三重积分ppt课件
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课件：9.3三重积分
4) 根据2) 3)写出的积分限.
注 : xoy面上g j (x, y) 0( j 1,2,, s)的各截痕所围区域 若为闭区域,则不需要考虑Fi (x , y, 0) 0(i 1,2)各截痕.
2. 由曲面Fi (x, y, z) 0(i 1,2)所围
1). 作出F1(x, y, z) 0 的交线在xoy面上的投影L. F2 (x, y, z) 0
2) 确定Dxy :由L所围.
3) 确定z的上下限: 从Fi (x, y, z) 0(i 1,2)中解出 z fi (x, y)(i 1,2), 在Dxy中比较fi (x, y)(i 1,2)的
大小, 大的即为上限, 小的即为下限. 4) 根据2) 3)写出的积分限.
例 4 化三重积分 I f ( x, y, z)dxdydz为三
i1
f
(xi , yi , zi )Vi
其中 “ ” 称为三重积分号, 称为积分区域, f (x, y, z) 称为被积函数, dv称为体积元素, 直角坐标系下三重积分也
记为 f (x, y, z)dxdydz.
三重积分的性质与二重积分性质完全类似,
比如若 f (x, y, z)在上连续, 则 f (x, y, z)在上
含有x2+y2,则可考虑用
2
或z 1 r 2
柱面坐标积分.
2
o
y
令x=rcos, y=rsin, z=z,
则z 2, z 1 (x2 y2 )
x x2+y2=4 或 r=2
2
的柱面坐标方程分别为z 2, z 1 r 2 ,
且
1 r 2 z 2, 0 r 2,
2
0 2.
2
(x2 y2)dxdydz
注 : xoy面上g j (x, y) 0( j 1,2,, s)的各截痕所围区域 若为闭区域,则不需要考虑Fi (x , y, 0) 0(i 1,2)各截痕.
2. 由曲面Fi (x, y, z) 0(i 1,2)所围
1). 作出F1(x, y, z) 0 的交线在xoy面上的投影L. F2 (x, y, z) 0
2) 确定Dxy :由L所围.
3) 确定z的上下限: 从Fi (x, y, z) 0(i 1,2)中解出 z fi (x, y)(i 1,2), 在Dxy中比较fi (x, y)(i 1,2)的
大小, 大的即为上限, 小的即为下限. 4) 根据2) 3)写出的积分限.
例 4 化三重积分 I f ( x, y, z)dxdydz为三
i1
f
(xi , yi , zi )Vi
其中 “ ” 称为三重积分号, 称为积分区域, f (x, y, z) 称为被积函数, dv称为体积元素, 直角坐标系下三重积分也
记为 f (x, y, z)dxdydz.
三重积分的性质与二重积分性质完全类似,
比如若 f (x, y, z)在上连续, 则 f (x, y, z)在上
含有x2+y2,则可考虑用
2
或z 1 r 2
柱面坐标积分.
2
o
y
令x=rcos, y=rsin, z=z,
则z 2, z 1 (x2 y2 )
x x2+y2=4 或 r=2
2
的柱面坐标方程分别为z 2, z 1 r 2 ,
且
1 r 2 z 2, 0 r 2,
2
0 2.
2
(x2 y2)dxdydz
高等数学《三重积分》课件
3
注: 1．可积性: f 连续 可积
2．物理意义
如果f(x,y,z)表示某物体在点(x,y,z)处的体密度，Ω 是该物体所占的空间闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续， 则
物体的质量 M f ( x, y, z)dv 3．几何意义
的体积 V dxdydz
4．性质 同二重积分 4
8.3.2、直角坐标系下的三重积分的计算法
f (z, x,
y)]dV
若为球面x 2 y 2 z 2 R2所围，则
x 2dV
y 2dV
z2dV
1 3
[ x 2
y2
z 2 ]dV
13
例 3 利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
其中A(z)是Dz的面积
习题8.3.1
20
o
y
或D(z)，即
x
{( x, y, z)( x, y) Dz ,c1 z c2}
f ( x, y, z)dv c2 dz f ( x, y, z)dxdy (3)
c1 Dz
15
f (x, y, z)dv c2 dz
z
f ( x, y, z)dxdy
c1
Dz
上式的适用范围：
其中在每vi表个示v第i上i个任小取闭一区点域(，i ,也i表, 示i)它，的作体乘积积。f ( i ,
i,
i)
vi
(i=1,2,…
n
,n)
，
并作和 f (i ,i , i )vi。
如果当各i 1小闭区域直径的最大值 趋于零时
这个和的极限总存在, 则称此极限为函数
三重积分ppt
0 2
在球面坐标下 x2 y2 z2 2, 因此
1. 若被积函数形如 f (x2 y2 z2);
2. 积分区域是由球面、锥面或平面所围成. 常用球面坐标计算
球面坐标下的三坐标面分别为
z
动点M(ρ, ,)
ρ=常数: 球面S
=常数:
M
S
ρ
0
x y
动点M(ρ, ,)
ρ=常数: 球面S
f
( x,
y, z)dxdy.
例4 计算三重积分 zdxdydz, 其中为三个坐
标面及平面x y z 1所围成的闭区域.
解 截面法(先二后一法)
zdxdydz
1
0
zdz
dxdy
Dz
Dz {(x, y) | x y 1 z}
z
1 x yz1
1O
x
Dz
1y
1
dxdy 2(1 z)(1 z)
z
• M (x, y, z)
z
O
Ax x
y
•P
y
向xOy平面投影, 记投影向量与x轴正方向的
夹角为 , 称 ( , , ) 为点M 的球面坐标. 规定: 0 , 0 , 0 2 .
直角坐标与球面坐标的关系为
x sin cos
y
sin
sin
z cos
0 0
z
C
=常数: 锥面C
=常数: 半平面P
M
S
P
0
x
y
球面坐标下的体积元素
z
元素区域由六个坐标面围成：
圆锥面
球面ρ+dρ
半平面 及+d ； ρsind
半径为ρ及ρ+dρ的球
在球面坐标下 x2 y2 z2 2, 因此
1. 若被积函数形如 f (x2 y2 z2);
2. 积分区域是由球面、锥面或平面所围成. 常用球面坐标计算
球面坐标下的三坐标面分别为
z
动点M(ρ, ,)
ρ=常数: 球面S
=常数:
M
S
ρ
0
x y
动点M(ρ, ,)
ρ=常数: 球面S
f
( x,
y, z)dxdy.
例4 计算三重积分 zdxdydz, 其中为三个坐
标面及平面x y z 1所围成的闭区域.
解 截面法(先二后一法)
zdxdydz
1
0
zdz
dxdy
Dz
Dz {(x, y) | x y 1 z}
z
1 x yz1
1O
x
Dz
1y
1
dxdy 2(1 z)(1 z)
z
• M (x, y, z)
z
O
Ax x
y
•P
y
向xOy平面投影, 记投影向量与x轴正方向的
夹角为 , 称 ( , , ) 为点M 的球面坐标. 规定: 0 , 0 , 0 2 .
直角坐标与球面坐标的关系为
x sin cos
y
sin
sin
z cos
0 0
z
C
=常数: 锥面C
=常数: 半平面P
M
S
P
0
x
y
球面坐标下的体积元素
z
元素区域由六个坐标面围成：
圆锥面
球面ρ+dρ
半平面 及+d ； ρsind
半径为ρ及ρ+dρ的球
《scut三重积分》课件
估值定理
三重积分存在估值定理，即对于闭区域上的非负函数，其三重积 分值不大于该函数在此区域上的最大值与最小值之差的四倍。
奇偶性质
对于奇函数或偶函数的三重积分，存在奇偶性质，即当函数为奇 函数时，其三重积分为0；当函数为偶函数时，其三重积分等于一
半区间上的积分的四倍。
三重积分的几何意义
体积
01
当被积函数大于0时，三重积分表示由函数曲线所围成的三维区
注意事项
在柱坐标系下，需特别注意被积函数与柱坐标的 对应关系，以及不同变量间的几何意义。
球坐标系下的三重积分计算
总结词
球坐标系适用于描述球对称或球 状结构的几何形状。
详细描述
在球坐标系下，将三重积分转化 为球坐标的r、θ、φ的积分。通过 确定各变量的积分上下限，利用 微元法进行计算。
注意事项
在球坐标系下，需特别注意被积 函数与球坐标的对应关系，以及 不同变量间的几何意义。同时， 还需考虑球坐标系中各变量的取 值范围。
z轴。通过确定积分上下限，利用微元法逐步累加计算出积分值。
03
注意事项
在确定积分上下限时，需特别注意被积函数与坐标轴的相对位置关系，
以及不同坐标轴上的几何形状。
柱坐标系下的三重积分计算
1 2 3
总结词
柱坐标系适用于描述旋转对称或柱状结构的几何 形状。
详细描述
在柱坐标系下，将三重积分转化为柱坐标的r、φ 、z的积分。通过确定各变量的积分上下限，利 用微元法进行计算。
三重积分的计算方法
三重积分可以通过累次积分或一次性积分的方法进行计算，其中累 次积分包括先一后二和先二后一两种顺序。
三重积分与二重积分的联系
三重积分可以看作是二重积分在多增加一个维度上的推广，因此二 重积分的一些性质和计算方法可以类推到三重积分中。
三重积分存在估值定理，即对于闭区域上的非负函数，其三重积 分值不大于该函数在此区域上的最大值与最小值之差的四倍。
奇偶性质
对于奇函数或偶函数的三重积分，存在奇偶性质，即当函数为奇 函数时，其三重积分为0；当函数为偶函数时，其三重积分等于一
半区间上的积分的四倍。
三重积分的几何意义
体积
01
当被积函数大于0时，三重积分表示由函数曲线所围成的三维区
注意事项
在柱坐标系下，需特别注意被积函数与柱坐标的 对应关系，以及不同变量间的几何意义。
球坐标系下的三重积分计算
总结词
球坐标系适用于描述球对称或球 状结构的几何形状。
详细描述
在球坐标系下，将三重积分转化 为球坐标的r、θ、φ的积分。通过 确定各变量的积分上下限，利用 微元法进行计算。
注意事项
在球坐标系下，需特别注意被积 函数与球坐标的对应关系，以及 不同变量间的几何意义。同时， 还需考虑球坐标系中各变量的取 值范围。
z轴。通过确定积分上下限，利用微元法逐步累加计算出积分值。
03
注意事项
在确定积分上下限时，需特别注意被积函数与坐标轴的相对位置关系，
以及不同坐标轴上的几何形状。
柱坐标系下的三重积分计算
1 2 3
总结词
柱坐标系适用于描述旋转对称或柱状结构的几何 形状。
详细描述
在柱坐标系下，将三重积分转化为柱坐标的r、φ 、z的积分。通过确定各变量的积分上下限，利 用微元法进行计算。
三重积分的计算方法
三重积分可以通过累次积分或一次性积分的方法进行计算，其中累 次积分包括先一后二和先二后一两种顺序。
三重积分与二重积分的联系
三重积分可以看作是二重积分在多增加一个维度上的推广，因此二 重积分的一些性质和计算方法可以类推到三重积分中。
重修三重积分PPT课件
04
三重积分的性质与定理
三重积分的性质
可加性
若积分区域可分割为有限个子区域，则 三重积分等于各子区域上的三重积分之
和。
积分区域的可变性
在保持被积函数不变的情况下，积分 区域可以经过平移、旋转等变换，三
重积分的值不变。
线性性
被积函数是线性组合时，三重积分等 于各被积函数三重积分的线性组合。
被积函数的可微性
02
三重积分的计算方法
直角坐标系下的三重积分
投影法
01
通过投影将三重积分转化为二重积分，再进一步转化为一重积
分进行计算。
截面法
02
通过截面将三重积分转化为二重积分，再进一步转化为一重积
分进行计算。
先一后二法
03
先对某一变量进行积分，再将剩余的二重积分转化为极坐标形
式进行计算。
柱面坐标系下的三重积分
01
02
03
计算质心
通过三重积分可以计算物 体的质心坐标，这在研究 物体的平衡和稳定性时非 常有用。
计算转动惯量
三重积分可用于计算物体 绕某轴的转动惯量，进而 分析物体的旋转运动特性。
计算引力
在天体物理学中，三重积 分可用于计算两个物体之 间的引力，如计算地球对 月球的引力。
在工程学中的应用
流体动力学
柱面坐标系的定义及性质
介绍柱面坐标系的定义、性质以及与直角坐标 系的关系。
三重积分的柱面坐标表示
将三重积分在柱面坐标系下表示为三个定积分 的乘积形式。
柱面坐标系下的计算步骤
详细阐述在柱面坐标系下计算三重积分的步骤，包括被积函数、积分区域等的 转换。
球面坐标系下的三重积分
球面坐标系的定义及性质
三重积分 ppt课件
0
n k 1
f
(
k
,k
,
k
)vk
记作
f (x, y, z)dv
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在 上的三重积分.
dv称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
性质: 三重积分的性质与二重积分相似.
ppt课件
3
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二、三重积分的计算
其中 由抛物面
x2 y2 4z 与平面 z h (h 0)所围成 .
z
h
解: 在柱面坐标系下
原式 =
2π 2
d
0
0
h
1
2
d
h
2 d z
xO y
4 dv d ddz
2
2π
0
h
1
2
(h
2
4
)
d
ppt课件
10
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围成 , f (x, y, z) C( ).
提示:
:
1
y
2
1 2
x
I
2
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
ppt课件
14
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2. 设
计算
提示: 利用对称性
原式 = d x d y x2 y2 1 0
奇函数
ppt课件
因此有
d d r
r d
f (x, y, z)dxdydz
n k 1
f
(
k
,k
,
k
)vk
记作
f (x, y, z)dv
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在 上的三重积分.
dv称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
性质: 三重积分的性质与二重积分相似.
ppt课件
3
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二、三重积分的计算
其中 由抛物面
x2 y2 4z 与平面 z h (h 0)所围成 .
z
h
解: 在柱面坐标系下
原式 =
2π 2
d
0
0
h
1
2
d
h
2 d z
xO y
4 dv d ddz
2
2π
0
h
1
2
(h
2
4
)
d
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10
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围成 , f (x, y, z) C( ).
提示:
:
1
y
2
1 2
x
I
2
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
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14
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2. 设
计算
提示: 利用对称性
原式 = d x d y x2 y2 1 0
奇函数
ppt课件
因此有
d d r
r d
f (x, y, z)dxdydz
《重积分三重积分》课件
三重积分的性质
线性性质
三重积分满足线性性质，即对于 可分离变量的三重积分，可以将 积分拆分成几个部分分别进行计 算。
区间可加性
三重积分具有区间可加性，即对 于分割的三重积分，其值等于各 个子区间上三重积分的和。
积分中值定理
对于有界闭区域上的连续函数， 存在至少一个点使得三重积分在 该点的值等于被积函数在区域上 的平均值乘以区域的体积。
重积分三重积分
目录 CONTENTS
• 重积分的概念 • 三重积分的概念 • 三重积分的计算方法 • 三重积分的应用 • 三重积分的扩展知识
01
重积分的概念
重积分的定义
定义
重积分是定积分概念的推广，用于计 算多元函数在某个区域上的累积值。
记号
设 $f(x, y, z)$ 是三维空间上的可积函 数，$D$ 是三维区域，则 $f(x, y, z)$ 在 $D$ 上的三重积分用 $intintint_{D}f(x, y, z)dxdydz$ 表示 。
计算流体动力学
在流体力学中，三重积分常用于计算流体在三维空间 中的流动情况，例如流体速度、压力等。
计算热传导
在热力学中，三重积分可以用来计算三维物体中的温 度分布以及热传导情况。
计算结构力学
在结构力学中，三重积分可以用来计算三维结构在不 同载荷下的应力和应变分布。
05
三重积分的扩展知识
重积分与线积分、面积分的关系
质量分布
当 $f(x, y, z)$ 表示物体的密度时，三重积分表 示该物体在区域 $D$ 上的总质量。
3
重心位置
三重积分可以用来计算物体在区域 $D$ 上的重 心位置。
02
三重积分的概念
三重积分的定义
课件：三重积分的计算(柱坐标和球面坐标)
9
旋转面方程为 x2 y2 2z,
I 28dz ( x2 y2 )dxdy
Dz
28dz ( x2 y2 )dxdy x2 y22z
28dz 02 d 0 2z r 3dr
282
4z2 dz 4
336。
例 3．一形体 是由平面yz4, z0和圆柱面
x2 y2 16 所围成，已知其上任一点的密度与该
点到 z 轴的距离 成正比，求其质量 m 。
解：密度函数 ( x, y,z)k x2 y2 (k0) ，则 z
m k x2 y2 dxdydz 。
x2 y2 16
yz4
4
在 xoy 平面上的投影区域为 Dxy {( x, y) x2 y2 16} ，
o 4y
x
10
在柱面坐标下
{(,,z) 02, 04, 0 z4sin } ，
x sincos rcoscos rsinsin
∵ J ( x, y,z) sinsin rcossin rsincos r 2sin
( r ,,)
cos rsin
0
∴ f (x, y,z)dxdydz
f (rsincos,rsinsin,rcos)r2 sindrdd
24
sincos rcoscos rsinsin
奇函数， 有 xdv 0.
( x z)dv zdv 利用球面坐标
2
d
4 d
1 r cos r2 sin dr
.
0
0
0
8
例6 计算 e z dv， : x2 y2 z2 1.
解 被积函数仅为 z 的函数，截面 D(z) 为圆域 x2 y2 1 z2，故采用＂先二后一＂法．
极坐标与球面坐标计算三重积分课件
三重积分的性质
三重积分的性质包括可加性、可移性、 可换序性等，这些性质在计算三重积 分时有着重要的应用。
三重积分的计算方法概述
1 2 3
直角坐标系下的三重积分计算 在直角坐标系下，三重积分可以通过将积分区域 划分为立方体网格，然后对每个立方体进行积分 计算。
极坐标系下的三重积分计算 极坐标系下，三重积分可以通过将积分区域划分 为球心在原点的球壳，然后对每个球壳进行积分 计算。
球面坐标系下的三重积分计算 球面坐标系下，三重积分可以通过将积分区域划 分为以原点为球心的球体，然后对每个球体进行 积分计算。
三重积分的基本应用
体积计算
三重积分可以用于计算三维空间中物体的体积，例如球体、圆柱 体等。
质量计算
三重积分可以用于计算分布在不同区域的质量，例如分布在平面 或曲面上的质量。
极坐标系与直角坐标系的转换
直角坐标系转换为极坐标系
给定直角坐标系中的一点，可以将其转换为极坐标系中的点。 通过计算点到原点的距离和与极轴之间的角度即可得到该点 的极坐标。
极坐标系转换为直角坐标系
给定极坐标系中的一点，可以将其转换为直角坐标系中的点。 通过计算该点在极轴上的投影和在极平面上的投影即可得到 该点的直角坐标。
03
利用极坐标系下表达形式，将 三维空间的乘积转化为极坐标 系下的乘积。
极坐标系下计算三重积分的常见问题
确定积分区域的形状和范围时，容易出现错误。
01
02
在将三重积分转化为三次积分时，容易出现错误。
在利用极坐标系下表达形式计算三维空间的乘积时，容易出现
03
错误。
PART 05
三重积分在球面坐标系下 的计算
根据被积函数的形状和极坐标系 下表达形式，确定积分区域的形
三重积分的性质包括可加性、可移性、 可换序性等，这些性质在计算三重积 分时有着重要的应用。
三重积分的计算方法概述
1 2 3
直角坐标系下的三重积分计算 在直角坐标系下，三重积分可以通过将积分区域 划分为立方体网格，然后对每个立方体进行积分 计算。
极坐标系下的三重积分计算 极坐标系下，三重积分可以通过将积分区域划分 为球心在原点的球壳，然后对每个球壳进行积分 计算。
球面坐标系下的三重积分计算 球面坐标系下，三重积分可以通过将积分区域划 分为以原点为球心的球体，然后对每个球体进行 积分计算。
三重积分的基本应用
体积计算
三重积分可以用于计算三维空间中物体的体积，例如球体、圆柱 体等。
质量计算
三重积分可以用于计算分布在不同区域的质量，例如分布在平面 或曲面上的质量。
极坐标系与直角坐标系的转换
直角坐标系转换为极坐标系
给定直角坐标系中的一点，可以将其转换为极坐标系中的点。 通过计算点到原点的距离和与极轴之间的角度即可得到该点 的极坐标。
极坐标系转换为直角坐标系
给定极坐标系中的一点，可以将其转换为直角坐标系中的点。 通过计算该点在极轴上的投影和在极平面上的投影即可得到 该点的直角坐标。
03
利用极坐标系下表达形式，将 三维空间的乘积转化为极坐标 系下的乘积。
极坐标系下计算三重积分的常见问题
确定积分区域的形状和范围时，容易出现错误。
01
02
在将三重积分转化为三次积分时，容易出现错误。
在利用极坐标系下表达形式计算三维空间的乘积时，容易出现
03
错误。
PART 05
三重积分在球面坐标系下 的计算
根据被积函数的形状和极坐标系 下表达形式，确定积分区域的形
三重积分 ppt课件
点不多于两个.
f (x, y, z)dv
dydz x2( y,z) f ( x, y, z)dx
Dyz
x1 ( y,z )
PPT课件
(3)Ω：平行于 y 轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
f (x, y, z)dv
dxdz y2( x,z) f ( x, y, z)dy
z z1( x, y) (x, y)
z z1( x, y)
(x, y)
10
步骤： z z2(x, y)
1、求Ω在xoy面的投影区域 ;
z z1( x, y)
2、过( x, y) Dxy做平行与 z轴的 射线 ，确定 z1( x, y) z z2( x, y) 3、
PPT课件
解 关于yoz面对称, e y2 sin x3关于x为奇函数，
PPT课件
e y2 sin x3dv 0
关于xoz面对称, yz2关于x为奇函数，
yz2dv 0
(e y2 sin x3 yz2 3)dv 3dv
3 4 三重积分的计算
（一）直角坐标
用平行坐标平面的平面
来划分区域Ω ,
v xyz dv dxdydz
f ( x, y)dxdydz
9
1、投影法
(1)Ω：平行于z轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
z z2(x, y)
z z2(x, y)
PPT课件
18
PPT课件
例4 解
19
例5
解
z
PPT课件
o
y
x
20
PPT课件
f (x, y, z)dv
dydz x2( y,z) f ( x, y, z)dx
Dyz
x1 ( y,z )
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(3)Ω：平行于 y 轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
f (x, y, z)dv
dxdz y2( x,z) f ( x, y, z)dy
z z1( x, y) (x, y)
z z1( x, y)
(x, y)
10
步骤： z z2(x, y)
1、求Ω在xoy面的投影区域 ;
z z1( x, y)
2、过( x, y) Dxy做平行与 z轴的 射线 ，确定 z1( x, y) z z2( x, y) 3、
PPT课件
解 关于yoz面对称, e y2 sin x3关于x为奇函数，
PPT课件
e y2 sin x3dv 0
关于xoz面对称, yz2关于x为奇函数，
yz2dv 0
(e y2 sin x3 yz2 3)dv 3dv
3 4 三重积分的计算
（一）直角坐标
用平行坐标平面的平面
来划分区域Ω ,
v xyz dv dxdydz
f ( x, y)dxdydz
9
1、投影法
(1)Ω：平行于z轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
z z2(x, y)
z z2(x, y)
PPT课件
18
PPT课件
例4 解
19
例5
解
z
PPT课件
o
y
x
20
PPT课件
第一讲二重积分三重积分市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
f (x, y, z)dv 0
若被积函数，积分区域关于x,y,z具有轮换对称性
f (x)dv f (y)dv= f (z)dv
二、三重积分旳计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数 f (x, y, z) 0, 并将它看作某物体
旳密度函数 , 经过计算该物体旳质量引出下列各计算 措施:
函数，则
x
0, f (x, y)关于y为奇函数
D
f
(x,
y)d
2
D1
f
(x,
y)d，f
(x,
y)关于y为偶函数
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2)假如积分区域D有关y轴对称，f(x,y) 为x旳奇偶函数，
0, f (x, y)关于x为奇函数
D
f
(x,
y)d
2
D1
f
(x,
y)d，f
(x,
分
若D为 X – 型区域
D
:
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
y y 2(x)
D x
则
f (x, y) dx
D
若D为Y –型区域 D
dy
: 1(
b
dx
a
y) c
2 (x) 1( x)
x 2
yd
f (
(x, y)
o a y 1(x) b y) d y
y x 2( d y
x 1(y)
x
y)
则
z2 (x, y) f (x, y, z)dz dxd y
z1( x, y)
z z1(x, y)
该物体旳质量为
y
f (x, y, z) d v
若被积函数，积分区域关于x,y,z具有轮换对称性
f (x)dv f (y)dv= f (z)dv
二、三重积分旳计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数 f (x, y, z) 0, 并将它看作某物体
旳密度函数 , 经过计算该物体旳质量引出下列各计算 措施:
函数，则
x
0, f (x, y)关于y为奇函数
D
f
(x,
y)d
2
D1
f
(x,
y)d，f
(x,
y)关于y为偶函数
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(2)假如积分区域D有关y轴对称，f(x,y) 为x旳奇偶函数，
0, f (x, y)关于x为奇函数
D
f
(x,
y)d
2
D1
f
(x,
y)d，f
(x,
分
若D为 X – 型区域
D
:
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
y y 2(x)
D x
则
f (x, y) dx
D
若D为Y –型区域 D
dy
: 1(
b
dx
a
y) c
2 (x) 1( x)
x 2
yd
f (
(x, y)
o a y 1(x) b y) d y
y x 2( d y
x 1(y)
x
y)
则
z2 (x, y) f (x, y, z)dz dxd y
z1( x, y)
z z1(x, y)
该物体旳质量为
y
f (x, y, z) d v
三重积分-高等数学PPT
dv dddz,
z
d
d
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
x
d
y
f ( cos , sin , z)dddz.
17
例1. 计算三重积分 z x 2 y 2 d x d yd z z
其中为由柱面 y 2 x-x2 及平面 z 0 ,
a
z a (a 0) , y 0 所围成半圆柱体.
x 2 y 2 4 z 与平面 z h (h 0) 所围成 .
h
解: 在柱面坐标系下
d xd yd z 1 x2 y2
2 2
d
0
h 0
1
2
d
h
2
d
z
o
x
y
4
2
2
h 0
1
2
(h
2
4
)d
4
[(1
4h) ln(1
4 h)
4 h]
d v d d1d9 z
例3 计算I zdxdydz，其中是球面
6
例1. 计算三重积分 xd xd yd z
z
1
其中为三个坐标面及平面 x 2 y z 1
所围成的闭区域 .
解: xdxdydz
1 2
y
x1
1
1 2
(1
x
)
1 x2 y
xdx dy dz
0
0
0
1
1 2
(1
x
)
xdx (1
x
2
y)d
y
1
1
(x
2x2
x3)d
x
1
0
0
40
z
d
d
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
x
d
y
f ( cos , sin , z)dddz.
17
例1. 计算三重积分 z x 2 y 2 d x d yd z z
其中为由柱面 y 2 x-x2 及平面 z 0 ,
a
z a (a 0) , y 0 所围成半圆柱体.
x 2 y 2 4 z 与平面 z h (h 0) 所围成 .
h
解: 在柱面坐标系下
d xd yd z 1 x2 y2
2 2
d
0
h 0
1
2
d
h
2
d
z
o
x
y
4
2
2
h 0
1
2
(h
2
4
)d
4
[(1
4h) ln(1
4 h)
4 h]
d v d d1d9 z
例3 计算I zdxdydz，其中是球面
6
例1. 计算三重积分 xd xd yd z
z
1
其中为三个坐标面及平面 x 2 y z 1
所围成的闭区域 .
解: xdxdydz
1 2
y
x1
1
1 2
(1
x
)
1 x2 y
xdx dy dz
0
0
0
1
1 2
(1
x
)
xdx (1
x
2
y)d
y
1
1
(x
2x2
x3)d
x
1
0
0
40
第九章第3节三重积分
1
.
02
24
12
例 2 计算三重积分 z2dxdydz，其中 是由
椭球面 x2 a2
y2 b2
z2 c2
1所成的空间闭区域.
解 : {( x, y, z) | c z c,
x2 a2
y2 b2
1
z2 c2
}
z
Dz
o
y
Hale Waihona Puke 原式 c z2dz dxdy, c
记作 f ( x, y, z)dv
n
即
f
( x,
y, z)dv
lim
0
k 1
f
(k ,k , k )vk
d v称为体积元素
在直角坐标系下也常写作 dxd ydz
3
性质
三重积分的性质与二重积分相似 , 例如
中值定理: 设 f (x, y, z)在有界闭域 上连续, 则存在
2 2cos
a
d r 2d r zd z
0
0
0
4a2
2
cos3
d
8
a3
30
9
d v rd rd d z
20
d xd yd z
z 例2. 计算三重积分 1 x2 y2 , 其中由抛物面
x2 y2 4 z 与平面 z h (h 0) 所围成 .
0 r 4
1 :
r
2
z
, 8
2
D2 : x2 y2 4, 2 :
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M
n
lim
0
f(xi, yi,zi) v i
(xi , yi,zi)
i1
f(x, y,z)dv 精品课件
定义 设函数 f (x,y,z)在有界闭区域Ω上有界，
（1）分割 将Ω为 n 个区域 v1,v2,,vn
（2）近似 (x i,y i,z i) v i( i 1 ,2 ,,n )
（3）求和 （4）取极限
(1)Ω：平行于z轴且穿过区域的直线与区域边界的交点
不多于两个.
zz2(x,y)
zz2(x,y)
zz1(x,y) D (x, y)
z精品z课1件(x,y) D (x, y)
步骤： zz2(x,y)
1、求Ω在xoy面的投影区域D xy ;
2、过(x, y)Dxy做平行与 z轴的
zz1(x,y)
射线 ，确定 z1 (x ,y)zz2(x ,y)
精品课件
y
D (i ,i )
n
Mlim 0
f (i ,i ) i
i1
f(x, y)dxdy
x
D
(3)空间立体：
密度为 f(x,y,z)0, M
(xi , yi,zi)
n
lim
0 i1
f(xi, yi,zi) v i
f(x, y,z)dv 精品课件
(3)空间立体：
密度为 f(x,y,z)0,
第三节 三重积分
一、三重积分的概念与性质
二、三重积分的计算
1、直角坐标（投影法、截面法）
2、柱面坐标
精品课件
3、球面坐标
一、三重积分的概念与性质
讨论密度分布不均匀的物体的质量：
(1)一根细棒 ：
密度为 f(x)0,
a i b
n
M
lim
0
i1
f (i ) x i
b
f (x)dx a
(2)平面薄片： 密度为 f(x,y)0,
0 i1
f(xi,yi,zi)vi
积分区域 积分变量
体积元素
注：1、被积函数 f (x,y,z) 在有界闭区域Ω上连续，
精品课件
则 f (x,y,z) 在Ω上三重积分存在.
2、三重积分与二重积分有类似的性质.
(1)1dv 的体积
(2)对称性
设 关x于 o 面 y 对称 1与 ， 2两 分 部 成 分
其中Dz是垂直z轴的平面截所得到的一个平面闭区域 则
f(x,y,z)dv c2 dz f(x, y,z)d
c1
Dz
精品课件
例4 解
:z2cd,v z:cax,22bDy22z : cz22ax22 1.by22
z2 1c2
.
z2dv
cdzz 2dc NhomakorabeaDz
c z2dz d
c
0
f(x ,y, z) f(x ,y,z)
f(x, y,z)dv
精品课件
2f(x, y,z)dv f(x,y, z)f(x,y,z)
1
例1 ( e y 2sx i3 n y2 z 3 ) d , v :x 2 y 2 (z 1 ) 2 1
解 关于 yo面 z 对,称ey2 sinx3关于x为奇函数，
ey2 sinx3dv0
关于 xo面 z 对,称 yz2关于x为奇函数，
yz2dv0
精品课件
(ey2six n 3y2z 3 )d v 3 dv
34 4
3
二、三重积分的计算
（一）直角坐标
用平行坐标平面的平面
来划分区域Ω ,
vxyz dvdxdyd精z品课件
f(x, y)dxdydz
1、投影法
(2)Ω：平行于 x 轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
f(x,y,z)dv dydz x2(y,z)f(x, y,z)dx
D yz
x1(y,z)
(3)Ω：平行于 y 轴且穿过区域的直线与区域边界的交
点不多于两个.
精品课件
f(x,y,z)dv dxdz y2(x,z)f(x, y,z)dy
2
z
D xy
2
x
0
o
y
2
x
2 dx dy
0
0
x
2 f(x, y,z)dz
0
精品课件
(3) :y1x2z2,x2z21 ,y1 所 . 围
y1
D xz
o
z
1 0 1
1x
精品课件
1
1 x2
1
dx
dz
f(x,y,z)dy
1
1 x2
1x2z2
精品课件
2、截面法
:c1zc2,(x ,y) D z.
3、 f(x,y,z)dv
D (x, y)
dxdy
D xy
z2(x,y)
f
精品课件
(x, y,z)dz
z1(x,y)
4、 D x:y a x b ,1 (x ) y 2 (x )
f(x,y,z)dv
b
dx
2
(
x)
d
y
z2(x,y)f(x, y,z)dz
a
1( x)
z1(x,y)
zd
0
D z1
2
D z2
x
D z2
2
2
D z1
o
精品课件
y
2
1
2 zz2 dz 2 z(1z2) dz
0
2
8
（二）柱面坐标
设M(x y z)为空间内一点
M在xOy面上的投影点P 的极坐标为( )
则、 、z称为点M的柱面坐标 规定、 、z的变化范围为
M(x, y,z)
作乘积 f(xi,yi,zi)vi
n
f(xi, yi,zi)vi
i1
精品课件
令为n个小区域中直径最，大者
若对Ω的任意分法， 及点(xi, yi,zi)的任意取法
当0时，和总趋于确定的极限 I ，
则称此极限I 为函数 f (x,y,z)在区域Ω上的三重积分.
被积函数
n
记为
f(x, y,z)dv
lim
D xz
y1(x,z)
例2 x,d :x v 0 ,y 0 ,z 0 ,x 2 y z 1 .
解
Ω在xoy面的投影区域
D xy
： 0x1,
0 y 1x. 2
xdv
1
1 x
dx 2 dy
0
0
1
1x
1 x2 y
0 xdz
z1
x [ 2 (1x2y)dy]dx
0
0
1
1x
x [(1x)yy2 2 ] dx
0
0
o精品课件
1
1
x
2
y
1 1(x2x2x3)dx 1
40
48
例3将三重积分 f(x, y,z)dv化为三次积分
(1 ) :zx 2y2,yx 2,y 1 ,z0 所 . 围
z
D xy
1
o
y
1
1
1
x
1
1
x2y2
dx dy
f(x, y,z)dz
1
x2
0
精品课件
(2) :yx,y0,z0,xz所. 围
Dz
c z2
c
a
z2 1c2 b
z2 1c2
dz
精品课件
4 abc3
15
例5 (x z)d, v :x 2 y2 z1 x 2 y2.
解 关于yoz面对称， xdv 0
1z
0 z
2 ,
2
z
2 1,
2
D z1 : x2y2 z2 D z2 : x2y21z2
2 2 dz
1
zd 2 dz