高中数学必修4弧度制_课件
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高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制课件 新人教A
(2)用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不 同，量数也不同。
角度与弧度间的换算
360 = 2rad 180 = rad
把角度换成弧度
1 = rad 0.01745rad
180
把弧度换成角度
1rad
=
180
57.30
=
5718'
例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度。
解：∵
67o30
弧 度
0
64
3
2
2 3 5 346
பைடு நூலகம்
3 2
2
角 度
0 -30o -45o -60o -90o-120-o135-o150-o180o-270o-360o
弧 度
0
-
6
-
4
-
3
-
2
- 2
3
- 3
4
- 5
6
-
- 3
2
-2
终边相同的角的表示
（1）用角度表示 与终边相同的角可以表示为： k 360，k Z
=
135 2
o
∴ 67o30 = rad 135 = 3 rad
180 2 8
例2 把 4 rad化成度． 5
解： 4 rad = 4 180 = 144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 =
弧度这个关键．
特殊角的弧度数
角 度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
2k，k Z
它们构成一个集合：
S = | = k 360 , k Z
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为：
角度与弧度间的换算
360 = 2rad 180 = rad
把角度换成弧度
1 = rad 0.01745rad
180
把弧度换成角度
1rad
=
180
57.30
=
5718'
例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度。
解：∵
67o30
弧 度
0
64
3
2
2 3 5 346
பைடு நூலகம்
3 2
2
角 度
0 -30o -45o -60o -90o-120-o135-o150-o180o-270o-360o
弧 度
0
-
6
-
4
-
3
-
2
- 2
3
- 3
4
- 5
6
-
- 3
2
-2
终边相同的角的表示
（1）用角度表示 与终边相同的角可以表示为： k 360，k Z
=
135 2
o
∴ 67o30 = rad 135 = 3 rad
180 2 8
例2 把 4 rad化成度． 5
解： 4 rad = 4 180 = 144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 =
弧度这个关键．
特殊角的弧度数
角 度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
2k，k Z
它们构成一个集合：
S = | = k 360 , k Z
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为：
人教A版高中数学必修四课件1.1.2《弧度制》
1.1.2 弧度制
复习引入
1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 ⑵“正角”与“负角”“0角” 2.把用度做单位来度量角的制度叫做角度制 .
讲解新课：
1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆 心角称为1弧度的角它的单位是rad读作弧 度，这种用“弧度”做单位来度量角的制 度叫做弧度制．
探究：
⑴平角、周角的弧度数，（平角=rad、周角=2rad）
例2 把3.14 rad化成角度（用度表示 ，精确到0.001）
例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式 (1)
(2)
(3)
例4．利用计算器比较sin1.5和sin 大小
的
例5. 将下列各角化成0到 上的形式 ⑴ ⑵
的角加
例6 已知扇形周长为10cm，面积 为6 ，求扇形中心角的弧度数 ．
课堂练习：P9练习 课后作业：作业: P9习题1.1 4,6，7，8，9，10 B组1,2，3 A组
⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
⑶角的弧度数的绝对值
（l为弧长，r为半径）源自⑷用角度制和弧度制来度量零角，单位不同， 但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度 量任一非零角，单位不同，量数也不同
2.角度制与弧度制的换算： 360=2rad
,
180= rad
例1 按照下列要求，把 化成弧度 （1）精确值；（2）精确到0.001的近似 值。
复习引入
1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 ⑵“正角”与“负角”“0角” 2.把用度做单位来度量角的制度叫做角度制 .
讲解新课：
1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆 心角称为1弧度的角它的单位是rad读作弧 度，这种用“弧度”做单位来度量角的制 度叫做弧度制．
探究：
⑴平角、周角的弧度数，（平角=rad、周角=2rad）
例2 把3.14 rad化成角度（用度表示 ，精确到0.001）
例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式 (1)
(2)
(3)
例4．利用计算器比较sin1.5和sin 大小
的
例5. 将下列各角化成0到 上的形式 ⑴ ⑵
的角加
例6 已知扇形周长为10cm，面积 为6 ，求扇形中心角的弧度数 ．
课堂练习：P9练习 课后作业：作业: P9习题1.1 4,6，7，8，9，10 B组1,2，3 A组
⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
⑶角的弧度数的绝对值
（l为弧长，r为半径）源自⑷用角度制和弧度制来度量零角，单位不同， 但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度 量任一非零角，单位不同，量数也不同
2.角度制与弧度制的换算： 360=2rad
,
180= rad
例1 按照下列要求，把 化成弧度 （1）精确值；（2）精确到0.001的近似 值。
人教版数学必修4第一章1.1.2弧度制课件
3.无论是以“弧度”还是以“度”为单位, 角的大小都是一个与半径大小无关的定值.
（二）弧度制的绝对值公式
完成下列表格,你能得出哪些结论？
弧AB的长 OB旋转的方向 AOB 的弧度数 AOB 的度数
r
逆时针方向
2 r 逆时针方向
r
逆时针方向
1
2r
顺时针方向
-2
顺时针方向
未旋转
0
逆时针方向
180
逆时针方向
运用新知
根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应 的弧度数分别是多少？
注意：用弧度制表示角时，“弧度”二字或 “rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧 度数.如α=2表示α是2rad的角.
随堂练习： 1.根据条件完成下列度和弧度的转化；
（1）把 - 35 化成弧度；
（2）把 - 弧度化成度； 2.把下列角化成 0 到 2 的角加上 2 k 的形式；
4.在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的圆弧长 如何计算？
l 2r n nr
360 180
5. 圆心角的大小是否与圆半径的大小有关?
探究新知
（一）弧度制的概念
讨论：角除了以度为单位，还有分和秒，他们 是六十进制的，计算不方便，角的度量是否也 能用不同的单位制？（类比长度的度量单位）
新知1：弧度制的定义
3.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一 个负数，零角的弧度数是0.
4.如果半径为R的圆的圆心角 所对弧的长为l，
那么，角的弧度数的绝对值是 l.
r
5.角度制与弧度制换算 ：180°=π rad
运用新知
例1按照下列要求，把67°30′化成弧度：
（1）精确值；
（2）精确到0.001的近似值.
（二）弧度制的绝对值公式
完成下列表格,你能得出哪些结论？
弧AB的长 OB旋转的方向 AOB 的弧度数 AOB 的度数
r
逆时针方向
2 r 逆时针方向
r
逆时针方向
1
2r
顺时针方向
-2
顺时针方向
未旋转
0
逆时针方向
180
逆时针方向
运用新知
根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应 的弧度数分别是多少？
注意：用弧度制表示角时，“弧度”二字或 “rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧 度数.如α=2表示α是2rad的角.
随堂练习： 1.根据条件完成下列度和弧度的转化；
（1）把 - 35 化成弧度；
（2）把 - 弧度化成度； 2.把下列角化成 0 到 2 的角加上 2 k 的形式；
4.在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的圆弧长 如何计算？
l 2r n nr
360 180
5. 圆心角的大小是否与圆半径的大小有关?
探究新知
（一）弧度制的概念
讨论：角除了以度为单位，还有分和秒，他们 是六十进制的，计算不方便，角的度量是否也 能用不同的单位制？（类比长度的度量单位）
新知1：弧度制的定义
3.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一 个负数，零角的弧度数是0.
4.如果半径为R的圆的圆心角 所对弧的长为l，
那么，角的弧度数的绝对值是 l.
r
5.角度制与弧度制换算 ：180°=π rad
运用新知
例1按照下列要求，把67°30′化成弧度：
（1）精确值；
（2）精确到0.001的近似值.
高二年级数学必修四课件：《弧度制的定义》
高二年级数学必修四课件：《弧度制的定义》教学准备教学目标一、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集之间建立的一一对应关系.（6）使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.二、过程与方法创设情境，引入弧度制度量角的大小，通过探究理解并掌握弧度制的定义，领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化，能正确使用计算器.三、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.教学重难点重点:理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.难点:理解弧度制定义，弧度制的运用.教学工具投影仪等教学过程一、创设情境，引入新课师：有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的?（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢?那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生，另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.二、讲解新课1.角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.弧度制是什么呢?1弧度是什么意思?一周是多少弧度?半周呢?直角等于多少弧度?弧度制与角度制之间如何换算?请看课本，自行解决上述问题.2.弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）.（师生共同活动）探究:如图，半径为的圆的圆心与原点重合，角的终边与轴的正半轴重合，交圆于点，终边与圆交于点.请完成表格.我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-，-2等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的正负主要由角的旋转方向来决定.角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系:即每一个角都有的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.四、课堂小结度数与弧度数的换算也可借助"计算器'《中学数学用表》进行；在具体运算时，"弧度'二字和单位符号"rad'可以省略如：3表示3radsinp表示prad角的正弦应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
课件1：1.1.2 弧度制
把长度等于半 周角的1/360叫做1
单位规 径长的弧所对 度的角。
定
的圆心角叫做1
弧度的角。
换算关
系
360 2rad
180 rad
基本关系
1
rad 0.01745rad
180
180
1rad
57.30 5718
导出关系
弧度制与角度制的互化技巧
=
180 8
.
把
8
5
化成度。
解：1rad=
180
(
)
8 8 180
(
)
5
5
288Βιβλιοθήκη 度与角度的互化过程中，要掌握其中的原理和方法，必要时可以借助一些特殊角
来判断，会转换到别的地方。
题型三
将3.14 rad 换算成角度(用度数表示，
精确到0.001).
解:∵1=(180/π)0
弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。这种
用弧度作为单位度量角的单位制叫做弧度制。
要点阐释
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的
弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，如果
半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为l，那么，
角a的弧度数的绝对值是 | a | = l / r
典例剖析
题型一
1．下列说法中，错误的说法是 (
180π°进行转化．
题型二
（1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112º30′化成弧度（用π表示）。
解： （1）112º30′=112.5º，
1
0.0175
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.1.2 弧度制
高中数学 必修四
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．
高中数学必修4弧度制_ PPT 课件
（1）用角度表示
与终边相同的角可以表示为： k3 6 ， k0 Z
它们构成一个集合：
S =| = k 3 ,k 6 Z 0
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为： 2k， k Z
它们构成一个集合：
S = |= 2 k ,k Z
180 把弧度换成角度
1ra=d18 05.73 0=5 71'8
正角 零角 负角
任意角的集合
正实数
0
负实数 实数集R
注意几点：
1．今后在具体运算时，“弧度”二字和 单位符号“rad”可以省略 如：3表示 3rad , sin表示rad角的正弦
2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应 该记住（见课本P8表）
—弧度制，它是如何定义呢？
弧度制 ：
定义： 我们把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时， 这样的圆心角等于1rad。
单位符号 ：rad
B
l =r
1rad
Oo r
A
读作弧度
C
l = 2r
2rad
A
r
Oo
AOB=1rad
AOC=2rad
(1)正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 1
是圆的
1 360
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 一 个与半径大小无关的定值．
终边相同的角
与终边相同的角可以表示为： k3 6 ， k0 Z
它们构成一个集合：
S =| = k 3 ,k 6 Z 0
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为： 2k， k Z
它们构成一个集合：
S = |= 2 k ,k Z
180 把弧度换成角度
1ra=d18 05.73 0=5 71'8
正角 零角 负角
任意角的集合
正实数
0
负实数 实数集R
注意几点：
1．今后在具体运算时，“弧度”二字和 单位符号“rad”可以省略 如：3表示 3rad , sin表示rad角的正弦
2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应 该记住（见课本P8表）
—弧度制，它是如何定义呢？
弧度制 ：
定义： 我们把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时， 这样的圆心角等于1rad。
单位符号 ：rad
B
l =r
1rad
Oo r
A
读作弧度
C
l = 2r
2rad
A
r
Oo
AOB=1rad
AOC=2rad
(1)正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 1
是圆的
1 360
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 一 个与半径大小无关的定值．
终边相同的角
人教高中数学必修四第一章1.1弧度制课件(共19张PPT)
设
E { 小于 90 的角｝
M 小于 90 但不小于
o
F { 锐角｝，
0 的角
0
G ＝ { 第一象限的角｝
0
，那么有（ ）． D
A .F G E B .F E G C .M E G D . G M
F
2、 若 角 、 满 足 下 列 条 件 ， 求它们的关系式？
16 3
；（2） 315 ；（3）
B
11 7
．
２．下列角的终边相同的是（
A． k
4
）．
与 2 k 与
2
4
，k Ζ
B． 2 k C．
k 2
2 3
3
，k Ζ
与 k
，k Ζ
D． 2 k 1 与 3 k ， k Ζ
2k , k, k ZZ 2 k
3 2 2k k ,, k k Z Z 22
1．把下列各角化成 2 k 0 2 ， k Ζ 的形式： （ 1）
4
B B
2
单位符号是 rad,读作弧度
-10 -5
1弧度
O A A
拖 动A改 拖
-2
弧度把角度单位与长度单位统一起来.
-4
OA 3.10 厘米
长度 AB 3.10 厘米
m Ð AO B 1.00 000 弧度
-6
OA 4.23 厘米
-8
长度 AB 4.23 厘米
m Ð AO B 1.00 000 弧度
弧度制
高中人教版数学必修4课件：1.1.2弧度制
(1)
－
7 8
π
rad
(2) － 396°
[(1)
－
157°30′
＝
－
157.5°＝
－
315 2
×1π80 rad＝－78π rad.
(2)－115π＝－115π×18π0°＝－396°.]
2．在[2π，4π]中，与72°角终边相同的角是________．(用弧度 表示)
12 5π
[因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．
第一章 三角函数
§1 数列 1.1.2 弧度制
学习目标 1.体会引入弧度制的必要性，了解弧度制下，角的集合与实数集之间 的一一对应关系． 2．能进行弧度与角度的换算、掌握弧长公式和扇形面积公式，熟悉 特殊角的弧度数．(重点、难点) 3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)
核心素养 1.通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，提升学生数学抽 象素养． 2．在类比和数学运用过程中，培养学生数学建模和数学运算素养.
C [对于A,60°＝60×1π80＝π3；对于B，－130π＝－130×180°＝－ 600°；对于C，－150°＝－150×1π80＝－56π；对于D，1π2＝112×180° ＝15°.故选C.]
3．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，则α＝ ________.
5π 6
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于利用“180°＝π rad” 这一关系式．
3．弧度制下涉及扇形问题的解题策略 (1)明确弧度制下扇形的面积公式是 S＝21lr＝12|α|r2(其中 l 是扇形 的弧长，r 是扇形的半径，α(0＜α＜2π)是扇形的圆心角)．
高中数学北师大版必修4《弧度制》ppt导学课件
上述公式中,由α、r、l、S中的两个量可以求出另外两 个量,即知二得二;使用弧度制下的弧长公式有很多优越 性(如公式简单,便于记忆、应用),但是如果已知的角是 以“度”为单位时,则必须先把它化成弧度后再用公式计 算.
1 225°角的弧度数为( C ).
A.π
B.3π
C.5π
4
4
4
D.7π
4
【解析】因为 1°= π rad,所以 225°=225× π =5π.
(2)已知扇形的圆心角为 90°,弧长为 l,求此扇形内切 圆的面积.
【解析】(1)设扇形的半径为 R cm,如图.
由 sin 60°=6,得 R=4 3 cm.
������
所以 l=|α |R=2π×4 3=8 3π (cm).
3
3
(2)设扇形的半径为 R,其内接圆的半径为 r,则
有 l=R·π, 2r+r=R,于是 r=2l·( 2-1).
2
π
故内切圆的面积 S=π r2=π ·[2l·( 2-1)]2
π
=12-8 2l2.
π
1.圆的半径是 6 cm,则圆心角为 15°的扇形面积是( B ).
A.π cm2
2
B.3π cm2
2
C.π cm2
【解析】∵15°= π ,∴l= π ×6=π,
12
12
2
D.3π cm2
∴S=1lr=1×π ×6=3π (cm2).
【解析】∵0<θ ≤π ,∴0<2θ ≤2π ,
又 2θ 在第三象限,∴π <2θ <3π ,
2
又∵14θ =2kπ ,k∈Z,∴2θ =2kπ ,k∈Z.
7
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与终边相同的角可以表示为： 2k，k Z
它们构成一个集合： S = | = 2k , k Z
[例3]
把下列各角化成 2k 0 2，k Ζ 的形式：
16 11 （ 1） ；（2） 315 ；（3） ． 3 7
已知扇形OAB的中心角为4，其面积 2cm2，求扇形的周长和弦AB的长。
弧度制 ： 定义： 我们把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时， 这样的圆心角等于1rad。 单位符号 ：rad B
l =r O
读作弧度 C
l = 2r
2 rad O r
o
1rad r
A
A
o
AOB=1rad
AOC=2rad
(1)正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
(2)角的弧度数的绝对值
l = (l为弧长 r为半径 ) r
（
(4)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同， 但量数相同（都是0） (5)用角度制和弧度制来度量任一非零角， 单位不同，量数也不同。
角度与弧度间的换算
360 = 2rad
180
= rad
把角度换成弧度
1 =
180
rad 0.01745 rad
1、在0°～360°范围内，找出与－600° 角终边相同的角，并判定它是第几象限角
－600°=120°－360°X 2
第二象限角.
2、写出与－600°角终边相同的角的集合 S，并把集合S中适合不等式-720°≤ β ＜720°的元素β写出来.
角度制
在平面几何中研究角的度量，当 时是用度做单位来度量角， 1 的角是 如何定义的？
2 3、在半径为 的圆中，圆心角为周角的 的角 3
6
30
4、若2 rad的圆心角所对的弧长是4cm，则这个 圆心角所在扇形的面积为_________ 4cm2
练习7：当扇形的中心角为600，半径为10cm， 求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积 3 600=π/3 L=10π/3 S = 50( )cm2
把弧度换成角度
180 ' 1rad = 57.30 = 57 18
正角 零角
正实数
0
负实数
负角
任意角的集合
实数集R
注意几点： 1．今后在具体运算时，“弧度”二字和 单位符号“rad”可以省略 如：3表示 3rad , sin表示rad角的正弦 2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应 该记住（见课本P8表） 3．应确立如下的概念：角的概念推广之后， 无论用角度制还是弧度制都能在角的集合 与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
l 当R=1时,l=8cm时, = = 8 2 R l 1 = = 当R=4时,l=2cm时, R 2 1 ∴所求扇形的圆心角的弧度数为 2
舍去
1、已知扇形周长为6cm，面积为2cm2，则扇形 圆心角的弧度数为 C A、 1 B 、4 C 、 1或 4 D 、 2或 4 2、当圆心角α=-216o，弧长l =7πcm时，其半径 35 r=________ cm 40 所对圆弧的长为___________
[例1]把下列各角化为弧度
（1）30°（2）5°（3）-45°
[例2]把下列 各角化为度：
5 (1) rad 6
(2)2rad(精确到0.1）
角度制与弧度制互化时要抓住 弧度 这个关键．
180 =
练习：填表
度 弧度 30 45 60 90 180 270 360
6
4
3
2
3 2
2
弧度 度 弧度 度
0 0
5 12
12
6
4
3
60
5 3
15
30
3 4
45
2
90
3 2
75
135 270ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
300
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度； ②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
3 2
8.已知扇形的周长为20 cm，当扇形的中心角 为多大时，它有最大面积，最大面积是多少?
• 作业 • 课本第10页 第7、8、 9、10题
的大小，而 1 是圆的
1 360
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 一 个与半径大小无关的定值．
终边相同的角
（1）用角度表示
与终边相同的角可以表示为： k 360 ，k Z
它们构成一个集合： S = | = k 360 , k Z （2）用弧度表示
l 分析:要求圆心角,根据公式| |= ,需求弧长l及半径R. R 解: 设扇形的圆心角的弧度数为 (0 2 ) , 弧长为l,
半径为R,
l 2R = 10 根据题意: 1 lR = 4 2 由①得 l = 10 2R ,
2 R 5R 4 = 0 代入②得
①
②
解得 R1 =1,R 2 =4
1°的角
O
在角度制下，当把两个带着度、分、 秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率 非十进制，总给我们带来不少困难．那么我 们能否重新选择角单位，使在该单位制下两 角的加、减运算与常规的十进制加减法一样 去做呢？
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角 度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常 用到一种度量角的制度 —弧度制，它是如何定义呢？
弧长公式
1、角度制下的弧长公式
n r l= 180
n r S扇 = 360
2
角度制下的扇形面积公式
2、弧度制下的弧长公式
l = r
弧度制制下的扇形面积公式
S扇
1 1 2 = lr = | | r 2 2
[例4]．求图中公路弯道处弧 的长 m （精确到 1m ，图中长度单位： ）．
l
例5 已知扇形的周长为10cm, 面积为4cm2,求扇形的圆心角.
它们构成一个集合： S = | = 2k , k Z
[例3]
把下列各角化成 2k 0 2，k Ζ 的形式：
16 11 （ 1） ；（2） 315 ；（3） ． 3 7
已知扇形OAB的中心角为4，其面积 2cm2，求扇形的周长和弦AB的长。
弧度制 ： 定义： 我们把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时， 这样的圆心角等于1rad。 单位符号 ：rad B
l =r O
读作弧度 C
l = 2r
2 rad O r
o
1rad r
A
A
o
AOB=1rad
AOC=2rad
(1)正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
(2)角的弧度数的绝对值
l = (l为弧长 r为半径 ) r
（
(4)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同， 但量数相同（都是0） (5)用角度制和弧度制来度量任一非零角， 单位不同，量数也不同。
角度与弧度间的换算
360 = 2rad
180
= rad
把角度换成弧度
1 =
180
rad 0.01745 rad
1、在0°～360°范围内，找出与－600° 角终边相同的角，并判定它是第几象限角
－600°=120°－360°X 2
第二象限角.
2、写出与－600°角终边相同的角的集合 S，并把集合S中适合不等式-720°≤ β ＜720°的元素β写出来.
角度制
在平面几何中研究角的度量，当 时是用度做单位来度量角， 1 的角是 如何定义的？
2 3、在半径为 的圆中，圆心角为周角的 的角 3
6
30
4、若2 rad的圆心角所对的弧长是4cm，则这个 圆心角所在扇形的面积为_________ 4cm2
练习7：当扇形的中心角为600，半径为10cm， 求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积 3 600=π/3 L=10π/3 S = 50( )cm2
把弧度换成角度
180 ' 1rad = 57.30 = 57 18
正角 零角
正实数
0
负实数
负角
任意角的集合
实数集R
注意几点： 1．今后在具体运算时，“弧度”二字和 单位符号“rad”可以省略 如：3表示 3rad , sin表示rad角的正弦 2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应 该记住（见课本P8表） 3．应确立如下的概念：角的概念推广之后， 无论用角度制还是弧度制都能在角的集合 与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
l 当R=1时,l=8cm时, = = 8 2 R l 1 = = 当R=4时,l=2cm时, R 2 1 ∴所求扇形的圆心角的弧度数为 2
舍去
1、已知扇形周长为6cm，面积为2cm2，则扇形 圆心角的弧度数为 C A、 1 B 、4 C 、 1或 4 D 、 2或 4 2、当圆心角α=-216o，弧长l =7πcm时，其半径 35 r=________ cm 40 所对圆弧的长为___________
[例1]把下列各角化为弧度
（1）30°（2）5°（3）-45°
[例2]把下列 各角化为度：
5 (1) rad 6
(2)2rad(精确到0.1）
角度制与弧度制互化时要抓住 弧度 这个关键．
180 =
练习：填表
度 弧度 30 45 60 90 180 270 360
6
4
3
2
3 2
2
弧度 度 弧度 度
0 0
5 12
12
6
4
3
60
5 3
15
30
3 4
45
2
90
3 2
75
135 270ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
300
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度； ②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
3 2
8.已知扇形的周长为20 cm，当扇形的中心角 为多大时，它有最大面积，最大面积是多少?
• 作业 • 课本第10页 第7、8、 9、10题
的大小，而 1 是圆的
1 360
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 一 个与半径大小无关的定值．
终边相同的角
（1）用角度表示
与终边相同的角可以表示为： k 360 ，k Z
它们构成一个集合： S = | = k 360 , k Z （2）用弧度表示
l 分析:要求圆心角,根据公式| |= ,需求弧长l及半径R. R 解: 设扇形的圆心角的弧度数为 (0 2 ) , 弧长为l,
半径为R,
l 2R = 10 根据题意: 1 lR = 4 2 由①得 l = 10 2R ,
2 R 5R 4 = 0 代入②得
①
②
解得 R1 =1,R 2 =4
1°的角
O
在角度制下，当把两个带着度、分、 秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率 非十进制，总给我们带来不少困难．那么我 们能否重新选择角单位，使在该单位制下两 角的加、减运算与常规的十进制加减法一样 去做呢？
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角 度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常 用到一种度量角的制度 —弧度制，它是如何定义呢？
弧长公式
1、角度制下的弧长公式
n r l= 180
n r S扇 = 360
2
角度制下的扇形面积公式
2、弧度制下的弧长公式
l = r
弧度制制下的扇形面积公式
S扇
1 1 2 = lr = | | r 2 2
[例4]．求图中公路弯道处弧 的长 m （精确到 1m ，图中长度单位： ）．
l
例5 已知扇形的周长为10cm, 面积为4cm2,求扇形的圆心角.