高中数学必修四课件-1.1.2 弧度制(13)-人教A版
人教a版必修4学案：1.1.2弧度制(含答案)
1.1.2 弧度制自主学习知识梳理 1．角的单位制(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________． (3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的____________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是______．23.我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r ，圆心角弧度数为α)．对点讲练知识点一 角度制与弧度制的换算例1 (1)把112°30′化成弧度；(2)把－7π12化成角度．回顾归纳 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180°π即可．变式训练1 将下列角按要求转化： (1)300°＝________rad ；(2)－22°30′＝________rad ； (3)8π5＝________度．知识点二 利用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.回顾归纳 在同一问题中，单位制度要统一．角度制与弧度制不能混用． 变式训练2 将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．知识点三 弧长、扇形面积的有关问题例3 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？回顾归纳 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题．变式训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式．易知：度数×π180rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.课时作业一、选择题 1．与30°角终边相同的角的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k ·360°＋π6，k ∈Z B ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z } C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z }D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π6，k ∈Z 2．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝{α|α＝2k π±π2，k ∈Z }的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2C.2sin 1D ．2sin 1 4．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9二、填空题6．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．7．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝________.8．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝____________.三、解答题9．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．10. 如右图，已知扇形OAB 的中心角为4，其面积为2 cm 2，求扇形的周长和弦AB 的长．1.1.2 弧度制答案知识梳理1．(1)1360 (2)半径长 1 rad(3)|α|＝lr终边的旋转方向 正数 负数 0解 半径为r ，圆心角n °的扇形弧长公式为l ＝n πr180，扇形面积公式为S 扇＝n πr2360.∵l 2πr ＝|α|2π，∴l ＝|α|r . ∵S 扇S 圆＝S 扇πr 2＝|α|2π，∴S 扇＝12|α|r 2.∴S 扇＝12|α|r 2＝12lr .对点讲练例1 解 (1)∵112°30′＝112.5°＝⎝⎛⎭⎫2252° ＝2252×π180＝5π8. (2)－7π12＝－7π12×⎝⎛⎭⎫180π°＝－105°.变式训练1 (1)5π3 (2)－π8(3)288例2 解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300° ＝－5×360°＋300°.∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角．(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．变式训练2 －10π＋7π4解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，∴－1 485°可以表示为－10π＋7π4.例3 解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.所以当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2. 变式训练3 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4，∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad. 课时作业 1．D 2.A3．C [r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.]4．D [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．]5．B [设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ，则R ＝r ＋rsinπ6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.] 6．25解析 216°＝216×π180＝6π5，l ＝30π＝α·r ＝6π5r ，∴r ＝25.7.7π3或10π3解析 －7π6＋7π2＝14π6＝7π3，－7π6＋9π2＝20π6＝10π3. 8．－11π3，－5π3，π3，7π3解析 由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝7π3， π3－2π＝－5π3，π3－4π＝－11π3. 9．解 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π－π6≤α≤2k π＋5π12，k ∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π－34π≤α≤2k π＋3π4，k ∈Z .(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π6≤α≤k π＋π2，k ∈Z .10．解 设AB 的长为l ，半径OA ＝r ，则S 扇形＝12lr ＝2，∴lr ＝4， ①设扇形的中心角∠AOB 的弧度数为α，则|α|＝lr ＝4，∴l ＝4r ， ② 由①、②解得r ＝1，l ＝4.∴扇形的周长为l ＋2r ＝6 (cm)， 如图作OH ⊥AB 于H ，则AB ＝2AH ＝2r sin 2π－42＝2r sin(π－2)＝2r sin 2(cm)．。
高一数学人教A版必修4第一章(三角函数)本章小结课件
1-(-
5 5
)2
=
-
2
5 5
.
6. 用 cosa 表示 sin4a-sin2a+cos2a.
解: sin4a-sin2a+cos2a = sin2a(sin2a-1)+cos2a = sin2a(-cos2a)+cos2a = cos2a(1-sin2a) = cos4a.
7. 求证:
(1) 2(1-sina)(1+cosa) = (1-sina+cosa)2; (2) sin2a+sin2b-sin2a·sin2b+cos2a·cos2b =1.
6. 终边位置确定三角函数值的正负
y
y
y
++ -o - x
-+
ox
-+
-+
ox
+-
sina
cosa
tana
正弦上正下负, 余弦右正左负, 正切一三正二四负.
7. 同角三角函数的关系
sin2a+cos2a=1,
sina cosa
=
tana
.
常用的变形:
sin2a=1-cos2a. cos2a=1-sin2a.
解: 由已知得 sin2x=4cos2x, 1-cos2x=4cos2x,
解得 cos x =
5 5
.
又由已知得 tanx =2,
则 x 是第一、第三象限角.
当 x 是第一象限角时,
cos x =
5 5
,
sin x =
1-(
5 5
)2=
2
5 5
;
当 x 是第三象限角时,
人教版数学必修4第一章1.1.2弧度制课件
（二）弧度制的绝对值公式
完成下列表格,你能得出哪些结论？
弧AB的长 OB旋转的方向 AOB 的弧度数 AOB 的度数
r
逆时针方向
2 r 逆时针方向
r
逆时针方向
1
2r
顺时针方向
-2
顺时针方向
未旋转
0
逆时针方向
180
逆时针方向
运用新知
根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应 的弧度数分别是多少？
注意：用弧度制表示角时，“弧度”二字或 “rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧 度数.如α=2表示α是2rad的角.
随堂练习： 1.根据条件完成下列度和弧度的转化；
（1）把 - 35 化成弧度；
（2）把 - 弧度化成度； 2.把下列角化成 0 到 2 的角加上 2 k 的形式；
4.在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的圆弧长 如何计算？
l 2r n nr
360 180
5. 圆心角的大小是否与圆半径的大小有关?
探究新知
（一）弧度制的概念
讨论：角除了以度为单位，还有分和秒，他们 是六十进制的，计算不方便，角的度量是否也 能用不同的单位制？（类比长度的度量单位）
新知1：弧度制的定义
3.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一 个负数，零角的弧度数是0.
4.如果半径为R的圆的圆心角 所对弧的长为l，
那么，角的弧度数的绝对值是 l.
r
5.角度制与弧度制换算 ：180°=π rad
运用新知
例1按照下列要求，把67°30′化成弧度：
（1）精确值；
（2）精确到0.001的近似值.
高中数学人教A版必修4目录
必修4目录第一章:三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角(1课时)1.1.2弧度制(1课时)1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数(2课时)1.2.2同角三角函数的基本关系(1课时)1.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的诱导公式(2课时)1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象(1课时)1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2课时)1.4.3正切函数的性质与图象(1课时)1.5函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象1.5函数y＝Asin(ωx＋ϕ)的图象(2课时)1.6三角函数模型的简单应用1.6三角函数模型的简单应用(2课时)第二章:平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念2.1.1向量的物理背景与概念 2.1.2向量的几何表示(1课时)2.1.3相等向量与共线向量(1课时)2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义2.2.2向量减法运算及其几何意义(1课时) 2.2.3向量数乘运算及其几何意义(1课时)2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理 2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示(1课时) 2.3.3平面向量的坐标表示 2.3.4平面向量共线是坐标表示(1课时)2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义(1课时)2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(1课时)2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法(1课时)2.5.2向量在物理中的应用举例(1课时)第三章:三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式(1课时)3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1课时)3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式(1课时)3.2简单的三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换(3课时)。
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.1.2 弧度制
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．
人教A版必修四第一章.2 弧度制
弧 度
0
6
43
2 3 23 4
5 6
3
2
2
角 度
0 -3 0 -4 5
-6 0 -9 0 -1 2 0 -1 3 5 -1 5 0 -180 -2 7 0 -360
弧 度
0
-
6
- 4
- 3
- 2
- 2 3
- 3 4
- 5 6
-
-
3 2
-2
人教A版必修四第一章.2 弧度制
人教A版必修四第一章.2 弧度制
S扇=S圆 2
=r2 = 1 R2 = 1l R
2 2
2
人教A版必修四第一章.2 弧度制
人教A版必修四第一章.2 弧度制
例5 计算：
（1）sin ；（2） t a n
4
6
（3）c o s 3
人教A版必修四第一章.2 弧度制
人教A版必修四第一章.2 弧度制
小结
（1） 180 = 弧度；
人教A版必修四第一章.2 弧度制
[例3]
把下列各角化成 2 k0 2 ， k Ζ
的形式：
16 （1） 3
；（2）315 ；（3） 11 ．
7
人教A版必修四第一章.2 弧度制
人教A版必修四第一章.2 弧度制
例4、证明:扇形的面积：S扇=12R2
=1l 2
R
nR nR2
l = ,S= 180 360
•
2对教育来说，阅读是最基础的教学 手段， 教育里 最关键 、最重 要的基 石就是 阅读。
•
3但是现在，我们的教育在一定程度 上，还 不够重 视阅读 ，尤其 是延伸 阅读和 课外阅 读。
人教A版高中数学必修四第一章：1.1.2弧度制课件
(2) 112º30′=112.5× 180 = 8 .
“角化弧”时, 将α乘以 ；
180
2024/11/3
例2. 把
8
5
化成角度。
解：1rad=
(180 )
8 8 (180) 55
288
“弧化角”时，将α乘以
180；0
2024/11/3
填定下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0 30
2024/11/3
复习回顾：正角：射线按逆时针方向旋
1.任意角
转形成的角 负角：射线按顺时针方向
的概念 旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
1)把角的顶点放在原点 2.象限角 2)始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角
2024/11/3 S={β|β=α+k·360°,k∈Z}
2024/11/3
证明:由公式 =得rl l=αR
而圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公
式分别是 l n R , S n R2
180
360
R nR 得： n 180 n
180
180
代入面积公式，得 S 1 R2 S 1 lR
2
2
2024/11/第5题做在书上
2024/11/3
P5练习1、2、3、4、5
角度制
在平面几何中研究角的度量，当 时是用度做单位来度量角，如下图：
1°的角
O
2024/11/3
在角度制下，当把两个带着度、分、秒 各单位的角相加、相减时，由于运算进制非 十进制，总给我们带来不少困难．那么我们 能否重新选择角单位，使在该单位制下两角 的加、减运算与常规的十进制加减法一样去 做呢？
高中数学(新人教A版)必修第一册：弧度制【精品课件】
5．一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的弧度数．
【解析】 设扇形的半径为 R，弧长为 l，圆心角为 α， 则 2R＋l＝4.① 由扇形的面积公式 S＝12 lR，得12lR＝1.②
1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( )
A．2kπ，2kπ＋π2 (k∈Z)
B．kπ，kπ＋π2 (k∈Z)
C．2kπ，2kπ＋π2 (k∈Z)
D．kπ，kπ＋π2 (k∈Z)
【解析】 B 中 k＝1 时为π，23π显然不正确；因为第一象限
角不含终边在坐标轴的角故 C、D 均错，只有 A 正确．
∴当 r＝5 时，扇形面积最大为 S＝25. 此时 l＝10，α＝2， 故当扇形半径 r＝5，圆心角为 2 rad 时， 扇形面积最大．
解题方法（扇形弧长和面积公式注意事项 ）
弧度制下解决扇形相关问题的步骤： (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝12|α|r2 和 S＝12 lr.(这里 α 必须是弧度制下的角) (2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
解析： 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，
(1)θ－π6＋2kπ<θ<152π＋2kπ，k∈Z
.
(2)θ－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z
.
(3)θπ6＋kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z
.
解题方法（表示角的集合注意事项）
[跟踪训练二] 1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非负半轴，终
新人教A版高一数学必修四第一章 三角函数1.1.2弧度制
[归纳升华] 角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得 到：度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度数.
1．将下列角度与弧度进行互化： (1)5611π；(2)－71π2 rad；(3)10°；(4)－855°.
解析： (1)5611π＝5611×180°＝15 330°；
2．5 弧度的角的终边所在的象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： 因为32π<5<2π，因此 5 弧度的角的终边在第四象限．
答案： D
3．扇形圆心角为 216°，弧长为 30π，则扇形半径为________．
解析： 216°＝216×1π80＝6π5 ，l＝α·r＝6π5 r＝30π，∴r＝25. 答案： 25
(3)如图所示，扇形 AOB 的面积是 4 cm2，它的周长是 10 cm，求扇形的圆心 角 α 的弧度数及弦 AB 的长．
[边听边记] (1)由公式|α|＝rl，可知圆的半径变为原来的 2 倍，弧长也变为原 来的 2 倍时，圆心角大小不变；但扇形面积 S＝12lr，故面积变为原来的 4 倍．
(2)设扇形的弧长为 l，半径为 r，则 l＋2r＝40，则 S＝12lr＝12(40－2r)r＝20r －r2，所以 r＝10 时，扇形面积最大，此时 l＝40－2r＝20，圆心角的弧度数 α＝rl ＝2100＝2.
π (2)如图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－ 6 ，
而 75°＝75×1π80＝51π2 ，
∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
θ|
2kπ－π6 ＜θ＜2kπ＋51π2 ，k∈Z.
数学：1.1.2《弧度制》教案(新人教A必修4)
1.1.2弧制度教学目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的 集合与实数集R 一一对应关系的概念。
教学重点：会将一个角度制的角化为弧度制，将弧度制角化为角度制角。
教学难点：1弧度角化为角度，1度角化为弧度角的理解。
教学过程一、复习提问任意角包括哪些角？有最大角、最小角吗？终边相同的角的集合如何表示？二、新课1、提出课题：弧度制－—另一种度量角的单位制定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
它的单位是rad 读作 弧度。
如图：AOB=1rad ，AOC=2rad 周角=2rad（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 （2）角的弧度数的绝对值 rl =α（l 为弧长，r 为半径）（3）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0），用角度制和 弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
2、角度制与弧度制的换算抓住：360=2rad ∴180= rad ∴ 1=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801οοο=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad 例1、 把'3067ο化成弧度o rC 2rad 1rad r l=2r o A A B解：οο⎪⎭⎫ ⎝⎛=2167'3067 ∴ rad rad ππ832167180'3067=⨯=ο 例2、 把rad π53化成度。
解：οο1081805353=⨯=rad π 注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行；2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如：3表示3rad sin 表示rad 角的正弦3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表）4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
任意角的集合 实数集R3、练习（P10 练习1 、2）例3、 用弧度制表示：1终边在x 轴上的角的集合；2终边在y 轴上的角的集合 3终边在坐标轴上的角的集合. 解：1终边在x 轴上的角的集合 {}Z k k S ∈==,|1πββ 2终边在y 轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k S ,2|2ππββ 3终边在坐标轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k S ,2|3πββ 4、 小结：1．弧度制定义 2．与弧度制的互化5、作业：P11习题1.1A6、7、8、9、10正角 零角 负角 正实数 零 负实数。
高中数学任意角和弧度制第二课时课件新人教A版必修4
度 角的概念推广以后,在弧度制下,角的集 制 合与实数集R之间建立了一一对应关系
的
意
正角
正实 数
义
零角
0
负角 任意角的集合
负实 数
实数集R
弧 度
例2
利用弧度制证明下列关于扇形公式:
制 1l R 2 S 1R2 3 S 1 lR
的
2
2
意
义
其中R是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为 圆心角,S是扇形面积.
（2）67°30′
（3） 5
rad
点评：实行角度与弧度的互化时，抓住
一个关键： 180°=π rad
练习一 1、把下列角度化为弧度。
（ 1 ） 2 2 3 0 （ 2 ） 2 1 0( 3 ) 1 2 0 0
2、把下列弧度化为角度。
（ 1） （ 2） -4 （ 3） 3
12
3
10
填定下列特殊角的度数与弧度数的对应表
练习三
一个扇形的面积为1，周长为4， 求圆心角大小。
学习小结
（1） 180 弧度；
（3）弧长公式：l r
扇形面积公式： S 1lr 1r2
22
角度制与弧度制的换算
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角,其 弧度数是2π,而在角度制里它是360°.
因此 360°=2π rad
180°=π rad
1
180
rad0.01745rad
1rad 1
8
0
5 7 .3 0 5 7 1 8
知识应用与解题研究
例1 完成下列角度与弧度的互化：
（1）1 5
角 度
0 30 4 5
弧 度
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AB的弧长
r
2r
r
OB旋转的方向 AOB的弧度数
逆时针方向
逆时针方向 pr 2 2pr
逆时针方向
1
2r
2 顺时针方向
0
未旋转
0
y B
3pr O A x
-
探究（二）：度与弧度的换算
思考1：一个圆周角以度为单位度量是多 少度？以弧度为单位度量是多少弧度？ 由此可得度与弧度有怎样的换算关系？
360 2rad
思考2：在半径为r的圆中，圆心角n°所 对的圆弧长如何计算？
弧长公式：l n • 2r nr
360
180
思考3：如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角 叫做1弧度的角，记作1rad，读作1弧度. 那么，1弧度 圆心角的大小与所在圆的半径的大小是否有关？为什么？
A rB r 1ra O
思考4：约定：正角的弧度数为正数，
1.1 任意角和弧度制 1.1.2 弧度制
问题提出
1.角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到 另一个位置所组成的图形，其中正角、负角、零角分别 是怎样规定的？
2.在直角坐标系内讨论角，象限角是什么概念？
3.与角α终边相同的角的一般表达式是什么？
4.长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单 位度量，物体的重量可以用千克、磅等不同的单 位度量.不同的单位制能给解决问题带来方便，以 度为单位度量角的大小是一种常用方法，为了进 一步研究的需要，我们还需建立一个度量角的单 位制.
学习目标:
• 1、理解弧度制的意义，能正确地进行弧度 与角度的换算，熟记特殊角的弧度数。
• 2、掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积 公式，会利用弧度制解决实际问题。
• 3.了解角的集合与实数集之间可以建立起一 一对应的关系。
探究1：弧度的概念
思考1：在平面几何中，1°的角是怎样 定义的？
周角的 1 规定为1度角 360
180 rad
思考2：根据上述关系，1°等于多少弧
度？1rad等于多少度？
1 rad 0.01745rad
180
1rad (180) 57.30
思考3：根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊 角对应的弧度数分别是多少？
角
度 0
弧
度0
30 45
64
60 90 120 135 150 180 270 360
2 3 5 3 234 6
3
2
2
思考4：在弧度制下，角的集合与实数集R之间可以建立一
个一一对应关系，这个对应关系是如何理解的？
正角 零角
正实数 零
对应角的 弧度数
负角
负实数
角的集合
实数集R
思考5：已知一个扇形所在圆的半径为R，弧长为l，圆 心角为α那么扇形的弧长公式和面积如何计算？
(0 2 )
l R
S 1 lR 1 R2
2
2
合作交流
题型一、(1)把下列各角从度化为弧度：
6730
210
（2）把下列弧度化为角度
2rad
rad
12
题型二、已知扇形的圆心角为72°，半 径等于20cm，求扇形的弧长和面积；
课堂小结：
今天我们学习了一种新的度量角的单位制—弧 度制：
（1）我们定义了1弧度的角，在这个定义下，角的
弧度数 的绝对值
| | l
r
（2）弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一
对应关系； （3）角度制与弧度制是度量角的两种单位制，它们之
间可以进行换算；
（4）在弧度制下，发现弧长公式与扇形面积公式 特别简 洁，由此今后的学习中，我们将尽量采用弧度制。
作业：
P10 习题1.1 A组： 6，7，8，9，10.
负角的弧度数为负数，零角的弧度数
为0.如果将半径为r圆的一条 A 2r
半径OA，绕圆心顺时针旋转到 r
B
OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB O
的大小为多少弧度？ －2rad.
思考5：如果半径为r的圆的圆心角α 所对的弧长为l，那么，角α的弧度 数的绝对值如何计算？| | l
r
思考6：请填写下面的表格并思考：如图，半径为r的 圆，圆心与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合， 交圆于点A，终边与圆交于点B，填写下表：