四川省成都石室中学2012届高三“一诊”模拟试题

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（3）求证：对一切 n ∈ N * 且 n ≥ 2 ） ，有 a 2 2 + a3 2 + ⋯ + an 2 < ．
1 6
成都石室中学高 2012 届一诊模拟
数 学 试 题 (理科 ) 答案
一.选择题(本题共有 12 小题, 每题 5 分,共 60 分,每题恰有一个答案) 1. 已知 z = 1 + i ，则 A．
14.已知函数 f ( x ) 的导函数为 f ′( x) ，且满足 f ( x ) = 3x 2 + 2 xf ′(2) ，则 f ′(5) = 15.将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 对折成 120� 的二面角,则 B,D 在四面体 A-BCD 的外接球 球面上的距离为 16．已知定义域为 （0， ，恒有 + ∞） 的函数 f(x) 满足： 对任意 x ∈ （0， + ∞） 成立； 当 x∈ （1，2 ] 时， f(x)=2-x 。给出如下结论： ①对任意 m ∈ Z ，有 f(2 m )=0 ； ②函数 f(x) 的值域为 [0， + ∞） ； ③存在 n ∈ Z ，使得 f(2 n +1)=9 ； ④“函数 f(x) 在区间 ( a, b) 上单调递减”的充要条件是 “存在 k ∈ Z ，使得
19. (满分 12 分)如图，五面体 ABCDE 中，正 ∆ ABC 的边长为 1，AE ⊥ 平面 ABC，CD∥AE， 且 CD= AE． (I)设 CE 与平面 ABE 所成的角为α ，AE= k (k > 0), 若 α ∈ [ , ], 求 k 的取值范围； (Ⅱ)在(I)和条件下，当 k 取得最大值时，求平面 BDE 与平面 ABC 所成 角的大小．
8. 设随机变量 ξ 服从标准正态分布 N ( 0， 1) ，在某项测量中，已知 P ( ξ < 1 .96 ) = 0.950， 则 ξ 在 ( −∞， −1.96) 内取值的概率为 A．0.025
���
�
（ C．0.950
�
A ）
B．0.050
D．0.975
�
9.设 a, b, c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足 a 与 b 不共 线, a ⊥ c , | a |=| c | , 则 | b ⋅ c |的值一定等于 A．以 a , b 为邻边的平行四边形的面积 C． a , b 为两边的三角形面积
21. (满分 12 分) 已知函数 f (x ) =
ln x − 1． x
（1）试判断函数 f ( x ) 的单调性； （2）设 m > 0 ，求 f ( x) 在 [m, 2m] 上的最大值； （3）试证明：对任意 n ∈ N* ，不等式 ln(
1+n e 1+n ) < 都成立（其中 e 是自然对数的底数） ． n n
� � � � �
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�
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( A ) B. 以 b, c 为两边的三角形面积 D. 以 b , c 为邻边的平行四边形的面积
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10.已知 p 是 r 的充分条件而非必要条件, q 是 r 的充分条件, s 是 r 的必要条件, q 是 s 的必要 条件.现有下列命题： ① s 是 q 的充要条件； ② p 是 q 的充分非必要条件； ③ r 是 q 的必要非充分条件； ④ ¬ p是¬ s 的必要非充分条件； ⑤ r 是 s 的充分条件而不是必要条件 则正确命题序号是 （ B ） A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D. ②④⑤
11.某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余数 大于 ．．6 ． 时再增选一名代表. 那么各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系 用取整函数 y＝[x]（[x]表示不大于 x 的最大整数）可以表示为 A.y＝[ x ] B.y＝[ x + 3 ] C.y＝[ x + 4 ] D.y＝[ x + 5 ]
7.已知函数 f ( x ) = cos( x + θ ), θ ∈ R .若 lim
x →0
f (π + x) − f (π ) = 1，则函数 f(x)的解析式为 x
（
A ） A. f ( x ) = − sin x B. f ( x ) = − cos x C. f ( x ) = sin x D. f ( x ) = cos x
成都石室中学高 2012 届一诊模拟
数 学 试 题 (理科 )
一.选择题(本题共有 12 小题, 每题 5 分,共 60 分,每题恰有一个答案) 1. 已知 z = 1 + i ，则 A．
4 3 + i 5 5 1+ z 等于 1+ z2
（
4 3 − i 5 5
）
B．
C． i
D． −i （
π 2
2. 下列函数中， 周期为 π ， 且在 [ , ] 上为减函数的是 A. y = sin( x + )
A． log 5 2
B. log 2 5
C.4
D.2
5.将 4 名新来的同学分配到 A、B、C 三个班级中,每个班级至少安排 1 名学生,其中甲同学 不能分配到 A 班，那么不同的分配方案有 ( ) A. 18 种 B. 24 种 C. 54 种 D. 60 种
6．设 {a n } 、 {bn } 分别为等差数列与等比数列，且 a1 = b1 = 4 ， a 4 = b4 = 1 ,则以下结论一定成 立的是( A． a 2 > b2 ) B． a 3 < b3 C． a 5 > b 5 D． a 6 > b 6
10 10 10 10
（
）
12. 如图,在长方形 ABCD 中，AB= 3 ,BC=1，E 为线段 DC 上一动点，现将 ∆ AED 沿 AE 折起,使点 D 在面 ABC 上的射影 K 在直线 AE 上，当 E 从 D 运动到 C，则 K 所形成轨迹的 长度为 ( ) A．
D
3 2
E C
B．
2 3 3
D D'
C．
π 2
C
D．
π 3
E K
B A B A
二.填空题(每题 4 分,共 16 分) 13.设 y = f ( x) 存在反函数 y = f −1 ( x) ,且函数 y = x − f ( x) 的图象过点(1,2),则函数 y = f −1 ( x) − x 的 图象一定过点 .
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π 2
π π 4 2
）
B. y = cos(2x + )
π 2
C. y = sin(2 x + )
D. y = cos( x + ) （ ）
π 2
3. 1 − x 展开式中不含 x 4 项的系数的和为
(
)
8
A.-1
B.0
C.1
D.2 （ ）
4.若函数 f ( x ) = loga x（其中 a > 0, a ≠ 1) 满足 f (5) = 2 ， 则 f − 1 (2 log5 2) 的值为
� �
)
� �
��
C． a , b 为两边的三角形面积 D. 以 b , c 为邻边的平行四边形的面积 10.已知 p 是 r 的充分条件而非必要条件, q 是 r 的充分条件, s 是 r 的必要条件, q 是 s 的必要 条件.现有下列命题： ① s 是 q 的充要条件； ② p 是 q 的充分非必要条件； ③ r 是 q 的必要非充分条件； ④ ¬ p是 ¬ s 的必要非充分条件； ⑤ r 是 s 的充分条件而不是必要条件， 则正确命题序号是 （ ） A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D. ②④⑤
D
1 2
ห้องสมุดไป่ตู้
π π 6 4
E
C
A
B
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20. (满分 12 分) 设数列 { an } 满足 a1 + 2a2 + 3a3 + ... + nan = 2n (n ∈ N *). （I）求数列 { an } 的通项； （II）设 bn = n 2 an , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .
（ D ）
A． log 5 2
B. log 2 5
C.4
D.2
5.将 4 名新来的同学分配到 A、B、C 三个班级中,每个班级至少安排 1 名学生,其中甲同学 不能分配到 A 班，那么不同的分配方案有 ( B ) A. 18 种 B. 24 种 C. 54 种 D. 60 种
6．设 {a n } 、 {bn } 分别为等差数列与等比数列，且 a1 = b1 = 4 ， a 4 = b4 = 1 ,则以下结论一定成 立的是( A ) A． a 2 > b2 B． a 3 < b3 C． a 5 > b 5 D． a 6 > b 6
8. 设随机变量 ξ 服从标准正态分布 N ( 0， 1) ，在某项测量中，已知 P ( ξ < 1 .96 ) = 0.950，
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则 ξ 在 ( −∞， −1.96) 内取值的概率为 A．0.025
���
�
（ C．0.950
�
）
B．0.050
D．0.975
�
9.设 a, b, c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足 a 与 b 不共 线, a ⊥ c , | a |=| c | , 则 | b ⋅ c |的值一定等于 A．以 a, b 为邻边的平行四边形的面积
� � �
�
�
� �
( B. 以 b, c 为两边的三角形面积
（
π 2
C ）
B. y = cos(2x + )
π 2
C. y = sin(2 x + )
D. y = cos( x + ) （ A ）
π 2
3. 1 − x 展开式中不含 x 4 项的系数的和为 A.-1 B.0 C.1 D.2
(
)
8
4.若函数 f ( x ) = loga x（其中 a > 0, a ≠ 1) 满足 f (5) = 2 ， 则 f − 1 (2 log5 2) 的值为
7.已知函数 f ( x ) = cos( x + θ ), θ ∈ R .若 lim
x →0
f (π + x) − f (π ) = 1， 则函数 f(x)的解析式为 x
（
）
A. f ( x ) = − sin x
B. f ( x ) = − cos x
C. f ( x ) = sin x
D. f ( x ) = cos x
4 3 + i 5 5 1+ z 等于 1+ z2
（ B ）
4 3 − i 5 5
B．
C． i
D． −i
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2. 下列函数中，周期为 π ，且在 [ , ] 上为减函数的是 A. y = sin( x + )
π 2
π π 4 2
f(2x)=2f(x)
(a , b ) ⊆ (2k , 2k +1 ) ”.
其中所有正确结论的序号是
成都石室中学高 2012 届一诊模拟数学答题卷 (理科 )
13.
14.
15.
16.
三.解答题(本题共有 6 小题,共 74 分,写出必要的解答或证明过程) 17.(满分 12 分)在△ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a , b , c ,且 a cos C , b cos B, c cos A 成等差数 列. （Ⅰ）求 B 的值； （Ⅱ）求 2sin 2 A + cos( A − C) 的范围.
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22．(满分 14 分)已知数列 {a n } 中， a1 = 1 ， a 2 = ，且 a n +1 = （1）求 a 3 、 a 4 的值； （2）求数列 {a n } 的通项公式
1 4
( n − 1) an （ n = 2, 3, 4, ⋯ ） ． n − an
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18．(满分 12 分)某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行 5 次统一测试，学生如果通 过其中 2 次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学 生最多也只能参加 5 次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是 1/3，每次测试通过 与否互相独立．规定：若前 4 次都没有通过测试，则第 5 次不能参加测试 (1)求该学生考上大学的概率． (2)记该生参加测试的次数为ξ,求ξ的分布列及ξ的数学期 望．