专题提能课(6) 圆锥曲线问题的优化运算策略

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由椭圆定义可得点E的轨迹方程为x42＋y32＝1(y≠0)
[评析] 本题主要考查平行线的性质，圆的相关性质与三角形的性质，椭圆的定义与 轨迹方程的求解．圆锥曲线的定义揭示的是事物的本质属性．
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解法2 巧设参数，变换主元
巧设参数的实质是通过引入参变量加以替换，使得圆锥曲线中相关或不相关的量统 一在参变量下，减少未知量的个数，这样解决问题更方便，同时可以进一步体会解 决问题中数学方法的灵活多变． [例 2] 设直线 l 与抛物线 y2＝4x 相交于 A，B 两点，与圆 C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0) 相切于点 M，且 M 为线段 AB 中点，若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是( ) A．(1，3) B．(1，4) C．(2，3) D．(2，4) [分析] 先设出直线 l 的方程 x＝ty＋m(这样可以避免讨论直线的斜率是否存在问 题)，根据直线与抛物线相交于两点得到 Δ＝16t2＋16m＞0，结合根与系数的关系与 中点坐标公式确定点 M 的坐标，利用直线 l 与圆相切，分别得到两直线垂直以及半 径的关系式，进而得以判断 r 的取值范围．
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[例1] 圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于 C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹 方程． [分析] 通过平行线的性质，结合圆的相关性质，通过三角形中等角对等边的转化确 定定值问题，并利用椭圆的定义来求解相应的轨迹方程．
极端策略是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想，从有限到无限，从近似到 精确，从量变到质变．通过圆锥曲线问题的极端元素，灵活借助极端策略解题，可 以避开抽象及复杂运算，优化解题过程，降低难度，是简化圆锥曲线运算的一条有 效且重要途径． [例 4] (2016·高考浙江卷)设双曲线 x2－y32＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2.若点 P 在 双曲线上，且△F1PF2 为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________． [分析] 根据双曲线的定义得到关系式|PF1|＝|PF2|＋2，通过分类讨论，结合极限思 想确定当∠ F1PF2＝ 90˚时与当∠F1F2P＝ 90˚时关系式的最值，数形结合即可得 △F1PF2 为锐角三角形时关系式的取值范围．
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解析：设双曲线的左焦点为F1，根据双曲线的定义可知|PF|＝2a＋|PF1|， 则△APF的周长为|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA|＋2a＋|PF1|＋|AF|＝|PA|＋|PF1|＋|AF|＋ 2a， 由于|AF|＋2a是定值，要使△APF的周长最小， 则|PA|＋|PF1|最小，即P，A，F1共线， 由于A(0，6 6)，F1(－3，0)， 则直线AF1的方程为－x3＋6y 6＝1，即x＝2 y6－3， 代入双曲线方程整理可得y2＋6 6y－96＝0， 解得y＝2 6或y＝－8 6(舍去)，
解析：如图所示，因为|AD|＝|AC|，EB∥AC， 故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|， 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16， 从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4， 由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，
6பைடு நூலகம்
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整理得 m＝3－2t2(当 t≠0 时)， 把 m＝3－2t2 代入 Δ＝16t2＋16m＞0， 可得 3－t2＞0，即 0＜t2＜3. 又由于圆心到直线的距离等于半径， 即 d＝|51－＋mt2|＝ 2＋1＋2t2t2＝2 1＋t2＝r， 而由 0＜t2＜3 可得 2＜r＜4. 答案：D [评析] 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，直线的方程与应用，点到直线的距 离公式，考查运算求解能力、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、 分类与整合思想等．巧妙通过直线方程的设置，引入参数，利用直线与圆锥曲线的 位置关系加以转化，结合题目条件通过分析参数的取值范围达到解决问题的目的．
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所以点P的纵坐标为2 6， 所以S△APF＝S△AFF1－S△PFF1＝12×6×6 6－12×6×2 6＝12 6.
答案：12 6 [评析] 本题主要考查双曲线的定义、标准方程与几何性质，直线方程，直线与双 曲线的位置关系等．
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解法4 极端策略，围魏救赵
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解析：不妨设直线l的方程为x＝ty＋m， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 代入抛物线y2＝4x并整理得y2－4ty－4m＝0， 则有Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m， 那么x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t2＋2m， 可得线段AB的中点M(2t2＋m，2t)， 而由题可得直线AB与直线MC垂直， 即kMC·kAB＝－1， 可得2t22＋t－m0－5·1t ＝－1，
专题提能课(6) 圆锥曲线问题的优化运算策略
圆锥曲线问题运算量大，综合性强，因此，在解答圆锥曲线问题时必须研究技巧与策 略，寻求突破点，选用适当方法，以求做到选择捷径、简化计算、避繁就简、合理解 题，收到事半功倍之效．
解法1 回归定义，以逸待劳
回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，圆锥曲线的定义既是有 关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．若能根据已知条件，巧妙 灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．
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解法3 数形结合、偷梁换柱
在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘 题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题． [例 3] (2015·高考全国卷Ⅰ)已知 F 是双曲线 C：x2－y82＝1 的右焦点，P 是 C 的左 支上一点，A(0，6 6)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________． [分析] 要求△APF 的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根 据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析 根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点 P 的位置，通过求解点 P 的坐 标进而利用三角形的面积公式来处理．