四川省成都市石室中学2021届高三上学期期末考试数学(理)试卷及答案
2021年四川省成都市石室中学高考数学三诊试卷(理科)(附答案详解)
2021年四川省成都市石室中学高考数学三诊试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2021·四川省成都市·模拟题)集合A={y|y=2x,x≤0}，B={−1,0，1，2}，则A∩B=()A. {1}B. {0}C. {1,2}D. {−1,0}2.(2021·四川省成都市·模拟题)设i为虚数单位，若复数z满足(2+i)z=5，则|z|=()A. 5B. √55C. √5D. 2√53.(2021·四川省成都市·模拟题)若实数x，y满足约束条件{x+y−3≤0x−y+1≥0y≥0，则z=x+2y的最大值为()A. −1B. 1C. 3D. 54.(2021·四川省成都市·模拟题)下列说法错误的是()A. “a>1”是“1a<1”的充分不必要条件B. 在回归直线ŷ=0.5x−85中，变量x=200时，变量y的值一定是15C. 命题p：∃x0∈R，x02+x0+1<0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0D. 若α∩β=1，m⊂α，n⊂β，α⊥β，m⊥l，则m⊥n5.(2021·四川省成都市·模拟题)多项式(x−2x)(1−x)4的展开式中含x2项的系数为()A. −2B. −4C. 2D. 46.(2021·四川省成都市·模拟题)已知函数f(x)=ae x+x2的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=(2e+2)x+b，那么ab=()A. 2B. 1C. −1D. −27.(2021·四川省成都市·模拟题)已知函数f(x)=xsinx，则其大致图象是下列图中的()A.B.C.D.8. (2021·四川省成都市·模拟题)“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题(如7被3除余1：1被2除余1).现有这样一个整除问题：将1到100这100个正整数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则数列{a n }各项的和为( )A. 736B. 816C. 833D. 298009. (2021·四川省成都市·模拟题)函数f(x)=sin(ωx +φ)(|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g(x)=sin3x 的图象，只需将f(x)的图象( )A. 向右平移π4个单位长度 B. 向左平移π4个单位长度 C. 向右平移π12个单位长度D. 向左平移π12个单位长度10. (2021·四川省成都市·模拟题)《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P −ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，PA =BC =4，AB =3，AB ⊥BC ，若三棱锥P −ABC 有一个内切球O ，则球O 的体积为( )A. A 9π2B. 9π4C. 9π16D. 9π11. (2021·四川省成都市·模拟题)已知函数y =f(x −1)的图象关于x =1对称，满足f(2−x)=f(x)，且f(x)在(−1,0)上递减.若a =f(5−12)，b =f(−ln2)，c =f(log 318)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <c <bB. c <b <aC. a <b <cD. b <a <c12. (2021·四川省成都市·模拟题)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点，过点F 1作斜率为√22的直线l 与双曲线的左，右两支分别交于M ，N 两点，以F 2为圆心的圆过M ，N ，则双曲线C 的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. √5二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2021·四川省成都市·模拟题)记S n 为递增等比数列{a n }的前n 项和，若a 1a 2a 3=8，a 4=a 3+4，则S 10的值为______ ．14. (2021·四川省成都市·模拟题)已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π3，则向量a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 的夹角为______ ．15. (2021·四川省成都市·模拟题)已知直线经过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F ，并交抛物线于A ，B 两点，则|AF|=4，且在抛物线的准线上的一点C 满足CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则p = ______ ．16. (2020·重庆市市辖区·月考试卷)函数f(x)的定义域为D ，若满足：(1)f(x)在D 内是单调函数；(2)存在[m 2,n2]⊆D ，使得f(x)在[m 2,n2]上的值域为[m,n]，那么就称函数f(x)为“梦想函数”．若函数f(x)=log a (a x +t)(a >0,a ≠1)是“梦想函数”，则t 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. (2020·浙江省温州市·单元测试)已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且满足c =acosB −√33bsinA ．(I)求角A 的大小；(Ⅱ)若c =2，△ABC 的面积为√32，D 为边BC 的中点，求AD 的长度．18. (2021·江苏省徐州市·模拟题)在如图所示的圆柱O 1O 2中，AB 为圆O 1的直径，C ，D 是AB ⏜的两个三等分点，EA ，FC ，GB 都是圆柱O 1O 2的母线． (1)求证：FO 1//平面ADE ；(2)若BC =FC =2，求二面角B −AF −C 的余弦值．19.(2021·四川省成都市·模拟题)2021年3⋅15期间，某家具城举办了一次家具有奖促销活动，消费每超过1万元(含1万元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，则打5折；若摸出2个红球和1个黑球则打7折；若摸出1个白球2个黑球，则打9折：其余情况不打折.方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，黑球8个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减2000元．(1)若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7折优惠的概率；(2)若某顾客消费恰好满1万元，试从数学期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？20.(2021·四川省成都市·模拟题)已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)离心率为√32，点P(√3,12)在椭圆M上．(1)求椭圆M的方程；(2)设O为坐标原点，A，B，C是椭圆M上不同的三点，且O为△ABC的重心，探究△ABC面积是否为定值，若是求出这个定值；若不是，说明理由．21.(2021·江西省吉安市·单元测试)已知函数f(x)=2x−alnx+4a，(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)令g(x)=f(x)−sinx，若存在x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2时，g(x1)=g(x2)，证明：x1x2<a2．)=2，圆C：ρ=2sinθ.以极点22.(2020·四川省遂宁市·月考试卷)直线l：ρcos(θ−π6O为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy．(1)求直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；(2)已知点P在圆C上，点P到直线l和x轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值．23.(2021·四川省成都市·模拟题)设函数f(x)=|3x−1|+|2x+2|的最小值M．(1)求M；(2)已知a、b、c均为正实数，且a+b+c=9M，求证：(24a −1)(24b−1)(24c−1)≥8．答案和解析1.【答案】A【知识点】交集及其运算【解析】解：∵A ={y|y =2x ,x ≤0}={y|0<y ≤1}，B ={−1,0，1，2}， ∴A ∩B ={y|0<y ≤1}∩{−1,0，1，2}={1}． 故选：A ．求解指数函数的值域化简A ，再由交集运算得答案． 本题考查指数函数的值域，考查交集及其运算，是基础题．2.【答案】C【知识点】复数的模【解析】解：∵复数z 满足(2+i)z =5， ∴z =52+i=5(2−i)(2+i)(2−i)=10−5i 4−i 2=2−i ．∴|z|=√4+1=√5． 故选：C ．利用复数的运算法则直接求解．本题考查复数的模的求法，考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【知识点】简单的线性规划【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x −y +1=0x +y −3=0，解得A(1,2)，由z=x+2y，化为y=−x2+z2，由图可知，当直线y=−x2+z2过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为5．故选：D．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．4.【答案】B【知识点】命题及其关系、区别否命题与命题的否定、必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】解：当a>1，可得1a <1，即为充分条件，当1a<1时，可得a>1或a<0，即为不必要条件，故A选项正确，当变量x=200时，回归直线ŷ=0.5x−85=0.5×100−85=15，说明y的值在15附近波动，故B选项错误，特称命题的否定为全称命题，故C选项正确，∵α∩β=1，m⊂α，m⊥l，∴m⊥β，∵n⊂β，∴m⊥n，故D选项正确．故选：B．当a>1，可得1a <1，即为充分条件，当1a<1时，可得a>1或a<0，即为充分不必要条件，即可判断A选项，根据回归直线的定义即可判断B选项，特称命题的否定为全称命题，故可判断C选项，根据空间线面关系，即可判断D选项．本题考查了命题的真假判断，命题的否定，属于基础题．5.【答案】D【知识点】二项式定理【解析】解：多项式(x−2x)(1−x)4的展开式中含x2项的系数为C41⋅(−1)−2C43⋅(−1)3=−4+8=4，故选：D．由题意利用通项公式，求得(x−2x)(1−x)4的展开式中含x2项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．6.【答案】D【知识点】导数的几何意义【解析】解：f(x)=ae x+x2图象在(1,f(1))切线方程为y=(2e+2)x+b，由f(x)=ae x+x2，f′(x)=ae x+2x，f′(1)=ae+2=2e+2⇒a=2，f(1)=ae+1=2e+2+b⇒b=−1，ab=−2，故选：D．利用导数的几何意义、切点在曲线上、切点在切线上建立关于a，b的方程求解即可．本题考查导数的几何意义，考查在点切线的求法，属于基础题．7.【答案】C【知识点】函数图象的作法【解析】解：∵f(−x)=−xsin(−x)=xsinx=f(x)，∴该函数为偶函数，故排除答案A，D，又∵f(3π2)=0而B选项中显然f(3π2)<0，因此排除B．故选：C．首先研究函数奇偶性排除选项A，D，接着利用特殊值的方法可以选择正确答案D．该道题目主要考察给定函数解析式，找函数图像，主要用到的方法有：判断奇偶性，代特殊值等方法．8.【答案】C【知识点】数列求和方法【解析】解：“能被2除余1且被3除余1的数”即“被6除余1”，所有项为等差数列，通项为“a n=6n−5”，由题意知6n−5≤100，得n≤352，∴n≤17，a17=6×17−5=97，a1=1，∴S17=17(a1+a17)2=17(1+97)2=833．故选：C．“能被2除余1且被3除余1的数”即“被6除余1”，可建模为等差数列通项“a n= 6n−5”，可解决此题．本题考查等差数列通项公式及求和应用，考查数学运算能力及建模能力，属于中档题．9.【答案】C【知识点】函数y=A sin(ωx+φ)的图象与性质【解析】解：由图象知函数的周期T=4(5π12−π4)=4×2π12=2π3，即2πω=2π3，得ω=3，则f(x)=sin(3x+φ)，由f(5π12)=sin(3×5π12+φ)=−1，得sin(5π4+φ)=−1，即5π4+φ=2kπ+3π2，得φ=2kπ+π4，k∈Z，∵|φ|<π2，∴当k=0时，φ=π4，即f(x)=sin(3x+π4)=sin3(x+π12)，为了得到g(x)=sin3x的图象，只需将f(x)的图象向右平移π12个单位长度，得到y=sin3(x−π12+π12)=sin3x，故选：C．根据图象求出ω和φ的值，结合三角函数的图象变换关系，进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，求出三角函数的解析式以及利用三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．10.【答案】C【知识点】球的表面积和体积【解析】解：由题意，将鳖臑补形为长方体，如图根据PA=BC=4，AB=3，AB⊥BC，可得△PAC的面积为10，△BAC的面积为6，△BPC的面积为10，，△BAP的面积为6，三棱锥P−ABC有一个内切球半径为r，可得V P−ABC=13r(S PAC+S ABC+S PBC+ S PAB)即13×S ABC×AP=13r×32解得r=34，∴球O的体积V=43πr3=9π16．故选：C．将鳖臑补形为长方体，利用等体积法即可内切球的半径r，从而求解球O的体积．本题考查球的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11.【答案】A【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性与单调区间【解析】解：由y=f(x−1)的图象关于x=1对称，可得f(x)是偶函数，即f(−x)=f(x)；∵f(2−x)=f(x)，即f(x+2)=f(−x)=f(x)，可得f(x)的周期T=2；f(x)在(−1,0)上递减，在(0,1)上递增．a=f(5−12)=f(√55)≈f(0.404)，b=f(−ln2)=f(ln2)≈f(0.69)，c=f(log318)=f(2+log32)=f(log32)≈f(0.63)，注：log32=lg2lg3=0.30.447≈0.63，则a<c<b．故选：A．由y=f(x−1)的图象关于x=1对称，可得f(x)是偶函数，f(2−x)=f(x)可得f(x)的周期T=2，f(x)在(−1,0)上递减．那么(0,1)上递增，只需比较√55，ln2和log32的大小即可得a，b，c的大小关系．本题考查了函数的性质和常见对数的估值计算．常见对数估值：lg2≈0.3，lg3≈0.477，ln2≈0.69.属于基础题．12.【答案】B【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：取MN的中点P，因为以F2为圆心的圆过M，N，则MF2=NF2，连结F2P，则F2P⊥MN，设MF2=NF2=x，因为MF2−MF1=2a，则MF1=x−2a，又因为NF1−NF2=2a，则NF1=x+2a，所以MN=NF1−MF1=4a，则MP=NP=2a，故PF1=x，在Rt△F1F2P中，PF2=√4c2−x2，在Rt△MF2P中，PF2=√x2−4a2，所以√4c2−x2=√x2−4a2，解得x2=2a2+2c2，又直线的斜率为√22，则tan∠PF1F2=F2PF1P =√2b2√2a2+2c2=√22，所以c2−a2a2+c2=12，即c2=3a2，所以离心率e=ca=√3．故选：B．取MN的中点P，连结F2P，则F2P⊥MN，设MF2=NF2=x，利用双曲线的定义，结合勾股定理分别在Rt△F1F2P和Rt△MF2P中求出PF2，从而得到x2=2a2+2c2，再利用直线的斜率，列出等式，得到a，c的关系，即可得到答案．本题考查了双曲线的几何性质的理解和应用，解题的关键是寻找基本量a，b，c之间的等量关系，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．13.【答案】1023【知识点】等比数列的求和【解析】解：∵{a n}为等比数列，又∵a1a2a3=8，∴a23=8，a2=2，设等比数列{a n}的公比为q，∵a4=a3+4，∴a2q2=a2q+4，即2q2=2q+4，解得q=−1，q=2，∵{a n}为递增的等比数列，∴q=−1(舍去)，q=2，∵a2=2a1，∴a1=a22=22=1，运用等比数列前n项和公式S n=a1(1−q n)1−q =1−2101−2=1023．故答案为：1023．根据已知条件，可推得a1=1，q=2，运用等比数列的前n项和公式，即可求解．本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14.【答案】150°【知识点】向量的夹角、向量的数量积【解析】解：向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，|b⃗ |=2，且a⃗与b⃗ 的夹角为π3，∴cos<(a⃗−b⃗ )，b⃗ >=(a⃗ −b⃗)⋅b⃗|a⃗ −b⃗|⋅|b⃗|=⃗ ⃗ 2√(a⃗−b⃗ )2⋅|b⃗ |=|a⃗|⋅|b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >−|b⃗ |2√a⃗2−2|a⃗|⋅|b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >+b⃗ ⋅2=1×2×12−4√1−2×1×2×12+4⋅2=−√32．∴向量a⃗−b⃗ 与b⃗ 的夹角为150°．故答案为：150°．cos<(a⃗−b⃗ )，b⃗ >=(a⃗ −b⃗)⋅b⃗|a⃗ −b⃗|⋅|b⃗|，由此能求出向量a⃗−b⃗ 与b⃗ 的夹角．本题考查向量的夹角的求法，考查向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】2【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】解：过A 作AD 垂直于准线于D ，过B 作BE 垂直于准线于E 点设准线与x 轴交于P ， 由抛物线的性质可得|AF|=|AD|=4， CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得|BC|=2|BF|=|BE|， 所以∠DCA =30°， 所以|AC|=2|AD|=8，|CF|=|AC|−|AF|=8−4=4， 所以|PF|=12|CF|=2=p ， 故答案为：2．由抛物线的性质及向量的关系可得|AC|与|AF|的关系，进而可得p 的值． 本题考查抛物线的性质及向量的运算，属于中档题．16.【答案】(−14,0)【知识点】函数定义域与值域、函数的单调性与单调区间 【解析】解：(1)设u(x)=a x +t ，则y =log a u ，当a >1时，u(x)=a x +t 为增函数，y =log a u 也是增函数，则y =log a (a x +t)为增函数，当0<a <1时，u(x)=a x +t 为减函数，y =log a u 也是减函数，则y =log a (a x +t)为增函数，综上可得：y =log a (a x +t)为增函数，即f(x)在D 内是单调函数． (2)∵f(x)是单调递增函数，∴若f(x)=log a (a x +t)为“梦想函数”，则有{f(m2)=log a (a m2+t)=m f(n 2)=log a (a n2+t)=n ，即方程a x 2+t =a x 有两个不同的正数解， 即可得(a x2)2−a x2−t =0有两个不同的正数解， 则有{△=1+4t >0x 1+x 2=1>0x 1x 2=−t >0，即{t >−14t <0，可得−14<t <0， 即t 的取值范围为(−14,0)，故答案为：(--14，0)．根据复合函数单调性的关系先判断函数f(x)是单调递增函数，然后根据值域关系建立方程，然后转化为方程根的个数问题即可．本题主要考查函数值域的应用，结合复合函数单调性之间的关系，转化为一元二次方程根的分布问题是解决本题的关键，是中档题．17.【答案】解：(I)因为c =acosB −√33bsinA ． 由正弦定理可得，sinC =sinAcosB −√33sinBsinA ，即sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA =sinAcosB −√33sinBsinA ，因为sinB ≠0， 所以tanA =−√3， 因为A ∈(0,π)， 所以A =2π3，(II)因为S △ABC =12bcsinA =12×2b ×√32=√32，故b =1，由题意可得，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14[4+1+2×2×1×(−12)]=34， 故AD =√32．【知识点】正弦定理【解析】(I)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tan A ，进而可求A ； (2)由已知结合三角形的面积公式可求b ，然后结合向量的线性运算及向量的数量积的性质可求．本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用及三角结合向量的综合应用，属于中档试题．18.【答案】(1)证明：连接O 1C ，因为EA ，FC ，都是圆柱O 1O 2的母线，所以AE//CF ，因为C ，D 是AB ⏜的两个三等分点，AB 为圆O 1的直径，所以AD//O 1C ，又因为AD ∩AE =A ，CF ∩O 1F =F ，所以平面AED//平面O 1CF ，又因为O 1F ⊂平面O 1CF ，所以FO 1//平面ADE ．(2)解：连接AC ，因为AB 为圆O 1的直径，所以AC ⊥BC ， 又因为CF ⊥平面ABC ，所以CF ⊥CB ，CF ⊥AC ， 所以CA 、CB 、CF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得各点坐标如下： C(0,0，0)，B(0,2，0)，F(0,0，2)，A(2√3,0，0)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3,2，0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ (−2√3,0，2)， 设平面ABF 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， {AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2√3x +2y =0AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2√3x +2z =0，令x =1，则m ⃗⃗⃗ =(1,√3,√3)， 平面ACF 的法向量为n⃗ =(0,1，0)， 所以二面角B −AF −C 的余弦值为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√7⋅1=√217．【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、线面平行的判定【解析】(1)根据直线与平面平行的判定定理证明；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．19.【答案】解：(1)选择方案一，若享受到7折，则需要摸出2个红球和1个黑球，故该顾客享受7折优惠的概率为C 22C 71C 103=7120； (2)若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 的可能取值为5000，7000，9000，10000， 所以P(X =5000)=C 22C 11C 103=1120， P(X =7000)=C 22C 71C 103=7120，P(X =9000)=C 11C 72C 103=740，P(X =10000)=1−1120−7120−740=91120，故E (X)=5000×1120+7000×7120+9000×740+10000×91120=288253≈9608.3元；若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则Z =10000−2000Y ， 由已知可得Y ～B(3,15)，所以E(Y)=3×15=35，故E (Z)=E(10000−2000Y)=10000−2000E(Y)=8800元． 因为E(X)>E(Z)，故该顾客选择第二种抽奖方案更合算．【知识点】离散型随机变量的期望与方差、离散型随机变量及其分布列 【解析】(1)利用古典概型的概率公式求解即可；(2)先求出方案一的随机变量X 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解，然后再利用方案二满足二项分布，由二项分布的数学期望公式求解，最后进行比较即可得到答案．本题考查了古典概型概率公式的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，二项分布数学期望公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为点P(√3,12)在椭圆M 上，则(√3)2a 2+(12)2b 2=1，又离心率为√32，则ca=√32，结合a 2=b 2+c 2， 解得a 2=4，b 2=1， 所以椭圆M 的方程为x 24+y 2=1；(2)当直线AB 的斜率不存在时，则AB ⊥x 轴，点C 在x 轴上，|AB|=√3， 点C 到AB 的距离为3，故S △ABC =12|AB|⋅d =3√32； 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +m ，联立方程组{y =kx +mx 24+y 2=1，可得(4k 2+1)x 2+8kmy +4(m 2−1)=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则△=16(4k 2+1−m 2)>0，且x 1+x 2=−8km4k 2+1,x 1x 2=4m 2−44k 2+1，故y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m4k 2+1， 因为O 为△ABC 的重心，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(8km 4k 2+1,−2m4k 2+1)， 故点C(8km 4k 2+1,−2m4k 2+1)在椭圆上，则有(8km4k2+1)24+(−2m4k2+1)2=1，整理可得4m2=4k2+1，所以|AB|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2⋅4√4k2+1−m24k2+1，又点O到直线AB的距离为d=√1+k2，所以S△ABC=3S△ABO=32|AB|d=6|m|√4k2+1−m24k2+1=6|m|√3m24m2=3√32．综上所述，△ABC面积为定值3√32．【知识点】直线与椭圆的位置关系、椭圆的性质及几何意义【解析】(1)利用点在椭圆上以及离心率结合a2=b2+c2，得到关于a，b，c的方程组，求出a，b的值，即可得到椭圆的标准方程；(2)先求出当直线AB斜率不存在时S△ABC的面积，当AB斜率存在时，设直线AB的方程，与椭圆方程联立，得到韦达定理，利用重心的性质求出点C的坐标，将点C代入椭圆方程得到k与m的关系，求出弦长|AB|以及O到直线AB的距离d，将△ABC的面积转化为△ABO表示，从而化简可得答案．本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，点到直线距离公式的运用，弦长公式的运用，重心性质的运用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2−ax =2x−ax，当a≤0时，f′(x)>0当a>0时，由f′(x)>0得x>a2，由f′(x)<0得0<x<a2，∴当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在(0,a2)上单调递减，在(a2,+∞)单调递增．(2)证明：g(x)=2x−alnx−sinx+4a，∵g(x1)=g(x2)，∴2x1−alnx1−sinx1=2x2−alnx2−sinx2，∴a(lnx1−lnx2)=2(x1−x2)−(sinx1−sinx2)，令ℎ(x)=x−sinx，则ℎ′(x)=1−cosx≥0，∴ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，不妨设x1>x2>0，∵ℎ(x1)>ℎ(x2)，∴x1−sinx1>x2−sinx2∴−(sinx1−sinx2)>x2−x1，∴2(x 1−x 2)−(sinx 1−sinx 2)>2(x 1−x 2)+(x 2−x 1)=x 1−x 2，∴a(lnx 1−lnx 2)>x 1−x 2，∴a >x 1−x2lnx 1−lnx 2，下面证明x 1−x2lnx 1−lnx 2>√x 1x 2，令t =x 1x 2(t >1)，只需证t−1lnt >√t ，只需证√t lnt >0，设m(t)=√tlnt(t >1)，则m′(t)=√t−1)22t √t>0，∴m(t)在(1,+∞)递增，∴m(t)>m(1)=0， 即x 1−x 2lnx 1−lnx 2>√x 1x 2成立，∴a >√x 1x 2， 即x 1x 2<a 2．【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性 【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； (2)求出g(x)的解析式，根据g(x 1)=g(x 2)，得到a(lnx 1−lnx 2)=2(x 1−x 2)−(sinx 1−sinx 2)，令ℎ(x)=x −sinx ，结合函数的单调性求出a >x 1−x 2lnx 1−lnx 2，证明x 1−x2lnx 1−lnx 2>√x 1x 2成立即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，分类讨论思想，是难题．22.【答案】解：(1)由ρcos(θ−π6)=2，得12ρsinθ+√32ρcosθ=2， 又{x =ρcosθy =ρsinθ，代入可得直线l 的直角坐标方程为：12y +√32x =2，即为y +√3x =4； 由圆C ：ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ， 又x =ρcosθ，y =ρsinθ，ρ2=x 2+y 2， ∴圆C 直角坐标方程为：x 2+(y −1)2=1；由x 2+(y −1)2=1得，圆C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)； (2)设点P 坐标为(cosα,1+sinα)， 则d 1=√3cosα+1+sinα−4|√(√3)2+12=|√3cosα+sinα−3|2=12(3−√3cosα−sinα)，又d 2=1+sinα，那么d 1+d 2=52+12sinα−√32cosα=sin(α−π3)+52，当α=5π6时，d 1+d 2取得最大值72．第21页，共21页 【知识点】简单曲线的极坐标方程、曲线的参数方程【解析】(1)把直线l 的极坐标方程展开两角差的余弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的直角坐标方程，把圆的参数方程变形，化为直角坐标方程，再由平方公式可得其参数方程；(2)设点P 坐标为(cosα,1+sinα)，由点到直线的距离公式可得d 1，再求出d 2，作和后利用三角函数求最值可得d 1+d 2的最大值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23.【答案】(1)解：f(x)=|3x −1|+|2x +2|={−5x −1,x <−1−x +3,−1≤x ≤135x +1,x >13，f(x)在(−∞,13]上单调递减，在[13,+∞)上单调递增，则f(x)的最小值为f(13)=−13+3=83，故M =83；(2)证明：a +b +c =9M =24，(24a −1)(24b −1)(24c −1)=(a +b +c a −1)(a +b +c b −1)(a +b +c c −1) =(b+c a )(a+c b )(a+b c )≥2√bc a ⋅2√ac b ⋅2√ab c =8abc abc =8．当且仅当a =b =c =8时等号成立．【知识点】证明不等式的基本方法【解析】(1)写出分段函数解析式，由单调性求最小值，则M 可求；(2)由(1)可得M =83，代入a +b +c =9M =24，把24用a +b +c 代换，展开后利用基本不等式即可证明结论．本题考查分段函数最值的求法，考查不等式的证明，训练了基本不等式的应用，是中档题．。
高2021届成都石室中学理科试题(0920)
22．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以坐标原点 为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点 为曲线 上的动点，点 在线段 的延长线上且满足 点 的轨迹为 .
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）设点 的极坐标为 ，求 面积的最小值.
B．黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的等差中项
C．黄金双曲线的焦距是实轴与虚轴的等比中项
D．黄金双曲线的焦距是实轴与虚轴的等差中项
6．已知 ，则 （）
A． B． C． D．
7．已知点 是正方体 的面ABCD上一动点，且满足 ，设 与平面 所成的角为 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
8．已知a、b、c分别是 内角A、B、C的对边， ， ，则 面积的最大值是（）
20．已知椭圆 ： 过点 且离心率为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 ， 分别为 的左右顶点， 为直线 上的任意一点，直线 ， 分别与 相交于 、 两点，连接 ，试证明直线 过定点，并求出该定点的坐标.
21．已知函数 ，其中 为非零常数.
（1）讨论 的极值点个数，并说明理由；
（2）若 ，
①证明： 在区间 内有且仅有 个零点；
B．“ ”是“ ”的充分不必要条件
C．“ ”的必要不充分条件是“ ”
D．若命题 ，则命题
4．执行如图所示的程序框图，若输出的 为4，则输入的 应为( )
A．－2B．16
C．－2或8D．－2或16
5．我们将 称为黄金分割数，亦可简称为黄金数，将离心率等于黄金数的倒数的双曲线叫做黄金双曲线，则（）
A．黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的等比中项
（Ⅱ）设 ,数列{ }的前 项和为 ，求证： .
2021届四川省成都市石室中学高三一模数学(理)试题及答案
2021届四川省成都市石室中学高三一模数学（理）试题一、单选题1．已知集合x y z xyzM mm x y z xyz⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，则M 的子集个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8答案：D分,,x y z 都是正数，,,x y z 都是负数，,,x y z 中有一个是正数，另两个是负数，,,x y z 中有两个是正数，另一个是负数四种情况分别得出m 的值，从而求得集合M 的元素的个数，由此可得出集合M 的子集的个数.解：因为集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，所以当,,x y z 都是正数时，4m =； 当,,x y z 都是负数时，4m =-；当,,x y z 中有一个是正数，另两个是负数时，0m =， 当,,x y z 中有两个是正数，另一个是负数时，0m =， 所以集合M 中的元素是3个，所以M 的子集个数是8， 故选：D.2．若复数z 满足2021(1)1i z i +⋅=-，则其共轭复数z 的模为（ ）A ．1B ．1-C D ．2答案：A由复数的四则运算得出z ，再由模长公式得出共轭复数z 的模. 解：()1010202121010(1)i i i i i =⋅=⋅-=21(1)1211(1)(1)2i i i z i i i i ----====-++-,||1z i z ∴==故选：A3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093答案：D 解：试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 4．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项的和为n S ，则“0q ＞”是“2132S S S ⋅＜”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C由2132S S S ⋅＜可得出0q >，利用等价性即可判断.解：11S a =，()211S a q =+，()2311S a q q =++，故()()222222131111S S S a q q q a q ⎡⎤-⋅=+-++=⎣⎦，因为在等比数列{}n a 中，10a ≠，故21320S S S q ⋅<⇔>,故“0q ＞”是“2132S S S ⋅＜”的充要条件.故选：C ．点评：本题考查充要条件的判断，涉及等比数列的性质，属于基础题.5．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ）个 A ．242610AB ．242610A AC ．()2142610CD ．()2142610C A先求从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数，再求出后接4个数字组成的方法数，由分步计数原理即可得结论．解：解：先从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数为()2126C，后接4个数字组成的方法数为410A，所以由分步计数原理可得不相同的牌照号码共有()2126C410A个.故选：D．6．已知圆柱形石材，底面圆半径为125-，高为5log9，若此石材可加工成体积最大的球体，则此球表面积为（）A．45πB．()254log3πC．()254log9πD．425π答案：A比较圆柱的底边直径与高的大小，从而确定此石材可加工成体积最大的球体的半径，再由表面积公式得出此球表面积.解：1255log9log51,251->=⋅=<，125log925-∴>⋅即1523log5->故此石材可加工成体积最大的球体的半径为125-即此球表面积为2124 455ππ-⎛⎫=⎪⎝⎭故选：A7．已知圆C的半径为2，在圆C内随机取一点M，则过点M的所有弦的长度都大于为（）A．1πB．34C．14D．12答案：C当M是弦中点时，弦长最短，利用垂径定理,得只要M点到圆心C的距离不大于1即可满足要求，由此可得M点所在区域，计算出该区域面积及已知圆面积后可得概率．解：当M是弦中点时，弦长最短，弦长为1CM=，所以过点M的所有弦的长度都大于M落在以点C为圆心，半径为1的圆内．则所求概率为221124Pππ⨯==⨯．点评：本题考查几何概型，解题关键是确定点M 所在的区域．利用弦长公式及垂径定理可确定．8．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x （ ） A ．是偶函数B ．其图象关于直线π2x =对称C ．在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．在区间π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦ 答案：D利用辅助角公式得出()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由已知条件求得ω的值，再利用函数图象变换求得函数()y g x =的解析式，利用正弦型函数的基本性质可判断各选项的正误.解：()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由于函数()y f x =的零点构成一个公差为2π的等差数列，则该函数的最小正周期为π， 0ω>，则22πωπ==，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象沿x 轴向右平移6π个单位， 得到函数()2sin 22sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象. 对于A 选项，函数()y g x =的定义域为R ，()()()2sin 22sin 2g x x x g x -=-=-=-， 函数()y g x =为奇函数，A 选项错误；对于B 选项，2sin 022g ππ⎛⎫==≠± ⎪⎝⎭，所以，函数()y g x =的图象不关于直线2x π=对称，B选项错误； 对于C 选项，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22x ππ≤≤，则函数()y g x =在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，C 选项错误；对于D 选项，当263x ππ≤≤时，4233x ππ≤≤，则sin 212x -≤≤，()2g x ≤≤.所以，函数()y g x =在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦，D 选项正确. 故选：D. 9．在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠所对的边，若函数()32221()13f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，则cos 2cos B B +的取值范围是（ ）A ．9,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．9,08⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．9,08⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．91,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦答案：B先求出()'f x ，根据条件可得()0f x '=有两个不同的实数根，从而其0∆>，得到222a c b ac +-<，由余弦定理得出cos B 的范围，再由余弦的二倍角公式结合二次函数的性质可得答案.解：由()222()2f x x bx a c ac '=+++-，根据()f x 有极值点，则()222()20f x x bx a c ac '=+++-=有两个不同的实数根.所以222440b a c ac，即222a c b ac +-<由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-=<，由0B π<<，所以11cos 2B -<<，2219cos 2cos 2cos cos 12cos 48B B B B B ⎛⎫+=+-=+- ⎪⎝⎭由11cos 2B -<<，则21992cos ,0488B ⎛⎫⎡⎫+-∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭所以cos 2cos B B +的范围是9,08⎡⎫-⎪⎢⎣⎭故选：B点评：关键点睛：本题考查导数与极值点的关系和余弦定理的应用、余弦的二倍角公式的应用，解答本题的关键是由条件得出()0f x '=有两个不同的实数根，从而其0∆>，得到222a c b ac +-<，由余弦定理得出11cos 2B -<<的范围，属于中档题. 10．已知圆()221:21C x y ++=，()222:249C x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为（ ） ABC ．2D答案：B求出点C 的轨迹为椭圆，可知1C 为该椭圆的左焦点，利用椭圆的几何性质求出1minCC ，再利用勾股定理可求得CM 的最小值.解：易知圆1C 的圆心()12,0C -，圆1C 的半径为11r =，圆2C 的圆心()22,0C ，半径为27r =，12124C C r r =<-，所以，圆1C 内含于圆2C ，设圆C 的半径为R ，则1217CC R CC R ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，故121284CC CC C C +=<=，故圆心C 的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为1C 、2C ，设该椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为()20c c >，则28a =，可得4a =，24c =，可得2c =，b ∴==所以，点C 的轨迹方程为2211612x y +=.10CM C M ⋅=，则1CM C M ⊥且11C M =，由椭圆的几何性质可得1min2CC a c =-=，故2211min3CMCC C M=-=故选：B.点评：方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.11．设函数()x a f x e x +=+，()ln(3)4x a g x x e --=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使得()()200022x f x g x x -=--成立，则实数a 值为（ ）A ．2ln 2-+B ．1ln 2+C ．1ln 2--D ．2ln 2+答案：D 将问题转化为002000ln(3)243x ax ax ex x e +++--+=在()03x ∈-+∞，上有解，由均值不等式可得0044x ax aee +++≥，设()2ln(3)32x g x x x -=+-，求出其导数，得出单调区间，从而得出()()24g x g ≤-=，由等号成立的条件得出0ln 22x a =-=-，从而得出答案.解：由题意当03x >-时()()2000022x f x g x x -=--有解即0020000ln(43)22x ax a x ex x e x +++=--++-在()03x ∈-+∞，上有解. 即002000ln(3)243x ax ax ex x e +++--+=在()03x ∈-+∞，上有解.由0044x a x ae e+++≥=, 当且仅当004x ax aee++=，即0ln 2x a =-时取得等号.设()2ln(3)32x g x x x -=+-，则()()()()()231333243168333x x x x x x x g x x x x x x ++-+-+++---'=--===-++ 由()0g x '<，得2x >-，由()0g x '>，得32x -<<-， 所以()g x 在()3,2--上单调递增，在 ()2,-+∞上单调递减. 所以()()24g x g ≤-=要使得002000ln(3)243x ax ax ex x e +++--+=在()03x ∈-+∞，上有解. 则0ln 22x a =-=-时成立，即ln 22a =+ 故选：D点评：关键点睛：本题考查导数求最值，利用均值不等式求最值，解答本题的关键是由均值不等式得到0044x ax aee +++≥，当且仅当004x ax aee ++=时取得等号，设()2ln(3)32x g x x x -=+-，求出其导数，得出单调区间，从而得出()()24g x g ≤-=，由等号成立的条件得出0ln 22x a =-=-，属于中档题.12．已知棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -，棱1DD 中点为M ，动点P 、Q 、R 分别满足：点P 到异面直线BC 、11C D 的距离相等，点Q 使得异面直线1AQ 、BC 所成角正弦值为定值2121，点R 使得134A RB π∠=．当动点P 、Q 两点恰好在正方体侧面11CDD C 内时，则多面体1RMPC Q 体积最小值为（ ）A ．5212B ．24C ．22D ．26答案：A由题意1M P C Q ，，，都在平面11DD C C 内，其中1M C ，为定点，由条件可得动点P 的轨迹是为以C 为焦点，以11C D 为准线的抛物线在正方体侧面11CDD C 内的部分．动点Q 的轨迹是为以1D 为圆心，5为半径的14圆，先求出1MC QS 的最小值，1PC MS面积最小值，从而得出四边形1MPC Q 面积的最小值，再得出点R 到侧面11CDD C 的距离是最小值，从而得出答案. 解：由题意1M P C Q ，，，都在平面11DD C C 内，其中1M C ，为定点.点P 到异面直线BC 、11C D 的距离相等，在正方体中，BC ⊥平面11DD C C , 故连接PC ,有PC BC ⊥,所以PC 为点P 到直线BC 的距离. 所以在平面11DD C C 上，点P 满足到点C 的距离等于到直线11C D 的距离.所以动点P 的轨迹是为以C 为焦点，以11C D 为准线的抛物线在正方体侧面11CDD C 内的部分． 由11//A D BC ，所以异面直线1AQ 、BC 所成角为11QA D ∠（或其补角） 在正方体中，11A D ⊥平面11DD C C ,又1D Q ⊂平面11DD C C ，所以111A D D Q ⊥ 所以111121sin 21QD QA D AQ ∠==,又112A D = 所以114105cos 21QA D ∠=，则1111111tan 225QD QD QA D A D ∠=== 所以115QD =，即动点Q 的轨迹是为以1D 为圆心，15为半径的14圆．在四边形1MPC Q 中，111MPC Q MC Q MC P S S S =+,又21125MC =+=在平面11DD C C 内，取1CC 的中点O ，连接MO ,以1CC 为x 轴，MO 为y 轴 则直线1MC 的方程为：12yx +=-，即220x y ++=，()11,2D -- 则点Q 到直线1MC 222255512r --+-==+ 所以1MC QS的最小值为115225=. 动点P 的轨迹方程为：()240y x y =<，设2,4y P y ⎛⎫⎪⎝⎭所以点P 到直线1MC 的距离()2213212225525y y y d ++++==≥（当1y =-时取得等号）所以1PC MS面积最小值113352425MC P S ∆=⨯⨯=所以四边形1MPC Q 面积111MPC Q MC Q MC P S S S =+≥54点R 满足134A RB π∠=，又122A B =所以点R 在以1A B 为弦的劣弧上，由134A RB π∠=，则圆心角为2π. 其半径为2，圆心到1A B 的2所以圆弧上的点到1A B 的距离的最大值为22当劣弧所在的平面垂直于平面11DD C C 时，圆弧上的点到平面11DD C C 2所以动点R 到面11DD C C 2 所以多面体1RMPC Q 体积最小值为1552234⨯=故选：A点评：关键点睛：本题考查立体几何中的轨迹问题，体积的最值问题，异面直线成角，解答本题的关键是由条件得出动点P 的轨迹是为以C 为焦点，以11C D 为准线的抛物线在正方体侧面11CDD C 内的部分．动点Q 的轨迹是为以1D 5为半径的14圆，由解析几何可得出点Q 到直线1MC的距离的最值，从而得出1MC QS的最小值，点P 到直线1MC的距离d =，从而得出1PC MS面积最小值，从而得出四边形1MPC Q 面积的最小值，属于难题.二、填空题13．已知方程()2221m x my -+=表示双曲线，则m 的取值范围是_______________________．答案：()0,2利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可. 解：解：因为方程()2221m x my -+=表示双曲线，所以()20m m -<，即02m <<， 所以m 的取值范围是()0,2， 故答案为：()0,2.14．若12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为_________．（用数字作答） 答案：52-利用已知条件求出n 的值，写出二项展开式的通项，令x 的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得出常数项的值.解：由于12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式只有第4项的二项式系数最大，则展开式中共有7项，故17n +=，解得6n =，所以，612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为6621661122r rr r r rr T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令620r -=，解得3r =，因此，展开式中的常数项为33461522T C ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭.故答案为：52-. 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n a 在y x =上，[]x 表示不超过x 的最大整数，则122021202120212021222S S S ⎡⎤++⋯+=⎢⎥⎣⎦_______________________． 答案：2020先求得n a n =，再求得n S ，进而求得20212nS ，然后用裂项求和求得122021202120212021+++222S S S ，最后根据其范围求得结果.解：依题意可得n a n =，所以数列{}n a 的前n 项和(1)2n n n S +=， 因此202120211120212(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以， ()122021202120212021111111+++2021222122320212022120212021120212020,202120222022S S S ⎛⎫=⋅-+-++- ⎪⎝⎭⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭，故122021202120212021+++2020222S S S ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2020.点评：方法点睛： 本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．16．拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流､物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图，设ABC 代表旧城区，新的城市发展中心123,,O O O ，分别为正ACD △，正ABE △，正BCF △的中心､现已知2,30AB ACB ∠==，123O O O 则ABC 的面积为___________.答案：233连接12,CO CO ，易得122133,,30,3033CO AC CO BC O CB O CA ==∠=∠=，进而得到1290O CO ∠=，利用勾股定理得到2212AC BC +=，然后再利用余弦定理求得AC BC ⋅即可. 解：如图所示：连接12,CO CO ，由题意得：122133,,30,30CO CO O CB O CA =∠=∠=， 又因为30ACB ∠=， 所以1290O CO ∠=，12321233O O O S O ==， 解得122O O =，由勾股定理得2221212CO CO O O +=，即2221233AC O O ⎫⎫+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即2212AC BC +=，由余弦定理得2222cos30AB AC BC AC BC =+-⋅， 解得83AC BC ⋅=所以三角形ABC 的面积为123sin 3023ABCSAC BC =⋅=点评：关键点点睛：本题关键是证得1290O CO ∠=，再利用勾股定理和余弦定理求得AC BC ⋅而得解. 三、解答题17．在ABC 中，232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-． （1）求cosA 的值：（2）若a =5b =，求BA 在AC 方向上的投影． 答案：（1）3cos 5A =-；（2）35． （1）利用二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式将已知式化简，即可得到cos A 的值； （2）先利用余弦定理求出c ，也即是BA ，再根据投影的定义，求BA 在AC 方向上的投影，其中需要注意的是BA 和AC 的夹角是A 的补角. 解：解：（1）由232coscos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=- 可得3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-， 即3cos()5A B B -+=-， 即3cos 5A =-，（2）由余弦定理可知2223525()5c c =+-⨯⨯-，解得1c =，7c =-（舍去）．向量BA 在AC 方向上的投影：3||cos()cos 5BA A c A π-=-=． 18．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是1B B ，BC 的中点，（1）证明：1A E ，AB ，DF 三线共点；（2）线段CD 上是否存在一点G ，使得直线FG 与平面11A EC ，3若存在，请旨出点G 的位置，并求二面角11E AC G --的平面角的余弦值大小；若不存在，请说明理由． 答案：（1）证明见解析；（2）存在；点G 为CD 6（1）由公理二证明1A E ，DF 共面，再结合公理三得出1A E ，AB ，DF 三线共点；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出a 的值，再由向量法得出二面角11E AC G --的平面角的余弦值.解：（1）证明：1//EF A D 且1EF A D ≠1A E ∴，DF 共面∴设1A E DF P ⋂=则1P A E ∈，而1A E ⊂面11AA B BP ∴∈面11AA B B ；同理可得P ∴∈面ABCD∴点P 在面ABCD 与面11AA B B 的公共直线AB 上即1A E ，AB ，DF 三线共点（2）解：根据题意可知，1AA ，AB ，AD 两两垂直，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：11(0,0,2),(2,0,1),(2,2,2),(2,1,0)A E C F故111(2,0,1),(2,2,0)A E AC =-= 假设满足条件的点G 存在设(,2,0),(0,2)G a a ∈，则(2,1,0)FG a =- 设平面11A EC 的法向量为(,,)m x y z =则由111m A E m A C ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得，20220x z x y -=⎧⎨+=⎩不妨取2z =，则1x =，1y =-所以平面11A EC 的一个法向量为(1,1,2)m =- 设直线FG 与平面11A EC 的平面角为θ 则222222(2)1(1)1203sin cos ,(2)101(1)2m FGm FGa m FG a θ⋅-⨯+-⨯+⨯====-++⨯+-+化简得2210a a -+=，解得1a =．则1(1,0,2)GC =，设平面11AGC 的法向量为(,,)n x y z =由111n GC n AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，得+20220x z x y =⎧⎨+=⎩，取2x =-则平面11AGC 的一个法向量为(2,2,1)n =- 222cos ,636n n n m m m ⋅--+===⨯二面角11E AC G --的平面角的余弦值69点评：思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可）（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值.19．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，P 为C 上的动点，Q 为P 在动直线(0)y t t =<上的投影.当PQF △为等边三角形时，其面积为43 （1）求C 的方程；（2）设O 为原点，过点P 的直线l 与C 相切，且与椭圆22142x y +=交于,A B 两点，直线OQ 与AB 交于点M .试问：是否存在t ，使得AM BM =恒成立？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由.答案：（1）C 的方程为24x y =；（2）存在，1t =.（1）根据正三角形得三角形的边长，再根据抛物线的定义列方程组，解方程即可；（2）根据导数的几何意义得到直线l 的切线方程，切线与椭圆联立，根据韦达定理得,A B 的纵坐标的关系，再根据直线方程联立得点M 的纵坐标，由AM BM =可知点M 为,A B 的中点，根据中点坐标公式列方程，解方程即可求得结果.解：（1）设()00,P x y ，0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∵PQF △为等边三角形时，其面积为∴21sin 23PQ π⨯=4PQ =， ∵Q 为P 在动直线(0)y t t =<上的投影，∴()0,Q x t ， 当PQF △为等边三角形时，PQ PF FQ ==，由抛物线的定义知，2pt =-， ∴0220200+42162p y x p x py ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得2p =， ∴C 的方程为24x y =；（2）设()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，则2004x y =，()0,Q x t∵214y x =，∴12y x '=， ∴切线0001:2l yy x x x ，即001:2l yx x y ，00222000022112122242401y x x y x x x x y x y y ⎧=-⎪⎪⎛⎫⇒+⎨ ⎪⎝⎭⎪++⎪--⎩==， ∴0012201122x y x x x +=+， ∴000120100200022001112122242212x y y x x x x x y y y y y x x +=-+-=⨯-=++；∵()0,Q x t ，∴0:OQ tl y x x =-， 0020002212M t y x y t x y x t y x x y⎧=-⎪-⎪⇒=⎨-⎪=-⎪⎩， ∵AM BM =，且A ，M ，B 在同一条直线上，则点M 为AB 的中点，∴122M y y y =+，即0022004422t x t y y x =--+，则1t =.综上，存在t ，使得AM BM =恒成立，1t =. 点评：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.20．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，除1kg 收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表：公司对近60天，每天揽件数量统计如表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率．（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率； （2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？ 答案：(1)48125；(2)(i)15元；(ii)答案见解析.解：试题分析：()1先计算出包裹件数在101400~之间的天数为48，然后得到频率，估计出概率，运用二项分布求出结果(2)运用公式求出每件包裹收取的快递费的平均值(3)先将天数转化为频率，分别计算出不裁员和裁员两种情况的利润，从而作出比较 解析：（1）样本包裹件数在101400~之间的天数为48，频率484605f ==， 故可估计概率为45， 显然未来3天中，包裹件数在101400~之间的天数X 服从二项分布，即4~35X B ，⎛⎫ ⎪⎝⎭，故所求概率为223414855125C ⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭. （2）（i ）样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为15100=（元），故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.（ii ）根据题意及（2）（i ），揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元）， 将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为260531001000⨯-⨯=（元）； 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为23552100975⨯-⨯=（元）. 因9751000<，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.点睛：本题考查了频率和概率、平均值的实际应用，计算出频率来估计概率的取值，运用二项分布求出事件概率，在比较裁员与不裁员的情况下分别算出期望值，来比较利润的大小，从而为作出决策提供依据．21．已知函数2()x x f x xe ae =-（a ∈R ）在定义域内有两个不同的极值点. （1）求实数a 的取值范围；（2）若()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <，若不等式120x x λ+>恒成立.求正实数λ的取值范围.答案：（1）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1λ≥.（1）求导得到120x x ae +-=有两个不相等实根，令12()x x a h x e+==，计算函数单调区间得到值域，得到答案.（2）1x ，2x 是方程12xx a e +=的两根，故()11x h x h λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，化简得到()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫+---+< ⎪⎝⎭，设函数，讨论范围，计算最值得到答案.解：（1）由题可知2()(1)20x x f x x e ae '=+-=有两个不相等的实根， 即：120x x ae +-=有两个不相等实根，令12()xx a h x e +==， ()2(1)()x xx x e x e xh x e e -+-'==，x ∈R ，(,0)x ∈-∞，()0h x '>；(0,,)x ∈+∞，()0h x '<，故()h x 在(,0)-∞上单增，在(0,)+∞上单减，∴max ()(0)1h x h ==. 又(1)0h -=，(,1)x ∈-∞-时，()0h x <；(1,)x ∈-+∞时，()0h x >，∴2(0,1)a ∈，即10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，1x ，2x 是方程12x x a e+=的两根， ∴1210x x -<<<，则112200x x x x λλ+>⇔>->因为()h x 在(0,)+∞单减，∴()12x h x h λ⎛⎫<-⎪⎝⎭，又()()21h x h x =，∴()11x h x h λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭即111111x x x x e eλλ--++<，两边取对数，并整理得：()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫+---+< ⎪⎝⎭对1(1,0)x ∈-恒成立， 设()ln(1)ln 1(1)x F x x x λλλλ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭，(1,0)x ∈-， 1(1)(1)()(1)1(1)()1x x F x xx x x λλλλλλ++-'=+-+=++--，当1λ≥时，()0F x '>对(1,0)x ∈-恒成立，∴()F x 在(1,0)-上单增，故()(0)0F x F <=恒成立，符合题意； 当(0,1)λ∈时，1(1,0)λ-∈-，(1,0)x λ∈-时()0F x '<， ∴()F x 在(1,0)λ-上单减，()(0)0F x F >=，不符合题意. 综上，1λ≥.点评：本题考查了根据极值点求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，(t ，α中的一个为参数)，以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线:sin 13l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）当t 为参数，3πα=时，判断曲线1C 与直线l 的位置关系；（2）当α为参数，2t =时，直线l 与曲线1C 交于不同的两点A ，B ，若2(0)P ，，求11||||PA PB +的值答案：（1）曲线1C 与直线l 平行；（2）1．（1）首先将曲线1C 和直线l 的方程化简为直角坐标方程，再判断位置关系；（2）首先得到曲线1C 的普通方程，再得将直线l 的参数方程，利用t 的几何意义求11||||PA PB +的值. 解：（1）当t 为参数，3πα=时，曲线1C表示直线：1)y x =-由:sin()13l πρθ-=，得1:sin cos 12l ρθθ=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入方程得2y =+ 因为斜率相等，所以曲线1C 与直线l 平行； （2）当α为参数，2t =时，曲线1C 的参数方程12cos ()2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数消去参数得曲线1C 的普通方程22(1)4x y，易知直线过(0,2)P ，故设直线l的参数方程为12()2x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 联立直线l 的参数方程与曲线1C 的普通方程，得2(231)10t t设,A B 对应的参数为12,t t ，则1212123,1t t t t故12121212121111231t t t t PA PBt t t t t t ．点评：方法点睛：本题考查弦长公式，一般求弦长的方法包含以下几点： 1.直角坐标系下的弦长公式()22121214AB k x x x x =++-或是()212122114y y y y k ++-；2.利用直线参数方程的几何意义可知12AB t t =-；3.极坐标系下，过原点的直线与曲线相交的弦长12AB ρρ=-.23．已知a ＞0，b ＞0，且a +b ＝1．（1）求12a b+的最小值； （2）证明：2221+++ab b a b ＜5． 答案：（1）322+；（2）证明见解析. （1）利用基本不等式即可求得最小值；（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证． 解：（1）121222()332322a b a b a b z a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++⋅=+ ⎪⎝⎭， 当且仅当“2b a =”时取等号，故12a b+的最小值为322+ （2）证明：222222241155ab bab bb b a b a ++=+++++ )22225242221555ab ab b b b ab b a +==+⋅+⋅，当且仅当15,2a b ==时取等号，此时a +b ≠1． 故2221+++ab b a b 5． 点评：本题主要考查利用基本不等式求和的最小值，以及利用基本不等式证明不等式，属基础题.。
四川省成都石室中学2021届高三数学上学期开学考试试题理 【含答案】
y kx m
由
x
2
4y2
4
可得
(1
4k 2 )x2
8kmx
4m2
4
0
，…………5分
因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个交点，
所以△ 1 (8km)2 4(1 4k 2 )(4m2 4) 0 ，即 m2 1 4k 2 ，…………6分
B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件
6 ．已知 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 a 2 3 ， b 2 ， A 60 ，则 B 为（
）
A．60°
B．60°或120° C．30°
D．30°或150°
7．下列函数中，既是奇函数又在 (0, ) 单调递减的函数是（ ）
bx
i 1
i 1
18．已知三次函数 f (x) x3 ax2 4x 1 ( a 为常数).
（1）当 a 1 时，求函数 f (x) 在 x 2 处的切线方程；
（2）若
a
0
，讨论函数
f
(x)
在
x
0,
的单调性.
19.如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形， FA FC ，且 DAB DBF 60 ． （1）求证： AC 平面 BDEF ； （2）求直线 AD 与平面 AEF 所成角的正弦值．
18．（1）当 a 1 时，函数 f (x) x3 x2 4x 1 Q f (x) 3x2 2x 4 f (2) 20 即切线的斜率 k 20 ..................2分 Q f (2) 21 切线方程为 20(x 2) y 21即切线为： 20x y 19 0 ..................4分
四川省成都市石室蜀都中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析
四川省成都市石室蜀都中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数满足，且的导函数，则的解集为A. B. C. D.参考答案：D设, 则，，对任意，有，即函数在R上单调递减，则的解集为，即的解集为，选D.2. 若函数在为单调函数，则实数a的取值范围是( )A.(－∞,－1]∪[1,+∞)B. (－∞,－1]C. [1,+∞)D. [－1,1]参考答案：A3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位参考答案：C略4. 若=2，则sin（α﹣5π）?sin（﹣α）等于（）A．B．C．±D．﹣参考答案：B【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题．【分析】利用商的关系先对所给的齐次式，分子和分母同除以cosα进行转化，求出正切值，再根据诱导公式对所求的式子进行化简，再由商的关系转化为正切的式子，把求出的正切值代入进行求解．【解答】解：由题意知， =2，分子和分母同除以cosα得，=2，解得tanα=3，∵sin（α﹣5π）?sin（﹣α）=﹣sinα?（﹣cosα）=sinαcosα===，故选B．【点评】本题考查了诱导公式以及商和平方的关系的应用，对于含有正弦和余弦的齐次式的处理，常用平方关系进行“1”的代换，再利用商的关系转化为有关正切的式子．5. 下列给出的赋值语句中正确的是 ( ）A．4=MB．M=-MC．B=A=3D．x+y=0参考答案：B6. （08年全国卷Ⅰ理）若直线通过点，则（）A． B． C． D．参考答案：【解析】D．（两种方法均为构造法）（方法一）：利用点（利用坐标原点到直线的距离与圆的半径的关系）由题意知直线与圆有交点，则.（方法二）：设向量，由题意知由可得7. 设、是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，若，且轴，则（）A. B. C.D.参考答案：C8. 执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A．2016 B．2 C．D．﹣1参考答案：B【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出前几次循环得到的s，k的值，观察规律可知，s的取值以3为周期，由k等于2015=3*671+2时，满足条件k＜2016，s=2，k=2016时不满足条件k＜2016，退出循环，输出s的值为2．【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=2，k=0满足条件k＜2016，s=﹣1，k=1满足条件k＜2016，s=，k=2满足条件k＜2016，s=2．k=3满足条件k＜2016，s=﹣1，k=4满足条件k＜2016，s=，k=5…观察规律可知，s的取值以3为周期，由2015=3*671+2，有满足条件k＜2016，s=2，k=2016不满足条件k＜2016，退出循环，输出s的值为2．故选：B．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出前几次循环得到的s，k的值，观察规律得到s 的取值以3为周期是解题的关键，属于基本知识的考查．9.已知图①中的图象对应函数为，则图②中的图象对应的函数可能是（） A． B．C． D．参考答案：答案:D10. 如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A. 平面ABD⊥平面ABCB. 平面ADC⊥平面BDCC. 平面ABC⊥平面BDCD. 平面ADC⊥平面ABC参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.参考答案：设数学书为A，B，语文书为C，则不同的排法共有（A，B，C），（A，C，B），（B，C，A），（B，A，C），（C，A，B），（C，B，A）共6 种排列方法，其中2 本数学书相邻的情况有4 种情况，故所求概率为.12. （理科）对任意x∈R，|2－x|＋|3＋x|≥a2－4a恒成立，则a满足的范围是参考答案：[－1,5]13. 若等比数列{a n}的前n项和为S n，a3=，S3=，则公比q=．参考答案：1或【分析】根据等比数列的前n项和建立等式，利用a3和q表示出a1与a2，然后解关于q的一元二次方程，即可求出所求．【解答】解：∵∴a1+a2+a3=则a1+a2=3∴化简得2q2﹣q﹣1=0解得q=1或故答案为：1或【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和，以及等比数列的通项，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．14. 已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=参考答案：415. 函数的定义域是;参考答案：略16. 在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知,且，则b= .参考答案：417. 已知向量与的夹角是，，.若，则实数 .参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
四川省成都市重点中学2021-2022学年高三上学期期末考试理科数学试卷
成都石室中学高2022届高三上期期末考试数 学（理科） 第 Ⅰ 卷 （选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，则复数21i −所对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．方程11(),2()11()2x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩为参数对应的曲线的轨迹为A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线3. 已知两个非零向量,a b 满足()0a a b ⋅−=，且2||||a b =，则,a b <>=A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°4．已知圆222 (0)x y r r +=>与抛物线22y x =交于A ，B 两点，与抛物线的准线交于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则r 等于A ．B ．C ．D ．5．居民消费价格指数（Consumer Price Index ，简称CPI ）是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，它是进行经济分析和决策、价格总水平监测和调控及国民经济核算的重要指标．根据下面给出的我国2019年9月—2020年9月的居民消费价格指数的同比（将上一年同月作为基期进行对比的价格指数）增长和环比（将上月作为基期进行对比的价格指数）增长情况的折线图，以下结论正确的是A ．2020年1月到9月的居民消费价格指数在逐月增大B ．2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数在逐月减小C ．2020年1月到9月的居民消费价格指数分别低于2019年同期水平D ．2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势6．已知两定点A （－2，0），B （1，0），如果动点P 满足条件||2||PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于A ．πB ．4πC ．8πD ．9π7．已知命题p ：椭圆22143x y +=上存在到焦点的距离等于4的点；命题q ：双曲线22145x y −=的右支上存在到左焦点距离为4的点．下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∧⌝8．己知椭圆C 的焦点为1(1,0)F −，2(1,0)F ，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||3||AF F B =，15||4||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，12,F F 为C 的左，右焦点，P 为C 上一点，且12PF F △的内切圆圆心I 的坐标为(,1)s ，若12PF F △的面积为2b ，则椭圆的离心率为A ．35B ．45C ．14D ．3410．设双曲线H ：224x y −=的两个焦点为1F ，2F ，P 是双曲线H 上的任意一点，过1F 作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足为M ，则点M40y −−=的距离的最大值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 11．已知23()2a =，e e 1()e b +=，34()3c =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a ＜c ＜bB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c12．已知等腰 Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝1，D ，E 分别是AB 和BC 上的动点，△BDE 沿DE 翻折后，B 恰好落在AC 边上，则BE 的最小值为 A1 B ．12 CD．1第 Ⅱ 卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()(22)sin x x f x m x −=+⋅是偶函数，则m ＝ ．14．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”； 丙说：“A ，D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“C 作品获得一等奖”． 若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______.15．中国古乐中以“宫”“商“角“微“羽”为五个基本音阶，故有成语“五音不全”之说．如果用这五个基本音阶随机排成一个五个音阶的音序，则“宫”“商”两音不相邻且在“角”音同侧的概率为________．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率大于0的直线交抛物线C 于A ，B 两点（其中A 在B 的上方），过线段的中点M 且与x 轴平行的直线依次交直线OA ，OB ，l 于点P ，Q ，N ．给出下列四个命题： ①||||PM NQ =；②若P ，Q 是线段MN 的三等分点，则直线AB的斜率为 ③若P ，Q 不是线段MN 的三等分点，则一定有||||PQ OQ >； ④若P ，Q 不是线段MN 的三等分点，则一定有||||NQ OQ >； 其中正确的是 （写出所有正确命题的编号）．AB三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
四川省成都市石室中学2020-2021学年高三上学期入学考数学(理)试题
四川省成都市石室中学2020-2021学年高三上学期入学考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．若复数z 满足20171zi i=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+2．已知集合(){}2ln 34A x y x x ==--+，{}222xB y y -==，则A B =（）A ．()0,1B ．(]4,4-C ．(],4-∞D ．()4,-+∞3．下列判断正确的是（）A ．命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤”B ．函数()f x =的最小值为2C ．“2x =”是“2x -=D ．若0a b ⋅<，则向量a 与b 夹角为钝角4．对于函数()44sin cos f x x x =-，下列结论不正确的是（）A ．在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增 B ．图像关于y 轴对称 C ．最小正周期为2πD ．值域为[]1,1-5．在如图的程序框图中，若输入m =77，n =33，则输出的n 的值是A ．3B ．7C ．11D ．336．某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为1S ，其内切球的表面积为2S ，且12S S λ=，则λ=（） A ．1B ．23C ．43D ．327．高三某6个班级从“照母山”等6个不同的景点中任意选取一个进行郊游活动，其中1班、2班不去同一景点且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少种（ ） A ．2454C AB ．2456CC ．2454A AD ．2456A8．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，若3AB AC AD EC ⋅=⋅，则ABAC的值是（）A B ．2C D ．39．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=，且1x 、[)21x ∈+∞,有()()12120x x f x f x ->-，若()()1g x f x =+，实数a 满足()()212log log 21g a g a g ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭则a 的最小值为（） A ．12B ．1C ．32D ．210．在平面区域2,20,0,x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，内任取一点(,)P x y ，则存在α∈R ，使得点P 的坐标(,)x y满足(2)cos sin 0x y αα-+-=的概率为（ ） A ．3116π-B ．316π C ．434π- D ．116π-11．ABC 中，已知AB =BC =，7AC =，D 是边AC 上一点，将ABD △沿BD 折起，得到三棱锥A BCD -．若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，设BM x =，则x 的取值范围为（） A．(B．C．(D．(0,12．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右顶点为A 、B ，P 是双曲线上不同于A 、B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m 、n ，则当()4136ln ln 32a m nb mn mn ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭取得最小值时，双曲线C 的离心率为（） ABCD二、填空题13．若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为________．14．已知圆()()222:42C x y r -+-=截y轴所得的弦长为过点()0,4且斜率为k 的直线l 与圆C 交于A 、B两点，若AB =k =________．15．已知抛物线24y x =的一条弦AB 经过焦点F ，O 为坐标原点，点M 在线段OB 上，且3OB OM =，点N 在射线OA 上，且3ON OA =，过M 、N 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为C 、D ，则CD 的最小值为________．16．已知函数()()()12e e xf x m x x =----，若关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则实数m 的取值范围为________．三、解答题17．某高校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示．（1）求频率分布表中n ，p 的值，并估计该组数据的中位数（保留l 位小数）； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率．18．已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-．（1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （2）设12n n c a n =-+，求数列{}n n c ⋅的前n 项和n S ． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △是等边三角形，四边形ABCD 是矩形，CD =，F 为棱P A 上一点，且()01AF AP λλ=<<，M为AD 的中点，四棱锥P ABCD -的体积为3．（1）若12λ=，N 是PB 的中点，求证：平面//MNF 平面PCD ；（2）是否存在λ，使得平面FMB 与平面P AD ． 20．已知椭圆()2222C :10x y a b a b+=>>上任意一点到其两个焦点1F ，2F 的距离之和等于2c ，圆222:O x y c +=，1A ，2A 是椭圆的左、右顶点，AB 是圆O的任意一条直径，四边形12A AA B 面积的最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，若直线()1:0l y kx m m =+≠与圆O 相切，且与椭圆相交于M ，N 两点，直线2l 与1l 平行且与椭圆相切于P （O ，P 两点位于1l 的同侧），求直线1l ，2l 距离d 的取值范围．21．已知函数()ln m xf x x=，()()1g x n x =-+，其中0mn ≠． （1）若m n =，讨论()()()h x f x g x =+的单调区间；（2）若()()0f x g x +=的两根为1x ，2x ，且12x x >，证明：()121220g x x m x x ++<+． 22．在平面直角坐标系xoy ，曲线1:40C x y +-=，曲线2cos :1sin x C y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为 极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线:0,02l a a πθρ⎛⎫=≥<< ⎪⎝⎭分别交1C ，2C 于M ，N 两点，求ON OM的最大值.参考答案1．A 【详解】 由2017i 1iz=-，得()()()50420174i 1i i i 1i 1z i =-=-=+，则1i z =-，故选A. 2．B 【分析】由二次不等式的解法可得：()4,1A =-，由指数函数的值域的求法可得：(]0,4B =， 再结合并集的运算可得：(]4,4A B =-，得解.【详解】解：解不等式2340x x --+>，解得41x -<<，即()4,1A =-， 又因为222x -≤，所以22024x -<≤，即(]0,4B =，即 (]4,4AB =-，故选B. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法、指数函数的值域的求法及并集的运算，属基础题. 3．C 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题可得：命题的否定是“00x ∃>，020*******x +≤”，选项A 错误，由()g t 在[)3,+∞为增函数，即 min 10()3g t =，即B 错误；由根式方程的求法得“2x =”是“2x -=C 正确，由向量的夹角可得向量a 与b 夹角为钝角或平角，即D 错误，得解. 【详解】解：对于选项A ，命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃>，020*******x +≤”，即A 错误；对于选项B ，令t ，则3t ≥，则1()g t t t=+，3t ≥，又()g t 在[)3,+∞为增函数，即 min 10()(3)3g t g ==，即B 错误；对于选项C ，由“2x =”可得“2x -=由“2x -=220x x -=-=，解得“2x =”，即 “2x =”是“2x -=C 正确，对于选项D ，若0a b ⋅<，则向量a 与b 夹角为钝角或平角，即D 错误， 故选C. 【点睛】本题考查了全称命题的否定、均值不等式的应用、根式方程的求法及向量的夹角，属基础题. 4．C 【解析】 【分析】由2222sin cos 1,cos sin cos 2x x x x x +=-=，求得()f x =cos2x -，再利用()f x 的性质即可得解. 【详解】解：因为()44sin cos f x x x =-2222(sin cos )(sin cos )x x x x =-+22sin cos cos 2x x x =-=-，则函数是在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增的偶函数，且值域为[]1,1-，周期为22ππ=， 即选项,,A B D 正确，选项C 错误， 故选C. 【点睛】本题考察了三角恒等变换及函数()f x =cos2x -的性质，属基础题. 5．C 【解析】这个过程是7723311=⨯+，33311=⨯，故所求的最大公约数是11．6．D 【分析】由空间几何体的三视图可得此柱体为底面直径与高相等的圆柱， 设底面圆的半径为r ，则此柱体内切球的半径为r ，由圆柱体表面积及球的表面积公式可得：216S r π=，224S r π=，运算即可得解.【详解】解：由已知可得：此柱体为底面直径与高相等的圆柱， 设底面圆的半径为r ，则高为2r ,则22122(2)6S r r r r πππ=+⋅=，又此柱体内切球的半径为r ，则224S r π=，则21226342S r S r πλπ===， 故选D. 【点睛】本题考察了空间几何体的三视图、圆柱体表面积及球的表面积的运算，属中档题. 7．D 【解析】试题分析：1班、2班的安排方式有25A 种，剩余4个班的安排方式有46种，所以共有2456A 各安排方式，故选D ． 考点：计数原理． 8．A 【解析】 【分析】将AB ,AC 作为平面向量的一组基底，再利用平面向量基本定理可得AD EC ⋅=22111263AC AB AB AC -+,再由3AB AC AD EC ⋅=⋅运算即可得解. 【详解】解：因为在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，所以1()()2AD EC AB AC AC AE ⋅=+-=11()()23AB AC AC AB +-= 22111263AC AB AB AC -+, 又3AB AC AD EC ⋅=⋅，所以2211026AC AB -=，即3AB AC =, 故选A. 【点睛】本题考察了平面向量基本定理，属中档题. 9．A 【分析】由()()2f x f x -=，则函数()f x 的图像关于直线1x =对称，由1x 、[)21x ∈+∞,有()()12120x x f x f x ->-，即函数()f x 在[)1,+∞为增函数， 又()()1g x f x =+，则函数()g x 为偶函数，且在[)0,+∞为增函数， 再由()g x 的性质得不等式2log 1a ≤，求解即可. 【详解】解:由函数()f x 满足()()2f x f x -=，则函数()f x 的图像关于直线1x =对称， 又1x 、[)21x ∈+∞,有()()12120x x f x f x ->-，即函数()f x 在[)1,+∞为增函数，又()()1g x f x =+，则函数()g x 为偶函数，且在[)0,+∞为增函数，又()()212log log 21g a g a g ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭， 所以()()()222log log 2(log )21g a g a g a g +-=≤， 所以2log 1a ≤，即122a ≤≤， 则a 的最小值为12， 故选A.【点睛】本题考查了函数图像的对称性及函数的单调性，再利用对称性及函数的单调性求解不等式，属中档题. 10．A 【分析】先求出平面区域的面积，找到()2cos sin 0x y αα-+=的成立条件，利用几何概型的公式求解． 【详解】画出平面区域2,20,0,x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩图中OBA ∆边界及内部是所表示的平面区域，如下图所示：()2cos sin 0x y αα-+=)αϕ⇒+=≥它表示在已知平面区域内，圆心(2,0)的圆外（包括圆周），如上图所示：解方程组：22243(,)204333x x y B x y y ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩，01423AB y S OA B ∆=⨯⨯=，在已知平面区域内，圆心(2,0)的圆内（包括圆周）的面积为1S ，21453604S ππ⨯⨯==所求的概率13116OAB OAB S S P S π∆∆-==-，故本题选A ．【点睛】本题考查了几何概型,解决本题的关键是对存在R α∈，使得点P 的坐标(),x y 满足()2cos sin 0x y αα-+=，这句话的理解．11．B 【分析】根据题意可得：折叠前在图1中，AM BD ⊥，垂足为N ，在图1中过A 作1AM BC ⊥于1M ，运动点D ，可得当点D 与点C 无限接近时，折痕BD 接近BC ,此时M 无限接近1M ，1BM BM <，在图2中，由于AB 是Rt ABM ∆的斜边，所以BM AB <,即可得：1BM BM AB <<,再在ABC ∆由余弦定理求得60ABC ∠=，然后在1Rt ABM ∆中求得1BM =.【详解】解：因为将ABD △沿BD 折起，得到三棱锥A BCD -．且顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，所以在图2中，AM BCD ⊥平面,,MN AN 都与BD 垂直，因此折叠前在图1中，AM BD ⊥，垂足为N ，在图1中过A 作1AM BC ⊥于1M ， 运动点D ，可得当点D 与点C 无限接近时，折痕BD 接近BC ,此时M 无限接近1M ，所以1BM BM <，在图2中，由于AB 是Rt ABM ∆的斜边，BM 是直角边，所以BM AB <,因此可得：1BM BM AB <<,又因为AB =BC =，7AC =，所以1cos 2ABC ∠==，即60ABC ∠=，由此可得在1Rt ABM ∆中，1cos607BM AB ==BM << 又BM x =，则x的取值范围为，故选B.【点睛】本题考查了余弦定理及线面垂直，属综合性较强的题型. 12．D 【分析】由题意设出A,B 的坐标，代入双曲线方程，写出AP ，BP 的斜率分别为m 、n ， 求出mn ，代入()4136ln ln 32a m nb mn mn ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭，换元后利用导数求最值，求出取最小值的条件，再求得双曲线离心率即可. 【详解】解：设0,0(,)P x y ，又(,0),(,0)A a B a -, 则00y m x a =+，00y n x a=-， 所以200022000y y y mn x a x a x a =⋅=+--=22b a ， 所以()4136ln ln 32a m n b mn mn ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭=3246()()()3ln 3a a a a b b bb+--，设at b=，0t >， 则324()63ln 3g t t t t t =+--，则32'234263()642t t t g t t t t t -+-=+--==2(23)(21)t t t+-，当102t <<时，'()0g t <，当12t >时，'()0g t >， 则函数()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭为增函数，即当12t =即12a b =，即c e a ===()g t 取最小值， 故选D. 【点睛】本题考查了利用导数求函数最值及双曲线离心率，属中档题. 13．20- 【分析】由已知可得2nC =4nC ,解得6n =，则有61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为1r T +=(1)r-r 6 C 62r x -,再令620r -=，解出r 代入运算即可得解. 【详解】解：由1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，即2n C =4n C ,解得6n =，则61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为1r T +=(1)r-r 6 C 62r x -,令620r -=，解得3,r =即展开式中的常数项为3(1)-36C =-20,故答案为：-20. 【点睛】本题考查了二项式定理、二项式系数及展开式常数项，属基础题.14．34【分析】由圆中弦长的运算可得：222418r =+=，4=，运算可得解.【详解】解：由题意有222418r =+=， 由已知可设直线方程l 为4y kx =+， 设圆心（4,2）到直线l 的距离为d ，则2218d =+， 即4d =，4=，解得34k =， 故答案为：34. 【点睛】本题考查了圆中弦长的运算及点到直线的距离公式，属中档题. 15．4 【分析】设直线AB 的方程为1x my =+，代入抛物线24y x =消x 得：2440y my --=，则CD =21133y y -=221123y y +，再利用基本不等式即可得解. 【详解】设直线AB 的方程为1x my =+，代入抛物线24y x =消x 得：2440y my --=，设112,2(,),()A x y B x y ，则12124,4y y m y y +==-，所以CD =21133y y -=221123y y+4≥=， 则CD 的最小值为4. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的关系及基本不等式的应用，属中档题.16．32e ee m +<≤【分析】设()+()2e e x g x x =-，所以()'()1e ,xg x x =-当1x >时，'()0,g x >函数()g x 单调递增，当1x <时，',()0g x <函数()g x 单调递减，又关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则(1)y m x =-的图像在()y g x =图像的上方只有一个正整数值，分别作出()y g x =与(1)y m x =-的图像观察可得32(3)(2)m g e em g e ⎧≤=+⎨>=⎩，求解即可. 【详解】解：由不等式()0f x >，所以()()2e +1e xm x x ->-，设()+()2e e xg x x =-，所以()'()1e ,xg x x =-当1x >时，'()0,g x >函数()g x 单调递增，当1x <时，',()0g x <函数()g x 单调递减，所以()(1)0g x g ≥=，当x →+∞时，()g x →+∞，当x →-∞时，()g x e →，若关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则(1)y m x =-的图像在()y g x =图像的上方只有一个正整数值，分别作出()y g x =与(1)y m x =-的图像可知：32(3)(2)m g e em g e ⎧≤=+⎨>=⎩，即32e ee m +<≤.【点睛】本题考查了不等式与函数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 17．（1）35n =，0.300p =，中位数估计值为171.7（2）第3、4、5组每组各抽学生人数为3、2、1（3）35【解析】 【分析】（1）由频率分布表可得：35n =，0.300p =，由中位数的求法可得中位数估计值为171.7； （2）因为笔试成绩高的第3、4、5组的人数之比为3:2:1，由分层抽样的方法选6名学生，三个小组分别选的人数为3、2、1；（3）先列举出从6名学生中随机抽取2名学生的不同取法，再列举出第4组至少有1名学生被甲考官面试的取法，再结合古典概型的概率公式即可得解.【详解】解：（1）由已知：5302010100n ++++=，0.5000.3500.2000.100 1.000p ++++=，35n ∴=，0.300p =，中位数为0.11700.06+≈171.7， 即中位数估计值为171.7，（2）由已知，笔试成绩高的第3、4、5组的人数之比为3:2:1，现用分层抽样的方法选6名学生．故第3、4、5组每组各抽学生人数为3、2、1． （3）在（2）的前提下，记第3组的3名学生为1c ，2c ，3c ，第4组的2名学生为1d ，2d ，第5组的1名学生为1e ，且“第4组至少有1名学生被甲考官面试”为事件A ．则所有的基本事件有：()12,c c ，()13,c c ，()11,c d ，()12,c d ，()11,c e ，()23,c c ，()21,c d ，()22,c d ，()21,c e ，()31,c d ，()32,c d ，()31,c e ，()12,d d ，()11,d e ，()21,d e ，一共15种．A 事件有：()11,c d ，()12,c d ，()21,c d ，()22,c d ，()31,c d ，()32,c d ，()12,d d ，()11,d e ，()21,d e ，一共9种．()93155P A ∴==， 答：第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率为35． 【点睛】本题考查了样本数据的中位数、分层抽样及古典概型的概率公式，属基础题.18．（1）证明见解析（2）()222n nn S +=-【分析】（1）由已知有{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列，{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列．即命题得证； (2)由1122n n a n =+-，得12n nc =，即2n n n n c ⋅=， 再利用错位相减法求和即可得解. 【详解】解：（1）由题设得()()1142n n n n a b a b +++=+，即()1112n n n n a b a b +++=+， 又因为111a b ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列． 由题设得()()11448n n n n a b a b ++-=-+， 即112nn n n a b a b ．又因为111a b -=，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，112n n n a b -+=，21n n a b n ．所以()()111222n n n n n n a a b a b n =++-=+-⎡⎤⎣⎦， 所以1122n n n c a n =-+=．所以2n n nn c ⋅=， 则23123...2222n n nS =++++,① 则23411123 (22222)n n nS +=++++，② ①-②整理可得：()222n nn S +=-.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及错位相减法，属中档题. 19．（1）详见解析（2）存在12λ=，使得平面FMB 与平面P AD 所成的二面角余弦的绝对值【解析】 【分析】（1）由已知有//FN PCD 面，//FM PCD 面,即可证明//MNF 平面PCD ；（2）建立以M 为原点，MA 为x 轴，ME 为y 轴，MP 为z 轴建立空间直角坐标系M xyz -，则可得FMN的法向量为2,m ⎛= ⎝，取面PAD 的法向量()0,1,0n =，由向量的数量积公式计算可得解. 【详解】 解：（1）因为12λ=，所以F 是AP 的中点，又因为N 是PB 的中点，所以//FN AB ，由四边形ABCD 是矩形，得//AB CD ，故//FN CD ，////FN CD CD PCD FN PCD FN PCD ⎧⎪⊂⇒⎨⎪⊄⎩面面面 ////FN DP DP PCD FM PCD FM PCD ⎧⎪⊂⇒⎨⎪⊄⎩面面面 //////,FM PCD FN PCDFM FN F PCD FMN PCD FM FN FMN⎧⎪⎪⎨I =⇒⎪⎪⊂⎩面面面面面面； （2）连接PM ，过M 作//ME CD 交BC 于E ，由PAD △是等边三角形，得PM AD ⊥，PAD ABCD PAD ABCD ADPM ABCD PM AD PM PAD⊥⎧⎪I =⎪⇒⊥⎨⊥⎪⎪⊂⎩面面面面面面，以M 为原点，MA 为x 轴，ME 为y 轴，MP 为z 轴建立空间直角坐标系M xyz -，假设存在λ，满足题意，设AF AP λ=，()0,1λ∈，则()1,0,0A，(P，()B ，()0,0,0M，()1,MB =，(AF AP λλ==-，则()1MF MA AF λ=+=-， 设面FMN 的法向量为(),,m x y z =，所以()00010x m MF m MB x z λ⎧+=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=-=⎩⎪⎩，取y =，得2,m ⎛= ⎝，取面PAD 的法向量()0,1,0n =，由题知：cos ,m n ==，解得12λ=，所以，存在12λ=，使得平面FMB 与平面PAD 所成的二面角余弦的绝对值为11【点睛】 本题考查了线线平行证明面面平行及已知二面角利用空间向量求参数的值，属综合性较强的题型.20．（1）22154x y +=（2）3,1⎡+⎣ 【分析】（1）由椭圆的定义知：2a =a ∴=AB x ⊥轴时四边形12A AA B 的面积最大，最大为2ac =1c =，即椭圆方程得解；（2）由直线()1:0l y kxm m =+≠与圆O 相切，可得m =，由椭圆与直线相切可得：2254n k =+，由两平行线的距离公式可得1n d m m n m ===--， 又22151n m k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，则可得2n m <≤-，代入运算即可得解. 【详解】解：（1）由椭圆的定义知：2a=a =又当直径AB x ⊥轴时四边形12A AA B的面积最大，最大为2ac =1c =，2b =∴椭圆22:154x y C += （2）因为直线()1:0l y kx m m =+≠与圆O相切，1=m ∴=又设直线2:l y kx n =+，联立22154x y y kx n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 有()22254105200k x knx n +++-= ()()()222104545200kn k n ∴∆=-+-=化简有2254n k =+因为1n d m m n m ===--， 又2222541511n k m k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，又20k ≥，21011k <≤+，245n m ⎛⎫∴≤< ⎪⎝⎭ 又由O ，P 两点位于1l 的同侧，m ，n异号，2n m<≤-13,1n d m ⎡∴=-∈⎣. 【点睛】 本题考察了椭圆方程的求法及点到线的距离公式，属中档题.21．（1）答案不唯一，具体见解析（2）详见解析【分析】（1）由已知可得：()()2221ln '11ln x m h x m x x x x-⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则0m >()h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；0m <，()h x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞．（2）依题意，()2111ln m x n x x =+①，同理，()2222ln m x n x x =+②，由①-②得，()()()221112212122ln 1x m n x x x x n x x x x x =+--=-++，要证()121220g x x m x x ++<+，即证：12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+>+，设令121x t x =>，构造函数()1ln 21t p t t t -=++，利用导数证明1t ∀>，()0p t >，即可得证．【详解】解：（1）由已知得()()()ln 1x h x f x g x m x x ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭， 所以()()2221ln '11ln x m h x m x x x x-⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 当01x <<时，210x ->，ln 0x ->，21ln 0x x ∴-->；当1x >时，210x -<，ln 0x -<，21ln 0x x ∴--<．故若0m >，()h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；若0m <，()h x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞．（2）依题意()111ln 1x m n x x =+，()2111ln m x n x x ∴=+①， 同理，()2222ln m x n x x =+②由①-②得，()()()221112212122ln 1x m n x x x x n x x x x x =+--=-++， ()()121212ln1x m x n x x x x ∴++=-，()()11212221ln 1x g x x n x x x m m x x +-++==-，要证()121220g x x m x x ++<+，即证122112ln 20x x x x x x +<-+， 即证：12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+>+， 令121x t x =>，即证()1ln 201t p t t t -=+>+，1t ∀>． ()()()()222114'011t p t t t t t -=-=>++， ()p t ∴在区间[)1,+∞上单调递增，即1t ∀>，()()10p t p >=．故原命题得证．【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性及构造函数再利用导数求函数的最值，从而解决不等式恒成立问题，属综合性较强的题型.22．（1）cos sin 40ρθρθ+-=，2sin ρθ=；（2【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）利用三角函数关系式的恒等变换，变形成正弦型函数，进一步求出函数的最值．【详解】（1）因为 ，，， 所以 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-= ，因为 的普通方程为， 即 ，对应极坐标方程为． （2）因为射线:(0,0)2l πθαρα=≥<<，则()()12,,,M N ραρα ，则124,2sin sin cos ρρααα==+，所以()211sin sin cos 2OM ON ραααρ==+＝12444πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 又 ，32,444πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以当 242ππα-=，即38πα= 时，OM ON 取得最大值 14【点睛】 本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．。
四川省成都石室中学2021届高三上学期开学考试 数学(理)含答案
⽯室中学⾼2021届2020-2021学年度上期⼊学考试理科数学试卷⼀、选择题（共12⼩题；共60分）1.已知集合，则集合的元素个数是（）A．0B．1C．2D．32．i为虚数单位，，则的共轭复数为（）A.B． C.D．3．⽯室中学为了解1000名学⽣的身体素质，将这些学⽣编号为1，2，…，1000，从这些学⽣中⽤系统抽样⽅法等距抽取100名学⽣进⾏体质测验，若46号学⽣被抽到，则以下4名学⽣中被抽到的是（）A．8号学⽣B．200号学⽣C．616号学⽣D．815号学⽣4．函数的零点所在的⼤致区间是（）A．B．C．D．5．已知向量，，则是//的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件D．充分不必要条件6．已知的内⻆的对边分别为，若，，，则为（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°7．下列函数中，既是奇函数⼜在单调递减的函数是（）A．B．C．D．8．抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点在抛物线上，当时，的⾯积为（）A．1B．C．2D．9.如图是⽤模拟⽅法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空⽩框内应填⼊（）A．B．C．D．10.已知，则的⼤⼩关系为（）A．B．C．D．11.某⼏何体的三视图如图所示，则该⼏何体外接球表⾯积为（）A．B．C．D．12.已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是（）A． B.C．D．⼆、填空题（共4⼩题；共20分）13.已知双曲线的离⼼率为2，则该双曲线的渐近线⽅程为_______________14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五⼈分五钱，令上⼆⼈所得与下三⼈等．问各得⼏何．”其意思为“已知甲、⼄、丙、丁、戊五⼈分5钱，甲、⼄两⼈所得与丙、丁、戊三⼈所得相同，且甲、⼄、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五⼈各得多少钱？”（“钱”是古代的⼀种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱.15．已知是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则使得成⽴的的取值集合是___________．16.已知棱⻓为1的正⽅体，过对⻆线作平⾯交棱于点，交棱于点，则：①平⾯分正⽅体所得两部分的体积相等；②四边形⼀定是平⾏四边形；③平⾯与平⾯不可能垂直；④四边形的⾯积的最⼤值为.其中所有正确结论的序号为_______三、解答题（共6⼩题；共70分）17.(本题满分12分)⽯室中学⾼三学⽣摸底考试后，从全体考⽣中随机抽取名，获取他们本次考试的数学成绩()和物理成绩()，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出与之间有线性相关关系，但图中有两个异常点．经调查得知，考⽣由于重感冒导致物理考试发挥失常，考⽣因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到⼀些统计的值：其中分别表示这名同学的数学成绩、物理成绩，，与的相关系数．（Ⅰ）若不剔除两名考⽣的数据，⽤组数据作回归分析，设此时与的相关系数为．试判断与的⼤⼩关系（不必说理由）；（Ⅱ）求关于的线性回归⽅程，并估计如果考⽣参加了这次物理考试（已知考⽣的数学成绩为分），物理成绩是多少？附：回归⽅程中,。