杭州电子科技大学_高等数学_期末试题

杭州电子科技大学高数期末下学期考试卷

一、填空题（每小题3分，本题共18分）：

1．[3分]设二元函数)sin(xy e

z =，dz = ； 2．[3分]将二次积分⎰⎰-ππππ2),(y dx y x f dy 交换积分次序为 ；

3．[3分] 设L 是抛物线x y =2从)0,0(O 到)1,1(A 的弧段，则

⎰L xydx = ；

4．[3分]函数x

x f +=21)(展开成x 的幂级数为 ； 5．[3分] 微分方程0)(3)(2)(=-'-''x y x y x y 的通解为 ；

6．[3分]幂级数n n n x n )1(21+∑∞

=的收敛半径为 ；

二、 试解下列各题（每小题5分，本题共15分）：

1．[5分] 设)sin(xy xe

z xy +=-，求y x z z '',； 2．[5分] 计算

dxdy y x D ⎰⎰+)23( ，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的区域；

3．[5分] 判别级数 )1()

1(1n n n n -+-∑∞=的敛散性，收敛的话，是条件收敛还是

绝对收敛；

试解下列各题（每小题5分，本题共15分）：

1．[5分] 设y x e z 2-= ，其中3

,sin t y t x ==，求全导数dt

dz ； 2．[5分] 计算三重积分yzdxdydz x I ⎰⎰⎰Ω

=2，这里Ω是由,402x y -≤≤02≤≤-x ，10≤≤z 所确定；

3．[5分] 求微分方程xdx y ydy x sin cos sin cos =满足初始条件40π==x y

的特解。

四、试解下列各题（每小题6分，本题共12分）：

1．[6分] 求椭球面623222=++z y x 在点)1,1,1(处的切平面方程和法线方程；

2．[6分] 求圆锥面22y x z +=被圆柱面x y x 222=+所割下部分的面积。

五、 试解下列各题（每小题6分，本题共12分）：

1．[6分] 设⎩

⎨⎧<<≤≤-=ππx x x x x f 0,0,2)(，试写出)(x f 的以π2为周期的傅立叶级数的和函数)(x s 在],[ππ-上的表达式。

2．[6分] 计算曲线积分

dy xy y x dx y x y x L )2()32(22+-+-+⎰，其中L 是圆周222=+y x 的顺时针方向。

六、[本题8分] 试求幂级数n n n n x n

)3(51-+∑∞=的收敛半径，并讨论幂级数在收敛端点处的收敛性，同时求级数的和函数；

七、[本题8分] 设函数)(x y 的二阶导数连续，且0)0(='y ，试求由方程

dt te t y t y x y x t ]6)(2)([311)(0

⎰-+-''-+=确定的函数)(x y 。

八、[本题7分] 计算⎰⎰∑

++zxdxdy yzdzdx xydydz ，其中∑是平面

0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的四面体的边界曲面的外侧。

九、[本题5分] 已知平面区域{}ππ≤≤≤≤=y x y x D 0,0),(，L 为D 的正向边界，试证：2sin sin 2π≥--⎰dx ye dy xe

x L y 。