直线BC解析式为y＝x+3，当x＝﹣1时，y＝﹣1+3＝2，所以点M坐标为（﹣1，2）；（3）由题意知E（m，﹣m2﹣2m+3），F（m，m+3），则EF＝EP﹣FP＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，线段EF最长．3．（2021•桥西区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，且CO＝BO，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，求线段DE的长度；（3）如图3，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，连接CP，CD，抛物线上是否存在点P，使△CDE∽△PCF，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意可求得点C，B的坐标，将A，B坐标代入抛物线解析式求出a，b的值，即可得到抛物线解析式；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点C，B的坐标代入求得k，b的值，即可求得直线BC的解析式，再求DE即可；（3）根据△CDE∽△PCF，DE∥PF，可得：＝，设点P坐标为（t，﹣t2+2t+3），点F坐标为（t，﹣t+3），建立关于t的方程求解即可．【解答】解：（1）在抛物线y＝ax2+bx+3中，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），∴CO＝3，∵CO＝BO，∴BO＝3，∴B（3，0），∵A（﹣1，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点D坐标为（1，4），∴当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴E（1，2），∴DE＝2；（3）∵PF∥DE，∴∠CED＝∠CFP，当＝时，△PCF∽△CDE，由D（1，4），C（0，3），E（1，2），利用勾股定理，可得CE＝＝，DE＝4﹣2＝2，设点P坐标为（t，﹣t2+2t+3），点F坐标为（t，﹣t+3），∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，CF＝＝t，∴＝，∵t≠0，∴t＝2，当t＝2时，﹣t2+2t+3＝﹣22+2×2+3＝3，∴点P坐标为（2，3）．4．（2022•和平区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点A的坐标为（﹣2，4），且经过坐标原点，与x轴负半轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标；（2）过点A作AC⊥x轴于点C，若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点（点D与点A不重合），过点D 作DE⊥x轴于点E，连接AO，DO，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，当点D在第二象限时，在平面内存在一条直线，这条直线与抛物线在第二象限交于点F，在第三象限交于点G，且点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等，请直接写出线段FG的长．【分析】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x+2）2+4（a≠0），把点（0，0）代入，即可求解；（2）根据题意得OC＝2，AC＝4，设点D（x，﹣x2﹣4x），则DE＝|﹣x2﹣4x|，OE＝﹣x，根据∠ACO＝∠DEO＝90°，可得当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，∠AOC＝∠ODE 或∠AOC＝∠DOE，分两种讨论，即可求解；（3）求出直线BD的解析式y＝x+14，直线BD与y轴交于（0，14），可得过点A平行于BD的直线AM的解析式为y＝x+11，交y轴于（0，11），可得直线FG的的解析式为y＝x+，联立方程组，得到点F．G的坐标，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线顶点的坐标为（﹣2，4），∴设抛物线解析式为y＝a（x+2）2+4（a≠0），把点（0，0）代入得：0＝a（x+2）2+4．解得：a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2+4＝﹣x2﹣4x．令y﹣0，则﹣x2﹣4x＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝0，∴点B（﹣4，0），∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x．点B（﹣4，0）；（2）∵AC⊥x轴，点A（﹣2，4），∴点C（﹣2，0），∴OC＝2，AC＝4，∵∠ACO＝∠DEO＝90°，∴当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，∠AOC＝∠ODE或∠AOC＝∠DOE，设D（x，﹣x2﹣4x），①当∠AOC＝∠ODE时，△AOC∽△ODE，如图：∵∠AOC＝∠ODE，∴tan∠AOC＝tan∠ODE，∴＝＝2，∴＝2，∴﹣x＝2（x2+4x）或﹣x＝﹣2（x2+4x），∴x1＝0（舍去），x2＝﹣或x3＝0（舍去），x4＝﹣，∴点D的坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）；②当∠AOC＝∠DOE时，△AOC∽△DOE，如图：∵∠AOC＝∠DOE，∴tan∠AOC＝tan∠DOE，∴＝＝2，∴＝2，∴﹣2x＝x2+4x或2x＝x2+4x，∴x1＝0（舍去），x2＝﹣6或x3＝0（舍去），x4＝﹣2（舍去），∴点D的坐标为（﹣6，﹣12）；点D（﹣6，﹣12）；综上所述，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，点D的坐标为（﹣6，﹣12）或（﹣，﹣）或（﹣，）；（3）∵在（2）的条件下，点D在第二象限，∴点D的坐标为（﹣，），直线BD的解析式y＝kx+m，∴，解得，∴直线BD的解析式y＝x+14，直线BD与y轴交于（0，14），∴过点A平行于BD的直线AM的解析式为y＝x+11，交y轴于（0，11），∵点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等，∴直线FG的的解析式为y＝x+，联立得，解得，，∴F（﹣，），G（﹣5，﹣5），∴FG＝＝．5．（2022•鹿城区校级二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标．（2）连结AD，点E是对称轴与x轴的交点，过E作EF∥AD交抛物线于点F（F在E的右侧），过点F作FG∥x轴交ED于点H，交AD于点G，求HF的长．【分析】（1）把点A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线解析式即可求解；（2）延长FG交y轴于点I，根据A，E，D坐标求出AE＝3，DE＝9，在Rt△EAD中，tan∠EAD＝3，再根据四边形AGFE是平行四边形，得出tan∠EFH＝tan∠EAD＝3，设HF＝m，EH＝3m，易证四边形OIHE是矩形，把点F（m+2，﹣3m）代入y＝x2﹣4x﹣5，求出m即可．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线解析式，得：，解得：，∴y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣5，顶点D坐标为（2，﹣9）；（2）延长FG交y轴于点I，∵A（﹣1，0），E（2，0），D（2，﹣9），∴AE＝3，DE＝9，∴在Rt△EAD中，，∵EF∥AD，FG∥x轴，∴四边形AGFE是平行四边形，∴tan∠EFH＝tan∠EAD＝3，∴在Rt△EHF中，EH＝3HF，设HF＝m，EH＝3m，易证四边形OIHE是矩形，把点F（m+2，﹣3m）代入y＝x2﹣4x﹣5，得，﹣3m＝（m+2）2﹣4（m+2）﹣5，解得：或m＝（舍去），∴．6．（2021•南岗区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣3，0），B（4，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点，过点P作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，连接CG交x轴于点N，设点P的横坐标为t，ON的长为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接PB，将线段PB绕着点P顺时针旋转90°得到线段PD，点D恰好落在y轴上，点E在线段OB上，连接PE，点Q在EB的延长线上，且EQ＝PE，连接DQ交PE于点F，若PE＝3PF，求QN的长．【分析】（1）运用待定系数法即可得出答案；（2）设P（t，t2﹣t﹣4），则G（1﹣t，t2﹣t﹣4），利用tan∠GCH＝＝，求出CN，即可得出答案；（3）过点P作PT⊥x轴于点T，可证得△PDH≌△PBT（AAS），过点F作x轴的垂线，垂足为K，过点D 作KF的垂线，垂足为R，KR与PH交于点M，再证得△DRF≌△QKF（ASA），过点Q作QW∥PD，可证得△DPF≌△QWF（AAS），过点Q作QZ⊥PE于点Z，再证明△EQZ≌△EPT（AAS），再利用HL证明Rt △QWZ≌Rt△PBT，设EB＝m，运用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣3，0），B（4，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）如图1，设P（t，t2﹣t﹣4），∵抛物线的对称轴为直线，PG∥x轴，∴点G与点P是抛物线上的一对对称点，∴G（1﹣t，t2﹣t﹣4），设PG与y轴交于点H，则H（0，t2﹣t﹣4），在抛物线中，令x＝0，得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OC＝4，又CH＝t2﹣t﹣4﹣（﹣4）＝t2﹣t，GH＝t﹣1，∵tan∠GCH＝＝，∴，解得：，∴d与t之间的函数解析式为d＝；（3）如图2，过点P作PT⊥x轴于点T，∵∠DPB＝∠PHO＝∠HOB＝∠PTO＝∠PHD＝90°，∴四边形PHOT为矩形，∴∠HPT＝90°，∴∠DPH＝∠BPT，∵PD＝PB，∴△PDH≌△PBT（AAS），∴DH＝BT，PH＝PT，∴，解得：t1＝6，t2＝﹣2（舍），∴P（6，6），∴T（6，0），∴DH＝BT＝2，ON＝d＝2，过点F作x轴的垂线，垂足为K，过点D作KF的垂线，垂足为R，KR与PH交于点M，∵PE＝3PF，∴EF＝2PF，∵cos∠PFM＝cos∠EFK，∴，∴FK＝2FM，∵∠MPT＝∠PTK＝∠TKM＝90°，∴四边形PMKT为矩形，∴MK＝PT＝6，∴FM＝2，FK＝4，同理四边形DHMR为矩形，∴DH＝RM＝2，RF＝FK＝4，∠R＝∠FKQ＝90°，∵∠DFR＝∠KFQ，∴△DRF≌△QKF（ASA），∴DF＝QF，过点Q作QW∥PD，∴∠DPF＝∠QWF∵∠DFP＝∠WFQ，DF＝FQ，∴△DPF≌△QWF（AAS），∴DP＝QW＝PB，PF＝WF，∴，过点Q作QZ⊥PE于点Z，∴∠EZQ＝∠PTE＝90°，∵∠PET＝∠QEZ，EP＝EQ，∴△EQZ≌△EPT（AAS），∴PT＝QZ，EZ＝ET，∵QW＝PB，∴Rt△QWZ≌Rt△PBT（HL），∴WZ＝BT，∴EW＝EB．设EB＝m，则EW＝WF＝FP＝m，∴EP＝3m，∵BT＝2，∴ET＝m+2，PT＝6，在Rt△EPT中，∵PE2＝ET2+PT2，∴（3m）2＝（m+2）2+62，解得：，m2＝﹣2（舍），∴，∴BQ＝2BE＝5，∵OB＝4，∴OQ＝9，∵ON＝2，∴QN＝OQ+ON＝11．7．（2021•凉山州模拟）如图1，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为（1，0），且OA＝OC＝3OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；（3）如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于E点，当PE的值最大时，求此时P点的坐标及PE的最大值．【分析】（1）根据B点坐标为（1，0），且OA＝OC＝3OB，得出B，C点的坐标，用待定系数法求解析式即可；（2）根据坐标求出三角形各边的长，利用勾股定理判断其为直角三角形，再用三角形面积公式求面积即可；（3）求出直线AC的解析式，过点P作PH∥y轴交AC于H，设出P点和H点坐标，用含x的代数式求出PE的值，根据二次函数性质求最值即可．【解答】解：（1）∵B点坐标为（1，0），∴OB＝1，又∵OA＝OC＝3OB，∴OA＝OC＝3，∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），将A，B，C三点代入解析式得，，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）由（1）知抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣3＝﹣4，∴D点的坐标为（﹣1，﹣4），∴|AD|＝＝2，|AC|＝＝3，|CD|＝＝，∵|AD|2＝|AC|2+|CD|2，∴△ACD是直角三角形，S△ABC＝|AC|•|CD|＝×＝3；（3）设直线AC的解析式为y＝sx+t，代入A，C点坐标，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，如右图，过点P作y轴的平行线交AC于点H，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵PH∥y轴，∴∠PHE＝∠OCA＝45°，设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3），∴PH＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，∴PE＝PH•sin∠PHE＝（﹣x2﹣3x）×＝﹣（x+）2+，∴当x＝﹣时，PE有最大值为，此时P点的坐标为（﹣，﹣）．8．（2022•无锡二模）已知抛物线y＝mx2﹣2mx+3（m＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝3OA．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若M、N是第一象限的抛物线上不同的两点，且△BCN的面积总小于△BCM的面积，求点M的坐标；（3）若D为抛物线的顶点，P为第二象限的抛物线上的一点，连接BP、DP，分别交y轴于点E、F，若EF＝OC，求点P的坐标．【分析】（1）设A（x1，0），B（x2，0），因为OB＝3OA，所以x2＝﹣3x1，又由于x1，x2是方程mx2﹣2mx+3＝0的两根，所以x1+x2＝2，从而求出x1的值，得到A点坐标，代入到解析式中，求出m，即可解决问题；（2）由题意可得，只要求得第一象限内M点，使△BCM面积最大，过M作y轴平行线交BC于G点，设M（a，﹣a2+2a+3），先求出直线BC的解析式，可以得到G（a，﹣a+3），从而得的MG＝﹣a2+3a，利用S＝S△MGC+S△MGB，得到S△MBC＝，当a＝时，△MBC面积最大，从而求得M点坐△MBC标；。
二次函数与最值问题(含答案)
二次函数与最值问题1.如图,二次函数y=－x2＋2(m－2)x＋3的图象与x、y轴交于A、B、C三点,其中A(3,0),抛物线的顶点为D.(Ⅰ)求m的值及顶点D的坐标;(Ⅱ)当a≤x≤b时,函数y的最小值为74,最大值为4,求a,b应满足的条件;(Ⅲ)在y轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?如果存在,求出符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.解:(Ⅰ)把A(3,0)代入y=－x2＋2(m－2)x＋3,得－9＋6(m－2)＋3=0,解得m=3,则二次函数为y=－x2＋2x＋3,∵y=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4,∴顶点D的坐标为(1,4);(Ⅱ)把y=74代入y=－x2＋2x＋3中,得74=－x2＋2x＋3,解得x1=－12,x2=25,又∵函数y的最大值为4,顶点D的坐标为(1,4),结合图象知－12≤a≤1.当a=－12时,1≤b≤25,当－12＜a≤1时,b=25;(Ⅲ)存在点P,使得△PDC是等腰三角形,当x=0时,y=3,∴点C坐标为(0,3).当△PDC是等腰三角形时,分三种情况:①如解图①,当DC=DP时,由抛物线的对称性知:点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称,∴点P坐标为(2,3);②如解图②,当PC=PD时,则线段CD的垂直平分线l与抛物线的交点即为所求的点P, 过点D作x轴的平行线交y轴于点H,过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥DH的延长线于点N,∵HD=HC=1,PC=PD,∴HP是线段CD的垂直平分线.∵HD=HC,HP⊥CD,∴HP平分∠MHN,∵PM⊥y轴于点M,PN⊥HD的延长线于点N, ∴PM=PN.设P(m,－m2＋2m＋3),则m=4－(－m2＋2m＋3),解得m=253±,∴点P的坐标为(253－,255＋)(解图中未标记此点)或(253＋,255－);③如解图③,当CD=CP时,点P在y轴左侧,不符合题意.综上所述,所求点P的坐标为(2,3)或(253－,255＋)或(253＋,255－).图①图②图③第1题解图2.已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a<0)过(m,b),(m＋1,a)两点,(Ⅰ)若m=1,c=1,求抛物线的解析式;(Ⅱ)若b≥a,求m的取值范围;(Ⅲ)当b≥a,m＜0时,二次函数y=ax2＋bx＋c有最大值－2,求a的最大值. 解:(Ⅰ)∵m=1,c=1,∴抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋1(a<0)过(1,b),(2,a)两点,∴1421a b ba b a++=⎧⎨++=⎩,解得11ab=-⎧⎨=⎩,∴抛物线的解析式为y=－x2＋x＋1;(Ⅱ)依题意得22(1)(1)am bm c ba mb mc a⎧++=⎪⎨++++=⎪⎩①②,由②－①得b=－am, ∵b≥a,∴－am≥a,∵a＜0,∴m≥－1;(Ⅲ) 由(Ⅱ)得b=－am,代入①得am2－am2＋c=b,∴c=b=－am,∵b≥a,m＜0,∴－1≤m＜0,∵二次函数y=ax2＋bx＋c有最大值－2,∴244ac ba-=－2,∴8a=m2＋4m,∴8a= (m＋2)2－4,∵－1≤m＜0,∴－3≤(m＋2)2－4＜0,∴a≤－8 3 ,∴a的最大值为－8 3 .3.平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2－2m2x＋2交y轴于A点,交直线x=4于B点. (Ⅰ)求抛物线的对称轴(用含m的代数式表示);(Ⅱ)若AB∥x轴,求抛物线的解析式;(Ⅲ)若抛物线在A,B之间的部分任取一点P(x p,y p),一定满足y p≤2,求m的取值范围.∴抛物线的对称轴为直线x=m;(Ⅱ)当x=0时,y=mx2－2m2x＋2=2,∴点A(0,2).∵AB∥x轴,且点B在直线x=4上,∴点B(4,2),抛物线的对称轴为直线x=2,∴m=2,∴抛物线的解析式为y=2x2－8x＋2;(Ⅲ)当m＞0时,如解图①,∵A(0,2),∴要使0≤x p≤4时,始终满足y p≤2,只需使抛物线y=mx2－2m2x＋2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧.∴m≥2;当m＜0时,如解图②,m＜0时,y p≤2恒成立.综上所述,m的取值范围为m＜0或m≥2.第3题解图4.已知抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为(2,5),且与y轴交于点C(0,1). (Ⅰ)求抛物线的表达式;(Ⅱ)若－1≤x≤3,试求y的取值范围;(Ⅲ)若M(n2－4n＋6,y1)和N(－n2＋n＋74,y2)是抛物线上的不重合的两点,试判断y1与y2的大小,并说明理由.解:(Ⅰ)∵抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为(2,5),∴设抛物线的表达式为:y=a(x－2)2＋5,把(0,1)代入得:a(0－2)2＋5=1,a=－1,∴抛物线的表达式为:y=－(x－2)2＋5=－x2＋4x＋1;(Ⅱ)∵抛物线的顶点为(2,5),a=－1,对称轴为直线x=2,且－1≤x≤3,∴当x=－1时,y有最小值,最小值为y=－(－1－2)2＋5=－4,当x=2时,y有最大值,最大值为y=5,∴y的取值范围是－4≤y≤5;(Ⅲ)∵n2－4n＋6=(n－2)2＋2≥2,－n2＋n＋74=－(n－12)2＋2≤2,∴点M在抛物线对称轴右侧,点N在抛物线对称轴左侧,∵N(－n2＋n＋74,y2),∴点N关于对称轴对称的点坐标为(n2－n＋94,y2),∵在抛物线对称轴右侧,y随x的增大而减小,∴①当n2－4n＋6＞n2－n＋94时,即n＜45时,y1＜y2;②当n2－4n＋6=n2－n＋94时,即n=45时,y1=y2;③当n2－4n＋6＜n2－n＋94时,即n＞45时,y1＞y2.和(m－b, m2－mb＋n),其中a,b,c,m,n为实数,且a,m不为0.(Ⅰ)求c的值;(Ⅱ)求证:抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴有两个交点;(Ⅲ)当－1≤x≤1时,设抛物线y=ax2＋bx＋c上与x轴距离最大的点为P(x0,y0),求这时|y0|的最小值.把点(m－b,m2－mb＋n)代入抛物线,得:a(m－b)2＋b(m－b)＋c=m2－mb＋n∴a(m－b)2＋b(m－b)=m2－mb,am2－2abm＋ab2＋bm－b2－m2＋mb=0,(a－1)m2－(a－1)•2bm＋(a－1)b2=0,(a－1)(m2－2bm＋b2)=0,(a－1)(m－b)2=0,若∴a=1,∴抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴有两个交点;x轴距离最大的点的纵坐标为h,在x轴下方与x轴距离最大的点是(－1,y0),∴|H|＞|h|,当b=0时等号成立,在x轴上方与x轴距离最大的点是(－1,y0),在x 轴下方与x 轴距离最大的点是(1,y 0),∴|H |＞|h |,6.在平面直角坐标系中,直线l :y =x ＋3与x 轴交于点A ,抛物线C:y =x 2＋mx ＋n 的图象经过点A .(Ⅰ)当m =4时,求n 的值;(Ⅱ)设m =－2,当－3≤x ≤0时,求二次函数y =x 2＋mx ＋n 的最小值;(Ⅲ)当－3≤x ≤0时,若二次函数y =x 2＋mx ＋n 时的最小值为－4,求m 、n 的值. 解:(Ⅰ)当y =x ＋3=0时,x =－3,∴点A 的坐标为(－3,0).∵二次函数y =x 2＋mx ＋n 的图象经过点A ,∴0=9－3m ＋n,即n =3m －9,∴当m =4时,n =3m －9=3;当m =－2时,对称轴为x =1,n =3m －9=－15,∴当－3≤x ≤0时,y 随x 的增大而减小,∴当x =0时,二次函数y =x 2＋mx ＋n 取得最小值,最小值为－15.在－3≤x ≤0范围内,y 随x 的增大而增大,当x =－3时,y 取得最小值0,不符合题意;∵二次函数最小值为－4,解得:2 3m n -⎧⎨⎩＝＝或1021m n ⎧⎨⎩＝＝(舍去),∴m =2,n =－3;∴4930n m n --+⎧⎪⎨⎪⎩＝＝,综上所述:m =2,n =－3.7.在平面直角坐标系中,抛物线y =x 2－2x ＋c (c 为常数)的对称轴为x =1.(Ⅰ)当c =－3时,点(x 1,y 1)在抛物线y=x 2－2x ＋c 上,求y 1的最小值;∴B (2m ,0),∵二次函数y =x 2－2x ＋c 的对称轴为x =1,∵点A 在抛物线y =x 2－2x ＋c 上, ②当点A 在原点的左侧,点B 在原点的右侧时,如解图②,设A (－n ,0),∵OA =12OB ,且点A 、B 在原点的两侧, ∴B (2n ,0),由抛物线的对称性得n ＋1=2n －1,解得n =2,∴A (－2,0),∵点A 在抛物线y =x 2－2x ＋c 上,∴0=4＋4＋c ,解得c =－8,此时抛物线的解析式为y =x 2－2x －8,综上,抛物线的解析式为y =x 2－2x ＋89或y =x 2－2x －8; (Ⅲ)∵抛物线y =x 2－2x ＋c 与x 轴有公共点,∴对于方程x 2－2x ＋c =0,判别式b 2－4ac =4－4c ≥0,∴c ≤1.当x =－1时,y =3＋c ;当x =0时,y =c ,∵抛物线的对称轴为x =1,且当－1＜x ＜0时,抛物线与x 轴有且只有一个公共点, ∴3＋c ＞0且c ＜0,解得－3＜c ＜0,综上,当－1＜x ＜0时,抛物线与x 轴有且只有一个公共点时,c 的取值范围为－3＜c ＜0.第7题解图8.已知抛物线 y =(m －1)x 2＋(m －2)x －1与x 轴交于A 、B 两点.(Ⅰ)求m 的取值范围;(Ⅱ)若m ＜0,且点A 在点B 的左侧,OA :OB =3:1,试确定抛物线的解析式;(Ⅲ)设(Ⅱ)中抛物线与y 轴的交点为C ,过点C 作直线l ∥x 轴,将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象.当直线y ＝－x ＋b 与新图象只有一个公共点P (x 0,y 0)且 y 0≥－5时,求b 的取值范围.解:(Ⅰ)∵抛物线y =(m －1)x 2＋(m －2)x －1与x 轴交于A 、B 两点,∴()210241)0(m m m -≠-+⎩-⎧⎨＞①②, 由①得m ≠1,由②得m ≠0,∴m 的取值范围是m ≠0且m ≠1;(Ⅱ)∵点A 、B 是抛物线y =(m －1)x 2＋(m －2)x －1与x 轴的交点,∴令y =0,即 (m －1)x 2＋(m －2)x －1=0.∴新图象经过点D (－2,－5).当直线y ＝－x ＋b 经过D 点时,可得b =－7. 当直线y ＝－x ＋b 经过C 点时,可得b =－1. 当直线y ＝－x ＋b (b ＞−1)与函数y ＝－3x 2−4x −1的图象仅有一个公共点P (x 0,y 0)时,得－x 0＋b ＝－3x 02−4x 0−1.整理得 3x 02＋3x 0＋b ＋1＝0.第8题解图9.如图,已知c ＜0,抛物线y =x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (x 1,0),B (x 2,0)两点(x 2＞x 1),与y 轴交于点C .(Ⅰ)若x 2=1,BC =5,求函数y =x 2＋bx ＋c 的最小值; (Ⅱ)过点A 作AP ⊥BC ,垂足为P (点P 在线段BC 上),AP 交y 轴于点M .若OA OM=2,求抛物线y =x 2＋bx ＋c 顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围.第9题图解:(Ⅰ)∵x 2=1,∴OB =1,∵BC =5,∴OC =22BC OB =2,∴C (0,－2),把B (1,0),C (0,－2)代入y =x 2＋bx ＋c ,得:0=1＋b －2,解得:b =1,∴抛物线的解析式为:y =x 2＋x －2.转化为y =(x ＋12)2－94; ∴函数y =x 2＋bx ＋c 的最小值为－94; (Ⅱ)∵∠OAM ＋∠OBC =90°,∠OCB ＋∠OBC =90°,∴∠OAM =∠OCB ,又∵∠AOM =∠BOC =90°,∴△AOM∽△COB,BC上的x最小取值,使P、C、M重合,满足点P在线段根据根与系数的关系,对于x2＋bx＋c=0,－1,由c=2b－4,解得c=。
二次函数的最值问题(中考题)(含答案)
典型中考题（有关二次函数的最值）屠园实验 周前猛一、选择题1． 已知二次函数y=a （x-1）2+b 有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关( )A. a<bB.a=b C a>b D 不能确定答案：C2．当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ）A 、-74 B 、 C 、 2或 D 2或或- 74答案：C∵当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4， ∴二次函数在－2≤x≤l 上可能的取值是x=－2或x=1或x=m.当x=－2时，由 y=-（x-m ）2+m 2+1解得m= - 74 ，2765y x 416⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭此时，它在－2≤x≤l 的最大值是6516，与题意不符. 当x=1时，由y=-（x-m ）2+m 2+1解得m=2，此时y=-（x-2）2+5，它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符.当x= m 时，由 4=-（x-m ）2+m 2+1解得m=当m=它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符；当，2≤x≤l 在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符.综上所述，实数m 的值为2或. 故选C ．3． 已知0≤x≤12，那么函数y=-2x 2+8x-6的最大值是（ ） A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6答案：C解：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．又∵0≤x≤12，∴当x=12时，y取最大值，y最大=-2（12-2）2+2=-2.5．故选：C．4、已知关于x的函数.下列结论：①存在函数，其图像经过（1,0）点；②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。
真确的个数是（）A,1个B、2个 C 3个D、4个答案：B分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；③根据二次函数的增减性，即可作出判断；④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0，解得：k=0．运用方程思想；②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；③假，如k=1，b5-=2a4，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；④真，当k=0时，函数无最大、最小值；k≠0时，y最=224ac-b24k+1=-4a8k，∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．二、填空题：1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB 上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是答案：122、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是答案：4、4，8解：设直角三角形得一直角边为x，则，另一边长为8-x；设其面积为S.∴S= x·(8-x)(0<x<8). 配方得S=- (x2-8x)=- (x-4)2+8∴当x=4时，S最大=8.及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.-≤≤的最大值与最小值分别是3、函数y=2（0x4）答案：2,0最小值为0，当4x-x2最大，即x=2最大为4，所以，当x=0时，y最大值为2，当x=2时，y取最小值为04、已知二次函数y=x2+2x+a （0≤x≤1）的最大值是3，那么a的值为答案：0解：二次函数y=x 2+2x+a 对称轴为x=-1，当0≤x ≤1时y 随x 的增大而增大，当x=1时最大值为3，代入y=x 2+2x+a 得a=0.5、如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，则这样线段的最小长度 ．三、解答题：1某产品第一季度每件成本为50元，第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为x⑴ 请用含x 的代数式表示第二季度每件产品的成本；⑵ 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少9.5元，试求x 的值⑶ 该产品第二季度每件的销售价为60元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于48元，设第三季度每件产品获得的利润为y 元，试求y 与x 的函数关系式，并利用函数图象与性质求y 的最大值（注：利润=销售价-成本）解：（1）()x -150 ⑵()5.9501502-=-x 解得1.0=x （3）(),48160≥-x 解得2.0≤x 而0 x ，∴2.00≤x而()()2150160x x y ---=＝1040502++-x x＝()184.0502+--x ∵当4.0≤x 时，利用二次函数的增减性，y 随x 的增大而增大，而2.00≤x ， ∴当2.0=x 时，y 最大值＝18（元）说明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形：若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。
二次函数与线段最值定值问题(八大类型)-2023年中考数学压轴题专项训练(学生版)
二次函数与线段最值定值问题(八大类型)考向分析题型一二次函数与单线段最值问题1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(5，0)，B(-1，0)两点，与．y轴交于点C0，52(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点G为抛物线上的一动点，过点G作GE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点G的坐标．题型二二次函数与将军饮马型问题2.如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-4，0)，B(1，0)两点，过点B的直线y=kx+23分别与y轴及抛物线交于点C，D．(1)求直线和抛物线的表达式；(2)动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；(3)如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．题型三二次函数与胡不归型线段最值问题3.已知抛物线y=-1x2+bx+c(b，c为常数)的图象与x轴交于A(1，0)，B两点(点A在点B左2侧)．与y轴相交于点C，顶点为D．(Ⅰ)当b=2时，求抛物线的顶点坐标；(Ⅱ)若点P是y轴上一点，连接BP，当PB=PC，OP=2时，求b的值；(Ⅲ)若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为(4，0)，对称轴交x轴于点E，点Q是线段DE上一点，点NQ的最小值．N为线段AB上一点，且AN=2BN，连接NQ，求DQ+54二次函数与三线段和最值问题4.如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c 过A、B两点，且与x轴交于另一点C．(1)求b、c的值；(2)如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；(3)将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR①求证：PG=RQ；②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．二次函数与线段倍分关系最值问题5.抛物线y=-x2+4ax+b(a>0)与x轴相交于O、A两点(其中O为坐标原点)，过点P(2，2a)作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C(其中B、C不重合)，连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．(1)a=32时，求抛物线的解析式和BC的长；(2)如图a>1时，若AP⊥PC，求a的值；(3)是否存在实数a，使APPN =12若存在，求出a的值，如不存在，请说明理由．题型六二次函数与线段乘积问题6.已知直线y=12x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=12x2+mx-2经过点A，和x轴的另一个交点为C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；(3)如图2，经过点M(-4，1)的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE•OF的值．备注：抛物线顶点坐标公式-b2a，4ac-b24a7.抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上一点，且位于x轴下方．(1)如图1，若P(1，-3)，B(4，0)．①求该抛物线的解析式；②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；(2)如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，OE+OFOC是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．8.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于A(-1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C，且OB=OC．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D是抛物线顶点，点P(m，n)是在第二象限抛物线上的一点，分别连接BD、BC、BP，若∠CBD=∠ABP，求m的值；(3)如图1，过B、C、O三点的圆上有一点Q，并且点Q在第四象限，连接QO、QB、QC，试猜想线段QO、QB、QC之间的数量关系，并证明你的猜想；(4)如图2，若∠BAC的角平分线交y轴于点G，过点G的直线分别交射线AB、AC于点E、F(不与点A重合)，则1AE+1AF的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的值．压轴题速练一、解答题1.如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为(5，0)，点D的坐标为(1，3)．(1)求该二次函数的表达式；(2)试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的35若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．2.在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2-4x+c与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且点A的坐标为(-5,0)．(1)求点C的坐标；(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，已知抛物线y=ax2-32x+c与x轴交于点点A(-4,0)，B(1,0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q使QB+QC最小？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为点D，连接PC，当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标．4.如图，抛物线y=-12x2+bx+c过点A3,2，且与直线y=-x+72交于B、C两点，点B的坐标为4,m．(1)求抛物线的解析式；(2)点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值．5.抛物线y=ax2+bx-3(a，b为常数，a≠0)交x轴于A-3,0两点．，B4,0(1)求该抛物线的解析式；(2)点C0,4，D是线段AC上的动点(点D不与点A，C重合)．①点D关于x轴的对称点为D ，当点D 在该抛物线上时，求点D的坐标；②E是线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，且CD=AE，连接CE，BD，当CE+BD取得最小值时，求点D的坐标．6.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx +2a ≠0 与x 轴交于A -1,0 ，B 3,0 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为直线BC 上方的抛物线上一点，过点P 作y 轴的垂线交线段BC 于M ，过点P 作x 轴的垂线交线段BC 于N ，求△PMN 的周长的最大值．(3)若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，二次函数y=-14x2+12m-1x+m(m是常数，且m>0)的图象与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，动点P在对称轴l上，连接AC、BC、PA、PC．(1)求点A、B、C的坐标(用数字或含m的式子表示)；(2)当PA+PC的最小值等于45时，求m的值及此时点P的坐标；(3)当m取(2)中的值时，若∠APC=2∠ABC，请直接写出点P的坐标．8.已知抛物线y=x+1(m为常数，m>1)的顶点为P．x-m(1)当m=5时，求该抛物线顶点P的坐标；(2)若该抛物线与x轴交于点A，C(点A在点C左侧)，与y轴交于点B．①点Q是该抛物线对称轴上一个动点，当AQ+BQ的最小值为22时，求该抛物线的解析式和点Q 的坐标．②连接BC，与抛物线的对称轴交于点H，过点P作PD⊥BC，垂足为D，若BC=8PD，求该抛物线的解析式．9.已知抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a>0)的顶点为P，与x轴相交于点A-1,0和点B．(1)若b=-2，c=-3，①求点P的坐标；②直线x=m(m是常数，1<m<3)与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；(2)若3b=2c，直线x=2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，直接写出顶点P的坐标．10.如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)坐标分别为-2,0，4,0，交y轴于点C．(1)求出抛物线解析式：5时，请求(2)如图1，过y轴上点D做BC的垂线，交线段BC于点E，交抛物线于点F，当EF=35出点F的坐标；(3)如图2，点H的坐标是0,2在抛物线上，把△PHQ沿HQ翻折，，点Q为x轴上一动点，点P2,8使点P刚好落在x轴上，请直接写出点Q的坐标．11.抛物线y =ax 2+bx +c 与坐标轴交于A -1,0 、B 4,0 、C 0,2 三点．点P 为抛物线上位于BC 上方的一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交BC 于点E ，连结CP 、CF ．当S ΔPCE =2S ΔCEF 时，求点P 的坐标；(3)过点P 作PG ⊥BC 于点G ，是否存在点P ，使线段PG 、CG 的长度是2倍关系？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A-4，0．、B1，0、C0，4(1)求抛物线解析式和直线AC的解析式；(2)如图(1)，若点P是第四象限抛物线上的一点，若S△PAC=20，求点P的坐标；(3)如图(2)，点M是直线AC上方抛物线上的一个动点(不与A、C重合)，过点M作MH垂直AC于点H，求MH的最大值．13.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A-1,0两点，与y轴交于点N，其顶，C2,3点为D．(1)求抛物线及直线AC的解析式．(2)设点M3,m，求使MN+MD的值最小时m的值．(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E，F的坐标；若不能，请说明理由．14.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有且只有一个交点A2,0，且与y轴于交于点B．(1)求a与c的关系式；(2)若a=1时，点P2,1c在抛物线的对称轴上；①若过B点的直线l：y=kx+m(k≠0)与抛物线只有一个交点；证明：直线l平分∠OBP；②设过P点的直线与抛物线交于M，N点，则1PM+1PN是否为定值，若为定值请求出定值，若不是定值请说明理由．15.如图1，抛物线y=ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，-1≤x≤3．(1)求抛物线的表达式；(2)点P是线段BE上的动点(除B、E外)，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．16.已知抛物线y=-x2+2kx-k2+4的顶点为H，与y轴交点为A，点P a,b是抛物线上异于点H的一个动点．(1)若抛物线的对称轴为直线x=1，请用含a的式子表示b；(2)若a=1，作直线HP交y轴于点B，当点A在x轴上方且在线段OB上时，直接写出k的取值范围；(3)在(1)的条件下，记抛物线与x轴的右交点为C，OA的中点为D，作直线CD，过点P作PF⊥CD 于点E并交x轴于点F，若a<3，PE=3EF，求a的值．17.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点A2,0．且经过点3,1(1)求抛物线的函数解析式；(2)直线l：y=-x+m与抛物线y=ax2+bx+c相交于B、C两点(C点在B点的左侧)，与对称轴相交于点P，且B、C分布在对称轴的两侧．若B点到抛物线对称轴的距离为n，且CP=t·BP(2≤t≤3)．①试探求n与t的数量关系；②求线段BC的最大值，以及当BC取得最大值时对应m的值．18.如图1，二次函数y =ax 2+bx +3的图像与x 轴交于点A -1,0 ，B 3,0 ，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 为抛物线上一动点．①如图2，过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于另一点D ，连接BC ，BD ．当S △PBC =2S △DBC 时，求点P 的坐标；②如图3，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，连接OP 与BC 交于点E ，求PE OE的最大值．19.抛物线y=ax2-4经过A、B两点，且OA=OB，直线EC过点E4，-1，点D是线段，C0，-3OA(不含端点)上的动点，过D作PD⊥x轴交抛物线于点P，连接PC、PE．(1)求抛物线与直线CE的解析式；(2)求证：PC+PD为定值；(3)在第四象限内是否存在一点Q，使得以C、P、E、Q为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．20.如图1．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A-2,0，，点B4,0与y轴交于点C0,2．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是第一象限内的抛物线上一点．过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点Q，求PQ+5CQ的最大值，并求出此时点P的坐标；5(3)如图2．将地物线沿射线BC的方向平移5个单位长度．得到新抛物线y1=a1x2+b1x+c1a1≠0，新抛物线与原抛物线交于点G，点M是x轴上一点，点N是新抛物线上一点，若以点C、G、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．。
中考数学总复习《二次函数的最值》练习题-附带答案解析
中考数学总复习《二次函数的最值》练习题-附带答案解析一、单选题(共12题；共24分)1．如图，△ABC是直角三角形，△A=90°，AB=8cm，AC=6cm。
点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点则另一个动点也停止运动，则△APQ的最大面积是（）A．0cm2B．8cm2C．16cm2D．24 cm2 2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（）A．②④⑤⑥⑦B．①②③⑥⑦C．①③④⑤⑦D．①③④⑥⑦3．已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（）A．B．C．或D．- 或4．已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2B．有最大值0，有最小值﹣1 C．有最大值7，有最小值﹣1D．有最大值7，有最小值﹣25．二次函数y=−x2+6x−7，当x取值为t≤x≤t+2时有最大值t=2，则t的取值范围为（）A．t≤0B．0≤t≤3C．t≥3D．以上都不对6．如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）A．√3cm2B．32√3cm2C．92√3cm2D．272√3cm27．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．x＞1时y随x的增大而减小C．顶点坐标是（1，2）D．函数有最大值28．如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣7 9．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（）①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时函数的最小值是0；⑤当x＝1时函数的最大值是4A．4B．3C．2D．110．设实数x＞0，y＞0，且x＋y－2x2y2＝4，则1x+1y的最小值为()A．4 √2B．3 √2C．2 √2D．√2 11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①因为a＞0，所以函数y有最大值；②该函数的图象关于直线x=-1对称；③当x=-2时函数y的值等于0；④当x=-3或x=1时函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4 12．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x=1，交x轴的一个交点为（x1，0），且﹣1＜x1＜0，有下列5个结论：①abc＞0；②9a﹣3b+c＜0；③2c＜3b；④（a+c）2＜b2；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(共6题；共6分)13．已知二次函数y=ax2+4ax+a2−1，当−4≤x≤1时y的最大值为5，则实数a的值为.14．函数y=2x2-8x+1的最小值是.15．当-2≤x≤1时二次函数若y=−(x−m)2+m2+1有最大值4，则m的值为．16．如图，在△ABC中△B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始向B点以2cm/s的速度移动（不与点B重合）；动点Q从点B开始向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒四边形APQC的面积最小.17．一条抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），若点M，N的坐标分别为（－1，－2），（1，－2），抛物线顶点P在线段MN上移动．点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为．18．二次函数y=mx2+2x+m−4m2的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是三、综合题(共6题；共66分)19．如图，在平面直角坐标系中点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣√3），点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长；（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．20．X市与W市之间的城际铁路正在紧张有序地建设中.在建成通车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数m与该列车每次拖挂车厢节数n的部分数据如下：车厢节数n4710往返次数m16104b（k，b为常数，k≠0）；②y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）中选取一个合适的函数模型，求出的m关于n的函数关系式是m=（不写n的范围）；（2）结合你求出的函数，探究一列火车每次挂多少节车厢，一天往返多少次时一天的设计运营人数Q最多（每节车厢载容量设定为常数p）.21．在平面直角坐标系xOy中抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）经过点A(1，−1)，与y轴交于点B．（1）直接写出点B的坐标；（2）点P(m，n)是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时n存在最大值N．①若N=2，求抛物线的表达式；②若−9<a<−2，结合函数图象，直接写出N的取值范围．22．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元，为了扩大销售、增加利润，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）当每件商品降价多少元时该商店每天销售利润为1600元？（2）当每件商品降价多少元时该商店每天销售利润最大？最大为多少元？23．某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件.（1）求销售量y件与销售单价x(x>10)元之间的关系式；（2）当销售单价x定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？24．如图，已知直线y=﹣12x+2与抛物线y=a （x+2）2相交于A、B两点，点A在y 轴上，M为抛物线的顶点．（1）请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；（2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，设线段PM的长为l，点P的横坐标为x，请求出l2与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】A 10．【答案】A 11．【答案】B 12．【答案】D13．【答案】2−√10 或1 14．【答案】-7 15．【答案】2或- √3 16．【答案】3 17．【答案】-3 18．【答案】（-4，-4）19．【答案】（1）解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）由抛物线的对称性知B 点坐标为（3，0） 依题意得： {a −b +c =09a +3b +c =0c =−√3解得： {a =√33b =−2√33c =−√3∴所求二次函数的解析式为 y =√33x 2−2√33x −√3（2）解：∵P 点的横坐标为m∴P 点的纵坐标为 √33m 2−2√33m −√3设直线BC 的解析式为y=kx+b （k≠0，k 、b 是常数） 依题意，得 {3k +b =0b =−√3∴{k=√33b=−√3故直线BC的解析式为y=√33x−√3∴点F的坐标为(m,√33m−√3)∴PF=−√33m2+√3n(0＜m＜3)（3）解：∵△PBC的面积S=S△CPF+S△BPF=12PF⋅BO=12×(−√33m2+√3m)×3=−√32(m−32)2+9√38∴当m=32时△PBC的最大面积为9√38把m=32代入y=√33x2−2√33x−√3得y=−5√34∴点P的坐标为(32,−5√3 4)20．【答案】（1）-2n+24（2）解：由题意得：Q=pmn=pn(−2n+24)=−2pn2+24pn ∵−2p<0∴Q有最大值∴当n=−24p2×(−2p)=6时Q有最大值此时答：一列火车每次挂6节车厢，一天往返12次时一天的设计运营人数最多. 21．【答案】（1）（0，2）（2）解：①依题意，当N=2时该抛物线的顶点为（0，2）.设抛物线的解析式为y=ax2+2.由抛物线过A（1，−1），得a+2=−1解得a=−3∴抛物线的表达式为y=−3x2+2．②2≤N<322．【答案】（1）解：设每件商品应降价x元，根据题意，得(50-x)(20+2x)=1600 解得：x1=10，x2=30因要求每件盈利不少于25元，故x2=30应舍去……答：每件商品应减价10元，该商店每天销售利润为1600元.（2）解：设每件商品应降价x元，销售利润为W元。
中考数学真题二次函数专项练习(带答案)
中考数学真题二次函数一、选择题1．已知点M(−4，a−2) N(−2，a) P(2，a)在同一个函数图象上.则这个函数图象可能是（）A．B．C．D．2．抛物线y=ax2−a(a≠0)与直线y=kx交于A(x1，y1).B(x2，y2)两点.若x1+x2<0.则直线y= ax+k一定经过（）．A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限3．设二次函数y=a(x−m)(x−m−k)(a>0，m，k是实数).则（）A．当k=2时.函数y的最小值为−a B．当k=2时.函数y的最小值为−2aC．当k=4时.函数y的最小值为−a D．当k=4时.函数y的最小值为−2a4．已知二次函数y=ax2−(3a+1)x+3(a≠0).下列说法正确的是()A．点(1，2)在该函数的图象上B．当a=1且−1≤x≤3时.0≤y≤8C．该函数的图象与x轴一定有交点D．当a>0时.该函数图象的对称轴一定在直线x=32的左侧5．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒.经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h=10t-5t2.那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是()A．5B．10C．1D．2二、填空题6．在平面直角坐标系xOy中.一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界）.这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如：如图.函数y=(x−2)2(0⩽x⩽3)的图象（抛物线中的实线部分）.它的关联矩形为矩形OABC.若二次函数y=14x2+bx+c(0⩽x⩽3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC.则b=.三、解答题7．设二次函数y=ax2+bx+1.（a≠0.b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：（1）若m=4.求二次函数的表达式；（2）写出一个符合条件的x的取值范围.使得y随x的增大而减小．（3）若在m、n、p这三个实数中.只有一个是正数.求a的取值范围．8．如图.已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1，−2)和B(0，−5)．（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．（2）当y≤−2时.请根据图象直接写出x的取值范围．9．已知二次函数y=−x2+bx+c.（1）当b=4，c=3时.①求该函数图象的顶点坐标.②当−1⩽x⩽3时.求y的取值范围.（2）当x⩽0时.y的最大值为2；当x>0时.y的最大值为3.求二次函数的表达式.10．在二次函数y=x2−2tx+3(t>0)中.（1）若它的图象过点(2，1).则t的值为多少？（2）当0≤x≤3时.y的最小值为−2.求出t的值：（3）如果A(m−2，a)，B(4，b)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上.且a<b<3.求m的取值范围。
二次函数最值问题(含标准答案)
二次函数最值问题(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：二次函数最值问题一．选择题（共8小题）1．如果多项式P=a2+4a+2014，则P的最小值是（）A．2010 B．2011 C．2012 D．20132．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10 B．4 C．5 D．63．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（）A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣34．设x≥0，y≥0，2x+y=6，则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是（）A．B．18 C．20 D．不存在5．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（）A．3.125 B．4 C．2 D．06．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或37．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A．B．2 C．D．8．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）A．7 B．7.5 C．8 D．9二．填空题（共2小题）9．已知二次函数y=2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是．10．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2﹣a）和点B（0，﹣3a﹣5）在y轴上，=6．当线段OM最长时，点M的坐标为．点M在x轴负半轴上，S△ABM三．解答题（共3小题）11．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．12．已知关于x的函数y=kx2+（2k﹣1）x﹣2（k为常数）．（1）试说明：不论k取什么值，此函数图象一定经过（﹣2，0）；（2）在x＞0时，若要使y随x的增大而减小，求k的取值范围；（3）试问该函数是否存在最小值﹣3？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．13．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y 随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x 的增大而减小．二次函数最值问题（含答案）一．选择题（共8小题）1．A；2．D；3．D；4．B；5．C；6．B；7．D；8．C；9．1；9；10．（﹣3，0）；三．解答题（共3小题）11．【解答】解：（Ⅰ）①∵点O（0，0），F（1，1），∴直线OF的解析式为y=x．设直线EA的解析式为：y=kx+b（k≠0）、∵点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，∴E（1，﹣3）．又∵A（2，0），点E在直线EA上，∴，解得，∴直线EA的解析式为：y=3x﹣6．∵点P是直线OF与直线EA的交点，则，解得，∴点P的坐标是（3，3）．②由已知可设点F的坐标是（1，t）．∴直线OF的解析式为y=tx．设直线EA的解析式为y=cx+d（c、d是常数，且c≠0）．由点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，得点E（1，﹣2﹣t）．又点A、E在直线EA上，∴，解得，∴直线EA的解析式为：y=（2+t）x﹣2（2+t）．∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴tx=（2+t）x﹣2（2+t），即t=x﹣2．则有y=tx=（x﹣2）x=x2﹣2x；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直线OF的解析式为y=tx．直线EA的解析式为y=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m）．∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴tx=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m），化简，得x=2﹣．有y=tx=2t﹣．∴点P的坐标为（2﹣，2t﹣）．∵PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t﹣），∴OQ2=1+t2（2﹣）2，PQ2=（1﹣）2，∵OQ=PQ，∴1+t2（2﹣）2=（1﹣）2，化简，得t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）=0．又∵t≠0，∴t﹣2m=0或t2﹣2mt﹣1=0，解得m=或m=．则m=或m=即为所求．12.解：（1）将x=﹣2代入，得y=k（﹣2）2+（2k﹣1）•（﹣2）﹣2=0，故不论k取何值，此函数图象一定经过点（﹣2，0）．（2）①若k=0，此函数为一次函数y=﹣x﹣2，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴k=0符合题意．②若k≠0，此函数为二次函数，而图象一定经过（﹣2，0）、（0，﹣2）∴要使当x＞0时，y随x的增大而减小，开口向下，须满足k＜0即可．综上，k的取值范围是k≤0．（3）若k=0，此函数为一次函数y=﹣x﹣2，∵x的取值为全体实数，∴y无最小值，若k≠0，此函数为二次函数，若存在最小值为﹣3，则=﹣3，且k＞0，解得：k=符合题意，∴当k=时，函数存在最小值﹣3．13．解：（1）根据题意得m+2≠0且m2+m﹣4=2，解得m1=2，m2=﹣3，所以满足条件的m值为2或﹣3；（2）当m+2＞0时，抛物线有最低点，所以m=2，抛物线解析式为y=4x2，所以抛物线的最低点为（0，0），当x≥0时，y随x的增大而增大；（3）当m=﹣3时，抛物线开口向下，函数有最大值；抛物线解析式为y=﹣x2，所以二次函数的最大值是0，这时，当x≥0时，y随x的增大而减小．。
2023年中考数学专题复习：二次函数最值问题训练(含答案)
2023年中考数学专题复习：二次函数最值问题一、单选题1．已知2()=++≠的对称轴为直线230y ax bx ax=，与x轴的其中一个交点为(1,0)，该x的取值范围，下列说法正确的是（）函数在14A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值1-，有最大值3C．有最小值3-，有最大值4 D．有最小值1-，有最大值42．若二次函数24＝＋＋的最小值是3，则a的值是（）y ax x aA．4 B．－1或3 C．3 D．4或－13．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列说法正确的是（）A．该函数图象开口向上B．该函数图象向右平移2个单位长度是y＝﹣（x+1）2+5C．当x＝1时，y有最大值5D．该函数的图象与坐标轴有两个交点4．函数2(0)=++≠的图象如图所示，则该函数的最小值是（）y ax bx c aA．1-B．0C．1D．25．在关于n 的函数2=+中，n 为自然数．当n =9 时，S< 0；当n =10 时，S an bnS > 0．则当S 取值最小时，n 的值为（）A．3 B．4 C．5 D．66．代数式22 5-+的最小值为（）a aA．2 B．3 C．4 D．57．若两个图形重叠后．重叠部分的面积可以用表达式表示为y＝﹣（x﹣2）2+3，则要使重叠部分面积最大，x的值为（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣38．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是（ ）A ．2500元B ．2000元C ．1800元D ．2200元二、填空题9．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，16AC BD +=，则四边形ABCD 的面积最大值是_________10．已知二次函数242y x x =-+，当13x -≤≤时，y 的取值范围内是_______． 11．已知抛物线22(1)1y x =-+，当03x 时，y 的最小值是 __，y 的最大值是 __． 12．当02x ≤≤时，22y x x a =++有最小值为4，则a 为 _____．13．某商品的销售利润y 与销售单价x 的关系为y ＝﹣21(50)10x -+2650，则当单价定价为每件____元时，可获得最大利润____元．14．已知二次函数223y x x =-+的图象经过点()11A x y ， 和点()122B x y +，，则12y y +的最小值是________．15．设抛物线2(1)y x a x a =+++，其中a 为实数．（1）不论a 为何值，该抛物线必经过一定点 _____；（2）将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 _____．16．如图是二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）图象的一部分，对称轴是直线x =－1，下列判断：①b －2a =0；②4a －2b ＋c ＜0；③abc ＞0；④当x =0和x =－2时，函数值相等； ⑤3a ＋c ＜0；⑥a －b ＞m （ma ＋b ）；⑦若自变量x 的取值范围是－3＜x ＜2，则函数值y ＞0．其中正确的序号是________．三、解答题17．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，FE，DC的延长线交于点G，设BE＝x，△DEF的面积为S．(1)求用x表示S的函数解析式，并写出x的取值范围．(2)当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？18．如图，抛物线经过A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，32)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使P A+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．19．端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．根据他们的对话，设这种水果每千克降价x元，解决下面所给问题：(1)设该水果超市一天销量y千克，写出y与x之间的关系式；(2)超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果每千克降价多少元？(3)设该水果超市一天可获利润w元．求当该商品每千克降价多少元时，该超市一天所获利润最大？并求最大利润值．20．春节即将到来，某水果店进了一些水果，在进货单上可以看到：每次进货价格没有变化，第一次进货苹果400千克和梨500千克，共支付货款6200元；第二次进货苹果600千克和梨200千克，共支付货款6000元；为了促销，该店推出一款水果礼盒，内有3千克苹果和2千克梨，包装盒每个4元．市场调查发现：该礼盒的售价是70元时，每天可以销售80盒；每涨价1元，每天少销售2盒．(1)求每个水果礼盒的成本（成本=水果成本+盒子成本）；(2)若每个礼盒的售价是a元(a是整数），每天的利润是w元，求w关于a的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；(3)若每个礼盒的售价不超过m元(m是大于70的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．参考答案：1．B2．A3．C4．A5．C6．C7．A8．C9．3210．27y -≤≤11． 1 912．413． 50 265014．615． （-1，0） 216．①③④⑥17．(1)S 2+(0＜x ≤8)(2)18．(1)21322y x x =-++ (2)（1，1）(3)存在，3(2,)2，(13)2，(13)219．(1)y =40x +160；(2)这种水果每千克降价9元；(3)当该商品每千克降价6元时，该超市一天所获利润最大，最大利润值为4000元．20．(1)40元(2)2=-+-23008800w a a(3)当75m时，每天的最大利润为2450元；当7075<<时，每天的最大利润为m2-+-m m23008800。
中考数学知识点过关培优训练卷：二次函数的最值(含解析答案)
中考数学知识点过关培优训练卷：二次函数的最值一．选择题1．已知二次函数y ＝﹣（x ﹣h ）2+4（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤4的情况下，与其对应的函数值y 的最大值为0，则h 的值为（ ）A ．﹣1和6B ．2和6C ．﹣1和3D ．2和32．已知二次函数y ＝﹣（x ﹣k +2）（x +k ）+m ，其中k ，m 为常数．下列说法正确的是（ ）A ．若k ≠1，m ≠0，则二次函数y 的最大值小于0B ．若k ＜1，m ＞0，则二次函数y 的最大值大于0C ．若k ＝1，m ≠0，则二次函数y 的最大值小于0D ．若k ＞1，m ＜0，则二次函数y 的最大值大于03．已知点A （t ，y 1），B （t +2，y 2）在抛物线的图象上，且﹣2≤t ≤2，则线段AB长的最大值、最小值分别是（ ）A ． 2，2B ．2，2C ．2，2D ．2，2 4．对于题目“当﹣2≤x ≤1时，二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1有最大值4，求实数m 的值．”：甲的结果是2或，乙的结果是﹣或﹣，则（ ）A ．甲的结果正确B ．乙的结果正确C ．甲、乙的结果合在一起才正确D ．甲、乙的结果合在一起也不正确5．若min {a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，当y ＝min {x 2，x +2，8﹣x }时（x ≥0），则y 的最大值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．四位同学在研究函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）时，甲发现当x ＝1时，函数有最大值；乙发现﹣1是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根；丙发现函数的最大值为﹣1；丁发现当x ＝2时，y ＝﹣2，已知四位中只有一位发现的结论时错误的，则该同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣5、最大值0 B．有最小值﹣3、最大值6C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值68．正实数x，y满足xy＝1，那么的最小值为（）A．B．C．1 D．9．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为5m，最大值为5n，则m+n的值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣310．设函数y＝﹣x2+2ax﹣1在﹣1≤x≤1的范围内的最大值记为n，下列说法错误的是（）A．当a≤﹣1时，n＝﹣2a﹣2 B．当﹣1≤a≤1时，n＝a2﹣1C．当a≥1时，n＝2a﹣2 D．n的最小值为0二．填空题11．已知二次函数y＝x2﹣2x+3，当自变量x满足﹣1≤x≤2时，函数y的最大值是．12．如果二次函数（m为常数）的图象有最高点，那么m的值为．13．函数y＝（x﹣2）2+1取得最小值时，x＝．14．如图，点P为线段AB（不含端点A、B）上的动点，分别以AP、PB为斜边在AB的同侧作Rt△AEP与Rt△PFB，∠AEP＝∠EPF＝∠PFB＝90°，若AE+PF＝8，EP+FB＝6，则线段EF的取值范围是．15．定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b．如max{2，﹣3}＝2，max{﹣4，﹣2}＝﹣2，则max{﹣x2+2x+3，|x|}的最小值是．16．当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为．17．如图，线段AB＝10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD 和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是．18．已知二次函数y＝x2﹣8x+m的最小值为1，那么m的值等于．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，BA＝5，点D在边AC上的一动点，过点D 作DE∥AB交边BC于点E，过点B作BF⊥BC交DE的延长线于点F，分别以DE，EF为对角线画矩形CDGE和矩形HEBF，则在D从A到C的运动过程中，当矩形CDGE和矩形HEBF 的面积和最小时，则EF的长度为．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C 移动，点Q在边BC上，从点C向点B移动，若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是．三．解答题21．如图，点E，F，G，H分别在菱形ABCD的四边上，BE＝BF＝DG＝DH，连接EF，FG，GH，HE得到四边形EFGH，∠A＝60°，AB＝a．（1）设BE＝x，求HE的长度；（用含a，x的代数式表示）（2）求矩形EFGH面积的最大值．22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B 以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过多少秒，四边形APQC 的面积最小．23．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ADC＝120°，P为对角线AC上的一点，过P作PE∥AB交AD与E， PF∥AD交CD于F，连接BE、BF、EF（1）求AC的长；（2）求证：△BEF为等边三角形；（3）四边形BEPF面积的最小值为24．阅读下面的材料，回答问题：爱动脑筋的小明发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．例如：x2﹣2x+2＝（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1≥1；因此x2﹣2x+2有最小值是1．（1）尝试：﹣2x2﹣4x+3＝﹣2（x2+2x+1﹣1）+3＝﹣2（x+1）2+5，因此﹣2x2﹣4x+3有最大值是；（2）拓展：已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3＝0，则y﹣x的最大值为；（3）应用：有长为28米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为16米），围成一个长方形的花圃．能围成面积最大的花圃吗？如果能，请求出最大面积．25．如图，在△ABG中，AB＝AC＝1，∠A＝45°，边长为1的正方形的一个顶点D在边AG 上，与△ADC另两边分别交于点E、F，DE∥AB，将正方形平移，使点D保持在AC上（D 不与A重含），设AF＝x，正方形与△ABC重叠部分的面积为y．（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（2）x为何值时y的值最大？26．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y＝x﹣1，它们的相关函数为y＝．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y＝ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值．27．某企业为杭州计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y 1（元）与月份x （1≤x ≤9，且x 取整数）之间的函数关系如下表：随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y 2（元）与月份x （10≤x ≤12，且x 取整数）之间存在如图所示的变化趋势：（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y 1 与x 之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y 2与x 之间满足的一次函数关系式；（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p 1（万件）与月份x 满足关系式p 1＝0.1x +1.1（1≤x ≤9，且x 取整数），10至12月的销售量p 2（万件）p 2＝﹣0.1x +2.9（10≤x ≤12，且x 取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润．28．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数，当x ≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y ＝x ﹣1，它的相关函数为y ＝已知二次函数y ＝﹣x 2+6x （1）直接写出已知二次函数的相关函数为y ＝ ；（2）当点B （m ，）在这个二次函数的相关函数的图象上时，求m 的值；（3）当﹣3≤x ≤7时，求函数y ＝﹣x 2+6x的相关函数的最大值和最小值．29．如图，在△AOB中，∠O＝90°，AO＝18cm，BO＝30cm，动点M从点A开始沿边AO以1cm/s 的速度向终点O移动，动点N从点O开始沿边OB以2cm/s的速度向终点B移动，一个点到达终点时，另一个点也停止运动．如果M、N两点分别从A、O两点同时出发，设运动时间为ts时四边形ABNM的面积为Scm2．（1）求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（2）判断S有最大值还是有最小值，用配方法求出这个值．30．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5，2}＝，max{0，3}＝；（2）若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；（3）求函数y＝x2﹣2x﹣4与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数y＝x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．参考答案一．选择题1．解：∵当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小， ∴①若h ＜1≤x ≤4，x ＝1时，y 取得最大值0，可得：﹣（1﹣h ）2+4＝0，解得：h ＝﹣1或h ＝3（舍）；②若1≤x ≤4＜h ，当x ＝4时，y 取得最大值0，可得：﹣（4﹣h ）2+4＝0，解得：h ＝6或h ＝2（舍）．综上，h 的值为﹣1或6，故选：A ．2．解∵y ＝﹣（x ﹣k +2）（x +k ）+m ＝﹣（x +1）2+（k ﹣1）2+m ，∴当x ＝﹣1时，函数最大值为y ＝（k ﹣1）2+m ，则当k ＜1，m ＞0时，则二次函数y 的最大值大于0．故选：B ．3．解：∵点A （t ，y 1），B （t +2，y 2）在抛物线的图象上∴y 1＝t 2，y 2＝（t +2）2＝t 2+2t +2∴AB 2＝（t +2﹣t ）2+（y 2﹣y 1）2＝22+（t 2+2t +2﹣t 2）2＝4+（2t +2）2＝4（t +1）2+4 ∴AB 2与t 是二次函数的关系，由抛物线性质可知：当t ＝﹣1时，AB 2取得最小值，AB 2＝4，AB ＝2当t ＝2时，AB 2取得最大值，AB 2＝4×（2+1）2+4＝40，AB ＝故选：C ．4．解：二次函数的对称轴为直线x ＝m ，①m ＜﹣2时，x ＝﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m ）2+m 2+1＝4，解得m ＝﹣，与m ＜﹣2矛盾，故m 值不存在；②当﹣2≤m ≤1时，x ＝m 时，二次函数有最大值，此时，m2+1＝4，解得m＝﹣，m＝（舍去）；③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2，综上所述，m的值为2或﹣．所以甲、乙的结果合在一起也不正确，故选：D．5．解：用特殊值法：这种问题从定义域0开始枚举代入：x＝0，y＝min{0，2，8}＝0；x＝1，y＝min{1，3，7}＝1；x＝2，y＝min{4，4，6}＝4；x＝3，y＝min{9，5，5}＝5；x＝4，y＝min{16，6，4}＝4；x＝5，y＝min{25，7，3}＝3；…∴y的最大值是5，故选：B．6．解：四人的结论如下：甲：b+2a＝0，且a＜0，b＞0；乙：a﹣b+c＝0；丙：a＜0，且$\frac{4ac﹣b2}{4a}＝﹣1$，即：4ac﹣b2＝﹣4a；丁：4a+2b+c＝﹣2．由于甲、乙、丁正确，联立，解得：c＝﹣2，a＝＞0，与甲矛盾，故其中必有一个错误，所以丙是正确的；若甲乙正确，则：c＝﹣3a，b＝﹣2a，代入丙：﹣12a2﹣4a2＝﹣4a，得：a＝＞0，与甲矛盾，故甲乙中有一个错，所以丁正确；若乙正确，则b＝a+c，代入丙：4ac﹣（a+c）2＝﹣4a，化简，得：﹣（a﹣c）2＝﹣4a，故a ≥0，与丙中a ＜0矛盾，故乙错误．因此乙错误．故选：B ．7．解：由二次函数的图象可知，∵﹣5≤x ≤0，∴当x ＝﹣2时函数有最大值，y 最大＝6；当x ＝﹣5时函数值最小，y 最小＝﹣3．故选：B ．8．解：由已知，得x ＝，∴＝+＝（﹣）2+1，当＝，即x ＝时，的值最小，最小值为1．故选：C ．9．解：二次函数y ＝﹣（x ﹣1）2+5的大致图象如下：．①当m ≤0≤x ≤n ＜1时，当x ＝m 时y 取最小值，即5m ＝﹣（m ﹣1）2+5， 解得：m ＝﹣4或m ＝1（舍去）．当x ＝n 时y 取最大值，即5n ＝﹣（n ﹣1）2+5，解得：n ＝2或n ＝﹣2（均不合题意，舍去）；②当m ≤0≤x ≤1≤n 时，当x ＝m 时y 取最小值，即5m ＝﹣（m ﹣1）2+5， 解得：m ＝﹣4或m ＝1（舍去）．当x＝1时y取最大值，即5n＝﹣（1﹣1）2+5，解得：n＝1，或x＝n时y取最小值，x＝1时y取最大值，5m＝﹣（n﹣1）2+5，n＝1，∴m＝5，∵m＜0，∴此种情形不合题意，所以m+n＝﹣4+1＝﹣3．故选：D．10．解：∵y＝﹣x2+2ax﹣1的对称轴为x＝﹣＝a，A，当a≤﹣1时，y的最大值是x＝﹣1时的函数值，则：n＝﹣1﹣2a﹣1＝﹣2a﹣2，故说法正确；B．当﹣1≤a≤1时，y的最大值是函数的顶点的纵坐标，则：n＝＝a2﹣1，故说法正确；C．当a≥1时，y的最大值x＝1时的函数值，则：n＝﹣1+2a﹣1＝2a﹣2，故说法正确；D．无法确定n的最小值，故说法错误；故选：D．二．填空题（共10小题）11．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴该抛物线的对称轴为x＝1，且a＝1＞0，∴当x＝1时，函数有最小值2，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为：（﹣1﹣1）2+2＝6，故答案为6．12．解：∵二次函数（m为常数）的图象有最高点，∴，解得：m＝﹣2，故答案为：﹣2．13．解：∵二次函数y ＝（x ﹣2）2+1，∴当x ＝2时，二次函数求得最小值为1．故答案为：2．14．解：设AE ＝x ，PE ＝y ，则PF ＝8﹣x ，BF ＝6﹣y ，∵∠AEP ＝∠EPF ＝∠PFB ＝90°，∴PE ∥BF ，∴△PEA ∽△BFP ，∴＝，∴4y ＝3x ，在Rt △FEP 中，FE 2＝FP 2+EP 2，∴FE 2＝y 2+（8﹣x ）2，∴FE 2＝（x ）2+x 2﹣16x +64＝x 2﹣16x +64＝（x ﹣）2+，∵0＜x ＜8，∴当x ＝时，FE 有最小， 当x ＝0时，EF 有最大值8，∴≤EF ＜8．故答案为≤EF ＜8． 15．解：①﹣x 2+2x +3≥|x |时，当x ≥0时，﹣x 2+2x +3≥x ，即：﹣x 2+x +3≥0，∴0≤x ≤，∴max {﹣x 2+2x +3，|x |}＝﹣x 2+2x +3，∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，在0≤x ≤的最小值是；当x ＜0时，﹣x 2+2x +3≥﹣x ，即﹣x 2+3x +3≥0，∴≤x ＜0； ∴max {﹣x 2+2x +3，|x |}＝﹣x 2+2x +3，∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，在≤x ＜0的最小值是；②﹣x2+2x+3＜|x|时，当x≥0时，﹣x2+2x+3＜x，即：﹣x2+x+3＜0，∴x≥；∴max{﹣x2+2x+3，|x|}＝|x|，∵y＝x，在x≥的最小值是；当x＜0时，﹣x2+2x+3＜﹣x，即﹣x2+3x+3＜0，∴x＜；∴max{﹣x2+2x+3，|x|}＝|x|，∵y＝﹣x，在x＜无最小值；∴max{﹣x2+2x+3，|x|}的最小值是；故答案为；16．解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a﹣1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0，故答案为：0或3．17．解：作MG⊥DC于G，如图所示：设MN＝y，PC＝x，根据题意得：GN＝5，MG＝|10﹣2x|，在Rt△MNG中，由勾股定理得：MN2＝MG2+GN2，即y2＝52+（10﹣2x）2．∵0＜x＜10，∴当10﹣2x＝0，即x＝5时，y2最小值＝25，∴y最小值＝5．即MN的最小值为5；故答案为：5．18．解：原式可化为：y ＝（x ﹣4）2﹣16+m ，∵函数的最小值是1，∴﹣16+m ＝1，解得m ＝17．故答案为：17．19．解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，BA ＝5，∴AC ＝＝3，设DC ＝x ，则AD ＝3﹣x ，∵DF ∥AB ，∴＝，即＝，∴CE ＝∴BE ＝4﹣， ∵矩形CDGE 和矩形HEBF ，∴AD ∥BF ，∴四边形ABFD 是平行四边形，∴BF ＝AD ＝3﹣x ，则S 阴＝S 矩形CDGE +S 矩形HEBF ＝DC •CE +BE •BF ＝x •x +（3﹣x ）（4﹣x ）＝x 2﹣8x +12，∵＞0，∴当x ＝﹣＝时，有最小值，∴DC ＝，有最小值，∴BE ＝4﹣×＝2，BF ＝3﹣＝，∴EF＝＝，即矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小时，则EF的长度为故答案为．20．解：∵AP＝CQ＝t，∴CP＝6﹣t，∴PQ＝＝＝，∵0≤t≤2，∴当t＝2时，PQ的值最小，∴线段PQ的最小值是2，故答案是：2．三．解答题（共10小题）21．解：（1）设BE＝x，则BF＝DG＝DH＝x．∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝a，∴AH＝AE＝a﹣x∵∠A＝60°，∴△AHE为等边三角形，∴HE＝a﹣x；（2）∵∠A＝60°，∴∠B＝120°，∴EF＝BE＝x，＝HE•EF＝x（a﹣x）＝∴S矩形EFGH当x＝＝时，函数又最大值，S＝．矩形EFGH22．解：设经过x秒，四边形APQC的面积最小由题意得，AP＝2x，BQ＝4x，则PB＝12﹣2x，△PBQ的面积＝×BQ×PB＝×（12﹣2x）×4x＝﹣4（x﹣3）2+36，当x＝3s时，△PBQ的面积的最大值是36mm2，此时四边形APQC的面积最小．23．（1）解：连接BD，交AC于G，∵菱形ABCD中，AC和BD是对角线，∴BD⊥AC，AG＝CG＝AC，∵AB＝6，∠ADC＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝30°，在Rt△ABG中，AG＝AB•cos∠BAC＝6×＝3，∴AC＝2AG＝6；（2）证明：∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ADC＝120°，∴∠BAD＝∠BCD＝60°，∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝BC＝6，∵PE∥AB，PF∥AD，∴∠CPF＝∠CAD，四边形DEPF是平行四边形，∴ED＝PF，∵AD＝DC，∴∠CAD＝∠ACD，∴∠CPF＝∠ACD，∴PF＝FC，∴ED＝FC，在△BED和△BFC中∴△BED≌△BFC（SAS），∴BE＝BF，∠EBD＝∠FBC，∵∠FBC+∠FBD＝∠CBD＝60°，∴∠EBD+∠FBD＝∠EBF＝60°，∴△BEF是等边三角形；（3）解：作PH⊥CD于H，设FC＝x，则PF＝x，DF＝6﹣x，∵∠ADC＝120°，PF∥AD，∴∠PFD＝60°，∴PH＝PF•sin∠PFD＝x，＝DF•PH＝x•（6﹣x）＝﹣（x﹣3）2+，∴S∵﹣＜0，∴四边形BEPF面积有最小值为，故答案为．24．解：（1）﹣2x2﹣4x+3＝﹣2（x2+2x+1﹣1）+3＝2（x+1）2+5≤5，∴﹣2x2﹣4x+3有最大值是5，故答案为：5；（2）解：由x2+3x+y﹣3＝0得y＝﹣x2﹣3x+3，把y代入x+y得：y﹣x＝x2﹣3x+3﹣x＝﹣x2﹣4x+3＝﹣（x+2）2+3+4≤7，∴y﹣x的最大值为7．故答案为：7．（3）解：设利用墙的一边长为x，则x≤16，由题意知：S花圃＝x•＝﹣x2+14x＝﹣（x﹣14）2+98当x＝14时，花圃面积最大，最大面积为98m2．25．解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE∥AB，∴∠B＝∠CED，∠AFD＝∠FDE＝90°，∴∠C＝∠CED，∴DC＝DE．在Rt△ADF中，∵∠A＝45°，∴∠ADF＝45°＝∠A，∴AF＝DF＝x，∴AD＝＝x，∴DC＝DE＝1﹣x，∴y＝（DE+FB）×DF＝（1﹣x+1﹣x）x＝﹣（+1）x2+x．∵点D保持在AC上，且D不与A重合，∴0＜AD≤1，∴0＜x≤1，∴0＜x≤．故y＝﹣（+1）x2+x，自变量x的取值范围是0＜x≤；（2）∵y＝﹣（+1）x2+x，∴当x＝﹣＝﹣1时，y有最大值．26．解：（1）y＝ax﹣3的相关函数y＝，将A（﹣5，8）代入y＝﹣ax+3得：5a+3＝8，解得a＝1；（2）二次函数y＝﹣x2+4x﹣的相关函数为y＝，①当m＜0时，将B（m，）代入y＝x2﹣4x+得m2﹣4m+＝，解得：m＝2+（舍去），或m＝2﹣，当m≥0时，将B（m，）代入y＝﹣x2+4x﹣得：﹣m2+4m﹣＝，解得：m＝2+或m＝2﹣．综上所述：m＝2﹣或m＝2+或m＝2﹣；②当﹣3≤x＜0时，y＝x2﹣4x+，抛物线的对称轴为x＝2，此时y随x的增大而减小，∴此时y的最大值为，当0≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x﹣，抛物线的对称轴为x＝2，当x＝0有最小值，最小值为﹣，当x＝2时，有最大值，最大值y＝，综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值为，最小值为﹣．27．解：（1）利用表格得出函数关系是一次函数关系：＝kx+b，设y1∴，解得：，＝20x+540，∴y1利用图象得出函数关系是一次函数关系：＝ax+c，设y2∴，解得：，∴y 2＝10x +630．（2）去年1至9月时，销售该配件的利润w ＝p 1（1000﹣50﹣30﹣y 1）， ＝（0.1x +1.1）（1000﹣50﹣30﹣20x ﹣540）＝﹣2x 2+16x +418，＝﹣2（ x ﹣4）2+450，（1≤x ≤9，且x 取整数）∵﹣2＜0，1≤x ≤9，∴当x ＝4时，w 最大＝450（万元）；去年10至12月时，销售该配件的利润w ＝p 2（1000﹣50﹣30﹣y 2）＝（﹣0.1x +2.9）（1000﹣50﹣30﹣10x ﹣630），＝（ x ﹣29）2，（10≤x ≤12，且x 取整数），∵10≤x ≤12时，∴当x ＝10时，w 最大＝361（万元），∵450＞361，∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元．28．解：（1）二次函数y ＝﹣x 2+6x 的相关函数为y ＝，故答案为：；（2）当m ＜0时，把B （m ，）代入y ＝x 2﹣6x ﹣得：m 2﹣6m ﹣＝，解得：m ＝3+（舍去）或m ＝3﹣；当m ≥0时，把B （m ，）代入y ＝﹣x 2+6x +得：﹣m 2+6m +＝，解得：m ＝3±2（m ＝3+2舍去），综合上述：m ＝3﹣或m ＝3﹣2；（3）当﹣3≤x ＜0时，y ＝x 2﹣6x ﹣＝（x ﹣3）2﹣，∴抛物线的对称轴为直线x ＝3，在﹣3≤x ＜0上，y 随x 的增大而减小，∴当x＝﹣3时，y取最大值，最大值为；当0≤x≤7时，y＝﹣x2+6x+＝﹣（x﹣3）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，∴当x＝3时，y取最大值，最大值为，当x＝7时，y取最小值，最小值为﹣．综上所述：当﹣3≤x≤7时，所求函数的相关函数的最大值为，最小值为﹣．29．解：（1）由题意得，AM＝t，ON＝2t，则OM＝OA﹣AM＝18﹣t，四边形ABNM的面积S＝△AOB的面积﹣△MON的面积＝×18×30﹣×（18﹣t）×2t＝t2﹣18t+270（0＜t≤15）；（2）S＝t2﹣18t+270＝t2﹣18t+81﹣81+270＝（t﹣9）2+189，∵a＝1＞0，∴S有最小值，这个值是189．30．解：（1）max{5，2}＝5，max{0，3}＝3．故答案为：5；3．（2）∵max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，∴3x+1≤﹣x+1，解得：x≤0．（3）联立两函数解析式成方程组，，解得：，，∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．画出直线y＝﹣x+2，如图所示，观察函数图象可知：当x＝3时，max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1．。
中考数学《二次函数的最值》专项练习题(附答案)
中考数学《二次函数的最值》专项练习题(附答案)一、单选题1．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论①abc>0；②b−a>c；③4a+2b+c>0；④3a>−c；⑤a+b>m(am+b)(m≠1的实数).其中正确结论的有（）A．①②③B．②③⑤C．②③④D．③④⑤2．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=−2，并与x轴交于A，B两点，若OA=5OB，则下列结论中：①abc>0；②(a+c)2−b2=0；③9a+4c<0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．43．已知二次函数y=−x2+2x+c，当−1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为（）A．1B．2C．3D．44．关于二次函数y=x2−4x−4的说法，正确的是()A．最大值为−4B．最小值为−4C．最大值为−8D．最小值为−85．在平面直角坐标系中，点P的坐标(0,2)，点Q的坐标为(t−1,−34t−94)(t为实数)，当PQ长取得最小值时，t的值为（）A．−75B．−125C．3D．46．已知二次函数y=x2+2x+m2+2m﹣1（m为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或37．已知二次函数y=2(x−1)2−3，则下列说法正确的是()A．y有最小值0，有最大值－3B．y有最小值－3，无最大值C．y有最小值－1，有最大值－3D．y有最小值－3，有最大值08．当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．1B．2C．1或2D．0或39．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如下表：下列结论错误的是（）x-5-4-202y60-6-46B．若点（－8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2C．当x＝－2时，函数值最小，最小值为－6D．方程ax2+bx+c＝－5有两个不相等的实数根.10．抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=x2共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y的值随x的增大而减小11．已知二次函数y=−x2+mx+m（m为常数），当−2≤x≤4时，y的最大值是15，则m 的值是（）A．-10和6B．-19和315C．6和315D．-19和612．小明在研究某二次函数y=ax2+bx+c时列表如下：x…-2-1023…y=ax2+bx+c…116336…A．有最大值11，有最小值3B．有最大值11，有最小值2C．有最大值6，有最小值3D．有最大值6，有最小值2二、填空题13．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是cm2．14．若把函数y=x的图象用E(x，x)记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E(x，x2−2x+3)图象上的最低点是.15．抛物线y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=1，则该函数的最小值是16．当2≤x≤5时，二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的最大值为．17．二次函数y＝x2+4x+5（﹣3≤x≤0）的最小值是．18．当x=0时，函数y=2x2+bx+c有最小值1，则b-c=．三、综合题19．抛物线y=−x2+bx+c过点（0，-5）和（2，1）.（1）求b,c的值；（2）当x为何值时，y有最大值？20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA= 2OC=8OB，点P是第三象限内抛物线上的一动点.（1）求此抛物线的表达式；（2）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标.21．在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A．（1）当m=4时，求n的值；（2）设m=﹣2，当﹣3≤x≤0时，求二次函数y=x2+mx+n的最小值；（3）当﹣3≤x≤0时，若二次函数﹣3≤x≤0时的最小值为﹣4，求m、n的值．22．重庆市的重大惠民工程﹣﹣公租房建设已陆续竣工，计划10年内解决低收入人群的住房问题，前6年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是y= 16x+5，（x单位：年，1≤x≤6且x为整数）；后4年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是y=- 18x+194（x单位：年，7≤x≤10且x为整数）．假设每年的公租房全部出租完．另外，随着物价上涨等因素的影响，每年的租金也随之上调，预计，第x年投入使用的公租房的租金z（单位：元/m2）与时间x（单位：年，1≤x≤10且x为整数）满足一次函数关系如下表：z（元/m2）5052545658…x（年）12345…（2）求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多，最多为多少百万元；（3）若第6年竣工投入使用的公租房可解决20万人的住房问题，政府计划在第10年投入的公租房总面积不变的情况下，要让人均住房面积比第6年人均住房面积提高a%，这样可解决住房的人数将比第6年减少1.35a%，求a的值．（参考数据：√315≈17.7，√319≈17.8，√321≈17.9）23．将一条长为56cm的铁丝剪成两段并把每一段铁丝做成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于100cm2，该怎么剪？（2）设这两个正方形的面积之和为Scm2，当两段铁丝长度分别为何值时，S有最小值？24．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元，为了扩大销售、增加利润，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1600元？（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？最大为多少元？参考答案1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】D5．【答案】A6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】D9．【答案】C10．【答案】B11．【答案】D12．【答案】B13．【答案】3；1814．【答案】（1，2）15．【答案】116．【答案】117．【答案】118．【答案】-119．【答案】（1）解：∵抛物线y=−x2+bx+c过点（0，-5）和（2，1）∴{c=−5−4+2b+c=1解得{b=5c=−5∴b, c的值分别为5, -5.（2）解：a= -1 ，b=5∴当x= −b2a=52时y有最大值.20．【答案】（1）解：在抛物线y=ax2+bx−2中令x=0，则y=−2∴点C的坐标为（0，−2）∴OC=2∵OA=2OC=8OB∴OA=4，OB=1 2∴点A 为（−4，0），点B 为（12，0）则把点A 、B 代入解析式，得{16a −4b −2=014a +12b −2=0解得：{a =1b =72∴y =x 2+72x −2；（2）解：设直线AC 的解析式为y =mx +n ，则 把点A 、C 代入，得{−4m +n =0n =−2解得：{m =−12n =−2∴直线AC 的解析式为y =−12x −2；过点P 作PD∥y 轴，交AC 于点D ，如图：设点P 为（x ，x 2+72x −2），则点D 为（x ，−12x −2）∴PD =−12x −2−(x 2+72x −2)=−x 2−4x∵OA=4∴S ΔAPC =12PD •OA =12×(−x 2−4x)×4=−2x 2−8x ∴S ΔAPC =−2(x +2)2+8∴当x =−2时，S ΔAPC 取最大值8；∴x 2+72x −2=(−2)2+72×(−2)−2=−5∴点P 的坐标为（−2，−5）. ∵点P 在第三象限的抛物线上 ∴点P 的坐标为（−2，−5）满足条件.21．【答案】（1）解：当y=x+3=0时，x=﹣3∴点A 的坐标为（﹣3，0）．∵二次函数y=x 2+mx+n 的图象经过点A ∴0=9﹣3m+n ，即n=3m ﹣9 ∴当m=4时，n=3m ﹣9=3（2）解：抛物线的对称轴为直线x=﹣ m 2当m=﹣2时，对称轴为x=1，n=3m ﹣9=﹣15 ∴当﹣3≤x≤0时，y 随x 的增大而减小∴当x=0时，二次函数y=x 2+mx+n 的最小值为﹣15（3）解：①当对称轴﹣ m2 ≤﹣3，即m≥6时，如图1所示．在﹣3≤x≤0中，y=x 2+mx+n 的最小值为0 ∴此情况不合题意；②当﹣3＜﹣ m2 ＜0，即0＜m ＜6时，如图2有 {4n−m 24n=−49−3m +n =0解得： {m =2n =−3 或 {m =10n =21（舍去）∴m=2、n=﹣3；③当﹣ m2 ≥0，即m≤0时，如图3有 {n =−49−3m +n =0解得： {m =53n =−4（舍去）． 综上所述：m=2，n=﹣3．22．【答案】（1）解：由题意，z 与x 成一次函数关系，设z=kx+b （k≠0）．把（1，50）．（2，52）代入得 {k +b =502k +b =52⇒{k =2b =48∴z=2x+48．（2）解：当1≤x≤6时，设收取的租金为W1百万元，则W1=（- 16x+5）•（2x+48）=- 13x2+2x+240，∵对称轴x=- b2a≠=3，而1≤x≤6，∴当x=3时，W1最大=243（百万元）．当7≤x≤10时，设收取的租金为W2百万元，则W2=（- 18x+ 194）·（2x+48）=- 14x2+ 72x+228．∵对称轴x=- b2a=7，而7≤x≤10，∴当x=7时，W2最大= 9614（百万元）．∵243> 961 4∴第3年收取的租金最多，最多为243百万元．（3）解：当x=6时，y=- 16×6+5=4百万平方米=400万平方米；当x=10时y=- 18×10+ 194=3.5百万平方米=350万平方．∵第6年可解决20万人住房问题∴人均住房为400÷20=20平方米．由题意20×（1-1.35a％）×20×（1+a％）=350．设a％=m，化简为54m2+14m-5=0Δ=142-4×54×（-5）=1276∴m= −14±√12762×54=−7±√31954∵√319≈17.8，∴m1=0.2，m2=- 62135（不符题意，舍去）．∴a％=0.2，∴a=20．答：a的值为20．23．【答案】（1）解：设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（14﹣x）cm 依题意列方程得x2+（14﹣x）2＝100整理得：x2﹣14x+48＝0（x﹣6）（x﹣8）＝0解方程得x1＝6，x2＝86×4＝24（cm），56﹣24＝32（cm）；因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是24cm、32cm。
2023年九年级数学中考专题训练——二次函数的最值 (附答案))
2023年中考专题训练——二次函数的最值1．已知，二次函数23y ax bx =+-的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于C 点，点A 的坐标为()1,0-，且OB OC =． (1)求二次函数的解析式；(2)当04x ≤≤时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？ (3)设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称．在y 轴上是否存在点P ，使PCC '△与POB 相似，且PC 与PO 是对应边？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1，抛物线2323333y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，过点B 作直线BD ∥直线AC ，交抛物线y 于另一点D ，点P 为直线AC 上方抛物线上一动点．(1)求线段AB 的长．(2)过点P 作PF y ∥轴交AC 于点Q ，交直线BD 于点F ，过点P 作PE AC ⊥于点E ，求233PE PF +的最大值及此时点P 的坐标． (3)如图2，将抛物线2323333y x x =--+向右平移3个单位得到新抛物线y '，点M 为新抛物线上一点，点N 为原抛物线对称轴一点，直接写出所有使得A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时点N 的坐标，并写出其中一个点N 的坐标的求解过程． 3．已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过点(3,0)，且对称轴为直线1x =．(1)求b c +的值；(2)当43x -≤≤时，求y 的最大值；(3)平移抛物线2y x bx c =+-，使其顶点始终在二次函数221y x x =--上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最小值．4．已知关于x 的一元二次方程()()121x x m --=+（m 为常数）．（1）若它的一个实数根是方程()2140x --=的根，则m =_____，方程的另一个根为_____； （2）若它的一个实数根是关于x 的方程()240x m --=的根，求m 的值； （3）若它的一个实数根是关于x 的方程()240x n --=的根，求m n +的最小值．5．如图，抛物线23y ax bx =++交x 轴于()3,0A ，()1,0B -两点，交y 轴于点C ，动点P 在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P ，B ，C 为顶点的三角形周长最小时，求点P 的坐标及PBC 的周长；（3）若点Q 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q ，使得以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6．平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（32，﹣254），它的图象与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧）．（1）若AB ＝5，交y 轴于点C ，点C 在y 轴负半轴上． ①求二次函数的解析式；②若自变量x 的值增加4时，对应的函数值y 增大，求满足题意的自变量x 的取值范围． （2）当-1≤x ≤1时，函数值y 有最小值为﹣a 2，求a 的值（其中a 为二次函数的二次项系数）．7．已知直线1y kx =+经过点()2,3，与抛物线2y x bx c =++的对称轴交于点1,2n ⎛⎫⎪⎝⎭（1）求k ，b 的值；（2）抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()()12,0,0x x 且2139x x ≤-<，若22123p x x =-，求p 的最大值；（3）当12x -<<时，抛物线2y x bx c =++与直线1y kx =+有且只有一个公共点，直接写出c 的取值范围．8．如图，直线:l y m =-与y 轴交于点A ，直线:a y x m =+与y 轴交于点B ，抛物线2y x mx =+的顶点为C ，且与x 轴左交点为D （其中0m >）．（1）当12AB =时，在抛物线的对称轴上求一点P 使得BOP △的周长最小；（2）当点C 在直线l 上方时，求点C 到直线l 距离的最大值； （3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当2021m =时，求出在抛物线和直线a 所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过A （0，﹣1），B （4，1）．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PE ∥x 轴，交AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE 的周长取得最大值时，求点P 的坐标和△PDE 周长的最大值；（3）把抛物线2y x bx c =++平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P ．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．10．如图，抛物线2y x bx c =-++过点()3,2A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为()4,m ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PA +的最小值；（3）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ∠=︒？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于3,0,()(,0)4A B -两点，与y 轴交于点C ，连接,AC BC ．M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作PM x ⊥轴，交抛物线于点P ，交BC 于点Q ． （1）求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ．求线段PN 的最大值．（3）试探究点M 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以,,A C Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标：若不存在，请说明理由．12．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝－1，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ． （1）求抛物线的解析式（2）若直线y ＝mx ＋n 经过B 、C 两点，求直线BC 的解析式； （3）在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标及此时距离之和的最小值13．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2－2ax －1（a ＜0）． （1）抛物线的对称轴为，抛物线与y 轴的交点坐标为；（2）试说明直线y ＝x －2与抛物线y ＝ax 2－2ax －1（a ＜0）一定存在两个交点； （3）若当－2≤x ≤2时，y 的最大值是1，求当-2≤x ≤2时，y 的最小值是多少？14．如图，抛物线2y ax bx =+经过点()3,33A -、()12,0B ． （1）求抛物线的解析式； （2）试判断OAB 的形状；（3）曲线AB 为抛物线上点A 到点B 的曲线，在曲线AB 上是否存在点P 使得四边形OAPB 的面积最大，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx ﹣6的图象交坐标轴于A （﹣2，0），B （3，0）两点，抛物线与y 轴相交于点C ，抛物线上有一动点P 在直线BC 下方． （1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P ，使△POC 是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标； （3）动点P 运动到什么位置时，△PBC 面积最大．求出此时P 点坐标和△PBC 的最大面积．16．已知抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数）的顶点坐标为（2，﹣1）． （1）求该抛物线的解析式；（2）点M （t ﹣1，y 1），N （t ，y 2）在该抛物线上，当t ＜1时，比较y 1与y 2的大小； （3）若点P （m ，n ）在该抛物线上，求m ﹣n 的最大值． 17．如图1，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点(2,0)A -、(6,0)B ．（1）求抛物线的函数关系式．（2）如图1，点C 是抛物线在第四象限内图像上的一点，过点C 作CP y ⊥轴，P 为垂足，求CP OP +的最大值；（3）如图2，设抛物线的顶点为点D ，点N 的坐标为()2,16--，问在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使线段MN 绕点M 顺时针旋转90︒得到线段MN '，且点N '恰好落在抛物线上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知抛物线2y ax bx c =++()0a ≠与x 轴交于点1,0A 和点()3,0B -，与y 轴交于点C ，且OC OB =．（1）求点C 的坐标和此抛物线的解析式；（2）若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE ，CE ，BC ，求BCE 面积的最大值； （3）点P 在抛物线的对称轴上，若线段PA 绕点P 逆时针旋转90°后，点A 的对应点A '．恰好也落在此抛物线上，求点P 的坐标．19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ()0,3-，A 点的坐标为(-1，0)． （1）求二次函数的解析式；（2）若点P 是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标，并求出四边形ABPC 的最大面积； （3）若Q 为抛物线对称轴上一动点，当Q 在什么位置时QA+QC 最小，求出Q 点的坐标，并求出此时△QAC 的周长．20．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．（1）分别求出当24x ≤≤时，两个函数：()221,211y x y x =+=-+的最大值和最小值； （2）若2y x=的值不大于2，求符合条件的x 的范围；（3）若(0)ky k x=≠，当()20t x x ≤≤≠时既无最大值，又无最小值，求a 的取值范围．参考答案：1．(1)2=23y x x --(2)函数的最大值为5，最小值为4- (3)存在，(0,9)P -或9(0,)5P -【分析】（1）先求出点C 的坐标，得到点B 的坐标，再将点A 、B 的坐标代入解析式计算即可；（2）将函数解析式化为顶点式，根据函数的性质解答即可； （3）存在点P ，设()0,P m ，根据相似三角形对应边成比例列得PC CC PO OB'=，代入数值求出m 即可．【解析】（1）二次函数23y ax bx =+-的图象与y 轴交于C 点，()0,3C ∴-．OB OC =，点A 在点B 的左边，()3,0B ∴．又点A 的坐标为()1,0-，由题意可得：093303a b a b =+-⎧⎨=--⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩．∴二次函数的解析式为2=23y x x --．（2）()22=2314y x x x ---=-，二次函数顶点坐标为()1,4-，∴当1x =时，4y =-最小值，当01x ≤≤时，y 随着x 的增大而减小， ∴当0x =时，3y =-最大值，当14x <≤时，y 随着x 的增大而增大， ∴当4x =时，5y =最大值．∴当04x ≤≤时，函数的最大值为5，最小值为4-．（3）存在点P ，如图，设()0,P m ，CC OB '∥，且PC 与PO 是相似三角形的对应边，PC CC PO OB ∴'=，即：()323m m --=， 解得：9m =-或95m =-，()0,9P ∴-或90,5P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点评】此题考查了二次函数与图形问题，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，相似三角形的性质，二次函数的最值，正确掌握二次函数的综合知识是解题的关键． 2．(1)4(2)当32t =-时，233PE PF +1733232P ⎛- ⎝⎭； (3)(1,3N --，113⎛- ⎝⎭和3731,⎛- ⎝⎭【分析】（1）令232330，求解即可； （2）求直线,AC BD 的解析式，设点232,33P t ⎛ ⎝，则33Q t ⎛ ⎝，33F t ⎛ ⎝⎭，利用30QFC ∠=︒，将所求转化为23333PE PF PQ PF +=+，再求解即可； （3）推出平移后的解析式，设234383,M m ⎛ ⎝⎭，()2,N n -，分三种情况讨论；再利用平行四边形的性质结合中点坐标求解即可． 【解析】（1）令232330， 解得1x =或3x =-， ∴()()3,0,1,0A B -，4AB ∴=；（2）232333y x x =-(3C ∴，设直线AC 的解析式为y kx b =+，303k b b -+=⎧⎪∴⎨=⎪⎩，解得33k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的解析式为y x =(),1,0AC BD B ∥，∴直线BD 的解析式为y x =设点2,P t ⎛ ⎝+，则Q t ⎛+ ⎝，F t ⎛ ⎝⎭， ∵点P 为直线AC 上方抛物线上一动点，22PQ ∴==，22P F ==∵3,OA OC ==30CAO ∴∠=︒，,PE AC PF OA ⊥⊥， 30QFC ∴∠=︒，PE ∴=，∴222333332PF PQ PF t ⎛⎫+=+==-+ ⎪⎭⎝⎭∴当32t =-时，3PF +32P ⎛- ⎝⎭；（3）)22313y x =-+ ∴抛物线对称轴为直线=1x -，∵抛物线2y =3个单位得到新抛物线y '，∴新抛物线y '的解析式为)22y x =-+'，∴2,M m ⎛ ⎝⎭，()1,N n -，①当AB 为平行四边形的对角线时，2311,0m n -=-+=，∴1,m n =-=∴((1,N M --，；②当AM 为平行四边形的对角线时，234383311,m n -=+-= ∴1133,m n ==∴113113N M ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，； ③当AN 为平行四边形的对角线时，24311,3383n m -+-=+=， ∴3735,m n =-= ∴3733735,1,M N ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭，； 综上，N 点坐标分别为(1,3N -，113⎛- ⎝⎭和3731,⎛- ⎝⎭． 【点评】本题考查了为此函数的图象和性质，直角三角形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握知识并能够运用分类讨论的思想是解题的关键． 3．(1)1 (2)21 (3)1312-【分析】（1）根据对称轴公式求出b ，再有二次函数2y x bx c =+-的图象经过点(3,0)，代入求出c ，计算即可；（2）根据二次函数的增减性可知，当x =-4时，y 值最大，代入求解即可；（3）因为平移抛物线2=23y x x --，其顶点始终在二次函数221y x x =--上，故设顶点坐标为()2,21h h h --，可得平移后的解析式为22()21y x h h h =-+--，可求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标为231=--w h h ，根据二次函数求最值的方法求解即可． (1)解：由题意可知12bx =-=，∴2b =-． 将(3,0)代入22y x x c =--，得3c =， ∴1b c +=． (2)解：由（1）得2223(1)4y x x x =--=--，∴当1x <时，y 随x 增大而减小，当1x >时，y 随x 增大而增大．∵1(4)31-->-，∴当4x =-时，y 取最大值21． (3)解：∵平移抛物线2=23y x x --，其顶点始终在二次函数221y x x =--上，∴设顶点坐标为()2,21h h h --，故平移后的解析式为22()21y x h h h =-+--，∴22222221231y x hx h h h x hx h h =-++--=-+--． 设平移后所得抛物线与y 轴交点的纵坐标为w ， 则22113313612w h h h ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，∴当16h =时，平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最小值为1312-． 【点评】本题考查了二次函数的性质，和最值，平移规律，熟练掌握二次函数的性质和平移规律是解题的关键．4．（1）1，0x =；（2）11m =，21m =-；（3）当1n =-时，m n +有最小值为-2． 【分析】(1)求方程2(x -1)-4=0的根，代入（x -1）(x -2)=m +1中，确定m 的值；解（x -1）(x -2)=m +1，得到另一个根；（2）求方程2(x -m )-4=0的根，代入（x -1）(x -2)=m +1中，确定m 的值；（3）求方程()240x n --=的根，代入（x -1）(x -2)=m +1中，用含n 的代数式表示m ，构造m +n 与n 的二次函数，利用二次函数的性质确定最值. 【解析】（1）∵2(x -1)-4=0， ∴x =3，∴（3-1）(3-2)=m +1， 解得m =1， ∴（x -1）(x -2)=2， ∴2x -3x =0， ∴123,0x x ==， 故答案为：1，0x =． （2）由()240x m --=，得 2x m =+．则()()21221m m m +-+-=+ ∴21m m m +=+， ∴21m =，∴11m =，21m =-． （3）由()240x n --=，得2x n =+．则()()21221n n m +-+-=+． 即21m n n =+-．∴()222112m n n n n +=+-=+-； ∴当1n =-时，m n +有最小值-2．【点评】本题考查了一元一次方程，一元二次方程，二次函数的最值，熟练掌握方程的解法，二次函数的最值是解题的关键．5．(1) 223y x x =-++；(2) P 点坐标为(1,2)，BCP ∆1032(3) Q 点坐标存在，为(2，2)或(417或(4，17-或(2-，314或(2-，314【分析】(1)将()3,0A ，()1,0B -代入即可求解；(2)连接BP 、CP 、AP ，由二次函数对称性可知，BP=AP ，得到BP +CP =AP +CP ，当C 、P 、A 三点共线时，△PBC 的周长最小，由此求出AC 解析式，将P 点横坐标代入解析式中即可求解；(3)设P 点坐标为(1，t )，Q 点坐标为(m ，n )，按AC 为对角线，AP 为对角线，AQ 为对角线分三种情况讨论即可求解．【解析】解：(1)将()3,0A ，()1,0B -代入二次函数表达式中，∴093303a b a b =++⎧⎨=-+⎩ ，解得12a b =-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为：223y x x =-++； (2)连接BP 、CP 、AP ，如下图所示：由二次函数对称性可知，BP=AP ， ∴BP +CP =AP +CP ， BCPC BP CP BCPA CP BCBC 为定直线，当C 、P 、A 三点共线时，PA CP 有最小值为AC ，此时BCP ∆的周长也最小，设直线AC 的解析式为：y kx m =+，代入()3,0,(0,3)A C ，∴0=330k m m +⎧⎨=+⎩，解得13k m =-⎧⎨=⎩，∴直线AC 的解析式为：3y x =-+， 二次函数的对称轴为12bx a=-=，代入3y x =-+，得到2y =， ∴P 点坐标为(1,2)，此时BCP ∆的周长最小值=222213331032BC AC；(3)()3,0,(0,3)A C 设P 点坐标为(1，t )，Q 点坐标为(m ，n )， 分类讨论：情况一：AC 为菱形对角线时，另一对角线为PQ ，此时由菱形对角互相平分知：AC 的中点也必定是PQ 的中点， 由菱形对角线互相垂直知：1AC PQk k ，∴30103111m t n n t m ⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪-⎪-⋅=--⎩，解得221m n t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴P 点坐标为(1，1)，对应的Q 点坐标为(2，2)； 情况二：AP 为菱形对角线时，另一对角线为CQ ，同理有：310030312m t n t n m ⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪--⎪⋅=--⎩，解得43m n t=⎧⎪⎨⎪=⎩或43m n t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴P 点坐标为(1，3)或(1，3，对应的Q 点坐标为(4或(4，)； 情况三：AQ 为菱形对角线时，另一对角线为CP ，()3,0,(0,3)A C 设P 点坐标为(1，t )，Q 点坐标为(m ，n )，同理有：3010303131m n t n t m ⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪--⎪⋅=--⎩，解得23m n t =-⎧⎪=⎨⎪=⎩23m n t =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ ∴P 点坐标为(1或(1，，对应的Q 点坐标为(-2，3或(-2，3； 纵上所示，Q 点坐标存在，为(2，2)或(4或(4，或(2-，3或(2-，3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称性求线段最值问题及菱形的存在性问题，本题第三问难度大一些，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键． 6．（1）①234y x x =--；②自变量x 的取值范围为12x >-；（2）a 1401-+25541-- 【分析】（1）①二次函数y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（32，﹣254），可确定二次函数的对称轴为32x =，利用对称轴求出抛物线与x 轴的交点A （-1，0），B （4，0），利用待定系数法可求抛物线解析式；②设自变量x 的值增加4时,的函数为y 1，求出新增函数21=5y x x +，利用1y y >两函数作差840x +>解不等式即可；（2）设二次函数的解析式为232524y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由-1≤x ≤132<，0a >或a<0分两种情况利用函数的增减性构造关于a 的一元二次方程，求出a 的值即可． 【解析】解：（1）①二次函数y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（32，﹣254），∴二次函数的对称轴为32x =， ∵与x 轴交于点A ，B ，AB ＝5， ∴A 、B 两点关于对称轴为32x =对称，35122-=-，35+422=， ∴A （-1，0），B （4，0）， 设解析式为()()14y a x x =+-，∵()()14y a x x =+-过顶点（32，﹣254），∴253314422a ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 解得=1a ，∴二次函数解析式为：2=34y x x --， ②设自变量x 的值增加4时,的函数为y 1， ∴()()221=+43+44=5y x x x x --+， ∵1y y >，∴()22534840x x x x x +---=+>，解得12x >-；（2）设二次函数的解析式为232524y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当-1≤x ≤132<， 当0a >，二次函数开口向上，在二次函数对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小， ∴当x =1时函数取最小值﹣a 2，∴22325124a a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，整理得24+250a a -=，解得a =0a =<（舍去）， 当a<0，二次函数开口向下，在二次函数对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大， ∴当x =-1时函数取最小值﹣a 2，∴22325124a a ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭， 整理得24+25250a a -=，解得a =或0a =>（舍去）． 【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式，利用自变量增大函数值增大构造不等式，利用函数的增减性取最小值构造关于a 的一元二次方程，掌握待定系数法求抛物线解析式，会列不等式与解不等式，利用函数的增减性取最小值构造关于a 的一元二次方程和解方程是解题关键．7．（1）1k =，1b =；（2）p 最大值为1；（3）30c -<≤或1c =【分析】（1）将（2，3）和1,2n ⎛⎫⎪⎝⎭分别代入直线表达式中可求得k 和n 值，再根据抛物线的对称轴公式求解b 值即可；（2）抛物线的对称轴为直线x =﹣12和2139x x ≤-<得出211x x =--及152x -<≤-，则()22221211331p x x x x =-=---2133222x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，根据二次函数的最值方法求解即可；（3）联立方程组可得x 2=1﹣c ，对c 讨论，结合方程根取值范围进行求解即可． 【解析】解：（1）把()2,3代入1y kx =+得：213k +=，则1k =，∴点1,2n ⎛⎫⎪⎝⎭在直线1y x =+上，∴12n =-，∴抛物线的对称轴122b x =-=-，∴1b =；（2）由（1）知1b =，则2y x x c =++，∵抛物线2y x x c =++与x 轴交点的横坐标为1x ，2x 且213x x -≥ ∴2112x x >-> ∴211122x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即121x x +=-． ∴211x x =--．∴()22221211331p x x x x =-=---2133222x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵2139x x ≤-<，∴()11319x x ≤---< ∴152x -<≤-∵20-<且对称轴为直线32x =-∴当152x -<≤-时，p 随1x 的增大而增大， ∴当12x =-时，p 取最大值且最大值为1；（3）由（1）知，直线的表达式为1y x =+，抛物线表达式为2y x x c =++，联立方程组21y x y x x c =+⎧⎨=++⎩得：x 2=1﹣c ， 当c ＞1时，该方程无解，不满足题意； 当c =1时，方程的解为x =0满足题意； 当c ＜1时，方程的解为x =±1c -当1c -2即30c -<≤时，满足12x -<<时，抛物线2y x bx c =++与直线1y kx =+有且只有一个公共点，综上，满足题意的c 的取值范围为30c -<≤或1c =．【点评】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数的图象与性质、求二次函数的最值问题、两个函数图象的交点问题、解一元二次方程、解一元一次不等式组等知识，解答的关键是认真分析题意，找寻知识之间的关联点，利用待定系数法、分类讨论和数形结合思想进行推理、探究和计算． 8．（1）()3,3-；（2）1；（3）4044个【分析】（1）先求出点B 坐标，B 的纵坐标减去A 的纵坐标等于12求出m 值，再求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性和两点之间线段最短知，当B 、P 、D 三点共线时OBP 周长最短，此时点P 为直线a 与对称轴的交点，进而求解即可；（2）先求出抛物线的顶点C 坐标2,24m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由C 与l 的距离221()(2)1144m m m =---=--+≤即可求出最大值；（3）先求出抛物线与直线a 的交点的横坐标，根据每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值，结合边界由线段和抛物线组成求解即可． 【解析】解：（1）当0x =时，y x m m =+=， (0,)B m ∴，12AB =，而(0,)A m -，()12m m ∴--=，6m ∴=，∴抛物线L 的解析式为：26y x x =+，L ∴的对称轴3x =-，又知O 、D 两点关于对称轴对称，则OP DP =OB OP PB OB DP PB ∴++=++∴当B 、P 、D 三点共线时OBP 周长最短，此时点P 为直线a 与对称轴的交点，当3x =-时，63y x =+=， (3,3)P ∴-；（2）2224m m y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，L ∴的顶点2,24m m C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 在l 上方，C ∴与l 的距离221()(2)1144m m m =---=--+≤，∴点C 与l 距离的最大值为1；（3）当2021m =时，抛物线解析式2:2021L y x x =+ 直线解析式:2021a y x =+联立上述两个解析式220212021y x xy x ⎧=+⎨=+⎩可得：12021x =-，21x =∴可知每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值，且-2021和1之间（包括-2021和1）共有2023个整数；∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线， ∴线段和抛物线上各有2023个整数点， ∴总计4046个点∵这两段图象交点有2个点重复， ∴“整点”的个数：404624044-=（个）； 故2021m =时“整点”的个数为4044个．【点评】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、图形与坐标、最短路径问题、二次函数的最值、两函数图象的交点问题、解二元一次方程组等问题，综合性强，难度适中，解答的关键是读懂题意，找寻相关知识的关联点，利用数形结合思想解决问题． 9．（1）2712y x x =--；（2）t =2时，△PDE 2458， 点P的坐标为（2，﹣4）；（3）满足条件的点M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12），过程见解析【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可；（2）先求出直线AB 的函数表达式和点C 坐标，设P 27,12t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其中0<t <4，则E22727,12t t t t ⎛⎫---⎪⎝⎭，证明△PDE ∽△AOC ，根据周长之比等于相似比可得())22355651024522828l t t ++⎡⎤=--+=-⎣⎦，根据二次函数求最值的方法求解即可；（3）分以下情况①若AB 是平行四边形的对角线；②若AB 是平行四边形的边，1）当 MN ∥AB 时；2）当 NM ∥AB 时，利用平行四边形的性质分别进行求解即可． 【解析】解（1）∵抛物线2y x bx c =++经过点A （0，﹣1），点B （4，1），∴11641c b c =-⎧⎨++=⎩， 解得721b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴该抛物线的函数表达式为2712y x x =--；（2）∵A （0，-1），B （4，1）， ∴直线AB 的函数表达式为112y x =-， ∴C （2，0），设P 27,12t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其中0<t <4，∵点E 在直线112y x =-上，PE ∥x 轴， ∴E 22727,12t t t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，∠OCA =∠DEP ，∴PE =()2228228t t t -+=--+， ∵PD ⊥AB ， ∴∠EDP =∠COA ， ∴△PDE ∽△AOC ， ∵AO =1，OC =2， ∴AC∴△AOC 的周长为令△PDE 的周长为lACPE=，∴())2222828l t t ⎡⎤=--+=-⎣⎦， ∴当t =2时，△PDE8， 此时点P 的坐标为（2，﹣4），（3）如图所示，满足条件的点M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）． 由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为24y x x =-，对称轴为直线2x =． ①若AB 是平行四边形的对角线，当MN 与AB 互相平分时，四边形ANBM 是平行四边形， 即MN 经过AB 的中点C （2，0），∵点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为2，∴点M 的坐标为（2，-4）；②若AB 是平行四边形的边，1）MN ∥AB 时，四边形ABNM 是平行四边形，∵A （0，-1），B （4，1），点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为2﹣4=﹣2，∴点M 的坐标为（﹣2，12）；2）当 NM ∥AB 时，四边形ABMN 是平行四边形，∵A （0，-1），B （4，1），点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为2+4=6，∴点M 的坐标为（6，12），综上，满足条件的点M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．【点评】本题考查待定系数法求函数的表达式、相似三角形的判定与性质、求二次函数的最值、平行四边形的性质等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用平行四边形的性质，结合数形结合和分类讨论的思想方法进行探究、推导和计算．10．（1）21722y x x =-++；（2）352（3）存在，点Q 的坐标为(10,23Q 、(20,23Q 【分析】（1）先将点B 的坐标为(4,)m 代入代入直线解析式中，求得点B 的坐标，再利用,A B 坐标，待定系数法求二次函数解析式；（2）设217,22D m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则7,2E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()21222DE m =--+，当2m =时，DE 有最大值为2，此时72,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，作点A 关于对称轴的对称点A '，连接A D '，与对称轴交于点P ，PD PA PD PA A D ''+=+=此时PD PA +最小，勾股定理即可求得；（3）作AH y ⊥轴于点H ，连接AM 、AQ 、MQ 、HA 、HQ ，由45AQM ∠=︒可知12AQM AHM ∠=∠，继而可得：2QH HA HM ===，设(0,)Q t ，勾股定理即可求得点Q 的坐标【解析】解：（1）将点B 的坐标为(4,)m 代入72y x =-+， 71422m =-+=-， ∴B 的坐标为14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 将(3,2)A ，14,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入 212y x bx c =-++， 2213322114422b c b c ⎧-⨯++=⎪⎪⎨⎪-⨯++=-⎪⎩ 解得1b =，72c =， ∴抛物线的解析式21722y x x =-++； （2）设217,22D m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭， 则7,2E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 222177112(2)222222DE m m m m m π⎛⎫⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当2m =时，DE 有最大值为2 此时72,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 作点A 关于对称轴的对称点A '，连接A D '，与对称轴交于点P ．PD PA PD PA A D ''+=+=，此时PD PA +最小，∵(3,2)A ，∴(1,2)A '-，2273(12)2522A D ⎛⎫'=--+- ⎪⎝⎭ 即PD PA +352（3）作AH y ⊥轴于点H ，连接AM 、AQ 、MQ 、HA 、HQ ，∵抛物线的解析式21722y x x =-++， ∴(1,4)M ，∵(3,2)A ，∴2AH MH ==，(1,2)H∵45AQM ∠=︒，90AHM ∠=︒， ∴12AQM AHM ∠=∠， 可知AQM 外接圆的圆心为H ，∴2QH HA HM ===设(0,)Q t2，2t =2∴符合题意的点Q的坐标：(10,2Q、(20,2Q ．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与性质，勾股定理，将军饮马求线段和的最小值，三角形的外心，圆周角定理，正确作出图形是解题的关键．11．（1）211433y x x =-++；（2）3；（3）存在，点Q 的坐标为(1,3)或⎝⎭ 【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入解析式中求解即可；（2）由抛物线的表达式211433y x x =-++求出y 轴交点C 的坐标，利用待定系数法求得直线BC 的解析式，然后用m 表示出PQ ，利用三角函数求出PN =PQ cos45°，再利用二次函数的性质即可求解；（3）分三种情况：①当AC CQ =时，过点Q 作QE y ⊥轴于点E ．则222CQ CE EQ =+，即[]224(4)25m m +--+=；②当AC AQ =时，连结AQ ，则5AQ AC ==，在Rt AMQ △中，由勾股定理得：AQ 2=AM 2+QM 2=AC 2，即22[(3)](4)25m m --+-+=；③当CQ AQ =时，则EC 2+EQ 2=AM 2+QM 2,即()[]2222(3)(+44)4m m m m =--+--+⎡⎤+⎦-⎣，分别求解即可． 【解析】解：（1）∵抛物线24y ax bx =++交x 轴于3,0,()(,0)4A B -两点，∴将点A B 、的坐标代入抛物线表达934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的表达式为：211433y x x =-++；（2）∵抛物线的表达式211433y x x =-++，当x=0时，y=4，∴点(0,4)C ，设直线BC 的表达式为：y kx b =+；把点B C 、的坐标代入解析式得：404k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：14k b =-⎧⎨=⎩， 直线BC 的表达式为：4y x =-+；设点(,0)M m ，则点211,433P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，点4(),Q m m -+， 221114443333PQ m m m m m ∴=-+++-=-+， OB OC =，∴45ABC OCB ∠=∠=︒，∵PM ⊥x 轴，∴∠MQB =90°-∠CBO =90°-45°=45°，∴∠PQN =∠MQB =45°，∵PN ⊥BC ，∴45NPQ NQP ∠=∠=︒，22214222sin 452)33PN PQ m m m ⎫∴=︒=-+=-⎪⎝⎭， 206-<，开口向下，PN 有最大值， 当2m =时，PN 22 （3）存在，理由： 点A C 、的坐标分别为(3,0),(0,4)-，在△OAC 中由勾股定理有()2222-34AC OA OC +=+①当AC CQ =时，过点Q 作QE y ⊥轴于点E ．则222CQ CE EQ =+，∴222=CE EQ AC +即()224425m m ⎡⎤⎣-⎦+-+=， 解得：52m =（舍去负值），∴点Q ⎝⎭；②当AC AQ =时，连结AQ ，则5AQ AC ==，在Rt AMQ △中，由勾股定理得：AQ 2=AM 2+QM 2=AC 2即[]22(3)(4)25m m --+-+=，解得：1m =或0（舍去0），∴点()1,3Q ；③当CQ AQ =时，则EC 2+EQ 2=AM 2+QM 2,即()[]2222(3)(+44)4m m m m =--+--+⎡⎤+⎦-⎣， 解得：2542m =>（舍去）；综上，点Q 的坐标为(1,3)或822⎛- ⎝⎭．．【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式和直线解析式，两点距离公式，锐角三角函数，分类探究等腰三角形．勾股定理，掌握待定系数法求抛物线解析式和直线解析式，两点距离公式，锐角三角函数，分类探究等腰三角形．勾股定理，利用勾股定理构造方程是解题关键．12．（1）223y x x =--+；（2）y =x +3；（3）M （-1，2），【分析】（1）根据抛物线的对称轴可得12b a-=-，然后代入A （1,0），C （0，3）代入抛物线解析式03a b c c ++=⎧⎨=⎩解方程组即可； （2）利用（1）的函数解析式令y =0，解方程即可求出点B 坐标，再根据B 、C 坐标利用待定系数法求直线BC 的解析式即可；（3）由点A 与点B 是关于对称轴直线=1x -的对称点，直线BC 与对称轴直线=1x -的交点就是D （-1，2），由点M 在对称轴上，可得AM =BM ，由点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，点B ，点M ，点C 三点共线时最短，即点M 与点D 重合时，距离之和的最小值就是可得CM +AM =BC 的长，在Rt △BOC 中，由勾股定理得BC =32【解析】解：（1）依题意得:1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴223y x x =--+；（2）当y=0时2x 2x 30--+=解得123,1x x =-=∴点B （-3，0）由直线BC 的解析式为：y ＝mx+n ，代入B （﹣3，0），C （0，3）得：303m n n -+=⎧⎨=⎩， 解得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：y ＝x +3；（3）∵点A 与点B 是关于对称轴直线=1x -的对称点，∴直线BC 与对称轴直线=1x -的交点就是D 点，∴当=1x -时3y x =-1+3=2，∴D （-1，2），∵点M 在对称轴上，∴AM =BM ，点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，∴点B ，点M ，点C 三点共线时最短，即点M 与点D 重合时，点M （-1，2），∴距离之和的最小值就是CM +AM =CM+BM ＝ BC 的长，在Rt △BOC 中，由勾股定理得BC∴距离之和的最小值就是【点评】本题考查的是二次函数的综合运用，待定系数法求函数解析式，一次函数解析式，利用轴对称求最短路径以及M 坐标是解题关键．13．（1）直线x ＝1，（0，－1）；（2）见解析；（3）17-．【分析】（1）将抛物线解析式转化为顶点式解析式，得到对称轴，当0x =时，可解得抛物线与y 轴的交点坐标；（2）将y ＝x －2代入二次函数解析式，得到关于x 的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式解题即可；（3）将抛物线解析式转化为顶点式，得到对称轴为直线x ＝1，根据抛物线的图象与性质解题即可．【解析】解：（1）抛物线y ＝ax 2－2ax －12(1)1a x a =--- ，∴抛物线的对称轴为直线1x =，抛物线y ＝ax 2－2ax －1中，当0x =时，1y =-，∴抛物线与y 轴的交点坐标为：(0,1)-故答案为：直线x ＝1，(0,1)-；（2）将y ＝x －2代入二次函数解析式，得x －2 ＝ ax 2－2ax －1，则原方程可化为 ax 2－（2a ＋1）x ＋1＝0，由根的判别式可得2-4b ac ＝()222214441441a a a a a a ⎡⎤-+-=++-=+⎣⎦2410a +>0∴∆>∴直线y ＝x －2与抛物线y ＝ax 2－2ax －1（a ＜ 0）一定存在两个交点；（3）∵抛物线的开口向下，对称轴直线为x ＝1，顶点坐标为(1,1)a --，∴当－2≤x ≤2时，∵y 的最大值是1，∴顶点坐标为（1， 1），11a ∴--=2a ∴=-∴当x ＜ 1时，y 随x 的增大而增大，当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∵2x =-比2x =离对称轴1x =更远一些，即x ＝－2时，y 有最小值，∴最小值是22(2)2(2)(2)117y =-⨯--⨯-⨯--=-，即y 的最小值是 17-.【点评】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数与二次函数的交点问题，涉及二次函数的最值等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.14．（1）2343y x =；（2）直角三角形；（3）存在，点P 坐标为：151353,2⎛ ⎝⎭． 【分析】（1）把(3,33A -、(12,0)B 代入2y ax bx =+，利用待定系数法解题；（2）利用勾股定理的逆定理解题；（3）连接AB ，利用待定系数法解得直线AB 的解析式为：33y =-2343P x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，交AB 于点343N x x ⎛- ⎝，由三角形面积公式，结合二次函数的最值问题解题即可．【解析】解：（1）把(3,33A -、(12,0)B 代入2y ax bx =+，得9333144120a b a b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩①②， ①4⨯-②得，1083a -=-3a ∴= 把3a =①得 43b =343a b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为：2343y x =；（2）(0,0)O，(3,A -、(12,0)B(222336OA ∴=+=∣(222(123)108AB =-+=2212144OB ==22236108144OA AB OB +=+==OAB ∴△为直角三角形；（3）存在，连接AB ，OAB APB OAPB S S S =+△△四边形而OAB S 已确定，要使四边形OAPB S 面积最大，只需要APB S 最大即可，设直线AB 的解析式为(0)y kx b k =+≠，把点(3,A -、(12,0)B代入，得：3120k b k b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩解得：k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线AB的解析式为：y x =-设2P x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，交AB 于点N ，于是N x ⎛- ⎝，则2119922APB APB S PN S x x ⎡⎤⎫=⋅⋅==--⨯⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎝⎭⎣⎦△△2x =-当152x ==⎝⎭时，APB S 最大．2x x = ∴符合条件的点P坐标为：15,2⎛ ⎝⎭．【点评】本题考查二次函数与一次函数的综合题，涉及勾股定理逆定理、待定系数法求一次。
中考数学二次函数专题训练50题(含参考答案)
中考数学二次函数专题训练50题含答案一、单选题1．二次函数y ＝﹣2x 2﹣1图象的顶点坐标为（ ） A ．（0，0）B ．（0，﹣1）C ．（﹣2，﹣1）D ．（﹣2，1）2．下列函数图象不属于中心对称图形的是（ ） A ．20222023yxB ．220222023yx x C ．2023y =- D ．2022xy =-3．下列关系式中，属于二次函数的是（ ）A ．22y x =-B ．y =C ．31y x =-D ．1y x=4．若抛物线2(2)(2)=-≠y a x a 开口向上，则a 的取值范围是（ ） A ．2a <B ．2a >C ．a<0D ．0a >5．已知点1(4)y -，、2(1)y -，、353y ⎛⎫⎪⎝⎭，都在函数245y x x =--+的图象上，则123y y y 、、的大小关系为( )A ．123y y y >>B ．321y y y >>C ．213y y y >>D ．312y y y >> 6．在平面直角坐标系中，将抛物线221y x x =+-，绕原点旋转180°，所得到的抛物线的函数关系式是（ ） A ．221y x x =-+ B ．221y x x =--- C ．221y x x =-+-D ．221y x x =-++7．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过原点和第一、二、三象限，则（ ） A ．0,0,0a b c >>> B ．0,0,0a b c <<= C ．0,0,0a b c <D ．0,0,0a b c >>=8．二次函数241y mx x =-+有最小值3-，则m 等于（ ） A ．1B ．1-C ．1±D ．12±9．已知点 A （−1，a ），B （1，b ），C （2，c ）是抛物线 y = -2x + 2x 上的三点，则 a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a>c>bB ．b>a>cC ．b>c>aD ．c>a>b10．如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB →BC 方向运动，当点E 到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是25，则矩形ABCD的面积是（）A．235B．5C．6D．25411．如图，已知直线x=﹣1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，则①abc、①a﹣b+c、①a+b+c、①2a﹣b、①3a﹣b，其中是负数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y=（x﹣4）2+7B．y=（x+4）2+7C．y=（x﹣4）2﹣25D．y=（x+4）2﹣2513．若二次函数y=（x﹣k）2+m，当x≤2时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k=2B．k＞2C．k≥2D．k≤214．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：则方程ax2＋bx＋3＝0的根是（）A．0或4B．1或3C．-1或1D．无实根15．二次函数图像如图所示，下列结论：①0abc >，①20a b +=，①，①方程20ax bx c ++=的解是-2和4，①不等式20ax bx c ++>的解集是24-<<x ，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个16．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，有下列5个结论：①abc ＜0，①3a ﹣b ＝0，①a ＋b ＋c ＝0，①9a ﹣3b ＋c ＜0，①b 2﹣4ac ＞0.其中正确的有（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①17．将抛物线y=2x2向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式是（ ） A ．y=2（x+1）2B ．y=2（x ﹣1）2C ．y=2x2﹣1D ．y=2x2+118．如图为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，在下列说法中：①ac <0；①2a ﹣b=0；①当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；①方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=﹣1，x 2=3；①30a c +=；①对于任意实数m ，2am bm a b +≥+总是成立的．正确的说法有（ ）A ．2B ．3C ．4D ．519．如图是二次函数21y ax bx c =++，反比例函数2my x=在同一直角坐标系的图象，若y 1与y 2交于点A (4，yA )，则下列命题中，假命题是( )A ．当x ＞4时，12y y ＞B ．当1x <-时，12y y ＞C ．当12y y ＜时，0＜x ＜4D ．当12y y ＞时，x ＜020．如图是二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，对称轴为x =12， 且经过点（2，0），下列结论正确的是（ ）A ．abc ＞0B ．2-4ac<0bC ．a+b=1D ．当x ＞2或x ＜-1时，y ＜0二、填空题21．写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点(1，1)；①在第一象限内函数y 随自变量x 的增大而减少，则这个函数的表达式为__________． 22．抛物线()269y x =-++的顶点坐标是______． 23．抛物线244y x x =+-的对称轴是直线______． 24．抛物线y ＝－（x －1）2－2的顶点坐标是________．25．二次函数210y ax bx a =+≠-（）的图象经过点（1，1），则代数式1a b --的值为______． 26．将抛物线2yx 向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是______；27．若抛物线2y ax bx c =++与直线4y =的公共点的坐标是（1，4），（5，4），则这条抛物线的对称轴是直线____________．28．抛物线 245y x x =-+，当34x -≤≤时，y 的取值范围是___________ 29．已知二次函数21y mx x =+-的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是______．30．如图，抛物线2=23y x x --与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，过点B ，C 作一条直线l ． （1）ABC ∠的度数是______；（2）点P 在线段OB 上，且点P 的坐标为()2,0，过点P 作PM x ⊥轴，交直线l 于点N ，交抛物线于点M ，则线段MN 的长为______．31．如图，一段抛物线：y ＝﹣x （x ﹣3）（0≤x≤3），记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；如此进行下去，直至得C 13．若P （37，m ）在第13段抛物线C 13上，则m ＝_____．32．二次函数y ＝2x 2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的图象的解析式为_____．33．如图，直角梯形OABC 的直角顶点是坐标原点，边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上．OA ①BC ，D 是BC 上一点，BD =14OA AB =3，①OAB =45°，E ，F 分别是线段OA ，AB 上的两个动点，且始终保持①DEF =45°．设OE =x ，AF =y ，则y 与x 的函数关系式为_____．34．已知某抛物线上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是_____．35．已知点A(－3，m)在抛物线y ＝x 2＋4x ＋10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点的坐标为________．36．若二次函数()22212y x m x m m =-+-+-的图象关于y 轴对称，则m 的值为：________．此函数图象的顶点和它与x 轴的两个交点所确定的三角形的面积为：________.37．二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如表下列结论：①ac ＜0； ①当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小； ①当2x =时，5y =； ①3是方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0的一个根. 其中正确的结论是_________（填正确结论的序号）.38．如图所示，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象，下列结论中：0abc >①； 40a c +>②；③若t 为任意实数，则有2a bt at b -≥+； ④若函数图象经过点()2,1，则311222a b c ++=；⑤当函数图象经过()2,1时，方程210ax bx c ++-=的两根为1x ，212()x x x <，则1228x x -=-．其中正确的结论有______．39．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 上的动点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH ．则四边形EFGH 面积的最小值为___．40．如图，已知二次函数2y x 2x 3=-++的图象与y 轴交于点A ，MN 是该抛物线的对称轴，点P 在射线MN 上，连结PA ，过点A 作AB AP ⊥交x 轴于点B ，过A 作AC MN ⊥于点C ，连结PB ，在点P 的运动过程中，抛物线上存在点Q ，使QAC PBA ∠∠=，则点Q 的横坐标为______．三、解答题41．已知抛物线y =x 2+（b -2）x +c 经过点M （-1，-2b ）． （1）求b +c 的值．（2）若b =4，求这条抛物线的顶点坐标．42．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x 天（x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x （天）的利润为y （元），求y 与x （1≤x ≤14）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？43．我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“D 函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“D 点”根据该约定，完成下列各题．(1)在下列关于x 的函数中，是“D 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“D 函数”的打“×”，my x=（0m ≠）（_______）；31y x =-（_______）；2y x =（_______）．(2)若点A （1，m ）与点B （n ，4-）是关于x 的“D 函数”2y ax bx c =++（0a ≠）的一对“D 点”，且该函数的对称轴始终位于直线1x =的右侧，求a ，b ，c 的值或取值范围；(3)若关于x 的“D 函数”223y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数）同时满足下列两个条件：①0a b c ++=；①()()2230c b a c b a +-++<；求该“D 函数”截x 轴得到的线段长度的取值范围．44．（1）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A 为全程25km 的普通道路，路线B 包含快速通道，全程30km ，走路线B 比走路线A 平均速度提高50%，时间节省6min ，求走路线B 的平均速度；（2）如图，在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡，山坡CD 的坡度（或坡比）i ＝1：0.75，山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离CD ＝50m ，在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28°，居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内，求居民楼AB 的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（3）已知飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣32t2，求在飞机着陆滑行中最后4s滑行的距离．45．已知二次函数222y x x k=-+++与x轴的公共点有两个．求：()1求k的取值范围；()2当1k=时，求抛物线与x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标；()3观察图象，当x取何值时0y>？46．如图，抛物线245y x x=-++与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．(1)求出A、B、C三点的坐标；(2)将抛物线245y x x=-++图像x轴上方部分沿x轴向下翻折，保留抛物线与x轴的交点和x轴下方图像，得到的新图像记作M，图像M与直线y t=恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．若以EF为直径作圆，该圆记作图像N．①在图像M上找一点P，使得PAB的面积为3，求出点P的坐标；①当图像N与x轴相离时，直接写出t的取值范围．47．如图，在△ABC 中，AB=4，D 是AB 上的一点（不与点A、B 重合），DE①BC，交AC 于点E.设△ABC 的面积为S，△DEC 的面积为S'.（1）当D是AB中点时，求SS'的值；（2）设AD=x，SS'=y，求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）根据y的范围，求S-4S′的最小值．48．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣38x2+34x+3与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．（1）求直线BC的解析式；（2）过P作PM①x轴，交BC于M，当PM﹣CM的值最大时，求P的坐标和PM﹣CM的最大值；（3）如图2，将该抛物线向右平移1个单位，得到新的抛物线y1，过点P作直线BC 的垂线，垂足为E，作y1对称轴的垂线，垂足为F，连接EF，请直接写出当PEF是以PF为腰的等腰三角形时，点P的横坐标．49．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B．求：（1）点A 、B 的坐标；（2）抛物线的函数表达式；（3）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+BM 的最小值及点M 的坐标； （4）在抛物线对称轴上是否存在点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．50．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的图象过(03)A ，，()10B -，，0(3)C ，三点，顶点为P ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点G 在y 轴上，且OGB OAB ACB ∠+∠=∠，求AG 的长；(3)若//AD x 轴且D 在抛物线上，过D 作DE BC ⊥于E ，M 在直线DE 上运动，点N 在x 轴上运动，是否存在这样的点M 、N 使以A 、M 、N 为顶点的三角形与APD △相似若存在，请求出点M 、N 的坐标．参考答案：1．B【分析】根据二次函数的解析式特点可知其图象关于y 轴对称，可得出其顶点坐标．【详解】解：①221y x =-- ,①其图象关于y 轴对称，①其顶点在y 轴上，当0x =时，1y =-，所以顶点坐标为（0，﹣1），故选择：B.【点睛】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数y=ax 2+c 的图象关于y 轴对称是解题的关键．2．B【分析】分别根据一次函数图象，二次函数图象，常数函数的图象的对称性分析判断即可得解．【详解】解：A ．直线20222023y x 是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；B ．抛物线220222023y x x 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；C ．直线2023y =-是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；D ．直线2022x y =-是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，常数函数的图象，熟记各图形以及其对称性是解题的关键．3．A【分析】根据二次函数的定义进行解答即可．【详解】22y x =-符合二次函数的定义，故A 符合题意；y B 不符合题意； 31y x =-是一次函数，故C 不符合题意；1y x=中含自变量的代数式不是整式，不符合二次函数的定义，故D 不符合题意；故选A【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式()20y ax bx c a =++≠是解题的关键．4．B【分析】根据抛物线的开口向上，可得20a ->，进而即可求得a 的取值范围．【详解】解：①抛物线2(2)(2)=-≠y a x a 开口向上，①20a ->即2a >故选B【点睛】本题考查了二次函数2y ax =图象的性质，掌握0a >时，抛物线的开口向上是解题的关键．5．C【分析】根据函数解析式求出对称轴，在根据函数的性质求解即可；【详解】解：①245y x x =--+，①函数图像的对称轴是直线422x -=-=--，图象的开口向下， ①当<2x -时，y 随x 的增大而增大， 点353y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，关于对称轴的对称点是⎛⎫- ⎪⎝⎭317,3y ， ①17413-<-<-， ①213y y y >>；故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．6．D【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据旋转求出旋转后的抛物线顶点坐标，然后根据顶点式写出抛物线的解析式即可．【详解】解：①()222112y x x x =+-=+-，①抛物线的顶点坐标为()1,2--，①将抛物线221y x x =+-，绕原点旋转180︒后顶点坐标变为()1,2，1a =-，①旋转后的函数关系式为()221221y x x x =--+=-++．故选：D ．【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是求出旋转后抛物线的顶点坐标和a 的值．7．D【详解】试题分析：由题意得，二次函数经过原点可知，,又只经过第一，二，三象限，画图可知抛物线开口向上，对称轴在轴的负半轴，综合可知，故选D.考点：二次函数的对称轴及开口方向综合问题.8．A【分析】根据二次函数的最值公式列式计算即可得解．【详解】①二次函数241y mx x =-+有最小值3-， ①41634m m-=-， 解得1m =．故选A ．9．C【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y =-x 2+2x 的开口向下，对称轴为直线x =1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．【详解】解：①抛物线y =-x 2+2x =-（x -1）2+1，①抛物线y =-x 2+2x 的开口向下，对称轴为直线x =1，而A （-1，a ）离直线x =1的距离最远，B （1，b ）在直线x =1上，①b ＞c ＞a ，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．10．B【分析】易证△CFE ∽△BEA ，可得CF CE BE AB=，根据二次函数图象对称性可得E 在BC 中点时，CF 有最大值，列出方程式即可解题．【详解】若点E 在BC 上时，如图∵∠EFC +∠AEB ＝90°，∠FEC +∠EFC ＝90°，∴∠CFE ＝∠AEB ，∵在△CFE 和△BEA 中，90CFE AEB C B ︒∠=∠⎧⎨∠=∠=⎩， ∴△CFE ∽△BEA ，由二次函数图象对称性可得E 在BC 中点时，CF 有最大值，此时CF CE BE AB=，BE ＝CE ＝x ﹣52，即525522x y x -=-， ∴225()52y x =-， 当y ＝25时，代入方程式解得：x 1＝32（舍去），x 2＝72， ∴BE ＝CE ＝1，∴BC ＝2，AB ＝52， ∴矩形ABCD 的面积为2×52＝5； 故选B ． 【点睛】本题考查了二次函数顶点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出E 为BC 中点是解题的关键．11．B【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y 轴的交点判定系数符号,及运用一些特殊点解答问题.【详解】由抛物线的开口向下可得:a ＜0,根据抛物线的对称轴在y 轴左边可得:a ,b 同号，所以b ＜0,根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得:c ＞ 0,直线x ＝－1是抛物线y ＝ ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴，所以－b 2a＝－1,可得b ＝2a ,由图知，当x ＝－3时y ＜0,即9a －3b ＋c ＜ 0,所以9a －6a ＋c ＝3a ＋c ＜0,因此①abc ＞0;①a －b ＋c ＝a －2a ＋c ＝c －a ＞ 0;①a ＋b ＋c ＝ a ＋2a ＋c ＝3a ＋c ＜ 0;①2a －b ＝2a － 2a ＝ 0;①3a －b ＝3a － 2a ＝ a ＜0所以①①小于0,故负数有2个，故答案选B.【点睛】本题主要考查了结合图形判断抛物线方程的系数，解本题的要点在于熟知抛物线的基本性质.12．C【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．【详解】y =x 2-8x -9=x 2-8x +16-25=（x -4）2-25．故选C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．13．C【详解】试题分析：根据二次函数的增减性可得：当x≤k 时，y 随x 的增大而减小，则k≥2．考点：二次函数的性质14．B【分析】将（0，2）（3，-1）（4，2）代入到二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，分别求出a 、b 的值，即可求出方程的解.【详解】由题意得：29311642c a b c a b c =⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得：142a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩①方程230ax bx ++=为2430x x -+=(1)(3)0x x --=解得：121,3x x ==故选B【点睛】本题考查二次函数抛物线与坐标轴的交点以及待定系数法函数解析式和一元二次方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.15．C【详解】试题分析： ①抛物线开口向上，①0a >，①抛物线对称轴为直线2b x a =-=1，①0b <，①抛物线与y 轴交点在x 轴下方，①0c <，①0abc >，所以①正确； ①2b x a=-=1，即2b a =-，①20a b +=，所以①正确； ①抛物线与x 轴的一个交点为（﹣2，0），而抛物线对称轴为直线x=1，①抛物线与x 轴的另一个交点为（4，0），①当3x =时，0y <，①，所以①错误． ①抛物线与x 轴的两个交点为（﹣2，0），（4，0），①方程20ax bx c ++=的解是-2和4，①①正确；由图像可知：不等式20ax bx c ++>的解集是24-<<x ，①①正确．①正确的答案为：①①①①．故选C ．考点：二次函数图象与系数的关系．16．B【分析】根据二次函数的图像和性质逐一进行判断即可【详解】解：①抛物线开口朝下，①a ＜0，①对称轴x =3-22b a=- ①b =3a ＜0，①3a ﹣b ＝0，故①正确；①抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，①c ＞0，①abc ＞0，故①错误；①抛物线的对称轴x =3-2，与x 轴的一个交点为（-4，0）， ①抛物线与x 轴的一个交点为（1，0），①a +b +c =0，故①正确；根据图象知道当x =-3时，y =9a -3b +c ＞0，故①错误；根据图象知道抛物线与x 轴有两个交点，①b 2-4ac ＞0，故①正确．①正确答案为：①①①．故选：B【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．17．B【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．【详解】二次函数y=2x 2的图象向右平移1个单位，得：y=2（x-1）2，故选B ．【点睛】本题考查了函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．18．D【分析】根据二次函数系数与图像性质，二次函数与方程，二次函数与不等式之间的关系判断每一个结论，从而得出答案．【详解】①由图像可知，抛物线的开口向上，①a ＞0，①抛物线与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，①c ＜0，①ac ＜0，故此选项正确；①由图像可知，对称轴为x=1， ①12b x a=-=， ①-b=2a ，①2a+b=0，故此选项错误；①当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故此选项正确；①由图像可知，方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=﹣1，且对称轴为x=1， ①1212x x +=， ①2122(1)3x x =-=--=，故此选项正确；①由①可知，12133c x x a==-⨯=-， 3c a ∴=-，30a c ∴+=，故此选项正确；①由图像可知，抛物线的顶点坐标为(1,)a b c ++，∴当x=1时，二次函数y=ax 2+bx+c 有最小值a+b+c ，∴2ax bx c a b c ++≥++，当x=m 时，则有2am bm c a b c ++≥++，∴2am bm a b +≥+，故此选项正确；①正确的说法有①①①①①共5个．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、方程、不等式之间的知识点，要掌握如何利用图像上的信息确定字母系数的范围，并记住特殊值的特殊用法，如x=1，x=-1时对应的y 值是解题的关键．19．D【分析】结合图形、利用数形结合思想解答．【详解】由函数图象可知，当x ＞4时，y 1＞y 2，A 是真命题；当x ＜-1时，y 1＞y 2，C 是真命题；当y 1＜y 2时，0＜x ＜4，C 是真命题；y 1＞y 2时，x ＜0或x ＞4，D 是假命题；故选D ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．20．D【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y 轴交点位置求得a 、b 、c 的符号；根据对称轴求出b=-a ；把x=2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关. ．【详解】：①二次函数的图象开口向下，①a<0，①二次函数的图象交y 轴的正半轴于一点，①c>0，①对称轴是直线x=12，①−2b a =12， ①b=−a>0，①abc<0.故A 错误；①抛物线与x 轴有两个交点，①b 2-4ac>0, 故B 错误①b=−a ，①a+b=0，故C 错误；故答案选D【点睛】本题考查的知识点是二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图像与系数的关系.21．1y x= 【分析】根据反比例函数、一次函数以及二次函数的性质作答． 【详解】解：该题答案不唯一，可以为1y x=等． 故答案为：1y x =． 【点睛】本题考查的是反比例函数、一次函数以及二次函数的性质，熟知函数的增减性是解答此题的关键．22．()6,9-【分析】直接根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【详解】解：()269y x =-++的顶点为()6,9-， 故答案为：()6,9-．【点睛】本题考查了抛物线顶点式解析式的顶点坐标，解题关键是理解抛物线()()20y a x h k a =-+≠的顶点坐标为()h k ，． 23．2x =-【分析】将题目的解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的对称轴，本题得以解决．【详解】解：①抛物线2244(2)8y x x x =+-=+-，①该抛物线的对称轴是直线2x =-，故答案为：2x =-．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．24．(1，－2)【分析】对于二次函数的顶点式()2y a x h k =-+,顶点坐标为()h k ，． 【详解】由y ＝－（x －1）2－2，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为()12-，故答案为：()12-，． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标；对于二次函数的顶点式()2y a x h k =-+,顶点坐标为()h k ，，掌握顶点式是解题的关键．25．-1【详解】①二次函数y=ax2+bx−1(a≠0)的图象经过点(1，1)，①a+b−1=1，①a+b=2，①1−a−b=1−(a+b)=1−2=−1.故答案为-1.26．()22y x =+或244y x x =++【分析】根据函数的平移规律：左加右减；上加下减即可求解．【详解】解：①抛物线2y x 向左平移2个单位，①平移后抛物线的解析式为()22y x =+故答案为：()22y x =+【点睛】本题考查了抛物线的平移变换，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键． 27．x =3【分析】因为点（1，4），（5，4）的纵坐标都为4，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x =122x x +求解即可．【详解】解：抛物线2y ax bx c =++与直线4y =的公共点的坐标是（1，4），（5，4）， ①两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x =1532+=，即x =3． 故答案为：3．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的平行线交点问题．掌握抛物线的性质，会利用关于对称轴对称的两点坐标求对称轴是解题关键．28．126y ≤≤【分析】先化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：①2245(2)1y x x x =-+=-+，①抛物线开口向上，对称轴为直线=2x ，函数有最小值1，当3x =-时，26y =，当=4x 时， 5.y =，①当34x -≤≤时，y 的取值范围是126y ≤≤；故答案为：126y ≤≤．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．29．14m >-且0m ≠ 【分析】根据题意可得0m ≠，且判别式0∆>，求解不等式即可．【详解】解：①二次函数21y mx x =+-的图象与x 轴有两个交点①0m ≠，且判别式240b ac ∆=->①14(1)0m ∆=-⨯⨯->，0m ≠ 解得14m >-且0m ≠ 故答案为：14m >-且0m ≠ 【点睛】此题考查了二次函数的定义以及二次函数与x 轴交点问题，掌握二次函数的定义以及性质是解题的关键．30． 45°； 2【分析】（1）分别求出A,B,C 的坐标，得到OB OC =，故可求解；（2）先求出直线l 的解析式，再得到M,N 的坐标即可求解．【详解】（1）当0y =时，2230x x --=，解得11x =-，23x =，①点A 在点B 的左侧， ①点A 坐标为()1,0-，点B 坐标为()3,0．当0x =时，=3y -，①点C 坐标为()0,3-，①OB OC =，①=45ABC ∠︒．（2）设直线l 的函数表达式为y kx b =+，根据题意得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， ①直线l 的函数表达式为3y x =-；当2x =时，31=-=-y x ，①点N 的坐标为2,1；当2x =时，22232433=--=--=-y x x ，①点M 的坐标为()2,3-；①()132=---=MN ．故答案为：45°；2．【点睛】此题主要考查二次函数与一次函数综合，解题的关键是求出各点坐标． 31．m=2【分析】根据图像的旋转变化规律及二次函数的平移规律得出平移后的解析式，进而即可求值．【详解】①一段抛物线：y ＝﹣x （x ﹣3）（0≤x≤3），①点O （0,0），A 1（3,0）①将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；如此进行下去，直至得C 13．①C 13的解析式与x 轴的坐标为（36,0）、（39,0）①C 13的解析式为：y ＝﹣（x －36）（x －39）当x ＝37时，m=y ＝﹣1×（﹣2）＝2故答案为：2【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，解题的关键是得出二次函数平移后的解析式．32．y ＝2（x+2）2﹣5【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y ＝2x 2的图象向左平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y ＝2（x+2）2，即y ＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y ＝2（x+2）2向下平移5个单位长度所得抛物线的解析式为：y ＝2（x+2）2﹣5，即y ＝2（x+2）2﹣5．故答案为：y ＝2（x+2）2﹣5．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．33．213y x x =【分析】首先过B 作x 轴的垂线，设垂足为M ，由已知易求得OA Rt①ABM 中，已知①OAB 的度数及AB 的长，即可求出AM 、BM 的长，进而可得到BC 、CD 的长，再连接OD ，证①ODE ①①AEF ，通过得到的比例线段，即可得出y 与x 的函数关系式．【详解】解：过B 作BM ①x 轴于M ．在Rt①ABM 中，①AB =3，①BAM =45°，①AM =BM =2， ①BD =14OA ，OA ∴=，①BC =OA﹣AM =，CD =BC ﹣BD ，①D ，3OD ∴== ． 连接OD ，则点D 在①COA 的平分线上，所以①DOE =①COD =45°．又①在梯形DOAB 中，①BAO =45°，①由三角形外角定理得：①ODE =①DEA ﹣45°，又①AEF =①DEA ﹣45°，①①ODE=①AEF ，①①ODE ①①AEF ，OE OD AF AE∴= 即x y =①y 与x 的解析式为：213y x =-．故答案为：213y x =-．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．34．（1，﹣4）【分析】根据二次函数的对称性求得对称轴，进而根据表格的数据即可得到抛物线的顶点坐标．【详解】①抛物线过点（0，﹣3）和（2，﹣3），①抛物线的对称轴方程为直线x＝022+＝1，①当x＝1时，y＝﹣4，①抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；故答案为（1，﹣4）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．35．(－1，7)【详解】先根据抛物线上点的特点求出点A的坐标，再利用抛物线的对称性即可得出答案.解：把点A(－3，m)代y＝x2＋4x＋10得，m＝(-3)2＋4×(-3)＋10=7,①点A(－3，7),①对称轴42 22ba-=-=-，①点A(－3，7)关于对称轴x＝2的对称点坐标为（－1，7）.故答案为（－1，7）.36．11【分析】由图象关于y轴对称可知对称轴为x=0，由此可求解m的值；代入m值后，分别求解抛物线与x 轴的两个交点以及与y 轴的交点，利用三角形面积公式计算三角形面积.【详解】①图象关于y 轴对称，①对称轴为x=0， ①()211022m b m a --=-=-=- 解得m=1，代入原方程得：21y x =-+当y=0时，210x -+=，x=±1，当x=0时，y=1，则S △=2112⨯=. 【点睛】本题考查了二次函数对称轴及其与x 、y 轴的交点.37．①①①．【详解】试题解析：①x =-1时y =-1，x =0时，y =3，x =1时，y =5，①1{35a b c c a b c -+-++＝＝＝，解得1{33a b c -＝＝＝，①y =-x 2+3x +3，①ac =-1×3=-3＜0，故①正确；对称轴为直线x =-33212=⨯-（）， 所以，当x ＞32时，y 的值随x 值的增大而减小，故①错误； 当x =2时，y =-4+4+3=3；故①正确.方程为-x 2+2x +3=0，整理得，x 2-2x -3=0，解得x 1=-1，x 2=3，所以，3是方程ax 2+（b -1）x +c =0的一个根，正确，故①正确.综上所述，结论正确的是①①①．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．38．①①①【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及二次函数与一元二次方程的关系综合进行判断即可．【详解】解：由抛物线开口向上，因此0a >， 对称轴是直线12b x a=-=-，因此a 、b 同号，所以0b >， 抛物线与y 轴的交点在负半轴，因此0c <． ，所以0abc <，故①不正确； 由对称轴12b x a=-=-可得2b a =， 由图象可知，当1x =时，0y a b c =++>，即20a a c ++>，30a c ∴+>，又0a >，40a c ∴+>，因此①正确；当=1x -时，y a b c =-+最小值，∴当()1x t t =≠-时，2a b c at bt c -+<++，即2a bt at b -<+，x t ∴=（t 为任意实数）时，有2a bt at b -≤+，因此①不正确；函数图象经过点()2,1，即421a b c ++=，而2b a =，231a b c ∴++=，311222a b c ∴++=， 因此①正确；当函数图象经过()2,1时，方程21ax bx c ++=的两根为1x ，212()x x x <，而对称轴为=1x -， 14x ∴=-，22x =，122448x x ∴-=--=-，因此①正确；综上所述，正确的结论有：①①①，故答案为：①①①．【点睛】本查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标与系数a 、b 、c 的关系以及二次函数与一元二次方程的根的关系是正确判断的前提． 39．8【分析】由已知可证明①AHE ①①BEF ①①CFG ①①DGH （SAS ），再证明四边形EFGH 是正方形，设AE ＝x ，则AH ＝DG ＝BE ＝CF ＝4﹣x ，在Rt①EAH 中，由勾股定理得EH 2＝x 2+（4﹣x ）2，所以S 四边形EFGH ＝EH 2＝2（x ﹣2）2+8，可知当x ＝2时，S 四边形EFGH 有最小值8，【详解】解：设AE ＝x ，则AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x ，①正方形ABCD ，边长为4，①AH ＝DG ＝BE ＝CF ＝4﹣x ，①A =①B =①C =①D =90°①①AHE ①①BEF ①①CFG ①①DGH （SAS ），①①AEH +①BEF ＝90°，①EFB +①GFC ＝90°，①FGC +①HGD ＝90°，①①HEF ＝①EFG ＝①FGH ＝90°，①EF ＝EH ＝HG ＝FG ，①四边形EFGH 是正方形，在Rt ①EAH 中，EH 2＝AE 2+AH 2，即EH 2＝x 2+（4﹣x ）2，①S 四边形EFGH ＝EH 2＝2x 2﹣8x +16＝2（x ﹣2）2+8，当x ＝2时，S 四边形EFGH 有最小值8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质和二次函数的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.40．53【分析】通过作辅助线，连接CO ，过点Q 作AC 的垂线交AC 延长线于点D ，先证明AOB 与ACP 相似，得到ABP AOC ∠∠=，再证QDA 与CAO 相似，设出点Q 的坐标，通过相似比即可求出点Q 坐标．【详解】如图，连接CO ，过点Q 作AC 的垂线交AC 延长线于点D ，。
中考数学专项培优训练--二次函数面积最值问题(含解析)
二次函数几何动点问题（含解析）一、面积最大值问题1.（2020九上·休宁月考）如图，已知二次函数的图象经过点、和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；（3）当点P在直线OA的上方时，求的最大面积．2.（2021·芜湖模拟）如图，抛物线与直线相交于点，，且这条抛物线的对称轴为．（1）若将该抛物线平移使其经过原点，且对称轴不变，求平移后的抛物线的表达式及k的值：（2）设P为直线下方的抛物线上一点，求面积的最大值及此时P点的坐标．3.（2020九上·寻乌期末）已知二次函数的图象的对称轴是直线，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标是．（1）请在平面直角坐标系内画出示意图，并根据图象直接写出时x的取值范围；（2）求此图象所对应的函数关系式；（3）若点P是此二次函数图象上位于x轴上方的一个动点，求面积的最大值．4.（2020九上·瑶海月考）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（-1，0），且对称轴为直线x=1（1）求该抛物线的解析式；（2）点M是第四象限内抛物线上的一点，当△BCM的面积最大时，求点M的坐标；5.（2020·洞头模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．6.（2020九上·山亭期末）己知:如图，抛物线与坐标轴分别交于点，点是线段上方抛物线上的一个动点，（1）求抛物线解析式:（2）当点运动到什么位置时，的面积最大?7.（2020九上·旬阳期末）已知抛物线经过点，，与y轴交于点C.（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值.8.（2020九上·永年期末）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（）和B（4，6），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当C为抛物线顶点的时候，求的面积.（3）是否存在这样的点P，使的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由.二、等腰三角形问题9.（2020九上·呼和浩特期中）如图，抛物线y= +bx+c的对称轴为x=﹣1，该抛物线与x轴交于A、B 两点，且A点坐标为（1，0），交y轴于C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并予证明．（3）在对称轴上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10.（2020·肇东模拟）如图，抛物线与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB，点C为线段AB上的一个动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，设C点的横坐标为m，线段CD长度为d（d≠0）．求d与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接AD，是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．三、直角三角形问题11.（2020九下·扎鲁特旗月考）如图，二次函数的图象经过点，直线与y轴交于点为二次函数图象上任一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点E是直线上方抛物线上一点，过E分别作和y轴的垂线，交直线于不同的两点在G的左侧)，求周长的最大值；（3）是否存在点E，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求点E的坐标；如果不存在，请说明理由．12.（2020九上·芦淞期末）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）点P是（1）中的抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3）．①求△PCD的面积的最大值；②是否存在点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．13.（2020九上·泉州期中）如图，直线交轴于点，交轴于点B，抛物线的顶点为，且经过点．（1）求该抛物线所对应的函数表达式；（2）点是抛物线上的点，是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．四、平行四边形问题14.（2019九上·武威期中）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣3交于，B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D.（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.15.（2020九上·广丰期末）如图二次函数的图像交轴于、，交轴于，直线平行于周，与抛物线另一个交点为.（1）求函数的解析式；（2）若是轴上的动点，是抛物线上的动点，求使以、、、为顶点的四边形是平行四边形的的横坐标.16.（2020九上·桐城期末）已知直线y＝kx＋b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y＝x2相交于B、C两点．（1）如图，当点C的横坐标为1时，求直线BC的表达式；（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、综合题1.【答案】（1）设，把A点坐标代入得：，∴二次函数的解析式是（2），轴，P在上，∴，∵点，∴直线OA的解析式为y=x，又点C在直线OA上，∴点C（m，m）当点P在直线OA的上方时，，，，，开口向下，当m= 时，PC有最大值，即当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是．（3）∵A点坐标，且PC有最大值，∴．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）由题意可知，易求得直线OA 的解析式，可得点，由= ，利用二次函数最值求法求解即可；（3）根据点A坐标和PC的最大值即可求解．2.【答案】（1）解：抛物线过点，，且这条抛物线的对称轴为．代入得，解得．∴抛物线为．∵该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，∴平移后的抛物线为．将代入得．（2）解：如图，过P作轴，交于Q．设，则，则．∴．∵∴当时，的面积最大，，当t=2时，∴．【解析】【分析】利用待定系数法求一次函数的解析式和二次函数式的解析式。
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二次函数与最值问题1.如图,二次函数y=－x2＋2(m－2)x＋3的图象与x、y轴交于A、B、C三点,其中A(3,0),抛物线的顶点为D.(Ⅰ)求m的值及顶点D的坐标;(Ⅱ)当a≤x≤b时,函数y的最小值为74,最大值为4,求a,b应满足的条件;(Ⅲ)在y轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?如果存在,求出符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.解:(Ⅰ)把A(3,0)代入y=－x2＋2(m－2)x＋3,得－9＋6(m－2)＋3=0,解得m=3,则二次函数为y=－x2＋2x＋3,∵y=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4, ∴顶点D的坐标为(1,4);(Ⅱ)把y=74代入y=－x2＋2x＋3中,得74=－x2＋2x＋3,解得x1=－12,x2=25,又∵函数y的最大值为4,顶点D的坐标为(1,4), 结合图象知－12≤a≤1.当a=－12时,1≤b≤25,当－12＜a≤1时,b=25;(Ⅲ)存在点P,使得△PDC是等腰三角形, 当x=0时,y=3,∴点C坐标为(0,3).当△PDC是等腰三角形时,分三种情况:①如解图①,当DC=DP时,由抛物线的对称性知:点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称,∴点P坐标为(2,3);②如解图②,当PC=PD时,则线段CD的垂直平分线l与抛物线的交点即为所求的点P,过点D作x轴的平行线交y轴于点H,过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥DH的延长线于点N,∵HD=HC=1,PC=PD,∴HP是线段CD的垂直平分线.∵HD=HC,HP⊥CD,∴HP平分∠MHN,∵PM⊥y轴于点M,PN⊥HD的延长线于点N, ∴PM=PN.设P(m,－m2＋2m＋3),则m=4－(－m2＋2m＋3),解得m=253,∴点P的坐标为(253－,255＋)(解图中未标记此点)或(253＋,255－);③如解图③,当CD=CP时,点P在y轴左侧,不符合题意.综上所述,所求点P的坐标为(2,3)或(253－,255＋)或(253＋,255－).图① 图② 图③第1题解图2.已知抛物线y =ax 2＋bx ＋c (a <0)过(m ,b ),(m ＋1,a )两点, (Ⅰ)若m =1,c =1,求抛物线的解析式;(Ⅱ)若b ≥a ,求m 的取值范围;(Ⅲ)当b ≥a ,m ＜0时,二次函数y =ax 2＋bx ＋c 有最大值－2,求a 的最大值.解:(Ⅰ)∵m =1,c =1,∴抛物线的解析式为y =ax 2＋bx ＋1(a <0)过(1,b ),(2,a )两点,∴1421a b b a b a++=⎧⎨++=⎩, 解得11a b =-⎧⎨=⎩, ∴抛物线的解析式为y =－x 2＋x ＋1;(Ⅱ)依题意得22(1)(1)am bm c b a m b m c a ⎧++=⎪⎨++++=⎪⎩①②,由②－①得b=－am,∵b≥a,∴－am≥a,∵a＜0,∴m≥－1;(Ⅲ) 由(Ⅱ)得b=－am,代入①得am2－am2＋c=b,∴c=b=－am,∵b≥a,m＜0,∴－1≤m＜0,∵二次函数y=ax2＋bx＋c有最大值－2,∴244ac ba=－2,∴8a=m2＋4m,∴8a= (m＋2)2－4,∵－1≤m＜0,∴－3≤(m＋2)2－4＜0,∴a≤－8 3 ,∴a的最大值为－8 3 .3.平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2－2m2x＋2交y 轴于A点,交直线x=4于B点.(Ⅰ)求抛物线的对称轴(用含m的代数式表示);(Ⅱ)若AB∥x轴,求抛物线的解析式;(Ⅲ)若抛物线在A,B之间的部分任取一点P(x p,y p),一定满足y p≤2,求m的取值范围.∴抛物线的对称轴为直线x=m;(Ⅱ)当x=0时,y=mx2－2m2x＋2=2,∴点A(0,2).∵AB∥x轴,且点B在直线x=4上,∴点B(4,2),抛物线的对称轴为直线x=2,∴m=2,∴抛物线的解析式为y=2x2－8x＋2;(Ⅲ)当m＞0时,如解图①,∵A(0,2),∴要使0≤x p≤4时,始终满足y p≤2,只需使抛物线y=mx2－2m2x＋2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧.∴m≥2;当m＜0时,如解图②,m＜0时,y p≤2恒成立.综上所述,m的取值范围为m＜0或m≥2.第3题解图4.已知抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为(2,5),且与y轴交于点C(0,1).(Ⅰ)求抛物线的表达式;(Ⅱ)若－1≤x≤3,试求y的取值范围;(Ⅲ)若M(n2－4n＋6,y1)和N(－n2＋n＋74,y2)是抛物线上的不重合的两点,试判断y1与y2的大小,并说明理由.解:(Ⅰ)∵抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为(2,5),∴设抛物线的表达式为:y=a(x－2)2＋5,把(0,1)代入得:a(0－2)2＋5=1,a=－1,∴抛物线的表达式为:y=－(x－2)2＋5=－x2＋4x＋1; (Ⅱ)∵抛物线的顶点为(2,5),a=－1,对称轴为直线x=2,且－1≤x≤3,∴当x=－1时,y有最小值,最小值为y=－(－1－2)2＋5=－4,当x=2时,y有最大值,最大值为y=5,∴y的取值范围是－4≤y≤5;∴点M在抛物线对称轴右侧,点N在抛物线对称轴左侧,∵在抛物线对称轴右侧,y随x的增大而减小,5.已知抛物线y=ax2＋bx＋c与直线y=mx＋n相交于两点,中a,b,c,m,n为实数,且a,m不为0.(Ⅰ)求c的值;(Ⅱ)求证:抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴有两个交点; (Ⅲ)当－1≤x≤1时,设抛物线y=ax2＋bx＋c上与x轴距离最大的点为P(x0,y0),求这时|y0|的最小值.把点(m－b,m2－mb＋n)代入抛物线,得:)＋c=m2－mb＋na(m－b)2＋b(m－b∴a(m－b)2＋b(m－b)=m2－mb,am2－2abm＋ab2＋bm－b2－m2＋mb=0,(a－1)m2－(a－1)•2bm＋(a－1)b2=0,(a－1)(m2－2bm＋b2)=0,(a－1)(m－b)2=0,若不合, ∴a =1,∴抛物线y =ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个交点;的纵坐标为H ,在x 轴下方与x 轴距离最大的点的纵坐标为h ,大的点是(1,y0),在x轴下方与x轴距离最大的点是(－1,y0),h|,∴|H|＞|距离最大的点是(1,y0),当b=0时等号成立,在x轴上方与x轴距离最大的点是(－1,y0),大的点是(－1,y0),在x轴下方与x轴距离最大的点是(1,y0),∴|H|＞|h|,6.在平面直角坐标系中,直线l:y=x＋3与x轴交于点A,抛物线C:y=x2＋mx＋n的图象经过点A.(Ⅰ)当m=4时,求n的值;(Ⅱ)设m=－2,当－3≤x≤0时,求二次函数y=x2＋mx＋n 的最小值;(Ⅲ)当－3≤x≤0时,若二次函数y=x2＋mx＋n时的最小值为－4,求m、n的值.解:(Ⅰ)当y=x＋3=0时,x=－3,∴点A的坐标为(－3,0).∵二次函数y=x2＋mx＋n的图象经过点A,∴0=9－3m＋n,即n=3m－9,∴当m=4时,n=3m－9=3;当m=－2时,对称轴为x=1,n=3m－9=－15,∴当－3≤x≤0时,y随x的增大而减小,15.∴当x=0时,二次函数y=x2＋mx＋n取得最小值,最小值为－在－3≤x≤0范围内,y随x的增大而增大,当x=－3时,y取得最小值0,不符合题意;∵二次函数最小值为－4,解得:23m n -⎧⎨⎩＝＝或1021m n ⎧⎨⎩＝＝(舍去), ∴m =2,n =－3;减小,当x =0时,y 取最小值,即n =－4,∴4930n m n --+⎧⎪⎨⎪⎩＝＝,综上所述:m=2,n=－3.7.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2－2x＋c(c为常数)的对称轴为x=1.(Ⅰ)当c=－3时,点(x1,y1)在抛物线y=x2－2x＋c上,求y1的最小值;B左侧,且(Ⅱ)若抛物线与x轴有两个交点,点A在点(Ⅲ)当－1＜x＜0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,求c的取值范围.解:(Ⅰ)当c=－3时,抛物线为y=x2－2x－3,∴抛物线开口向上,有最小值,∴y 1的最小值为－4;(Ⅱ)抛物线与x 轴有两个交点,①当点A 、B 都在原点的右侧时,如解图①,∴B(2m ,0),∵二次函数y =x 2－2x ＋c 的对称轴为x =1,∵点A 在抛物线y =x 2－2x ＋c 上,②当点A在原点的左侧,点B在原点的右侧时,如解图②,∴B(2n,0),由抛物线的对称性得n＋1=2n－1,解得n=2,∴A(－2,0),∵点A在抛物线y=x2－2x＋c上,∴0=4＋4＋c,解得c=－8,此时抛物线的解析式为y=x2－2x－8,(Ⅲ)∵抛物线y=x2－2x＋c与x轴有公共点,∴对于方程x2－2x＋c=0,判别式b2－4ac=4－4c≥0,∴c≤1.当x=－1时,y=3＋c;当x=0时,y=c,∵抛物线的对称轴为x=1,且当－1＜x＜0时,抛物线与x 轴有且只有一个公共点,∴3＋c＞0且c＜0,解得－3＜c＜0,综上,当－1＜x＜0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点时,c的取值范围为－3＜c＜0.第7题解图8.已知抛物线y=(m－1)x2＋(m－2)x－1与x轴交于A、B 两点.(Ⅰ)求m的取值范围;(Ⅱ)若m ＜0,且点A 在点B 的左侧,OA :OB =3:1,试确定抛物线的解析式;(Ⅲ)设(Ⅱ)中抛物线与y 轴的交点为C ,过点C 作直线l ∥x 轴,将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象.当直线y ＝－x ＋b 与新图象只有一个公共点P (x 0,y 0)且 y 0≥－5时,求b 的取值范围.解:(Ⅰ)∵抛物线y =(m －1)x 2＋(m －2)x －1与x 轴交于A 、B 两点,∴()210241)0(m m m -≠-+⎩-⎧⎨＞①②, 由①得m ≠1,由②得m ≠0,∴m 的取值范围是m ≠0且m ≠1;(Ⅱ)∵点A 、B 是抛物线y =(m －1)x 2＋(m －2)x －1与x轴的交点,∴令y=0,即 (m－1)x2＋(m－2)x－1=0.∵m＜0,∵点A在点B左侧,∵OA:OB=3:1,∴m＝－2.∴抛物线的解析式为y＝－3x2−4x−1.(Ⅲ)∵点C是抛物线y＝－3x2−4x−1与y轴的交点,∴点C的坐标为(0,－1).依题意翻折后的图象如解图所示.令y=－5,即－3x2−4x−1＝－5.∴新图象经过点D(－2,－5).当直线y＝－x＋b经过D点时,可得b=－7.当直线y＝－x＋b经过C点时,可得b=－1.当直线y＝－x＋b(b＞−1)与函数y＝－3x2−4x−1的图象仅有一个公共点P(x0,y0)时,得－x0＋b＝－3x02−4x0−1. 整理得 3x02＋3x0＋b＋1＝0.结合图象可知,符合题意的b的取值范围为－7≤b＜－1或b＞−1.4第8题解图9.如图,已知c＜0,抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点(x2＞x1),与y轴交于点C.(Ⅰ)若x2=1,BC=5,求函数y=x2＋bx＋c的最小值; (Ⅱ)过点A作AP⊥BC,垂足为P(点P在线段BC上),AP 交y轴于点M.若OA=2,求抛物线y=x2＋bx＋c顶点的纵OM坐标随横坐标变化的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围.第9题图解:(Ⅰ)∵x 2=1,∴OB =1, ∵BC =5, ∴OC =22BC OB =2,∴C (0,－2),把B (1,0),C (0,－2)代入y =x 2＋bx ＋c ,得:0=1＋b －2, 解得:b =1,∴抛物线的解析式为:y =x 2＋x －2. 转化为y =(x ＋12)2－94;(Ⅱ)∵∠OAM ＋∠OBC =90°,∠OCB ＋∠OBC =90°, ∴∠OAM =∠OCB ,又∵∠AOM =∠BOC =90°,∴△AOM ∽△COB ,抛物线的解析式为:y =x 2＋bx ＋c ,其顶点坐标为(－BC上的x最小取值,使P、C、M重合,满足点P在线段根据根与系数的关系,对于x2＋bx＋c=0,由c=2b－4,解得c=－1,∴顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式为:y=－x2。