最新四川省高考数学试卷(理科)答案与解析

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四川高考理科数学试题含答案(Word版)

【答案】C
【解析】故①正确
但左边的，右边的，故②不正确
当时，
令（）
因为，所以在单增，
即，又与为奇函数，所以成立故③正确
10．已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为
坐标原点），则与面积之和的最小值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设直线AB的方程为：，点，，又，直线AB与轴的交点（不妨假设）
【答案】
【解析】，
14．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是。
【答案】
【解析】，，因为，所以
故（当且仅当时取“ ”）
15．以表示值域为R的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。例如，当，时，，。现有如下命题：
【答案】B
【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有种；当最左端为乙时，不同的排法共有种。
共有 + 种
7．平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析1】
因为，，所以，又
所以即
【解析2】由几何意义知为以，为邻边的菱形的对角线向量，又故
（1）证明：为线段的中点；
（2）求二面角的余弦值。
解：（1）由三棱锥及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥中：
平面平面，
设为的中点，连接，
于是，所以平面
因为，分别为线段，的中点，所以，又，故
假设不是线段的中点，则直线与直线是平面内相交直线

2024年高考数学全国甲卷理科真题试卷附详解

2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷理科数学使用范围:陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.l.设5z i =+,则()i z z +=()A.10iB.2iC.10D.2-2.集合1,2,3,4,9{}5,A =,{|}B x A =,则()A C A B = ()A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}3.若实数,x y 满足约束条件4330,220,2690.x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-≤⎩,则5z x y =-的最小值为()A.12B.0C.52-D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若5105,1S S a ==,则1a =()A.2- B.73C.1D.25.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为21(0,4),(0,4)F F -,点(6,4)-在该双曲线上,则该双曲线的离心率为()A.135B.137C.2D.36.设函数22sin ()1x e xf x x+=+则曲线()y f x =在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A.16B.13C.12D.237.函数2(sin )x x y x e e x -=-+-在区间 2.8,[]2.8-的图像大致为()A. B.C. D.8.已知cos cos sin ααα=-则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()A.1+B.1-C.32D.19.设向量(1,),(,2)a x x b x =+=,则()A.3x =-是a b ⊥的必要条件B.3x =-是//a b 的必要条件C.0x =是a b ⊥的充分条件D.1x =-+是//a b 的充分条件10.设,αβ为两个平面,,m n 为两条直线,且.m αβ= 下述四个命题:①若//m n ,则//n α或//n β②若m n ⊥,则n α⊥或n β⊥③若//n α且//n β,则//m n④若n 与,αβ所成的角相等,则m n ⊥.其中所有真命题的编号是()A.①③B.②④C.①②③D.①③④11.记ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知2960,4B b ac ︒==,则sin sin A C +=()A.32B. C.72D.3212.已知b 是a ,c 的等差中项,直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点,则AB 的最小值为()A.1B.2C.4D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,各项系数的最大值是______．14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为1r ,下底面半径均为2r ,圆台的母线长分别为21212(),3()r r r r --,则圆台甲与乙的体积之比=V V 甲乙____________.15.已知1a >且8115log log 42a a -=-,则a =_______.16.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次,每次取1个球.设m 为前两次取出的球上数字的平均值,n 为取出的三个球上数字的平均值,则m 与n 之差的绝对值不大于12的概率为_______.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=,设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果p p>+,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了？12.247≈)附:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++2()P K k≥0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知434n n S a =+(1)求{}n a 的通项公式;(2)设1(1)n n n b na -=-,求数列{}n b 的前n 项和nT 19.(12分)如图,在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中,四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形,//,//,4,2,EF AD BC AD AD AB BC EF ED =====FB =,M 为AD 的中点.(1)证明://BM 平面CDE ;(2)求二面角F BM E --的正弦值.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,点3(1,)2M 在C 上,且MF x ⊥轴.(1)求C 的方程.(2)过点(4,0)P 的直线交C 于,A B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直线MF 于点Q ,证明:AQ y ⊥轴.21.(12分)已知函数()(1)ln(1)f x ax x x =-+-(1)若2a =-,求()f x 的极值.(2)当0x 时,()0f x ,求a 的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为cos 1.ρρθ=+(1)写出C 的直角坐标方程.(2)设直线,:(x t l t y t a =⎧⎨=+⎩为参数),若C 与l 相交于,A B 两点,且||2AB =,求a 的值.23.[选修4—5:不等式选讲](10分)已知实数,a b 满足 3.a b + (1)证明:2222a b a b+>+(2)证明:2222 6.a b b a -+-∣∣∣∣2024年全国甲卷理科数学参考答案一、选择题.l.A【解析】因为5z i =+,所以()(55)10i z z i i i i +=-++=,故选A.2.D【解析】因为1,2,3,4,9{}5,A =,{|}{1,4,9,16,25,81}B x A ==所以{}()2,3,5A C A B = ,故选D.3.D【解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩,作出可行域如图由5z x y =-可得1155y x z =-即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-则该直线截距取最大值时,z 有最小值此时直线1155y x z =-过点A 联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩,解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩,即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭则min 375122z =-⨯=-.故选D.【解析】因为510S S =,所以788,0S S a ==,又因为51a =,所以公差1817,733d a a d =-=-=,故选B.5.C 【解析】1221||82||||106F F c e a PF PF ====--,故选C.6.A【解析】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+则()()()()()02e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+即该切线方程为13y x -=,即31y x =+令0x =,则1y =,令0y =,则13x =-故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=.故选:A.7.B 【解析】()()()()()22e e sin e e sin x x x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=又函数定义域为[]2.8,2.8-,故该函数为偶函数,可排除A 、C又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故可排除D.故选:B.【解析】因为cos cos sin ααα=-所以11tan =-α,3tan 13⇒α=-所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==α+ ⎪-α⎝⎭故选:B.9.C【解析】对A,当a b ⊥ 时,则0a b ⋅=所以(1)20x x x ⋅++=,解得0x =或3-,即必要性不成立,故A 错误;对C,当0x =时,()()1,0,0,2a b == ,故0a b ⋅=所以a b ⊥,即充分性成立,故C 正确;对B,当//a b时,则22(1)x x +=,解得1x =±,即必要性不成立,故B 错误;对D,当1x =-+时,不满足22(1)x x +=,所以//a b不成立,即充分性不立,故D 错误.故选:C.10.A对①,当n ⊂α,因为//m n ,m β⊂,则//n β当n β⊂,因为//m n ,m α⊂,则//n α当n 既不在α也不在β内,因为//m n ,,m m αβ⊂⊂,则//n α且//n β,故①正确;对②,若m n ⊥,则n 与,αβ不一定垂直,故②错误;对③,过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t因为//n α,过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ,则根据线面平行的性质定理知//n s同理可得//n t ,则//s t ,因为s ⊄平面β,t ⊂平面β,则//s 平面β因为s ⊂平面α,m αβ= ,则//s m ,又因为//n s ,则//m n ,故③正确;对④,若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等,如果//,//αβn n ,则//m n ,故④错误;综上只有①③正确故选:A.11.C 【解析】因为29,34B b ac π==,则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=即:22134a c ac +=,根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=因为,A C 为三角形内角,则sin sin 0A C +>,则sin sin 2A C +=.故选:C.12.C因为,,a b c 成等差数列,所以2b a c =+,2c b a =-,代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++-=,即()()120a x b y -++=,令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩故直线恒过()1,2-,设()1,2P -,圆化为标准方程得:()22:25C x y ++=设圆心为C ,画出直线与圆的图形,由图可知,当PC AB ⊥时,AB最小1,PC AC r ===,此时24AB AP ====.故选:C 二、填空题.13.【答案】5由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭,010r ≤≤且r ∈Z设展开式中第1r +项系数最大,则1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩,即293344r ≤≤,又r ∈Z ,故8r =所以展开式中系数最大的项是第9项,且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为:5.14.【答案】64【解析】由题可得两个圆台的高分别为)12 h r r ==-甲)12h r r==-乙所以((2121163143S S hV hV hS S h++-===++甲甲甲乙乙乙.故答案为:4.15.【答案】64【解析】由题28211315loglog log4log22aaa a-=-=-,整理得()2225log60log aa--=2log1a⇒=-或2log6a=,又1a>所以622log6log2a==,故6264a==故答案为:64.16.【答案】715【解析】从6个不同的球中不放回地抽取3次,共有36A120=种设前两个球的号码为,a b,第三个球的号码为c,则1322a b c a b+++-≤故2()3c a b-+≤,故32()3c a b-≤-+≤故323a b c a b+-≤≤++若1c=,则5a b+≤,则(),a b为:()()2,3,3,2,故有2种若2c=,则17a b≤+≤,则(),a b为:()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3,故有10种当3c =,则39a b ≤+≤,则(),a b 为()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4故有16种当4c =,则511a b ≤+≤,同理有16种当5c =,则713a b ≤+≤,同理有10种当6c =,则915a b ≤+≤,同理有2种共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=故所求概率为56712015=.故答案为:715三、解答题.(一)必考题:共60分.17.【小问1详解】根据题意可得列联表:优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K ⨯-⨯===⨯⨯⨯因为3.841 4.6875 6.635<<所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异.【小问2详解】由题意可知:生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品的频率为960.64150=用频率估计概率可得0.64p =又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =则0.50.50.5 1.650.56812.247p +=+≈+⨯≈可知p p >+所以可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了.18.【小问1详解】当1n =时,1114434S a a ==+,解得14a =．当2n ≥时,11434n n S a --=+,所以1144433n n n n n S S a a a ---==-即13n n a a -=-而140a =≠,故0n a ≠,故13nn a a -=-∴数列{}n a 是以4为首项,3-为公比的等比数列所以()143n n a -=⋅-.【小问2详解】111(1)4(3)43n n n n b n n ---=-⋅⋅⋅-=⋅所以123n n T b b b b =++++ 0211438312343n n -=⋅+⋅+⋅++⋅ 故1233438312343nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅ 所以1212443434343n nn T n --=+⋅+⋅++⋅-⋅ ()1313444313n nn --=+⋅-⋅-()14233143n nn -=+⋅⋅--⋅(24)32n n =-⋅-(21)31n n T n ∴=-⋅+.(2)设1(1)n n n b na -=-,求数列{}n b 的前n 项和nT 19.【答案】（1）证明见详解（2）13【小问1详解】因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点,所以//,BC MD BC MD =四边形BCDM 为平行四边形,所以//BM CD ,又因为BM ⊄平面CDECD ⊂平面CDE ,所以//BM 平面CDE 【小问2详解】如图所示,作BO AD ⊥交AD 于O ,连接OF因为四边形ABCD 为等腰梯形,//,4,BC AD AD =2AB BC ==,所以2CD =结合（1）BCDM 为平行四边形,可得2BM CD ==,又2AM =所以ABM 为等边三角形,O 为AM 中点,所以OB =又因为四边形ADEF 为等腰梯形,M 为AD 中点,所以,//EF MD EF MD =四边形EFMD 为平行四边形,FM ED AF==所以AFM △为等腰三角形,ABM 与AFM △底边上中点O 重合,OF AM ⊥,3OF ==因为222OB OF BF +=,所以OB OF ⊥,所以,,OB OD OF 互相垂直以OB 方向为x 轴,OD 方向为y 轴,OF 方向为z 轴,建立O xyz -空间直角坐标系()0,0,3F,)()(),0,1,0,0,2,3B M E,()(),BM BF ==()2,3BE = ,设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,令1x =得113,1y z ==,即)m =则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即22222303230x y x y z ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩,令23x =,得223,1y z ==-即()3,3,1n =- ,1111cos ,131313m n m n m n ⋅===⋅⋅,则43sin ,13m n =故二面角F BM E --的正弦值为4313.20.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【小问1详解】设(),0F c ,由题设有1c =且232b a =,故2132a a -=,故2a =,故3b =故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在,设:(4)AB y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=故()()422Δ102443464120k k k =-+->,故1122k -<<又22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-,故22223325252Q y y y x x --==--所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x -⨯-⨯+-++++==--2222212824160243234025k k k k k x --+++==-故1Q y y =,即AQ y ⊥轴.21.【答案】（1）极小值为0,无极大值.（2）12a ≤-【小问1详解】当2a =-时,()(12)ln(1)f x x x x =++-故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x +'=++-=+-+++因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,∞-+上为增函数故()f x '在()1,∞-+上为增函数,而(0)0f '=故当10x -<<时,()0f x '<,当0x >时,()0f x '>故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =,无极大值.【小问2详解】()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x +-=-+'+-=-+->++设()()()1ln 1,01a xs x a x x x+=-+->+则()()()()()()222111211111a a x a a ax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+当12a ≤-时,()0s x '>,故()s x 在()0,∞+上为增函数故()()00s x s >=,即()0f x '>所以()f x 在[)0,∞+上为增函数,故()()00f x f ≥=.当102a -<<时,当210a x a+<<-时,()0s x '<故()s x 在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数,故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s <即在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()00f x f <=,不合题意,舍.当0a ≥,此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立同理可得在()0,∞+上()()00f x f <=恒成立,不合题意,舍综上,12a ≤-.(二)选考题.22.【答案】（1）221y x =+（2）34a =【小问1详解】由cos 1ρρθ=+,将xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+1x =+,两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ,得直线的普通方程为y x a =+.法1:直线l 的斜率为1,故倾斜角为π4故直线的参数方程可设为222x s y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s ,则)()212121,21s s a s s a +=--=-且()()22Δ818116160a a a =---=->,故<1a12AB s s ∴=-=2==,解得34a =.法2:联立221y x ay x =+⎧⎨=+⎩,得22(22)10x a x a +-+-=()22Δ(22)41880a a a =---=-+>,解得1a <设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-则AB ==2=解得34a =23.【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥当a b =时等号成立,则22222()a b a b +≥+因为3a b +≥,所以22222()a b a b a b+≥+>+【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=。

高考四川卷理数试题解析(正式版)(解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.【题设】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则AZ 中元素的个数是（A ）3（B ）4（C ）5（D ）6 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，{2,1,0,1,2}AZ =--，故其中的元素个数为5，选C.考点：集合中交集的运算.2.【题设】设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 4【答案】A考点：二项展开式，复数的运算.3.【题设】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度（C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D 【解析】试题分析：由题意，为得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 考点：三角函数图像的平移.4.【题设】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A ）24（B ）48（C ）60（D ）72 【答案】D 【解析】试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5，其他位置共有44A ，所以其中奇数的个数为44372A =，故选D.学科.网考点：排列、组合5.【题设】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）（A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年【答案】B考点：等比数列的应用.6.【题设】秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（A）9（B）18（C）20（D）35【答案】B考点：1.程序与框图；2.秦九韶算法；3.中国古代数学史.7.【题设】设p：实数x，y满足(x–1)2–(y–1)2≤2，q：实数x，y满足1,1,1,y xy xy≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p是q的（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：画出可行域（如图所示），可知命题q 中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内，故选A.考点：1.充分条件、必要条件的判断；2.线性规划.8.【题设】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（A ）33（B ）23（C ）22（D ）1 【答案】C 【解析】试题分析：设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则212,2.,23p FP pt pt FM FP ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()222max 22,,212223633,,122211,,22332OM OM p p p p p x t x t t k k pt pt t t y y t ⎧⎧-=-=+⎪⎪⎪⎪∴∴∴==≤=∴=⎨⎨+⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩，故选C.考点：1.抛物线的简单的几何性质；2.平面向量的线性运算.学科.网 9.【题设】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（A ）(0,1)（B ）(0,2)（C ）(0,+∞)（D ）(1,+∞) 【答案】A考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.10.【题设】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ,DA ﹒DB =DB ﹒DC =DC ﹒DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是（A ）434（B ）494（C 3763+D 37233+【答案】B 【解析】试题分析：甴已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，则()((2,0,1,3,1,3.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛-+++=∴∴=⎪ ⎝⎭⎝⎭()(2221334x y BM -++∴=，它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点(1,33--距离平方的14，()()2222max149333144BM⎫∴=+-=⎪⎭，故选B 。

完整word版四川省高考数学试卷理科答案与解析

2021年四川省高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔5分〕〔2021?四川〕〔1+x〕7的展开式中x2的系数是〔〕A．42B．35C．28D ．21考点：二项式定理．专题：计算题．分析：由题设，二项式〔1+x〕7，根据二项式定理知，x2项是展开式的第三项，由此得展开式中x2的系数是，计算出答案即可得出正确选项解答：解：由题意，二项式〔1+x〕7的展开式通项是Tr+1=xr故展开式中x2的系数是=21应选D点评：此题考查二项式定理的通项，熟练掌握二项式的性质是解题的关键2．〔5分〕〔2021?四川〕复数=〔〕A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：由题意，可先对分子中的完全平方式展开，整理后即可求出代数式的值，选出正确选项解答：解：由题意得，应选B点评：此题考查复合代数形式的混合运算，解题的关键是根据复数的运算规那么化简分子3．〔5分〕〔2021?四川〕函数在x=3处的极限是〔〕A．不存在B．等于6 C．等于3 D．等于0考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：对每一段分别求出其极限值，通过结论即可得到答案．1解答：解：∵=x+3；∴f〔x〕=〔〕=6；而f〔x〕=[ln〔x﹣2〕]=0．即左右都有极限，但极限值不相等．故函数在x=3处的极限不存在．应选：A．点评：此题主要考察函数的极限及其运算．分段函数在分界点处极限存在的条件是：两段的极限都存在，且相等．4．〔5分〕〔2021?四川〕如图，正方形ABCD的边长为 1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED那么sin∠CED=〔〕A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的图像与性质．分析：法一：用余弦定理在三角形CED中直接求角的余弦，再由同角三角关系求正弦；法二：在三角形CED中用正弦定理直接求正弦．解答：解：法一：利用余弦定理在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，由余弦定理得cos∠CED=，∴sin∠CED==．应选B．法二：在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，∠CDE=135°，由正弦定理得，即．应选B．2点评：此题综合考查了正弦定理和余弦定理，属于根底题，题后要注意总结做题的规律．5．〔5分〕〔2021?四川〕函数 y=a x﹣〔a ＞0，a ≠1〕的图象可能是〔〕A ．B ．C ．D ．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：讨论a 与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．解答：解：函数y=a x ﹣ 〔a ＞0，a ≠1〕的图象可以看成把函数 y=a x的图象向下平移个单位得到的．当a ＞1时，函数 y=a x ﹣ 在R 上是增函数，且图象过点〔﹣ 1，0〕，故排除 A ，B ．B 当1＞a ＞0时，函数 y=a x﹣ 在R 上是减函数，且图象过点〔﹣ 1，0〕，故排除 C ，应选D ．点评：此题主要考查了指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，表达了分类讨论的数学思想，属于根底题．6．〔5分〕〔2021?四川〕以下命题正确的选项是〔〕．假设两条直线和同一个平面所成的角相等，那么这两条直线平行．假设一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面平行C ．假设一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线平行D ．假设两个平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面平行考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：简易逻辑．分析：利用直线与平面所成的角的定义，可排除 A ；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除 B ；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断 C 正确；利用面面垂直的性质可排除 D ．解答：解：A 、假设两条直线和同一个平面所成的角相等，那么这两条直线平行、相交或异面，故A 错误；、假设一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面平行或相交，故错误；3C 、设平面α∩β=a ，l ∥α，l ∥β，由线面平行的性质定理，在平面 α内存在直线 b ∥l ，在平面β内存在直线 c ∥l ，所以由平行公理知 b ∥c ，从而由线面平行的判定定理可证明b ∥β，进而由线面平行的性质定理证明得 b ∥a ，从而l ∥a ，故C 正确；D ，假设两个平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面平行或相交，排除 D ．应选C ．点评：此题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属根底题．7．〔5分〕〔2021?四川〕设、都是非零向量，以下四个条件中，使成立的充分条件是〔〕A ．B ．C ．D ．且考点：充分条件．专题：简易逻辑．分析：利用向量共线的充要条件，求等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件解答：解： ? ? 与共线且同向? 且λ＞0，应选C ．点评：此题主要考查了向量共线的充要条件，命题的充分和必要性，属根底题．8．〔5分〕〔2021?四川〕抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O ，并且经过点M〔2，y 0〕．假设点M 到该抛物线焦点的距离为 3，那么|OM|=〔〕A ．B ．C ．4D ．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：关键点M 〔2，y 0〕到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点 M 的坐标，由此可求|OM|．y 2=2px 〔p ＞0〕解答：解：由题意，抛物线关于x 轴对称，开口向右，设方程为∵点M 〔2，y 0〕到该抛物线焦点的距离为3，2+=3 p=2 抛物线方程为y 2=4x M 〔2，y 0〕 ∴∴ |OM|=4应选B．点评：此题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．9．〔5分〕〔2021?四川〕某公司生产甲、乙两种桶装产品．生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的方案中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产方案，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是〔〕A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元考点：简单线性规划．专题：应用题．分析：根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可．解答：解：设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元那么根据题意可得，z=300x+400y作出不等式组表示的平面区域，如下图作直线L：3x+4y=0，然后把直线向可行域平移，由可得x=y=4，此时z最大z=2800点评：此题考查用线性规划知识求利润的最大值，这是简单线性规划的一个重要运用，解题的关键是准确求出目标函数及约束条件10．〔5分〕〔2021?四川〕如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，那么A、P两点间的球面距离为〔〕5A ．B ．C ．D ．考点：反三角函数的运用；球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：由题意求出 AP 的距离，然后求出 ∠AOP ，即可求解 A 、P 两点间的球面距离．解答：解：半径为R 的半球O 的底面圆 O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，所以CD ⊥平面AOB ，因为∠BOP=60°，所以△OPB 为正三角形，P 到BO 的距离为PE= ，E 为BQ 的中点，AE== ，AP= =，AP 2=OP 2+OA 2﹣2OP?OAcos ∠AOP ，，cos ∠AOP=，∠AOP=arccos ，A 、P 两点间的球面距离为，应选A ．点评：此题考查反三角函数的运用，球面距离及相关计算，考查计算能力以及空间想象能力．11．〔5分〕〔2021?四川〕方程 ay=b 2x 2+c 中的a ，b ，c ∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a ，b ， c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有〔〕 A ．60条 B ．62条 C ．71条 D ．80条考点：排列、组合及简单计数问题．专题：综合题；压轴题．分析：方程变形得，假设表示抛物线，那么 a ≠0，b ≠0，所以分 b=﹣3，﹣2，1，2，6五种情况，利用列举法可解．解答：解：方程变形得，假设表示抛物线，那么 a ≠0，b ≠0，所以分 b=﹣3，﹣2，1，2，3五种情况：1〕当b=﹣3时，a=﹣2，c=0，1，2，3或a=1，c=﹣2，0，2，3或a=2，c=﹣2，0， 1，3或a=3，c=﹣2，0，1，2；2〕当b=3时，a=﹣2，c=0，1，2，﹣3或a=1，c=﹣2，0，2，﹣3或a=2，c=﹣2， 0，1，﹣3或a=﹣3，c=﹣2，0，1，2；以上两种情况下有 9条重复，故共有 16+7=23条； 3〕同理当b=﹣2或b=2时，共有16+7=23条；4〕当b=1时，a=﹣3，c=﹣2，0，2，3或a=﹣2，c=﹣3，0，2，3或a=2，c=﹣3，﹣2，0，3或a=3，c=﹣3，﹣2，0，2；共有16条．综上，共有 23+23+16=62种应选B ．点评：此题难度很大，假设采用排列组合公式计算，很容易无视重复的 9条抛物线．列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的方法．要能熟练运用12．〔5分〕〔2021?四川〕设函数 f 〔x 〕=2x ﹣cosx ，{a n }是公差为的等差数列，f 〔a 1〕+f 〔a 2〕+ +f 〔a 5〕=5π，那么 =〔〕A ．0B ．C ．D ．考数列与三角函数的综合．点：专计算题；综合题；压轴题．题：分由f 〔x 〕=2x ﹣cosx ，又{a n}是公差为的等差数列，可求得125〕析f 〔a〕+f 〔a 〕++f 〔a：=10a ﹣cosa 〔1+ +〕，由题意可求得a=，从而可求得答案．333解解：∵f 〔x 〕=2x ﹣cosx ，答 ∴f 〔a 〕+f 〔a 〕++f 〔a 〕=2〔a+a++a 〕﹣〔cosa+cosa++cosa 〕，1 251 2 5 12 5：∵{a n }是公差为的等差数列，∴a 1+a 2+ +a 5=5a 3，由和差化积公式可得， cosa 1+cosa 2+ +cosa 5=〔cosa 1+cosa 5〕+〔cosa 2+cosa 4〕+cosa 3=[cos 〔a 3﹣ ×2〕+cos 〔a 3+ ×2〕]+[cos 〔a 3﹣〕+cos 〔a 3+ 〕]+cosa 37=2cos cos+2coscos+cosa3=2cosa3?+2cosa3?cos〔﹣〕+cosa3=cosa3〔1++〕，f〔a1〕+f〔a2〕++f〔a5〕=5π，∴10a33〕=5π，+cosa〔1++cosa3=0，10a3=5π，故a3=，∴2=π﹣〔﹣〕?=π2﹣．应选D．点此题考查数列与三角函数的综合，求得cosa3=0，继而求得a3=是关键，也是难点，考评：查分析，推理与计算能力，属于难题．二、填空题〔本大题共4个小题，每题4分，共16分．把答案填在答题纸的相应位置上．〕13．〔4分〕〔2021?四川〕设全集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，那么〔?U A〕∪〔?B〕={a，c，d}．U考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由题意全集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，可先求出两集合A，B 的补集，再由并的运算求出〔?U A〕∪〔?U B〕解答：解：集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，所以?U A={c，d}，?U B={a}，所以〔?U A〕∪〔?U B〕={a，c，d}故答案为{a，c，d}点评：此题考查交、并、补集的混合计算，解题的关键是熟练掌握交、并、补集的计算规那么14．〔4分〕〔2021?四川〕如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，那么异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°．8考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角．解答：解：以D为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系．设棱长为2，那么D〔0，0，0〕，N〔0，2，1〕，M〔0，1，0〕，A1〔2，0，2〕，=〔0，2，1〕，=〔﹣2，1，﹣2〕?=0，所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，故答案为：90°．点评：此题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法．向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确．否那么容易由于计算失误而出错．15．〔4分〕〔2021?四川〕椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是3．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先画出图象，结合图象得到△FAB的周长最大时对应的直线所在位置．即可求出结论．解答：解：设椭圆的右焦点为E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+〔2a﹣AE〕+〔2a﹣BE〕=4a+AB9AE﹣BE；AE+BE≥AB；AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；此时△FAB的高为：EF=2．此时直线x=m=c=1；把x=1代入椭圆的方程得：y=±．AB=3．所以：△FAB的面积等于：S△FAB=×3×EF=×3×2=3．故答案为：3．点评：此题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．解决此题的关键在于利用定义求出周长的表达式．16．〔4分〕〔2021?四川〕记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，]=1，[﹣0.3]=﹣1．设a为正整数，数列{x n}满足x1=a，，现有以下命题：①当a=5时，数列{x n}的前3项依次为5，3，2；②对数列{x}都存在正整数k，当n≥k时总有x=x；n nk③当n≥1时，；④对某个正整数k，假设x k+1≥x k，那么．其中的真命题有①③④．〔写出所有真命题的编号〕考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题；压轴题；新定义．分析：按照给出的定义对四个命题结合数列的知识逐一进行判断真假，①列举即可；②需10举反例；③可用数学归纳法加以证明；④可由归纳推理判断其正误．解答：解：①当a=5时，x1=5，，，∴①正确．②当a=8时，x1=8，∴此数列从第三项开始为3，2，3，2，3，2为摆动数列，故②错误；③当n=1时，x1=a，∵a﹣〔〕=＞0，∴x1=a＞成立，假设n=k时，，那么n=k+1时，，∵≥≥=〔当且仅当x k=时等号成立〕，∴＞，∴对任意正整数 n，当n≥1时，；③正确；④≥x k，由数列①②规律可知一定成立11故正确答案为①③④点评：此题主要考查了数列递推公式的应用，归纳推理和演绎推理的方法，直接证明和间接证明方法，数学归纳法的应用，难度较大，需有较强的推理和思维能力三、解答题〔本大题共6个小题，共74分．解容许写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．〕17．〔12分〕〔2021?四川〕某居民小区有两个相互独立的平安防范系统〔简称系统〕A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．〔Ⅰ〕假设在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；〔Ⅱ〕设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：〔Ⅰ〕求出“至少有一个系统不发生故障〞的对立事件的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为，可求p的值；〔Ⅱ〕ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．解答：解：〔Ⅰ〕设“至少有一个系统不发生故障〞为事件C，那么∴；〔Ⅱ〕ξ的可能取值为0，1，2，3P〔ξ=0〕=；P〔ξ=1〕=；P〔ξ=2〕==；P〔ξ=3〕=；∴ξ的分布列为ξ0123P数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=点评：此题考查概率知识的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．18．〔12分〕〔2021?四川〕函数f〔x〕=6cos 2sinωx﹣3〔ω＞0〕在一个周期内的图象如下图，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．〔Ⅰ〕求ω的值及函数f〔x〕的值域；12〔Ⅱ〕假设f 〔x 0〕=0 ∈〔﹣ 0〕的值．，且x 〕，求f 〔x+1考点：由y=Asin 〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题；综合题．分析：〔Ⅰ〕将f 〔x 〕化简为f 〔x 〕=2 sin 〔ωx+〕，利用正弦函数的周期公式与性质可求ω的值及函数f 〔x 〕的值域；〔Ⅱ〕由，知x 0+∈〔﹣，〕，由，可求得即sin 〔 x 0+ 〕=，利用两角和的正弦公式即可求得f 〔x 0+1〕．解答：解：〔Ⅰ〕由可得，f 〔x 〕=3cos ωx+ sin ωx=2sin 〔ωx+〕，又正三角形 ABC 的高为2 ，从而BC=4，∴函数f 〔x 〕的周期T=4×2=8，即 =8，ω= ，∴函数f 〔x 〕的值域为[﹣2 ，2]．〔Ⅱ〕∵f 〔x 0〕= ，由〔Ⅰ〕有f 〔x 0〕=2 sin 〔 x 0+〕= ，即sin 〔x 0+〕=，由，知x 0+ ∈〔﹣，〕，∴cos 〔 x 0+ 〕==．∴f 〔x +1〕=2sin 〔x++〕=2sin[〔 x+〕+]=2[sin 〔x+〕cos+cos 〔 x 0+ 〕sin ]=2 〔 ×+× 〕．点评：此题考查由y=Asin 〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式，着重考查三角函数的化简求值与正弦函数的性质，考查分析转化与运算能力，属于中档题．1319．〔12分〕〔2021?四川〕如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．〔Ⅰ〕求直线PC与平面ABC所成角的大小；〔Ⅱ〕求二面角B﹣AP﹣C的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；用空间向量求直线与平面的夹角．分析：解法一〔Ⅰ〕设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD．可以证出∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．不妨设PA=2，那么OD=1，OP=，AB=4．在RT△OCP中求解．〔Ⅱ〕以O为原点，建立空间直角坐标系，利用平面APC的一个法向量与面ABP的一个法向量求解．解法二〔Ⅰ〕设AB中点为D，连接CD．以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用与平面ABC的一个法向量夹角求解．〔Ⅱ〕分别求出平面APC，平面ABP的一个法向量，利用两法向量夹角求解．解答：解法一〔Ⅰ〕设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，因为∠APB=90°，∠PAB=60°，所以△PAD为等边三角形，所以PO⊥AD，又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AD．PO⊥平面ABC，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角不妨设PA=2，那么OD=1，OP=，AB=4．所以CD=2，OC===在RT△OCP中，tan∠OCP===．故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan．〔Ⅱ〕过D作DE⊥AP于E，连接CE．由，可得CD⊥平面PAB．根据三垂线定理知，CE⊥PA．所以∠CED为二面角B﹣AP﹣C的平面角．由〔Ⅰ〕知，DE=，在RT△CDE中，tan∠CED===2，故二面角B﹣AP﹣C的大小为arctan2．解法二：〔Ⅰ〕设AB中点为D，连接CD．因为O在AB上，且O为P在平面ABC内的射影，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，且PO⊥CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，设E为AC中点，那么EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB．14如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设PA=2，由可得，AB=4，OA=OD=1，OP=，CD=2，所以O〔0，0，0〕，A〔﹣1，0，0〕，C〔1，2，0〕，P〔0，0，〕，所以=〔﹣1，﹣2，〕=〔0，0，〕为平面ABC的一个法向量．设α为直线PC与平面ABC所成的角，那么sinα===．故直线PC与平面ABC所成的角大小为arcsin〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，=〔1，0，〕，=〔2，2，0〕．设平面APC的一个法向量为=〔x，y，z〕，那么由得出即，取x=﹣，那么y=1，z=1，所以=〔﹣，1，1〕．设二面角B﹣AP﹣C的平面角为β，易知β为锐角．而面ABP的一个法向量为=〔0，1，0〕，那么cosβ===．故二面角B﹣AP﹣C的大小为arccos．15点评：此题考查线面关系，直线与平面所成的角、二面角等根底知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题能力．20．〔12分〕〔2021?四川〕数列{a}的前n项和为S，且aa=S+S对一切正整数n都n n2n2n成立．〔Ⅰ〕求a1，a2的值；〔Ⅱ〕设a1＞0，数列{lg}的前n项和为T n，当n为何值时，T n最大？并求出T n的最大值．考点：数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．专题：计算题．分析：〔Ⅰ〕由题意，n=2时，由可得，a221222≠0，〔a﹣a〕=a，分类讨论：由a=0，及a分别可求a1，a2〔Ⅱ〕由a1＞0，令，可知==，结合数列的单调性可求和的最大项解答：解：〔Ⅰ〕当n=1时，a2a1=S2+S1=2a1+a2①当n=2时，得②②﹣①得，a2〔a2﹣a1〕=a2③假设a2=0，那么由①知a1=0，假设a2≠0，那么a2﹣a1=1④①④联立可得或综上可得，a1=0，a2=0或或〔Ⅱ〕当a1＞0，由〔Ⅰ〕可得当n≥2时，，∴∴〔n≥2〕∴=令16由〔Ⅰ〕可知= ={b n }是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2b 1＞b 2＞＞b 7=当n ≥8时，∴数列的前7项和最大， = =7﹣点评：此题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力．21．〔12分〕〔2021?四川〕如图，动点M 到两定点A 〔﹣1，0〕、B 〔2，0〕构成△MAB ，且∠MBA=2∠MAB ，设动点M 的轨迹为C ．〔Ⅰ〕求轨迹C 的方程；〔Ⅱ〕设直线y=﹣2x+m 与y 轴交于点 P ，与轨迹C 相交于点Q 、R ，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．专题：综合题；压轴题．分析：〔Ⅰ〕设出点M 〔x ，y 〕，分类讨论，根据∠MBA=2∠MAB ，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点 M 的轨迹方程；〔Ⅱ〕直线y=﹣2x+m 与3x 2﹣y 2﹣3=0〔x ＞1〕联立，消元可得x 2﹣4mx+m 2+3=0①，利用①有两根且均在〔1，+∞〕内可知，m ＞1，m ≠2设Q ，R 的坐标，求出x R ，x Q ，利用，即可确定的取值范围．解答：解：〔Ⅰ〕设M 的坐标为〔x ，y 〕，显然有x ＞0，且y ≠0当∠MBA=90°时，点M 的坐标为〔2，±3〕当∠MBA ≠90°时，x ≠2，由∠MBA=2∠MAB 有tan ∠MBA=，化简可得3x 2﹣y 2﹣3=0而点〔2，±3〕在曲线3x 2﹣y 2﹣3=0上17综上可知，轨迹 C 的方程为 3x 2﹣y 2﹣3=0〔x ＞1〕；〔Ⅱ〕直线y=﹣2x+m 与3x 2﹣y 2﹣3=0〔x ＞1〕联立，消元可得x 2﹣4mx+m 2+3=0①∴①有两根且均在〔1，+∞〕内设f 〔x 〕=x 2﹣4mx+m 2+3，∴ ，∴m ＞1，m ≠2设Q ，R 的坐标分别为〔 x Q ，y Q 〕，〔x R ，y R 〕， ∵|PQ|＜|PR|，∴x R =2m+ ，x Q =2m ﹣ ，∴= =m ＞1，且m ≠2∴，且∴，且∴的取值范围是〔 1，7〕∪〔7，7+4〕点评：此题以角的关系为载体，考查直线、双曲线、轨迹方程的求解，考查思维能力，运算能力，考查思维的严谨性，解题的关键是确定参数的范围．22．〔14分〕〔2021?四川〕 a 为正实数，n 为自然数，抛物线与x 轴正半轴相交于点 A ，设f 〔n 〕为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距．〔Ⅰ〕用a 和n 表示f 〔n 〕；〔Ⅱ〕求对所有 n 都有成立的a 的最小值；〔Ⅲ〕当0＜a ＜1时，比拟与的大小，并说明理由．考圆锥曲线的综合；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中点：的应用．专综合题；压轴题．题：18分析：〔Ⅰ〕根据抛物线与x 轴正半轴相交于点A ，可得A 〔〕，进一步可求抛物线在点A 处的切线方程，从而可得f 〔n 〕；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知f 〔n 〕=a n，那么成立的充要条件是a n ≥2n 3+1，即n3n4 nn3知，a ≥2n+1对所有n 成立，当a= ，n ≥3时，a ＞ =〔1+3〕＞2n+1，当n=0，1，2时，，由此可得a 的最小值；〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知f 〔k 〕=a k，证明当0＜x ＜1时，，即可证明：．解答：解：〔Ⅰ〕∵抛物线与x 轴正半轴相交于点A ，∴A 〔〕对求导得y ′=﹣2x∴抛物线在点A 处的切线方程为，∴∵f 〔n 〕为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距，∴f 〔n 〕=a n；n成立的充要条件是n3〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知f 〔n 〕=a ，那么a ≥2n+1即知，a n ≥2n 3+1对所有n 成立，特别的，取n=2得到a ≥当a=，n ≥3时，a n ＞4n=〔1+3〕n≥1+=1+2n 3+＞2n 3+1当n=0，1，2时，∴a= 时，对所有n 都有成立∴a 的最小值为；〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知〔fk 〕=a k，下面证明：首先证明：当 0＜x ＜1时，19设函数g 〔x 〕= x 〔x 2﹣x 〕+1，0＜x ＜1，那么g ′〔x 〕= x 〔x ﹣〕当0＜x ＜时，g ′〔x 〕＜0；当时，g ′〔x 〕＞0故函数g 〔x 〕在区间〔0，1〕上的最小值 g 〔x 〕min =g 〔〕=0∴当0＜x ＜1时，g 〔x 〕≥0，∴由0＜a ＜1知0＜a k＜1，因此，从而=≥ =＞=点此题考查圆锥曲线的综合，考查不等式的证明，考查导数的几何意义，综合性强，属评：于中档题．20。

四川省2022年高考[理数]考试真题与答案解析

四川省2022年高考·理科数学·考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若，则（）1z =-1zzz =-A. B. C. D. 1-+1-13-+13-【答案】C【详解】1(1113 4.z zz =-=-+-=+=，故选：C 113z zz ==--2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则（）A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【详解】讲座前中位数为,所以错；70%75%70%2+>A 讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷80%,485%90%答题的正确率的平均数大于,所以B 对；85%讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C 错；讲座后问卷答题的正确率的极差为，100%80%20%-=讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错.95%60%35%20%-=>D 故选:B.3. 设全集，集合，则（）{2,1,0,1,2,3}U =--{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣()U A B ⋃=ðA. B. C. D. {1,3}{0,3}{2,1}-{2,0}-【答案】D【详解】由题意，，所以,{}{}2=4301,3B x x x -+=={}1,1,2,3A B ⋃=-所以。

故选：D.(){}U 2,0A B ⋃=-ð4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A. 8B. 12C. 16D. 20【答案】B【详解】由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积，故选：B.2422122V +=⨯⨯=5. 函数在区间的图象大致为（）()33cos x xy x -=-ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A. B.C. D.【答案】A【详解】令，()()33cos ,,22xxf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦则，()()()()()33cos 33cos x x x xf x x x f x ---=--=--=-所以为奇函数，排除BD ；()f x 又当时，，所以，排除C.0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭330,cos 0x x x -->>()0f x >故选：A.6. 当时，函数取得最大值，则（）1x =()ln bf x a x x=+2-(2)f '=A. B. C.D. 11-12-12【答案】B【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而()f x ()0,∞+()12f =-()10f '=，所以，即，所以，因此函数()2a bf x x x '=-2,0b a b =--=2,2a b =-=-()222f x x x'=-+()f x 在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．()0,1()1,+∞1x =()112122f '=-+=-故选：B.7. 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（）1111ABCD A B C D -1B D ABCD 11AA B B 30°A. B. AB 与平面所成的角为2AB AD =11AB C D 30°C. D. 与平面所成的角为1AC CB =1B D 11BB C C 45︒【答案】D【详解】如图所示：不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为1,,AB a AD b AA c ===1B D ABCD ，与平面所成角为，所以，即，1B DB ∠1B D 11AA B B 1DB A ∠11sin 30c b B D B D ==b c =，解得．12B D c ==a =对于A ，，，，A 错误；AB a =AD b =AB =对于B ，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，B 1BE AB ⊥E BE ⊥11AB C D AB 11AB C D BAE ∠因为，B 错误；tan c BAE a ∠==30BAE ∠≠对于C ，，，，C错误；AC ==1CB ==1AC CB ≠对于D ，与平面所成角为，，而1B D 11BB C C 1DB C∠11sin 2CD a DB C B D c ∠===，所以．D 正确．1090DB C <∠< 145DB C ∠= 故选：D ．8. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是的AB 中点，D 在上，．“会 AB AB CD AB ⊥圆术”给出的弧长的近似值s 的计算公式：．当时， AB 2CDs AB OA=+2,60OA AOB =∠=︒s=（）A.B.C.D.【答案】B【详解】解：如图，连接，OC 因为是的中点，C AB 所以，OC AB ⊥又，所以三点共线，CD AB ⊥,,O C D 即，2OD OA OB ===又，60AOB ∠=︒所以，2AB OA OB ===则，故OC =2CD =所以B.22CD s AB OA=+=+=9. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，2πS 甲S 乙体积分别为和．若，则（）V 甲V 乙=2SS 甲乙=V V甲乙A.B. C.D.【答案】C【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公l 1r 2r 式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的122r r =12,r r l 高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，l 1r 2r 则，所以，11222S rl r S r l r ππ===甲乙122r r =又，则，所以，12222r r l l πππ+=121r r l +=1221,33r l r l ==所以甲圆锥的高，1h==乙圆锥的高，所以，故选：C.2h ==2112221313r h V V r h ππ===甲乙10. 椭圆的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直2222:1(0)x y Ca b a b+=>>线的斜率之积为，则C 的离心率为（）,AP AQ 14A.B.C.D.1213【答案】A【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据()11,P x y ()11,Q x y -2122114y x a =-+，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.2211221x y a b+=1y 1x 【详解】解：，(),0A a -设，则，则，()11,P x y ()11,Q x y -1111,AP AQ y y k k x a x a ==+-+故，21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+又，则，所以，即，2211221x ya b +=()2221212b a x y a -=()2221222114b a x a x a -=-+2214b a =所以椭圆的离心率 A.C c e a ===11. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0,π)ω（）A. B. C. D. 513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【详解】解：依题意可得，因为，所以，0>ω()0,x π∈,333x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：()0,πsin y x =,33x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭则，解得，即，故选：C ．5323ππωππ<+≤13863ω<≤138,63ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦12. 已知，则（）3111,cos ,4sin 3244a b c ===A. B. C. D. c b a >>b a c >>a b c >>a c b>>【答案】A【分析】由结合三角函数的性质可得；构造函数14tan 4c b =c b >，利用导数可得，即可得解.21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞b a >【详解】因为,因为当，所以,即,所以；14tan 4c b =π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭11tan 44>1cb >c b >设，21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，所以在单调递增，则,所以，()sin 0f x x x '=-+>()f x (0,)+∞1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭131cos 0432->所以,所以，故选：Ab a >c b a >>二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省高考理科数学答案解析

四川省高考理科数学答案解析数学（理工农医类）第Ⅰ卷一、选择题：（1）i 是虚数单位，运算23i i i ++=（A ）－1 （B ）1 （C ）i - （D ）i 解:原式11i i =--=-故选A（2）下列四个图像所表示的函数，在点0x =处连续的是（A ）（B ）（C ）（D ）解:由图明显选D（8）已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则limnn na S →∞=（A ）0 （B ）12（C ） 1 （D ）2 解:由已知可得1{}n s a +是以12a 为首项,2为公比的等比数列,1111112222n n n n n s a a a s a a -∴+=⋅=⇒=-1112n n n n a s s a --∴=-=⋅,11111211lim lim 12222n n n n n nn a a s a a -→∞→∞-===--,故选B（9）椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范畴是解：连接BM 、BN ，则,BM AC BN AD ⊥⊥，由三角形的面积相等，得,AB BC AB BD BM BN AC AD ⋅==，得到5BM R =，222165AM R AN ==，2229cos 210AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅，222162cos 25MN AM AN AM AN MAN =+-⋅∠=22217cos 225OM ON MN MON OM ON +-∠==⋅，那么M 、N 两点间的球面距离是17arccos 25R（12）设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是（A ）2 （B ）4 （C ） 5 （D ）5解：原式22121025()a ac cb a b =+-+-，22()()24b a b a b a b +--≤=（当且仅当b a b =-）∴原式222222244210252510244a ac c a a c ac a a=+-+=+++-≥=（当且仅当222425a c a ==）∴选B 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.（13）63(2)x-的展开式中的第四项是 . （17）（本小题满分12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“感谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。

四川高考数学试题理科含答案

2021年普通高等学校招生全国统一考试 (四川卷)数学(理工类)本试卷分第一局部(选择题)和第二局部(非选择题)。

第一局部 1至2页，第二局部 3至4 页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，总分值150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的外表积公式P(A+B)=P(A)+P(B)s4R 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B)球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么v4R 23在n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径P n (k)C n k p k (1p)nk(k 0,1,2,...n)第一局部〔选择题共60分〕考前须知：1.选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。

2.本局部共12 小题，每题 5分，共 60分。

一、选择题：本大题共 12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

〔11四川理 1〕有一个容量为 66的样本，数据的分组及各组的频数如下：，15.5) 2 [15.5,19.5)4 ，23．5)9[23.5,27.5)18，31.5) 1l ，35.5)12 ．39.5)7[39.5,43.5)3 根据样本的频率分布估计，数据落在，43.5)的概率约是 (A) 1 (B) 1 (C) 1〔D 〕2631 23〔11四川理 2〕复数ii =〔B 〕1(A) 2i 〔〕〔〕2iC 0Di2〔11四川理 3〕l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，那么以下命题正确的选项是(A) l 1 l 2，l 2l 3 l 1 l 3〔B 〕l 1l 2，l 2l 3l 1 l 3 [ 来源:](C) l 2 l 3 l 3l 1，l 2，l 3共面〔D 〕l 1，l 2，l 3共点 l 1，l 2，l 3共面〔11四川理 4〕如图，正六边形 ABCDEF 中，BACDEF=(A)0(B)BE(C)AD(D)CF〔11四川理5〕函数，f(x)在点x x0处有定义是f(x)在点x x0处连续的(A)充分而不必要的条件(B)必要而不充分的条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件〔11四川理6〕在ABC中．sin2sin2B sin2C sinBsinC.那么A的取值范围是(A)(0，](B)[，)(c)(0，](D)[，)66331〔11四川理7〕f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)()x 1，那么f(x)的反2函数的图像大致是〔11四川理8〕数列a n的首项为3，b n为等差数列且b n a n1a n(nN*).假设那么b32，b1012，那么a8〔A〕0〔B〕3〔C〕8〔D〕11〔11四川理9〕某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理方案党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润〔A〕4650元〔B〕4700元〔C〕4900元〔D〕5000元〔11四川理10〕在抛物线y x2ax5(a0)上取横坐标为x14，x22的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆2236相切，那么抛5x5y物线顶点的坐标为〔A〕(2,9)〔B〕(0,5)〔C〕(2,9)〔D〕(1,6)〔11四川理11〕定义在0,上的函数f(x)满足f(x)3f(x2)，当x0,2时，f(x)x22x.设f(x)在2n2,2n上的最大值为a n(n N*)，且a n的前n项和为S n，那么limS nn〔A〕3〔B〕5〔C〕2〔D〕322〔11四川理12〕在集合1,2,3,4,5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量(a,b).从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为 n ，其中面积不超过 4的平行四边形的个数为 m ，那么m〔A 〕4〔B 〕1〔C 〕2〔D 〕2n153 53二、填空题：本大题共 4小题，每题4分，共 16分.13〕计算(lg11〔11四川理 lg25)1002=.4〔11四川理 x 2 y 2 4，那么点P 到左14〕双曲线=1上一点P 到双曲线右焦点的距离是64 36准线的距离是.〔11四川理 15〕如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的外表积与改圆柱的侧面积之差是 . 〔11四川理 16〕函数f(x)的定义域为A ，假设x 1,x 2A 且f(x 1)f(x 2)时总有x 1x 2，那么称f(x)为单函数，例如，函数f(x) 2x 1(xR)是单函数.以下命题：①函数f(x)x 2(xR)是单函数；②假设f(x)为单函数，x 1,x 2A 且x 1x 2，那么f(x 1) f(x 2)；③假设f ：A B 为单函数，那么对于任意 bB ，它至多有一个原象；〔11四川理18〕本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。

2023年四川省高考数学理科真题及参考答案

2023年四川省高考理科数学真题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}Z k k x x A ∈+==,13，{}Z k k x x B ∈+==,23，U 为整数集，()=⋃B A C U （）A .{}Z k k x x ∈=,3B .{}Z k k x x ∈-=,13C .{}Z k k x x ∈-=,23D .φ2.若复数()()21=-+ai i a ，则=a （）A .1-B .0C .1D .23.执行下面的程序框图，输出的=B （）A .21B .34C .55D .894.已知向量1==b a ，2=c 且0=++c b a ，则=--c b c a ,cos （）A .51-B .52-C .52D .545.已知等比数列{}n a 中，11=a ，n S 为{}n a 的前n 项和，4535-=S S ，则=4S （）A .7B .9C .15D .306.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报名足球俱乐部，则其报名乒乓球俱乐部的概率为（）A .8.0B .4.0C .2.0D .1.07.“1sin sin 22=+βα”是“0cos sin =+βα”的（）A .充分条件但不是必要条件B .必要条件但不是充分条件C .充要条件D .既不是充分条件也不是必要条件8.已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的离心率为5，其中一条渐近线与圆()()13222=-+-y x 交于B A ,两点，则=AB （）A .51B .55C .552D .5549.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A .120B .60C .40D .3010.已知函数()x f 为函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62cos πx y 向左平移6π个单位所得函数，则()x f y =与直线2121-=x y 的交点个数为（）A .1B .2C .3D .411.在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，4=AB ,3==PD PC ，︒=∠45PCA ,则PBC ∆的面积为（）A .22B .23C .24D .2512.已知椭圆16922=+y x ，21F F ，为两个焦点，O 为坐标原点，P 为椭圆上一点，53cos 21=∠PF F ，则=OP （）A .52B .230C .53D .235二、填空题：本大题动4小题，每小题5分，共20分.13.若()⎪⎭⎫⎝⎛+++-=2sin 12πx ax x y 为偶函数，则=a .14.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+-≤-1332323y x y x y x ，设y x z 23+=，则z 的最大值为.15.在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为CD ，11B A 的中点，则以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为.16.在ABC ∆中，2=AB ，︒=∠60BAC ，6=BC ，D 为BC 上一点，AD 为BAC ∠的平分线，则=AD .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理数答案解析(正式版)(解析版).docx

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B =U （） A.{x|-1<x<3} B.{x|-1<x<1} C.{x|1<x<2} D.{x|2<x<3} 【答案】A 【解析】试题分析：{|12},{|13},{|13}A x x B x x A B x x =-<<=<<∴=-<<U ，选A. 考点：集合的基本运算. 2.设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) A.-i B.-3i C.i. D.3i 【答案】C考点：复数的基本运算.3.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是( ) A.32-B.32C.-12D.12【答案】D 【解析】试题分析：这是一个循环结构，每次循环的结果依次为：2;3;4;5k k k k ====，大于4，所以输出的51sin62S π==，选D. 考点：程序框图.4.下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）.cos(2)2A y x π=+ .sin(2)2B y x π=+ .sin 2cos 2C y x x =+ .sin cos D y x x =+【答案】A 【解析】试题分析：对于选项A ，因为2sin 2,2y x T ππ=-==，且图象关于原点对称，故选A. 考点：三角函数的性质.5.过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（）（A ）43（B ）23 （C ）6 （D ）43 【答案】D考点：双曲线.6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）（A ）144个（B ）120个（C ）96个（D ）72个【答案】B 【解析】试题分析：据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B.考点：排列组合.7.设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =u u u r ，4AD =u u u r.若点M ，N 满足3BM MC =u u u u r u u u u r ，2DN NC =u u u r u u u r ，则AM NM ⋅=u u u u r u u u u r（）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C 【解析】试题分析：311,443AM AB AD NM CM CN AD AB =+=-=-+u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以221111(43)(43)(169)(1636916)94124848AM NM AB AD AB AD AB AD =+-=-=⨯-⨯=u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，选C.考点：平面向量.8.设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的（）（A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B考点：命题与逻辑. 9.如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B 【解析】试题分析：2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，822n m --≥-即212m n +≤.226,182m nm n mn +⋅≤≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，8122n m --≤-即218m n +≤.28129,22n m n m mn +⋅≤≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以(182)(1828)816mn n n =-<-⨯⨯=，所以最大值为18.选B..考点：函数与不等式的综合应用.10.设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）（A ）()13，（B ）()14，（C ）()23，（D ）()24xy–12123456789–1–2–3–4–5–6123456ABCFOM【答案】D考点：直线与圆锥曲线，不等式.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是（用数字作答）. 【答案】40-. 【解析】试题分析：55(21)(12)x x -=--，所以2x 的系数为225(2)40C -⨯-=-.考点：二项式定理.12.=+οο75sin 15sin . 【答案】62. 【解析】试题分析：6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)2+=+=+=o o o oo o . 考点：三角函数.13.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ο）满足函数关系bkx ey +=（Λ718.2=e 为自然对数的底数，k 、b 为常数）。

普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(四川卷,解析版)

普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（四川卷，解析版）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 【答案】A【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}-2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．10 【答案】C【解析】含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅=3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到4．若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a bd c <【答案】D【解析】由1100c d d c <<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a b d c <5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2，否则，S 的值为1.6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 44A 种。

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2013年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本答题共有10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2013•四川）设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x2﹣4=0}，则A∩B=（）A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．∅考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：分别求出两集合中方程的解，确定出A与B，找出A与B的公共元素即可求出交集．解答：解：由A中的方程x+2=0，解得x=﹣2，即A={﹣2}；由B中的方程x2﹣4=0，解得x=2或﹣2，即B={﹣2，2}，则A∩B={﹣2}．故选A点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•四川）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）A．A B．B C．C D．D考点：复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：直接利用共轭复数的定义，找出点A表示复数z的共轭复数的点即可．解答：解：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，虚部相反，对应的点关于x轴对称．所以点A表示复数z的共轭复数的点是B．故选B．点评：本题考查复数与共轭复数的关系，复数的几何意义，基本知识的考查．3．（5分）（2013•四川）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：探究型．分析：首先由几何体的俯视图断定原几何体的最上面的平面图形应是圆，再由俯视图内部只有一个虚圆，断定原几何体下部分的图形不可能是棱柱，由此可排除前三个选项．解答：解：由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A和选项C．而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B．故选D．点评：本题考查了简单空间几何体的三视图，由三视图还原原几何体，首先是看俯视图，然后结合主视图和侧视图得原几何体，解答的关键是明白三种视图都是图形在与目光视线垂直面上的投影，此题是基础题．4．（5分）（2013•四川）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（）A．￢p：∀x∈A，2x∉B B．￢p：∀x∉A，2x∉B C．￢p：∃x∉A，2x∈B D．￢p：∃x∈A，2x∉B考点：全称命题；命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则￢p：∃x∈A，2x∉B．故选D．点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．5．（5分）（2013•四川）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．B．C．D．考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．解答：解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）又∵当x=时取得最大值2，∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）∵，∴取k=0，得φ=﹣故选：A．点评：本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．6．（5分）（2013•四川）抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．1D．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F（1，0）．由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=±x ，化成一般式得：，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．解答：解：∵抛物线方程为y2=4x∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）又∵双曲线的方程为∴a2=1且b2=3，可得a=1且b=，双曲线的渐近线方程为y=±，即y=±x，化成一般式得：．因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==故选：B点评：本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．7．（5分）（2013•四川）函数的图象大致是（）A．B．C．D．考点：指数函数的图像变换．专题：函数的性质及应用．分析：分别根据函数的定义域，单调性，取值符号进行排除判断．解答：解：要使函数有意义，则3x﹣1≠0，解得x≠0，∴函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．当x＜0时，y＞0，排除B．当x→+∞时，y→0，排除D．故选C．点评：本题考查函数的图象的判断，注意函数的值域，函数的图形的变换趋势，考查分析问题解决问题的能力．8．（5分）（2013•四川）从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（）A．9B．10 C．18 D．20考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：因为lga ﹣lgb=，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lga ﹣lgb 的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数，从1，3，5，7，9这五个数中任取2个数排列后（两数在分子和分母不同），减去相同的数字即可得到答案．解答：解：首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有种排法，因为，，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lga ﹣lgb 的不同值的个数是：20﹣2=18．故选C ．点评：本题考查了排列、组合及简单的计数问题，解答的关键是想到把相等的数字去掉，属基础题． 9．（5分）（2013•四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（） A ． B ． C ． D ．考点：几何概型．专题：压轴题；概率与统计．分析：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，由题意可得0≤x ≤4，0≤y ≤4，要满足条件须|x ﹣y|≤2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案．解答：解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，由题意可得0≤x ≤4，0≤y ≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x ﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为：=故选C点评：本题考查几何概型，涉及用一元二次方程组表示平面区域，属基础题．10．（5分）（2013•四川）设函数（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（）[1，e+1]D．[e﹣1﹣1，e+1] A．[1，e]B．[e﹣1﹣1，1]C．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；压轴题；转化思想；函数的性质及应用．分析：考查题设中的条件，函数f（f（y0））的解析式不易得出，直接求最值有困难，考察四个选项，发现有两个特值区分开了四个选项，0出现在了B，D两个选项的范围中，e+1出现在了C，D两个选项所给的范围中，故可通过验证参数为0与e+1时是否符合题意判断出正确选项解答：解：曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则y0∈[﹣1，1]考查四个选项，B，D两个选项中参数值都可取0，C，D两个选项中参数都可取e+1，A，B，C，D四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e+1时是否符合题意，即可得出正确选项当a=0时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究y0∈[0，1]时f（f（y0））=y0是否成立由于是一个增函数，可得出f（y0）≥f（0）=1，而f（1）=＞1，故a=0不合题意，由此知B，D两个选项不正确当a=e+1时，此函数是一个增函数，=0，而f（0）没有意义，故a=e+1不合题意，故C，D两个选项不正确综上讨论知，可确定B，C，D三个选项不正确，故A选项正确故选A点评：本题是一个函数综合题，解题的关键与切入点是观察出四个选项中同与不同点，判断出参数0与e+1是两个特殊值，结合排除法做题的技巧及函数的性质判断出正确选项，本题考查了转化的思想，观察探究的能力，属于考查能力的综合题，易因为找不到入手处致使无法解答失分，易错二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2013•四川）二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是10（用数字作答）．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项式（x+y）5的展开式的通项公式T r+1=x5﹣r•y r，结合题意即可求得答案．解答：解：设二项式（x+y）5的展开式的通项公式为T r+1，则T r+1=x5﹣r•y r，令r=3，则含x2y3的项的系数是=10．故答案为：10．点评：本题考查二项式系数的性质，着重考查二项展开式的通项公式的应用，考查分析与运算能力，属于中档题．12．（5分）（2013•四川）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则λ=2．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：依题意，+=，而=2，从而可得答案．解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴+=，又O为AC的中点，∴=2，∴+=2，∵+=λ，∴λ=2．故答案为：2．点评：本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．13．（5分）（2013•四川）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正切．专题：压轴题；三角函数的求值．分析：已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinα不为0求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），∴cosα=﹣，sinα==，∴tanα=﹣，则tan2α===．故答案为：点评：此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．14．（5分）（2013•四川）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．考点：函数单调性的性质；一元二次不等式的解法．专题：压轴题；不等式的解法及应用．分析：由偶函数性质得：f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可变为f（|x+2|）＜5，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x+2|的范围，再求x范围即可．解答：解：因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5，即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，所以|x+2|＜5，解得﹣7＜x＜3，所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．故答案为：（﹣7，3）．点评：本题考查函数的奇偶性、一元二次不等式的解法，借助偶函数性质把不等式具体化是解决本题的关键．15．（5分）（2013•四川）设P1，P2，…P n为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…P n的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…P n的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是①④（写出所有真命题的序号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：新定义；简易逻辑．分析：对于①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则线段AB上任一点都为“中位点”，C也不例外，则C是A，B，C的中位点，正确；对于②举一个反例，如边长为3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5+2.5=7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，据此进行判断即可；对于③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，从而它们的中位点存在但不唯一；④如图，在梯形ABCD中，对角线的交点O，P是任意一点，利用根据三角形两边之和大于第三边得梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．解答：解：①若三个点A、B、C共线，若C在线段AB上，则线段AB上任一点都为“中位点”，C也不例外，则C是A，B，C的中位点，①正确；②举一个反例，如边长为3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5+2.5=7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，所以直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点，故②错误；③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的中位点存在但不唯一，故③错误；④如图，在梯形ABCD中，对角线的交点O，P是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PD≥AC+BD=OA+OB+OC+OD，所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点，故④正确．故答案为：①④．点评：本小题主要考查命题的真假判断与应用、新定义的应用、三角形的性质等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（12分）（2013•四川）在等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{a n}的首项，公差及前n项和．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：设该数列的公差为d，前n项和为S n，则利用a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，建立方程，即可求得数列{a n}的首项，公差；利用等差数列的前n项和公式可求和．．解答：解：设该数列的公差为d，前n项和为S n，则∵a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，∴2a1+2d=8，（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d）解得a1=4，d=0或a1=1，d=3∴前n项和为S n=4n或S n=．点评：本题主要考查等差数列、等比中项等基础知识，考查运算能力，考查分类与整合等数学思想，属于中档题．17．（12分）（2013•四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB ﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．考点：两角和与差的余弦函数；向量数乘的运算及其几何意义；二倍角的正弦；二倍角的余弦；余弦定理．专题：计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值；（Ⅱ）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小．解答：解：（Ⅰ）由可得，可得，即，即，（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，由余弦定理可知．解得c=1，c=﹣7（舍去）．向量在方向上的投影：=ccosB=．点评：本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想．18．（12分）（2013•四川）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率p i（i=1，2，3）；（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计图（部分）运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30 14 6 10…………2100 1027 376 697乙的频数统计图（部分）运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30 12 11 7…………2100 1051 696 353当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；程序框图．专题：概率与统计．分析：（I）变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能，由程序框图可得y值为1，2，3对应的情况，由古典概型可得；（II）由题意可得当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出的y值为1，2，3时的频率，可得答案；（III）随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，分别求其概率可得分布列和期望．解答：解：（I）变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能，当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出的y值为1，故P1==；当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出的y值为2，故P2==；当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出的y值为3，故P3==；故输出的y值为1的概率为，输出的y值为2的概率为，输出的y值为3的概率为；（II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出的y值为i（i=1，2，3）的频率如下：输出y值为1的频率输出y值为2的频率输出y值为3的频率甲乙比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大；（III）随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，故ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P所以所求的数学期望Eξ==1点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及程序框图和数学期望的求解，属中档题．19．（12分）（2013•四川）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．（Ⅰ）在平面ABC内，试做出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）在平面ABC内过点P作直线l∥BC，根据线面平行的判定定理得直线l∥平面A1BC．由等腰三角形“三线合一”得到AD⊥BC，从而得到AD⊥l，结合AA1⊥l且AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线，证出直线l⊥平面ADD1A1；（II）连接A1P，过点A作AE⊥A1P于E，过E点作EF⊥A1M于F，连接AF．根据面面垂直判定定理，证出平面A1MN⊥平面A1AE，从而得到AE⊥平面A1MN，结合EF⊥A1M，由三垂线定理得AF⊥A1M，可得∠AFE 就是二面角A﹣A1M﹣N的平面角．设AA1=1，分别在Rt△A1AP中和△AEF中算出AE、AF的长，在Rt△AEF中，根据三角函数的定义算出sin∠AFE的值，结合同角三角函数的平方关系算出cos∠AFE的值，从而得出二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．解答：解：（I）在平面ABC内，过点P作直线l∥BC∵直线l⊄平面A1BC，BC⊂平面A1BC，∴直线l∥平面A1BC，∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，结合l∥BC得AD⊥l∵AA1⊥平面ABC，l⊂平面ABC，∴AA1⊥l∵AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线∴直线l⊥平面ADD1A1；（II）连接A1P，过点A作AE⊥A1P于E，过E点作EF⊥A1M于F，连接AF由（I）知MN⊥平面A1AE，结合MN⊂平面A1MN得平面A1MN⊥平面A1AE，∵平面A1MN∩平面A1AE=A1P，AE⊥A1P，∴AE⊥平面A1MN，∵EF⊥A1M，EF是AF在平面A1MN内的射影，∴AF⊥A1M，可得∠AFE就是二面角A﹣A1M﹣N的平面角设AA1=1，则由AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，可得∠BAD=60°，AB=2且AD=1又∵P为AD的中点，∴M是AB的中点，得AP=，AM=1Rt△A1AP中，A1P==；Rt△A1AM中，A1M=∴AE==，AF==∴Rt△AEF中，sin∠AFE==，可得cos∠AFE==即二面角A﹣A1M﹣N的余弦值等于．点评：本题在直三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的余弦值．着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了三垂线定理和面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．20．（13分）（2013•四川）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率：（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．考点：轨迹方程；椭圆的简单性质；曲线与方程．专题：压轴题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）由题设条件结合椭圆的性质直接求出a，c的值，即可得到椭圆的离心率；（II）由题设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，可设出直线的方程与椭圆的方程联立，由于两曲线交于两点，故判断式大于0且可利用根与系数的关系建立M，N两点的坐标与直线的斜率k的等量关系，然后再设出点Q的坐标，用两点M，N的坐标表示出，再综合计算即可求得点Q的轨迹方程．解答：解：（I）∵椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．∴c=1，2a=PF1+PF2==2，即a=∴椭圆的离心率e===…4分（II）由（I）知，椭圆C的方程为，设点Q的坐标为（x，y）（1）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1）、（0，﹣1）两点，此时点Q的坐标为（0，2﹣）（2）当直线l与x轴不垂直时，可设其方程为y=kx+2，因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x1，kx1+2），（x2，kx2+2），则，，又|AQ|2=（1+k2）x2，∴，即=…①将y=kx+2代入中，得（2k2+1）x2+8kx+6=0…②由△=（8k）2﹣24（2k2+1）＞0，得k2＞由②知x1+x2=﹣，x1x2=，代入①中化简得x2=…③因为点Q在直线y=kx+2上，所以k=，代入③中并化简得10（y﹣2）2﹣3x2=18 由③及k2＞可知0＜x2＜，即x∈（﹣，0）∪（0，）由题意，Q（x，y）在椭圆C内，所以﹣1≤y≤1，又由10（y﹣2）2﹣3x2=18得（y﹣2）2∈[，）且﹣1≤y≤1，则y∈（，2﹣]综上得，点Q的轨迹方程为10（y﹣2）2﹣3x2=18，其中x∈（﹣，），y∈（，2﹣]…13分点评：本题主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合、转化化归、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性．本题是圆锥曲线中的常见题型，所考查的解题方式较为典型，本题运算量较大易因为运算失误造成丢分．21．（14分）（2013•四川）已知函数，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：（I）利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出；（II）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，因为切线互相垂直，可得，即（2x1+2）（2x2+2）=﹣1．可得，再利用基本不等式的性质即可得出；（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵，故不成立，∴x1＜0＜x2．分别写出切线的方程，根据两条直线重合的充要条件即可得出，再利用导数即可得出．．解答：解：（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）2+a，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在[﹣1，0）上单调递增；当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增．（II）∵x1＜x2＜0，∴f（x）=x2+2x+a，∴f′（x）=2x+2，∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x1），f′（x2），∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，∴，∴（2x1+2）（2x2+2）=﹣1．∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，∴=1，当且仅当﹣（2x1+2）=2x2+2=1，即，时等号成立．∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值为1．（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵，故不成立，∴x1＜0＜x2．当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1）），处的切线方程为，即．当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为，即．函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是，由①及x1＜0＜x2可得﹣1＜x1＜0，由①②得=．∵函数，y=﹣ln（2x1+2）在区间（﹣1，0）上单调递减，∴a（x1）=在（﹣1，0）上单调递减，且x1→﹣1时，ln（2x1+2）→﹣∞，即﹣ln（2x1+2）→+∞，也即a（x1）→+∞．x1→0，a（x1）→﹣1﹣ln2．∴a的取值范围是（﹣1﹣ln2，+∞）．点评：本题主要考查了基本函数的性质、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、基本不等式的性质、直线的位置关系等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法．。