三重积分ppt课件

第三节 三重积分
一、三重积分的概念与性质
二、三重积分的计算
1、直角坐标（投影法、截面法）
2、柱面坐标
精品课件
3、球面坐标
一、三重积分的概念与性质
讨论密度分布不均匀的物体的质量：
(1)一根细棒 ：
密度为 f(x)0,
a i b
n
M
lim
0
i1
f (i ) x i
b
f (x)dx a
(2)平面薄片： 密度为 f(x,y)0,
Dz
c z2
c
a
z2 1c2 b
z2 1c2
dz
精品课件
4 abc3
15
例5 (x z)d, v :x 2 y2 z1 x 2 y2.
解 关于yoz面对称， xdv 0
1z
0 z
2 ,
2
z
2 1,
2
D z1 : x2y2 z2 D z2 : x2y21z2
2 2 dz
1
zd 2 dz
作乘积 f(xi,yi,zi)vi
n
f(xi, yi,zi)vi
i1
精品课件
令为n个小区域中直径最，大者
若对Ω的任意分法， 及点(xi, yi,zi)的任意取法
当0时，和总趋于确定的极限 I ，
则称此极限I 为函数 f (x,y,z)在区域Ω上的三重积分.
被积函数
n
记为
f(x, y,z)dv
lim
2
z
D xy
2
x
0
o
y
2
x
2 dx dy
0
0
x
2 f(x, y,z)dz
0
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(3) :y1x2z2,x2z21 ,y1 所 . 围
y1
D xz
o
z
1 0 1
1x
精品课件
1
1 x2
1
dx
dz
f(x,y,z)dy
1
1 x2
1x2z2
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2、截面法
:c1zc2,(x ,y) D z.
ey2 sinx3dv0
关于 xo面 z 对,称 yz2关于x为奇函数，
yz2dv0
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(ey2six n 3y2z 3 )d v 3 dv
34 4
3
二、三重积分的计算
（一）直角坐标
用平行坐标平面的平面
来划分区域Ω ,
vxyz dvdxdyd精z品课件
f(x, y)dxdydz
1、投影法
M
n
lim
0
f(xi, yi,zi) v i
(xi , yi,zi)
i1
f(x, y,z)dv 精品课件
定义 设函数 f (x,y,z)在有界闭区域Ω上有界，
（1）分割 将Ω为 n 个区域 v1,v2,,vn
（2）近似 (x i,y i,z i) v i( i 1 ,2 ,,n )
（3）求和 （4）取极限
精品课件
y
D (i ,i )
n
Mlim 0
f (i ,i ) i
i1
f(x, y)dxdy
x
D
(3)空间立体：
密度为 f(x,y,z)0, M
(xi , yi,zi)
n
lim
0 i1
f(xi, yi,zi) v i
f(x, y,z)dv 精品课件
(3)空间立体：
密度为 f(x,y,z)0,
0 i1
f(xi,yi,zi)vi
积分区域 积分变量
体积元素
注：1、被积函数 f (x,y,z) 在有界闭区域Ω上连续，
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则 f (x,y,z) 在Ω上三重积分存在.
2、三重积分与二重积分有类似的性质.
(1)1dv 的体积
(2)对称性
设 关x于 o 面 y 对称 1与 ， 2两 分 部 成 分
zd
0
D z1
2
D z2
x
D z2
2
2
D z1
o
精品课件
y
2
1
2 zz2 dz 2 z(1z2) dz
0
2
8
（二）柱面坐标
设M(x y z)为空间内一点
M在xOy面上的投影点P 的极坐标为( )
则、 、z称为点M的柱面坐标 规定、 、z的变化范围为
M(x, y,z)
(2)Ω：平行于 x 轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
f(x,y,z)dv dydz x2(y,z)f(x, y,z)dx
D yz
x1(Байду номын сангаас,z)
(3)Ω：平行于 y 轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
精品课件
f(x,y,z)dv dxdz y2(x,z)f(x, y,z)dy
3、 f(x,y,z)dv
D (x, y)
dxdy
D xy
z2(x,y)
f
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(x, y,z)dz
z1(x,y)
4、 D x:y a x b ,1 (x ) y 2 (x )
f(x,y,z)dv
b
dx
2
(
x)
d
y
z2(x,y)f(x, y,z)dz
a
1( x)
z1(x,y)
0
0
o精品课件
1
1
x
2
y
1 1(x2x2x3)dx 1
40
48
例3将三重积分 f(x, y,z)dv化为三次积分
(1 ) :zx 2y2,yx 2,y 1 ,z0 所 . 围
z
D xy
1
o
y
1
1
1
x
1
1
x2y2
dx dy
f(x, y,z)dz
1
x2
0
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(2) :yx,y0,z0,xz所. 围
其中Dz是垂直z轴的平面截所得到的一个平面闭区域 则
f(x,y,z)dv c2 dz f(x, y,z)d
c1
Dz
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例4 解
:z2cd,v z:cax,22bDy22z : cz22ax22 1.by22
z2 1c2
.
z2dv
c
dz
z 2d
c
Dz
c z2dz d
c
D xz
y1(x,z)
例2 x,d :x v 0 ,y 0 ,z 0 ,x 2 y z 1 .
解
Ω在xoy面的投影区域
D xy
： 0x1,
0 y 1x. 2
xdv
1
1 x
dx 2 dy
0
0
1
1x
1 x2 y
0 xdz
z1
x [ 2 (1x2y)dy]dx
0
0
1
1x
x [(1x)yy2 2 ] dx
0
f(x ,y, z) f(x ,y,z)
f(x, y,z)dv
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2f(x, y,z)dv f(x,y, z)f(x,y,z)
1
例1 ( e y 2sx i3 n y2 z 3 ) d , v :x 2 y 2 (z 1 ) 2 1
解 关于 yo面 z 对,称ey2 sinx3关于x为奇函数，
(1)Ω：平行于z轴且穿过区域的直线与区域边界的交点
不多于两个.
zz2(x,y)
zz2(x,y)
zz1(x,y) D (x, y)
z精品z课1件(x,y) D (x, y)
步骤： zz2(x,y)
1、求Ω在xoy面的投影区域D xy ;
2、过(x, y)Dxy做平行与 z轴的
zz1(x,y)
射线 ，确定 z1 (x ,y)zz2(x ,y)