圆锥曲线计算实用技巧(叶小兵)

一道真题引出的高考数学中计算的小技巧
07全国(文、理)
这里只对第二问进行分析，下面是全国卷的标准答案：(拟对红色部分进行分析)
（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且0
k≠时，BD的方程为(1)
y k x
=+，代入椭圆方程
22
1
32
x y
+=，并化简得2222
(32)6360
k x k x k
+++-=．(a)
设
11
()
B x y
，，
22
()
D x y
，，则
2
122
6
32
k
x x
k
+=-
+
，
2
122
36
32
k
x x
k
-
=
+
2
222
1222122
43(1)
1(1)()4
32
k
BD k x x k x x x x
k
+
⎡⎤
=+-=++-=
⎣⎦+；(b)
因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为
1
k
-，
所以，
2
2
2
1
431
43(1)
1
32
k
k
AC
k
⎛⎫
+
⎪+
⎝⎭
==
⨯+
．
四边形ABCD的面积
2222
2
2222
124(1)(1)96
2(32)(23)25
(32)(23)
2
k k
S BD AC
k k k k
+24+
===
++⎡⎤
+++
⎢⎥
⎣⎦
≥．(c)
当21
k=时，上式取等号．
（ⅱ）当BD的斜率0
k=或斜率不存在时，四边形ABCD的面积4
S=．
综上，四边形ABCD的面积的最小值为
96
25
．(d)
[析]
这道题目从总体上来看，中等难度，题型经典，对大多数学生来讲想到怎么做是不难的，但是要真正做对（包括结果正确，分类完整）是很有难度的，这点从多次课堂试验可以看得出来。

在此对以上这道真题中所涉及的几个小小计算技巧做一个简单的分析，总共有四个点： (a) 整理化简技巧
做数学大题，必定会遇到整理化简的时候，许多学生在化简的时候经常出现这样那样的失误，原因很简单，计算量一大，一个方程就占了两三行，这样最容易出错。

(a)式中，要把直线方程(1)y k x =+代入椭圆方程22
132
x y +=中，容代入后易得到 22223(1)60x k x ++-=到了这一步许同学会开始打草稿，其实不必要，打草稿太费时间。

我们可以这样想，这个方程化简后肯定是一个关于x 一元二次方程，必定有二次项、一次项、常数项，二次项系数显然是232k +，一次项系数容易看出是2
6k ，而常数项同样也可得到236k -，因此扫描一眼就可以快速地在试卷上写上：“整理得：2222(32)6360k x k x k +++-=”
(b) 省时省力的弦长公式
现在市面上最流行的弦长公式当然是||PQ =，但是，这个公式中12x x +、12x x 两块东西是可以由方程22223(1)60x k x ++-=不用计算顺
手写出的，这一步固然简单。

但是代入弦长公式后的计算将会是很恐怖的（历年的解几真题可以证明这一点）。

为此，我在班上给大家引进另一个简洁好用的弦长公式，就是||PQ =， 这个公式一写出来，总能让学生眼前一亮！学生理解起来也很简单，这里只不过是做了一个小小的改变，用韦达定理把12x x +换成b a -，把12x x 换成c a
，整理即可。

这个公式好在哪？
我们都知道学生计算错误无非就是化简整理（通分合并）过程出错，其实对比一下两个弦长公式就可以看出，第二个弦长公式恰好省去了通分化简合并的过程。

实践证明，这个公式大大提高了学生的计算精度。

另外，我们都知道，做解几大题常常需要判定∆的正负性（为确保直线与圆锥曲线相交）（如07浙江（文）21），因此，我们就可以借用这个∆直接代入弦长公式，这一个小小技巧即充分地提高了计算精度也大大地减少计算量与计算时间。

这个公式可以直接用吗？
这是学生最关心的问题，这个公式当然可以用，但是这个公式最好不要出现在试卷上。

我们应该这样处理：
试卷上还是用原来的弦长公式写||PQ ==，但是等号后
面的结果是用||PQ =计算的，这样两全其美了！ (c) 不等式的选取
解几大题难逃最值问题、求参数范围问题，而这两种问题可归结为不等式问题。

而不等式问题又常常归结为二元均值不等式问题。

二元均值不等式是简单而复杂的，简单在于小巧易记，复杂在于形式太多。

比如常
见的就有以下几种：22
2a b ab +≥、2()2a b ab +≤、22
2()22a b a b ++≥.以上这些不等式形式相似，易记混，难用对。

很多同学好不容易算到了四边形ABCD 的面积这一步：
22
22124(1)2(32)(23)
k S BD AC k k +==++ 却被表达式的繁杂而吓倒，只好望而却步，其实如果能够正确地全面地理解二元均值不等式的话，接下来的求最小值问题是非常容易的。

这里地有个锦囊要送给大家：
2112a b a b
+≥≥≥+ 记忆法：（平方平均≥代数平均≥几何平均≥调和平均）
特点： 平方和 和 积 倒数和
其实，这个不等式相信很多同学都见过，但是很少有学生能够真正学会怎样运用。

其实要灵活运用只要明白两点就行：一是我们总是希望把不等式向常数发展；二是清晰了解四个平均数的特点（即平方和、和、积、倒数和）。

有这两点做起来就太容易了！
举几个真题为例：
1.07浙江（文）21
本题最后归结为求
21)S b =<<最大值，容易发现式中b
“平方和”为常数，而式中b
“乘”的状态，对照上面不等式的特点，
≥，即222a b ab +≤，因此马上得到22(1)2212b b S +-=≤= 2.07陕西22
本题最后归结为求弦长||AB 的最大值，即222
22(33)(91)||(31)k k AB k ++=+的最大值。

容易发现，如果能把2(33)k +和2
(91)k +加（“和”）起来，那么就可以使||AB 为常数，
另外，当前2(33)k +和2(91)k +处于相“乘”的状态，由此启发我们取第二和第三部
分，也就是2a b +≥2()2
a b ab +≤，因此，有 222222222222223391()(33)(91)(62)2||4(31)(31)(31)
k k k k k AB k k k ++++++=≤==+++ 言归正传，对于本题，我们也可以采用同样的方法来思考： 观察22
22124(1)2(32)(23)
k S BD AC k k +==++，可以发现，如果如果能把2(32)k +和2(23)k +加（“和”）起来，也可以使方程变为常数，而当前2(32)
k +和2(23)k +处于
相“乘”的状态，因此同样采用第二和第三部分，也就是
2a b +≥即2()2a b ab +≤， 因此，有 2222222222222124(1)24(1)24(1)963223552(32)(23)25()()22
k k k S BD AC k k k k k +++==≥≥=++++++ (d) 分类讨论中的特殊情况
我们从标准答案“（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，易得，四边形ABCD 的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625．”可以看出，对于分类讨论中的边缘情况不需要做太详细的分析，只需简单地表示一下，写出结果即可。

标准答案中有两个字特别显眼，就是“易得”，而学生们自己去亲自具体计算的时候即不是像答案中“易得”来得那么容易，两个边缘情况“0k =或斜率不存在”考虑起来还挺吃力的。

但正如刚才分析所得“边缘情况不需要做太详细的分析，只需简单地表示一下，写出结果即可。

”因此，我们怎么做出结果，批卷老师是看不到的，这个时候“不管黑猫白猫，抓到老鼠就是好猫”。

在此针对这道题结出一个处理的技巧：
当0k =时，虽然直线AC 斜率不存在，但是BD 和AC 的弦长是有意义的，也就是面积12
S BD AC =有意义，即我们可以把0k =代入S 的表达式中，也就是可以直接得到2222124(1)24142(32)(23)23
k S BD AC k k +•====++• 以上是半年多来在解几教学中，我对于解几大题计算部分的几个小小心得，跟大家分享，不当之处忘指正！。