专题05 等式与不等式的性质(学生版)

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数学-等式性质与不等式性质

等式性质与不等式性质高中数学　1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．导语同学们，2008年你们也就刚出生不久，但是08年北京奥运会注定已成为举世瞩目的一届奥运会，没有之一，其场面气势恢宏、美轮美奂、激动人心，世界都把目光聚焦到北京，反映出中国经济发展的高水平和快速度，一个开放的中国正在向世界展露出新的姿态，使得中国对世界更加开放，世界各国进一步认识和了解中国这个亚洲强国，有人说北京奥运会超过已经举办的任何一届奥运会！在刚才这一段话中，大家能发现有哪些不等关系吗？(条件允许可提前播放中国队夺冠视频或播放北京奥运会主题曲《我和你》)一、等式性质与不等式的性质问题　判断下列命题是否正确？(1)如果a ＝b ，那么b ＝a ；(2)如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；(3)如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；(4)如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；(5)如果a ＝b ，c ≠0，那么＝.ac bc 提示　以上均正确，这些都是等式的基本性质．知识梳理不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a >b ⇔b <a ⇔2传递性a >b ，b >c ⇒a >c 不可逆3可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c 可逆4可乘性a >b ，c >0⇒ac >bc a >b ，c <0⇒ac <bc c 的符号5同向可加性a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d 同向6同向同正可乘性a >b >0，c >d >0⇒ac >bd 同向7可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)同正例1　对于实数a ，b ，c ，下列命题中的真命题是( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a >b >0，则>1a 1bC ．若a b a abD ．若a >b ，>，则a >0，b <01a 1b 答案　D解析　方法一　∵c 2≥0，∴c ＝0时，有ac 2＝bc 2，故A 为假命题；由a >b >0，有ab >0⇒>⇒>，故B 为假命题；aab b ab 1b 1a Error!⇒>，故C 为假命题；ab ba Error!⇒ab <0.∵a >b ，∴a >0且b <0，故D 为真命题．方法二　特殊值排除法．取c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错．取a ＝2，b ＝1，则＝，＝1.有<，故B 错．1a 121b 1a 1b 取a ＝－2，b ＝－1，则＝，＝2，有<，故C 错．b a 12a b b a ab 反思感悟　利用不等式的性质判断命题真假的注意点(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质．(2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．跟踪训练1　(多选)若<<0，则下面四个不等式成立的有( )1a 1b A ．|a |>|b | B ．a b 3答案　CD解析　由<<0可得b <a <0，从而|a |<|b |，A ，B 均不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，1a 1b C 正确；a 3>b 3，D 正确．二、利用不等式的性质证明不等式例2　已知c >a >b >0，求证：>.ac －a bc －b 证明　－＝ac －a bc －b a (c －b )－b (c －a )(c －a )(c －b )＝＝，ac －ab －bc ＋ab(c －a )(c －b )c (a －b )(c －a )(c －b )∵c >a >b >0，∴a －b >0，c －a >0，c －b >0，∴>.ac －a bc －b 延伸探究　作差法是比较判断两个代数式的基本方法，你能用我们刚学过的性质解决本例吗？证明　方法一　因为a >b >0，所以<，1a 1b 因为c >0，所以<，c a cb 所以－1<－1，即<，ca cb c －a a c －bb 因为c >a >b >0，所以c －a >0，c －b >0.所以>.ac －a bc －b 方法二　因为c >a >b >0，所以0<c －a <c －b ，所以0<<，1c －b 1c －a 即>>0，1c －a 1c －b 又因为a >b >0，所以>.ac －a bc －b 反思感悟　(1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件．(2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件．跟踪训练2　已知a >b >0，c <0，证明：>.c a cb 证明　方法一　－＝，c a cb c (b －a )ab∵a >b >0，c <0，∴ab >0，b －a <0，c (b －a )>0，∴－>0，∴>.c a cb c a cb 方法二　∵a >b >0，∴>>0，1b 1a ∵c <0，∴<.c b ca 即>.c a c b 三、利用不等式的性质求代数式的取值范围例3　已知－6<a <8,2<b <3，求2a ＋b ，a －b 及的取值范围．ab 解　因为－6<a <8,2<b <3，所以－12<2a <16，所以－10<2a ＋b <19.又因为－3<－b <－2，所以－9<a －b <6.又<<，131b 12①当0≤a <8时，0≤<4；ab ②当－6<a <0时，0<－a <6，所以0<－<3，所以－3<<0.ab ab 由①②得－3<<4.ab 反思感悟　利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．跟踪训练3　已知1<a <6,3<b <4，则a －b 的取值范围是________，的取值范围是ab ________．答案　－3<a －b <3　<<214ab 解析　∵3b 等价的不等式是( )A ．|a |>|b |B ．a 2>b 2 C.>1 D ．a 3>b 3ab 答案　D解析　可利用赋值法．令a ＝1，b ＝－2，满足a >b ，但|a |<|b |，a 2b ⇒ac 2>bc 2B.>⇒a >ba c bc C.Error!⇒> D.Error!⇒>1a 1b 1a 1b答案　C解析　当c ＝0时，A 不成立；当c <0时，B 不成立；ab <0，a >b ⇒<，即>，C 成立．a ab b ab 1a 1b 同理可证D 不成立．3．若1<a <3，－4”或“<”填空：(1)如果a >b ，c <d ，那么a －c ________b －d ；(2)如果a >b >0，c <d <0，那么ac ________bd ；(3)如果a >b >0，那么________；1a 21b 2(4)如果a >b >c >0，那么________.ca cb 答案　(1)>　(2)<　(3)<　(4)<课时对点练1．如果a <0，b >0，那么下列不等式中正确的是( )A.< B.<1a 1b －a b C ．a 2|b |答案　A解析　∵a <0，b >0，∴<0，>0，∴<.1a 1b 1a 1b 2．设a ，b ∈R ，若a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( )A ．a －b >0 B ．a 3＋b 3>0C ．a 2－b 2<0 D ．a ＋b <0答案　D解析　本题可采用特殊值法，取a ＝－2，b ＝1，则a －b <0，a 3＋b 3<0，a 2－b 2>0，a ＋b ＝－1<0.故A ，B ，C 错误，D 正确．3．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( )A ．若a >b ，c >d ，则a ＋b >c ＋d B ．若a >－b ，则c －a <c ＋bC ．若a >b ，c <d ，则>a c bd D ．若a 2>b 2，则－a <－b 答案　B解析　选项A ，取a ＝1，b ＝0，c ＝2，d ＝1，则a ＋b <c ＋d ，A 错误；选项B ，因为a >－b ，所以－a b >0，c <0<d 时，不成立；选项D 当a ＝－1，b ＝0时不成立．4．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小是( )A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b答案　C5．若a ，b 都是实数，则“－>0”是“a 2－b 2>0”的( )a b A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案　A6．(多选)给出下列命题，其中正确的命题是( )A ．a >b ⇒ac 2>bc 2B ．a >|b |⇒a 2>b 2C ．a >b ⇒a 3>b 3D ．|a |>b ⇒a 2>b 2答案　BC解析　A 当c 2＝0时不成立；B 一定成立；C 当a >b 时，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·>0成立；[(a ＋b 2)2＋34b 2]D 当b <0时，不一定成立．如|2|>－3，但22<(－3)2.7．已知1<α<3，－4<β<2，若z ＝α－β，则z 的取值范围是________________．12答案　Error!解析　∵1<α<3，∴<α<，121232又－4<β<2，∴－2<－β<4.∴－<α－β<，3212112即－<z <.321128．若8<x <10,2<y <4，则的取值范围为________．xy 答案　2<<5xy 解析　∵2<y <4，∴<<.141y 12又∵8<x <10，∴2<<5.xy 9．(1)a b ，<，求证：ab >0.1a 1b 证明　(1)由于－＝＝，b a ab b 2－a 2ab(b ＋a )(b －a )ab∵a 0，ab >0，∴<0，故<.(b ＋a )(b －a )ab b a ab (2)∵<，1a 1b ∴－<0，即<0，1a 1b b －aab 而a >b ，∴b －a <0，∴ab >0.10．下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因．甲：因为－6<a <8，－4<b <2，所以－2<a －b <6.乙：因为2<b <3，所以<<，131b 12又因为－6<a <8，所以－2<<4.ab 丙：因为2<a －b <4，所以－4<b －a <－2.又因为－2<a ＋b <2，所以0<a <3，－3<b <0，所以－3<a ＋b <3.解　甲同学做的不对，因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的．乙同学做的不对．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a <8，不明确a 值的正负．故不能将<<与－6<a <8131b 12两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘．丙同学做的不对．同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形．丙同学将2<a －b <4与－2<a ＋b <2两边相加得0<a <3，又将－42且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案　A12．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xz D ．x |y |>z |y |答案　C解析　因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由Error!可得xy >xz .13．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a ，b ，c ，d ，已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，a ＋c b >a >c B ．b >c >d >a C ．d >b >c >a D ．c >a >d >b 答案　A解析　∵a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，∴a ＋d ＋(a ＋b )>b ＋c ＋(c ＋d )，即a >c .∴b <d .又a ＋c b >a >c .14．不等式a >b 和>同时成立的条件是________．1a 1b 答案　a >0>b解析　∵－＝，1a 1b b －aab ∴a >b 和>同时成立的条件是a >0>b .1a 1b15．设a ，b 为正实数，有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1；②若－＝1，则a －b <1；1b 1a ③若|－|＝1，则|a －b |<1.a b 其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号)．答案　①解析　对于①，由题意a ，b 为正实数，则a 2－b 2＝1⇒a －b ＝⇒a －b >0⇒a >b >0，故1a ＋b a ＋b >a －b >0.若a －b ≥1，则≥1⇒a ＋b ≤1≤a －b ，这与a ＋b >a －b >0矛盾，故1a ＋b a －b <1成立．对于②，取特殊值，a ＝3，b ＝，34则a －b >1.对于③，取特殊值，a ＝9，b ＝4，|a －b |>1.16．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足以下条件：(1)该函数图象过原点；(2)当x ＝－1时，y 的取值范围为大于等于1且小于等于2；(3)当x ＝1时，y 的取值范围为大于等于3且小于等于4，求当x ＝－2时，y 的取值范围．解　∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象过原点，∴c ＝0，∴y ＝ax 2＋bx .又∵当x ＝－1时，1≤a －b ≤2.①当x＝1时，3≤a＋b≤4，②∴当x＝－2时，y＝4a－2b.设存在实数m，n，使得4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，而4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b，∴Error!解得m＝1，n＝3，∴4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．由①②可知3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，∴3＋3≤4a－2b≤4＋6.即6≤4a－2b≤10，故当x＝－2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10.。

2.1等式性质与不等式性质课件(人教版)PPT

不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，
所得不等式与原不等式反向.
高中数学
二、不等式性质
性质 1 : 如果a=b, 那么b=a. 性质 2 : 如果a >b, b>c, 那么a >c.
性质3:如果a >b,那么a+c> b+c.
性质 4 : 如果 a>b,c> 0, 那么 ac>bc;
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在数轴上表达出来，你能从几何意义的角度对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在数轴上表达出来，你能从几何意义的角度对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在数轴上表达出来，你能从几何意义的角度对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
追问3:你能从性质3中得到什么结论吗? 由性质3可得
a+b>c→a+b+(-b)>c+(-b)
→a >c-b
如果a>b>0, 那么 a²>b²
性质7:如果 a>b>0, 那么a”>b”
(n∈N*,n≥2)
高中数学
三、不等式的简单应用
例：已知a>b>0,c<0, 求证

2020年中考数学必考经典题(江苏版)专题05不等式(组)的解法与应用问题

2020年中考数学必考经典题（江苏版）专题05 不等式（组）的解法与应用问题【方法指导】1.不等式性质：不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．2. 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．3.解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．4. 一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．5.不等式（组）的整数解（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．（2）已知解集（整数解）求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．6.一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答．【题型剖析】【类型1】不等式的性质【例1】（2019•昆山市二模）若x y<，则下列结论正确的是()A．1133x y->-B．22x y>C．11x y->-D．22x y<【变式1-1】（2019•滨湖区一模）若m n>，则下列各式中一定成立的是()A．22m n->-B．55m n-<-C．22m n->-D．44m n<【变式1-2】（2019•无锡模拟）下列不等式变形正确的是()A．由a b>，得22a b-<-B．由a b>，得||||a b>C．由a b>，得22a b-<-D．由a b>，得22a b>【变式1-3】（2018•无锡模拟）已知实数a、b，若a b>，则下列结论正确的是() A．55a b-<-B．22a b+<+C．33a b->-D．33a b>【类型2】解一元一次不等式（组）【例2】（2019•建湖县二模）解不等式221123x x+-+，并把它的解集在数轴上表示出来：【变式2-1】（2019•扬州一模）解不等式：122123x x-+-．【变式2-2】（2019•姑苏区校级二模）解不等式组3811223x xx x-<⎧⎪++⎨⎪⎩【变式2-3】（2019•玄武区二模）如图，在数轴上点A、B、C分别表示1-、23x-+、1x+，且点A在点B的左侧，点C在点B的右侧．（1）求x的取值范围；（2）当2AB BC=时，x的值为．【类型3】：不等式（组）的整数解【例3】（2019•天宁区校级二模）已知关于x的不等式组521xx a--⎧⎨->⎩有3个整数解，则a的取值范围是．【变式3-1】（2019•建邺区校级二模）若关于x的不等式组21312xx m+⎧+>-⎪⎨⎪<⎩的所有整数解的和是7-，则m的取值范围是．【变式3-2】（2019•南召县二模）已知关于x的不等式组321x ax-⎧⎨--⎩的整数解共有5个，则a的取值范围是．【变式3-3】（2018•海门市模拟）关于x的不等式组10x mx-<⎧⎨+>⎩恰有3个整数解，则实数m的取值范围为【类型4】：不等式的应用【例4】（2019•姑苏区校级二模）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品1件共需50元，购进甲商品1件和乙商品2件共需70元．（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定甲商品以每件20元出售，乙商品以每件50元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共60件，若要保证获利不低于1000元，则甲商品最多能购进多少件？【变式4-1】（2019•高邮市二模）某校举办园博会知识竞赛，打算购买A、B两种奖品．如果购买A奖品10件、B奖品5件，共需120元；如果购买A奖品5件、B奖品10件，共需90元．（1）A，B两种奖品每件各多少元？（2）若购买A、B奖品共100件，总费用不超过600元，则A奖品最多购买多少件？【变式4-2】（2019•镇江一模）某旗舰网店用8000元购进甲、乙两种口罩，全部销售完后一共获利2800元，进价和售价如下表：品名价格甲种口罩乙种口罩进价（元/袋）2025售价（元/袋）2635（1）该店购进甲、乙两种口罩各多少袋？（2）该店再次以原价购进甲、乙两种口罩，购进乙种口罩袋数不变，而购进甲种口罩袋数是第一次的2倍，甲种口罩按原售价出售，而乙种口罩让利销售．若这次购进的两种口罩均销售完毕，且本次销售一共获利不少于3680元，那么乙种口罩每袋最多让利多少元？【类型5】：不等式组的应用【例5】（2019•昆山市二模）某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元．（1）求每个篮球和每个足球的售价；（2）如果学校计划购买这两种球共50个，用于此次购球的总资金不低于5400元，且不超过5500元，求本次购球方案．【变式5-1】（2019•常熟市二模）为了丰富校园文化生活，促进学生积极参加体育运动，某校准备成立校排球队，现计划购进一批甲、乙两种型号的排球，已知一个甲种型号排球的价格与一个乙种型号排球的价格之和为140元；如果购买6个甲种型号排球和5个乙种型号排球，一共需花费780元．（1）求每个甲种型号排球和每个乙种型号排球的价格分别是多少元？（2）学校计划购买甲、乙两种型号的排球共26个，其中甲种型号排球的个数多于乙种型号排球，并且学校购买甲、乙两种型号排球的预算资金不超过1900元，求该学校共有几种购买方案？【变式5-2】（2019•太仓市模拟）某小区准备新建50个停车位，用以解决小区停车难的问题．已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元．（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位需多少万元？（2）该小区的物业部门预计投资金额超过12万元而不超过13万元，那么共有几种建造停车位的方案？【变式5-3】（2018•海州区一模）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌a270500元a 70餐椅110已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．（1）求表中a的值．（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？【达标检测】一．选择题（共8小题）1．（2019•镇江）下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组的解集的是（）2．（2019•宿迁）不等式x﹣1≤2的非负整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2019•无锡）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a 个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（）A．10 B．9 C．8 D．74．（2018•无锡）若关于x的不等式3x+m≥0有且仅有两个负整数解，则m的取值范围是（）A．6≤m≤9 B．6＜m＜9 C．6＜m≤9 D．6≤m＜95．（2018•宿迁）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（）A．a﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C．D．a2＜b26．（2019•恩施州）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围为（）A．1＜a≤2 B．1＜a＜2 C．1≤a＜2 D．1≤a≤27．（2019•西藏）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，这些书有______本，共有______人．（）A．27本，7人B．24本，6人C．21本，5人D．18本，4人8．（2019•永州）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共6小题）9．（2019•淮安）不等式组的解集是．10．（2019•泰州）不等式组的解集为．11．（2018•扬州）不等式组的解集为．12．（2019•丹东）关于x的不等式组的解集是2＜x＜4，则a的值为．13．（2019•莱芜区）定义：[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1．有以下结论：①[﹣1.2]＝﹣2；②[a﹣1]＝[a]﹣1；③[2a]＜[2a]+1；④存在唯一非零实数a，使得a2＝2[a]．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）14．（2019•玉林）设01，则m，则m的取值范围是．三．解答题（共8小题）15．（2019•南通）解不等式x＞1，并在数轴上表示解集．16．（2019•常州）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．17．（2019•扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解．18．（2019•盐城）解不等式组：19．（2018•无锡）A商场从某厂以75元/件的价格采购一种商品，售价是100元/件．厂家与商场约定：若商场一次性采购达到或超过400件，厂家按每件5元返利给A商场．商场没有售完的，可以以65元/件退还给厂家．设A商场售出该商品x件，问：A商场对这种商品的销量至少要多少时，他们的获利能达到9600元？20．（2018•南通）小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：次数购买数量（件）购买总费用（元）A B第一次 2 1 55第二次 1 3 65 根据以上信息解答下列问题：（1）求A，B两种商品的单价；（2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．21．（2019•抚顺）为响应“绿色生活，美丽家园”号召，某社区计划种植甲、乙两种花卉来美化小区环境．若种植甲种花卉2m2，乙种花卉3m2，共需430元；种植甲种花卉1m2，乙种花卉2m2，共需260元．（1）求：该社区种植甲种花卉1m2和种植乙种花卉1m2各需多少元？（2）该社区准备种植两种花卉共75m2且费用不超过6300元，那么社区最多能种植乙种花卉多少平方米？22．（2019•莱芜区）某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大概的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？。

(学案)等式性质与不等式性质

等式性质与不等式性质【学习目标】梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．【学习重难点】等式与不等式的性质。

【学习过程】一、自主学习知识点一：实数大小比较1．文字叙述如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反之也成立．2．符号表示a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b．状元随笔比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．}a>b c>0⇒ac>bc}a>b c<0⇒ac<bca>b c>d⇒a＋c>b＋da>b>0c>d>0⇒ac>bd状元随笔（1）性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a＋b>c⇒a>c－b．性质3是可逆性的，即a>b⇔a＋c>b＋c．（2）注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．（3）在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．教材解难：教材P40思考等式有下面的基本性质：性质1：如果a＝b，那么b＝a；性质2：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5：如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc．基础自测：1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系（）A．T<40B．T>40C．T≤40D．T≥40解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思．答案：C2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是（）A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．与x 有关解析：因为M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，所以M >N ．答案：A3．已知x <a <0，则一定成立的不等式是（） A ．x 2<a 2<0 B ．x 2>ax >a 2 C ．x 2<ax <0 D ．x 2>a 2>ax解析：因为x <a <0，不等号两边同时乘a ，则ax >a 2；不等号两边同时乘x ，则x 2>ax ，故x 2>ax >a 2．答案：B4．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________．解析：因为－1≤b ≤2，所以－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5，所以－1≤a －b ≤6．答案：－1≤a －b ≤6 二、素养提升题型一：比较大小（教材P 38例1）例1：比较（x ＋2）（x ＋3）和（x ＋1）（x ＋4）的大小．解析：因为（x ＋2）（x ＋3）－（x ＋1）（x ＋4）＝（x 2＋5x ＋6）－（x 2＋5x ＋4）＝2>0，所以（x ＋2）（x ＋3）>（x ＋1）（x ＋4）．状元随笔通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系．教材反思用作差法比较两个实数大小的四步曲跟踪训练1：若f （x ）＝3x 2－x ＋1，g （x ）＝2x 2＋x －1，则f （x ）与g （x ）的大小关系是（）A ．f （x ）<g （x ）B ．f （x ）＝g （x ）C ．f （x ）>g （x ）D ．随x 值变化而变化解析：f （x ）－g （x ）＝（3x 2－x ＋1）－（2x 2＋x －1）＝x 2－2x ＋2＝（x －1）2＋1>0，所以f （x ）>g （x ）．故选C ．答案：C作差→变形→判断差的符号→结合差的符号判定大小题型二：不等式的性质[经典例题] 分析条件→利用不等式性质逐一判断例2：对于实数a 、b 、c ，有下列说法： ①若a >b ，则ac <bc ； ②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a ab >b 2；④若c >a >b >0，则a c －a >bc －b；⑤若a >b ，1a >1b ，则a >0，b <0．其中正确的个数是（） A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：对于①，令c ＝0，则有ac ＝bc ．①错．对于②，由ac 2>bc 2，知c ≠0， ∴c 2>0⇒a >b ．②对．对于③，由a ab ，两边同乘以b 得ab >b 2， ∴a 2>ab >b 2．③对．对于④，⎭⎬⎫c >a >b >0⇒c －a >0，c －b >0a >b ⇒－a <－b ⇒c －a <c －b ⇒0<c －a <c －b ⇒⎭⎪⎬⎪⎫1c －a >1c －b >0a >b >0⇒a c －a >b c －b ．④对．对于⑤，⎭⎪⎬⎪⎫a >b ⇒a －b >01a >1b ⇒b －a ab >0⇒⎭⎪⎬⎪⎫ab <0a >b ⇒a >0，b <0．⑤对．故选C ．答案：C 方法归纳：（1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．（2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．跟踪训练2：（1）已知a b ，c ≠0，则ac >bc B ．若a >b ，则ac 2>bc 2 C ．若ac 2>bc 2，则a >bD．若a>b，则1 a< 1 b解析：（1）根据不等式的性质，a<b，4>0⇒4a<4b，A项正确；a<b，－4<0⇒－4a>－4b，B项错误；a<b⇒a＋4<b＋4，C项正确；a<b⇒a－4<b－4，D项正确．利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．（2）对于选项A，当c<0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b．故选项C正确；对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．答案：（1）B；（2）C题型三：利用不等式性质求范围例3：已知－2<a≤3，1≤b<2，试求下列代数式的取值范围：（1）|a|；（2）a＋b；（3）a－b；（4）2a－3b．解析：（1）|a|∈[0，3]；（2）－1<a＋b<5；（3）依题意得－2<a≤3，－2<－b≤－1，相加得－4<a－b≤2；（4）由－2<a≤3得－4<2a≤6①，由1≤b<2得－6<－3b≤－3②，由①②得，－10<2a－3b≤3．状元随笔运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向．方法归纳：利用不等式性质求范围的一般思路（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；（3）结合不等式的传递性进行求解．跟踪训练3：已知实数x，y满足：1<x<2<y<3，（1）求xy的取值范围；（2）求x－2y的取值范围．解析：（1）∵1<x<2<y<3，∴1<x<2，2<y<3，则2<xy<6，则xy的取值范围是（2，6）．（2）由（1）知1<x<2，2<y<3，从而－6<－2y<－4，则－5<x－2y<－2，即x－2y的取值范围是（－5，－2）．状元随笔（1）根据不等式的性质6可直接求解；（2）求出－2y的取值范围后，利用不等式的性质5即可求x－2y的取值范围．三、学业达标（一）选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是（） A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A B D ．A >B解析：因为A －B ＝a 2＋3ab －（4ab －b 2）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2≥0，所以A ≥B ．答案：B2．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是（） A ．若a >b ，c >b ，则a > c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋bC ．若a >b ，c <d ，则a c >bd D ．若a 2>b 2，则－a <－b解析：选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d 时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立．答案：B3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是（） A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0 D ．－1<α－β<1解析：∵－1<β<1，∴－1<－β<1．又－1<α<1，∴－2<α＋（－β）<2，又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0．故选A ．答案：A4．有四个不等式：①|a |>|b |；②a b 3．若1a <1b <0，则不正确的不等式的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由1a <1b <0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①不正确；a >b ，②不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2．答案：C （二）填空题5．已知a ，b 均为实数，则（a ＋3）（a －5）________（a ＋2）（a －4）（填“>”“<”或“＝”）．解析：因为（a ＋3）（a －5）－（a ＋2）（a －4）＝（a 2－2a －15）－（a 2－2a －8）＝－7<0，所以（a ＋3）（a －5）<（a ＋2）（a －4）．答案：<6．如果a >b ，那么c －2a 与c －2b 中较大的是________．解析：c －2a －（c －2b ）＝2b －2a ＝2（b －a ）<0．答案：c －2b 7．给定下列命题：①a >b ⇒a 2>b 2；②a 2>b 2⇒a >b ；③a >b ⇒ba <1；④a >b ，c >d ⇒ac >bd ；⑤a >b ，c >d ⇒a －c >b －d ．其中错误的命题是________（填写相应序号）．解析：由性质7可知，只有当a >b >0时，a 2>b 2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a >0且a >b 时，ba <1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当a >b >0，c >d >0时，ac >bd 才成立，故④错误；对于⑤，由c >d 得－d >－c ，从而a －d >b －c ，故⑤错误．答案：①②③④⑤ （三）解答题8．已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．解析：x 3－1－（2x 2－2x ）＝x 3－2x 2＋2x －1＝（x 3－x 2）－（x 2－2x ＋1）＝x 2（x －1）－（x －1）2＝（x －1）（x 2－x ＋1）＝（x －1）·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34，因为x <1，所以x －1<0，又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以（x －1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0，所以x 3－1<2x 2－2x ．9．若bc －ad ≥0，bd >0．求证：a ＋b b ≤c ＋dd ．证明：因为bc －ad ≥0，所以ad ≤bc ，因为bd >0，所以a b ≤cd ，所以a b ＋1≤cd ＋1，所以a ＋b b ≤c ＋d d ．尖子生题库：10．设f （x ）＝ax 2＋bx ，1≤f （－1）≤2，2≤f （1）≤4，求f （－2）的取值范围．解析：方法一：设f （－2）＝mf （－1）＋nf （1）（m ，n 为待定系数），则4a －2b ＝m （a －b ）＋n （a ＋b ）＝（m ＋n ）a ＋（n －m ）b ，于是得⎩⎨⎧ m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1∴f （－2）＝3f （－1）＋f （1）．又∵1≤f （－1）≤2，2≤f （1）≤4． ∴5≤3f （－1）＋f （1）≤10，故f （－2）的取值范围是[5，10]．方法二：由⎩⎨⎧f －1＝a －b f1＝a ＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －1＋f 1]b ＝12[f1－f－1]，∴f （－2）＝4a －2b ＝3f （－1）＋f （1）．又∵1≤f （－1）≤2，2≤f （1）≤4， ∴5≤3f （－1）＋f （1）≤10，故f （－2）的取值范围是[5，10]．。

等式与不等式性质第二课时课件

2.1 等式性质与不等式性质
第二课时
创设情境
现实世界
相等关系
不等关系
等式性质
不等式性质？
创设情境
性质1：如果a＝b，那么b＝a；
性质2：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5：如果a＝b，c≠0那么
a c
＝b c
．
自身的特性运算的不变性
．
证明：∵a＞b＞0， ∴ab＞0， 1 0 ， ab
∴a 1 b 1 ，即 1 1 ． ab ab b a
又∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴ c d 0 ，
ba
∴
c b
3
d a
3
0
，即
c b
3
d a
3
0
，
∴
d a
3
c b
3
．
等式与不等式性质第二课时课件
等式与不等式性质第二课时课件
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归纳小结
等式与不等式性质第二课时课件
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作业布置
作业：习题2.1第5，7，8，11，12题．
等式与不等式性质第二课时课件
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目标检测
1 用不等号“＞”或“＜”填空：
（1）如果a＞b，c＜d，那么a－c__＞__b－d；
（2）如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac_＜___bd；
（3）如果a＞b＞0，那么
1 a2
__＜__
1 b2
；
（4）如果a＞b＞c＞0，那么 c _＜___ c ． ab

第01讲等式性质与不等式性质(学生版)

第1讲等式性质与不等式性质知识点01 等式的性质等式的基本性质性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c .【微点拨】利用等式的相关性质来处理与相等关系有关的问题，比如说：等式的变形（化简）、解方程与方程组等.【即学即练1】方程2312360x x --+= 的解为 .知识点02 不等关系及不等式【微点拨】用数学式子表达不等关系时，一定要在读懂题的要求下用准确的不等关系表达变量间的关系，特别要注意的是等号的包含与不包含.【即学即练2】一般认为，民用住宅窗户面积a 与地板面积b 的比应不小于10%，即1110a b≤<，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m ，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示__________【即学即练3】为了庆祝我们伟大祖国70周年华诞，某市世纪公园推出优惠活动.票价降低到每人5元；且一次购票满30张，每张再少收1元.某班有27人去世纪公园游玩，当班长王小华准备好了零钱到售票处买票时，爱动脑筋的李敏喊住了王小华，提议买30张票.但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？那么，李敏的提议对不对呢？是不是真的浪费？谈谈你们的看法.知识点03 不等式的相关性质不等式的一些常用性质(1)倒数的性质①a>b ，ab>0⇒1a <1b . ②a<0b>0,0<c<d ⇒a c >b d .④0<a<xb>0，m>0，则①b a b －m a －m (b －m>0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m>0)． 3.不等式的基本性质【微点拨】运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.【即学即练4】对于实数a ，b ，c ，下列命题中的真命题是A. 若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B. a ＞b ＞0，则C. a ＜b ＜0，则D. a ＞b ，,则a ＞0，b ＜0【即学即练5】下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因.甲：因为-6<a <8，-4>，若在糖水中加入x 克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式：．【典例2】【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．比较大小：两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧ a －b>0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b<0⇔a 1⇔a > b a b ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b>0)．一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．【典例3】1）已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M>NC ．M ＝ND ．不确定2）设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( )A ．A≤B B ．A≥BC ．A<BD ．A>B3）若0a b >>， 0c d <<，则一定有（） A. a b d c > B. a b c d < C. a b c d > D. a b d c< 4）若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________．5）已知a b c >>且0a b c ++=，则下列不等式恒成立的是（）A. 222a b c >>B. a b c b >C. ac bc >D. ab ac >考法03不等式的性质的运用：【典例4】已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0；②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0.其中正确的命题是________．考法04。

等式性质与不等式性质(高中数学)

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提示：利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将 2<a－b<4 与－2<a＋b<2 两边相加得 0<a<3，又将－4<b－a<－2 与－2<a＋b<2 两边相加得出－3<b<0，又将该式与 0<a<3 两边相加得出－3<a＋b<3，多次使用了这种转化，导致了 a＋b 范围的扩大．
两者之间的共性与差异.
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自主预习探新知
4
1．等式的性质 (1) 性质 1 如果 a＝b，那么 b＝a； (2) 性质 2 如果 a＝b，b＝c，那么 a＝c； (3) 性质 3 如果 a＝b，那么 a±c＝b±c； (4) 性质 4 如果 a＝b，那么 ac＝bc； (5) 性质 5 如果 a＝b，c≠0，那么ac＝bc.
提示：不正确．因为同向不等式具有可加性．但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．
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3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2矛盾了呢？
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【例 3】已知 1＜a＜4,2＜b＜8，试求 a－b 与ab的取值范围． [思路点拨] 依据不等式的性质，找到－b 与1b的范围，进而求出 a－b 与ab的取值范围．
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[解] 因为1＜a＜4,2＜b＜8，所以－8＜－b＜－2. 所以1－8＜a－b＜4－2，即－7＜a－b＜2. 又因为18＜1b＜12，所以18＜ab＜42＝2，即18＜ab＜2.

专题05 不等式与不等式组专题详解(解析版)

专题05 不等式与不等式组专题详解专题05 不等式与不等式组专题详解 (1)9.1 不等式 (3)知识框架 (3)一、基础知识点 (3)知识点1 不等式及其解集 (3)知识点2 不等式的基本性质 (4)二、典型题型 (5)题型1 不等式的概念 (5)题型2 根据数量关系列不等式 (5)题型3不等式的解（集） (6)题型4 不等式性质的运用 (6)题型5 实际问题与不等式 (7)三、难点题型 (8)题型1 不等式性质的综合应用 (8)题型2 用作差法比较大小 (9)9.2 一元一次不等式 (10)知识框架 (10)一、基础知识点 (10)知识点1 一元一次不等式的解法 (10)知识点2 列不等式解应用题 (11)二、典型题型 (13)题型1 一元一次不等式的判定 (13)题型2 解一元一次不等式 (13)题型3 列不等式，求取值范围 (14)题型4 一元一次不等式的应用 (14)三、难点题型 (16)题型1 含参数的不等式 (16)题型2 不等式的整数解 (16)题型3 方程与不等式 (17)题型4 含绝对值的不等式 (18)9.3 一元一次不等式组 (19)知识框架 (19)一、基础知识点 (19)知识点1 一元一次不等式组及解集的定义 (19)知识点2 一元一次不等式组解集的确定及解法 (19)知识点3 双向不等式及解法 (21)二、典型题型 (23)题型1 一元一次不等式组的判定 (23)题型2 一元一次不等式组的解集 (23)题型3 解一元一次不等式组 (24)题型4 一元一次不等式组的应用 (25)一、用不等式组解决实际问题 (25)二、方案设计 (26)三、最值问题 (27)三、难点题型 (29)题型1 由不等式组确定字母的取值 (29)题型2 不等式组中的数学思想 (30)一、整体思想 (30)二、数形结合 (31)三、分类讨论 (31)题型3 不等式的应用 (32)题型4 不等式的综合 (33)9.1 不等式知识框架{基础知识点{不等式及其解集不等式的基本性质典型题型{ 不等式的概念根据数量关系列不等式不等式的解（集）不等式性质的运用实际问题与不等式难点题型{不等式性质的综合应用作差法比较大小一、基础知识点知识点1 不等式及其解集1）不等式：用不等符号表示不等关系的式子。

第21章专题05 解决问题之列方程(组)解应用题(学生版

编者小k 君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。

思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。

专题05 解决问题之列方程（组）解应用题（学生版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．受非洲猪瘟及供求关系影响，去年猪肉价格经过连续两轮涨价，价格从40元/千克涨到90元/千克，若两轮涨价的百分率相同，则这个百分率是（）A ．20%B ．30%C ．40%D ．50%2．2020年5月1日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区5月和12月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：厨余垃圾分出量如果厨余垃圾分出率=100%⨯厨余垃圾分出量生活垃圾总量(生活垃圾总量=厨余垃圾分出量+其他三种垃圾的总量），且该小区12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍，那么下面列式正确的是（）A ．660840014710x x ⨯= B ．6608400147660840010x x ⨯=++ C ．660840014147660840010x x ⨯=⨯++ D ．7840066010146608400x x ++⨯= 3．定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值()1k k >称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC 中，36,A ∠=︒则它的优美比k 为（）A ．32B ．2C ．52D ．34．要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x 个队参加比赛，则x 满足的关系式为（）A ．12x （x +1）＝90B ．12x （x ﹣1）＝90 C ．x （x +1）＝90 D ．x （x ﹣1）＝90 5．某文具店购进A ，B 两种款式的书包，其中A 种书包的单价比B 种书包的单价低10%．已知店主购进A 种书包用了810元，购进B 种书包用了600元，且所购进的A 种书包的数量比B 种书包多20个．设文具店购进B 种款式的书包x 个，则所列方程正确的是（）A ．81060010%20x x =⨯+ B ．()810600110%20x x =-+ C ．60081010%20x x =⨯+ D ．()()81060020110%x x x =⨯+- 6．课本习题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶？”以下为四位同学列出的方程，正确的是（）A ．甲、丁B ．乙、丙C ．甲、乙D ．甲、乙、丙7．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x ，则可得方程（） A ．2560(1)1850x +=B ．2560560(1)1850x ++=C ．()25601560(1)1850x x +++=D ．()25605601560(1)1850x x ++++=8．某市2017年国内生产总值（GDP ）比2016年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2018比2017年增长7%，若这两年GDP 年平均增长率为x %，则x %满足的关系是A ．12%7%%x +=B ．()()()112%17%21%x ++=+C ．12%7%2%x +=D ．()()()2112%17%1%x ++=+9．一个矩形内放入两个边长分别为3cm 和4cm 的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm 2；按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm 2，若把两张正方形纸片按图①放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（）A ．5cm 2B ．6cm 2C ．7cm 2D ．8cm 210．等边三角形ABC 的边长为1，点P 在AB 上，PQ①BC ，QR①AC ，RS①AB ，其中Q ，R ，S 为垂足，若SP ＝14，则AP 的长是（） A ．29B ．59C ．19D ．59或19二、填空题11．阅读下列材料：①1111123x x x x -=-+--的解为x ＝1，①1111134x x x x -=----的解为x ＝2，①11111245x x x x -=-----的解为x ＝3．请你观察上述方程与解得特征，写出能反映上述方程一般规律的方程 ___，这个方程的解为 ___．12．某校去年租借了三架无人机A ，B ，C 用于体育节航拍，无人机A ，B ，C 飞行平均速度之比为1：8：3，飞行时间之比为2：1：2．今年继续租借，但根据航拍需求，对三架无人机飞行平均速度和时间均作了调整．无人机B 的平均速度比去年低了14，无人机C 的平均速度为去年的43．A ，C 两架无人机的飞行总路程增加，而无人机B 飞行总路程减少．无人机C 增加的路程是无人机A 增加路程的2倍，且占今年三架无人机总路程的20%．无人机A 增加的路程与无人机B 减少的路程之比为7：15，则今年无人机B 与无人机C 的飞行时间之比为________．13．对于三个数a ，b ，c ，用M{a ，b ，c}表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{－1，2，3}＝123433-++=，min{－1，2，3}＝－1，如果M{3，2x ＋1，4x －1}＝min{2，－x ＋3，5x}，那么x ＝_______.14．近年来，网红北京迎来了无数中外游客．除了游故宫、登长城、吃烤鸭以外，稻香村的传统糕点成为了炙手可热的伴手礼．根据消费者的喜好，现推出A 、B 两种伴手礼礼盒，A 礼盒装有2个福字饼，2个禄字饼：B 礼盒装有1个福字饼，2个禄字饼，3个寿字饼，A 、B 两种礼盒每盒成本价分别为盒中福禄寿三种糕点的成本价之和．已知A 种礼盒每盒的售价为96元，利润率为20%，每个禄字饼的成本价是寿字饼的成本价的3倍．国庆期间，由于客流量大，一天就卖出A、B两种礼盒共计78盒，工作人员在核算当日卖出礼盒总成本的时候把福字饼和禄字饼的成本看反了，后面发现如果不看反，那么当日卖出礼盒的实际总成本比核算时的总成本少500元，则当日卖出礼盒的实际总成本为_____元．15．如图，点O是钟面的中心，射线OC正好落在3：00时针的位置．当时钟从2：00走到3：00，则经过___________分钟，时针，分针，与OC所在的三条射线中，其中一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线．16．随着我国疫情的有效控制，各地打造了众多春游景点供市民休闲娱乐．某区特别打造了多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园吸引游客．3月份多彩植物园、亲子游乐园、劳动体验园接待游客数量之比为3:3:4．为增加游客数量，该地区通过发抖音、转发朋友圈等多种方式加大宣传力度，预计4月份三个园区接待的游客总人数在3月份的基础上会增加．但因为多彩植物园中部分花期已过，多彩植物园的游客人数在3月份的基础上将减少13．这样4月份，多彩植物园接待的游客总人数占三个园区接待游客总人数的17，而亲子游乐园、劳动体验园4月份接待游客人数之比将达到3:2，则亲子游乐园新增的人数与4月份这三个园区的总人数之比是___________17．从甲地到乙地有20站，并且任何相邻两站之间的距离相同．快车和慢车每小时从甲地各发一趟，快车整点发车，慢车发车时间晚半小时．快车每站车费5元，慢车每站车费2元，但快车的速度是慢车速度的2倍．快车从甲地到乙地共需2小时．上午九点半，一位只有70元钱的旅客在甲地乘车，若忽略车进出站上下乘客的时间，但旅客等车时间要计算在内，这位旅客从甲地到乙地所需的最短时间为__小时．18．某知名服装品牌在北碚共有A、B、C三个实体店．由于疫情的影响，第一季度A、B、C三店的营业额之比为3:4:5，随着疫情得到有效的控制和缓解，预计第二季度这三个店的总营业额会增加，其中B店增加的营业额占总增加的营业额的27，第二季度B店的营业额占总营业额的413，为了使A店与C店在第二季度的营业额之比为5①4，则第二季度A店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为______________．19．小方同学设计了一个“魔法棒转不停”程序，如图所示，点O，0A在直线MN上，第一步，0OA绕点O顺时针旋转α度()030α︒<<︒至1OA ；第二步，1OA 绕点O 顺时针旋转2α度至2OA ；第三步，2OA 绕点O 顺时针旋转3α度至3OA ，以此类推，在旋转过程中若碰到直线MN 则立即绕点O 反方向旋转．当2421A OA ∠=︒时，则α等于______度．20．已知：如图1，点O 是直线MN 上一点，过点O 作射线OE ，使15EOM EON ∠=∠，过点O 作射线OA ，使90AOM ∠=︒．如图2，EON ∠绕点O 以每秒9°的速度顺时针旋转得E ON ∠''，同时射线OA 绕点O 以每秒3°的速度顺时针旋转得射线OA '，当射线OA '落在OA 的反向延长线上时，射线OA '和E ON ∠''同时停止，在整个运动过程中，当t =______时，E ON ∠''的某一边平分A OM ∠'（A OM ∠'指不大于180°的角）．三、解答题21．某商场第一次用20000元购进某款智能清洁机器人进行销售，很快销售一空，商家又用48000元第二次购进同款智能清洁机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价比第一次贵了200元．（1）该商家第一次购进智能清洁机器人多少台？（2）若第二次购进的智能清洁机器人的销售价格与第一次购进的智能清洁机器人的销售价格相同，要求两次全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每台智能清洁机器人的销售价格至少是多少元？22．在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区某驻村干部组织村民依托著名电商平台“拼多多”组建了某土特产专卖店，专门将进货自本地各家各户的A 、B 两款商品销售到全国各地．2020年10月份，该专卖店第一次购进A 商品40件，B 商品60件，进价合计8400元；第二次购进A 商品50件，B 商品30件，进价合计6900元．（1）求该专卖店10月份A 、B 两款商品进货单价分别为多少元？（2）10月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出．由于季节原因，B 商品缺货，该专卖店在11月份和12月份都只能销售A 商品，且A 商品11月份的进货单价比10月份上涨了m 元，进价合计49000元；12月份的进货单价又比11月份上涨了0.5m 元，进价合计61200元，12月份的进货数量是11月份进货数量的1.2倍．为了尽快回笼资金，A 商品在11月份和12月份的销售过程中维持每件150元的售价不变，到2021年元旦节，该专卖店把剩下的50件A 商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在A 商品进货单价上涨后的销售总金额为多少元？23．如果实数a ，b 满足a b ab -=的形式，那么a 和b 就是“智慧数”，用(),a b 表示．如：由于222233-=⨯，所以22,3⎛⎫ ⎪⎝⎭是“智慧数”．（1）下列是“智慧数”的是（填序号）；① 1.2-和6，① 92和3-，① 12-和1-．（2）如果()3,☆是“智慧数”，那么“①”的值为；（3）如果(),x y 是“智慧数”，①y 与x 之间的关系式为y = ；①当x ＞0时，y 的取值范围是；①在①的条件下，y 随x 的增大而（填“增大”，“减小”或“不变”）．24．己知在数轴上有A ，B 两点，点B 表示的数为最大的负整数，点A 在点B 的右边，且AB=24．若有一动点Р从数轴上点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设Q 运动时间为t 秒．（1）若点Р和点Q 同时出发，当2t =秒时，写出数轴上点P ，Q 所表示的数；（2）若点P ，Q 分别从A ，B 两点出发，Р先出发2秒，然后Q 才出发，问当t 为何值点P 与点相距3个单位长度；（3）若点О到点M ，N 两点的距离之和为10，则称点О是[],M N 的“整十点”，设点C 为线段AB 上的点，且10AC =，点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，点P 向左运动到C 点时返回到A 点时停止，动点Q 一直向右运动到A 点后停止运动，求当t 为何值时，点C 为[],P Q 的“整十点”．25．2020年初，国家发展改革委、生态环境部印发了《关于进一步加强塑料污染治理的意见》，明确了加强塑料污染治理分阶段的任务目标．某企业积极响应国家号召，加强对A 型，B 型可降解环保购物袋的研发生产和销售，2020年第二季度，A 型环保袋的销量比B 型销量的2倍少40吨，其中B 型环保袋每吨的利润是A 型的65倍，该季度销售A ，B 两种环保袋分别获得利润50万元和36万元．（1）第二季度A 型，B 型环保袋的销量分别为多少吨？（2）第三季度，该企业扩大了A ，B 两种环保袋的生产销售，A 型增加的销量是B 型增加销量的54倍，该季度A 型环保袋的销量是B 型的1.5倍．到了第四季度，为响应国家号召，该企业主动降低了两种环保袋的售价，A 型，B 型环保袋每吨的利润比第二季度分别降低了2%5a 和%a ，两种环保袋的销量却比第三季度分别增加了%a 和1%2a ，第四季度A ，B 两型环保袋的总利润比第二季度增加了49万元，求a 的值． 26．（1）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y =m x（0m ≠）的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点A 的坐标为（n ，6），点C 的坐标为（﹣2，0），且tan①ACO =2． ①求该反比例函数和一次函数的解析式；①求点B 的坐标；①在x 轴上求点E ，使①ACE 为直角三角形．（直接写出点E 的坐标）（2）某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书． ①求第一次购进图书的进价是每本多少元？①该书店老板在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？27．接种疫苗是阻断病毒传播的有效途经，为了保障人民群众的身体健康，我国目前正在开展新冠疫苗大规模接种工作．现有A 、B 两个社区疫苗接种点，已知A 社区疫苗接种点每天接种的人数是B 社区疫苗接种点每天接种人数的1.2倍，A 社区疫苗接种点种完6000支疫苗的时间比B 社区疫苗接种点种完6000支疫苗的时间少1天．（1）求A 、B 两个社区疫苗接种点每天各接种多少人？（2）一段时间后，A 社区接种点每天前来接种的人数比（1）中的人数减少了10m 人，而B 社区疫苗接种点由于加大了宣传力度，每天前来接种的人数增加到了（1）中A 社区疫苗接种点每天接种的人数，这样A 社区接种点3m 天与B 社区接种点()20m +天一共种完了69000支疫苗，求m 的值．28．某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）．（1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？29．新型冠状病毒爆发时期，医疗防护物资严重匮乏，民众急需护目镜和N 95口罩．重庆某药店3月初购进了一批护目镜和N95口罩，购进的N95口罩数量是护目镜数量的3倍．已知每个护目镜的售价比每个N95口罩的售价多40元，3月底护目镜和N95口罩全部销售完，据统计，护目镜的销售额为10000元，N95口罩的销售额为6000元．（1）该药店3月初购进了多少个护目镜？（2）4月份疫情得以缓和，该药店又购进以上两种医疗物资．该药店根据上月民众的需求和销售情况适当调整了进货计划，购进的护目镜购进的数量与3月份相同，但在运输过程中损耗了2%，导致受损的护目镜无法销售，而N95口罩数量比3月份增加了5%2a．由于政府对医疗物资价格的调整，护目镜的售价比3月份降低了a%，N95口罩的售价比3月份降低了2%3a，4月底售完这两种医疗物资后该药店的销售额达到了15800元，求a的值．30．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我县某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m 盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付总费用w元；①当总费用不超过1800元时，求m的取值范围；并求w关于m的函数关系式．①若该校有900名学生，按（2）中的配套方案购买，求所需总费用为多少元？。

专题05 单项选择(学生版) 2024-2025学年八年级英语上学期期中考点大串讲(鲁教版五四制)

2024-2025学年八年级上学期期中考点大串讲（鲁教版五四制）专题05 题型解析1：单项选择题型攻略【技巧攻略】1.仔细阅读和理解仔细阅读问题：从阅读问题开始，理解问题的内容。

突出显示或下划线提供线索的关键字或短语。

阅读选项：在做出决定之前，仔细阅读所有选项。

这将帮助您比较和对比不同的选择。

2.关键词识别识别关键词：在问题或句子中寻找可以帮助你确定正确答案的关键词。

这些关键字可能表示句子的时态、语气或其他语法方面。

了解它们的含义：一旦你确定了关键字，就要了解它们如何影响句子的含义和语法。

3.语法规则的直接应用运用语法知识：利用你的英语语法知识来消除不正确的选项。

例如，如果一个问题是测试动词时态，请确保答案选择中的动词与上下文所需的时态相匹配。

检查主谓一致性：验证答案选项中的主语和动词在数量上是否一致。

4.上下文的使用考虑上下文：看看问题所在的句子或段落。

上下文可以提供关于句子意义和语法的有价值的线索。

与整体主题相关：了解问题如何融入文章的整体主题或主题。

5.排除方法消除明显错误的选项：首先根据问题中的信息或你的语法知识消除任何明显不正确的选项。

缩小选择范围：一旦你排除了一些选择，就专注于剩下的选择，并仔细比较它们。

6.实践与反思定期练习：定期练习多项选择题，以提高你的速度和准确性。

复习你的错误：完成一组问题后，复习你的答案，分析你犯的任何错误。

了解你为什么错了一个问题，以及如何避免将来犯同样的错误。

7.其他注意陷阱：注意常见的陷阱，比如看似合理但实际上不正确的干扰物。

【考题示例】1．（24-25八年级上·山东济南·开学考试）I think Nelly sang as _______ as Lisa.A．good B．well C．better D．best【解析】句意：我认为Nelly唱得和Lisa一样好。

考查同级比较和副词的用法。

good好的，是形容词；well好，是副词；better更好的，是比较级；best最好的，是最高级。

专题05 不等式(组)及不等式的应用(5大考点)-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练解析版)

第二部分方程（组）与不等式（组）专题05 不等式（组）及不等式的应用核心考点一不等式的基本性质核心考点二一元一次不等式（组）的解法核心考点核心考点三含参不等式（组）问题核心考点四不等式的实际应用核心考点五方程与不等式结合的实际应用新题速递核心考点一不等式的基本性质例1（2022·内蒙古包头·中考真题）若，则下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．∴，故本选项不合题意；∴，故本选项不合题意；∴，故本选项不合题意；∴，故本选项符合题意；数轴上的点分别表示实数、，则______．（填“>”、“=”或“<”）【答案】【分析】由图可得：，再根据不等式的性质即可判断．【详解】解：由图可得：，由不等式的性质得：，故答案为：．【点睛】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．江苏淮安·中考真题）解不等式．解：去分母，得．……（1）请完成上述解不等式的余下步骤：（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是（填“A”或“B”）A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【答案】（1）余下步骤见解析；（2）A．【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项的步骤进行补充即可；（2）根据不等式的性质即可得．【详解】（1）去分母，得去括号，得移项，得合并同类项，得；（2）不等式的性质：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变两边同乘以正数2，不等号的方向不变，即可得到故选：A．【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．知识点：不等式及其基本性质1、定义：用不等号（>,≥,<,≤或≠）表示不等关系的式子叫做不等式。

2、基本性质性质1不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变，即如果，那么性质2不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果，，那么，性质3不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果，，那么，性质4如果，那么性质5如果，，那么【变式1】．（2022·安徽·合肥市五十中学西校三模）已知实数a，b，c满足，．则下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则C．a，b，c不可能同时相等D．若，则【答案】B【分析】A.根据，则，根据，得出；B.根据，得出，把代入得：，即可得出答案；C.当时，可以使，，即可判断出答案；D.根据解析B可知，，即可判断．【详解】A.∵，∴，∵，∴，∴，故A错误；B.∵，即，∴，把代入得：，，解得：，故B正确；C.当时，可以使，，∴a，b，c可能同时相等，故C错误；D.根据解析B可知，，把代入得：，故D错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了分式的化简，等式基本性质和不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质和等式的性质，是解题的关键．【变式2】（2022·江苏南通·一模）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集为x＜2，则关于x 的不等式（m+n）x＞m﹣n的解集是（）A．x<13B．x>13C．x<-13D．x>-13【答案】C【分析】根据不等式的性质，利用不等式的解集是得到，，然后把代入不等式中求解即可．【详解】解：∵不等式的解集是，∴（），，∴，不等式变形为，即，∵，∴．故选C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式．解题的关键在于熟练掌握不等式的性质．【变式3】（2022·江苏宿迁·三模）若不等式，两边同除以m，得，则m的取值范围为__________．【答案】【分析】由不等式的基本性质知，据此可得答案．【详解】解：若不等式，两边同除以，得，则．故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质．【变式4】（2022·安徽·模拟预测）已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，化简：|1﹣a|﹣a＝_____．【答案】【分析】根据不等式的基本性质得出1﹣a＜0，再由绝对值的性质去绝对值符号、合并同类项即可．【详解】解：∵关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为，∴1﹣a＜0，解得a＞1，即，∴原式＝a﹣1﹣a＝﹣1，故答案为：﹣1．【点睛】本题主要考查了不等式的性质及绝对值的化简求值，解题的关键是掌握不等式的基本性质和绝对值的化简．【变式5】（2022·浙江杭州·一模）已知，，请比较M和N的大小．以下是小明的解答：∵，，∴．小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答．【答案】有错；时，；时，；时，；【分析】先求出M与N的差，根据不等式的性质对M与N的差进行分类讨论即可求解．【详解】解：有错，正确解答如下．∵，，∴．∴当x>0时，2x>0，即，此时M>N；当x=0时，2x=0，即，此时M=N；当x<0时，2x<0，即，此时M<N．∴时，；时，；时，．【点睛】本题考查作差法比较大小，不等式的性质，正确应用分类讨论思想是解题关键．核心考点二一元一次不等式（组）的解法例1（2022·辽宁大连·中考真题）不等式的解集是（）A．B．C．D．【详解】解：，移项，合并同类项得：本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握中考真题）若在实数范围内有意义，则实数___________．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键．中考真题）解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．【答案】x≤1，图见解析【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式解集，再求出其公共解集即可求解，然后把解集用数轴表示出来即可．【详解】解：解①得：x≤1，解②得：x<6，∴x≤1，解集在数轴上表示为：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．也考查了用数轴表示不等式的解集．知识点：一元一次不等式及其解法定义含有一个未知数，未知数的次数是1、且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式。

等式与不等式的性质(解析版)

等式与不等式的性质【考纲要求】1、会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质.2、会利用不等式性质比较大小【思维导图】【考点总结】【考点总结】一、等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc .二、不等式的概念我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．三、比较两个实数a 、b 大小的依据文字语言符号表示如果a ＞b ，那么a －b 是正数；如果a ＜b ，那么a －b 是负数；如果a ＝b ，那么a －b 等于0，反之亦然a >b ⇔a －b >0 a b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .推论(同向可加性)：⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性： ⎭⎬⎫a >b c >0⇒ac >bc ；⎭⎬⎫a >bc <0⇒ac <bc ；推论(同向同正可乘性)：⎭⎬⎫a >b >0c >d >0⇒ac >bd ； (5)正数乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N *，n ≥1)； (6)正数开方性：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N *，n ≥2)． [化解疑难]1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件． 2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．【题型汇编】题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小题型二：作差法比较数（式）大小题型三：利用不等式的性质证明不等式【题型讲解】题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小一、单选题1．（2022·浙江·三模）已知,,,a b c d ∈R ，且,,()()()a b c c d a d b d c d c d <<≠---+=，则（） A ．d a 【答案】B 【解析】【分析】由()()()a d b d c d c d ---+=得()()10a d b d --=-<，结合a b <即可求解. 【详解】由题意知：()()()a d b d c d d c ---=-，又c d ≠，则()()10a d b d --=-<，显然,a d b d --异号，又a b <，所以a d b c <<<. 故选：B.2．（2022·北京·北大附中三模）已知0a b >>，下列不等式中正确的是（） A ．c ca b> B ．2ab b <C ．12a b a b-+≥- D ．1111a b <-- 【答案】C 【解析】【分析】由0a b >>，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 【详解】解：对于选项A ，因为110,0a b a b>><<，而c 的正负不确定，故A 错误；对于选项B ，因为0a b >>，所以2ab b >，故B 错误；对于选项C ，依题意0a b >>，所以10,0a b a b ->>-，所以()112a b a b a ba b-+≥-⨯=--，故C 正确；对于选项D ，因为10,111,1a b a b a >>->->--与11b -正负不确定，故大小不确定，故D 错误；故选：C.3．（2022·江西萍乡·三模（理））设2ln1.01a =， 1.021b =，1101c =，则（） A ．a b c <，利用不等式的性质比较得出b c >，从而求得答案. 【详解】令()()ln ,1x f x x g x =， ()()()ln 1h x f x g x x x =-=，12()2xh x x x -'==，可以判断()h x 在[0,4)上单调递增， 22ln1.01 1.021ln1.01 1.011ln1.0201 1.021a b -==-= ln1.02 1.021(1.02)(1)0h h >=>=，所以a b >，2222221221202200121(1)(1) 1.02(1)0101100101101100101101100101101b c -+-+=-+=--=-=->⨯⨯，所以22(1)(1)b c +>+，又因为 1.0210b =>，10101c =>，所以11b c +>+，即b c >，所以c b a <<，故选：D.4．（2022·北京·二模）“0m n >>”是“()22()log log 0-->m n m n ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先根据不等式的性质，求解出()22()log log 0-->m n m n ，进而根据逻辑关系进行判断即可. 【详解】对于()22()log log 0-->m n m n 等价为：220log log 0m n m n ->⎧⎨->⎩或220log log 0m n m n -<⎧⎨-<⎩ 即：22log log m n m n >⎧⎨>⎩或22log log m n m n <⎧⎨<⎩ 解得：0m n >>或0m n <<，∴“0m n >>”是“()22()log log 0-->m n m n ”的充分不必要条件.故选：A.5．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知0,0a b >>，且2e 1b aa b -+=+则下列不等式中恒成立的个数是（） ①1122b a --< ②11b a a b -<- ③e e b a b a -<- ④52727ln 5a a b b ++-+<+A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】【分析】①，分析得到,a b <所以1122b a --<正确；②，构造函数举反例判断得解；③，构造函数利用函数单调性判断得解；④，转化为判断2ln(5)2+72ln(5)2+7a a b b +<+解. 【详解】解：①，若02,e e 1,11b aa ab b -+≥∴≤=∴>+，所以矛盾，所以,a b <所以1122b a --<正确； ②，1111b a a b a b a b -<-∴+<+，，设21(1)(1)(),(0),()x x f x x x f x x x +-'=+>∴=，所以当(0,1)x ∈时，函数()f x 单调递减，当(1,+)x ∈∞时，函数()f x 单调递增，因为a b <，所以11a b ab+<+不恒成立，如1151,(),1,(1)2()2222a fb f f ====<，所以该命题错误；③，e e a b a b -<-，设()e ,()e 10,()x x g x x g x g x '=-∴=->∴在(0,)+∞单调递增，因为a b <，所以e e a b a b -<-恒成立，所以该命题正确； ④，52727ln2ln(5)2+72ln(5)2+75a a b a a b b b ++-+<⇔+<++ 设()2ln(5)2+7h x x x =+所以2227(5)()(5)27(5)27[227(5)]x x h x x x x x x x +-+'+++++++ (5)27[227(5)]x x x x +++++，所以函数()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减. 取131,e,(1)e 3e,1b b a b b -==∴+=+ 设()(1)e ,()(2)e 0x x k x x k x x '=+∴=+>，所以()k x 在(0,)+∞单调递增， (1)2e 3e k =<，2(2)3e 3e k =>，所以存在(1,2),(1)e 3e b b b ∈+>，此时2ln(5)2+72ln(5)2+7a a b b ++ 所以该命题错误. 故选：B6．（2022·山东日照·二模）若a ，b ，c 为实数，且a b <，0c >，则下列不等关系一定成立的是（） A ．a c b c +<+ B ．11a b< C ．ac bc > D ．b a c ->【答案】A 【解析】【分析】由不等式的基本性质和特值法即可求解. 【详解】对于A 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a b a c b c <⇒+<+，A 选项正确；对于B 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若2a =-，1b =-，则11a b>，B 选项错误；对于C 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，0c >，0a b ac bc <<⇒<，C 选项错误；对于D 选项，因为0a b b a <⇒->，0c >，所以无法判断b a -与c 大小，D 选项错误.7．（2022·陕西渭南·二模（文））设x 、y 都是实数，则“2x >且3y >”是“5x y +>且6xy >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由不等式性质及特殊值法判断条件间的推出关系，结合充分必要性的定义即可确定答案. 【详解】由2x >且3y >，必有5x y +>且6xy >，当5x y +>且6xy >时，如1,7x y ==不满足2x >，故不一定有2x >且3y >. 所以“2x >且3y >”是“5x y +>且6xy >”的充分不必要条件. 故选：A8．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（） A ．22a b > B ．11b b a a +<+ C ．22ac bc > D ．332a b -+>【答案】D 【解析】【分析】对于A ，B ，C 可以取特殊值验证，对于D ，根据题意得330a b >>，3333a b b b --+>+，利用基本不等式求解即可. 【详解】对于A ：当2a =，4b =-时不成立，故A 错误；对于B ：当12a =-，1b =-，所以2ba =，101b a +=+，即11b b a a +>+，故C 错误；对于C ：当0c 时不成立，故C 错误；对于D ：因为a b >，所以330a b >>，又30b ->，所以33332332b b a b b b ---≥⨯+>+=（等号成立的条件是0b =），故D 正确. 故选：D.9．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（文））设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极小值点，则（） A ．a b C ．2ab a < D ．2ab a >【答案】C 【解析】【分析】先对函数求导，令()0f x '=，则x a =或23a b x +=，然后分23a b a +<和23a ba +>结合a 的正负讨论判断函数的极值点即可【详解】由()()()2f x a x a x b =--，得2()2()()()()(32)f x a x a x b a x a a x a x a b '=--+-=---，令()0f x '=，则x a =或23a bx +=，当23a ba +<，即a b <时，若0a >时，则()f x 在(,)a -∞，2,3a b +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,3a b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以x a =是函数的极大值点，不合题意，若0a <时，则()f x 在(,)a -∞，2,3a b +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,3a b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以x a =是函数的极小值点，满足题意，此时由a b <，0a <，可得2a ab >，当23a ba +>时，a b >，若0a <时，()f x 在2,3a b +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(,)a +∞上单调递减，在2,3a b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以x a =是函数的极大值点，不合题意，若0a >时，()f x 在2,3a b +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(,)a +∞上单调递增，在2,3a b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以x a =是函数的极小值点，满足题意，此时由a b >，0a >得2a ab >，综上，2a ab >一定成立，所以C 正确，ABD 错误，故选：C10．（2022·江西·二模（文））已知正实数a ，b 满足1a b +=，则下列结论不正确的是（） A ab 12B ．14a b+的最小值是9C ．若a b >，则2211a b < D ．22log log a b +的最大值为0 【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式，以及对数的运算，不等式的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A ：0,0,1a b a b ab >>=+≥12ab ，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对B ：14144()59b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =，即12,33a b ==时，等号成立，故B 正确；对C ：0a b >>，∴22a b >，∴2211a b<，故C 正确；对D ：由A 可知104ab <≤，故22221log log log log 24a b ab +=≤=-，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 错误. 故选：D . 二、多选题1．（2022·全国·模拟预测）已知110a b<<，则下列不等关系中正确的是（） A ．ab a b >- B ．ab a b <--C ．2b aa b+>D ．b a a b> 【答案】CD 【解析】【分析】根据不等式的性质，特值法以及基本不等式即可判断各关系式的真假．【详解】对A ，由110a b <<，得0b a <<，当12a =-，2b =-时，A 错误；对B ，当2a =-，3b =-时，B 错误；对C ，由110a b<<，得0b a <<，根据基本不等式知，C 正确：对D ，由110a b <<，得0b a <<，所以22b a >，因为220b a b a a b ab--=>，所以D 正确．故选：CD ．2．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系一定成立的是（） A ．221a b >+ B ．122a b +> C ．24a b > D ．1ab b>+ 【答案】ABC 【解析】【分析】利用不等式的性质及特殊值法判断即可．【详解】解：对于非零实数a ，b 满足||1a b >+，则()22||1a b >+，即2222||11a b b b >++>+，故A 一定成立；因为1||1122a b a b b +>+≥+⇒>，故B 一定成立；又()2||10b -≥，即212||b b +≥，所以24||4a b b >≥，故C 一定成立；对于D ：令5a =，3b =，满足||1a b >+，此时5143a b b =<+=，故D 不一定成立．故选：ABC3．（2022·重庆·二模）已知2510a b ==，则（） A ．111a b+> B ．2a b > C ．4ab > D ．4a b +>【答案】BCD 【解析】根据指数式与对数式的互化，再利用对数的运算性质及对数大小的比较及不等式的性质即可求解. 【详解】252510,log 10,log 10,a b a b ==∴==对于A ，lg lg lg lg log log lg lg lg lg a b +=+=+=+251111112510101010101025log log log log =+===⨯101010102255101，故A 不正确；对于B ，log ,log log log a b ====2255510221010100，342328,216,525,5125====log log log ;log log log a b <<⇒<<<<⇒<<222555816342510012522103，2a b >，故B 正确；对于C ，()()lg lg lg lg lg lg log log log log lg lg lg lg ab ++=⋅=⋅=⋅=++102525251025101015122525log log log log log log =+++⋅=++25252515252252log log ,log log ab >=>=∴>++=22555422102204，故C 正确；对于D ，由B 知，,,a b b a b <<<<∴<<∴<+<311342231422，故D 正确；故选：BCD.题型二：作差法比较数（式）大小一、单选题1．（2022·全国·模拟预测（理））已知10a b a>>>，则下列结论正确的是（） A ．1a bb a -⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．log log a a bba b <C ．log log a b baa b <D ．11b a a b-<- 【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个选项，即可得答案.因为10a b a>>>，所以1a >，对于A ：01b a <<，0a b ->，所以01a bb b a a -<⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎝⎭=⎭，故A 错误；对于B ：1ab>，所以log a b y x =在(0,)+∞上为增函数，又a b >，所以log log a a bba b>，故B 错误；对于C ：log log log log log a b a a a babbbb a b a ab-=+=，因为1ab>，1ab >，所以log log 10a a b b ab =>，所以log log a b baa b>，故C 错误；对于D ：11111()ab b a b a a b a b b a ab -⎛⎫⎛⎫---=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0a b ->，1ab >，所以111()0ab b a a b a b ab -⎛⎫⎛⎫---=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11b a a b -<-，故D 正确. 故选：D2．（2022·重庆·二模）若非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（） A ．11a bC ．22lg lg a b > D ．33a b >【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的基本性质、基本不等式的条件和对数的运算，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A 中，由11b aa b ab--=，因为a b >，可得0b a -<，当ab 不确定，所以A 错误；对于B 中，只有当0,0,a b a b >>，不相等时，才有2a b ab +>B 错误；对于C 中，例如1,2a b ==-，此时满足a b >，但22lg lg a b <，所以C 错误；对于D 中，由不等式的基本性质，当a b >时，可得33a b >成立，所以D 正确. 故选：D.3．（2022·江西上饶·二模（理））设e 4ln 2313e 4ln 214e ea b c ===，，其中e 是自然对数的底数，则（）注：e 2.718ln 20.693==，A ．b a c <；根据作差法和对数的运算性质可得13423)4c a -=+，构造新函数2(1)()ln (0)1x g x x x x -=->+，利用导数研究函数的性质可得34230+>，进而c a >，即可得出结果. 【详解】令()e xx f x =，则1()ex xf x -'=，令()01f x x =⇒='，则()e xxf x =在(1,)+∞单调递减，所以4ln 2e 4ln e e e 2()(4ln 2)e bf c f ====，， ∵4ln 240.69 2.76e b c >⨯=∴>>，； 4ln 24ln 2ln 231314e 4c a ===，， ∴ln 231311343)444c a -=-+=+，令2(1)()ln (0)1x g x x x x -=->+，则22214(1)()0(1)(1)x g x x x x x -'=-=≥++，∴()g x 在(1,)+∞单调递增， ∴2(31)(3)33423031g -==++， ∴c a >；综上，b c a >>. 故选：C4．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22a b >B ．11b b a a +<+ C ．22ac bc > D ．332a b -+>【答案】D 【解析】【分析】对于A ，B ，C 可以取特殊值验证，对于D ，根据题意得330a b >>，3333a b b b --+>+，利用基本不等式求解即可. 【详解】对于A ：当2a =，4b =-时不成立，故A 错误；对于B ：当12a =-，1b =-，所以2ba =，101b a +=+，即11b b a a +>+，故C 错误；对于C ：当0c 时不成立，故C 错误；对于D ：因为a b >，所以330a b >>，又30b ->，所以33332332b b a b b b ---≥⨯+>+=（等号成立的条件是0b =），故D 正确. 故选：D.5．（2022·广东广州·一模）若正实数a ，b 满足a b >，且ln ln 0a b ⋅>，则下列不等式一定成立的是（） A ．log 0a b - C ．122ab a b ++< D ．11b a a b --<【答案】D 【解析】【分析】根据函数单调性及ln ln 0a b ⋅>得到1a b >>或01b a <<<，分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A 选项可以用对数函数单调性得到，B 选项可以用作差法，C 选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D 选项，需要构造函数进行求解. 【详解】因为0a b >>，ln y x =为单调递增函数，故ln ln a b >，由于ln ln 0a b ⋅>，故ln ln 0a b >>，或ln ln 0b a <<，当ln ln 0a b >>时，1a b >>，此时log 0a b >； ()11110a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫---=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11a b b a ->-； ()()()1110ab a b a b +-+=-->，122ab a b ++>；当ln ln 0b a <<时，01b a <<<，此时log 0a b >，()11110a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫---=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11b a a b -<-；()()()1110ab a b a b +-+=-->，122ab a b ++>；故ABC 均错误；D 选项，11b a a b --<，两边取自然对数，()()1ln 1ln b a a b -<-，因为不管1a b >>，还是01b a <<<，均有()()110a b -->，所以ln ln 11a b a b <--，故只需证ln ln 11a ba b <--即可，设ln 1xf xx （0x >且1x ≠），则()()211ln 1x x f x x --'=-，令()11ln g x x x =--（0x >且1x ≠），则()22111xg x x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，所以()()10g x g <=，所以()0f x '<在0x >且1x ≠上恒成立，故ln 1xf xx （0x >且1x ≠）单调递减，因为a b >，所以ln ln 11a b a b <--，结论得证，D 正确故选：D6．（2022·山西太原·二模（文））已知32a =，53b =，则下列结论正确的有（） ①a b < ②11a b a b+<+ ③2a b ab +< ④b a a a b b +<+ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B 【解析】【分析】求出a 、b 的值，比较a 、b 的大小，利用指数函数的单调性、导数法、不等式的基本性质以及基本不等式逐项判断可得出合适的选项. 【详解】因为32a =，53b =，则3log 2a =，5log 3b =.对于①，3223<，则2323<，从而2333320log 1log 2log 33a =<=<=，3235>，则2335>，则235552log 5log 3log 513b =<=<=，即2013a b <<<<，①对；对于②，()()()11111a b ab a b a b a b a b ab --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为2013a b <<<<，则0a b -<，01ab <<，所以，11a b a b +>+，②错；对于③，355522log 2log 32log 2log 4ab =⋅==，所以，35535542log 2log 3log 4log 2log log 3log 503a b ab +-=+-=->=，所以，2a b ab +>，③错；对于④，构造函数()ln x f x x =，其中0e x <<，则()21ln xf x x -'=. 当0e x <<时，()0f x '>，则函数()f x 在()0,e 上单调递增，因为01a b <<<，则()()f a f b <，即ln ln a ba b<，可得b a a b <，所以，b a a a b b +<+，④对. 故选：B.7．（2022·河北衡水中学一模）已知110a b<<，则下列结论一定正确的是（） A ．22a b > B ．2b aa b+<C ．a ba a <D ．2lg lg a ab <【答案】D 【解析】【分析】由110a b<<，得到0b a <<，结合不等式的基本性质、作差比较、基本不等式和对数的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】由110a b<<，可得0b a <<，则0,0,0a b a b ab +<->>，对于A 中，由22()()0a b a b a b -=+-<，所以22a b <，所以A 不正确；对于B 中，由0,0b a a b <>，且b a a b ≠，则2b a b aa b a b+>⨯，所以B 不正确；对于C 中，由0,0aba a >>，且a a bba aa-=，当1a >时，1a a bba aa -=>，此时ab a a >；当1=a 时，1a a bba aa -==，此时ab a a =；当1a <时，1a a bba aa-=<，此时a b a a <，所以C 不正确；对于D 中，由22lg lg lglg a aa ab ab b=-=，因为0b a <<，可得01a b <<，所以lg0ab<，可得2lg lg a ab <，所以D 正确. 故选：D.8．（2022·重庆·三模）已知0.3πa =，20.9πb =，sin 0.1c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．a c b >> D ．b a c >>【答案】B 【解析】【分析】作差法比较出a b >，构造函数，利用函数单调性比较出c a >，从而得出c a b >>. 【详解】 2220.30.90.3π0.90.330.90ππππa b -⨯--=-=>=，所以0a b ->，故a b >，又()πsin 3f x x x =-，则()πcos 3f x x '=-在π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()0π30f '=->，π3π306f ⎛⎫'< ⎪⎝⎭，所以存在0π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，且在()00,x x ∈时，()0f x '>，在0π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，即()πsin 3f x x x =-在()00,x x ∈上单调递增，在0π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，且π6+23012f ⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，所以0π12x >，又因为()00f =，所以当()00,x x ∈时，()πsin 30f x x x =->，其中因为1π1012<，所以()010,10x ∈，所以1πsin 0.10.3010f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故sin 0.10.3π>，即c a b >>. 故选：B9．（2022·湖南·雅礼中学二模）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是 A ．ax by cz ++ B ．az by cx ++ C ．ay bz cx ++ D ．ay bx cz ++【答案】B 【解析】【详解】由x y z <<，a b c <<，所以()()()ax by cz az by cx a x z c z x ++-++=-+- ()()0x z a c =-->，故ax by cz az by cx ++>++；同理，()ay bz cx ay bx cz ++-++()()()()0b z x c x z x z c b =-+-=--<，故ay bz cx ay bx cz ++<++.因为()az by cx ay bz cx ++-++()()()()0a z y b y z a b z y =-+-=--<，故az by cx ay bz cx ++<++.故最低费用为az by cx ++.故选B.二、多选题1．（2022·山东日照·三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E 与工作年限()0r r >，劳累程度()01T T <<，劳动动机()15b b <<相关，并建立了数学模型0.141010r E T b -=-⋅，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（）A ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高B ．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低C ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱D ．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强【答案】AC 【解析】【分析】设甲与乙的工人工作效率12,E E ，工作年限12,r r ，劳累程度12,T T ，劳动动机12,b b ，利用作差法和指数函数的性质比较大小即可判断选项AB ；利用作商法和幂函数指数函数的性质比较大小即可判断选项CD. 【详解】设甲与乙的工人工作效率12,E E ，工作年限12,r r ，劳累程度12,T T ，劳动动机12,b b ，对于A ，0.141212122,,,15,01b b r r T T b b -=><<<<<∴210.140.421121,0r r b b T T -->>>，则()120.140.1412112210101010r r E E T b T b ---=-⋅--⋅()1200.1.1424211100r rT b T b --=⋅-⋅>，∴12E E >，即甲比乙工作效率高，故A 正确；对于B ，121212,,T T r r b b =>>，∴2210.0.140.140.141402.14121110,r r r b b b b b ----->>>>>，则()120.140.1412112210101010r r E E T b T b ---=-⋅--⋅()210.141210.14100r rT b b --=->，∴12E E >，即甲比乙工作效率高，故B 错误：对于C ，112221,,b b E E r r =><，∴()210.140.14122211100r r E E T b T b ---=⋅-⋅>，210.140.142211r rT b T b --⋅>⋅∴()()11220.140.41110.122141r r r r b b b T T ---->=>，所以1T T >2，即甲比乙劳累程度弱，故C 正确；对于D ，12121221,,,01r r E E b b b b =><<<， ∴()210.140.14122211100r r E E T bT b ---=⋅-⋅>，210.140.142211r r T bT b --⋅>⋅∴()()11220.140.41110.122141r r r r b b b T T ---->=>，所以1T T >2，即甲比乙劳累程度弱，故D 错误．故选：AC2．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知0a b >>，115a b a b+++=，则下列不等式成立的是（） A ．14a b <++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AB 【解析】【分析】AB 选项，利用基本不等式进行求解；CD 选项，利用作差法比较大小. 【详解】 115a b a b +++=，即5a b a b ab+++=，所以()5a b ab a b +=-+，因为0a b >>，所以由基本不等式得：()24a b ab +<，所以()()254a b a ba b ++<-+，解得：14a b <+<，A 正确；11112224b a ab ab a b abab ⎛⎫⎛⎫++=++≥⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1ab ab =时等号成立，故B 正确； ()221111111111b a b a b a b a b a a b a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=++++--=++++- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为0a b >>，所以()11110b a b a a b ab ⎛⎫⎛⎫++++-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以2211b a a b ⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误；()221111111111a b a b a b a b b a a b a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=++++--=+++-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为0a b >>，而1ab 可能比1大，可能比1小，所以()1111a b b a a b ab ⎛⎫⎛⎫+++-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭符号不确定，所以D 错误，故选：AB3．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知1m n >>，若1e 2e e m n m m m n +-=-（e 为自然对数的底数），则（） A ．1e e 1m n m n +>+ B ．11122m n-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．42222m n --+> D ．()3log 1m n +>【答案】ACD 【解析】【分析】由1e 2ee mn mm m n +-=-可得1e e 21m n m n ++=+，利用作差法即可判断A ；令()()e 1x f x x x=>，根据导数可判断函数在()1+∞，上递增，结合A 及指数函数的单调性可判断B ；根据指数函数的单调性结合基本不等式可判断C ；结合B 根据对数函数的单调性可判断D. 【详解】解：因为1e 2e e m n m m m n +-=-，所以()()11e e 2m n n m ++=+，即1e e 21m n m n ++=+，对于A ，因为111e e e 2e 20111+1m n n n m n n n n ++++-=-=>+++，所以1e e 1m n m n +>+，故A 正确；对于B ，令()()e 1x f x x x =>，则()()21e 0x x f x x -'=>，所以()f x 在()1+∞，上单调递增，因为1e e 1m n m n +>+，所以()()1f m f n >+，所以1m n >+，即1m n ->，所以11122m n-⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，因为1m n >+，所以433322222222m n n n n n -------+>+≥⋅== 当且仅当322n n --=，即32n =时取等号，所以4222m n --+>，故C 正确；对于D ，因为1213m n n n n +>++=+>，所以()3log 1m n +>，故D 正确. 故选：ACD.4．（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（）．A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】【分析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，写出函数的定义域、判定奇偶性，即判定选项A 错误、选项B 正确；设出切点坐标，利用导数的几何意义和过点P 求出切线方程，进而判定选项C 正确；平方作差比较大小，进而判定选项D 错误. 【详解】设()f x x α=，将点4,2代入()f x x α=，得24α=，则12α=，即12()f x x =，对于A ：()f x 的定义域为[)0,+∞，即选项A 错误；对于B ：因为()f x 的定义域为[)0,+∞，所以()f x 不具有奇偶性，即选项B 正确；对于C ：因为12()f x x =，所以()2f x x'=设切点坐标为(00x x ，则切线斜率为()002k f x x =' 切线方程为000)2y x x x x =-，又因为切线过点1(0,)2P ，所以0001)22x x x -，解得01x =，即切线方程为11(x 1)2y -=-，即1122y x =+，即选项C 正确；对于D ：当120x x <<时，()()21212221212[]222f x f x x x x x x x f ++++⎛⎫-=-⎪⎝⎭⎝⎭ (212121212121222024x x x x x x x x x x x x ++--+=-<，即()()1212()22f x f x x xf ++<成立，即选项D 错误．故选：BC ．5．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a 和b ，满足1ab >，下列不等式正确的是（） A ．1ab a b +>+ B ．()2log 1a b +> C ．11a b ab+<+ D ．11a b a b+>+ 【答案】BD 【解析】【分析】A 选项，利用()()1110a b ab a b --=+--<作出判断；B 选项，利用基本不等式即函数单调性求解；CD 选项，用作差法求解. 【详解】由于两个不相等的正实数a 和b ，满足1ab >，所以a 和b 可取一个比1大，一个比1小，即()()1110a b ab a b --=+--<，故1ab a b +<+，A 错误；由题意得：22a b ab +>，所以()2log 1a b +>，B 正确；()111111a b a b a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中110ab ->，但不知道a 和b 的大小关系，故当a b >时，11a b a b+>+，当a b <时，11a b a b +<+，C 错误；()1111a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中110ab ->，0a b +>，所以()11110a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+-+=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11a b a b+>+，D 正确. 故选：BD6．（2022·山东聊城·三模）已知实数m ，n 满足01n m <<<，则下列结论正确的是（） A ．11n n m m +<+ B ．11m n m n+>+C ．n m m n >D ．log log m n n m <【答案】AC 【解析】【分析】利用作差法比较大小，可判断A,B,利用指数函数和幂函数的单调性，可判断C;根据对数函数的单调性，可判断D. 【详解】由01n m <<<知，0n m -< ，故110,1(1)1n n n m n n m m m m m m +-+-=<<+++，A 正确；由01n m <<<得0m n ->，110mn -<，所以()11110m n m n m n mn ⎛⎫⎛⎫+-+=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11m n m n +<+，故B 错误；因为指数函数x y m =为单调减函数，故n m m m >，由幂函数m y x = 为单调增函数知m m m n > ，故n m m n >，故C 正确；根据, 01n m <<<对数函数log ,log m n y x y x == 为单调减函数, 故log log 1log log m m n n n m n m >==>，故D 错误，故选：AC题型三：利用不等式的性质证明不等式一、单选题1．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）设,a b ∈R ，则“||1+≤a b ”是“||1a b +≥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的基本性质可证充分性成立，举例说明可证必要性不成立. 【详解】||1|||||1|1≥+⇒+≥++≥b a a b a a ，所以充分性成立，当05a b ==-，时，满足||1a b +≥，但||1+≤a b 不成立，所以必要性不成立．所以“||1+≤a b ”是“||1a b +≥”的充分不必要条件.故选：A ．2．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】通过列举，和推理证明可以推出充要性. 【详解】若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞；若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞；故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件，故选：B. 【点睛】本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决． 3．（2021·浙江·模拟预测）已知a ，b R ∈，则“a b b ->”是“12b a <”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】先化简a b b ->得12b a <，即得解. 【详解】由a b b ->得2222,(2)0a b ab b a a b +->∴->，所以2210,10,2a b b b a a a ->∴->∴<. 反之，也成立.所以“a b b ->”是“12b a <”的充分必要条件. 故选：C 【点睛】方法点睛：充分必要条件的判断，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.4．（2021·上海长宁·二模）已知函数()(),y f x y g x ==满足：对任意12,x x R ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-．命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值．则下列判断正确的是（） A ．p 和q 都是真命题 B ．p 和q 都是假命题 C ．p 是真命题，q 是假命题 D ．p 是假命题，q 是真命题【答案】C 【解析】【分析】利用函数单调性定义结合已知判断命题p 的真假，再利用函数最大、最小值的意义借助不等式性质判断命题q 的真假而得解. 【详解】对于命题p ：设12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <，所以()()()()1221f x f x f x f x -=-，因为()()()()1212f x f x g x g x -≥-，所以()()()()211221()()f x f x g x g x f x f x -+≤-≤- 所以()()1122()()f x g x f x g x -≤- 故函数()()y f x g x =-不是减函数，故命题p 为真命题；对于命题():q y f x =在R 上有最大值M ，此时x a =，有最小值m ，此时x b =，因为()()()()()()()()f x f a g x g a f x M g x g a M f x -≥-⇔-≤-≤-，()()()()()()()()f x f b g x g b m f x g x g b f x m -≥-⇔-≤-≤-所以()()()()2()()()()22m M g a g b M m g a g b m M g x g a g b M m g x -++-++-≤--≤-⇔≤≤，所以()y g x =有界，但不一定有最大值和最小值，故命题q 为假命题．故选：C 【点睛】结论点睛：含绝对值不等式转化方法：a>0时，||x a a x a ≤⇔-≤≤；||x a x a ≥⇔≤-或x a ≥.5．（2021·浙江·模拟预测）已知x ，y ∈R ，则“2214xy +≤”是“12xy +≤”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质证明必要性成立，利用特殊值法证明充分性不成立即可得到结果. 【详解】若12x y +≤，则12x ≤，1y ≤，所以222x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，2y y ≤所以22122x x y y ⎛⎫+≤+≤ ⎪⎝⎭，即必要性成立；当32x =，12y =时，22312142⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+< ⎪⎝⎭，但311242x y +=+>，所以充分性不成立所以“2214x y +≤”是“12x y +≤”的必要不充分条件故选：B ．【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用不等式的性质证明必要性.6．（2021·全国·模拟预测）已知a ∈R ，()21ln 0ax x a x --+≤在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】不等式()21ln 0ax x a x --+≤等价于(1)(1)ln 0x ax a x -+-≤，分类讨论1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1x =和(1,2]x ∈，分别求出实数a 的取值范围，最后取交集即可. 【详解】易知21(1)(1)ax x a x ax a --+=-+-，不等式()21ln 0ax x a x --+≤，即(1)(1)ln 0x ax a x -+-≤.当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，ln 0x <，10x -<，则1101ax a a x +-≤⇒≤+，又112,123x ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦，所以12a ≤；当1x =时，ln 0x =，对任意的实数a ，不等式恒成立；当(1,2]x ∈时，ln 0x >，10x ->，则1101ax a a x +-≤⇒≤+，又11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以13a ≤；综上，实数a 的取值范围为1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查不等式恒成立求参数问题，不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）； ②数形结合(()y f x = 图像在()y g x = 上方即可)； ③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.7．（2021·浙江·模拟预测）已知0a b >>，给出下列命题： 1a b =，则1a b -<； ②若331a b -=，则1a b -<； ③若1a b e e -=，则1a b -<； ④若ln ln 1a b -=，则1a b -<. 其中真命题的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】1a b =1a b ，然后两边平方，再通过作差法即可得解；②若331a b -=，则331a b -=，然后利用立方差公式可知23(1)(1)a a a b -++=，再结合0a b >>以及不等式的性质即可判断； ③若1abe e -=，则111a b a bb b b e e ee e e-+===+，再利用0b >，得出1b e >，从而求得a b e -的范围，进而判断； ④取特殊值，a e =，1b =即可判断．【详解】1a b ， 1a b =，所以12a b b =++所以121a b b -=+，即①错误；若331a b -=，则331a b -=，即23(1)(1)a a a b -++=，因为0a b >>，所以22a b >，所以221a a b ++>，所以1a b -<，即1a b -<，所以②正确；若1a b e e -=，则111a b a bb b b e e ee e e-+===+，因为0b >，所以12a b e e -<<<，所以1a b -<，即③正确；④取a e =，1b =，满足1lna lnb -=，但1a b ->，所以④错误；所以真命题有②③，故选：B ．【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及根据不等式的性质证明不等式、指对运算法则、立方差公式等，考查学生的分析能力和运算能力．8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知,a b ∈R 且满足1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是（） A ．[0,12] B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]【答案】C 【解析】【分析】设()()42+=++-a b A a b B a b ，求出A B ，结合条件可得结果. 【详解】设()()42+=++-a b A a b B a b ，可得42+=⎧⎨-=⎩A B A B ，解得31=⎧⎨=⎩A B ，()423+=++-a b a b a b ，因为1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩可得()33911⎧≤+≤⎨-≤-≤⎩a b a b ，所以24210a b ≤+≤. 故选：C.9．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知,,a b c ∈R 且0,++=>>a b c a b c ，则22a c ac+的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．(],2-∞-C ．5,22⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．52,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】首先求得a c ，及c a 的取值范围，再把22a cac+转化为关于c a 的代数式a c c a +，利用函数1()f t t t =+的单调性去求a cc a+的取值范围即可解决【详解】由0,++=>>a b c a b c ，可得00a c ><，，b a c =-- 则a a c c >-->，则122c a -<<-，令c t a=，则122t -<<-221a c a c t ac c a t +=+=+，122t ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭。

专题05 构造函数证明不等式(学生版) -2025年高考数学压轴大题必杀技系列导数

专题5 构造函数证明不等式函数与导数一直是高考中的热点与难点, 利用导数证明不等式在近几年高考中出现的频率比较高．求解此类问题关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数,然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域),从而达到证明不等式的目的．(一) 把证明()f x k >转化为证明()min f x k>此类问题一般简单的题目可以直接求出()f x 的最小值,复杂一点的题目是()f x 有最小值,但无法具体确定,这种情况下一般是先把()f x 的最小值转化为关于极值点的一个函数,再根据极值点所在范围,确定最小值所在范围【例1】（2024届黑龙江省哈尔滨市三中学校高三下学期第五次模拟）已知函数()()21ln f x a x x x =+--（a ÎR ）.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当102a <£时,求证：()1212f x a a³-+.【解析】（1）由题意可知,函数2()(1)ln f x a x x x =+--的定义域为(0,)+¥,导数1(1)(21)()2(1)1x ax f x a x x x+-¢=+--=,当0a £时,,()0x Î+¥,()0f x ¢<；当0a >时,1(0,)2x a Î,()0f x ¢<；1(,),()02x f x a¢Î+¥>；综上,当0a £时,函数()f x 在区间(0,)+¥上单调递减；当0a >时,函数()f x 在区间1(0,2a 上单调递减,在区间1(,)2a+¥上单调递增.（2）由（1）可知,当102a <£时,函数()f x 在区间1(0,)2a 上单调递减,在区间1(,)2a+¥上单调递增.所以函数211111()()(1)ln()1ln(2)22224f x f a a a a a a a a³=+--=+-+,要证1()212f x a a ³-+,需证111ln(2)2142a a a a a+-+³-+,即需证11ln(2)0,(0,]42a a a a +-³Î恒成立.令1()ln(2)4g a a a a =+-,则()2222111()1044a g a a aa -=--+=-£¢,所以函数()g a 在区间1(0,2单调递减,故111()()00222g a g ³=+-=,所以11ln(2)0,(0,]42a a a a +-³Î恒成立,所以当102a <£时,1()212f x a a³-+.【例2】（2024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数()()sin ln 1f x x x =-+.(1)求证：当π1,2x æöÎ-ç÷èø时,()0f x ³；(2)求证：()()111111ln 1sin sin sin sinln ln 2224622n n n n *+<++++<+ÎN L .【解析】（1）证明：因为()()sin ln 1f x x x =-+,则()0sin 0ln10f =-=,()1cos 1f x x x =-+¢,当(]1,0x Î-时,cos 1x £,111x ³+,()0f x ¢£,函数()f x 单调递减,则()()00f x f ³=成立；当π0,2x æöÎç÷èø时,令()1cos 1p x x x =-+,则()()21sin 1p x x x ¢=-+,因为函数()211y x =+、sin y x =-在π0,2æöç÷èø上均为减函数,所以,函数()p x ¢在π0,2æöç÷èø上为减函数,因为()010p ¢=>,2π1102π12p æö¢=-<ç÷èøæö+ç÷èø,所以存在π0,2x æöÎç÷èø,使得()00p x ¢=,且当00x x <<时,()0p x ¢>,此时函数()f x ¢单调递增,当0π2x x <<时,()0p x ¢<,此时函数()f x ¢单调递减,而()00f ¢=,所以()00f x ¢>,又因为π02f æö¢<ç÷èø,所以存在10π,2x x æöÎç÷èø,使得()10f x ¢=,当10x x <<时,()0f x ¢>,此时函数()f x 单调递增,当1π2x x <<时,()0f x ¢<,此时函数()f x 单调递减,因为π1e 2+<,所以,ππ1ln 11ln e 022f æöæö=-+>-=ç÷ç÷èøèø,所以,对任意的π0,2x æöÎç÷èø时,()0f x >成立,综上,()0f x ³对任意的π1,2x æöÎ-ç÷èø恒成立.（2）证明：由（1）,对任意的n *ÎN ,11022n <£,则111sin ln 10222f n n n æöæö=-+>ç÷ç÷èøèø,即1121sinln 1ln 222n n n n +æö>+=ç÷èø,对任意的n *ÎN ,()()()()22122221221022*******n n n n n n n n n n n +-+++-==>+++,所以,2122221n n n n ++>+,则2122ln ln 221n n n n ++>+,所以111135721sin sin sin sinln ln ln ln 24622462n n n +++++>+++L ,从而可得111146822sin sin sin sinln ln ln ln 246235721n n n +++++>++++L ,上述两个不等式相加可得11112sin sin sin sin 2462n æö++++ç÷èøL ()3456782122ln ln ln ln ln ln ln ln ln 1234567221n n n n n ++>++++++++=++L ,所以,()11111sin sin sin sinln 124622n n ++++>+L ,又由（1）,因为1102n -<-<,则111121sin ln 1sin ln022222n f n n n n n -æöæöæö-=---=-->ç÷ç÷ç÷èøèøèø,可得1212sinln ln 2221n nn n n -<-=-,当2n ³且n *ÎN 时,()()()()()()22222122110212221222122n n n n n n n n n n n -----==-<------,所以,2212122n n n n -<--,即221ln ln 2122n n n n -<--,所以,当2n ³时,1111462sin sin sin sinln 2ln ln ln 24623521nn n ++++<++++-L L ,从而有11113521sin sin sin sinln 2ln ln ln 24622422n n n -++++<++++-L L ,上述两个不等式相加得：11112sin sin sin sin 2462n æö++++ç÷èøL 3456782122ln 2ln ln ln ln ln ln ln ln 2ln 2ln 2345672221n nn n n -<+++++++++=+--L ,所以,11111sin sin sin sinln 2ln 24622n n ++++<+L ,当1n =时,1111sin ln ln 2sin 02222f æöæö-=--=->ç÷ç÷èøèø,即1sin ln 22<,所以,对任意的n *ÎN ,11111sin sin sin sinln ln 224622n n ++++<+L ,因此,()()111111ln 1sin sin sin sinln ln 2224622n n n n *+<++++<+ÎN L . (二) 把证明()()f x g x > 转化为证明()()0f xg x ->此类问题是证明不等式中最基本的一类问题,把两个函数通过作差转化为一个函数,再利用导数研究该函数的性质,通过函数性质证明该不等式.【例3】（2024届西省榆林市第十中学高三下学期一模）已知函数()()e 11xf x a x =+--,其中a ÎR ．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当2a =时,证明：()ln cos f x x x x >-．【解析】（1）()()e 11x f x a x =+--Q ,()e 1x f x a \=¢+-,当1a ³时,()e 10xf x a =+->¢,函数()f x 在R 上单调递增；当1a <时,由()e 10xf x a =+->¢,得()ln 1x a >-,函数()f x 在区间()()ln 1,a ¥-+上单调递增,由()e 10xf x a =+-<¢,得()ln 1x a <-,函数()f x 在区间()(),ln 1a -¥-上单调递减．综上,当1a ³时,()f x 在R 上单调递增,无减区间.当1a <时,()f x 在()()ln 1,a ¥-+上单调递增,在()(),ln 1a -¥-上单调递减.（2）Q 当2a =时,()e 1xf x x =+-,\要证()ln cos f x x x x >-,即证()e cos 1ln 0,0,x x x x x x ++-->Î+¥,①当01x <£时,e cos 10x x x ++->Q ,ln 0x x £,e cos 1ln 0x x x x x \++-->；②当1x >时,令()e cos 1ln xg x x x x x =++--,则()e sin ln x g x x x =--¢,设()()h x g x ¢=,则()1e cos xh x x x=¢--,1x >Q ,e e 2x \>>,110x-<-<,1cos 1x -£-£,()0h x ¢\>,()h x \在()1,+¥上单调递增,()()1e sin100h x h \>=-->,即()0g x ¢>,()g x \在()1,+¥上单调递增,()()1e cos10g x g \>=+>,即e cos 1ln 0x x x x x ++-->．综上,当2a =时,()ln cos f x x x x >-． (三) 把证明()()f x g x > 转化为证明()()min maxf xg x >有时候把证明()()f x g x > 转化为证明()()0f x g x ->后,可能会出现()()f x g x -的导函数很复杂,很难根据导函数研究()()f x g x -的最值,而()f x 的最小值及()g x 的最大值都比较容易求,可考虑利用证明()()min max f x g x >的方法证明原不等式,但要注意这种方法有局限性,因为()()f x g x >未必有()()min max f x g x >.【例4】（2024届广东省部分学校高三上学期第二次联考）已知函数()()e 0xf x ax a =¹.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当24e a ³时,证明：()()1ln 01f x x x x -+>+.【解析】（1）由题意可得()()1e xf x a x +¢=.则0a >时,由()0f x ¢>,得1x >-,由()0f x ¢<,得1x <-,则()f x 在(),1-¥-上单调递减,在()1,-+¥上单调递增；当a<0时,由()0f x ¢<,得1x >-,由()0f x ¢>,得1x <-,则()f x 在(),1-¥-上单调递增,在()1,-+¥上单调递减.（2）因为0x >,所以e 01x x x >+.因为24e a ³,所以()()2e 4e 1ln 1ln 11xx ax x x x x x x x --+³-+++.要证()()1ln 01f x x x x -+>+,即证()24e 1ln 01x x x x x --+>+,即证()224e ln 1x x x x ->+.设()()224e 1x g x x -=+,则()()()234e 11x x g x x --¢=+.当()0,1x Î时,()0g x ¢<,当()1,x Î+¥时,()0g x ¢>,则()g x 在()0,1上单调递减,在()1,+¥上单调递增.故()()min 11eg x g ==.设()ln x h x x =,则()21ln xh x x-¢=.当()0,e x Î时,()0h x ¢>,当()e,x Î+¥时,()0h x ¢<,则()h x 在()0,e 上单调递增,在()e,+¥上单调递减.故()()max 1e eh x h ==.因为()()min max g x h x =,且两个最值的取等条件不同,所以()224e ln 1x x x x ->+,即当24e a ³时,()()1ln 01f x x x x -+>+.(四) 把证明()()f xg x >转化为证明()()()(),f xh x h x g x >>若直接证明()()f x g x >比较困难,有时可利用导数中的常见不等式如ln 1,e +1x x x x £-³构造一个中间函数()h x ,或利用不等式的性质通过放缩构造一个中间函数()h x ,再通过证明()()()(),f x h x h x g x >>来证明原不等式.【例5】已知函数()sin 2cos xf x x=+在区间()0,a 上单调．(1)求a 的最大值；(2)证明：当0x >时,()31e xf x +<．【解析】 (1)由已知得,22cos (2cos )sin sin 2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +++¢==++,要使函数()f x 在区间(0,)a 上单调,可知在区间(0,)a 上单调递增,令()0f x ¢>,得2cos 10x +>,即1cos 2x >-,解得22(2,2)33x k k p pp p Î-++,（k Z Î）,当0k =时满足题意,此时,在区间2(0,3p 上是单调递增的,故a 的最在值为23p.(2)当0x >时,要证明()31e xf x +<,即证明e 1()3x f x -<,而1xe x ->,故需要证明e 1()33x xf x -<<.先证：e 133x x -<,（0x >）记()e 1x F x x =--,()e 1x F x ¢=-Q ,,()0x Î+¥时,()0F x ¢>,所以()F x 在(0,)+¥上递增,\()e 1xF x x =--(0)0F >=,故1xe x ->,即e133xx -<.再证：()3x f x <,（0x >）令1()()3G x f x x =-,则sin 1(),2cos 3x G x x x =-+则()()()()222cos 12cos 1132cos 32cos x x G x x x ¢--+=-=++,故对于0x ">,都有()0¢<G x ,因而()G x 在(0,)¥+上递减,对于0x ">,都有()(0)0G x G <=,因此对于0x ">,都有()3xf x <.所以e 1()33x x f x -<<成立,即e 1()3x f x -<成立,故原不等式成立.(五) 改变不等式结构,重新构造函数证明不等式此类问题要先对待证不等式进行重组整合,适当变形,找到其等价的不等式,观察其结构,根据结构构造函数.常见的变形方法有：①去分母,把分数不等式转化为整式不等式；②两边取对数,把指数型不等式转化为对数型不等式；③不等式为()()()()f x h x g x h x >类型,且()()0h x >或<0的解集比较容易确定,可考虑两边同时除以()h x ；④不等式中含有,有时为了一次求导后不再含有对数符号,可考虑不等式两边同时除以x ；⑤通过换元把复杂的不等式转化为简单不等式.【例6】（2024届河南省创新发展联盟5月月考）已知函数1e 1()ln x af x x x x-=--.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当52a ³时,证明：()11()ln e 1ln x f x x x x x -++->-.【解析】（1）函数1e 1()ln x af x x x x -=--的定义域为(0,)+¥,求导得11222e (1)11(1)(e 1)()x x a x x a f x x x x x -----=-+=¢,若0a £,则1e 10x a --<,且当()0,1x Î时,()0f x ¢>,当()1,x ¥Î+时,()0f x ¢<,即函数()f x 在(0,1)上递增,在(1,)+¥上递减；若0a >,令1e 10x a --=,解得1ln x a =-,若1ln 0a -£,即e a ³,则1e 10x a --³恒成立,当()0,1x Î时,()0f x ¢<,当()1,x ¥Î+时,()0f x ¢>,即函数()f x 在(0,1)上递减,在(1,)+¥上递增；若01ln 1a <-<,即1e a <<,则当()()0,1ln 1,x a ¥Î-È+时,()0f x ¢>,当()1ln ,1x a Î-时,()0f x ¢<,即函数()f x 在(0,1ln ),(1,)a -+¥上递增,在(1ln ,1)a -上递减；ln x x若1ln 1a -=,即1a =,则()0f x ¢³在()0,¥+上恒成立,函数()f x 在(0,)+¥上递增；若1ln 1a ->,即01a <<,则当()()0,11ln ,x a ¥ÎÈ-+时,()0f x ¢>,当(1,1ln )x a Î-时,()0f x ¢<,即函数()f x 在(0,1),(1ln ,)a -+¥上递增,在(1,1ln )a -上递减,所以当0a £时,()f x 的递增区间为()0,1,递减区间为()1,¥+；当01a <<时,()f x 的递增区间为()0,1和()1ln ,a ¥-+,递减区间为()1,1ln a -；当1a =时,()f x 的递增区间为()0,¥+,无递减区间；当1e a <<时,()f x 的递增区间为()0,1ln a -和()1,¥+,递减区间为()1ln ,1a -；当e a ³时,()f x 的递增区间为()1,¥+,递减区间为()0,1.（2）要证()()11ln e 1ln x f x x x x x -++->-,需证()11e e ln 10x x a x x x --+-->,而15e ,02x a x -³>,即有()()1111e 5e e ln 1e ln 12x x x x a x x x x x x----+--³+--,则只需证明()115e e ln 102x x x x x --+-->,即证15e ln 12x x x x -æö+->ç÷èø,即证()215ln 12e x x x x -+->,令()()5ln 12h x x x =+-,则()ln h x x ¢=,当()0,1x Î时,()0h x ¢<,当()1,x ¥Î+时,()0h x ¢>,即函数()h x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+¥上单调递增,则()min 3()12h x h ==,令()21(0)e x x x x j -=>,则()()12ex x x x j --¢=,当()0,2x Î时,()0x j ¢>,当()2,x ¥Î+时,()0x j ¢<,函数()j x 在(0,2)上单调递增,在(2,)+¥上单调递减,则()max min 43()2()e 2x h x j j ==<=,从而()215ln 12e x x x x -+->,即()11()ln e 1ln x f x x x x x -++->-成立.(六) 通过减元法构造函数证明不等式对于多变量不等式 ,一般处理策略为消元或是把一个看作变量其他看作常量；当都不能处理的时候,通过变形,再换元产生一个新变量,从而构造新变量的函数.【例7】（2024届江西省南昌市高三三模）定义：若变量,0x y >,且满足：1mmx y a b æöæö+=ç÷ç÷èøèø,其中,0,Z a b m >Î,称y 是关于的“m 型函数”.(1)当2,1a b ==时,求y 关于x 的“2型函数”在点æççè处的切线方程；(2)若y 是关于x 的“1-型函数”,（i ）求x y +的最小值：（ii ）求证：()1111n n n nn n n n nx ya b+++æö+³+ç÷èø,()N n *Î.【解析】（1）解：当2,1a b ==时,可得12214x y æö=-ç÷èø,则122111242x y x -æöæö=-×-ç÷¢ç÷èøèø,所以1x y =¢=,所求切线方程为1)y x =-,即40x +-=.（2）解：由y 是关于x 的“1-型函数”,可得111x y a b --æöæö+=ç÷ç÷èøèø,即1a b x y +=,（i）因为2()()a b ay bx x y x y a b a b x y x y æö+=++=+++³++=ç÷èø,当且仅当2ay x x y ì=ïíï+î即x a y b ì=ïí=ïî时取得最小值.（ii ）由111x y a b --æöæö+=ç÷ç÷èøèø,即1a b x y +=,则()()x a y b ab --=,且x a >,y b >,可设x a at -=,by b t-=,其中(0,)t Î+¥,于是11[(1)]1(1)1nnnnnn n n x y a t b a t b t t éùæöæö+=+++=+++ç÷ç÷êúèøèøëû,记1()(1)1nnnnh t a t b t æö=+++ç÷èø,可得()()()11112111111n n n nn nn n n na t b h t na t nb t t t t a ---++éù+æöæöæö=+++-=-êúç÷ç÷ç÷èøèøèøêëû¢ú,由()0h t ¢=,得1n n b t a +æö=ç÷èø,记10n n b t a +æö=ç÷èø,当00t t <<时()0h t ¢<,当0t t >时,()0h t ¢>,则()()11min0001()1111nnn nnn n n n n n n b a h t h t a t b a b t a b ++éùéùæöæöæöêúêú==+++=+++ç÷ç÷ç÷êúêúèøèøèøëûëû111111111111n n n nn n n n n n n nn n n n n n n n n n a b a b a b a a b b b a ++++++++++æöæöæöæö=+×++×=+++ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø111n n n nn n a b+++æö=+ç÷èø,所以()1111n n n nn n n n nx ya b+++æö+³+ç÷èø.(七) 与极值点或零点有关的多变量不等式的证明此类问题通常是给出函数的零点或极值点12,x x 或123,,x x x ,与证明与12,x x 或123,,x x x 有关的不等式,求解时要有意识的利用方程思想代入消元（若i x 是()f x 的零点,则()0i f x =,若i x 是()f x 的极值点,则()0i f x ¢=,）,减少变量个数.【例8】（2024届湖南娄底市高三下学期高考考前仿真联考）已知函数()2e 2ln x af x a x x x =--.(1)当1a =时,讨论函数()f x 的单调性；(2)若22e a >,（i ）证明：函数()f x 有三个不同的极值点；（ii ）记函数()f x 三个极值点分别为123,,x x x ,且123x x x <<,证明：()()()23131e a f x f x a x x æö-<--ç÷èø.【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+¥,当1a =时,()2e 2ln xf x x x x=--,则()422323e e 21e 2(2)(e 2(2))x xx x x x x x x f x x x x x x x x -----¢=+-=+=,令e (0)x y x x =->,则e 10(0)x y x ¢=->>,所以e x y x =-在(0,)+¥上递增,所以0e e 01x y x =->-=,所以当2x >时,()0f x ¢>,当02x <<时,()0f x ¢<,所以()f x 在(0,2)上递减,在(2,)+¥上递增；（2）（i ）因为,()0x Î+¥,且()233(2e 2(2)(e ))x xa a x f x x x x a x x x -¢=+--=-,(2)0f ¢=,由e 0xax -=,得e xa x=（,()0x Î+¥）,令()(0)x e g x x x =>,则2(e 1)()(0)x x g x x x-¢=>,当01x <<时,()0g x ¢<,当1x >时,()0g x ¢>,所以()g x 在(0,1)上递减,在(1,)+¥上递增,所以min ()(1)e g x g ==,当2e (2)e 2a g >=>时,e xa x=在(0,1)和(2,)+¥上各有一个实数根,分别记为13,x x ,则1301,2x x <<>,设22x =,当10x x <<或23x x x <<时,()0f x ¢<,当12x x x <<或3x x >时,()0f x ¢>,所以()f x 在()10,x 和()23,x x 上递减,在()12,x x 和3(,)x +¥上递增,所以函数()f x 在(0,)+¥上有三个不同的极值点,（ii ）由（i ）1301,2x x <<>,所以13,x x 是方程e x ax =的两个不相等的实数根,即11e x ax =,33e xax =,所以11111211111e 221()ln ln ln x a a af x a x a x a x x x x x x æö=--=--=-+ç÷èø,同理3331()ln f x a x x æö=-+ç÷èø,所以()()313131313111ln ln a x a x f x f x x x x x x x æöæö-+++ç÷ç÷-èøèø=--31313111ln ln a x x x x x x æö-+--ç÷èø=-13331131ln x x x a x x x x x æö--+ç÷èø=-,由11e x ax =,33e x ax =,得3331113311e e ln ln ln ln e e e x x x x x x x a x x x a-====-,所以()()1331331313113131313131ln 11x x x x x a a x x f x f x x x x x x a x x x x x x x x æöæö---+-+-ç÷ç÷-æöèøèø===-ç÷---èø,因为2e ,2a æöÎ+¥ç÷èø,所以要证()()()23131e a f x f x a x x æö-<--ç÷èø,只要证()()23131e f x f x a a x x -<--,即证23111e a a a x x æö-<-ç÷èø,即证31111e a x x -<-,即证311e a x x <,只需证13e ax x <,即31e e xx <×,即311ex x -<,由（i ）可得1301,2x x <<>,所以3110e e 1x --<<<,根据（i ）中结论可知函数e ()=xg x x在(0,1)上递减,所以要证311ex x -<,即证311()(e )x g x g -<,因为3113e e x x a x x ==,所以13()()g x g x =,所以只要证313()(e )x g x g -<,即1333e 13e e e xx x x --<,得13e 3e e x x -<,即3131e ln x x --<,得313e 01ln xx ---<,令1()1ln e(2)xh x x x -=-->,则111e 1()e (2)x x x h x x x x---¢=-+=>,令1()e 1(2)x u x x x -=->,则1()(1)e 0(2)x u x x x -¢=-<>,所以()u x 在(2,)+¥上递减,所以2()(2)10eu x u <=-<,所以()0h x ¢<,所以()h x 在(2,)+¥上递减,所以1()(2)1ln 20e h x h <=--<,所以得证.(八) 与数列前n 项和有关的不等式的证明此类问题一般先由已知条件及导数得出一个不等式,再把该不等式中的自变量依次用1,2,3,L ,n 代换,然后用叠加法证明.【例9】（2024届重庆市九龙坡区高三下学期5月质量抽测）已知函数()213ln 22f x x x ax =+-+,()0a >.(1)当[)1,x ¥Î+时,函数()0f x ³恒成立,求实数a 的最大值；(2)当2a =时,若()()120f x f x +=,且12x x ¹,求证：122x x +>；(3)求证：对任意*N n Î,都有()2112ln 1ni i n n i =-æö++>ç÷èøå.【解析】（1）当1x ³时,()213ln 022f x x x ax =+-+³恒成立,即ln 1322x a x x x £++恒成立,只需min ln 1322x a x xx æö£++ç÷èø即可,令()ln 1322x g x x x x =++,1x ³,则()22221ln 132ln 1222x x x g x x x x ---=-¢+=,令()22ln 1h x x x =--,1x ³,则()22222x h x x x x=¢-=-,当1x ³时,()0h x ¢³恒成立,()h x 在[)1,x ¥Î+单调递增,所以()()10h x h ³=,所以()0g x ¢³在[)1,x ¥Î+恒成立,()g x 在[)1,x ¥Î+单调递增,所以()()min 12g x g ==,所以2a £,即实数a 的最大值为2.（2）当2a =时,()213ln 222f x x x x =+-+,0x >,所以()()21120x f x x x x-=+=¢-³,()f x 在()0,x ¥Î+上单调递增,又()10f =,()()120f x f x +=且12x x ¹,不妨设1201x x <<<,要证122x x +>,即证明212x x >-,因为()f x 在()0,x ¥Î+上单调递增,即证()()212f x f x >-,因为()()120f x f x +=,即证()()1120f x f x +-<,设()()()()()()2213132ln 2ln 22222222F x f x f x x x x x x x =+-=+-++-+---+()()()2ln 221ln 221x x x x x x x x éùéù=-+-+=---+ëûëû,01x <<,令()2t x x =-,则01t <<,则()ln 1t t t j =-+,()111tt t t j -=-=¢,由01t <<可得()0t j ¢>,()t j 在()0,1单调递增,所以()()10t j j <=,即()()()20F x f x f x =+-<,所以()()1120f x f x +-<成立,所以122x x +>.（3）由（2）可知当2a =时,()f x 在()1,¥+单调递增,且()()10f x f >=,由213ln 2022x x x +-+>得22ln 430x x x +-+>,即()22ln 21x x +->,令1n x n +=,则2112ln 21n n n n ++æö+->ç÷èø,即2112ln 1n n n n +-æö+>ç÷èø,所以22112ln 111-æö+>ç÷èø,23122ln 122-æö+>ç÷èø,24132ln 133-æö+>ç÷èø,…,2112ln 1n n n n +-æö+>ç÷èø,相加得()2112ln 1ni i n n i =-æö++>ç÷èøå.（九）通过同构函数把复杂不等式化为简单不等式此类问题通常是构造一个函数()f x ,把所证不等式转化为()()()()f g x f h x >,再根据()f x 的单调性转化为证明一个较简单的不等式.【例10】（2024届广东省广州市高中毕业班冲刺训练二）已知函数()e axf x x =（0a >）.(1)求()f x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值；(2)当1a ³时,求证：()ln 1f x x x ³++.【解析】（1）解：()()e 1axf x ax =+¢（0x >）（0a >）,令()0f x ¢=,则1x a =-,当01a <£时,11a-£-,所以()0f x ¢³在区间[]1,1-上恒成立,()f x 在区间[]1,1-上单调递增,所以()()min 1e a f x f -=-=-,()()max 1e af x f ==.当1a >时,111a -<-<,则当11,x a éöÎ--÷êëø时,()0f x ¢<,()f x 在区间11,a éö--÷êëø上单调递减；当1,1x a æùÎ-çúèû时,()0f x ¢>,()f x 在区间1,1a æù-çúèû上单调递增,所以()min 11e f x f a a æö=-=-ç÷èø,而()1e 0a f --=-<,()1e 0a f =>.所以()()max 1e af x f ==综上所述,当01a <£时,()min e a f x -=-,()max e af x =；当1a >时,所以()min 1ef x a =-,()max e af x =.（2）因为0x >,1a ³,所以e e ax x x x ³,欲证e ln 1ax x x x ³++,只需证明e ln 1x x x x ³++,只需证明ln ln e e e e ln 1x x x x x x x x x +==³++,因此构造函数()e 1x h x x =--（x ÎR ）,()e 1xh x ¢=-,当(),0x Î-¥时,()0h x ¢<,()h x 在(),0¥-上单调递减；当()0,x Î+¥时,()0h x ¢>,()h x 在()0,¥+上单调递增：所以()()00h x h ³=,所以e 1x x ³+,所以e ln 1x x x x ³++,因此()ln 1f x x x ³++.【例1】（2024届内蒙古呼和浩特市高三第二次质量监测）对于函数()f x ,若实数0x 满足()00f x x =,则0x 称为()f x 的不动点．已知函数()()e 2e 0x xf x x a x -=-+³．(1)当1a =-时,求证()0f x ³；(2)当0a =时,求函数()f x 的不动点的个数；(3)设*N n Î,()ln 1n +>+L ．【解析】（1）当1a =-时,有()()e 2e 0x xf x x x -=--³,所以()1e 2e x x f x =+-¢()0x ³,所以()1e 220e x x f x =+-³=¢当且仅当1e e xx=,e 1x=,即0x =时,等号成立,所以当[)0,x Î+¥时,()0f x ¢³,()f x 单调递增,所以()()()min 00f x f x f ³==,所以()0f x ³得证.（2）当0a =时,()()e 20xf x x x =-³,根据题意可知：方程e 2x x x -=()0x ³解的个数即为函数()f x 的不动点的个数,化e 2x x x -=()0x ³为e 30x x -=()0x ³,令()e 3xg x x =-()0x ³,所以函数()g x 的零点个数,即为函数()f x 的不动点的个数,()e 3x g x ¢=-()0x ³,令()0g x ¢=,即e 3x =,解得ln 3x =,x[)0,ln 3ln 3()ln 3,¥+()g x ¢-+()g x 单调递减33ln 3-单调递增因为()010g =>,()ln 333ln 30g =-<,所以()g x 在[)0,ln 3上有唯一一个零点,又()555e 15215170g =->-=>,所以()g x 在()ln 3,¥+上有唯一一个零点,综上所述,函数()f x 有两个不动点.（3）由（1）知,()e 2e 0,0,x xx x ¥--->Î+,令ln ,1x s s =>,则12ln 0s s s --->,即12ln ,1s s s s->>,设*N s n =Î,则满足1s >,>1ln 1n æö>+ç÷èø,()1ln ln 1ln n n n n +æö>=+-ç÷èø,()ln 2ln1ln 3ln 2ln(1)ln ln 1n n n >-+-+++-=+L L ,即()ln 1n >+L .【例2】（2024届四川省自贡市高三第三次诊断性考试）已知函数1()1ln (0)f x a x a x=++>(1)求函数()f x 的单调区间；(2)函数()f x 有唯一零点1x ,函数2()sin e ag x x x =--在R 上的零点为2x ．证明：12x x <．【解析】（1）函数1()1ln (0)f x a x a x=++>的定义域为()0,¥+,且2211()a ax f x x x x -¢=-+=,所以当10x a<<时()0f x ¢<,当1x a >时()0f x ¢>,所以()f x 的单调递减区间为10,a æöç÷èø,单调递增区间为1,a æö+¥ç÷èø；（2）法一：由（1）可知若函数()f x 有唯一零点1x ,则11x a=,即1ln 10f a a a a æö=-++=ç÷èø,令()ln 1x x x x j =-++,则()ln x x j ¢=-,当1x >时,()()0,x x j j ¢<单调递减,当01x <<时,()()0,x x j j ¢>单调递增,因为44e 2.753.144127>=>,55e 3243256<=<,所以()433ln 344ln 27ln e ln 270j =-+=-=->,()544ln 455ln 256ln e ln 2560j =-+=-=-<,当01x <<时()()1ln 10x x x j =-+>,当x ®+¥时()x j ®-¥,所以()x j 在()3,4上存在唯一零点,所以33a <<,即11143a <<,令()2e sin h x x x x -=+-,则()22e cos 10h x x x -=-+-<¢,所以()h x 在()0,¥+上单调递减,故22113113111sin sin sin 03e333333h h a æöæö>=+->+-=>ç÷ç÷èøèø,所以211e sin a a a->-,又()2222sin e 0g x x x a -=--=,所以2221111sin e sin sin x x a x x a a--=>-=-,令()sin F x x x =-,则()1cos 0F x x =-³¢,所以()F x 在()0,¥+上单调递增,又()()21>F x F x ,所以21x x >.法二：因为0a >,由（1）可知若函数()f x 有唯一零点1x ,则11x a=,即()()1111111111ln 1ln 10ln 10f x a x x x x x x x =++=++=Þ++=,设211()ln 1,0,0e e h x x x h h æöæö=++><ç÷ç÷èøèø,而()h x 在()0,¥+上单调递增,所以1211,e e x æöÎç÷èø,()1cos 0g x x ¢=-≥,所以()g x 在R 上单调递增,又12(0)0,0e ag x =-<\>,令22211()sin ,()1cos 0e e x x x x x x x j j ¢=--=-+>,所以()j x 在()0,¥+上单调递增,所以()111sin 0e e x j j æö\<=-<ç÷èø,而()222212211sin sin 0e e a g x x x x x x =--=--=,()()11122211221111sin sin e e g x x x g x x x x x x x \=--<=--\<.【例3】（2024届四川省成都市实验外国语学校教育集团高三下学期联考）已知函数()e xf x =,()lng x x =.(1)若函数()()111x h x ag x x +=---,a ÎR ,讨论函数()h x 的单调性；(2)证明：()()()()1212224x f x f x g x -->-.（参考数据：45e 2.23»,12e 1.65»）【解析】（1）由题意()()1ln 1,11x h x a x x x +=-->-,所以()()22,11ax a h x x x -+¢=>-,当0a =时,()0h x ¢>,所以()h x 在()1,+¥上为增函数；当0a ¹时,令()0h x ¢=得21x a=-,所以若0a >时,211a-<,所以()0h x ¢>,所以()h x 在()1,+¥上为增函数,若0<a 时,211a->,且211x a <<-时,()0h x ¢>,21x a >-时,()0h x ¢<,所以()h x 在21,1a æö-ç÷èø上为增函数,在21,a æö-+¥ç÷èø上为减函数,综上：当0a ³时,()h x 在()1,+¥上为增函数,当0<a 时,()h x 在21,1a æö-ç÷èø上为增函数,在21,a æö-+¥ç÷èø上为减函数；（2）()()()()1212224x f x f x g x -->-等价于()2121e e 2ln 204x x x x ---+>,设()()2121e e 2ln 24x x F x x x =---+,则()()()222e 2e 12e e 2e e x xx x xxx x x x F x x x x x-+--¢=--==,因为0x >,所以e 10x x +>,设()e 2x x x j =-,则()()10e xx x j ¢=+>,则()x j 在()0,¥+上单调递增,而()4544e 20,1e 2055j j æö=-<=->ç÷èø,所以存在04,15x æöÎç÷èø,使()00x j =,即00e 2xx =,所以00ln ln 2x x +=,即00ln ln 2x x =-,当00x x <<时,()0F x ¢<,则()F x 在()00,x 上单调递减,当0x x >时,()0F x ¢>,则()F x 在()0,x +¥上单调递增,所以()()00200min 121e e 2ln 24x x F x x x =---+()000220001421212ln 22222ln 224x x x x x x =---++=-+-+,设()21422ln 22,15m t t t t æö=-+-+<<ç÷èø,则()3220m t t ¢=+>,则()m t 在4,15æöç÷èø上单调递增,42581632ln 222ln 20516580m æö=-+-+=->ç÷èø,则()min 0F x >,则不等式()2121e e 2ln 204x x x x ---+>恒成立,即不等式()()()()1212224x f x f x g x -->-成立.【例4】（2024届天津市滨海新区高考模拟检测）已知函数()ln a xf x x+=,其中a 为实数．(1)当1a =时,①求函数()f x 的图象在e x =（e 为自然对数的底数）处的切线方程；②若对任意的x D Î,均有()()m x n x £,则称()m x 为()n x 在区间D 上的下界函数,()n x 为()m x 在区间D 上的上界函数．若()1kg x x =+,且()g x 为()f x 在[)1,+¥上的下界函数,求实数k 的取值范围．。

《不等式》等式与不等式(第2课时不等式及其性质)

常见的不等号常用的不等号包括大于号（>）、小于号（<）、等于号（=）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）和不等于号（≠）。

不等式的定义用不等号连接两个代数式，表示它们之间的数量关系，这样的式子叫做不等式。

不等式的表示方法通常用“$a > b$”表示a大于b，“$a < b$”表示a小于b，“$a= b$”表示a等于b。

不等式的定义不等式的性质不等式的性质1不等式的性质2不等式的性质3不等式的性质4区间表示法求解掌握区间表示法的基本符号和格式，如“(a, b)”、“[a, b)”、“(a, b]”、“[a, b]”等。

理解区间表示法的含义，例如“(a, b)”表示a小于x小于b，“[a, b)”表示a小于等于x小于b等。

确定不等式的解集范围，使用区间表示法表示解集。

求解的形式。

掌握常见的代数法求解技巧，如因式分解法、配方法、通分法等。

式，可以通过因式分解得到“x>2或x<-1”的解集。

投资决策交通规划医学研究实际生活中的不等式应用优化问题在统计推断中，不等式被用来描述样本均值、方差等统计量与总体参数之间的关系，以便进行假设检验和置信区间估计。

统计推断数论问题物理学环境科学生命科学古代数学中的不等式不等式的历史背景近代数学中的不等式现代数学中的不等式不等式的发展趋势和未来展望发展趋势不等式在数学理论和实际应用中都扮演着重要的角色。

随着数学和其他学科的发展，人们不断引入新的不等式关系和性质，并尝试解决更复杂的数学问题。

未来展望未来，不等式将继续在数学和其他学科中发挥重要作用。

随着科技的发展，人们将更加深入地研究不等式及其应用，并尝试将其应用于解决实际问题中，如优化问题、控制论、博弈论等领域。

同时，不等式也将继续在数学教育和研究中发挥重要作用。

基础练习题主要考察不等式的的基本概念和性质，包括不等式的定义、不等式的性质以及简单的总结例如，求解 x > 5 这个不等式。

课件5：2.1　第2课时　等式性质与不等式性质

又知α<β，∴α－β<0，故－ 2
α－β 2 <0.
用好不等式性质，确保推理严谨性典例已知＜＜＜＜，求的取值范围
解 ∵ ＜＜，∴ ＜＜，又＜＜，
∴ ＜＜，∴ ＜＜，
即
的取值范围是
，
素养评析逻辑推理讲究言必有据.在不等式这一章，我们要对不等式进行大量的运算、变形，而运算、变形的依据就是不等式的性质.通过考问每一步是否有依据，整个推理过程是否有条理，可以使我们的理性精神和交流能力得到提升.
解 ∵－6<a<8 ， 2<b<3，∴－12<2a<16， ∴－10<2a＋b<19. 又∵－3<－b<－2，∴－9<a－b<6.
又
，
当
时，
；当－
时，－
∴－
跟踪训练已知－ α β ，求α＋β，α－β的取值范围
解 ∵－ α β ， ∴－ ≤α ，－ β≤ 上面两式相加得－ α＋β
α－β ∴－ ≤
∵－4<β2≤4，∴－4≤－β2<4，
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2.1 第2课时等式性质与不等式性质
学习目标
1.了解等式的性质. 2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.
知识点一等式的基本性质
(1)如果a＝b，那么 b＝a . (2)如果a＝b，b＝c，那么 a＝c . (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么 ac＝bc .
即－bc>－ad，即bc<ad. 【答案】A
4.若 α∈0，2，β∈0，2，那么 2α－β3的取值范围是___－__6_，_____. 【解析】∵α∈ ，，∴ α∈ ，， ∵β∈ ，，∴－β∈－，， ∴－ α－β

专题05等式与不等式的性质（学生版）

专题05等式与不等式的性质（学⽣版）专题05 等式与不等式的性质知识梳理1．等式的性质(1)等式的两边同时加上(减去)同⼀个数或代数式，等式仍成⽴； (2)等式的两边同时乘以(除以)同⼀个不为零的数或代数式，等式仍成⽴． 2．恒等式⼀般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成⽴，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．3．⽅程的解集⼀般地，把⼀个⽅程所有解组成的集合称为这个⽅程的解集． 1．⼀元⼆次⽅程的解集⼀般地，Δ＝b 2－4ac 称为⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式． (1)当Δ>0时，⽅程的解集为{2a ，2a}；(2)当Δ＝0时，⽅程的解集为－b 2a ；(3)当Δ<0时，⽅程的解集为?． 2．⼀元⼆次⽅程根与系数的关系若x 1，x 2是⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a．⼀、不等式的性质：（1）;a b b a （2）（3）;c b c a b a +>+?> （4）;,d b c a d c b a +>+?>>（5）;0,;0,bc ac c b a bc ac c b a >?>> （6）;0,0bd ac d c b a >?>>>> （7）;0nn b a b a >?>>、（8）;0n nb a b a >?>>（9）;11,0,ba b a ab b a ≠且同号、（10）.b a b a b a +≤±≤-注：在⾼考中，不等式性质的判断题常有出现，⼀般我们判断此类问题主要采⽤两种⽅法：其⼀：按照性质进⾏判断，此种⽅法要求我们对不等式性质有⼀个全⾯熟练的掌握。

其⼆：采⽤赋值法/特殊值法进⾏判断，此种⽅法对于证明假命题⾮常适⽤；⼆、⽐较两式⼤⼩的常见⽅法：作差法、作商法作差法：作差是两式⽐较⼤⼩的常⽤⽅法，基本步骤如下：第⼀步：作差；第⼆步：变形，常采⽤配⽅，因式分解等恒等变形⼿段；;,c a c b b a >?>>第三步：定号，重点是能确定是⼤于0，还是等于0，还是⼩于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这⾥的“变形”⼀步最为注1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到⽐较易于判断符号时，再作差，予以⽐较；注2：含参不等式的⼤⼩判断要注意符号问题，具体根据不等式性质判断．注意分类合理恰当．作商法：注：在两式⽆法确定正负号或是否可能为0的情况下⽆法适⽤.作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1⽐⼤⼩从⽽确定两个数的⼤⼩.例题解析⼀、等式性质与⽅程的解集（1）利⽤⼗字相乘法分解单变量多项式⾓度⼀x2＋(p＋q)x＋pq型式⼦的因式分解例1. 分解因式：(1)x2－3x＋2； (2)x2＋4x－12.⾓度⼆ax2＋bx＋c型式⼦的因式分解例2. 分解因式：(1)6x2＋5x＋1； (2)6x2＋11x－7；(3)42x2－33x＋6； (4)2x4－5x2＋3.【巩固训练】1. 把下列各式分解因式：(1)x2－3x＋2＝________；(2)x2＋37x＋36＝________；(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝________；(4)4m2－12m＋9＝________.（2）利⽤⼗字相乘法分解双变量多项式⾓度⼀x2＋(p＋q)xy＋pqy2型式⼦的因式分解例3.把下列各式因式分解(1)a2－2ab－8b2； (2)x＋5xy－6y(x>0，y>0)；(3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2； (4)m4＋m2n2－6n4.⾓度⼆ax2＋bxy＋cy2型式⼦的因式分解例4. 把下列各式因式分解(1)6m 2－5mn －6n 2； (2)20x 2＋7xy －6y 2；(3)2x 4－3y 4； (4)6(x ＋y )＋7z （x ＋y ）＋2z (x >0，y >0，z >0)．【巩固训练】2. 分解下列各因式：(1)x 2－xy －2y 2－2x ＋7y －3； (2)ab －2a －b ＋2.（3）⼀元⼀次⽅程的解集例5. ⽤适当的⽅法求下列⽅程的解集：(1)x0.7－0.17－0.2x 0.03＝1； (2)x －12x －12（x －1）＝2（x －1）3.【巩固训练】所以该⽅程的解集为－32.3. 求下列⽅程的解集：(1)4－3(10－y )＝5y ； (2)2x －13＝2x ＋16－1.（4）因式分解法解⼀元⼆次⽅程例6. ⽤因式分解法求下列⽅程的解集．(1)6x (x ＋1)＝5(x ＋1)； (2)(2x －1)2－(x ＋1)2＝0；(3)(x ＋3)(x ＋1)＝6x ＋2.【巩固训练】4. ⽤因式分解法求下列⽅程的解集：(1)x ? ??x －12＝x ； (2)(x －3)2＋2x －6＝0；(3)9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0.⼆、⼀元⼆次⽅程的解集及根与系数的关系（1）⽅程根个数的判断及应⽤例1. 已知关于x的⼀元⼆次⽅程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围．(1)⽅程有两个不相等的实数根；(2)⽅程有两个相等的实数根；(3)⽅程有实数根；(4)⽅程⽆实数根．【巩固训练】1．不解⽅程，判断下列⽅程的实数根的个数．(1)2x2－3x＋1＝0；(2)4y 2＋9＝12y ； (3)5(x 2＋3)－6x ＝0.（2）直接应⽤根与系数的关系进⾏计算例2. 若x 1，x 2是⽅程x 2＋2x －2 007＝0的两个根，试求下列各式的值： (1)x 2 1＋x 22； (2)1x 1＋1x 2；(3)(x 1－5)(x 2－5)； (4)|x 1－x 2|.【巩固训练】2．已知x 1，x 2是⽅程x 2＋6x ＋3＝0的两个实数根，求x 2x 1＋x 1x 2的值．（3）应⽤根与系数的关系求字母系数的值或范围例3. 已知关于x 的⽅程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0，根据下列条件，求出k 的值．(1)⽅程两实根的积为5；(2)⽅程的两实根x 1，x 2，满⾜|x 1|＝x 2.【巩固训练】3．已知关于x 的⼀元⼆次⽅程x 2－(2k －1)x ＋k 2＋k －1＝0有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若此⽅程的两个实数根x 1，x 2满⾜x 21＋x 22＝11，求k 的值．三、不等式基本性质【例1】设和都是⾮零实数，不等式和同时成⽴的充要条件是_______ 【例2】下列四个命题中，为真命题的是（） A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，c d >则a c b d ->-C. 若a b >，则22a b >D. 若a b >，则11a b< 【例3】设0ab >，下⾯四个不等式中，正确的是________ ①||||a b a +>②||||a b b +<③||||a b a b +<-④||||||a b a b +>-A 、①和②B 、①和③C 、①和④D 、②和④【例4】已知101a b c <-<<<<，则下列不等式成⽴的是_________A 、22b c a <-+ 【例5】已知三个不等式：（1）;0>ab (2);bda c > (3).ad bc > 以其中两个作为条件,余下⼀个作结论,则可以组成_____个正确命题.【例6】⽤不等式的性质证明；若m>n>0,q.qn p m < a b b a >ba 11>【例7】b 克糖⽔中有a 克糖()0b a >>，若再加⼊m 克糖()0m >，则糖⽔更甜了，将这个事实⽤⼀个不等式表⽰的为________．【巩固训练】1．b a>是*11,N n b a n n∈>的条件．2．0<211??? ?+>??? ??+a b b a 的条件．3．2>x 是2114．实数满⾜条件：①；②；③，则有（）A ．B ．C ．D ．．5．若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋b c ＜0；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成⽴的个数是个.d c b a 、、、d c b a <<,()()0>--c b c a ()()0<--d b d a b d c a <<6．给出下列命题：①a ＞b ?ac 2＞bc 2；②a ＞|b |?a 2＞b 2；③a ＞b ?a 3＞b 3；④|a |＞b ?a 2＞b 2.其中正确的命题是( )．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7．下列说法不正确的是________．.A 若..a b m 都是正数，则a m ab m b +>+ .B 若0c a b >>>，则a bc a c b>-- .C 若...a b c d 都是正数，且bc ad >则a a c cb b d d+<<+.D 若0.0a b c d >><<，则a b c d> ⼆、作差法/作商法⽐较⼤⼩【例8】已知()12,0,1a a ∈，记1212=,1M a a N a a =+-，则M N ，的⼤⼩关系是______【例9】设01x <<，则141,,11x a b x c d x x ==+==-+中最⼤的是_______【例10】设，⽐较与的⼤⼩．【例11】设，且，⽐较：与的⼤⼩。

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专题05 等式与不等式的性质知识梳理1．等式的性质(1)等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立； (2)等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 2．恒等式一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．3．方程的解集一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 1．一元二次方程的解集一般地，Δ＝b 2－4ac 称为一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式． (1)当Δ>0时，方程的解集为{2a ，2a}；(2)当Δ＝0时，方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－b 2a ；(3)当Δ<0时，方程的解集为∅． 2．一元二次方程根与系数的关系若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a．一、不等式的性质：（1）;a b b a <⇔> （2）（3）;c b c a b a +>+⇒> （4）;,d b c a d c b a +>+⇒>>（5）;0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>> （6）;0,0bd ac d c b a >⇒>>>> （7）;0nn b a b a >⇒>>、（8）;0n nb a b a >⇒>>（9）;11,0,ba b a ab b a <⇒>≠且同号、（10）.b a b a b a +≤±≤-注：在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法：其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。

其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用；二、比较两式大小的常见方法：作差法、作商法作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；;,c a c b b a >⇒>>第三步：定号，重点是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键．注1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较；注2：含参不等式的大小判断要注意符号问题，具体根据不等式性质判断．注意分类合理恰当．作商法：注：在两式无法确定正负号或是否可能为0的情况下无法适用.作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小.例题解析一、等式性质与方程的解集（1）利用十字相乘法分解单变量多项式角度一x2＋(p＋q)x＋pq型式子的因式分解例1. 分解因式：(1)x2－3x＋2； (2)x2＋4x－12.角度二ax2＋bx＋c型式子的因式分解例2. 分解因式：(1)6x2＋5x＋1； (2)6x2＋11x－7；(3)42x2－33x＋6； (4)2x4－5x2＋3.【巩固训练】1. 把下列各式分解因式：(1)x2－3x＋2＝________；(2)x2＋37x＋36＝________；(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝________；(4)4m2－12m＋9＝________.（2）利用十字相乘法分解双变量多项式角度一x2＋(p＋q)xy＋pqy2型式子的因式分解例3.把下列各式因式分解(1)a2－2ab－8b2； (2)x＋5xy－6y(x>0，y>0)；(3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2； (4)m4＋m2n2－6n4.角度二ax2＋bxy＋cy2型式子的因式分解例4. 把下列各式因式分解(1)6m 2－5mn －6n 2； (2)20x 2＋7xy －6y 2；(3)2x 4＋x 2y 2－3y 4； (4)6(x ＋y )＋7z （x ＋y ）＋2z (x >0，y >0，z >0)．【巩固训练】2. 分解下列各因式：(1)x 2－xy －2y 2－2x ＋7y －3； (2)ab －2a －b ＋2.（3）一元一次方程的解集例5. 用适当的方法求下列方程的解集：(1)x0.7－0.17－0.2x 0.03＝1； (2)x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －12（x －1）＝2（x －1）3.【巩固训练】所以该方程的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－32.3. 求下列方程的解集：(1)4－3(10－y )＝5y ； (2)2x －13＝2x ＋16－1.（4）因式分解法解一元二次方程例6. 用因式分解法求下列方程的解集．(1)6x (x ＋1)＝5(x ＋1)； (2)(2x －1)2－(x ＋1)2＝0；(3)(x ＋3)(x ＋1)＝6x ＋2.【巩固训练】4. 用因式分解法求下列方程的解集：(1)x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝x ； (2)(x －3)2＋2x －6＝0；(3)9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0.二、一元二次方程的解集及根与系数的关系（1）方程根个数的判断及应用例1. 已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围．(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有实数根；(4)方程无实数根．【巩固训练】1．不解方程，判断下列方程的实数根的个数．(1)2x2－3x＋1＝0；(2)4y 2＋9＝12y ； (3)5(x 2＋3)－6x ＝0.（2）直接应用根与系数的关系进行计算例2. 若x 1，x 2是方程x 2＋2x －2 007＝0的两个根，试求下列各式的值： (1)x 21＋x 22； (2)1x 1＋1x 2；(3)(x 1－5)(x 2－5)； (4)|x 1－x 2|.【巩固训练】2．已知x 1，x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两个实数根，求x 2x 1＋x 1x 2的值．（3）应用根与系数的关系求字母系数的值或范围例3. 已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0，根据下列条件，求出k 的值．(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根x 1，x 2，满足|x 1|＝x 2.【巩固训练】3．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k －1)x ＋k 2＋k －1＝0有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若此方程的两个实数根x 1，x 2满足x 21＋x 22＝11，求k 的值．三、不等式基本性质【例1】设和都是非零实数，不等式和同时成立的充要条件是_______ 【例2】下列四个命题中，为真命题的是（） A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，c d >则a c b d ->-C. 若a b >，则22a b >D. 若a b >，则11a b< 【例3】设0ab >，下面四个不等式中，正确的是________ ①||||a b a +>②||||a b b +<③||||a b a b +<-④||||||a b a b +>-A 、①和②B 、①和③C 、①和④D 、②和④【例4】已知101a b c <-<<<<，则下列不等式成立的是_________A 、22b c a <-+ 【例5】已知三个不等式：（1）;0>ab (2);bda c > (3).ad bc > 以其中两个作为条件,余下一个作结论,则可以组成_____个正确命题.【例6】用不等式的性质证明；若m>n>0,q<p<0,则.qn p m < a b b a >ba 11>【例7】b 克糖水中有a 克糖()0b a >>，若再加入m 克糖()0m >，则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示的为________．【巩固训练】1．b a>是*11,N n b a n n∈>的条件．2．0<⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b b a 的条件．3．2>x 是211<x 的条件．4．实数满足条件：①；②；③，则有（）A ．B ．C ．D ．．5．若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋b c＜0；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的个数是个.d c b a 、、、d c b a <<,()()0>--c b c a ()()0<--d b d a b d c a <<<d b a c <<<d b c a <<+ .B 若0c a b >>>，则a bc a c b>-- .C 若...a b c d 都是正数，且bc ad >则a a c cb b d d+<<+.D 若0.0a b c d >><<，则a b c d> 二、作差法/作商法比较大小【例8】已知()12,0,1a a ∈，记1212=,1M a a N a a =+-，则M N ，的大小关系是______【例9】设01x <<，则141,,11x a b x c d x x ==+==-+中最大的是_______【例10】设，比较与的大小．【例11】设，且，比较：与的大小。

R x ∈x+11x -10,0＞＞b a b a ≠b a b a ⋅ab b a（附：()()110;1010;x x x x a b a b x a b b a x >≥⇒>≥>≥>>⇒>≥<）【例12】设为正数，且，求证：.【例13】甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度a 行走，另一半时间以速度b 行走；乙有一半路程以速度a 行走，另一半路程以速度b 行走，如果a b ≠，则先到达指定地点的是__________【巩固训练】1．如果1>x ，1,1--=-+=x x q x x p ，那么q p ,的大小关系为．2．)(,11,122R a a a Q a a P ∈+-=++=,则Q P ,的大小关系为．3．设x ,y.4．，比较与（）的大小．R x ∈)12)(1(2+++x x x )21(+x 12++x x5.已知0a b c >>>，比较a b ca b c 与()3a b c abc ++的大小6．设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 222222++<++．7．已知)1,0(,,,∈d c b a ，试比较abcd 与3-+++d c b a 的大小，并给出你的证明．四、不等式中的范围问题【例14】若12,21a b -<<-<<，则a b -的取值范围是_________【例15】已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______【例16】“⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x ”是“⎩⎨⎧<<<<3210y x ”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要【例17】已知函数()()(),112,13220bf x ax f f x=-≤≤≤≤，求()3f 的取值范围.【例18】设,x y 为实数，满足2223,34x xy y ≤≤≤≤，则55x y的最大值是_______．【例19】已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰和4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格哪个更贵？【巩固训练】1．已知实数,a b 满足11≤+≤-b a ；31≤-≤b a ，求：b a -3的取值范围．2. 已知函数c ax x f -=2)(满足：.5)2(1,1)1(4≤≤--≤≤-f f 试求)3(f 的取值范围3.已知,,x y z 是非负整数，且10x y z ++=，2330,x y z ++=则53x y z ++的范围是_______反思总结不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，为后续分式不等式，基本不等式等打基础。