专题提能课(6) 圆锥曲线问题的优化运算策略
高中数学圆锥曲线教学的优化策略
高中数学圆锥曲线教学的优化策略徐晓俊（江苏省无锡市宜兴市阳羡高级中学214200）摘要：圆锥曲线是高中数学中较为复杂的学习内容，其特点是知识抽象、图形特殊且涉及到大量计算，给学生学习造成一定的阻碍。
并且，在讨论圆锥曲线的相关问题时，常常需要结合直线方程、三角函数、向量等其他较为复杂的数学知识，这就给学生学习又增加了难度。
所以在圆锥曲线教学中，教师就要站在学生的角度，考虑学生在学习时面临的困境，并结合教学内容的特点来优化教学策略。
以帮助学生正确理解、深刻记忆并准确运用圆锥曲线的知识，从而提高学生的数学综合水平，为学生高考提供助力．关键词：高中数学；圆锥曲线；教学策略中图分类号：G632文献标识码：A 文章编号：1008－0333（2019）25－0038－02收稿日期：2019－06－05作者简介：徐晓俊（1985．8－），女，江苏省无锡人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究．一、演示教学，加强学生理解抽象性和复杂性是圆锥曲线最大的特点，也是学生学习的第一道阻碍．而要想准确理解圆锥曲线的概念，学生首先需要知道圆锥曲线的画法以及图形中的物理关系．所以教师可以使用“演示教学法”，即借助实物、几何画板或者多媒体将圆锥曲线的画法、形态展示出来，或者让学生亲自动手演示．以此将抽象的知识直观化，复杂的知识简单化，帮助学生明确圆锥曲线的形成过程和图形中所蕴含的物理特点．而后，教师再引导学生透过图形的物理性质挖掘圆锥曲线的本质，从而加强学生对圆锥曲线概念的理解，为接下来的深入学习奠定基础．例如：很多学生在学完圆锥曲线之后只知道圆锥曲线包含什么，并不知道圆锥曲线名字的由来．所以我先借助多媒体为学生展示一个圆锥的图案，并通过动态切割的方式展示不同切割方式下形成的三种圆锥曲线．而在椭圆教学时，我则通过实物演示的方式帮助学生学习椭圆．首先我为学生准备硬纸板、图钉、铅笔、橡皮筋、无弹性细绳等工具，并让学生结成小组，每组共用一套工具，按照书上给出的椭圆的画法进行画图．而在学生开始前，我先给每组下发橡皮筋而不发无弹性细绳，在学生画图失败后我再分给学生无弹性细绳，以此让学生明确“到定点的距离不能等于定长”的点的轨迹不能形成椭圆．在学生画图结束后，我再向学生提问：“在画椭圆的过程中哪个量是不变的？你能根据这一特点给椭圆下定义吗？”学生很容易得出“椭圆上一点到两焦点的距离之和不变”这一结论，并通过小组讨论得出“一动点到两定点的距离之和为常数，则该动点形成的轨迹是椭圆”这一定义．学生的说法虽然尚有不足，但基本说出了椭圆的本质．通过这一过程，可以让学生更清楚直观地认识椭圆，深刻理解椭圆的概念，从而为接下来的深入学习打开良好开端．二、综合类比，构建知识网络类比是一种应用十分广泛的数学思想，它是指由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式．而椭圆、双曲线、抛物线同属圆锥曲线，在图形特点、性质等方面自然有相似之处．所以在圆锥曲线教学中，教师便可以渗透类比的思想方法，引导学生将两种或三种圆锥曲线进行综合类比．让学生在类比学习中清楚三种圆锥曲线各自的特点，从而帮助学生构建清晰的知识网络，提高学生的学习效率．例如：在学习“双曲线的几何性质”时，由于双曲线和椭圆有很多相似之处，所以我引导学生将双曲线和椭圆进行类比．首先我让学生回忆椭圆的范围，然后提示道：“椭圆是一个封闭图形，它的范围局限在一个矩形框里．而双曲线和椭圆有什么相似之处？你能根据求椭圆范围的过程求出双曲线的范围吗？”在我的引导下，学生便将双曲线和椭圆进行类比，并结合双曲线“向外扩张”的特点求出其范围．之后，我再引导学生根据椭圆的顶点、对称性、离心率等其他性质自主探究双曲线的性质．通过这一过程，不仅可以锻炼学生自主探究和逻辑推理的能力，同时也让学生对双曲线和椭圆的特性有更清晰的认识，从而提高教学的有效性．三、变式训练，提升教学效果变式就是通过变换同类事物的非本质特征的表现形式，或者变更观察事物的角度和方法，从而突出事物的本—83—质特征．而圆锥曲线的性质较为繁杂，在解答相关习题时对学生基础知识的掌握以及思维品质都具有较高的要求．所以在圆锥曲线教学中教师可以开展变式训练，即通过变换问题的条件、形式等非本质特征引导学生发现问题的本质，锻炼学生运用圆锥曲线性质解决相关问题的能力，从而提升教学效果．例如：在“椭圆”的课堂训练环节，为了让学生深刻理解离心率并熟练计算离心率，我为学生设置如下例题：设F 1、F 2分别是椭圆C ：（x 2/a 2）+（y 2/b 2）=1（a ＞b ＞0）的左右焦点，点P 在椭圆C 上，若线段PF 1的中点在y 轴上，∠PF 1F 2=30ʎ，则椭圆的离心率是．然后我引领学生画图，利用数形结合的思想和勾股定理解出这道题目．而为了强化训练效果，我将问题进行如下变式：（1）将本例条件变为“若∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，且cos α槡=5/5，sin （α+β）=3/5”，则椭圆的离心率为．（2）将本例条件变为“P 到两焦点的距离之比为2ʒ1”，求离心率的范围．以上第一道习题将三角函数和椭圆综合起来，需要学生借助三角函数的性质和正弦定理求得离心率；第二道题需要学生结合“椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c ”这一性质进行解题．通过这一过程，不仅可以锻炼学生结合其他知识解决椭圆问题的能力，也能加深学生对椭圆性质的掌握程度，并在问题变式中锻炼学生思维的灵活性和敏捷性，从而提高学生的数学综合素养，以强化教学效果．总之，在高中圆锥曲线教学中，教师可以根据教学内容的特点，结合学生学习时面对的困境，通过演示教学、综合类比以及变式训练等方法优化教学策略．从而帮助学生深刻理解并全面认识圆锥曲线的知识，提高学生的解题能力，从而促进学生数学综合水平的提升．参考文献：［1］梁志贵．高中数学圆锥曲线教学现状探析［J ］．小作家选刊（教学交流），2014（10）：63．［2］刘志有．高中数学圆锥曲线教学的有效性策略分析［J ］．数学教学通讯，2014（15）：36－37．［3］李海燕．高中圆锥曲线教学现状分析及其研究［J ］．读写算（教育教学研究），2015（32）：130．［责任编辑：杨惠民］浅谈高中数学“错题本学习法”郭桂飞（广西壮族自治区贵港市桂平市浔州高级中学537200）摘要：在高中数学中，做错题目是一个正常现象，错题会给学生带来困扰和压力，因此，对于错题的价值认识以及如何管理错题就显得非常重要．通过教学实践我发现，善于利用错题学习的学生，对知识的理解更深层次，掌握得更牢固．关键词：错题本学习法；高中数学；学习方法；管理策略中图分类号：G632文献标识码：A 文章编号：1008－0333（2019）25－0039－02收稿日期：2019－06－05作者简介：郭桂飞（1989．10－），女，本科，中学二级教师，从事高中数学教学与研究．一、错题的价值布鲁姆把认知学习领域目标分为识记、领会、运用、分析、综合及评价六个层次．学习是一个获得知识和技能、产生认知的过程，对高中数学的学习，我们可以把它简化为：找到不会的，把不会的变成会的．如何找到不会的？我们可以通过做题去发现，俗话说的“刷题”．做题可以把学习的各个环节都覆盖到了：要识记题目里相关的概念才能读懂题目，分析题目的信息，转换相关条件，运用所学的知识和方法来综合条件来解决问题．但是高中数学题型千变万化，解题方法也各有千秋．在有限的高中生涯里，我们绝大部分的学生不可能把现有的高中数学题都做一遍．在做题过程中，错误是不可避免的．错题一方面反映了我们在数学学习过程中存在知识缺陷，另一方面反映了我们的思维偏差，这种情况下，我们对自己做错的数学题的研究就十分有价值了．我们可以在纠错中提升思辨水平，悟出真相，找出规律，理解本质，查漏补缺，搭建和完善自己的知识结构，特别是综合型的题目．建立错题本是一个对于知识和方法反复思考和认真整理的过程，是一个有针对的查漏补缺的过程，是将接替思路类型化的过程，是知识积累和提升组织记忆的过程，也是对所学过的知识升华的一个过程．近年来的高考中，出现—93—。
圆锥曲线中优化运算的解题策略
圆锥曲线中优化运算的解题策略圆锥曲线优化运算是数学中的一个重要问题，可以通过以下解题策略进行求解：
1.确定问题类型：圆锥曲线有多种类型，如椭圆、双曲线、抛物线等，需要先确定所给出的曲线类型。
2.建立模型：根据所给出的问题建立合适的模型，包括确定变量、方程、约束条件等。
3.求解最值：通过对模型进行分析，利用微积分中的相关知识，求出最大值、最小值或极值点。
4.验证答案：通过对求解过程的验证，确保所求出的答案是正确的，并且符合题目中的要求。
5.分析问题：对求解过程进行分析，找出解决问题的关键步骤，确定优化方案，以提高求解效率。
6.掌握技巧：圆锥曲线的优化运算涉及到多种数学技巧，如拉格朗日乘数法、边界约束法等，需要掌握这些技巧，以便在实际问题中灵活应用。
总之，圆锥曲线优化运算是数学中一个重要的问题，需要掌握一定的数学知识和技巧，以便解决实际问题。
1/ 1。
优化解答圆锥曲线问题运算的6种途径
名师大课堂
法2 ( Ⅰ ) 由 QP # Q F = F P # FQ 得 FQ # ( P Q+ PF) = 0, 所以 ( P Q- PF) # ( P Q+ PF) = 0, 即 P Q2 - P F 2 = 0 , 所以| P Q| = | P F | . 所以点 P 的轨迹 C 是抛物线 , 由题意, 轨迹 C 的 方程为 y 2 = 4 x . ( Ⅱ ) 由已知 MA = K 1 A F, M B = K 2 BF , 得 | A F| | MA | K = - K . 1 #K 2 < 0. 则 1 | MB | K 2 | BF | | A A1| | MA | | A F| = = . | MB | | BF | | B B1 | ① 6 而 N F 1 F 2 A = 30 b , 所以 | F 1 A | = | A F2 | = 3 c. 所以 e = 1 | F 1 F 2 | = c, 所以 2
1 3 1 3 co sA1 sinA cosA1 + sinA 11 = 0. 2 2 2 2 1 1 2 1 + + = 为定值. | F P2 | | FP 3 | 3 | FP 1 | 本例中 , 利用椭圆的第二定义, 借助几何图的 直观、 以及 几何知 识, 将
1 用 cosA i 表示 | FP i | 出 , 把问题转化为三角函数问题 , 从而简化计算 . 例2 ( 2007 年湖北卷) 双曲线 C 1 : x2 y2 = 1 2 a b2
( a > 0 , b> 0) 的左准线为 l , 左焦点和右焦点分别为 F 1 和 F 2 ; 抛物线 C 2 的准线为 l , 焦点为 F 2 ; C 1 与 C 2 的一 个交点为 M, 则 A C - 1; 1 ; 2 | MF 1 | | F 1F 2 | 等于( | M F1 | | MF 2 | B D 1; 1 2 ).
优化高中数学圆锥曲线课堂教学的有效策略
㊀㊀㊀㊀㊀优化高中数学圆锥曲线课堂教学的有效策略优化高中数学圆锥曲线课堂教学的有效策略Һ焦学刚㊀（江苏省扬州市邗江区蒋王中学，江苏㊀扬州㊀２２５０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ由于圆锥曲线的相关问题在高考当中占据非常重要的比重，而且知识点又有深奥㊁复杂的特点，所以学生在理解圆锥曲线的相关基础概念时，教师必须要对深层次的知识加以更加深刻的研究，科学的解题方法尤为重要．学生高中阶段学习的圆锥曲线主要包括抛物线㊁双曲线㊁椭圆等内容，本文主要对圆锥曲线的相关教学策略的优化展开探究．ʌ关键词ɔ圆锥曲线；高中数学；教学现状；优化策略一㊁高中数学圆锥曲线知识部分的教学现状圆锥曲线的相关知识非常深奥，其作为高中数学教学中非常重要的一部分，需要学生通过合适的方式方法深刻地理解与掌握．圆锥曲线覆盖的知识面比较广，而且在相关题目的考查中也会和其他部分的知识有非常密切的关联，所以同学们在最开始接触圆锥曲线的时候，肯定会有一定的学习难度．教师必须要有针对性地对学生的图形思维能力以及逻辑思维能力加以培养，要让同学们先掌握基本的知识概念，在此基础之上进行技巧与能力的训练．然而，这也是当前课堂教学中比较缺乏的部分，师生之间没有合理的沟通，也缺少课堂上必要的互动，甚至在高考带来的压力之下，教师在课堂上只是照本宣科地给同学们进行知识点的讲解，忽略了学生个人实际学习情况的发展，进而使得圆锥曲线的教学效率较低．这种教学模式只是引导同学们去尝试着解决在高考当中经常出现的压轴题，但是题目的类型过于灵活，同学们要想得心应手地解决这些问题，必定要投入非常多的精力．教师能够传授给学生的思路是非常有限的，而且学习的方法也是过于单一的，学生无法实现思维的拓展，自然而然地对这些知识也没有办法灵活运用．学生面对的学习压力，不仅仅来源于数学，其他学科的学习难度也是非常大的，久而久之，如果圆锥曲线部分需要同学们长期在相关的问题中投入大量的精力，那么同学们就会丧失对圆锥曲线问题的探究兴趣．二㊁优化高中数学圆锥曲线课堂教学的有效策略在新课改的背景下，开展高中数学课堂教学方法的改革需要更好地强调学生在课堂上的参与程度，并且要在教师的努力下，帮助同学们营造一种良好的氛围，把枯燥的教学环境变得更加生动㊁更加简单，这对学生课堂学习兴趣的激发有比较重要的帮助，而且能让同学们对相关的知识点有更加深刻的了解，这样的教学才是相对成功的．课堂的优化可以从以下几个方面入手．１．充分做好课前教学准备充分的准备能够让教师在课堂上有的放矢地进行知识的传授．教师要想开展更加有效的教学，首先就是应认真备课，这也是在以往教学中比较欠缺的环节，有的教师只是照着课本上给出的知识概念和习题进行讲解，并没有做精心的教案准备，所以课堂效果也很难得到保证．有些知识掌握得比较扎实的同学在课堂上会学得好一些，但如果同学们的理解能力相对较弱，他们在课堂上就很难跟上教师的教学节奏．所以教师一定要充分地结合同学们的实际学习情况，要尽可能地选择符合学生认知规律及当前水平的内容，并且要为不同的学生制定不同的学习目标．教师对于知识概念也要精心选择题目来加以佐证，关注教学环节的设计，必须要注重难易适中以及层层递进，让同学们按照循序渐进的过程来完成思考．２．将复杂的知识以更加简单的形式呈现出来教师带领同学们研究圆锥曲线的相关知识点，不仅要围绕着基本的公式和概念展开思考与探究，在面对相关习题时，也应该力求用最简单的方式方法，让同学们解决相对复杂的问题，从简单的角度进行思考，避免做题的盲目性，让同学们能够从一些基本的技巧出发，解决相对复杂的问题，从而培养学生更加开阔的解题思路．例如：如果在平面直角坐标系中存在两点Ｍ㊁Ｎ，且过点Ｍ㊁Ｎ存在椭圆４ｘ２＋９ｙ２＝３６，用Ａ表示椭圆的中心点，那么连接两点Ｍ㊁Ｎ后的弦与椭圆的中心点Ａ之间的距离是多少？在以往的教学中，解答此类题目，教师必须要让同学们首先明确两点Ｍ㊁Ｎ的坐标，但是在这道题目中给出的已知条件非常少，强行让同学们确立两个点的坐标是不现实的．所以我们就可以引导同学们尝试着从其他的角度入手进行问题的分析，探索其他的解题方法．教师可以让同学们尝试着将椭圆的方程和直线ＡＭ㊁ＡＮ的方程联系在一起，求解两个点Ｍ㊁Ｎ的坐标．这就是一种解题的简化，特别是在最开始教师引导同学们对相关的解题技巧进行探索的过程当中，能够对同学们个人思维的发展起到促进的作用．３．有效运用教学模型，重点完成理论知识的表述教学模型在课堂上发挥的重要作用是不言而喻的，特别是在当前的高中学习阶段，正是因为同学们的学习时间㊀㊀㊀㊀㊀㊀都是相对有限的，而且需要探索的知识内容又有较强的复杂性，大部分学生只是关注在考试中能够取得怎样的成绩，而教师带领同学们进行练习，也只是把目光聚焦在怎样才能把题目解答出来上．过分追求答案对同学们个人能力的发展并没有任何的帮助，甚至还会让同学们对数学相关概念知识的理解出现偏差和误区．所以教师通过重点关注教学模型来帮助同学们摆脱只注重解题结果的练习模式，才可以让同学们更加扎实地把握基本的知识概念，通过熟能生巧的教学训练在未来的练习中更加得心应手地应用相关技巧解决问题，也让同学们能够具备更加清晰的思路．例如，在带领同学们研究椭圆的基本定义时，教师为了让同学们对焦点Ｆ１㊁Ｆ２有更加深刻的理解，并且让同学们知道椭圆的焦点位置是不能随意变动的，了解并能熟练地运用｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝２ａ解决问题，教师对２ａ需要进行重点的讲解．教师在教学中运用板书讲解，取一根绳子，通过这根绳子的长度来定义２ａ，然后在坐标系中确定焦点Ｆ１㊁Ｆ２的位置，固定绳子的两端，用粉笔支撑起这根绳子，在任意位置画图，将粉笔与黑板接触的点记录下来并标为点Ｐ，连接这些点形成一段半圆形的弧线，上下两端汇集在一起就可以形成一个椭圆，如图所示．这种绘图的方法能够更加生动直观地把课本内容展现出来，也可以让同学们更加直观地观察或者是亲自体验来加深对知识的印象．４．从根本上实现教学方法的创新正确的教学方法对课堂效率的提升有非常重要的作用，而且能让同学们找到数学问题研究的兴趣所在．以学生为本的教学理念下，开展圆锥曲线的教学必须要做到以学生为中心，过去的教学方法无法适应学生当前的学习需求，所以教师必须要能够围绕圆锥曲线的相关理论以及正确的思路和个人思想提升的目标来进行知识的筹备与讲解．比如在课堂上，教学方法的创新可以围绕着分层教学来展开，也可以采用合作讨论的模式，实现学生学习方法的根本转变．因为课堂时间是有限的，所以我们可以对课堂的时间进行划分．以每节课４５分钟为例，课堂的前２０分钟教师可以重点进行知识和概念的讲解，接下来的２０分钟教师应该让同学们结合刚才所学的知识进行针对性的练习，而课堂的最后５分钟要由教师做出针对性的总结，要让同学们发现自己在学习中存在的主要问题．课堂教学环节的划分对同学们的知识内化有非常重要的帮助，而且有助于同学们快速地提出自己在学习过程中遇到的问题，教师帮助学生答疑解惑．５．高效结合圆锥曲线的几何性质与平面性质解决圆锥曲线的问题，首先需要同学们清晰地把握不同类型的圆锥曲线，以及在解题过程中需要正确掌握哪些性质．同学们学习的圆锥曲线主要包括椭圆㊁双曲线和抛物线这三种类型，而每一种圆锥曲线的类型都有需要同学们重点区分的性质内容．作为平面几何的知识，从平面和几何这两个角度进行性质的分析，更能让同学们自身的逻辑思维得到加强．通过这些综合分析，同学们进行问题的探索，从而更加扎实地掌握不同圆锥曲线的差异性知识，达到自身能力的提升．在进行问题的讲解时，各位教师需要找到相应的例题让同学们辅助训练，题目的考查也应该分别从几何性质和平面性质这两个角度来完成，这样才可以达到让学生学以致用的教育目的．６．奠定扎实的基础再完成方式方法的总结教学的目的并不仅仅是让同学们能够在考试中取得优异的成绩，圆锥曲线的相关问题与同学们的日常生活有着非常紧密的联系，所以在教学中各位教师必须注重对学生思维能力的训练．正确的方式方法对于同学们来讲是非常重要的，灵活使用不同方法解决问题需要同学们扎实掌握相关知识的基础，这是进行学习和问题探究的核心．通过对近几年来圆锥曲线问题的考查的总结，我们发现在大部分情况下，简单题目的考查都是从一些标准方程和定义的角度出发的，每一道题目都涵盖了很多基本的知识点，所以这些基础知识对同学们来讲是最应该掌握的内容．圆锥曲线对于最值问题㊁运动轨迹问题以及对称性的问题的考查会在综合题目中经常出现，如果无法达到对基础知识的融会贯通，同学们的学习一定是存在漏洞的，学生在解题的过程中也难免会出现不必要的丢分，不利于学生学习信心的建立，也无法帮助同学们总结正确的方式方法．越简单的东西越应该引起教师和同学们足够的重视，这样教师才能通过这些简单知识进行突破，帮助同学们实现扎实稳步的提升．７．改变学生的课堂参与形式，开展合作学习由于课堂时间是相对有限的，各位教师要想在课堂上实现更高效率的教学，要从根本上改变学生在课堂上的参与形式．一方面，传统的课堂教学大部分情况下都是教师在讲台上自顾自地讲解，同学们在讲台下的听课效率很难得到保证，而且教师在向同学们提出问题的时候，最多也就是找到一两个同学来回答问题，并没有好的办法保证每一个学生都参与到课堂当中．所以，如果同学们在课堂上的参与形式能够发生有效的转变，我们则可以通过其他力量的监督来保证每一个学生的学习效率．比如说，开展合作学习的模式，将同学们按照个人能力的等级划分为不同的小组，保证每一个小组的学习水平是相对均等的，之后让同学们围㊀㊀㊀㊀㊀绕着教师提出的问题展开有针对性的讨论，每一个同学在小组讨论中都能发挥出自己的作用，能力相对较差的学生也可以听小组其他成员的讲解而有所收获．这样的教学形式能够让每一个同学的课堂参与度得到保证，也能通过形式的改变实现课堂时间利用率的提高．值得注意的是，教师在给同学们划分学习小组的时候可以考虑同学们提出的分组意见，但是要避免同学们在分组过程中以与其他某位同学关系好㊁有共同语言作为分组的依据，否则很容易出现教师在课堂上给出合作讨论的时间，学生讨论的内容却并非课堂学习问题的情况．教师还要保证每一个小组的能力是比较协调的，组内尽可能要有学习能力强的学生，带动着学习能力相对较弱的学生．８．创设情境激发学生学习兴趣在高中数学的教学实践中，兴趣对于学生学习的引导有着非常重要的作用，激发学生学习兴趣是一种推动学生主动学习㊁自主学习的重要方式．所以教师在高中数学教学实践中要能够有效地激发学生的学习兴趣，令其主动地去思考数学中的问题，能够在对数学知识的分析和探究过程中在脑海中形成一个 为什么会是这样？ 的疑问．这样才能够推动学生融入教学实践中，帮助学生更好地解决在数学认识与学习上的冲突，让学生对数学知识的理解有一个更加全面的认知，更好地在脑海中构架一个良好的数学知识的框架．以椭圆知识的教学为例，教师能够通过以下的方法来为学生创设相应的教学情境：在教学的开始，教师先为学生带来一些材料：一块纸板㊁两个图钉㊁一根细绳，向学生展示了这些材料之后，教师再向学生提出一组问题来引导学生进行思考和探究：（１）如果运用这些纸板㊁图钉和细绳去画一个椭圆，你们认为条件是什么呢？要怎样画才能够得到一个标准的椭圆呢？（２）如果在不改变细绳长度的前提之下，改变图钉之间的距离，那么画出来的图形有什么不一样吗？为什么会出现这样的变化呢？如果两个图钉之间的距离变成０，也就是两个图钉重合为一个，那么又会画出什么样的图形呢？（３）通过以上的实践探究活动，你们能够了解到椭圆是一个以什么运动轨迹形成的图形吗？你们在实践中又能够获得什么样的总结呢？教师通过以上的数学实践以及教师在操作中向学生提出的问题引导，能够有效地帮助学生创设一个更加具体的数学学习情境，让学生在情境的引导之下更有积极性和主动性，有效激发学生的思维，让学生进行思考和探究，同时借助数学的实践以及问题的引导，让学生在数学课程的学习中有更好的学习体验以及知识学习的收获，让学生在情景氛围之中获取感性的认知，这对高中数学圆锥曲线的教学可以起到良好的促进作用．９．引导学生尝试探究与协作交流在高中数学教学实践中，实践的探究以及学生之间的协作交流能够让学生对于知识的学习更加深入，能够让学生对于某一个知识点有一个更加深入的学习，有效地提高学生对知识的学习和吸收．在高中数学圆锥曲线的教学实践中，教师要能够让学生在不同的形式引导之下去进行探究，通过探究强化学生对圆锥曲线知识的学习㊁理解和拓展．首先，教师要引导学生在构建主义中进行探究．在探究的过程中，教师要引导学生善于利用多种多样的数学思维方法去进行探究，来构建一个更加全面的数学思维体系．在高中数学的学习中，学生最为主要的数学思想有等价转化㊁方程思想㊁数形结合思想以及类比思想等等，学生要能够灵活地运用这些思想去进行数学知识的探究．例如对于圆锥曲线知识的学习，学生通过类比的思维方法去进行学习，实现对数学知识的举一反三与触类旁通．长期在这样的思维引导之下，学生在高中数学学习的过程中能够更加轻松，同时能够更好地对圆锥曲线等比较复杂㊁难度大的知识进行理解和吸收．学生在学习完椭圆的知识之后，要能够运用同样的学习方法对双曲线的知识进行学习和探究．其次，教师要引导学生在反思中进行探究．反思是学生在数学知识学习过程中的一种核心的思维活动，能够让学生在对新知识的学习过程中有意识地从多维度㊁多角度和多层面去进行知识的学习㊁分析和思考，从而对新知识的本质以及规律有一个全面的掌握和学习．例如在教学 椭圆第二定义 的知识过程中，教师将知识作为一种例题的形式让学生去进行探究和分析，通过引导学生多角度思考和解决例题，来让学生在无形中加深对椭圆第二定义知识的学习和理解，从而更好地提高学生在圆锥曲线知识中学习的效率，同时能够帮助教师有效地突破传统教学中的重难点，促进高中数学圆锥曲线教学模块教学效率的提升．总而言之，课堂上的教学需要教师结合同学们的实际情况．教师通过更加简单直观的方式让同学们加深对基本概念的认知与运用，重视教材中基础知识的呈现，并且有针对性地花费更多的时间让同学们打好基础，令其通过扎实的训练，实现个人知识体系的完善，只有学生熟练地掌握基本内容后才可以锻炼解题的技巧，以此为学生的综合发展奠定基础．ʌ参考文献ɔ［１］宋德银．借助构造法㊀打破圆锥曲线 藩篱 ［Ｊ］．数理化解题研究，２０２０（３４）：１１－１２．［２］王素荣．论高中数学圆锥曲线解题技巧［Ｊ］．数理化解题研究，２０２０（３４）：３５－３６．［３］姜蕾．高中数学圆锥曲线题的易错点分析［Ｊ］．课程教育研究，２０２０（４８）：７３－７４．。
高中数学圆锥曲线教学的优化策略
教海探索高中数学圆锥曲线教学的优化策略■杨大伟摘要：新的课程标准对学生自主学习能力的锻炼提出了更高的要求，对于高中生来说，在数学课程的难度和层次都不断加深的情况下，如何采取有效的教学策略以维持良好的教学效果是值得我们深思的问题。
本文以高中数学圆锥曲线的教学为例，浅析如何实施有效教学策略.关键词：高中数学；圆锥曲线；教学策略；优化与提升由于圆锥曲线相关的知识内容较为抽象，采取常规的教学模式显然无法使学生正确理解整个知识点的内涵，所以，教师要站在学生的角度，设计出能够满足学生学习需求的教学方案，实际教学活动开展的过程中，充分结合经典例题，使学生能够融会贯通，理解如何快速完美地解答圆锥曲线题目。
一、从概念入手，做好基础教学对于高中学生来说，圆锥曲线的内容属于在学习的前期阶段未涉及过的课程内容，且从这类知识的概念特点上来看，其也属于抽象性较强的一种概念。
因此，教师在教学过程中，应当通过一定的实例观察和分析，让学生对这部分知识内容的本质和内涵有一个由浅入深的理解过程。
例如，在讲解圆锥曲线方程这一章节时，教师应当认知到，方程和相应的图形实际上是可以实现相互转化的。
而图形的观察相对复杂程度更高的方程理解来说更具有直观性。
所以，教师在进行相关概念的导入时，应当积极从生活实例中寻找圆锥曲线形状的模型，先让学生从图形的外观上进行观察和体会，再进一步回归到教材内容中，将方程与具体图形之间的转换关系进行分析，帮助学生明确和加深对这部分概念的理解。
有了良好的概念理解基础，学生才能够在进一步的实际问题的应用中掌握科学的方法。
二、以几何课程的视角，实施解题步骤分析在完成了基础知识学习的环节后，圆锥曲线的相关内容的学习目的在于通过实际应用解决数学问题。
通过分析总结不难发现，要想合理地利用圆锥曲线的原理和数学思维解决实际问题，学生应当具备以下三个方面的基础知识：第一，函数方程知识。
第二，数形结合思想。
第三，数学转换思维。
从这三个方面来看，都涉及一定的几何知识。
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法【摘要】圆锥曲线问题是数学中的经典难题，研究其解决方法对于深入理解数学的基本概念具有重要意义。
本文分别介绍了利用几何性质、代数方法、解析几何方法、计算机辅助方法和综合方法解决圆锥曲线问题的过程及特点。
通过比较各种方法的优缺点，给出了适用场景和方法选择的建议。
未来，随着数学技术的不断发展，可以进一步深入研究和探索圆锥曲线问题，为数学领域的发展做出更大的贡献。
通过本文的介绍，读者可以对解决圆锥曲线问题有一个全面而深入的了解，为相关领域的学习和研究提供重要参考。
【关键词】圆锥曲线问题、椭圆、双曲线、抛物线、利用几何性质、代数方法、解析几何方法、计算机辅助方法、综合方法、优缺点比较、适用场景、未来发展方向。
1. 引言1.1 什么是圆锥曲线问题圆锥曲线问题是指在平面几何学或代数几何学中研究与圆锥曲线相关的一类数学问题。
圆锥曲线是由平面上的一固定点（焦点）和一条不过焦点的直线（准线）确定的一类具有特殊性质的曲线。
常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹，双曲线是平面上到两个固定点的距离之差等于常数的点的轨迹，而抛物线则是平面上到一个固定点的距离等于到一条固定直线的距离的点的轨迹。
这些曲线在几何形态和性质上有着独特的特点，因此对它们的研究具有重要的意义。
圆锥曲线问题不仅在数学理论研究中具有重要价值，而且在实际应用中也有着广泛的应用。
比如在工程学、物理学、经济学等领域，都有着对圆锥曲线问题的需求和应用。
深入研究和解决圆锥曲线问题，对于提高数学理论水平和促进实际应用具有重要的作用。
1.2 研究圆锥曲线问题的意义研究圆锥曲线问题具有重要的理论和实际意义。
圆锥曲线在几何学和代数学中有广泛的应用，可以描述各种自然现象和工程问题。
椭圆、双曲线和抛物线在物理学中的光学、力学、天体运动等领域都有重要应用。
研究圆锥曲线问题可以促进数学知识的深入理解和发展，探讨不同的解决方法和技巧，对于培养数学思维和解决问题的能力具有重要意义。
优化高中数学圆锥曲线课堂教学的有效策略
优化高中数学圆锥曲线课堂教学的有效策略
高中数学圆锥曲线的教学在各个学校教室里是十分重要的一部分，一种有效的教学策略往往会带来出色的学习效果。
人们在针对高中数学圆锥曲线的教学时，应能深入思考，探求有效更科学的策略，以提升圆锥曲线教学的质量，使得学生能够更好的学习这一部分课程。
首先，老师应该加强课前准备工作，比如提前准备教学计划、教案和一些直观的视频资料，利用学前预习等手段，熟悉自己在课堂上所要教授的内容，以此建立更加科学优秀的教学思路，老师还要对学生教学理解有清晰的意识，避免过于抽象的理论性知识重复讲解，其次就是充分调动学生的学习积极性。
应该提出让学生兴趣大增的尝试实践活动，如搭建圆锥模型，使其在积极实践活动中，养成良好的学习习惯。
再者，在课堂教学流程中，老师应当保持课堂的活跃度，不断通过提出有意义的实际案例，游戏活动以及小结总结，调动学生的学习积极性，减少学生的困惑，增进理解，另外，还可以借助现代科技服务于课堂学习，比如手机讲解程序，在线讨论等，利用各种数字的技术手段激发学生的学习积极性。
另一方面，教师还应充分利用自身的特性及认知来协助学生学习，引导学生利用系统思维将复杂内容分解，构建圆锥曲线知识体系，加深理解。
有时候，老师可以请学生共同参与编写小结，总结当课堂上所学概念，不仅可以提高班级整体学习水平，还可以促进学生在课堂教学过程中的合作。
以上就是改进高中数学圆锥曲线课堂教学的有效策略，希望通过以上的推荐，使高中数学圆锥曲线的学习不再枯燥乏味，让学生能够轻松应对，乐于学习。
圆锥曲线问题中减少运算量的五种策略
x
∈
π 0,
都有
g ( x)
π >g
= 1, 所以 sin x >
2
2
4 π2
x2
,
故选
D.
第 1期 高中数学教与学
例 2 (2007年安徽高考题 ) 如图 2, F1 和
F2
分别是双曲线
= 1 ( a > b > 0) 的焦
距为 2, 以 O 为 圆 心 , a 为 半 径 作 圆 , 过 点
P a2 , 0 作圆的两条切线互相垂直 , 则离心率 c
e=
.
解 如图 4,切线 PA, PB 互相垂直 ,又半
径 OA ⊥ PA,所以 & OA P是等腰直角三角形 ,
故 a2 = 2a, 解得 e = c = 2, 故填 2.
方程 ;
( 2) 试判断是否存在这样的 λ,使得 A, B ,
C, D 四点在同一个圆上 ?并说明理由.
分析 ( 1) 设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 则有
3x21 + y21 = λ,
①
3x22 + y22 = λ.
②
① - ②, 得 3 ( x1 - x2 ) ( x1 + x2 ) + ( y1 -
y2 ) ( y1 + y2 ) = 0.
依题意 , x1 ≠ x2 , 所以 kAB
= - 3 ( x1 + x2 ) . y1 + y2
因为 N ( 1, 3) 是 AB的中点 , 所以 x1 + x2 =
2, y1 + y2 = 6, 从而 kAB = - 1. 又 N ( 1, 3) 在椭
圆锥曲线教学的几点策略
圆锥曲线教学的几点策略圆锥曲线是高中数学中的一个重要内容，它包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等几何图形。
它的性质和特点不仅在几何学中有重要的应用，而且在物理学、工程学和计算机科学等领域也有广泛的应用。
在教学圆锥曲线的过程中，教师应该采取一些策略，使学生能够更好地理解和掌握这一内容。
下面我们来谈谈圆锥曲线教学的几点策略。
教师在教学过程中应该引导学生深入理解圆锥曲线的定义和性质。
圆锥曲线是通过平面和圆锥的交叠得到的曲线，它们的定义可以通过几何的方法来描述，教师要求学生仔细观察图形，理解曲线的特点和几何意义。
教师也应该引导学生通过代数方法来理解圆锥曲线，例如用坐标系表示曲线方程，通过代数运算来发现曲线的性质。
通过多种方式深入理解圆锥曲线的定义和性质，可以使学生掌握知识更加牢固，理解更加深刻。
教师要注重激发学生的兴趣，培养他们对圆锥曲线的探究精神。
圆锥曲线是一个富有趣味性的数学内容，它蕴含着丰富的几何意义和数学奥妙，教师可以通过举一反三的方法，引导学生提出自己的问题和疑惑，促使学生主动思考和探索。
在教学过程中，教师可以设计一些生动有趣的例题，引导学生进行讨论和思考，让学生从探究过程中获得快乐和成就感。
通过激发学生的兴趣，培养他们对圆锥曲线的好奇心和探究精神，可以使学生更加主动地去学习和理解这一内容。
教师还应该重视培养学生的解决问题的能力和实际应用能力。
圆锥曲线的性质和特点不仅在数学中有重要的应用，而且在物理、工程、计算机等领域也有广泛的应用。
教师在教学过程中应该注重引导学生运用所学的知识解决实际问题，培养他们的实际应用能力。
在教学抛物线的轨迹问题时，教师可以给学生提供一些物理实验的数据，引导学生用数学方法来拟合曲线，求解实际问题。
通过让学生运用所学知识解决实际问题，可以使学生更加深入地理解和掌握圆锥曲线的知识，提高他们的实际应用能力。
教师要注重巩固和扩展学生的知识。
圆锥曲线是一个较为复杂的数学内容，它包括了大量的定义、性质和定理，教师在教学过程中应该引导学生进行系统的总结和归纳，夯实基础知识。
圆锥曲线技巧提升篇：韦达定理联立及弦长问题
设点 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ), D(x4 , y4 ),
因为 AC 与 BD 同向，且|AC|＝|BD|，故 | AC | | CB || BD | | CB |, | AB || CD |,
联立
y kx x2 4
y
1 ,
整理得
x2
B 两点都在曲线上时，通常称为弦长公式，根据前面的根差形式，弦长即可表达为：
| AB |
1 k 2 | x1 x2 |
1
k2
b2
△ a2k2
若是反设直线 x ty 1 ，则：
| AB |
1
1 t2
x1 x2
1 t2
y1 y2
特别地，在抛物线 y2 2 px( p 0) 中，若直线 AB 过焦点 F，根据抛物线定义，有
x4
16k 9 8k 2
64 9 8k
，所以
| CD |
1 k 2 | x1 x2 |
1 k2
( x1
x2 )2
4x1 x2
48(1 k 2 ) 9 8k 2
，
由|AB|＝|CD|，即
4k 2
4
48(1 k 2 9 8k 2
)
，
整理即得 (8k 2 3)(k 2 1) 0 ，解得 k 2 1 (舍)，或 k 2 3 , k 6 ，
| AB |
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
1 k 2 | x1 x2 |
1
1 2 k
|
y1
y2
|
两点距离公式任何时候都可以使用，而若知道 A、B 两点所在直线的斜率，只需再知道它们横坐标
或纵坐标差值即可求两点距离．对于这两种情形，在后续的题型中都将出现，应懂得灵活应用．当 A、
【课件】圆锥曲线问题的优化运算策略
圆锥曲线问题运算量大，综合性强，因此，在解答圆锥曲线问题时必须研究技巧与策 略，寻求突破点，选用适当方法，以求做到选择捷径、简化计算、避繁就简、合理解 题，收到事半功倍之效．
解法1 回归定义，以逸待劳
回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，圆锥曲线的定义既是有 关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．若能根据已知条件，巧妙 灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．
当∠F1F2P＝90˚时，有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2， 可得|PF2|＝3，此时|PF1|＋|PF2|＝8； 而△F1PF2为锐角三角形， 数形结合可得|PF1|＋|PF2|∈(2 7，8)． 答案：(2 7，8)． [评析] 本题主要考查双曲线的定义、标准方程与几何性质，焦点三角形问题．应 用极端策略来解决一些问题时，可以避开抽象、复杂的运算，独辟蹊径，降低解题 难度，优化解题过程，起到事半功倍的效果．
整理得 m＝3－2t2(当 t≠0 时)， 把 m＝3－2t2 代入 Δ＝16t2＋16m＞0， 可得 3－t2＞0，即 0＜t2＜3. 又由于圆心到直线的距离等于半径， 即 d＝|51－＋mt2|＝ 2＋1＋2t2t2＝2 1＋t2＝r， 而由 0＜t2＜3 可得 2＜r＜4. 答案：D [评析] 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，直线的方程与应用，点到直线的距 离公式，考查运算求解能力、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、 分类与整合思想等．巧妙通过直线方程的设置，引入参数，利用直线与圆锥曲线的 位置关系加以转化，结合题目条件通过分析参数的取值范围达到解决问题的目的．
解析：设双曲线的左焦点为F1，根据双曲线的定义可知|PF|＝2a＋|PF1|， 则△APF的周长为|PA|＋|PF|＋|AF|＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱPA|＋2a＋|PF1|＋|AF|＝|PA|＋|PF1|＋|AF|＋ 2a， 由于|AF|＋2a是定值，要使△APF的周长最小， 则|PA|＋|PF1|最小，即P，A，F1共线， 由于A(0，6 6)，F1(－3，0)， 则直线AF1的方程为－x3＋6y 6＝1，即x＝2 y6－3， 代入双曲线方程整理可得y2＋6 6y－96＝0， 解得y＝2 6或y＝－8 6(舍去)，
专题六圆锥曲线的综合问题
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题
探究提高 思维启迪 解析 得 (3 ＋ 4k2)x2 ＋ 4k(3 － 2k)x ＋ 3 2 两个焦点为(－1,0)、(1,0)． 42－k －12＝0. (1)求椭圆 C 的方程； 设 E(xE，yE)，F(xF，yF)． (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点， 因为点 A1，3在椭圆上， 2 3 2 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率 42－k －12 所以 xE＝ ， 3＋4k2 互为相反数， 证明直线 EF 的斜率 3 yE＝kxE＋2－k.又直线 AF 的斜率与 AE 为定值，并求出这个定值． 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代 3 2 42＋k －12 替 k，可得 xF＝ ， 3＋4k2
难点正本 疑点清源
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2 3 4
答案
8
4x－y－7＝0
解析
7 2
3 －4
5
x2 2 －y ＝1 4
题型分类
思想方法 练出高分
基础知识
题型分类·深度剖析
题型一
例1
圆锥曲线中的范围、最值问题
2
已知抛物线 C：y ＝4x，过
思维启迪
解析
探究提高
点 A(－1,0)的直线交抛物线 C 于 → → P、Q 两点，设AP＝λAQ. (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F； 1 1 (2)若 λ∈3，2，求 PQ 的最大 值．
题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题
思维启迪 解析
微专题圆锥曲线几何条件的处理策略
微专题圆锥曲线几何条件的处理策略微专题圆锥曲线几何条件的处理策略圆锥曲线处理心法：一、几何条件巧处理，事半功倍！二、谋定思路而后动，胸有成竹！三、代数求解不失分，稳操胜券！四、解后反思收货大，触类旁通！ 1.平行四边形处理策略例1.（2015，新课标2理科20）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能，44+【解析】试题分析：(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点,A B 的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB 的中点和直线l 的斜率；设直线l 的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB 的中点，并寻找两条直线斜率关系；（Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线OM 方程并与椭圆方程联立，求得M 坐标，利用2P M x x =以及直线l 过点(,)3mm 列方程求k 的值．试题解析：(Ⅰ)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．将y kx b =+代入2229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故12229M x x kbx k +==-+， 299M M by kx b k =+=+．于是直线OM 的斜率9M OMM y k x k ==-，即9OM k k ?=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠．由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,y x k x y m ?=-+=?得2222981P k m x k =+，即P x =．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x ==2(3)23(9)mk k k -?+．解得14k =24k =．因为0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l 的斜率为44+OAPB 为平行四边形．考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．2.直角三角形处理策略例2.椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2（1）求椭圆的方程；2214x y += （2）过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于两点,E F ，O 为坐标原点，若OEF ?为直角三角形，求直线l 的斜率解析：（2）根据题意，过点(0,4)D 满足题意的直线斜率存在，设:4l y kx =+，联立22414y kx x y =++=??消去y 得22(14)32600k x kx +++=， 222(32)240(14)64240k k k ?=-+=- 令0?>，解得2154k >。
(完整版)圆锥曲线解题技巧和方法综合(经典)
圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1. 直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、 一般式。
(2) 与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率 k tan , [0, )② 点 到 直 线 的 距 离 d Ax 0 By 0 CA 2B 2tan3)弦长公式直线 y kx b 上两点 A(x 1, y 1), B( x 2 , y 2 )间的距离： AB 1 k 2 x 1 x 2(1 k 2 )[( x 1 x 2)2 4x 1x 2] 或 AB 1 k 12 y 1 y 2 (4)两条直线的位置关系①l 1 l 2 k 1k 2=-1 ② l 1 //l 2 k 1 k 2且b 1 b 22、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)标准方程：22x y1(m 0,n 0且 m n) mn 距离式方程：(x c)2 y 2 (x c)2 y 22a 参数方程：x acos ,y bsin(2)、双曲线的方程的形式有两种③夹角公式：k21222标准方程：x y1(m n 0)mn距离式方| (x c)2 y 2 (x c) 2 y 2 | 2a(3) 、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆：2b；双曲线：2b；抛物线：2 p aa(4) 、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？b 2tan2 P 在双曲线上时， S F PF b cot| PF |2 | PF |2 4c 2 uuur uuuur uuur uuuur 其中 F 1PF 2,cos |PF 1||PF 1||P |F P 2F |2 | 4c ,u P u F ur1?u P u Fuur 2|u P uu F r 1 ||uu P u Fur2|cos(6) 、 记 住 焦 半 径 公 式 ： ( 1 )椭圆焦点在 x 轴上时为 a ex 0 ;焦点在 y 轴上时为 a ey 0，可简记为“左加右减，上加下减”(2)双曲线焦点在 x 轴上时为 e|x 0 | a(3) 抛物线焦点在 x 轴上时为 | x 1 | 2p ,焦点在 y 轴上时为 | y 1 | 2p(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备1、点差法(中点弦问题)2y1的弦 AB 中点则有3如： 已知 F 1、 22F2是椭圆 x4 y3 1的两个焦点， 平面内一个动点 M 足 MF 1MF 2 2 则动点 M 的轨迹是(A 、双曲线；B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线(5)、焦点三角形面积公式： P 在椭圆上时， S F 1PF 2设 A x 1, y 1B x 2,y 2 ， M a,b 为椭圆 x42 2 2 2 2 2 2 2 x 1 y 1 1， x 2 y 2 1；两式相减得 x 1 x 2y 1 y 24 3 4 3 4 3x 1 x 2 x 1 x 2y 1 y 2 y 1 y 23a4 3kAB =4b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到 一个二次方程， 使用判别式 0，以及根与系数的关系， 代入弦 长公式，设曲线上的两点 A( x 1, y 1), B(x 2 , y 2 ) ，将这两点代入曲线方 程得到 ○1 ○2 两个式子，然后 ○1-○2 ，整体消元······，若有两个 字母未知数， 则要找到它们的联系， 消去一个，比如直线过焦点， 则可以利用三点 A 、B 、 F 共线解决之。
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法圆锥曲线问题是高中数学中比较重要的一种问题。
解决圆锥曲线问题需要掌握一定的数学知识和技巧。
本文将从几种不同的角度介绍解决圆锥曲线问题的几种方法。
一、代数法代数法是解决圆锥曲线问题较为基础的一种方法。
对于给定的圆锥曲线，我们可以采用代数方式将其表示出来，然后通过对代数式进行化简、拆分等运算来求解问题。
以椭圆为例，设椭圆的方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$其中，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
若已知椭圆的长半轴和短半轴分别为5和3，求椭圆的周长和面积。
解题思路：首先，根据椭圆的方程，可以得到：周长：$C=4aE(\frac{b^2}{a^2})$面积：$S=\pi ab$其中，E是椭圆的第二类完全椭圆积分。
代入已知数据，可以得到：周长：$C=4\times 5E(\frac{9}{25})\approx 20.0124$面积：$S=\pi\times 5\times 3\approx 47.1239$二、几何法解题思路：首先，根据双曲线的性质，可以得到：离心率：$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$其次，根据题意，双曲线的长轴长度为6，所以有：$2a=6$即：$a=3$又因为焦点为(-3,0)，(3,0)，所以有：$2c=6$即：$c=3$将已知数据代入公式，可以得到：$b^2=c^2-a^2=9-9=0$所以：离心率：$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+0}=1$三、投影法以抛物线为例，设抛物线的方程为：$y^2=4px$其中，p为抛物线焦点到抛物线的顶点的距离。
若已知抛物线焦点为(0,2)，顶点为(0,0)，求抛物线的焦距和面积。
其次，根据题意，抛物线的焦点为(0,2)，顶点为(0,0)，所以有：$p=2$四、向量法以圆为例，设圆的方程为：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$其中，(a,b)为圆心坐标，r为圆的半径。
高中数学圆锥曲线解题技巧对策计划
圆锥曲线 圆锥曲线的两定义：第必定义中要重视“括号〞内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 必定要大于F 1F 2当常数等于F 1F 2时，轨迹是线段F 1F 2 ，当常数小于F 1F 2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数 2a ，且此常数2a 必定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值〞与2a ＜|F 1F 2|不行忽视。
假定2a ＝|F 1F 2|，那么轨迹是以F 1，F 2为端点的两条 射线，假定 2a ﹥|F 1F 2|，那么轨迹不存在。
假定去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。
如方程(x 6)2 y 2 (x 6)2 y 2 8表示的曲线是_____〔答：双曲线的左支〕 2.圆锥曲线的标准方程 〔标准方程是指中心〔极点〕在原点，坐标轴为对称轴时的标准地点的方程〕 ：〔1〕椭圆：焦点在x 轴上时x2y 21〔ab0〕，焦点在y 轴上时y2x2＝1〔ab 0〕。
方程Ax 2By 2Ca 2b 2a 2b 2表示椭圆的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A ，B ，C 同号，A≠B〕。
假定x,y R ，且3x 22y 2 6，那么x y 的最大值是____，x 2 y 2的最小值是___〔答：5,2 〕〔2〕双曲线：焦点在x 轴上：x2y 2=1，焦点在y 轴上：y2x 2＝1〔a 0,b 0 〕。
方程 Ax 2By 2 C 表示双曲线a 2b 2a 2b 2的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A ，B 异号〕。
如设中心在座标原点O ，焦点F 1、F 2在座标轴上，离心率e2的双曲线 C 过点P(4,10)，那么C 的方程为_______〔答： x 2 y 2 6 〕〔3〕抛物线：张口向右时y 22px(p0)，张口向左时y 2 2px(p0)，张口向上时x 22py(p0)，张口向下时x 22py(p0)。
优化运算策略,提升运算素养--例谈圆锥曲线中的定值问题
福建中学数学
2021 年第 6 期
优化运算策略，提升运算素养
——例谈圆锥曲线中的定值问题
梁淮森 福建省南安第一中学（362300）
圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高
考考查的重点和热点，知识综合性较强，对学生逻
辑思维能力、计算能力等要求较高，重点考查学生
函数与方程思想、转化与化归思想的应用．定值（定
（1）求点 P 的轨迹 E 的方程；
（2）若 Q(1，3) ，过 C 的直线与 E 交于 M，N 两 2
点，与直线 x = 4 交于点 K ，记 QM，QN，QK 的斜率
分别为 k1，k2，k3，求证：Fra bibliotekk1 k2
− k3 − k3
为定值．
1 思路探析——明晰算理
本题第（1）小题思路探析略，答案为 x2 + y2 43
（本文系福建省教育科学“十三五”规划 2019 年度常规课题《提升学生 运算素养的高中数学解题教学策略研究》（立项编号：FJJKXB19-620） 部分研究成果）
直线的参数方程及其应用
徐志刚 福建省福安市第一中学（355000）
若直线 l 过 P0 (x0，y0 ) 倾斜角为 α ，则此直线参
=x 数方程为 =y
=
−1 ，即证明 k1
−k3 =−(k2 − k3 ) ，亦可解决问题．
2 详解示范——优化运算
解 （1）P 的轨迹 E 的方程为 x2 + y2 = 1( y ≠ 0) 43
（过程略）；
（2）解法 1 设 M (x1，y1) ， N (x2，y2 ) ，
设直线 MN 的方程为=y k(x −1) ，
解法 2 设 M (x1，y1) ， N (x2，y2 ) ， 设直线 MN 的方程为=x my +1 ，
圆锥曲线中运算的优化策略
圆锥曲线中运算的优化策略发表时间：2020-11-18T15:44:26.173Z 来源：《中小学教育》2020年8月23期作者：刘丰[导读] 在学习高中数学知识的时候,圆锥曲线是数学课程中的重要学习内容,刘丰辽西育明高级中学121000摘要:在学习高中数学知识的时候,圆锥曲线是数学课程中的重要学习内容,但是在学习圆锥曲线知识的时候,往往比较困难,在考卷出现相关圆锥曲线题目的时候,通常是以解答题的形式出现在试卷中,这就需要运用相对应的解题方法来掌握圆锥曲线的知识,能够对学习圆锥曲线知识带来一定的帮助。
关键词:圆锥曲线,运算的优化策略引言:圆锥曲线的能力考查在我国高考中一直以来是重点,同时也是一个教学难点,它一直以来都是让众多高中同学为此感到头痛。
在每年高考中,圆锥曲线一般都会出现在21或22题的位置,通常会被作为高考压轴题,同时在选择和填空题中也经常会受到考查,所以它占据的比例较大。
其主要特点之一是试题难度较大,并且试题运算量大,较难准确得分。
如何有效简化了在圆锥曲线中运算得这个问题,使得在这类运算题目中也能得到了比较理想的综合分数?我个人认为我们可以试着重点做好梳理下述几个工作方面。
一、把握好圆锥曲线的教学内容以及重点和难点。
圆锥曲线这一章主要包括三个椭圆、圆锥曲线和抛物线,那么就这三个圆锥曲线中的内容,椭圆和双曲抛物线的应用要求困难程度比较高,先是正确掌握与熟练理解,再是做到灵活组合应用,这两个曲线相比,椭圆尤为突出。
对双曲线图的要求基本上都是有所了解,只需要能掌握比较简单的基本定义、图象、性质、对圆形直线与双曲线的交点位置方向关系等其要求相对较低。
由于从今年高考来说我的大题基本上是一条直线与一个椭圆之间有关的,所以我们应该把更多的大题聚焦点全都放在这个椭圆上。
在圆锥曲线教材内容的课堂学习上应该多多地让学生自己动手进行参与,自己动手去进行探索寻求发现,比如:首先让一个学生根据教材的具体要求自己画出一个图形,然后根据自己画图的具体特点总结一个圆锥曲线的基本定义,再根据这个图形中的特点自己建立和系统地求一个标准化的方程,写出或者说出它的性质,不会的由其他学生自己研究出来完成。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解析：如图所示，因为|AD|＝|AC|，EB∥AC， 故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|， 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16， 从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4， 由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，
6
首页 上页 下页 末页
整理得 m＝3－2t2(当 t≠0 时)， 把 m＝3－2t2 代入 Δ＝16t2＋16m＞0， 可得 3－t2＞0，即 0＜t2＜3. 又由于圆心到直线的距离等于半径， 即 d＝|51－＋mt2|＝ 2＋1＋2t2t2＝2 1＋t2＝r， 而由 0＜t2＜3 可得 2＜r＜4. 答案：D [评析] 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，直线的方程与应用，点到直线的距 离公式，考查运算求解能力、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、 分类与整合思想等．巧妙通过直线方程的设置，引入参数，利用直线与圆锥曲线的 位置关系加以转化，结合题目条件通过分析参数的取值范围达到解决问题的目的．
8
首页 上页 下页 末页
解析：设双曲线的左焦点为F1，根据双曲线的定义可知|PF|＝2a＋|PF1|， 则△APF的周长为|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA|＋2a＋|PF1|＋|AF|＝|PA|＋|PF1|＋|AF|＋ 2a， 由于|AF|＋2a是定值，要使△APF的周长最小， 则|PA|＋|PF1|最小，即P，A，F1共线， 由于A(0，6 6)，F1(－3，0)， 则直线AF1的方程为－x3＋6y 6＝1，即x＝2 y6－3， 代入双曲线方程整理可得y2＋6 6y－96＝0， 解得y＝2 6或y＝－8 6(舍去)，
极端策略是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想，从有限到无限，从近似到 精确，从量变到质变．通过圆锥曲线问题的极端元素，灵活借助极端策略解题，可 以避开抽象及复杂运算，优化解题过程，降低难度，是简化圆锥曲线运算的一条有 效且重要途径． [例 4] (2016·高考浙江卷)设双曲线 x2－y32＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2.若点 P 在 双曲线上，且△F1PF2 为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________． [分析] 根据双曲线的定义得到关系式|PF1|＝|PF2|＋2，通过分类讨论，结合极限思 想确定当∠ F1PF2＝ 90˚时与当∠F1F2P＝ 90˚时关系式的最值，数形结合即可得 △F1PF2 为锐角三角形时关系式的取值范2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于 C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹 方程． [分析] 通过平行线的性质，结合圆的相关性质，通过三角形中等角对等边的转化确 定定值问题，并利用椭圆的定义来求解相应的轨迹方程．
7
首页 上页 下页 末页
解法3 数形结合、偷梁换柱
在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘 题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题． [例 3] (2015·高考全国卷Ⅰ)已知 F 是双曲线 C：x2－y82＝1 的右焦点，P 是 C 的左 支上一点，A(0，6 6)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________． [分析] 要求△APF 的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根 据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析 根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点 P 的位置，通过求解点 P 的坐 标进而利用三角形的面积公式来处理．
9
首页 上页 下页 末页
所以点P的纵坐标为2 6， 所以S△APF＝S△AFF1－S△PFF1＝12×6×6 6－12×6×2 6＝12 6.
答案：12 6 [评析] 本题主要考查双曲线的定义、标准方程与几何性质，直线方程，直线与双 曲线的位置关系等．
10
首页 上页 下页 末页
解法4 极端策略，围魏救赵
3
首页 上页 下页 末页
由椭圆定义可得点E的轨迹方程为x42＋y32＝1(y≠0)
[评析] 本题主要考查平行线的性质，圆的相关性质与三角形的性质，椭圆的定义与 轨迹方程的求解．圆锥曲线的定义揭示的是事物的本质属性．
4
首页 上页 下页 末页
解法2 巧设参数，变换主元
巧设参数的实质是通过引入参变量加以替换，使得圆锥曲线中相关或不相关的量统 一在参变量下，减少未知量的个数，这样解决问题更方便，同时可以进一步体会解 决问题中数学方法的灵活多变． [例 2] 设直线 l 与抛物线 y2＝4x 相交于 A，B 两点，与圆 C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0) 相切于点 M，且 M 为线段 AB 中点，若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是( ) A．(1，3) B．(1，4) C．(2，3) D．(2，4) [分析] 先设出直线 l 的方程 x＝ty＋m(这样可以避免讨论直线的斜率是否存在问 题)，根据直线与抛物线相交于两点得到 Δ＝16t2＋16m＞0，结合根与系数的关系与 中点坐标公式确定点 M 的坐标，利用直线 l 与圆相切，分别得到两直线垂直以及半 径的关系式，进而得以判断 r 的取值范围．
5
首页 上页 下页 末页
解析：不妨设直线l的方程为x＝ty＋m， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 代入抛物线y2＝4x并整理得y2－4ty－4m＝0， 则有Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m， 那么x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t2＋2m， 可得线段AB的中点M(2t2＋m，2t)， 而由题可得直线AB与直线MC垂直， 即kMC·kAB＝－1， 可得2t22＋t－m0－5·1t ＝－1，
专题提能课(6) 圆锥曲线问题的优化运算策略
圆锥曲线问题运算量大，综合性强，因此，在解答圆锥曲线问题时必须研究技巧与策 略，寻求突破点，选用适当方法，以求做到选择捷径、简化计算、避繁就简、合理解 题，收到事半功倍之效．
解法1 回归定义，以逸待劳
回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，圆锥曲线的定义既是有 关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．若能根据已知条件，巧妙 灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．