第一章-复数与复变函数
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识,加减乘除,乘方开方等。
主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。
第二章:解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。
一、解析函数的概念介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。
所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。
而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。
二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念:调和函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。
而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。
三、初等函数和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。
第三章:复变函数的积分这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。
但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。
可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。
复变函数-总结
所 以 vx,y1y22xy-1x2c. 于是
2
2
27
fzx2-y2xy i 1 2y22 xy-1 2x2 c
由f00( x y 0 0) c0 从而
fz x 2- y 2 x y i 1 2 y 2 2 x y - 1 2 x 2 1 - 2 i z 2
即为所求解析函数。
等价定义：
设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 ,
那么
lim f (z)
zz0
运算性质：
limu(x, Axyxyl im xxyy0000 v(x,
y) y)
u0 v0
.
( 1 ) li (f m ( z ) g ( z ) ) lifm ( z ) lig ( m z )
例题1 一调和函数 ux,yx2-y2xy,
求一解析函数 fzuiv使 f00.
解：〔法一〕 ux2xy,uy-2yx
由 C-R 方程 v y u x 2 x y v 2 x y d y
由 v x - u y 2x2 yy 12c y2x c 2 xy - x v x c2xyc-12xx2,c,
9
对复平面内任一
x3
点z, 用直线将z
除了复数的平面表 示方法外, 还可以
与N相连, 与球面
N(0,0,2r) 用球面上的点来表
相交于P点, 那么
示复数.
球面上除N点外
x3
的所有点和复平
面上的所有点有
P(x1,x2,x3)
一一对应的关系,
而N点本身可代
表无穷远点, 记 作 .这样的球面
复变函数-复数的概念与定义
乘积的几何意义 :
y
z1 z2
1 2
z2
1
2Leabharlann z1x商:
z2 r2e i 2 r2 i ( 2 1 ) e i 1 z1 r1e r1
2. 乘幂与方根
n 个相同复数 z 的乘积 , 称为z 的 n 次幂, 记为z n
n z n z z ...z
2 i 2i ( 2 i )( i ) 2i (1 i ) 解: z i 1 i i (i ) (1 i )(1 i )
2i (1 i ) 2i 1 2 i 1 i 1 2 3 i 2
所以 Re z 2,
Im z 3
设 z1 , z2 , z3 , z C , 则有
(1) 交换律: z1 z2 z2 z1 , z1 z2 z2 z1
(2) 结合律: z1 z2 z3 z1 z2 z3 , ( z1 z2 )z3 z1 ( z2 z3 )
(3) 分配律: z1 z2 z3 z1 z2 z1 z3
5
3
z 的方根:
当 z 0 时， 若满足 wn z，则称 w 为 z 的 n 次方根， 记为 w n z
令 w e 有
i
ne in re i
于是 n r , n 2k (k 0,1,2,)
n r, 2k
n , ( k 0,1,2,)
x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1
3. 商
z1 （x1 iy1 ) z z2 x2 iy2
( z2 0)
x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i 2 2 2 2 x 2 y2 x 2 y2
复变函数(1.2.3)--第一章复数与复变函数常见问题
Argz2 , Arg � � �zz12
� � �=
Argz1
-
Argz2
答 这两个等式只是形式上的相等。由于幅角的多值性，等式两端都是由无穷多个数构成的 数集，也就是说，等式两端可能取的值的全体是相等的，因此是集合相等。即对于左端的一 个值，右端必有一值与其相等。
问题 3. 扩充复平面上的无穷远点与实数的无穷大量有区别吗？如何理解无穷远点的邻域这
问题 1. 复数能比较大小吗？ 答 复数不能比较大小。根据复数的定义可知，给定一个复数，就可以和复平面上的一个点 相对应，也可以和连接原点和这个点的向径相对应。模和方向是构成复数的两大要素，所以 复数不能比较大小。
问题 2. 如何正确理解以下两个关于幅角的运算公式？
Arg (
z1z2
)
=
Argz1
+
个概念？
z-+ﾥ>ﾥ R
答 由于扩充复平面上的与北极点相对应，因此只有一个。这与实数中的“无穷大”不一样， 实数中与是不同的。既然扩充复平面上的与北极点相对应，那么它的邻域，对于复球面，是 一绕北极点的小圈 C 的内部；对于复平面，就是一大圆 C 的外部，即，是的一个领域。
复变函数与积分变换第1章复数与复变函数
点z1，z2之间的距离. 利用复数z的指数表示式作复数乘法与除法运算很方便.
假设
，则由式（1.5）可得
于是
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复变函数与积分变换
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由此可知：
①两个复数乘积的模等于它们各自模的乘积，两个复数乘积的辐角等于
它们各自辐角的和；
②两个复数商的模等于它们各自模的商，两个复数商的辐角等于分子辐
显然z和 是关于实轴
图1.6
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复变函数与积分变换
例1.6设 解因为
所以
，试求Re z，lm z和
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复变函数与积分变换
例1.7求证:若|a|=1，则
证由
得
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复变函数与积分变换
例1.8设复数
满足条件
求证
是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的顶点.
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复变函数与积分变换
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定义1.4设 为一点集，
如果对
，点集
是无穷点
集，则称z0为E的聚点或极限点，E的聚点全体通常记为E′；若
,但
则称z0为E的孤立点；若
，使得
，则称z0为E的外点.
定义1.5若点集E能完全包含在以原点为圆心，以某一个正数R为半径的圆域
内部，则称E为有界集，否则称E为无界集.
求其第三个顶
点.
解如图1.4将向量z2-z1绕z1旋转
得另一个向量，其终点就是所
求的第三个顶点z3（或z′3），根据复数乘法的几何意义可得
图1.3
图1.4
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复变函数与积分变换
所以 类似可得
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复变函数 第1章 复数与复变函数
6
1 cos
2 k
6
i sin
2 k
6
( k 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 )
可求出6个根，它们是
z0 3 2 1 2 i, z 1 i, z2 3 2 1 2 i
z3
3 2
1 2
i,
z 4 i,
z5
3 2
0
}
为 z 0 的去心 —邻域，
开集 如果点集 D 的每一个点都是 D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称 D 为 闭集. 连通集 设是 D开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集. 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或 开区域. 闭区域 开区域 D 连同它的边界一起，称为 闭区域，记为 D .
1.3.2 单连通域与多（复）连通域
1. 简单曲线、简单闭曲线 若存在满足 t ， t 且 t t 的 t 1 与 t 2，使 z ( t ) z ( t ) ,则称此曲线C有重点， 无重点的连续曲线称为简单曲线或约当 （Jordan）曲线；除 z ( ) z ( ) 外无其它重 点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，
n
z z z
n个
若
z r （ cos i sin ，则有 )
z r （ cos i sin )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗（De Moivre） 公式
(cos i sin )
n
cos n i sin n
3
z 1 i 3 2 (c o s
第1章复数与复变函数汇总
z z (Re z ) (Im z ) z ;
(6) z z 2 Re z, z- z 2i Im z.
利用共轭复数的概念，还可以得到 两个关于复数模的重要公式：
z1 z 2 z1 z 2 Re( z1 z 2 ), z1 z2 z1 z2 Re( z1 z2 ).
(2) ∞的实部，虚部及幅角都无 意义， (3)b≠0(但可为∞)时， b b ,
b ; a 0 , 0, (4)a≠∞时， a a a ; 0 (5)运算∞± ∞，0· ∞， , 0 无意义
§3 复数的乘幂与方根
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
目录
§2 复数几何表示
§3 复数的乘幂与方根
§4 区 域 §5 复变函数
§6 复变函数的极限和连续性
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念 形如 z=x+iy 或 z=x+yi 的数，称为复数 虚部为零的复数就可看作实数，即 x+i· 0=x 复数
z n r n (cosn i sin n ) r nein
n
2k 2k z r (cos i sin ) n n 1
1 n
w0 r (cos i sin ) n n 1 2 2 n
n
w1 r (cos
1 n
………………………………………
当x在第一象限
当x在第二象限 当x在第三象限 当x在第四象限 当z在正y轴上
2 arg z 2 0, ,
当z在负y轴上
当z在正x轴上 当z在负x轴上
复变函数-第一章-复数与复变函数
y
28
1 i
2
q
4
w0
r 2
q 2k
n i sin
w2
q 2k
n )
o
w3
x
wk n r (cos
16
例 2. 求
4
-1
解 : 1 cos i sin
4
1 cos
2k
4
i sin
2k
4
, (k 0,1,2,3).
z1
z2
z0 内点
P
D-区域
(6) 连通 D中任意两点可用一条全在D
中的曲线连接起来。
21
外点
z1
z2
z0 内点
P
(7) 区域
连通的开集.
D-区域
区域D与它的边界一起构成闭区域, 或闭域. D
22
(8) 有界区域 如果存在正数M，使得对于一切D中的点z， z M, 有 则称 D为有界区域,否则称为无界区域。 例如
设 w e , 由w z , 有 ne in re iq ,
i n
则 n r , n q 2k
(k为整数 ).
即 w = n z = n re
r (cos
n
i
θ + 2 kπ n
，
q 2k
n )
q 2k
n
i sin
(k为整数).
14
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
z. 共轭 x iy为x iy的共轭复数，记为
注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同； (2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数； (3)实部为0，虚部不为0，为纯虚数。
复变函数总复习
复平面上的区域 复变函数 设 f (z) = u(x, y) + iv(x, y), A = a + bi, z0 = x0 + iy0
z→z0
lim f (z) = A ⇔ lim u(x, y) = a, lim v(x, y) = b
x→x0 y→y0 x→x0 y→y0
复变函数的极限和连续
满足下列条件的点组成何种图形? 例 满足下列条件的点组成何种图形?是不是区 域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域. 若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.
c c
复积分的性质 １、 ∫ f (z)dz = −∫ f (z)dz c c
−
２、 ３、
∫ kf (z)dz = −k∫
c c
c
f (z)dz f (z)dz ± ∫ g(z)dz
c
∫ [ f (z) ± g(z)]dz = ∫
c
４、 ∫c f (z)dz ≤ ∫c f (z) ds ≤ ML 曲线Ｃ的长度为Ｌ，函数在Ｃ上满足 f (z) ≤ M
复积分计算的一般方法 设 f (z) 沿曲线Ｃ连续，曲线Ｃ的参数方程 为 z = z(t ) (α ≤ t ≤ β ) ，其中起点为 z(α) ，终 点为 z(β ) ，则
1 1 x − iy 1 = 2 又 w= = 2 = ( x − iy), z x + iy x + y 9
1 1 1 1 于是 w = u + iv = x − iy ⇒ u = x, v = − y 9 9 9 9 1 2 2 1 2 2 平面上的圆. 表示 w 平面上的圆 u + v = (x + y ) = 81 9
2
•
《复变函数》第一章 复数与复变函数
(1.14)
若 z 为指数形式， z rei ， w f (z) 则又可表为 w p(r,) i(r,) (1.15)
其中 p(r, ) ，Q(r, ) 均为 r 、 的二元实函数． 由(1.14)和(1.15)两式说明，我们可以把复变函数理解为复平面 z 上的
z 1
均为多值函数．
今后如无特别说明，所提到的函数均为单值函数．
设 w f (z) 是定义在点集 E 上的函数，若令 z x iy ，w u iv
则 u 、 v 均随着 x 、 y 而确定，即 u 、v 均为 x 、y 的
二元实函数，因此我们常把 w f (z) 写成
f (z) u(x, y) iv(x, y)
z2
Argz1 Argz1
Argz2 Argz2
(1.11)
公式(1.10)与(1.11)说明：两个复数 z1 ， z2 的乘积（或商），其模等
于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或
差）．
特别当 z2 1 时可得 z1z2 rei(12 )
cos3 cos3 3cos sin2 4cos3 3cos
sin 3 3cos2 sin sin3 3sin 4sin3
4.曲线的复数方程
例1.2 连接 z1 及 z2 两点的线段的参数方程为 z z1 t(z2 z1) (0 t 1)
区域．
例如，例1.5—1.8所示的区域均为单连通区域，例1.9所示的区域为多连 通区域．
作业: 第42页 6.(1) (3) (5) , 7, 8,9
§3 复变函数
1．复变函数概念
高等数学复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数
第一章 复数与复变函数第一节 复数1．复数域每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。
复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。
如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。
复数的四则运算定义为：)21()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222a ib a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。
2．复平面C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。
作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面，w -平面等。
3．复数的模与辐角复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。
向量的长度称为复数的模，定(,)x y义为：||z向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Arg arctan 2y z i xπ=+（k Z ∈）。
复数的共轭定义为：z x iy =-；复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+；复数加法的几何表示：设1z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212z z z z +≥-； （3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212z z z z -≥-； （5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =；例1．1试用复数表示圆的方程：22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠）其中a,b,c,d 是实常数。
数学物理方法课件-1 复数与复变函数
sin z sinx iy
sin x cosiy cosx sin iy
sin x ey e y cos x ey e y
2
2i
sin2 x ey e y 2 cos2 x ey e y 2
4
4
1 sin 2 x e2 y 2 e2 y cos2 x e2y 2 e2y 2
所有的无穷大复数（平面上无限远点）投影到唯一的北极 N。故我们为 方便，将无穷远点看作一个点。其模无穷大，幅角无意义。
§1.2 复变函数
1. 定义
zz0
邻域
以复数 z0 为圆心，以任意小实数 为半径
作一圆，则圆内所有点的集合称为z0的邻域.
内点
z0 和它的邻域都属于 E， 则 z0 为 E 的内点。
(2) 极坐标
x cos y sin
z x iy cos i sin 复数的极坐标表示
模 幅角, Argz x2 y2
arctg( y / x)
由于三角函数的周期性，复数的幅角不唯一，且 彼此相差2π的整数倍.
)
,
lim
zz0
g(z)
g ( z0 ),则
lim [ f (z) g(z)]
zz0
f (z0) g(z0)
lim
zz0
f (z)g(z)
f
(z0 )g(z0 )
lim f (z) f (z0 ) zz0 g(z) g(z0 )
(g(z0 ) 0)
§1.4 可导与可微
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数与复数运算 1. 复数的基本概念
第一章,复数与复变函数
复数 设两个复数对应的向量分别为 相乘 的几 z1 z1 (cos Argz1 i sin Argz） 1 , 何意 z2 z2 (cos Argz2 i sin Argz） 2 义 先将z1按逆时针方向旋转角度 y z1 z2
Argz2
再将模变到原来的r2倍,于是
所得的向量z就表示乘积 z1 z2 .
M.Kline (《古今数学思想》(Mathematical
Thought from Ancient to Modern Times)的作 Kline (1908-1992) , 纽约大学Courant 者,Morris 美国数学史家 ) 指出: 从技术观点来看 ,十 数学
Hale Waihona Puke 九世纪最独特的创造是单复变函数的理论 .这个 研究所的教授. 他的著作包括《数学: 确定性的 新的数学分支统治了十九世纪,几乎象微积分的 失》等. 直接扩展统治了十八世纪那样.这一丰饶的数学 分支,一直被称为这个世纪的数学享受.它也被欢
(3) 复数的商
z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 2 2 i 2 2 z2 x 2 y2 x 2 y2
复数域C
2、复平面
• 复数z=x+yi与二元有序数组（x,y）一一对应。
• 二元有序数组（x,y）与直角坐标平面上的点 P（x,y）一一对应。
因此 复数z=x+yi与直角坐标平 y 面上的点P(x,y)一一对应。
2 2 2
复数的积与商 的几何意义如何？
复数的乘积
设复数z1和z2的三角表示式为
z1 z1 (cos Argz1 i sin Argz） 1 , z2 z2 (cos Argz2 i sin Argz） 2
第一章 复数和复变函数
ei1 ei2 (cos1 i sin 1 )(cos 2 i sin 2 ) cos(1 2 ) i sin(1 2 ) ei (1 2 ) ,
可得
z1z 2 r1r2ei (1 2 ) .
于是有如下等式
（1.13）
| z1 z2 || z1 || z2 |, Arg ( z1z 2 ) Arg ( z1 ) Arg ( z 2 ).
（1.14）
式(1.14)表明： 两个复数乘积的模等于它们模的乘积， 两个复数乘积的辐角等于它们辐角的 和。值得注意的是，由于辐角的多值性，式(1.14)的第二式应理解为对于左端 Arg ( z1 z2 ) 的
上海交通大学数学系 王健
任一值， 必有由右端 Argz1 与 Argz2 的各一值相加得出的 和与之对应；反之亦然。以后，凡遇到多值等式时，都 按此约定理解。 由式(1.14)可得复数乘法的几何意义，即： z1 z2 所 对应的向量是把 z1 所对应的向量伸缩 r2 | z2 | 倍， 然后再 旋转一个角度 2 argz 2 所得(见图 1.2)。
a 2 b 2 ( a b)( a b), a3 b3 ( a b)(a 2 ab b 2 ),
等等仍然成立。实数域和复数域都是代数学中所研究的“域”的实例。 由于一个复数与平面上的一个向量所对应， 因此， 复数的加法运算与平面上向量加法运 算一致,从而以下两个不等式成立。
z2 x2 iy2 相等，是指它们的实部与实部相等,虚部与虚部相等， 即 x1 iy1 x2 iy2
当且仅当 x1 x2 , y1 y2 。 1.1.2 复数的表示 1.1.2.1 代数表示 由式(1.1)所给出的即为复数的代数表示。 1.1.2.2 几何表示 由复数的定义可知，复数 z x iy 与有序数对 ( x, y ) 建立了一一对应关系。在平面上建立直角坐标 系 xOy ，用 xOy 平面上的点 P ( x , y ) 表示复数 z ，这 样复数与平面上的点一一对应，称这样的平面为复平 面。若用向量 OP 表示复数 z ，如图 1.1 所示。该向
第一章复数与复变函数
n 次幂，
cos i sin
n
cosn i sinn
此式称为棣莫佛(De Moivre)公式。
2、复数的开方 开方是乘方的逆运算，设 w z 则称复数 z的n次方根记作： n z . w w为复数
n
容易得
1 1 w z | z |[cos( 2k ) i sin( 2k )] n n
2 2 2 2
2
2
三、复数的表示方法
1. 点的表示法 2. 向量表示法
3. 三角表示法 4. 指数表示法
1. 点的表示法
复数z x iy 一对有序实数x, y), (
在平面直角坐标系中， 任 意 点 ( x , y ) 一 对 有 序 实 数x , y ) P ( z x iy 平 面 上 的 点 ( x , y ) P
则有 z1z2 | z1 || z2 | [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]
于是得到：1z2 || z1 || z2 | |z
Arg( z1z2 ) Argz1 Argz2
后一个式子应理解为集合相等。
几何意义 ： 将复数 z 1 按逆时针方向旋转一个 角度2 ，再将其伸缩 z2 倍。
内接于该圆周的正 n 边形的 n 个顶点。
如 wk 4 1 i
2k 2k 8 2 (cos 4 i sin 4 ) ( k 0,1,2,3) 4 4
（见下图）
w1
y
1 i
2
28
w0
w2
o
w3
x
例5 求解方程 z 3 2 0
解：z 2
故得
1 3
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复变函数教案2012—2013学年度第二学期任课教师郭城课程名称复变函数采用教材高教三版（钟玉泉编）周课时数 4数统学院数学教育专业2010 年级1班引言数学从产生、有发展到现在，已成为分支众多的学科了，复变函数是其中一个非常重要的分支。
以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。
解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论，简称函数论。
我们知道，在解实系数一元二次方程ax2+bx+x=O(a≠o1时，如果判别式b2-4 ac<O，就会遇到负数开平方的问题，最简单的一个例子是在解方程x2+1=0时，就会遇到开平方的问题。
1545年，意大利数学物理学家H Cardan（卡丹）在所著《重要的艺术》一书中列出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程=0的根，它求出形式的根为5和5，积为-+115x x(10)4--=．然而这只不过是一种纯形式的表示而已，当时，谁也说不上这25(15)40样表示究竟有什么好处。
为了使负数开平方有意义，也就是要使上述这类方程有解，我们需要再一次扩大数系，于是就引进了虚数，使实数域扩大到复数域。
但最初，由于对复数的有关概念及性质了解不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，因而，长期以来，人们把复数看作不能接受的“虚数”。
直到十七世纪和十八世纪，随着微积分的发明与发展，情况才逐渐有了改变。
另外的原因，是这个时期复数有了几何的解释，并把它与平面向量对应起来解决实际问题的缘故。
复变函数论产生于十八世纪。
1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。
而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。
因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔一欧拉方程”。
到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西一黎曼条件”。
关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉(Euler)作出的。
他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上，用符号“i”作为虚数的单位，也是他首创的。
此后，复数才被人们广泛承认和使用。
在复数域内考虑问题往往比较方便，例如，一元n次方程在复数域内恒有解。
这就是著名的代数学基本定理，它用复变函数来解决是非常简洁的。
又如，在实数域内负数的对数无意义，而在复数域内我们就可以定义负数的对数。
复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。
当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。
在十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西(Cauchy)、德国数学家黎曼(Riemann)和维尔斯特拉斯(Weierstrass) 的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并深刻地渗人到代数学、解析数论、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支；同时，它在热力学、流体力学、和电学等方面也有很多的应用。
二十世纪以来，复变函数已经被广泛应用到理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也Et益密切。
致使经典的复变函数理论，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题等有了新的发展和应用。
并且，还开辟了一些新的分支，如复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、广义解析函数论以及拟保形变换等。
另外，在种种抽象空间的理论中，复变函数还常常为我们提供新思想的模型。
为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。
后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。
二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。
从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。
它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。
它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中。
现在。
复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。
第一章复数与复变函数1．教学目的复变函数的自变量和因变量都是复数，因此，复数和平面点集是研究复变函数的基础。
复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因此有其新的含义与特点。
本章主要介绍复数和复变函数的基本概念，通过本章教学，使学生明确复变函数要研究的对象是解析函数，其理论基础是建立在复数域和复平面上。
2．教学基本要求理解复数、区域、单连通区域、多连通区域、约当曲线、光滑（逐段光滑）曲线、无穷远点、扩充复平面等概念；理解复数的性质，掌握复数的运算，理解复数的模和辐角的性质；理解并掌握复变函数极限与连续性的概念与性质；进一步认识复数域的结构，并联系中学的复数教学。
3．教学重点和难点重点是复变函数的概念、极限与连续性；难点是无穷远点及无穷远点邻域。
4．学法指导以自习为主，通过讲授1节习题课来加强学生对该章主要概念的理解。
5．教学内容与课时分配教学内容§1 复数教学目的与要求：了解复数的概念及复数的模与辐角； 掌握复数的代数运算复数的乘积与商﹑幂与根运算.重点：德摩弗()DeMoiVre 公式.难点：德摩弗()DeMoiVre 公式.课时：2学时.1． 复数域形如z x iy =+或z z yi =+的数，称为复数，其中x 和y 均是实数，称为复数z 的实部和虚部，记为Re x z =，Im y z = i =两个复数111z x iy =+，与222z x iy =+相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即12x x =且12y y =虚部为零的复数可看作实数，即0x i x +=，特别地，000i +=，因此，全体实数是全体复数的一部分．实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数x iy +和x iy -称为互为共轭复数，记为()x iy x iy +=- 或 x iy x iy -=+设复数111z x iy =+，222z x iy =+，则复数四则运算规定：121212()()z z x x i y y ±=±±±1212121221()()z z x x y y i x y x y =-++1121221122222222222(0)z x x y y x y x y i z z x y x y +-=+≠++ 容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律．全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的．２．复平面从上述复数的定义中可以看出，一个复数z x iy =+实际上是由一对有序实数(,)x y 唯一确定．因此，如果我们把平面上的点(,)x y 与复数z x iy =+对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系．由于x 轴上的点和y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称x 轴为实轴，称y 轴为虚轴，这样表示复数z 的平面称为复平面或z 平面．引进复平面后，我们在“数”与“点”之间建立了一一对应关系，为了方便起见，今后我们就不再区分“数”和“点”及“数集”和“点集”．3．复数的模与幅角由图1.1中可以知道，复数z x iy =+与从原点到点z 所引的向量oz 也构成一一对应关系（复数O 对应零向量）．从而，我们能够借助于点z 的极坐标r 和θ来确定点z x iy =+，向量oz 的长度称为复数z 的模，记为图1.1图1.1 220r z x y ==+≥. 显然，对于任意复数z x iy =+均有x z ≤，y z ≤，z x y ≤+ (1.1) 另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式 1212z z z z +≤+ (1.2) （三角形两边之和≥第三边，图1.2）图1.21212z z z z -≤- (1.3)（三角形两边之差≤第三边，图1.3）图1.3(1.2)与(1.3)两式中等号成立的几何意义是：复数1z ，2z 分别与12z z +及12z z -所表示的三个向量共线且同向．向量oz 与实轴正向间的夹角θ满足y xθ=tan 称为复数z 的幅角()Argument ，记为Argz θ= 由于任一非零复数z 均有无穷多个幅角，若以Argz 表示其中的一个特定值，并称满足条件 Argz ππ-<≤ (1.4)的一个值为Argz 的主角或z 的主幅角，则有arg 2Argz z k θπ==+ (1.5)(0,1,2,)k =±±注意：当0z =时，其模为零，幅角无意义．从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数z ，即有(cos sin )z r i θθ=+ (1.6)同时我们引进著名的欧拉()Euler 公式：cos sin i e i θθθ=+ (1.7)则(1.6)可化为i z re θ= (1.8)(1.6)与(1.8)式分别称为非零复数z 的三角形式和指数形式，由(1.8)式几指数性质即可推得复数的乘除有12121122()121212()111222i i i i i i z z r e r r r e z r e r e z r r θθθθθθθθ+-⎫==⎪⎬==⎪⎭(1.9) 因此 1212z z z z =，1122z z z z = 2(0)z ≠ (1.10) 12121122()Argz z Argz Argz z Arg Argz Argz z =+⎫⎪⎬=-⎪⎭(1.11) 公式(1.10)与(1.11)说明：两个复数1z ，2z 的乘积（或商），其模等于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）． 特别当21z =时可得 12()12i z z re θθ+= 此即说明单位复数()21z =乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度．另外，也可把公式(1.11)中的Argz 换成argz （某个特定值），若argz 为主值时，则公式两端允许相差2π的整数倍，即有12121122()2()2Arg z z argz argz k z Arg argz argz k z ππ=++⎫⎪⎬=-+⎪⎭(1.12) 公式(1.9)可推广到有限个复数的情况，特别地，当12n z z z ===时，有()(cos sin )n i n n in n z re r e r i θθθθ===+ 当1r =时，就得到熟知的德摩弗()DeMoiVre 公式：(cos sin )cos sin n i n i n θθθθ+=+ (1.13)例1.1求cos3θ及sin3θ用cos θ与sin θ表示的式子解：3cos3sin 3(cos sin )i i θθθθ++（）=3223cos 3cos sin 3cos sin sin i i θθθθθθ=+--323cos3cos 3cos sin 4cos 3cos θθθθθθ∴=-=-233sin33cos sin sin 3sin 4sin θθθθθθ=-=-4.曲线的复数方程例1.2连接1z 及2z 两点的线段的参数方程为121()(01)z z t z z t =+-≤≤ 过1z 及2z 两点的直线（图 ）的参数方程为121()()z z t z z t =+--∞≤≤+∞ 例1.3 z 平面上以原点为心，k 为半径的圆周的方程为z R =z 平面上以0z 为心，R 为半径的圆周的方程为0z z R -=例1.4 z 平面上实轴的方程为Im 0z =，虚轴的方程为Re 0z =.作业:第42页 2,3,4§2 复平面上的点集教学目的与要求：平面点集的几个基本概念;掌握区域的概念;了解约当定理. 重点：区域的概念,约当定理.难点：区域的概念.课时：2学时.1. 几个基本概念定义1.1 满足不等式0z z ρ-<的所有点z 组成的平面点集（以下简称点集）称为点0z 的ρ-邻域，记为0N z ρ（）． 显然，0N z ρ（）即表示以0z 为心，以ρ为半径的圆的内部 定义1.2 设E 为平面上的一个点集，若平面上一点0z 的任意邻域内巨有E 的无穷多个点，则称0z 为E 的内点．定义1.3 若E 的每个聚点都属于E ，则称E 为闭集．若E 的所有点均为内点，则称E 为开集定义1.4 若0M ∃>，z E ∀∈，均有z M ≤则称E 为有界集，否则称E 为无界集．2. 区域与约当()Jordan 曲线定义1.5 若非空点集D 满足下列两个条件：(1) D 为开集．(2) D 中任意两点均可用全在D 中的折线连接起来，则称D 为区域. 定义1.6 若0z 为区域D 的聚点且0z 不是D 的内点，则称0z 为D 的界点，D 的所有界点组成的点集称为D 的边界，记为D ∂，若0r ∃>，使得0()r N z D ϕ⋂=，则称0z 为D 的外点定义1.7 区域D 加上它的边界C 称为闭区域，记为D D C =+有关区域的几个例子例1.5 z 平面上以点0z 为心，R 为半径的圆周内部（即圆形区域）：0z z R -< 例1.6 z 平面上以点0z 为心，R 为半径的圆周及其内部（即圆形闭区域）0z z R -≤例1.5与例1.6所表示的区域都以圆周0z z R -=为边界，且均为有界区域 例1.7 上半平面 Im 0z >下半平面 Im 0z <它们都以实轴Im 0z =为边界，且均为无界区域．左半平面 Re 0z >右半平面 Re 0z <它们都以虚轴Re 0z =为边界，且均为无界区域．例1.8 图1.4所示的带形区域表为12Im y z y <<.图1.4x其边界为1y y =与2y y =，亦为无界区域．例1.9 图 所示的圆环区域表为r z R <<其边界为z r =与z R =，为有界区域． 定义1.8 设()x t 及()y t 是两个关于实数t 在闭区间[,]αβ上的连续实数，则由方程()()()z z t x t iy t ==+ ()t αβ≤≤ (1.13)所确定的点集C 称为z 平面上的一条连续曲线，(1.13)称为C 的参数方程，()z α及()z β分别称为C 的起点和终点，对任意满足1t αβ<<及2t αβ<<的1t 与2t ，若12t t ≠时有12()()z t z t =，则点1()z t 称为C 的重点；无重点的连续曲线，称为简单曲线（约当曲线）；()()z z αβ=的简单曲线称为简单闭曲线．若在t αβ≤≤上时，()x t '及()y t '存在节不全为零，则称C 为光滑（闭）曲线．定义1.9 由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线． 定义1.1（约当定理） 任一简单闭曲线C 将z 平面唯一地分为C 、()I C 、()E C 三个点集（图 1.5 ），它们具有如下性质：图1.5(1)彼此不交．I C与()E C一个为有界区域（称为C的内部），另一个为无界区域（称为C的(2)()外部）E C，则P与C必有交(3)若简单折线P的一个端点属于()I C，另一个端点属于()点．对于简单闭曲线的方向，通常我们是这样来规定的：当观察这沿C绕行一周时，C的内部（或挖）始终在C的左方，即“逆时针”（或“顺时针”）方向，称为C 的正方向（或负方向）．定义1.10设D为复平面上的区域，若D内任意一条简单闭曲线的内部全含于D，则称D为单连通区域，不是单连通的区域称为多连通区域．例如，例1.5 1.8所示的区域均为单连通区域，例1.9所示的区域为多连通区域．（请同学们针对定义1.10自己作图思考）作业: 第42页 6.(1) (3) (5) , 7, 8,9§3复变函数教学目的与要求：理解复变函数的概念;了解复变函数的极限与连续的概念. 重点：复变函数的概念.难点：复变函数的几何表示.课时：2学时.1．复变函数概念定义1.11 设E 为一复数集，若存在一个对应法则f ，使得E 内每一复数z 均有唯一（或两个以上）确定的复数u 与之对应，则称在E 上确定了一个单值（或多值）函数()w f z =()z E ∈，E 称为函数()w f z =的定义域，w 值的全体组成的集合称为函数()w f z =的值域．例如w z =，w z =及11z w z +=- (1)z ≠均为单值函数，w =及w Argz =(0)z ≠ 均为多值函数．今后如无特别说明，所提到的函数均为单值函数．设()w f z =是定义在点集E 上的函数，若令z x iy =+，w u iv =+则u 、v 均随着x 、y 而确定，即u 、v 均为x 、y 的二元实函数，因此我们常把()w f z =写成()(,)(,)f z u x y iv x y =+ (1.14)若z 为指数形式，i z re θ=，则()w f z =又可表为(,)(,)w p r i r θθθ=+ (1.15) 其中(,)p r θ，(,)Q r θ均为r 、θ的二元实函数．由(1.14)和(1.15)两式说明，我们可以把复变函数理解为复平面z 上的点集和复平面w 上的点集之间的一个对应关系（映射或变换），这是由于在复平面上我们不再区分“点”（点集）和“数”（数集）．故今后我们也不再区分函数、映射和变换．3. 复变函数的极限和连续性定义1.12 设()w f z =于点集E 上有定义，0z 为E 的聚点，若存在一复数0w ，使得0ε∀>，0δ∃>，当00z z δ<-<时有0()f z w ε-< ()z Z ∈则称()f z 沿E于0z 有极限0w ，记为lim ()0()f z w z z z E =→∈定义1.12的几何意义是：对于0ε∀>，存在相应的0δ>，使得当z 落入0z 的去心δ-邻域时，相应的()f z 就落入0w 的ε-邻域．这就说明lim ()0()f z z z z E →∈与0z z →的路径无关．即不管z 在E 上从哪个方向趋于0z ，只要z 落入0z 的去心δ-邻域内，则相应的()f z 就落入0w 的ε-邻域内，而在数学分析中，0lim ()x x f x →中x 只能在x 轴上沿着0x 的左，右两个方向趋于0x ，这正是复分析与数学分析不同的根源．今后为了简便起见，在不致引起混淆的地方，lim ()0()f z z z z E →∈均写成lim ()0f z z z → 可以类似于数学分析中的极限性质，容易验证复变函数的极限具有以下性质：(1)若极限存在，则极限是唯一的．(2)lim ()0f z z z →与lim ()0g z z z →都存在，则有 lim [()()]lim ()lim ()000f z g z f z g z z z z z z z ±=±→→→ lim ()()lim ()lim ()000f z g z f z g z z z z z z z =→→→lim ()()0lim lim ()lim ()000f z z z f z g z g z z z z z z z →=→→→ (()0)g z ≠另外，对于复变函数的极限与其实部和虚部的极限的关系问题，我们有下述定理：定理1.2 设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+于点集E 上有定义，000z x iy =+为E 的聚点，则lim ()0f z a ib z z η==+→的充要条件0lim (,)x x u x y a →=及0lim (,)y y v x y b →= 证明：因为()[(,)][(,)]f z u x y a i v x y b η-=-+-从而由不等式1.1可得(,)()(,)()u x y a f z v x y b f z ηη-≤-⎫⎪⎬-≤-⎪⎭(1.16)及 ()(,)(,)f z u x y a v x y b η-≤-+- (1.17)故由(1.16)即可得必要性部分的证明．由(1.17)可得充分性部分的证明． 定义1.13设()w f z =于点集E 上有定义，0z 为E 的聚点，且0z z ∈，若0lim ()()f z f z =则称()f z 沿E 于0z 连续．根据定义1.13，()f z 沿E 于0z 连续就意味着：0ε∀>，0δ∃>，当0z z δ-<时，有0()()f z f z ε-<与数分中的连续函数性质相似，复变函数的连续性有如下性质：(1)若()f z ，()g z 沿集E 于点0z 连续，则其和，差，积，商（在商的情形，要求分母0z 不为零）沿点集E 于0z 连续．(2)若函数0()f z η=沿集E 于0z 连续，且()f E G ⊆，函数()w g η=沿集G 于00()f z η=连续，则复合函数0[()]w g f z =沿集E 于0z 连续．其次，我们还有定理1.3 设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+于点集E 上有定义,0z E ∈,则()f z 在点000z x iy =+连续的充要条件为：(,)u x y ,(,)v x y 沿E 于点00(,)x y 均连续.事实上,类似于定理1.2的证明,只要把其中的a 换成00(,)u x y ,b 换成00(,)v x y 即可得到定理的证明.例1.10 设1()()2z z f z i zz =- (0)z ≠ 试证()f z 在原点无极限,从而在原点不连续.证明：设(cos sin )z r i θθ=+,则22211()()()sin 222z z z z z z f z i i r zz θ-+-=== 因此000lim ()0z z f z z θπθ→→⎧⎪=⎨→⎪⎩当沿着正实轴=0时1当沿着正实轴=时4故0lim ()z f z →不存在,从而在原点不连续. 定义1.14 若函数()f z 在点集E 上每一点都连续,则称()f z 在E 上连续,或称()f z 为E 上的连续函数.特别地,当E 为实轴上的区间[,]αβ时,则连续曲线(1.16)就是[,]αβ上的连续函数()z z t =其次,若E 为闭区域D ,则D 上每一点均为聚点,考虑其边界上的点0z 的连续性时,0z z →只能沿D 的点z 来取.与数学分析相同,在有界闭集E 上连续的伏辩函数具有以下性质：(1)在E 上()f z 有界,即0M ∃>,使得()()f z M z E ≤∈ (2)()f z 在E 上有最大值和最小值.(3)()f z 在E 上一致连续,即0ε∀>,0δ∃>使对E 上任意两点1z ,2z ,只要12z z δ-<就有12()()f z f z ε-<作业: 第43页 10(1) (3), 11(1)(3) 13 14 15 17§4复球面与无穷远点教学目的与要求：理解复球面的概念;了解与无穷远点相关的扩充复平面的几个概念.重点：复球面的概念.难点：无穷远点与扩充复平面.课时：1学时.1. 复球面 复数还有一种几何表示方法，它是借助地图制图学中将地球投影到平面上的测地投影法，建立复平面与球面上的点的一一对应，这种说明引入无穷远点的合理性。