第一章 复数与复变函数

2
x2
（3）三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系

x y

r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
（4）指数表示法
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
复数可以表示成 z rei 称为复数 z 的指数表示式.
例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)
(2) z z; (3) z z Re(z)2 Im( z)2;
(4) z z 2Re(z), z z 2i Im(z).
§2 复数的几何表示
1. 复平面
复数 z x iy 与有序实数对( x, y) 成一一
对应. 因此, 一个建立了直角坐标系的平面可以
称 C {}为扩充复平面，记为 C。
无穷远点:
关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、 辐角无意义，模等于：
| |
它和有限复数的基本运算为：
aa
a a (a 0)
a (a 0); a 0(a )
0

这些运算无意义： ,0 , / ,0 / 0.
Z1 = Z2
if a1= a2 & b1= b2
例1. 辨析：
1．下列命题中的假命题是（D） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实
轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在
虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复
数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复
数都是纯虚数。
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯
虚数集
复数集
纯虚 数集
实数集
A 复数的概念
复数不能比较大小的一种解释
例如：i与0能不能比较大小？
（1）如果i＞0，那么i·i＞0·i，即-1＞0。
（2）如果i＜0，那么-i＞0，(-i)2＞0·(-i)
即-1>0.
因此，i与0不能比较大小。
Note Z1 =a1 + i b1, Z2 =a2 + i b2
Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2.
几何意义
从几何上看, 两复数对应的向量分别为 z1, z2 ,
先把 z1 按逆时针方向
z
y
旋转一个角2 ,
r z1
再把它的模扩大到 r2 倍, 所得向量 z 就表示积 z1 z2 .
o
2 1

r1

r2
z2
x
复数相乘就是把模相乘, 辐角相加.
z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz . 当 z 0时, z 0, 而辐角不确定. 任何一个复数z 0有无穷多个辐角.
如果1 是其中一个辐角, 那么 z 的全部辐角为 Arg z 1 2kπ (k为任意整数).
辐角的主值
在 z( 0)的辐角中, 把满足 π 0 π 的0
第一章 复数与复变函数
§1 复数及代数运算
1. 复数的概念
回 忆
复数的 一般形
式？
…
Z=a+bi(a, b∈R)
实部! a =Re( z )
虚部! b =Im( z )
一个复数 由什么唯 一确定？
复数 z =a + bi (a,b∈R)
实数 (b=0) 虚数 (b‡0)
纯虚数 (a=0) 非纯虚数 (a‡0)
x1 y2 y22
.
3. 共轭复数
实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数.
与 z 共轭的复数记为z, 若 z x iy, 则 z x iy.
共轭复数的性质
(1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ;
z1 z1 ; z2 z2
图形为一角形，它是一个单连通无界区
域，其边界为半射线：arg( z i) 2 arg( z i) 3
2. 复球面与无穷大
1. 南极、北极的定义
取一个与复平面切于原点 z 0的球面,
球面上一点S 与原点重合,
N
通过 S 作垂直于复平面的
P
直线与球面相交于另一点 N ,
我们称 N 为北极, S 为南极.

1 zn
.
因而有 zn z n , Arg zn n Arg z.
(b)棣莫佛公式
(cos i sin )n cosn i sin n .
(c) 计算方程 wn z 的根 w, 其中 z 为已知复数.
w

n
z

r
1 n

cos

2kπ

i sin

2kπ
证明：若复数所对应的点位于第四象限，
则mm
2 2

m m

6 2

0 0
不等式解集为空集
即m
3或m 2 m
1
2
所以复数所对应的点不可能位于第四象限.
例5 试用复数表示圆的方程:
a(x2 y2 ) bx cy d 0
其中，a,b,c,d是实常数。 解：
思考： (1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？ 这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？
例4(1) 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内 所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
解：由mm22

m m

称为 Argz 的主值, 记作0 arg z.
arctan
y x
,
z0 辐角的主值arg
z


2
,
x 0, x 0, y 0,
arctan
y x

,
x 0, y 0,
,
x 0, y 0.
(其中 arctan y )
同理可以得到
z2 z3 z3 z1 3.
得证。
§3 复数的乘幂与方根
1) 乘积与商
两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
若 z1 r1(cos1 i sin1）,
则有
z2 r2(cos2 i sin2）,
z1 z2 r1 r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
利用 zz x2 y2 ,
z z 2x,
z z i2y
另解：
(x x0 )2 ( y y0 )2 r 2
| Z Z0 | r
得：azz z z d 0
其中， 1 (b ic).
2
例6、复数 {z | 2 arg( z i) 3}图形
则 z2 r2 ei(2 1 ) . z1 r1
2) 幂与根 (a) n次幂:
n 个相同复数 z 的乘积称为z 的 n 次幂,
记作 zn , zn z z z .
n个
对于任何正整数n, 有 zn rn(cosn i sin n ).
n 为负整数时,
有z n
平面向量成一一对应,因此,复数z也可用向量OP
来表示.
y z x iy
y
P(x, y)
z r

o
x
x
复数的模(或绝对值)
向量的长度称为z 的模或绝对值,
记为 z r x2 y2 .
ຫໍສະໝຸດ Baidu 模的性质
x z, y z, z x y, z z z 2 z2 .

n
n
(k 0,1,2,,n 1)
在几何上, n z的n个值就是以原点为中心, n r为半径 的圆的内接正n边形的n个顶点.
例6、求所有值： 4 (1 i)
解：由于 1 i 2(cos i sin )
4
4
所以有
4 (1 i) 8 2[cos 1 ( 2k ) i sin 1 ( 2k )]
三角不等式
z2
z2
关于两个复数的和与差的
模，有以下不等式：
0
(1)、| z1 z2 || z1 | | z2 |
(2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 || z2
z1 z2 z2
z1 z1 z1 z2
复数的辐角
在 z 0的情况下, 以正实轴为始边, 以表示
6 2

0 0
得m
3 m 2 2或 m
1
m(3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
例4(2) 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i，证明对一 切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。
习题Ex1-19 题： 证明：若|z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z2+z3=0, 则z1，z2，z3是内接 于单位圆|z|=1的一个正三角形的三顶点。
证明： 由于 z1 z2 z3 1, 所以 z1，z2，z3 位于单位圆上。又 z1 z2 z3 0 得 z1 z2 z3 , 即 z1 z2 z3 z3 1 1 z1 z2 2 (z1 z2 )(z1 z2 )
(z1 z2 )(z1 z2 ) | z1 |2 | z2 |2 z1 z2 z2 z1
z1 z2 z2 z1 1
z1 z2 2 (z1 z2 )(z1 z2 ) | z1 |2 | z2 |2 z1 z2 z2 z1 2 (1) 3 z1 z2 3
两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个 复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.
若 则有
z1 r1(cos1 i sin1）, z2 r2(cos2 i sin2）,
z2 z2 , z1 z1
Arg
z2 z1


Argz2

Argz1 .
设复数z1和z2的指数形式分别为 z1 r1ei1 , z2 r2ei2 ,
(A)若z21+z22＞0，则z21＞-z22 (B)|z1-z2|=√(z1+z2) 2-4z1z2 (C)z21+z22=0z1=z2=0 (D)z1-z1是纯虚数或零
例2 是否存在复数z，使其满足z·z+2iz=3+ai(a∈R) 如果存在，求出z 的值；如果不存在，
2. 复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 ,
虚数”的A（ ）。
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
3．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对
应的点在虚轴上”的C（ ）。
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
4． 设z1、z2为复数，则下列结论中正确的是( D )
用来表示复数, 通常把横轴叫实轴或x 轴, 纵轴
叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平面叫复平
面.
（1）几何表示法 复数 z x iy 可以用复平
y z x iy
y
(x, y)
面上的点( x, y) 表示.
o
x
x
（2）向量表示法
在复平面上,复数 z 与从原点指向点z x iy 的
1) 两复数的和 z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ).
2) 两复数的积
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ).
3)两复数的商
z1 z2

x1 x2 x22

y1 y2 y22

i
x2 y1 x22

44
44
4 (1 i) 8 2[cos( k ) i sin( k )]
16 2
16 2
k 0,1,2,3 有四个根。
问题： 4 i 2 有几个根？
§4 区域
（1）邻域
平面上以 z0 为中心, (任意的正数)为半径 的圆: z z0 内部的点的集合称为z0 的邻域. 不等式 0 z z0 所确定的点的集合称为
SO
y
x
2. 复球面的定义 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内
的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用 球面上的点来表示复数.
我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与
复平面上的无穷远点相对应, 记作∞ . 因而球 面上的北极 N 就是复数无穷大∞的几何表示.
球面上的每一个点都有唯一的复数与之 对应, 这样的球面称为复球面.