第一章-复数与复变函数

复变函数教案2012—2013学年度第二学期任课教师郭城课程名称复变函数采用教材高教三版（钟玉泉编）周课时数 4数统学院数学教育专业2010 年级1班引言数学从产生、有发展到现在，已成为分支众多的学科了，复变函数是其中一个非常重要的分支。

以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。

解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论，简称函数论。

我们知道，在解实系数一元二次方程ax2+bx+x=O(a≠o1时，如果判别式b2-4 ac<O，就会遇到负数开平方的问题，最简单的一个例子是在解方程x2+1=0时，就会遇到开平方的问题。

1545年，意大利数学物理学家H Cardan（卡丹）在所著《重要的艺术》一书中列出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程=0的根，它求出形式的根为5和5，积为-+115x x(10)4--=．然而这只不过是一种纯形式的表示而已，当时，谁也说不上这25(15)40样表示究竟有什么好处。

为了使负数开平方有意义，也就是要使上述这类方程有解，我们需要再一次扩大数系，于是就引进了虚数，使实数域扩大到复数域。

但最初，由于对复数的有关概念及性质了解不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，因而，长期以来，人们把复数看作不能接受的“虚数”。

直到十七世纪和十八世纪，随着微积分的发明与发展，情况才逐渐有了改变。

另外的原因，是这个时期复数有了几何的解释，并把它与平面向量对应起来解决实际问题的缘故。

复变函数论产生于十八世纪。

1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。

而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。

因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔一欧拉方程”。

到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西一黎曼条件”。

关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉(Euler)作出的。

他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上，用符号“i”作为虚数的单位，也是他首创的。

此后，复数才被人们广泛承认和使用。

在复数域内考虑问题往往比较方便，例如，一元n次方程在复数域内恒有解。

这就是著名的代数学基本定理，它用复变函数来解决是非常简洁的。

又如，在实数域内负数的对数无意义，而在复数域内我们就可以定义负数的对数。

复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。

当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。

在十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西(Cauchy)、德国数学家黎曼(Riemann)和维尔斯特拉斯(Weierstrass) 的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并深刻地渗人到代数学、解析数论、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支；同时，它在热力学、流体力学、和电学等方面也有很多的应用。

二十世纪以来，复变函数已经被广泛应用到理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也Et益密切。

致使经典的复变函数理论，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题等有了新的发展和应用。

并且，还开辟了一些新的分支，如复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、广义解析函数论以及拟保形变换等。

另外，在种种抽象空间的理论中，复变函数还常常为我们提供新思想的模型。

为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。

后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。

二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。

从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。

它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。

它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中。

现在。

复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。

第一章复数与复变函数1．教学目的复变函数的自变量和因变量都是复数，因此，复数和平面点集是研究复变函数的基础。

复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因此有其新的含义与特点。

本章主要介绍复数和复变函数的基本概念，通过本章教学，使学生明确复变函数要研究的对象是解析函数，其理论基础是建立在复数域和复平面上。

2．教学基本要求理解复数、区域、单连通区域、多连通区域、约当曲线、光滑（逐段光滑）曲线、无穷远点、扩充复平面等概念；理解复数的性质，掌握复数的运算，理解复数的模和辐角的性质；理解并掌握复变函数极限与连续性的概念与性质；进一步认识复数域的结构，并联系中学的复数教学。

3．教学重点和难点重点是复变函数的概念、极限与连续性；难点是无穷远点及无穷远点邻域。

4．学法指导以自习为主，通过讲授1节习题课来加强学生对该章主要概念的理解。

5．教学内容与课时分配教学内容§1 复数教学目的与要求：了解复数的概念及复数的模与辐角； 掌握复数的代数运算复数的乘积与商﹑幂与根运算.重点：德摩弗()DeMoiVre 公式.难点：德摩弗()DeMoiVre 公式.课时：2学时.1． 复数域形如z x iy =+或z z yi =+的数，称为复数，其中x 和y 均是实数，称为复数z 的实部和虚部，记为Re x z =，Im y z = i =两个复数111z x iy =+，与222z x iy =+相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即12x x =且12y y =虚部为零的复数可看作实数，即0x i x +=，特别地，000i +=，因此，全体实数是全体复数的一部分．实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数x iy +和x iy -称为互为共轭复数，记为()x iy x iy +=- 或 x iy x iy -=+设复数111z x iy =+，222z x iy =+，则复数四则运算规定：121212()()z z x x i y y ±=±±±1212121221()()z z x x y y i x y x y =-++1121221122222222222(0)z x x y y x y x y i z z x y x y +-=+≠++ 容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律．全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的．２．复平面从上述复数的定义中可以看出，一个复数z x iy =+实际上是由一对有序实数(,)x y 唯一确定．因此，如果我们把平面上的点(,)x y 与复数z x iy =+对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系．由于x 轴上的点和y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称x 轴为实轴，称y 轴为虚轴，这样表示复数z 的平面称为复平面或z 平面．引进复平面后，我们在“数”与“点”之间建立了一一对应关系，为了方便起见，今后我们就不再区分“数”和“点”及“数集”和“点集”．3．复数的模与幅角由图1.1中可以知道，复数z x iy =+与从原点到点z 所引的向量oz 也构成一一对应关系（复数O 对应零向量）．从而，我们能够借助于点z 的极坐标r 和θ来确定点z x iy =+，向量oz 的长度称为复数z 的模，记为图1.1图1.1 220r z x y ==+≥. 显然，对于任意复数z x iy =+均有x z ≤，y z ≤，z x y ≤+ (1.1) 另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式 1212z z z z +≤+ (1.2) （三角形两边之和≥第三边，图1.2）图1.21212z z z z -≤- (1.3)（三角形两边之差≤第三边，图1.3）图1.3(1.2)与(1.3)两式中等号成立的几何意义是：复数1z ，2z 分别与12z z +及12z z -所表示的三个向量共线且同向．向量oz 与实轴正向间的夹角θ满足y xθ=tan 称为复数z 的幅角()Argument ，记为Argz θ= 由于任一非零复数z 均有无穷多个幅角，若以Argz 表示其中的一个特定值，并称满足条件 Argz ππ-<≤ (1.4)的一个值为Argz 的主角或z 的主幅角，则有arg 2Argz z k θπ==+ (1.5)(0,1,2,)k =±±注意：当0z =时，其模为零，幅角无意义．从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数z ，即有(cos sin )z r i θθ=+ (1.6)同时我们引进著名的欧拉()Euler 公式：cos sin i e i θθθ=+ (1.7)则(1.6)可化为i z re θ= (1.8)(1.6)与(1.8)式分别称为非零复数z 的三角形式和指数形式，由(1.8)式几指数性质即可推得复数的乘除有12121122()121212()111222i i i i i i z z r e r r r e z r e r e z r r θθθθθθθθ+-⎫==⎪⎬==⎪⎭(1.9) 因此 1212z z z z =，1122z z z z = 2(0)z ≠ (1.10) 12121122()Argz z Argz Argz z Arg Argz Argz z =+⎫⎪⎬=-⎪⎭(1.11) 公式(1.10)与(1.11)说明：两个复数1z ，2z 的乘积（或商），其模等于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）． 特别当21z =时可得 12()12i z z re θθ+= 此即说明单位复数()21z =乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度．另外，也可把公式(1.11)中的Argz 换成argz （某个特定值），若argz 为主值时，则公式两端允许相差2π的整数倍，即有12121122()2()2Arg z z argz argz k z Arg argz argz k z ππ=++⎫⎪⎬=-+⎪⎭(1.12) 公式(1.9)可推广到有限个复数的情况，特别地，当12n z z z ===时，有()(cos sin )n i n n in n z re r e r i θθθθ===+ 当1r =时，就得到熟知的德摩弗()DeMoiVre 公式：(cos sin )cos sin n i n i n θθθθ+=+ (1.13)例1.1求cos3θ及sin3θ用cos θ与sin θ表示的式子解：3cos3sin 3(cos sin )i i θθθθ++（）=3223cos 3cos sin 3cos sin sin i i θθθθθθ=+--323cos3cos 3cos sin 4cos 3cos θθθθθθ∴=-=-233sin33cos sin sin 3sin 4sin θθθθθθ=-=-4.曲线的复数方程例1.2连接1z 及2z 两点的线段的参数方程为121()(01)z z t z z t =+-≤≤ 过1z 及2z 两点的直线（图 ）的参数方程为121()()z z t z z t =+--∞≤≤+∞ 例1.3 z 平面上以原点为心，k 为半径的圆周的方程为z R =z 平面上以0z 为心，R 为半径的圆周的方程为0z z R -=例1.4 z 平面上实轴的方程为Im 0z =，虚轴的方程为Re 0z =.作业:第42页 2,3,4§2 复平面上的点集教学目的与要求：平面点集的几个基本概念;掌握区域的概念;了解约当定理. 重点：区域的概念,约当定理.难点：区域的概念.课时：2学时.1. 几个基本概念定义1.1 满足不等式0z z ρ-<的所有点z 组成的平面点集（以下简称点集）称为点0z 的ρ-邻域，记为0N z ρ（）． 显然，0N z ρ（）即表示以0z 为心，以ρ为半径的圆的内部 定义1.2 设E 为平面上的一个点集，若平面上一点0z 的任意邻域内巨有E 的无穷多个点，则称0z 为E 的内点．定义1.3 若E 的每个聚点都属于E ，则称E 为闭集．若E 的所有点均为内点，则称E 为开集定义1.4 若0M ∃>，z E ∀∈，均有z M ≤则称E 为有界集，否则称E 为无界集．2. 区域与约当()Jordan 曲线定义1.5 若非空点集D 满足下列两个条件：(1) D 为开集．(2) D 中任意两点均可用全在D 中的折线连接起来，则称D 为区域. 定义1.6 若0z 为区域D 的聚点且0z 不是D 的内点，则称0z 为D 的界点，D 的所有界点组成的点集称为D 的边界，记为D ∂，若0r ∃>，使得0()r N z D ϕ⋂=，则称0z 为D 的外点定义1.7 区域D 加上它的边界C 称为闭区域，记为D D C =+有关区域的几个例子例1.5 z 平面上以点0z 为心，R 为半径的圆周内部（即圆形区域）：0z z R -< 例1.6 z 平面上以点0z 为心，R 为半径的圆周及其内部（即圆形闭区域）0z z R -≤例1.5与例1.6所表示的区域都以圆周0z z R -=为边界，且均为有界区域 例1.7 上半平面 Im 0z >下半平面 Im 0z <它们都以实轴Im 0z =为边界，且均为无界区域．左半平面 Re 0z >右半平面 Re 0z <它们都以虚轴Re 0z =为边界，且均为无界区域．例1.8 图1.4所示的带形区域表为12Im y z y <<.图1.4x其边界为1y y =与2y y =，亦为无界区域．例1.9 图 所示的圆环区域表为r z R <<其边界为z r =与z R =，为有界区域． 定义1.8 设()x t 及()y t 是两个关于实数t 在闭区间[,]αβ上的连续实数，则由方程()()()z z t x t iy t ==+ ()t αβ≤≤ (1.13)所确定的点集C 称为z 平面上的一条连续曲线，(1.13)称为C 的参数方程，()z α及()z β分别称为C 的起点和终点，对任意满足1t αβ<<及2t αβ<<的1t 与2t ，若12t t ≠时有12()()z t z t =，则点1()z t 称为C 的重点；无重点的连续曲线，称为简单曲线（约当曲线）；()()z z αβ=的简单曲线称为简单闭曲线．若在t αβ≤≤上时，()x t '及()y t '存在节不全为零，则称C 为光滑（闭）曲线．定义1.9 由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线． 定义1.1（约当定理） 任一简单闭曲线C 将z 平面唯一地分为C 、()I C 、()E C 三个点集（图 1.5 ），它们具有如下性质：图1.5(1)彼此不交．I C与()E C一个为有界区域（称为C的内部），另一个为无界区域（称为C的(2)()外部）E C，则P与C必有交(3)若简单折线P的一个端点属于()I C，另一个端点属于()点．对于简单闭曲线的方向，通常我们是这样来规定的：当观察这沿C绕行一周时，C的内部（或挖）始终在C的左方，即“逆时针”（或“顺时针”）方向，称为C 的正方向（或负方向）．定义1.10设D为复平面上的区域，若D内任意一条简单闭曲线的内部全含于D，则称D为单连通区域，不是单连通的区域称为多连通区域．例如，例1.5 1.8所示的区域均为单连通区域，例1.9所示的区域为多连通区域．（请同学们针对定义1.10自己作图思考）作业: 第42页 6.(1) (3) (5) , 7, 8,9§3复变函数教学目的与要求：理解复变函数的概念;了解复变函数的极限与连续的概念. 重点：复变函数的概念.难点：复变函数的几何表示.课时：2学时.1．复变函数概念定义1.11 设E 为一复数集，若存在一个对应法则f ，使得E 内每一复数z 均有唯一（或两个以上）确定的复数u 与之对应，则称在E 上确定了一个单值（或多值）函数()w f z =()z E ∈，E 称为函数()w f z =的定义域，w 值的全体组成的集合称为函数()w f z =的值域．例如w z =，w z =及11z w z +=- (1)z ≠均为单值函数，w =及w Argz =(0)z ≠ 均为多值函数．今后如无特别说明，所提到的函数均为单值函数．设()w f z =是定义在点集E 上的函数，若令z x iy =+，w u iv =+则u 、v 均随着x 、y 而确定，即u 、v 均为x 、y 的二元实函数，因此我们常把()w f z =写成()(,)(,)f z u x y iv x y =+ (1.14)若z 为指数形式，i z re θ=，则()w f z =又可表为(,)(,)w p r i r θθθ=+ (1.15) 其中(,)p r θ，(,)Q r θ均为r 、θ的二元实函数．由(1.14)和(1.15)两式说明，我们可以把复变函数理解为复平面z 上的点集和复平面w 上的点集之间的一个对应关系（映射或变换），这是由于在复平面上我们不再区分“点”（点集）和“数”（数集）．故今后我们也不再区分函数、映射和变换．3. 复变函数的极限和连续性定义1.12 设()w f z =于点集E 上有定义，0z 为E 的聚点，若存在一复数0w ，使得0ε∀>，0δ∃>，当00z z δ<-<时有0()f z w ε-< ()z Z ∈则称()f z 沿E于0z 有极限0w ，记为lim ()0()f z w z z z E =→∈定义1.12的几何意义是：对于0ε∀>，存在相应的0δ>，使得当z 落入0z 的去心δ-邻域时，相应的()f z 就落入0w 的ε-邻域．这就说明lim ()0()f z z z z E →∈与0z z →的路径无关．即不管z 在E 上从哪个方向趋于0z ，只要z 落入0z 的去心δ-邻域内，则相应的()f z 就落入0w 的ε-邻域内，而在数学分析中，0lim ()x x f x →中x 只能在x 轴上沿着0x 的左，右两个方向趋于0x ，这正是复分析与数学分析不同的根源．今后为了简便起见，在不致引起混淆的地方，lim ()0()f z z z z E →∈均写成lim ()0f z z z → 可以类似于数学分析中的极限性质，容易验证复变函数的极限具有以下性质：(1)若极限存在，则极限是唯一的．(2)lim ()0f z z z →与lim ()0g z z z →都存在，则有 lim [()()]lim ()lim ()000f z g z f z g z z z z z z z ±=±→→→ lim ()()lim ()lim ()000f z g z f z g z z z z z z z =→→→lim ()()0lim lim ()lim ()000f z z z f z g z g z z z z z z z →=→→→ (()0)g z ≠另外，对于复变函数的极限与其实部和虚部的极限的关系问题，我们有下述定理：定理1.2 设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+于点集E 上有定义，000z x iy =+为E 的聚点，则lim ()0f z a ib z z η==+→的充要条件0lim (,)x x u x y a →=及0lim (,)y y v x y b →= 证明：因为()[(,)][(,)]f z u x y a i v x y b η-=-+-从而由不等式1.1可得(,)()(,)()u x y a f z v x y b f z ηη-≤-⎫⎪⎬-≤-⎪⎭(1.16)及 ()(,)(,)f z u x y a v x y b η-≤-+- (1.17)故由(1.16)即可得必要性部分的证明．由(1.17)可得充分性部分的证明． 定义1.13设()w f z =于点集E 上有定义，0z 为E 的聚点，且0z z ∈，若0lim ()()f z f z =则称()f z 沿E 于0z 连续．根据定义1.13，()f z 沿E 于0z 连续就意味着：0ε∀>，0δ∃>，当0z z δ-<时，有0()()f z f z ε-<与数分中的连续函数性质相似，复变函数的连续性有如下性质：(1)若()f z ，()g z 沿集E 于点0z 连续，则其和，差，积，商（在商的情形，要求分母0z 不为零）沿点集E 于0z 连续．(2)若函数0()f z η=沿集E 于0z 连续，且()f E G ⊆，函数()w g η=沿集G 于00()f z η=连续，则复合函数0[()]w g f z =沿集E 于0z 连续．其次，我们还有定理1.3 设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+于点集E 上有定义,0z E ∈,则()f z 在点000z x iy =+连续的充要条件为：(,)u x y ,(,)v x y 沿E 于点00(,)x y 均连续.事实上,类似于定理1.2的证明,只要把其中的a 换成00(,)u x y ,b 换成00(,)v x y 即可得到定理的证明.例1.10 设1()()2z z f z i zz =- (0)z ≠ 试证()f z 在原点无极限,从而在原点不连续.证明：设(cos sin )z r i θθ=+,则22211()()()sin 222z z z z z z f z i i r zz θ-+-=== 因此000lim ()0z z f z z θπθ→→⎧⎪=⎨→⎪⎩当沿着正实轴=0时1当沿着正实轴=时4故0lim ()z f z →不存在,从而在原点不连续. 定义1.14 若函数()f z 在点集E 上每一点都连续,则称()f z 在E 上连续,或称()f z 为E 上的连续函数.特别地,当E 为实轴上的区间[,]αβ时,则连续曲线(1.16)就是[,]αβ上的连续函数()z z t =其次,若E 为闭区域D ,则D 上每一点均为聚点,考虑其边界上的点0z 的连续性时,0z z →只能沿D 的点z 来取.与数学分析相同,在有界闭集E 上连续的伏辩函数具有以下性质：(1)在E 上()f z 有界,即0M ∃>,使得()()f z M z E ≤∈ (2)()f z 在E 上有最大值和最小值.(3)()f z 在E 上一致连续,即0ε∀>,0δ∃>使对E 上任意两点1z ,2z ,只要12z z δ-<就有12()()f z f z ε-<作业: 第43页 10(1) (3), 11(1)(3) 13 14 15 17§4复球面与无穷远点教学目的与要求：理解复球面的概念;了解与无穷远点相关的扩充复平面的几个概念.重点：复球面的概念.难点：无穷远点与扩充复平面.课时：1学时.1. 复球面 复数还有一种几何表示方法，它是借助地图制图学中将地球投影到平面上的测地投影法，建立复平面与球面上的点的一一对应，这种说明引入无穷远点的合理性。