2007年山东高考理科数学试题及答案
2007年高考理科综合试题及参考答案(山东卷)
参考答案BBCDACDAACBDADBCB、DDA、CABB、C（1）A1；V2（2）电路原理图和对应的实物连接如图（3）方案一：需要的器材：游标卡尺、毫米刻度尺主要操作步骤：①数出变阻器线圈缠绕匝数n②用毫米刻度尺（也可以用游标卡尺）测量所有线圈的排列长度L，可得电阻丝的直径为d＝L/n③用游标卡尺测量变阻器线圈部分的外径D，可得电阻丝总长度l＝nπ（D－）也可以用游标卡尺测量变阻器瓷管部分的外径D，得电阻丝总长度l＝n（D－）。
④重复测量三次，求出电阻丝直径和总长度的平均值方案二需要的器材：游标卡尺主要的操作步走骤：①数出变阻器线圈缠绕匝数n②用游标卡尺测量变阻器线圈部分的外径D1 和瓷管部分的外经D2，可得电阻丝的直径为d＝电阻丝总长度l＝π（D1＋D2）③重复测量三次，求出电阻丝直径和总长度的平均值24.(1)滑块在圆盘上做圆周运动时，静摩擦力充当向心力，根据牛顿第二定律，可得：μmg＝mω2R代入数据解得：ω＝＝5rad/s（2）滑块在A点时的速度：UA＝ωR＝1m/s从A到B的运动过程由动能定理：mgh－μmgcos53°•h/sin53°＝1/2mvB2－1/2mvA2在B点时的机械能EB＝1/2mvB2－mgh＝－4J（3）滑块在B点时的速度：vB＝4m/s滑块沿BC段向上运动时的加速度大小：a3＝g（sin37°＋ucos37°）＝10m/s2返回时的速度大小：a2＝g（sin37°－ucos37°）＝2m/s2BC间的距离：sBC＝vB2/2a1－1/2a2（t－uR/a1）2＝0.76m25.（1）由动能定理：neU1＝1/2mv2n价正离子在a、b间的加速度a1＝neU1/md在a、b间运动的时间t1＝v/a1＝ d在MN间运动的时间：t2＝L/v离子到达探测器的时间：t＝t1＋t2＝（2）假定n价正离子在磁场中向N板偏转，洛仑兹力充当向心力，设轨迹半径为R，由牛顿第二定律nevB ＝mv2/R离子刚好从N板右侧边缘穿出时，由几何关系：R2＝L2＋（R－L/2）2由以上各式得：U1＝25neL2B2/32m当n＝1时U1取最小值Umin＝25eL2B2/32m26.（1）自交、2/3 。
2007年高考真题试卷(全国卷Ⅰ)数学(理科)参考答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题： （1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B（10）D（11）C（12）A二、填空题：（13）36（14）3()x x ∈R（15）13（16）三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 22A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+<⎪⎝⎭3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭ 所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． （18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯ 240=（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设ADBC ∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==，SA =AO 1SO =，SD =．SAB △的面积112S AB ==连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S = ， 解得h =A设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin h SD α===． 所以，直线SD 与平面SBC所成的我为arcsin11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x0)A ，，(0B ，(0C ，(001)S ，，，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥． （Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． 1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，(AB =． 0SE OG = ，0AB OG = ，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，(DS =． cos 11OG DS OG DSα==，sin 11β= 所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11． （20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x xf x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e20xxg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数， 所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln 2a x =，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． （21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=， 所以，222200021132222y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+ 21221)32k BD x x k +=-==+ ；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，221132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． （22）解：（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a +=．所以，数列{n a -是首项为21的等比数列，1)n n a ，即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =2，112b a ==，所以11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -≤，也即430k k b a -< 当1n k =+时，13423k k k b b b ++=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+所以1(32)2)23k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…．。
2007年山东省高考数学试卷(理科)
2007年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）若z=cosθ+isinθ（i为虚数单位），则z2=﹣1的θ值可能是（）A．B．C．D．2．（5分）已知集合M={﹣1，1}，N=，则M∩N=（）A．{﹣1，1}B．{﹣1}C．{0}D．{﹣1，0}3．（5分）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．（1），（2）B．（1），（3）C．（1），（4）D．（2），（4）4．（5分）设a∈，则使函数y=x a的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是（）A．1，3 B．﹣1，1 C．﹣1，3 D．﹣1，1，35．（5分）函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）的最小正周期和最大值分别为（）A．π，1 B． C．2π，1 D．6．（5分）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx7．（5分）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞08．（5分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为（）A．0.9，35 B．0.9，45 C．0.1，35 D．0.1，459．（5分）下列各小题中，p是q的充要条件的是（）（1）p：m＜﹣2或m＞6；q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点．（2）；q：y=f（x）是偶函数．（3）p：cosα=cosβ；q：tanα=tanβ．（4）p：A∩B=A；q：∁U B⊆∁U A．A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）10．（5分）阅读右边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是（）A．2550，2500 B．2550，2550 C．2500，2500 D．2500，255011．（5分）在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（）A．B．C．D．12．（5分）位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是．质点P移动5次后位于点（2，3）的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则为．14．（4分）设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x，y）到直线x+y=10距离的最大值是．15．（4分）与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是．16．（4分）已知函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中最小值为．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）设数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．（I）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；（II）求ξ的分布列和数学期望；（III）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根的概率．19．（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD ⊥DC，AB∥DC．（Ⅰ）设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．20．（12分）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？21．（12分）已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．22．（14分）设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（Ⅰ）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式都成立．请修改新增的标题2007年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•山东）若z=cosθ+isinθ（i为虚数单位），则z2=﹣1的θ值可能是（）A．B．C．D．【分析】先求出Z2，再利用复数相等的概念得到三角函数的等式，将答案代入验证即可．【解答】解：z=cosθ+isinθ，所以Z2=cos2θ+2icosθsinθ﹣sin2θ=﹣1．所以，将答案选项中的数值代入验证知D符合．故选D2．（5分）（2007•山东）已知集合M={﹣1，1}，N=，则M∩N=（）A．{﹣1，1}B．{﹣1}C．{0}D．{﹣1，0}【分析】N为指数型不等式的解集，利用指数函数的单调性解出，再与M求交集．求【解答】解：⇔2﹣1＜2x+1＜22⇔﹣1＜x+1＜2⇔﹣2＜x＜1，即N={﹣1，0}又M={﹣1，1}∴M∩N={﹣1}，故选B3．（5分）（2007•山东）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．（1），（2）B．（1），（3）C．（1），（4）D．（2），（4）【分析】法一排除法，从选项看只要判断正方体的三视图都相同就可以选出正确答案．法二直接法，把每一个几何体的三视图都找出来，然后可得答案．【解答】解：法一：由于正方体的三视图都是相同图形，所以排除（1），由于A、B、C中都含有（1），因而选项A、B、C都错误，可知选D．故选D．法二：正方体的三视图都是相同的正方形；圆锥的三视图中正视图、侧视图相同是三角形，俯视图是圆；三棱台的三视图都不相同，正视图是两个梯形，侧视图是一个梯形，俯视图是外部三角形、内部三角形对应顶点连线的图形；四棱锥的正视图与侧视图相同，是三角形，俯视图是有对角线的正方形．故选D．4．（5分）（2007•山东）设a∈，则使函数y=x a的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是（）A．1，3 B．﹣1，1 C．﹣1，3 D．﹣1，1，3【分析】分别验证a=﹣1，1，，3知当a=1或a=3时，函数y=x a的定义域是R 且为奇函数．【解答】解：当a=﹣1时，y=x﹣1的定义域是x|x≠0，且为奇函数；当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；当a=时，函数y=的定义域是x|x≥0且为非奇非偶函数．当a=3时，函数y=x的定义域是R且为奇函数．故选A．5．（5分）（2007•山东）函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）的最小正周期和最大值分别为（）A．π，1 B． C．2π，1 D．【分析】化成y=Asin（ωx+φ）的形式，即y=cos2x进行判断．【解答】解：∵==cos2x∴原函数的最小正周期是=π，最大值是1故选A．6．（5分）（2007•山东）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f （x）f（y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx【分析】依据指、对数函数的性质可以发现A，C满足其中的一个等式，而D满足，B不满足其中任何一个等式【解答】解：f（x）=3x是指数函数满足f（x+y）=f（x）f（y），排除A．f（x）=log2x是对数函数满足f（xy）=f（x）+f（y），排除Cf（x）=tanx满足，排除D．故选B7．（5分）（2007•山东）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0【分析】根据命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．【解答】解：∵命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题∴否定命题为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0故选C．8．（5分）（2007•山东）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为（）A．0.9，35 B．0.9，45 C．0.1，35 D．0.1，45【分析】频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率．建立相应的关系式，即可求得．【解答】解：从频率分布直方图上可以看出x=1﹣（0.06+0.04）=0.9，y=50×（0.36+0.34）=35，故选：A9．（5分）（2007•山东）下列各小题中，p是q的充要条件的是（）（1）p：m＜﹣2或m＞6；q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点．（2）；q：y=f（x）是偶函数．（3）p：cosα=cosβ；q：tanα=tanβ．（4）p：A∩B=A；q：∁U B⊆∁U A．A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【分析】（1）中求出q的范围，可得p是q的充要条件，排除B，C，再判断（2），p中为分式，应考虑分母不等于0．（3）中注意正切函数的定义域，（4）中，由A∩B=A可知A⊆B，由韦恩图可判．【解答】解：（1）q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点，△＞0，得m＜﹣2或m ＞6，即为p；排除B，C，（2）由可得f（﹣x）=f（x）⇒q，反之，若y=f（x）是偶函数，可以有f（0）=0，p不成立；故选D10．（5分）（2007•山东）阅读右边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是（）A．2550，2500 B．2550，2550 C．2500，2500 D．2500，2550【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加循环变量n的值，并将其保存在S、T中．【解答】解：依据框图可得：S=100+98+96+…+2=2550，T=99+97+95+…+1=2500故答案选A11．（5分）（2007•山东）在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（）A．B．C．D．【分析】根据，∴A是正确的，同理B也正确，再由D答案可变形为，通过等积变换判断为正确，从而得到答案．【解答】解：∵，∴A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确故选C．12．（5分）（2007•山东）位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是．质点P移动5次后位于点（2，3）的概率为（）A．B．C．D．【分析】从条件知质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，本题考查的是独立重复试验，因此质点P移动5次后位于点（2，3）质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次．【解答】解：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P移动5次后位于点（2，3）的概率为故选B二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2007•山东）设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则为．【分析】先过A作AD⊥x轴于D，构造直角三角形，再根据与x轴正向的夹角为60°求出FA的长度，可得到A的坐标，最后根据两点间的距离公式可得答案．【解答】解：过A作AD⊥x轴于D，令FD=m，则FA=2m，p+m=2m，m=p．∴．故答案为：14．（4分）（2007•山东）设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x，y）到直线x+y=104．【分析】首先根据题意做出可行域，欲求区域D中的点到直线x+y=10的距离最大值，由其几何意义为区域D的点A（1，1）到直线x+y=10的距离为所求，代入计算可得答案．【解答】解：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为区域D的点A（1，1）到直线x+y=10的距离最大，即为所求，由点到直线的距离公式得：d==4，则区域D中的点到直线x+y=10的距离最大值等于4，故答案为：4．15．（4分）（2007•山东）与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．【分析】由题意可知先求圆心坐标，再求圆心到直线的距离，求出最小的圆的半径，圆心坐标，可得圆的方程．【解答】解：曲线化为（x﹣6）2+（y﹣6）2=18，其圆心到直线x+y﹣2=0的距离为．所求的最小圆的圆心在直线y=x上，其到直线的距离为，圆心坐标为（2，2）．标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．16．（4分）（2007•山东）已知函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中最小值为8．【分析】根据对数函数的性质，可以求出A点，把A点代入一次函数y=mx+n，得出2m+n=1，然后利用不等式的性质进行求解．【解答】解：∵函数y=log a（x﹣1）+1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，可得A（2，1），∵点A在一次函数y=mx+n的图象上，∴2m+n=1，∵m，n＞0，∴2m+n=1≥2，∴mn≤，∴（）==≥8（当且仅当n=，m=时等号成立），故答案为8．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2007•山东）设数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）由a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=⇒当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=，两式作差求出数列{a n}的通项．（2）由（1）的结论可知数列{b n}的通项．再用错位相减法求和即可．【解答】解：（1）∵a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，①∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=．②①﹣②，得3n﹣1a n=，所以（n≥2），在①中，令n=1，得也满足上式．∴．（2）∵，∴b n=n•3n．∴S n=3+2×32+3×33+…+n•3n．③∴3S n=32+2×33+3×34+…+n•3n+1．④④﹣③，得2S n=n•3n+1﹣（3+32+33+…+3n），即2S n=n•3n+1﹣．∴．18．（12分）（2007•山东）设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．（I）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；（II）求ξ的分布列和数学期望；（III）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根的概率．【分析】（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的基本事件总数为6×6，满足条件的事件是使方程有实根，则△=b2﹣4c≥0，对于c的取值进行列举，得到事件数，根据概率公式得到结果．（II）由题意知用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数得到ξ的可能取值0，1，2根据第一问做出的结果写出变量对应的概率，写出分布列和期望．（III）在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根，这是一个条件概率，做出先后两次出现的点数中有5的概率和先后两次出现的点数中有5的条件下且方程x2+bx+c=0有实根的概率，根据条件概率的公式得到结果．【解答】解：（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的基本事件总数为6×6=36，满足条件的事件是使方程有实根，则△=b2﹣4c≥0，即．下面针对于c的取值进行讨论当c=1时，b=2，3，4，5，6；当c=2时，b=3，4，5，6；当c=3时，b=4，5，6；当c=4时，b=4，5，6；当c=5时，b=5，6；当c=6时，b=5，6，目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19，因此方程x2+bx+c=0有实根的概率为．（II）由题意知用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数得到ξ=0，1，2根据第一问做出的结果得到则，，，∴ξ的分布列为ξ012P∴ξ的数学期望．（III）在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根，这是一个条件概率，记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程ax2+bx+c=0有实根”为事件N，则，，∴．19．（12分）（2007•山东）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．（Ⅰ）设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值．【分析】（1）由题意及图形所给的线段大小之间的关系，利用线线平行进而得到线面平行；（2）利用图形中两两垂直的线和题中所给的线段的大小，建立空间直角坐标系，利用向量的知识求出二面角的大小．【解答】解：（I）连接BE，则四边形DABE为正方形，∴BE=AD=A1D1，且BE∥AD∥A1D1，∴四边形A1D1EB为平行四边形，∴D1E∥A1B．∵D1E⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，∴D1E∥平面A1BD．（II）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设DA=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，2，2），A1（1，0，2）．∴．设为平面A1BD的一个法向量，由得取z=1，则设为平面C1BD的一个法向量，由得，取z1=1，则∵.．由于该二面角A1﹣BD﹣C1为锐角，所以所求的二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值为．20．（12分）（2007•山东）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？【分析】连接A1B2，依题意可知A2B2，求得A1A2的值，推断出△A1A2B2是等边三角形，进而求得∠B1A1B2，在△A1B2B1中，利用余弦定理求得B1B2的值，进而求得乙船的速度．【解答】解：如图，连接A1B2，，，△A1A2B2是等边三角形，∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1•A1B2cos45°=，．因此乙船的速度的大小为．答：乙船每小时航行海里．21．（12分）（2007•山东）已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．【分析】（Ⅰ）由题设条件可知解得，由此能够推导出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）由方程组消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，然后结合题设条件利用根的判别式和根与系数的关系求解．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，半焦距为c，则解得∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由方程组消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0由题意：△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0整理得：3+4k2﹣m2＞0 ①设M（x1，y1）、N（x2，y2），则，由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A（2，0）∴（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0即（1+k2）x1x2+（km﹣2）（x1+x2）+m2+4=0也即整理得：7m2+16mk+4k2=0解得：m=﹣2k或，均满足①当m=﹣2k时，直线l的方程为y=kx﹣2k，过定点（2，0），舍去当时，直线l的方程为，过定点，故直线l过定点，且定点的坐标为．22．（14分）（2007•山东）设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（Ⅰ）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式都成立．【分析】（Ⅰ）先求函数的定义域，然后求出函数f（x）的导函数，利用二次函数的性质判定导函数的符号，从而确定函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）需要分类讨论，由（Ⅰ）可知分类标准为b≥，0＜b＜，b≤0或f'（x）＜0．参数取某些特定值时，可只管作出判断，单列为一类；不能作出直观判断的，再分为一类，用通法解决，另外要注意由f'（x）=0求得的根不一定就是极值点，需要判断在该点两侧的异号性后才能称为“极值点”．（Ⅲ）先构造函数h（x）=x3﹣x2+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的单调性，求出函数h（x）的最小值，从而得到ln（x+1）＞x2﹣x3，最后令，即可证得结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2+bln（x+1）的定义域在（﹣1，+∞）令g（x）=2x2+2x+b，则g（x）在上递增，在上递减，g（x）=2x2+2x+b＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，所以f'（x）＞0即当，函数f（x）在定义域（﹣1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知当时函数f（x）无极值点（2）当时，，∴，∴时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上无极值点（3）当时，解f'（x）=0得两个不同解当b＜0时，，∴x1∈（﹣∞，﹣1），x2∈（﹣1，+∞），此时f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点当时，x1，x2∈（﹣1，+∞）f'（x）在（﹣1，x1），（x2，+∞）都大于0，f'（x）在（x1，x2）上小于0，此时f（x）有一个极大值点和一个极小值点综上可知，b＜0，时，f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上无极值点．（Ⅲ）当b=﹣1时，f（x）=x2﹣ln（x+1）．令上恒正∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0即当x∈（0，+∞）时，有x3﹣x2+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x2﹣x3，对任意正整数n，取请修改新增的标题参与本试卷答题和审题的老师有：wdlxh；qiss；zlzhan；wsj1012；minqi5；豫汝王世崇；涨停；zhiyuan；庞会丽；邢新丽；zhwsd（排名不分先后）菁优网2017年2月4日。
2007年全国高考理科数学试题(山东卷)
开始
输入 n
S 0, T 0
n 2? 否 S S n n n 1
T T n n n 1
是
输出 S
结束
第 1 0 题图
11．在直角 ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高，则下列等式不成立的是( B. | BC | BA BC
2
)
( AC AB) (BA BC) | AB|2 12．位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为 向上或向右， 并且向上、 向右移动的概率都是 1 ． 质点 P 移动 5 次后位于点 (2, 3) 的概率为( ) 2 A. (1 )5 B. C52(1)5 C. C53(1 )3 D. C52C53(1)5 2 2 2 2
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2007 年全国各省市高等学校招生全国统一考试数学试题集锦
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分 12 分) 设数列 {an} 满足 a1 3a2 32a3 3n 1an n ， n N * ． 3 (Ⅰ)求数列 {an} 的通项； (Ⅱ)设 bn n ，求数列 {bn} 的前 n 项和 Sn ． an
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第Ⅰ卷(选择题
共 60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．若 z cos i sin ( i 为虚数单位)，则使 z2 1 的 值可能是( ) A. B. C. D. 3 2 6 4 2．已知集合 M {1, 1} ， N {x | 1 2x 1 4, x Z} ，则 M N ( ) 2 A. {1, 1} B. {1} C. {0} D. {1, 0} 3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
2007年山东高考数学理科试题及答案详解
AB∥DC ．
D1
（Ⅰ）设 E 是 DC 的中点，求证： D1E ∥平面 A1BD1 ； A1
B1
C1
（Ⅱ）求二面角 A1 BD C1 的余弦值．
（20）（本小题满分 12 分）
D
E C
A
B
如图，甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲
船位于 A1 处时，乙船位于甲船的北偏西105 方向的 B1 处，此时两船相距 20 海里，当甲船
（Ⅲ）记“先后两次出现的点数有中 5”为事件 D ，“方程 x2 bx c 0 有实数”为事件 E ，
由上面分析得
P(D) 11 ， P(D E) 7 ，
36
36
P(E D) P(D E) 7 ． P(D) 11
（19）（本小题满分 12 分）
解法一：
（Ⅰ）连结 BE ，则四边形 DABE 为正方形，
间直角坐标系，不妨设 DA 1，则 D(0，00，) ，A(1，0，0) ，B(1，1，0) ，C(0，2，2) ，A1(1，0，2) ，
DA1 (1，0，2) ， DB (1，1，0) ，
z
设 n (x，y，z) 为平面 A1BD 的一个法向量．
D1
C1
（Ⅰ）当 b 1 时，判断函数 f (x) 在定义域上的单调性； 2
（Ⅱ）求函数 f (x) 的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数 n
，不等式
ln
1 n
1
1 n2
1 n3
都成立．
2007 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学参考答案
2007年高考真题试卷全国卷Ⅰ数学理科参考答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题： （1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B（10）D（11）C（12）A二、填空题：（13）36（14）3()x x ∈R（15）13（16）三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 22A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+<⎪⎝⎭3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭ 所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． （18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯ 240=（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==，SA =AO 1SO =，SD =．SAB △的面积211122S ABSA ⎛=-= ⎝连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S =， 解得h =A设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin h SD α===． 所以，直线SD 与平面SBC所成的我为arcsin11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x0)A ，，(0B ，(0C ，(001)S ，，，(2，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． 1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，(AB =． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，(DS =． 22cos 11OG DS OG DSα==，sin 11β= 所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11． （20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x xf x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e20xxg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数， 所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln 2a x =，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． （21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=， 所以，222200021132222y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+ 22212221221)(1)()432k BD x x k x x x x k +⎡=-=++-=⎣+；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，221132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． （22）解：（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a +=．所以，数列{n a -是首项为21的等比数列，1)n n a ，即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n=2，112b a ==，所以11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -≤， 也即430k k b a -< 当1n k =+时，13423k k k b b b ++=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+所以1(32)2)23k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…．。
山东省2007高考数学样卷(文理各一套)
山东省2007年高考样题数学(理工类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束后，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}{}6,4,3,2,12≤+==x x x Q P ，则Q P ⋂等于A.{1，2}B. {3，4}C.{1}D. {-2，-1，0，1，2}本小题主要考查不等式的解法及集合的基本运算，考查实数、集合的运算能力． 解答：A 2．一粒骰子，抛掷一次，得到奇数的概率是 A.21 B. 61 C.32 D. 43 本题主要考查互斥事件的概率．解答：A3．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是A.x x f sin )(=B.1)(+-=x x fC.()x x a a x f -+=21)(D.x x x f +-=22ln )( 本小题主要考查基本函数及其复合函数的奇偶性与单调性，考查函数基本性质的应用．解答：D4．如果直线l 将圆04222=--+y x y x 平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0B ．[]1,0C ．[]2,0D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,0 本小题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的能力．解答：C5．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈0,2πx ，()54cos -=-x π，则=x 2tan A ．247 B ．247- C ．724 D ．724- 本小题主要考查利用同角三角函数关系式与二倍角公式求值，考查运算能力． 解答：D6．已知向量,，且65,2+-=+=，b a CD 27-=，则一定共线的三点是A. A 、B 、DB. A 、B 、CC. B 、C 、DD. A 、C 、D本小题主要考查平面向量的运算与共线向量的概念，考查运算能力．解答：A7.某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是A ．分层抽样法，系统抽样法B ．分层抽样法，简单随机抽样法C ．系统抽样法，分层抽样法D ．简单随机抽样法，分层抽样法 本小题主要考查随机抽样的三种抽样方法．解答：B8．已知实数a , b 满足等式b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛3121，下列五个关系式①0<b<a ②a<b<0 ③0<a<b④b<a<0 ⑤a=b 其中不可能成立的关系式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个本小题主要考查指数式、指对互化以及分类讨论数学思想方法．解答：B9．在x y x y x y y x 2cos ,,log ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使()()222121x f x f x x f +>⎪⎭⎫ ⎝⎛+恒成立的函数的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3本题主要考查函数的凹凸性，看上去好像超纲，但结合函数的图像准确理解凹凸的含义，不难作出答案．解答：B10．在△ABC 中，若Cc B b A a cos cos cos ==，则ABC ∆是 A.直角三角形 B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形本题主要考查解三角形的知识，要求对正弦、余弦定理灵活掌握．解答：B11． 变量y x ,满足下列条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≥+≥+0,024*********y x y x y x y x ，则使y x z 23+=的值最小的()y x ,是A. ( 4.5 ,3 )B. ( 3,6 )C. ( 9, 2 )D. ( 6, 4 )本小题主要考查一元二次不等式组与平面区域问题以及简单的线性规划问题，考查数形结合的能力．解答：A12.若122=+b a ，222=+c b ，222=+a c ，则ca bc ab ++的最小值为A ．213-B ．321-C ．321--D ．321+ 本小题主要考查对代数式的认识，考查综合运用条件解决问题的能力．解答：B第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．2．答卷前，将密封线内的项目填写清楚．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上） 13．()()=-+++-221111i i i i.本小题主要考查复数的代数运算，考查运算能力．解答：-114．求满足100005312222<++++n 的最大整数解的程序框图A 处应为 .本小题主要考查学生对于基本框图逻辑结构的理解，同时考查学生对于数列求和以及不等式等实际数学问题的具体分析的能力．解答：n -215．已知两个圆：122=+y x ①与()1322=-+y x ②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆()()222r b y a x =-+-和()()222r d y c x =-+-的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 __________.本小题主要考查圆的方程、圆的公共弦方程的概念，考查抽象思维能力和归纳推广数学命题的能力．解答：()()0222222=--++-+-d c b a y b d x a c .16．已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面，命题p ：若βαβα⊂⊂n m ,,//，则n m //命题q ：若n m n m //,,βα⊥⊥，则βα//下面的命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）. ①“p 或q ”为真；②“p 且q ”为真； ③p 真q 假 ； ④“p ⌝”为真本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系以及命题的判断，考查逻辑推理能力和空间想象能力．解答：①④三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写文字说明；证明过程或演算步骤）（17）（本小题满分12分）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.本小题主要考查概率统计的基础知识，运用数学知识解决问题的能力．解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：甲答对试题数ξ的数学期望E ξ=5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯. （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )=310361426C C C C +=321202060=+，P (B )=15141205656310381228=+=+C C C C . 因为事件A 、B 相互独立，方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ()()()45115141321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=⋅B P A P B A P ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ()454445111=-=⋅-=B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544． 方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 ()()()454415143215143115132=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A P B A P B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. （18）（本小题满分12分） 已知向量()x x cos ,sin 2=，)cos 2,cos 3(x x =，定义函数 ()()1log -⋅=x f a ()1,0≠>a a（I ）求函数()x f 的最小正周期；（II ）确定函数()x f 的单调递增区间.本小题主要考查平面向量与三角函数的综合运用.解：（I ）因为12cos 2sin 3cos 2cos sin 322++=+=⋅x x x x x n m 所以()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2log πx x f a ，故ππ==22T （II ）令()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2πx x g ，则()x g 的单调递增的正值区间是Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,6,12ππππ， ()x g 的单调递减的正值区间是Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++,125,6ππππ 当10<<a 时，函数()x f 的单调递增区间为Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++,125,6ππππ 当1>a 时，函数()x f 的单调递增区间为Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,6,12ππππ (19) （本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点．（Ⅰ）试确定点F 的位置，使得F D 1⊥平面AB 1F ；（Ⅱ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，求二面角C 1―EF ―A 的余弦值;（III ）求异面直线D 1E 与BC 1所成的角.本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．利用两平面的法向量求也可．解：（Ⅰ）连结A 1B ，则A 1B 是D 1E 在面ABE 1A 1上的射影．∵AB 1⊥A 1B ，∴D 1E ⊥AB 1于是D 1E ⊥平面AB 1F ， D 1E ⊥AF ．连接DE ，则DE 是D 1ED 底面ABCD 内的射影．∴D 1E ⊥AF ，DE ⊥AF ．∵ABCD 是正方形，E 是BC 的中点，∴当且仅当F 是CD 的中点时，DE ⊥AF ， 既当点F 是CD 的中点时，D 1F ⊥平面AB 1F ．（Ⅱ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，由（Ⅰ）知点F 是CD 的中点．又已知点E 是BC 的中点，连结EF ，则EF ∥BD ．连接AC ；设AC 与EF 交于点H ，则CH ⊥EF ．连结C 1H ，则CH 是C 1H 在底面ABCD 内的影．∴C 1H ⊥EF ，既∠C 1HC 上二面角C 1－EF －C 的平面角．在Rt △C 1CH 中，∵C 1C =1，CH =41，AC =42． ∴22421tan 11===∠CH C C HC C ． ∴cos ∠C 1HC =31 故二面角C 1－EF －A 的余弦值为31 （III ）连结1BC ，取11D A 的中点G ，连接BG ，因为 B E //1GD ，BE =1GD ， 则BG //D 1E ，则直线BG 与BC 1所成的角，即为异面直线D 1E 与BC 1所成的角 在△BC 1G 中，由余弦定理得22cos 1=∠GBC ，则所求角为ο45． （20）（本小题满分12分）（I ）已知椭圆C 的方程是()012222>>=+b a b y a x ，设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A 、B 两点，AB 的中点为M . 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（Ⅱ）利用（I ）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.本题主要考查直线与椭圆的位置关系，学生的作图能力．解：（I ）设直线l 的方程为m kx y +=，与椭圆C 的交点()11,y x A 、()22,y x B ， 则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y ax m kx y ， 解得 02)(222222222=-+++b a m a kmx a x k a b ， ∵ 0>∆，∴ 2222k a b m +<，即 222222k a b m k a b +<<+-.则 222221212222212,2ka b m b m kx m kx y y k a b km a x x +=+++=++-=+， ∴ AB 中点M 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-22222222,k a b m b k a b km a .∴ 线段AB 的中点M 在过原点的直线 022=+y k a x b 上. （Ⅱ）如图，作两条平行直线分别交椭圆于A 、B 和C 、D ，并分别取AB 、CD 的中点M 、N ，连接直线MN ；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A 1、B 1和C 1、D 1，并分别取A 1B 1、C 1D 1的中点M 1、N 1，连接直线M 1N 1，那么直线MN 和M 1N 1的交点O 即为椭圆中心.21.（本小题满分12分）已知函数()()0,,ln 2≠+-==a bx ax x g x x f（Ⅰ）若2=b ，且()()()x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）设函数()x f 的图象C 1与函数()x g 图象C 1交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M 、N ，证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行. 本题综合考察导数在解决函数单调性，函数曲线的切线等问题中的作用．解：（I ）x ax x x h b 221ln )(,22--==时，则.1221)(2x x ax ax x x h -+-=--=' 因为函数()x h 存在单调递减区间，所以0)(<'x h 有解.又因为0>x 时，则0122>-+x ax 有0>x 的解.①当0>a 时，122-+=x ax y 为开口向上的抛物线，0122>-+x ax 总有0>x 的解；②当0<a 时，122-+=x ax y 为开口向下的抛物线，而0122>-+x ax 总有0>x 的解；则044>+=∆a ,且方程0122=-+x ax 至少有一正根.此时，01<<-a 综上所述，a 的取值范围为()()+∞⋃-,00,1.（II ）证法一 设点P 、Q 的坐标分别是()11,y x P ，()22,y x Q ，210x x <<，则点M 、N 的横坐标为,221x x x += 在C 1点M 处的切线斜率为,2|1212121x x x k x x x +==+= 在C 2点N 处的切线斜率为b x x a b ax k x x x ++=+=+=2)(|212221假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则21k k = 即b x x a x x ++=+2)(22121，则)2()(2)()(2)(21212221221222112bx x abx x a x x b x x a x x x x +-+=-+-=+-=1212ln ln x x y y -=- 所以1212121)1(2ln x x x x x x +-= 设12x x t =则1,1)1(2ln >+-=t t t t ① 令1,1)1(2ln )(>+--=t t t t t r ，则22214(1)(),(1)(1)t r t t t t t -'=-=++ 因为1>t 时，0)(>'t r ，所以)(t r 在),1[+∞上单调递增. 故.0)1()(=>r t r 则t t t +->1)1(2ln . 这与①矛盾，假设不成立.故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行. 证法二：同证法一得)(2)ln )(ln (121212x x x x x x -=-+ 因为01>x ，所以)1(2ln )1(121212-=+x x x x x x令12x x t =，得1),1(2ln )1(>-=+t t t t ② 令11ln )(,1),1(2ln )1()(-+='>--+=t t t r t t t t t r 则 因为22111)1(ln t t t t t t -=-='+，所以1>t 时，0)1(ln >'+t t故t t 1ln +在[)+∞,1上单调递增.从而011ln >-+t t ，即0)(>'t r于是)(t r 在[)+∞,1上单调递增.故0)1()(=>r t r 即)1(2ln )1(->+t t t 这与②矛盾，假设不成立. 故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行. 22.(本小题满分14分)已知数列{}n b 是等差数列，100,1103211=+++=b b b b b ， （Ⅰ）求数列{}n b 的通项n b ;（Ⅱ）设数列{}n a 的通项⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n ba 11lg ，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，试比较n S 与1lg 21+n b 的大小，并证明你的结论. 本题是综合题，主要考查等差数列、数学归纳法、对数函数的性质等基本知识，以及归纳猜想，等价转化和代数式恒等变形的能力，相比之下，对能力的考查，远远高于对知识的考查.解：（Ⅰ）设数列{}n b 的公差为d ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1002)110(1010,111d b b 解得⎩⎨⎧==211d b ∴12-=n b n（Ⅱ）由12-=n b n ，知()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=1211lg 311lg 11lg n S n()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=121131111lg n ，12lg lg 211+=+n b n .因此要比较n S 与1lg 21+n b 的大小，可先比较与12+n 的大小.取1=n ，有()11+＞112+⋅，取2=n ，有（1+1）（1+31）＞122+⋅，……由此推测（1+1）（1+31）…（1+121-n ）＞12+n . ①若①式成立，则由对数函数性质可断定：1lg 21+>n n b S 下面用数学归纳法证明①式. （i ）当1=n 时已验证①式成立.（ii ）假设当k n =()Z k k ∈≥,1时，①式成立，即（1+1）（1+31）…（1+121-k ）＞12+k .那么，当1+=k n 时，（1+1）（1+31）…（1+121-k ）［1+1)1(21-+k ］＞12+k （1+121+k ）=1212++k k ()22+k ， ∵()2221212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++k k k －2)32(+k＝012112)384(48422>+=+++-++k k k k k k ，2)k +>=. 因而 .1)1(2)1211)(1211()311)(11(++>++-+++k k k这就是说①式当1+=k n 时也成立.由（i ），（ii ）知①式对任何正整数n 都成立. 由此证得：1lg 21+>n n b S山东省2007年高考样题数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 3．考试结束后，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合},5,2,0{},,|{=∈∈+=+P Q b P a b a Q P 若}6,2,1{=Q ，则Q P +中元素的个数是A ．9B ．8C ．7D ．6本题主要考查集合概念的理解，以及对知识的迁移能力，对基本知识的掌握要准确、牢固． 解答：B2．一粒骰子，抛掷一次，得到奇数的概率是A.21 B.61 C.32 D. 43本题主要考查考生对于古典概型的理解、运用，互斥事件的概率加法公式． 解答：A3.若b a c b a +===,2,1，且a c ⊥，则向量a 与b的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°本题主要考查向量的内积及运算，向量的内积是解决夹角与距离的工具，应灵活掌握． 解答：C4. 为了得到函数)62s i n (π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度本题 综合考查三角函数诱导公式，三角函数图象变换的知识，以及逻辑分析能力和直觉思维能力． 答案;B5. 在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是 A.若β⊂l 且βα⊥,则α⊥l B.若β⊥l 且βα//,则α⊥l .C.若β⊥l 且βα⊥,则α//lD. 若m =⋂βα且m l //,则α//l . 本题主要考查立体几何初步的有关知识，包括直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的知识，要求学生有很好的空间想象能力． 解答：B6．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是 A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样C ．①、④都可能为系统抽样D ．①、③都可能为分层抽样本题主要考查统计中的抽样方法的有关知识，新课程把这部分只是放到了必修内容里，也就是说对于现代公民应必备的知识，反映了我们整个国家的进步，此类题型应该给予重视． 解答：D7. 若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是A.50<<kB.05<<-kC. 130<<kD.50<<k 本题主要考查平面解析几何初步知识，包括圆的一般方程、圆的标准方程、直线与圆的交点等知识，但此题考察的解题方法是数形结合的思想方法． 解答：A8 . 向高为H 的水瓶中注水, 注满为止. 如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如右图所示, 那么水瓶的形状是( )解答：B9 . 在△ABC 中，若CcB b A a cos cos cos ==，则△ABC 是 A.直角三角形. B.等边三角形. C.钝角三角形. D.等腰直角三角形.本题主要考查解三角形的知识， 要求对正弦、余弦定理灵活掌握． 解答：B10．已知实数b a ,满足等式,)31()21(b a =下列五个关系式①a b <<0 ②0<<b a ③b a <<0 ④0<<a b⑤b a =其中不可能．．．成立的关系式有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个本小题综合考查指数式、指数式与对数式互化以及指数函数的有关知识，分类讨论数学思想方法． 解答：BhABCD11．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a 本题以一元二次不等式的有关知识为载体，综合考查考生利用已经获取的信息，处理并解决新问题的能力． 解答：C12．在直角坐标系xoy 中，已知A O B ∆三边所在直线方程分别为3032,0,0=+==y x y x则AOB ∆内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是A ．95B ．91C ．88D ．75本题主要考查了解析几何必修内容的线性规划． 解答：B第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前，将密封线内的项目填写清楚．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上） 13.复数),,,(,R d c b a di c bi a ∈++的积为实数的充要条件是 . 本题主要考查复数和常用逻辑用语的知识． 解答：0=+bc ad14.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算得63.272=K ，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是 的（有关，无关）本题主要考查统计案例的有关知识，对828.102>K 就有99.9%理由认为两个量是有关系的．解答：有关.15. 已知n 次多项式()n n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110 ,如果在一种算法中，计算kx 0()n k ,4,3,2=的值需要1-k 次乘法，计算()03x P 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算()010x P 的值共需要 次运算． 下面给出一种减少运算次数的算法：()()()1100,+++==k k k a x xP x P a x P ，（=k 0, 1，2，…，1-n ）．利用该算法，计算()03x P 的值共需要6次运算，计算()010x P 的值共需要 次运算．本题涉及算法的知识，但重在考查考生的合情推理能力和创造性思维能力． 解答：65，2016. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2OP OA OB =+则动点P 的轨迹为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）.本题通过多选的开放形势，综合考查椭圆和双曲线的概念、简单几何性质，并结合平面向量的知识，考查学生处理简单轨迹问题的能力 ． 解答： ③④三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知232,534cos παππα<≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛+．求⎪⎭⎫ ⎝⎛+42cos πα的值．本小题考查两角和正、余弦公式，倍角的正弦、余弦公式，同角三角函数的基本关系式以及诱导公式等基础知识，考查基本运算能力．解：……3分47443ππαπ<+≤且0)4cos(>+πα，∴47423ππαπ<+≤………………………………6分从而，……………8分…………………………10分………………………………12分18.(本题满分12分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（I ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P =f (t )； 写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q =g (t )；（II ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天）300本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力．解：（I ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为由图二可得种植成本与时间的函数关系为（II ）设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得 h (t )=f (t )-g (t )即当0≤t ≤200时，配方整理得所以，当t =50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100； 当200< t ≤300时，配方整理得所以，当t =300时，h (t )取得区间[200，300]上的最大值87.5． 综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． 19.（本小题满分12分）如图, 在直三棱柱111C B A ABC -中，3=AC ，5AB =,4=BC ，41=AA ，点D 是AB 的中点， （I ）求证：1BC AC ⊥； （II ）求证：11//CDB AC 平面.本题考察学生对空间图形中直线与直线，直线与平面相互关系的识别能力，综合考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力．证明：（I ）直三棱柱111C B A ABC -，底面三边长3=AC ，5=AB ，4=BC∴ BC AC ⊥，又ABC CC 平面⊥1，∴1BC 在平面ABC 内的射影为BC ∴1BC AC ⊥；（II ）设1CB 与B C 1的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点，∴ 1//AC DE ， ∵ 1CDB DE 平面⊂，11CDB AC 平面⊄，∴11//CDB AC 平面 . 20.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前项和为22n S n =,{}n b 为等比数列，且11b a =, ()1122b a a b =-, (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (Ⅱ)设nnn b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 本题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.解：(Ⅰ)因为当1=n 时，211==S a ，当2≥n 时， ()24122221-=--=-=-n n n S S a n n n ，故{}n a 的通项公式为24-=n a n ，设{}n b 的公比为q ，则11b qd b =，4=d ，所以41=q 故111412--⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==n n n q b b ，即{}n b 的通项公式为142-=n n b（Ⅱ）∵()114124224---=-==n n nn n n n b a c ，∴121214)12(...45431...--++⨯+⨯+=+++=n n n n c c c T ，n n n n n T 4)12(4)32(...4543414132⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=-，两式相减得()()]54)56[(314124...4442131321+-=-+++++--=-n n n n n n T ， ∴]54)56[(91+-=n n n T . 21.（本小题共12分） 已知函数()a x x x x f +++-=9323，（I ）求()x f 的单调递减区间；（II ）若()x f 在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 本题主要考查导数在研究函数中的应用，会用导数求函数的单调区间、最值. 解：（I ）()9632++-='x x x f ，令()0<'x f ，解得1-<x 或3>x ，所以函数()x f 的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II ）因为()a a f +=+-+=-2181282，()a a f +=+++-=22181282， 所以()()22->f f ，因为在（－1，3）上()0>'x f ，所以()x f 在[－1, 2]上单调递增，又由于()x f 在[－2，－1]上单调递减，因此()2f 和()1-f 分别是()x f 在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 2022=+a ，解得 2-=a ， 故()29323-++-=x x x x f ，因此72931)1(-=--+=-f ，即函数()x f 在区间[－2，2]上的最小值为－7．22.（本题满分14分）已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ，（I ）求抛物线方程；（II ）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；（Ⅲ）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.本题考查抛物线的标准方程和简单几何性质，直线的方程，直线与抛物线、圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的等基本知识，综合考查学生运用解析法处理几何问题的能力．解：（I ）抛物线2,524,222=∴=+-==p p p x px y 于是的准线为. ∴抛物线方程为x y 42=.（II ）∵点A 的坐标是（4，4）， 由题意得()4,0B ，()2,0M ，又∵()0,1F ， ∴,43,;34-=∴⊥=MN FA k FA MN k 则FA 的方程为()134-=x y ，MN 的方程为x y 432-=-， 解方程组)54,58(5458,432)1(34N y x x y x y ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=得． （Ⅲ）由题意得，圆M 的圆心是点（0，2），半径为2.当4=m 时，直线AK 的方程为4=x ，此时，直线AK 与圆M 相离，当4≠m 时，直线AK 的方程为),(44m x my --=即为04)4(4=---m y m x ， 圆心()2,0M 到直线AK 的距离2)4(16|82|-++=m m d ，令1,2>>m d 解得．1>∴m 当时，直线AK 与圆M 相离； 当1=m 时，直线AK 与圆M 相切；当1<m 时，直线AK 与圆M 相交.。
2007年高考理科数学试题及参考答案(山东卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷山东理科数学一．选择题1．若cos sin z i θθ=+（i 虚数单位），则21z =-使的值可能是 (A)6π (B)4π (C)3π (D) 2π 2．已知集合{1,1}M =-，11{|24,}2x N x x Z +=<<∈则M N = (A) {1,1}- (B) {1}- (C) {0} (D) {1,0}- 3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(A) ①② (B) ①③ (C) ①④ (D) ②④4．设1{1,1,,3}2a ∈-，则使函数2y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为 (A)1，3 (B)1-，1 (C) 1-，3 (D) 1-，1，35．函数sin(2)cos(2)63y x x ππ=+++的最小正周期和最大值分别为(A) ,1π (B) π(C) 2,1π (D) 2π6．给出下列三个等式：()()(),()()(),f xy f x f y f x y f x f y =++=()()()f x y f x f y +=+，下列函数中不．满足其中任何一个等式的是 (A) ()3x f x = (B) ()sin f x x =(C) 2()log f x x = (D) ()tan f x x = 7．命题“对任意的32,1x R x x ∈-+≤0”的否定是(A)不存在32,1x R x x ∈-+≤0 (B)存在32,1x R x x ∈-+≤0(C)存在32,10x R x x ∈-+> (D) 对任意的32,10x R x x ∈-+>8．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒。
右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。
2007年山东高考数学理科试题及答案详解
的个数（重根按一个计）．
（Ⅰ）求方程 x2 bx c 0 有实根的概率；
（Ⅱ）求 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下，方程 x2 bx c 0 有实根的概率．
（19）（本小题满分 12 分）
如图，在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，已知 DC DD1 2AD 2AB ， AD DC ，
D．
CD
2
(ACAB) (BABC)
2
AB
x 22 否
s sn
n n 1
T T n
n n 1
输出 S，T 结束
（12）位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向 为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 1 ，质点 P 移动五次后位`于点 (2，3) 的概
析出 x 和 y 分别为（ ）
0.04 0.02
A．0.9，35 C．0.1，35
B．0.9，45 D．0.1，45
0 13 14 15 16 17 18 19 秒
（9）下列各小题中， p 是 q 的充要条件的是（ ）
① p ： m 2 或 m 6 ； q ： y x2 mx m 3有两个不同
2
率是（ ）
A．
1 2
2
B．
C32
1 2
3
C．
C32
1 2
2
D．
C12C32
1 2
3
第Ⅱ卷（共 90 分）
பைடு நூலகம்
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．答案须填在题中横线上．
（13）设 O 是坐标原点，F 是抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点， A 是抛物线上的一点，FA
[高考]2007-全国高考理科数学试题山东卷
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2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．（1）若cos isin z θθ=+（i 为虚数单位），则使21z =-的θ值可能是（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π （2）已知集合{}11M =-，，11242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N =（ ）A ．{}11-，B ．{}1-C ．{}0D ．{}10-，（3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④（4）设11132a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，，，，则使函数ay x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A ．1，3B ．1-，1C ．1-，3D ．1-，1，3（5）函数sin 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期和最大值分别为（ ） A ．π，1B ．πC ．2π，1D ．2π（6）给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）A ．()3xf x =B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =（7）命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是（ ）①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤ B ．存在x ∈R ，3210x x -+≤ C ．存在x ∈R ，3210x x -+> D ．对任意的x ∈R ，3210x x -+>（8）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（ ）A ．0.9，35B ．0.9，45C ．0.1，35D ．0.1，45（9）下列各小题中，p 是q 的充要条件的是（ ） ①p ：2m <-或6m >；q ：23y x mx m =+++有两个不同的零点． ②():1()f x p f x -=；:()q y f x =是偶函数． ③:cos cos p αβ=；:tan tan q αβ=． ④:p AB A =；:U Uq B A ⊆痧．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④（10）阅读右边的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是（ ） A ．2500，2500 B ．2550，2550 C ．2500，2550 D ．2550，2500`（11）在直角ABC △中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ ） A ．2AC AC AB = B ．2BC BA BC = C ．2AB AC CD =D ．22()()AC AB BA BC CD AB⨯=（12）位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位`于点(23)，的概秒率是（ ）A ．212⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3231C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2231C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．312231C C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案须填在题中横线上． （13）设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为 ．（14）设D 是不等式组21023041x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤，≥，≤≤，≥表示的平面区域，则D 中的点()P x y ，到直线10x y +=距离的最大值是 ．（15）与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +---=都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．（16）函数log (3)1a y x =+-(01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分） 设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18）（本小题满分12分）设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．（Ⅰ）求方程20x bx c ++=有实根的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20x bx c ++=有实根的概率．（19）（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC ⊥，AB DC ∥．（Ⅰ）设E 是DC 的中点，求证：1D E ∥平面11A BD ； （Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值．（20）（本小题满分12分）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？（21）（本小题满分12分） 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． （22）（本小题满分14分） 设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． （Ⅰ）当12b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n n n⎛⎫+>-⎪⎝⎭都成立． 2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）BCD A1A1D 1C1BE1A2A120 105理科数学参考答案第Ⅰ卷一、选择题 （1）D （2）B （3）D（4）A （5）A （6）B （7）C （8）A（9）D（10）D（11）C（12）B第Ⅱ卷二、填空题 （13）2p（14） （15）22(2)(2)2x y -+-=（16）8三、解答题 （17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）211233333n n na a a a -++++=…， ① ∴当2n ≥时，22123113333n n n a a a a ---++++=…． ② ①-②得1133n n a -=，13n n a =．在①中，令1n =，得113a =．13n n a ∴=．（Ⅱ）n nnb a =， 3n n b n ∴=．23323333n n S n ∴=+⨯+⨯++…， ③ 23413323333n n S n +∴=+⨯+⨯++…． ④④-③得12323(3333)n n n S n +∴=-++++…．即13(13)2313n n n S n +-=--，1(21)3344n n n S +-∴=+．（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知：设基本事件空间为Ω，记“方程20x bx c ++=没有实根”为事件A ，“方程20x bx c ++=有且仅有一个实根”为事件B ，“方程20x bx c ++=有两个相异实数”为事件C ，则{}()126b c b c Ω==，，，，…，， {}2()40126A b c b c b c =-<=，，，，，…，，{}2()40126B b c b c b c =-==，，，，，…，， {}2()40126C b c bc b c =->=，，，，，…，，所以Ω是的基本事件总数为36个，A 中的基本事件总数为17个，B 中的基本事件总数为2个，C 中的基本事件总数为17个． 又因为B C ，是互斥事件，故所求概率21719()()363636P P B B C =+=+=． （Ⅱ）由题意，ξ的可能取值为012，，，则 {}17036P ξ==， {}1118P ξ==，{}17236P ξ==，故ξ的分布列为：ξ0 1 2P1736 1181736所以ξ的数学期望171170121361836E ξ=⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）记“先后两次出现的点数有中5”为事件D ，“方程20x bx c ++=有实数”为事件E ，由上面分析得11()36P D =，7()36P D E =， ()7()()11P D E P E D P D ∴==．（19）（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）连结BE ，则四边形DABE 为正方形，1A1D 1C1BG11BE AD A D ∴==，且11BE AD A D ∥∥，∴四边形11A D EB 为平行四边形． 11D E A B ∴∥．又1D E ⊄平面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ，1D E ∴∥平面1A BD ．（Ⅱ）以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1DA =，则(000)D ，，，(100)A ，，，(110)B ，，，(022)C ，，，1(102)A ，，，1(102)DA ∴=，，，(110)DB =，，， 设()x y z =，，n 为平面1A BD 的一个法向量．由1DA ⊥n ，DB ⊥n ， 得200.x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1z =，则(231)=-，，n ． 又2(023)DC =，，，(110)DB =，，， 设111()x y z =，，m 为平面1C BD 的一个法向量， 由DC ⊥m ，DB ⊥m ，得11112200.y z x y +=⎧⎨+=⎩，取11z =，则(111)=-，，m ， 设m 与n 的夹角为a ，二面角11A BD C --为θ，显然θ为锐角，cos θ∴===m n m n ．cos θ∴=，即所求二面角11A BD C --的余弦为3． 解法二：（Ⅰ）以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DA a =，由题意知：(000)D ，，，(00)A a ，，，(0)B a a ，，，(020)C a ，，，1(022)C a a ，，，1(02)A a a ，，，1(002)D a ，，，(00)E a ，，．1(02)D E a a ∴=-，，，1(02)DA a a =，，，(0)DB a a =，，，又(02)(0)(02)a a a a a a -=-，，，，，，， 1D E DB DA ∴=-．1DA DB ⊂，平面1A BD ，1D E ⊄平面1A BD ， 1D E ∴∥平面1A BD ．（Ⅱ）取DB 的中点F ，1DC 的中点M ，连结1A F ，FM ， 由（Ⅰ）及题意得知：022a a F ⎛⎫⎪⎝⎭，，，(0)M a a ，，，1222a a FA a ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，，22a a FM a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，12(0)022a a FA DB a a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，，，，，(0)022a a FM DB a a a ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，，，，．1FA DB ∴⊥，FM DB ⊥， 1A FM ∴∠为所求二面角的平面角．111cos FA FM A FM FA FM∴=∠2226a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪=，，，，22223a a a --+==． 所以二面角11A BD C --的余弦值为3． 解法三：（Ⅰ）证明：如解法一图，连结1AD ，AE ， 设11AD A D G =，AEBD F =，连结GF ，由题意知G 是1A D 的中点，又E 是CD 的中点，∴四边形ABED 是平行四边形，故F 是AE 的中点， ∴在1AED △中，1GF D E ∥，又GF ⊂平面1A BD ，1D E ⊄平面1A BD ，1D E ∴∥平面1A BD ．（Ⅱ）如图，在四边形ABCD中，设AD a =， AB AD =，AD DC ⊥，AB DC ∥， AD AB ∴⊥． 故BD =，由（Ⅰ）得2222222BC BE EC a a a =+=+=，2DC a =， 90DBC ∴=∠，即BD BC ⊥．又1BD BB ⊥，BD ∴⊥平面11BCC B ，又1BC ⊂平面11BCC B ，1BD BC ∴⊥，取1DC 的中点M ，连结1A F ，FM ，BCDA1A1D 1C1BEF M H由题意知：1FM BC ∴∥，FM BD ∴⊥．又11A D A B =，1A F BD ∴⊥．1A FM ∴∠为二面角11A BD C --的平面角．连结1A M ，在1A FM △中， 由题意知：12A F a =，1122FM BC a ===， 取11D C 的中点H ，连结1A H ，HM ， 在1Rt A HM △中，1A H =，HM a =， 1AM ∴． 2221111cos 2A F FM A M A FM A F FM +-∴=∠ 222933362a aa a a +-= 3= ∴二面角11A BD C -- （20）（本小题满分12分）解法一：如图，连结11A B，由已知22AB =122060A A ==1221A A A B ∴=，又12218012060A A B =-=∠，122A A B ∴△是等边三角形，1A2A120 1051212A B A A ∴==由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠，在121A B B △中，由余弦定理，22212111212122cos45B B A B A B A B A B =+-22202202=+-⨯⨯ 200=．12B B ∴=因此，乙船的速度的大小为6020=（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．解法二：如图，连结21A B ，由已知1220A B =，122060A A ==112105B A A =∠， cos105cos(4560)=+cos 45cos60sin 45sin 60=-=，sin105sin(4560)=+sin 45cos60cos 45sin 60=+=．在211A A B △中，由余弦定理，22221221211122cos105A B A B A A A B A A =+-2220220=+-⨯1A2A120 105100(4=+．1110(1A B ∴=．由正弦定理11121112222(13)2sin sin 4210(13)A B A A B B A A A B +===+∠∠， 12145A A B ∴=∠，即121604515B A B =-=∠，2(1cos15sin1054==．在112B A B △中，由已知12AB =，由余弦定理，22212112221222cos15BB A B A B A B A B =++22210(1210(1=+-⨯⨯200=．12B B ∴=乙船的速度的大小为6020=/小时． 答：乙船每小时航行海里． （21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得：3a c +=，1a c -=，2a ∴=，1c =，2223b a c ∴=-=．∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即，则， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点(20)D ，， 1AD BD k k ∴=-，即1212122y y x x =---，1212122()40y y x x x x ∴+-++=，2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --∴+++=+++， 2291640m mk k ∴++=．解得：12m k =-，227k m =-，且均满足22340k m +->， 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （22）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知，()f x 的定义域为(1)-+∞，，322()211b x x b f x x x x ++'=+=++ 设2()22g x x x b =-+，其图象的对称轴为1(1)2x =-∈-+∞，， max 11()22g x g b ⎛⎫∴=-=-+ ⎪⎝⎭．当12b >时，max 1()02g x b =-+>， 即2()230g x x x b =+->在(1)-+∞，上恒成立，∴当(1)x ∈-+∞，时，()0f x '>， ∴当12b >时，函数()f x 在定义域(1)-+∞，上单调递增． （Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当12b >时，函数()f x 无极值点．②12b =时，3122()01x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'==+有两个相同的解12x =-， 112x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，12x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，12b ∴=时，函数()f x 在(1)-+∞，上无极值点． ③当12b <时，()0f x '=有两个不同解，1x =2x =， 0b <时，1112x -=<-，2102x -=>，即1(1)x ∈-+∞，，[)21x ∈-+∞，．0b ∴<时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x1(1)x -，1x2()x +∞，()f x ' -+()f x极小值由此表可知：0b <时，()f x有惟一极小值点112x -=，当102b <<时，11x =>-，12(1)x x ∴∈-+∞，，此时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x1(1)x -， 1x12()x x ，1x1()x -∞，()f x ' +-+()f x极大值极小值由此表可知：102b <<时，()f x 有一个极大值112x -=和一个极小值点212x -=；综上所述：0b <时，()f x 有惟一最小值点x =；102b <<时，()f x 有一个极大值点12x -=和一个极小值点1x x-=； 12b ≥时，()f x 无极值点．（Ⅲ）当1b =-时，函数2()ln(1)f x x x =-+， 令函数222()()ln(1)h x x f x x x x =-=-++，则22213(1)()3211x x h x x x x x +-'=-+=++． ∴当[)0x ∈+∞，时，()0f x '>，所以函数()h x 在[)0+∞，上单调递增， 又(0)0h =．(0)x ∴∈+∞，时，恒有()(0)0h x h >=，即23ln(1)x x x >-+恒成立． 故当(0)x ∈+∞，时，有23ln(1)x x x +>-． 对任意正整数n 取1(0)x n =∈+∞，，则有23111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭． 所以结论成立．2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）参考公式：球的表面积公式：S ＝4πR 2，其中R 是球的半径.如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：P n （k ）＝C k n p k (1-p )n-k（k ＝0，1，2，…，n ）.如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）. 如果事件A 、B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）·P （B ）.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）满足M ⊆｛a 1, a 2, a 3, a 4｝,且M ∩｛a 1 ,a 2, a 3｝={ a 1,a 2}的集合M 的个数是（A ）1 (b)2 (C)3 (D)4 （2）设z 的共轭复数是z ，若z +z =4, z ·z ＝8，则zz等于 （A ）i （B ）-i (C)±1 (D) ±i （3）函数y ＝lncos x (-2π＜x ＜2π＝的图象是 ( )（4）设函数f (x )＝｜x +1｜+｜x -a ｜的图象关于直线x ＝1对称，则a 的值为(A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1（5）已知cos （α-6π）+sin α7sin()6πα+则的值是 （A ）-532 （B ）532 (C)-54 (D) 54（6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是(A)9π （B ）10π (C)11π (D) 12π（7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手。
2007年普通高等学校招生全国统一考试山东卷
2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。
1 若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则21z =-的θ值可能是（A ）6π （B ） 4π （C ）3π （D ） 2π 2 已知集合{}1,1M =-，1124,2x N xx Z +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（A ）{}1,1- （B ） {}1- （C ）{}0 （D ） {}1,0-3下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（A ）(1),(2) （B ） (1),(3) （C ）(1),(4) （D ） (2),(4)4 设11,1,,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为（A ）1,3 （B ） 1,1- （C ）1,3- （D ） 1,1,3-5 函数sin(2)cos(2)63y x x ππ=+++的最小正周期和最大值分别为（A ）,1π （B ） π（C ）2,1π （D ） 2π6 给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-。
下列函数中不满足其中任何一个等式的是 （A ）()3x f x = （B ） ()sin f x x = （C ）2()log f x x = （D ） ()tan f x x =7 命题“对任意的x R ∈，3210x x -+≤”的否定是（A ）不存在x R ∈，3210x x -+≤ （B ）存在x R ∈，3210x x -+≤（C ）存在x R ∈，3210x x -+> （D ）对任意的x R ∈，3210x x -+>8 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒。
2007年高考理科数学试题及参考答案(山东卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．1．复数43i1+2i+的实部是（ ） A ．2- B ．2C ．3D ．42．已知集合11{11}|242x M N x x +⎧⎫=-=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，，，则M N = （ ） A ．{11}-，B ．{0}C ．{1}-D ．{10}-， 3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A ．①②B．①③C ．①④D ．②④4．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象（ ） A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位5．已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ） A ．1BC ．2D ．46．给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）A ．()3xf x = B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =7．命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ）①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤ B ．存在3210x R x x ∈-+，≤ C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，8．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介 于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二 组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组， 成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述 分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒 的学生人数占全班人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方 图中可以分析出x 和y 分别为（ ）A ．0.935，B ．0.945，C ．0.135，D ．0.145，9．设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x轴正向的夹角为60，则OA为（ ）A ．214pB．2CpD ．1336p 10．阅读右边的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是（ ） A ．2550，2500 B ．2550，2550 C ．2500，2500 D ．2500，255011．设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，12．设集合{12}{123}A B ==，，，，，分别从集合A 和B 中随机取一个数和，确定平面上的一个点()P a b ，，记“点()P a b ，落在直线x y n +=上”为事件(25)n C n n ∈N ≤≤，，若事件n C 的概率最大，则n 的所有可能值为（ ）A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4秒第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上． 13．设函数1()f x =21323()()x f x x f x x -==，，，则123(((2007)))f f f = ． 14．函数1(01)x y a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为 ． 15．当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ． 16．与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，， （1）求cos C ；（2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ． 18．（本小题满分12分）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +== ，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ． 19．（本小题满分12分） 本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ 20．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中， 已知122DC DD AD AB ===，AD DC AB DC ⊥，∥． （1）求证：11DC AC ⊥；（2）设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使1D E ∥平面CD1A 1D 1C1B1A BD ，并说明理由．21．（本小题满分12分） 设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠．证明：当0ab >时，函数()f x 没有极值点；当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值． 22．（本小题满分14分） 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点（A B ，不是左右顶点），且以AB为直径的图过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东文卷）答案一、选择题 1．B 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．A 9．B10．A11．B12．D二、填空题 13．1200714．1 15．5m -≤ 16．22(2)(2)2x y -+-=三、解答题17．解：（1）sin tan cos CC C=∴= 又22sin cos 1C C +=解得1cos 8C =±．tan 0C > ，C ∴是锐角．1cos 8C ∴=． （2）52CB CA =，5cos 2ab C ∴=， 20ab ∴=． 又9a b +=22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．6c ∴=．18．解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a q q==，． 又37S =，可知2227q q++=，即22520q q -+=， 解得12122q q ==，． 由题意得12q q >∴=，． 11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=． （2）由于31ln 12n n b a n +== ，，，， 由（1）得3312n n a +=3ln 23ln 2n n b n ∴==又13ln 2n n n b b +-={}n b ∴是等差数列．12n n T b b b ∴=+++1()2(3ln 23ln 2)23(1)ln 2.2n n b b n n n +=+=+=故3(1)ln 22n n n T +=． 19．解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得3005002009000000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥目标函数为30002000z x y =+．二元一次不等式组等价于3005290000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图：l作直线:300020000l x y +=， 即320x y +=．平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立30052900.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得100200x y ==，．∴点M 的坐标为(100200)，．max 30002000700000z x y ∴=+=（元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．20．（1）证明：在直四棱柱1111ABCD A BC D -中， 连结1C D ，1DC DD = ，∴四边形11DCC D 是正方形． 11DC DC ∴⊥．又AD DC ⊥，11AD DD DC DD D =⊥，⊥，AD ∴⊥平面11DCC D ，1D C ⊂平面11DCC D ，1AD DC ∴⊥．1AD DC ⊂ ，平面1ADC ，且AD DC D =⊥，1D C ∴⊥平面1ADC ，又1AC ⊂平面1ADC ，1DC AC ∴1⊥．（2）连结1AD ，连结AE ，设11AD A D M = ，BCDA1A1D1C1BB CD A1A1D1C1BMEBD AE N = ，连结MN ，平面1AD E 平面1A BD MN =，要使1D E ∥平面1A BD ， 须使1MN D E ∥， 又M 是1AD 的中点．N ∴是AE 的中点．又易知ABN EDN △≌△， AB DE ∴=．即E 是DC 的中点．综上所述，当E 是DC 的中点时，可使1D E ∥平面1A BD ．21．证明：因为2()ln 0f x ax b x ab =+≠，，所以()f x 的定义域为(0)+∞，． ()f x '222b ax b ax x x+=+=．当0ab >时，如果00()0()a b f x f x '>>>，，，在(0)+∞，上单调递增；如果00()0()a b f x f x '<<<，，，在(0)+∞，上单调递减． 所以当0ab >，函数()f x 没有极值点．当0ab <时，2()a x x f x x⎛ ⎝⎭⎝⎭'=令()0f x '=，将1(0)x =+∞，（舍去），2)x =+∞，，当00a b ><，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b f a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．当00a b <>，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b f a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 综上所述，当0ab >时，函数()f x 没有极值点； 当0ab <时，若00a b ><，时，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．若00a b <>，时，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 22．解：（1）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得：31a c a c +=-=，，222213a cb ac ==∴=-=，，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）设1122()()A x y B x y ，，，．联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，则22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即，， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+．因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，，1AD BD k k ∴=-，即1212122y yx x =--- ．1212122()40y y x x x x ∴+-++=．2222223(4)4(3)1540343434m k m mk k k k --∴+++=+++． 2271640m mk k ∴++=．解得：12227k m k m =-=-，，且均满足22340k m +->．当12m k =-时，l 的方程(2)y k x =-，直线过点(20)，，与已知矛盾；当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，．。
2007年全国高考数学（理科）试卷（全国卷Ⅰ）（解析版）
2007年全国高考数学（理科）试卷（全国卷Ⅰ）（解析版）2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）α是第四象限角，，则sinα=（）A． B． C． D．2．（4分）设a是实数，且是实数，则a=（）A． B．1 C． D．23．（4分）已知向量，，则与（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向 D．平行且反向4．（4分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A． B． C． D．5．（4分）设a，bR，集合1，ab，a={0，，b，则b﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．（4分）下面给出的四个点中，到直线x﹣y1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）7．（4分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A． B． C． D．8．（4分）设a1，函数f（x）=logax在区间a，2a上的最大值与最小值之差为，则a=（）A． B．2 C． D．49．（4分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件 B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件10．（4分）的展开式中，常数项为15，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．611．（4分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是（）A．4 B． C． D．812．（4分）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（）A． B． C． D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）14．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=．15．（5分）等比数列an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an}的公比为．16．（5分）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosAsinC的取值范围．18．（12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．19．（14分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SABC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．20．（14分）设函数f（x）=ex﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）2；（Ⅱ）若对所有x0都有f（x）ax，求a的取值范围．21．（14分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．22．（16分）已知数列an}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求an}的通项公式；（Ⅱ）若数列bn}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）α是第四象限角，，则sinα=（）A． B． C． D．【分析】根据tanα=，sin2αcos2α=1，即可得答案．【解答】解：α是第四象限角，=，sin2αcos2α=1，sinα=﹣．2．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）设a是实数，且是实数，则a=（）A． B．1 C． D．2【分析】复数分母实数化，化简为abi（a、bR）的形式，虚部等于0，可求得结果．【解答】解．设a是实数，=是实数，则a=1，故选B．3．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）已知向量，，则与（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向 D．平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得．【解答】解：向量，，得，⊥，4．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A． B． C． D．【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）设a，bR，集合1，ab，a={0，，b，则b﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得ab=0，进而分析可得a、b的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，集合，又a≠0，a+b=0，即a=﹣b，，b=1；故a=﹣1，b=1，则b﹣a=2，故选C．6．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）下面给出的四个点中，到直线x ﹣y1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）【分析】要找出到直线x﹣y1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点，我们可以将答案中的四个点逐一代入验证，不难得到结论．【解答】解．给出的四个点中，（1，1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1）三点到直线x﹣y1=0的距离都为，但，仅有（﹣1，﹣1）点位于表示的平面区域内故选C7．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，A1B=C1B=a，A1C1=a，A1BC1的余弦值为，故选D．8．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）设a1，函数f（x）=logax在区间a，2a上的最大值与最小值之差为，则a=（）A． B．2 C． D．4【分析】因为a1，函数f（x）=logax是单调递增函数，最大值与最小值之分别为loga2a、logaa=1，所以loga2a﹣logaa=，即可得答案．【解答】解．a＞1，函数f（x）=logax在区间a，2a上的最大值与最小值之分别为loga2a，logaa，loga2a﹣logaa=，，a=4，故选D9．（4分）（2008?上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件 B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=f（x）g（x）=h（x），“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2x，g（x）=2﹣x，h（x）=x22是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，故选B10．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）的展开式中，常数项为15，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r1项，令x的指数为0求出常数项，据n的特点求出n的值．【解答】解：的展开式中，常数项为15，则，所以n可以被3整除，当n=3时，C31=315，当n=6时，C62=15，故选项为D11．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是（）A．4 B． C． D．8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AKl，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AKl，垂足为K（﹣1，2），AKF的面积是4故选C．12．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（）A． B． C． D．【分析】化简函数为关于cosx的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误．【解答】解．函数=cos2x﹣cosx﹣1，原函数看作g（t）=t2﹣t﹣1，t=cosx，对于g（t）=t2﹣t﹣1，当时，g（t）为减函数，当时，g（t）为增函数，当时，t=cosx减函数，且，原函数此时是单调增，故选A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2007?全国卷Ⅰ）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有36种．（用数字作答）【分析】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题，先从除甲与乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，写出即可．【解答】解．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有C31?A42=34×3=36种．14．（5分）（2007?全国卷Ⅰ）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=3x（xR）．【分析】由题意推出f（x）与函数y=log3x（x0）互为反函数，求解即可．【解答】解．函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）与函数y=log3x（x0）互为反函数，f（x）=3x（xR）故答案为：3x（xR）15．（5分）（2007?全国卷Ⅰ）等比数列an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an}的公比为．【分析】先根据等差中项可知4S2=S13S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：等比数列an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，an=a1qn﹣1，又4S2=S13S3，即4（a1a1q）=a13（a1a1q+a1q2），解．故答案为16．（5分）（2007?全国卷Ⅰ）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2．【分析】由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．【解答】解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，斜边EF的长为2．故答案为：2．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）（2007?全国卷Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosAsinC的取值范围．【分析】（1）先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B．（2）把（1）中求得B代入cosAsinC中利用两角和公式化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的性质求得cosAsinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由ABC为锐角三角形知，0A＜，0﹣A，＜A＜，，所以．由此有，所以，cosAsinC的取值范围为（，）．18．（12分）（2007?全国卷Ⅰ）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．【分析】（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，根据对立事件的概率公式得到结果．（2）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，．（Ⅱ）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，P（η=250）=P（ξ=2）P（ξ=3）=0.20.2=0.4，P（η=300）=1﹣P（η=200）﹣P（η=250）=1﹣0.4﹣0.4=0.2．η的分布列为η 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）．19．（14分）（2007?全国卷Ⅰ）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SABC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．【分析】解法一：（1）作SOBC，垂足为O，连接AO，说明SO 底面ABCD．利用三垂线定理，得SABC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SABC，设ADBC，连接SE．说明ESD为直线SD与平面SBC所成的角，通过，求出直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SOBC，垂足为O，连接AO，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，通过证明，推出SABC．（Ⅱ）.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，利用α与β互余．通过，，推出直线SD与平面SBC所成的角为．【解答】解法一：（1）作SOBC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又ABC=45°，故AOB为等腰直角三角形，AOBO，由三垂线定理，得SABC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SABC，依题设ADBC，故SAAD，由，，．又，作DEBC，垂足为E，则DE平面SBC，连接SE．ESD为直线SD与平面SBC所成的角．所以，直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SOBC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又ABC=45°，AOB为等腰直角三角形，AOOB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，因为，，又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SABC．（Ⅱ），.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余．，，所以，直线SD与平面SBC所成的角为．20．（14分）（2007?全国卷Ⅰ）设函数f（x）=ex﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）2；（Ⅱ）若对所有x0都有f（x）ax，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求出f（x）的导函数，利用ab≥2当且仅当a=b时取等号．得到f''（x）2；（Ⅱ）把不等式变形令g（x）=f（x）﹣ax并求出导函数令其=0得到驻点，在x0上求出a的取值范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导数f''（x）=exe﹣x．由于，故f''（x）2．（当且仅当x=0时，等号成立）．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣ax，则g''（x）=f''（x）﹣a=exe﹣x ﹣a，（ⅰ）若a2，当x0时，g''（x）=exe﹣x﹣a2﹣a0，故g（x）在（0，）上为增函数，所以，x0时，g（x）g（0），即f（x）ax．（ⅱ）若a2，方程g''（x）=0的正根为，此时，若x（0，x1），则g''（x）0，故g（x）在该区间为减函数．所以，x（0，x1）时，g（x）g（0）=0，即f（x）ax，与题设f （x）ax相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是（﹣，2．21．（14分）（2007?全国卷Ⅰ）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且ACBD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．【分析】（Ⅰ）椭圆的半焦距，由ACBD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02y02=1，由此可以证出．（Ⅱ）设BD的方程为y=k（x1），代入椭圆方程，并化简得（3k22）x26k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），由题意知BD|=再求出AC|=，由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值．【解答】证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由ACBD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02y02=1，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k0时，BD的方程为y=k （x1），代入椭圆方程，并化简得（3k22）x26k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），则，BD|=；因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，所以，AC|=．四边形ABCD的面积?BD||AC|=．当k2=1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．22．（16分）（2007?全国卷Ⅰ）已知数列an}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求an}的通项公式；（Ⅱ）若数列bn}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…【分析】（Ⅰ）先对进行整理可得到，即数列是首项为，公比为的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到，进而得到．（Ⅱ）用数学归纳法证明．当n=1时可得到b1=a1=2满足条件，然后假设当n=k时满足条件进而得到当n=k1时再对进行整理得到=，进而可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题设：==，．所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，即an的通项公式为，n=1，2，3，．（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当n=1时，因，b1=a1=2，所以，结论成立．（ⅱ）假设当n=k时，结论成立，即，也即．当n=k1时，==，又，所以=．也就是说，当n=k1时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知，n=1，2，3，．参与本试卷答题和审题的老师有：wsj1012；qiss；wkqd；danbo7801；豫汝王世崇；minqi5；wdlxh；wdnah；涨停；zhwsd；yhx01248；sllwyn；zlzhan（排名不分先后）菁优网2017年2月4日。
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2007年山东高考数学理科 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．（1）若cos isin z θθ=+（i 为虚数单位），则使21z =-的θ值可能是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π （2）已知集合{}11M =-，，11242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N =（ ）A ．{}11-，B ．{}1-C ．{}0D ．{}10-，（3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④（4）设11132a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，，，，则使函数ay x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ）A ．1，3B ．1-，1C ．1-，3D ．1-，1，3（5）函数sin 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期和最大值分别为（ ） A ．π，1B ．πC ．2π，1D ．2π（6）给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）A ．()3xf x =B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =（7）命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是（ ） A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥B ．存在x ∈R ，3210x x -+≤ C ．存在x ∈R ，3210x x -+> D ．对任意的x ∈R ，3210x x -+>（8）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（ ）A ．0.9，35B ．0.9，45C ．0.1，35D ．0.1，45（9）下列各小题中，p 是q 的充要条件的是（ ） ①p ：2m <-或6m >；q ：23y x mx m =+++有两个不同的零点． ②():1()f x p f x -=；:()q y f x =是偶函数． ③:cos cos p αβ=；:tan tan q αβ=． ④:p AB A =；:UUq B A ⊆．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④（10）阅读右边的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是（ ） A ．2500，2500 B ．2550，2550 C ．2500，2550 D ．2550，2500`（11）在直角ABC △中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ ） A ．2AC AC AB = B ．2BC BA BC = C ．2AB AC CD =D ．22()()AC AB BA BC CD AB⨯=（12）位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位`于点(23)，的概率是（ ）秒A ．212⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3231C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2231C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．312231C C 2⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案须填在题中横线上． （13）设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为 ．（14）设D 是不等式组21023041x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤，≥，≤≤，≥表示的平面区域，则D 中的点()P x y ，到直线10x y +=距离的最大值是 ．（15）与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +---=都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．（16）函数log (3)1a y x =+-(01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分） 设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18）（本小题满分12分）设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．（Ⅰ）求方程20x bx c ++=有实根的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20x bx c ++=有实根的概率． （19）（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC ⊥，AB DC ∥．（Ⅰ）设E 是DC 的中点，求证：1D E ∥平面11A BD ； （Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值．（20）（本小题满分12分）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？（21）（本小题满分12分） 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． （22）（本小题满分14分） 设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． （Ⅰ）当12b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．BCD A1A1D 1C1BE1A2A120 105 乙2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学参考答案第Ⅰ卷一、选择题 （1）D （2）B （3）D（4）A （5）A （6）B （7）C （8）A（9）D（10）D（11）C（12）B第Ⅱ卷二、填空题 （13p（14） （15）22(2)(2)2x y -+-=（16）8三、解答题 （17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）211233333n n na a a a -++++=…， ① ∴当2n ≥时，22123113333n n n a a a a ---++++=…． ②①-②得1133n n a -=，13n n a =．在①中，令1n =，得113a =．13n n a ∴=．（Ⅱ）n nnb a =， 3n n b n ∴=．23323333n n S n ∴=+⨯+⨯++…， ③ 23413323333n n S n +∴=+⨯+⨯++…． ④④-③得12323(3333)n n n S n +∴=-++++…．即13(13)2313n n n S n +-=--，1(21)3344n n n S +-∴=+．（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知：设基本事件空间为Ω，记“方程20x bx c ++=没有实根”为事件A ，“方程20x bx c ++=有且仅有一个实根”为事件B ，“方程20x bx c ++=有两个相异实数”为事件C ，则{}()126b c b c Ω==，，，，…，，{}2()40126A b c b c b c =-<=，，，，，…，，{}2()40126B b c b c b c =-==，，，，，…，， {}2()40126C b c bc b c =->=，，，，，…，，所以Ω是的基本事件总数为36个，A 中的基本事件总数为17个，B 中的基本事件总数为2个，C 中的基本事件总数为17个． 又因为B C ，是互斥事件， 故所求概率21719()()363636P P B B C =+=+=． （Ⅱ）由题意，ξ的可能取值为012，，，则{}17036P ξ==， {}1118P ξ==，{}17236P ξ==， 故ξ的分布列为：所以ξ的数学期望0121361836E ξ=⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）记“先后两次出现的点数有中5”为事件D ，“方程20x bx c ++=有实数”为事件E ，由上面分析得11()36P D =，7()36P D E =， ()7()()11P D E P E D P D ∴==．（19）（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）连结BE ，则四边形DABE 为正方形，11BE AD A D ∴==，且11BE AD A D ∥∥， ∴四边形11A D EB 为平行四边形．11D E A B ∴∥．又1D E ⊄平面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ，1D E ∴∥平面1A BD ．（Ⅱ）以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1DA =，则(000)D ，，，(100)A ，，，(110)B ，，，(022)C ，，，1(102)A ，，， 1(102)DA ∴=，，，(110)DB =，，， 设()x y z =，，n 为平面1A BD 的一个法向量．由1DA ⊥n ，DB ⊥n ， 得200.x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1z =，则(231)=-，，n ．又2(023)DC =，，，(110)DB =，，， 设111()x y z =，，m 为平面1C BD 的一个法向量， 由DC ⊥m ，DB ⊥m ，得11112200.y z x y +=⎧⎨+=⎩，取11z =，则(111)=-，，m ， 设m 与n 的夹角为a ，二面角11A BD C --为θ，显然θ为锐角，3cos 93θ-∴===m n m n ． cos θ∴=， BCDA1A1D 1C1BEG即所求二面角11A BD C --的余弦为3． 解法二：（Ⅰ）以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DA a =，由题意知：(000)D ，，，(00)A a ，，，(0)B a a ，，，(020)C a ，，，1(022)C a a ，，，1(02)A a a ，，，1(002)D a ，，，(00)E a ，，．1(02)D E a a ∴=-，，，1(02)DA a a =，，，(0)DB a a =，，，又(02)(0)(02)a a a a a a -=-，，，，，，，1D E DB DA ∴=-．1DA DB ⊂，平面1A BD ，1D E ⊄平面1A BD ， 1D E ∴∥平面1A BD ．（Ⅱ）取DB 的中点F ，1DC 的中点M ，连结1A F ，FM ， 由（Ⅰ）及题意得知：022a a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，(0)M a a ，，，1222a a FA a ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，，22a a FM a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，12(0)022a a FA DB a a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，，，，，(0)022a a FM DB a a a ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，，，，．1FA DB ∴⊥，FM DB ⊥， 1A FM ∴∠为所求二面角的平面角．111cos FA FM A FM FA FM∴=∠22262a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪=，，，，2222a a a --+==． 所以二面角11A BD C --的余弦值为3． 解法三：（Ⅰ）证明：如解法一图，连结1AD ，AE ， 设11AD A D G =，AEBD F =，连结GF ，由题意知G 是1A D 的中点，又E 是CD 的中点，∴四边形ABED 是平行四边形，故F 是AE 的中点， ∴在1AED △中，1GF D E ∥，又GF ⊂平面1A BD ，1D E ⊄平面1A BD ，1D E ∴∥平面1A BD ．（Ⅱ）如图，在四边形ABCD 中，设AD a =， AB AD =，AD DC ⊥，AB DC ∥， AD AB ∴⊥． 故BD =，由（Ⅰ）得2222222BC BE EC a a a =+=+=，2DC a =， 90DBC ∴=∠，即BD BC ⊥．又1BD BB ⊥，BD ∴⊥平面11BCC B ，又1BC ⊂平面11BCC B ，1BD BC ∴⊥，取1DC 的中点M ，连结1A F ，FM ，BCDA1A1D1C1BEF M H由题意知：1FM BC ∴∥，FM BD ∴⊥．又11A D A B =，1A F BD ∴⊥．1A FM ∴∠为二面角11A BD C --的平面角．连结1A M ，在1A FM △中， 由题意知：12A F a =，1122FM BC a ===， 取11D C 的中点H ，连结1A H ，HM ， 在1Rt A HM △中，1A H =，HM a =， 1A M ∴．2221111cos 2A F FM A M A FM A F FM +-∴=∠ 22293336222a a a a a +-=3=． ∴二面角11A BD C --的余弦值为3． （20）（本小题满分12分）解法一：如图，连结11A B，由已知22A B =122060A A ==1221A A A B ∴=，又12218012060A A B =-=∠，122A A B ∴△是等边三角形，1A2A120 1051212A B A A ∴==由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠，在121A B B △中，由余弦定理，22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-22202202=+-⨯⨯ 200=．12B B ∴=因此，乙船的速度的大小为6020⨯=（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．解法二：如图，连结21A B ，由已知1220A B =，122060A A ==112105B A A =∠， cos105cos(4560)=+cos 45cos60sin 45sin 60=-=sin105sin(4560)=+sin 45cos60cos 45sin 60=+=在211A A B △中，由余弦定理，22221221211122cos105A B A B A A A B A A =+-22202204=+-⨯⨯1A2A120 105100(4=+．1110(1A B ∴=．由正弦定理1112111222202(13)2sin sin 4210(13)A B A A B B A A A B +===+∠∠， 12145A A B ∴=∠，即121604515B A B =-=∠，2(1cos15sin1054+==．在112B A B △中，由已知12A B =，由余弦定理，22212112221222cos15B BA B A B AB A B =++22210(1210(1=+-⨯+⨯200=．12B B ∴=乙船的速度的大小为6020=/小时． 答：乙船每小时航行海里． （21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得：3a c +=，1a c -=，2a ∴=，1c =，2223b a c ∴=-=．∴椭圆的标准方程为22143x y +=． （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即，则， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，，1AD BD k k ∴=-，即1212122y y x x =---，1212122()40y y x x x x ∴+-++=，2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k--∴+++=+++， 2291640m mk k ∴++=．解得：12m k =-，227k m =-，且均满足22340k m +->， 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （22）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知，()f x 的定义域为(1)-+∞，，322()211b x x bf x x x x ++'=+=++ 设2()22g x x x b =-+，其图象的对称轴为1(1)2x =-∈-+∞，， max 11()22g x g b ⎛⎫∴=-=-+ ⎪⎝⎭．当12b >时，max 1()02g x b =-+>， 即2()230g x x x b =+->在(1)-+∞，上恒成立，∴当(1)x ∈-+∞，时，()0f x '>， ∴当12b >时，函数()f x 在定义域(1)-+∞，上单调递增． （Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当12b >时，函数()f x 无极值点．②12b =时，3122()01x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'==+有两个相同的解12x =-， 112x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，12x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，12b ∴=时，函数()f x 在(1)-+∞，上无极值点． ③当12b <时，()0f x '=有两个不同解，1x =2x =，0b <时，1112x -=<-，2102x --=>，即1(1)x ∈-+∞，，[)21x ∈-+∞，．0b ∴<时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：由此表可知：0b <时，()f x 有惟一极小值点112x -=，当102b <<时，1112x -=>-，12(1)x x ∴∈-+∞，，此时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：由此表可知：102b <<时，()f x 有一个极大值112x -=和一个极小值点212x -+=；综上所述：0b <时，()f x 有惟一最小值点x =；102b <<时，()f x 有一个极大值点12x -=和一个极小值点1x x -+=；12b ≥时，()f x 无极值点．（Ⅲ）当1b =-时，函数2()ln(1)f x x x =-+， 令函数222()()ln(1)h x x f x x x x =-=-++，则22213(1)()3211x x h x x x x x +-'=-+=++． ∴当[)0x ∈+∞，时，()0f x '>，所以函数()h x 在[)0+∞，上单调递增，又(0)0h =．(0)x ∴∈+∞，时，恒有()(0)0h x h >=，即23ln(1)x x x >-+恒成立． 故当(0)x ∈+∞，时，有23ln(1)x x x +>-． 对任意正整数n 取1(0)x n =∈+∞，，则有23111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭． 所以结论成立．。