高中数学必修五第三章

不等式知识点归纳
一、两实数大小的比较： 0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<． 二、不等式的性质： ①a b b a >⇔<；②,a b b c a c >>⇒>；③a b a c b c >⇒+>+； ④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；⑦()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >； ⑧)0,1n n a b a b n n >>>∈N >． 三、基本不等式定理
1、整式形式：①()2
2
2,a b ab a b R +≥∈；②()22
,2
a b ab a b R +≤∈；
③()20,02a b ab a b +⎛⎫
≤>> ⎪⎝⎭
；④()2
22,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭
2、根式形式：①
2a b
ab +≥（0a >，0b >）②a+b ≤)a 222b +（ 3、分式形式：a b +b
a
≥2（a 、b 同号）
4、倒数形式：a>0⇒a+a 1≥2 ；a<0⇒a+a
1
≤-2
四、公式：b
1a 12
+≤ab ≤2b
a +≤
2
2
2b a + 五、极值定理：设x 、y 都为正数，则有
⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2
4
s ．
⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值2p ． 六、解不等式
1、一元一次不等式： ax>b （a ≠0）的解：当a>0时，x>
a b ；当a<0时，x<a
b
；
2、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．
3、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式2
4b ac ∆=-
0∆> 0∆= 0∆<
二次函数2
y ax bx c =++
()0a >的图象
一元二次方程2
0ax bx c ++=
()0a >的根
有两个相异实数根
1,22b x a
-∆=
()12x x <
有两个相等实数根
122b x x a
==-
没有实数根
一元二次不等式的解集
20ax bx c ++>
()0a >
{}
1
2
x x x x x <>或
2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩
⎭
R
20ax bx c ++<
()0a >
{}1
2x x
x x <<
∅ ∅
4、解一元二次不等式步骤：一化：化二次项前的系数为整数
二判：判断对应方程的根，三求：求对应方程的根，四画：画出对应函数的图像，五解集：根据图像写出不等式的解集 5、解分式不等式：
)()(f x g x >0⇔f(x)g(x)>0 ; )()
(f x g x ≤0⇔⎩⎨⎧≠≤0
)(0)()(f x g x g x 6、解高次不等式：(x-1a )(x-2a )…（x-n a ）>0
7、解含参数的不等式：解形如a 2x +bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有：（1）讨论a 与0的大小（2）讨论∆与0的大小（3）讨论两根的大小 七、一元二次方程根的分布问题：
方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次不等式组求解。

1、1x <2x <k ⇔⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>∆<->0
20
)(k a b k f
2、k <1x <2x ⇔⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>∆>->0
20)(k a b k f
3、1x <k <2x ⇔f(k)<0
4、1k <1x <2x <2k ⇔⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧<-<>∆>>2121200
)(0
)k k a b k k f f （
5、、1x <1k <2k <2x ⇔⎩⎨
⎧>>0
)(0
)k 21k f f （
6、1k <1x <2k <2x <3k ⇔ ⎪⎩
⎪
⎨⎧><>0
)(0)(0)k 321k f k f f （
八、线性规划问题 1、定义：
线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件． 目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式． 线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解(),x y ． 可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解
2、区域判断
在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ． ①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方． 在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=．
①若0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线
0x y C A +B +=下方的区域．
②若0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线
0x y C A +B +=上方的区域．
3、解线性规划问题的一般步骤
第一步：在平面直角坐标系中做出可行域
第二步：在可行域内找出最优解所对应的点
第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。