高中数学《圆锥曲线》解答题解法全归纳
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高中数学圆锥曲线解答题解法
题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二:弦的垂直平分线问题 题型三:动弦过定点的问题
题型四:过已知曲线上定点的弦的问题 题型五:向量问题 题型六:面积问题
题型七:弦或弦长为定值、最值问题 问题八:直线问题 问题九:对称问题
问题十、存在性问题:(存在点,存在直线y=kx+m ,存在实数,存在图形:三角形(等比、等腰、直角),四边形(矩形、菱形、正方形),圆)
题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系(简单题型未总结) 题型二:弦的垂直平分线问题
例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N :2
y x =交于A 、B 两点,在x 轴上是否存在一点E(0x ,0),使得
ABE ∆是等边三角形,若存在,求出0x ;若不存在,请说明理由。
解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+,0k ≠,11(,)A x y ,22(,)B x y 。 由2
(1)y k x y x
=+⎧⎨
=⎩消y 整理,得2222
(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点,得2
2
4
2
(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2
1
04
k <<
② 由韦达定理,得:212221,k x x k -+=-121x x =。则线段AB 的中点为22
211
(,)22k k k
--。 线段的垂直平分线方程为:
221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-,则2
11(,0)22
E k - ABE ∆为正三角形,∴2
11
(
,0)22
E k -到直线AB 的距离d 为32AB 。 22
1212()()AB x x y y =-+-2
2
2
141k k k -=
+2
12k d k
+=
222
23141122k k k k k -+∴
+=解得3913k =±满足②式此时05
3
x =。
【涉及到弦的垂直平分线问题】
这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程,往往是利用点差或者韦达定理........产生弦AB 的中点坐标M ,结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数,写出弦的垂直平分线L 的方程,然后解决相关问题,比如:求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围,求L 过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽,要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题,比如:弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
例题分析1:已知抛物线y=-x 2
+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ,则|AB|等于
解:设直线AB 的方程为y x b =+,由22123
301y x x x b x x y x b
⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨=+⎩,进而可求出AB
的中点11(,)22M b --
+,又由11
(,)22
M b --+在直线0x y +=上可求出1b =,∴220x x +-=,由弦长公式可求出2
21114(2)32AB =+-⨯-=.
题型三:动弦过定点的问题
例题2、已知椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为32,
且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。 (I )求椭圆的方程;
(II )若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点,直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点,试问直线MN 是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论
解:(I )由已知椭圆C 的离心率32c e a ==,2a =,则得3,1c b ==。从而椭圆的方程为
2
214
x y +=
(II )设11(,)M x y ,22(,)N x y ,直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+,由
122
(2)44
y k x x y =+⎧⎨+=⎩消y 整理得222
121(14)161640k x k x k +++-=12x -和是方程的两个根,
21121164214k x k -∴-=+则211212814k x k -=+,1121
414k y k =+,即点M 的坐标为211
22
11284(,)1414k k k k -++, 同理,设直线A 2N 的斜率为k 2,则得点N 的坐标为2
22
22
22
824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-12122
k k k k t -∴
=-+,直线MN 的方程为:121121
y y y y x x x x --=--,
∴令y=0,得211212x y x y x y y -=
-,将点M 、N 的坐标代入,化简后得:4x t
=
又
2t >,∴402t
<
<椭圆的焦点为(3,0)4
3t
∴
=,即433t = 故当43
3
t =
时,MN 过椭圆的焦点。 题型四:过已知曲线上定点的弦的问题
例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E :22
221x y a b
+= (0)a b >>上的三点,其中点A (23,0)是椭圆的右顶点,
直线BC 过椭圆的中心O ,且0AC BC =,2BC AC =,如图。(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程;(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ,使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =
对称,求直线PQ 的斜率。
解:(I)
2BC AC =,且BC 过椭圆的中心O
OC AC
∴=0AC BC =2
ACO π
∴∠=
又
A (23,0)∴点C 的坐标为(3,3)。
A (23,0)是椭圆的右顶点,23a ∴=,则椭圆方程为:
22
2112x y b
+= 将点C (3,3)代入方程,得2
4b =,∴椭圆E 的方程为
22
1124
x y += (II)
直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称,