牛顿迭代法

牛顿迭代法.

牛顿迭代法李保洋数学科学学院信息与计算科学学号：060424067指导老师：苏孟龙摘要：牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程•跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题•迭代法又分为精确迭代和近似迭代“牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较•关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学;九章算术；Duffing方程；非线性方程；收敛速度；渐进性0引言：迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题•迭代法又分为精确迭代和近似迭代•“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法•迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法•它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值•具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制•（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败•所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：1、确定迭代变量•在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）.迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成.3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件.1牛顿迭代法：洛阳师范学院本科毕业论文X 0 牛顿迭代有十分明显的几何意义，如图所示:牛顿迭代法(Newton method)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newto n-Rapfsonmethod)，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要•方法使用函数f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程f x =0的根•牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f x =0的单根附近具有平方收敛性，而且该法还可以用来求方程的重根、复根. 另外该方法广泛用于计算机编程中：解非线性方程f x ]=0的牛顿(Newton)法是把非线性的方程线性化的一种近似方法•把f x 的x 点附近展开泰勒(Taylor )级' 2 f x = f x 0 f X - X 0 f x 0 ］亠 ix - X 0取其线性部分作为非线性方程f x =0的近似方程，则有:f X 。

研究生数值分析(5)牛顿(Newton)迭代法

z
0.612547 0.641384 0.641186
6 求方程 m重根的Newton法设 s 是方程 f(x)=0 的 m 重根(m≥2), f(x)
在 s 的某邻域内有m阶连续导数 ,这时
f (s) f (s) f (m1) (s) 0, f (m) (s) 0
由Taylor公式,得
设 f '(x) 0 ，上式解为
x

xk

f (xk ) f ' (xk )
于是方程 f(x)=0的新的近似根xk+1，可由牛顿
迭代公式
xk 1

xk

f (xk ) f ' (xk )
k 0,1, 2,
求出
牛顿迭代公式具有明显的几何意义。方程 y f (xk ) f '(xk )(x xk ) 是曲线 y=f(x)在点 (xk , f (xk )) 处的切线方程，迭代公式就是切线与x轴交点的横坐标。因此，牛顿迭代法又称为切线法。
这表明牛顿迭代法用于求单根时至少是二阶收敛的。
（2）若 x* 是方程 f (x) 0 的 m(m 2) 重根，
即
f (x) (x x*)m q(x)
(q(x*) 0)
此时有
g ' (x*) lim g ' (x) lim
x x*
x x*
f (x) f '' (x) [ f ' (x)]2
k
xk
k
xk
4 0.635498 8 0.640964
5 0.643719 9 0.641285
6 0.640061 10 0.641142

牛顿迭代法求解方程组

牛顿迭代法求解方程组一、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法是一种用于求解方程的迭代方法，其基本思想是通过不断逼近方程的根来求解方程。

具体而言，对于一个方程f(x) = 0，我们可以选择一个初始近似解x0，然后通过迭代的方式不断更新x 的值，直到满足一定的停止准则为止。

牛顿迭代法的更新公式如下：x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}其中，x_n表示第n次迭代得到的近似解，f(x_n)表示方程在x_n处的函数值，f'(x_n)表示方程在x_n处的导数值。

二、牛顿迭代法在求解方程组中的应用牛顿迭代法不仅可以用于求解单个方程，还可以推广到求解方程组的情况。

假设我们要求解一个由m个方程和n个未知数组成的方程组，即F(x) = 0其中，F(x) = (f1(x1, x2, ..., xn), f2(x1, x2, ..., xn), ..., fm(x1, x2, ..., xn))为方程组的向量函数。

我们可以将该方程组转化为一个等价的非线性方程组：f(x) = 0其中，f(x) = (f1(x1, x2, ..., xn), f2(x1, x2, ..., xn), ..., fm(x1, x2, ..., xn))。

牛顿迭代法在求解方程组时的更新公式如下：x_{n+1} = x_n - J^{-1}(x_n) f(x_n)其中，J(x_n)是方程组在x_n处的雅可比矩阵，其定义为：J(x_n) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x_n) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x_n) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(x_n) \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x_n) & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(x_n) & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}(x_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(x_n) & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}(x_n) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(x_n) \end{pmatrix}三、牛顿迭代法的收敛性和收敛速度牛顿迭代法在求解方程组时具有较好的收敛性和收敛速度。

高斯—牛顿迭代法

高斯牛顿法高斯—牛顿迭代法的基本思想是使用泰勒级数展开式去近似地代替非线性回归模型，然后通过多次迭代，多次修正回归系数，使回归系数不断逼近非线性回归模型的最佳回归系数，最后使原模型的残差平方和达到最小。

高斯—牛顿法的一般步骤为：(1)初始值的选择。

其方法有三种，一是根据以往的经验选定初始值；二是用分段法求出初始值；三是对于可线性化的非线性回归模型，通过线性变换，然后施行最小平方法求出初始值。

(2)泰勒级数展开式。

设非线性回归模型为：i=1,2,…,n (3-68)其中r为待估回归系数，误差项～N(0, )，设：，为待估回归系数的初始值，将(3-68)式在g点附近作泰勒展开，并略去非线性回归模型的二阶及二阶以上的偏导数项，得(3-69)将(3-69)式代入(3-68)式，则移项：令：则：i=1,2，…，n用矩阵形式表示，上式则为：(3-70)其中：(3)估计修正因子。

用最小平方法对(3-70)式估计修正因子B，则：(3-71)设g为第一次迭代值，则：(4)精确度的检验。

设残差平方和为：，S为重复迭代次数，对于给定的允许误差率K，当时，则停止迭代；否则，对(3-71)式作下一次迭代。

(5)重复迭代。

重复(3-71)式，当重复迭代S次时，则有：修正因子：第(S+1)次迭代值：四、应用举例设12个同类企业的月产量与单位成本的资料如下表：表3-9 间接代换法计算表企业编号单位产品成本（元）月产量1 2 3 4 5 6 7 8 91011121601511141288591757666606160101620253136404551566065(注：资料来源《社会经济统计学原理教科书》第435页)试配合适当的回归模型分析月产量与单位产品成本之间的关系。

解：(1)回归模型与初始值的选择。

根据资料散点图的识别，本数据应配合指数模型：对指数模型两边取对数，化指数模型为线性回归模型，然后施行最小平方法求出初始值。

即：则上述指数模型变为：对分别求反对数，得，带入原模型，得回归模型：高斯—牛顿迭代法初始回归模型：残差平方和：（2）泰勒级数展开式。

牛顿迭代法(Newton‘s Method)

牛顿迭代法（Newton’s Method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson Method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

与一阶方法相比，二阶方法使用二阶导数改进了优化，其中最广泛使用的二阶方法是牛顿法。

考虑无约束最优化问题：其中 \theta^{\ast} 为目标函数的极小点，假设 f\left( \theta \right) 具有二阶连续偏导数，若第 k 次迭代值为 \theta^{k} ，则可将f\left( \theta \right)在\theta^{k}近进行二阶泰勒展开：这里，g_{k}=x^{\left( \theta^{k} \right)}=∇f\left( \theta^{k} \right)是f\left( \theta \right) 的梯度向量在点 \theta^{k}的值， H\left( \theta^{k} \right) 是 f\left( \theta \right) 的Hessian矩阵：在点 \theta^{\left( k \right)}的值。

函数 f\left( \theta \right) 有极值的必要条件是在极值点处一阶导数为0，即梯度向量为0，特别是当H\left( \theta\right) 是正定矩阵时，函数 f\left( \theta \right) 的极值为极小值。

牛顿法利用极小点的必要条件：这就是牛顿迭代法。

迭代过程可参考下图：在深度学习中，目标函数的表面通常非凸（有很多特征），如鞍点。

因此使用牛顿法是有问题的。

如果Hessian矩阵的特征值并不都是正的，例如，靠近鞍点处，牛顿法实际上会导致更新朝错误的方向移动。

这种情况可以通过正则化Hessian矩阵来避免。

常用的正则化策略包括在Hessian矩阵对角线上增加常数α 。

正则化更新变为：这个正则化策略用于牛顿法的近似，例如Levenberg-Marquardt算，只要Hessian矩阵的负特征值仍然相对接近零，效果就会很好。

牛顿迭代法及其应用

牛顿迭代法及其应用牛顿迭代法是一种求解函数零点的迭代方法，具有快速收敛、精度高等优点，被广泛应用于计算机、数学、物理等领域。

本文将从理论和实际应用两方面介绍牛顿迭代法，并对其应用进行探讨。

一、理论基础牛顿迭代法是通过一点处的切线来逼近函数零点的方法。

设$f(x)$在$x_0$点有一个零点，且其导数$f'(x_0)$存在且不为零，那么该零点可以通过一点$(x_0,f(x_0))$处的切线与$x$轴的交点来逐步逼近。

假设切线的方程为$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$，则其中$x$轴上的交点为$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$，这是零点的一个更好的近似值。

用$x_1$代替$x_0$，再利用同样的方法得到$x_2$，不断重复这个过程，即可逐步逼近零点。

这个过程可以用下面的公式表示：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$这就是牛顿迭代法的基本公式。

从初始值$x_0$开始迭代，不断利用公式进行逼近，直到找到满足$f(x_n)=0$的解。

二、实际应用牛顿迭代法在实际应用中广泛存在，比如在计算机图形学中，通过牛顿迭代法可以精确计算出圆的周长、面积等参数，也可以实现快速的路径追踪和光线追踪。

在金融领域中，牛顿迭代法可以用来计算隐含波动率，即在期权定价模型中，寻找满足期权定价公式的波动率。

由于这个过程中往往要用到反函数，所以牛顿迭代法可以快速找到隐含波动率。

另外，在机器学习、神经网络中，多次用到牛顿迭代法进行梯度下降，智能化运用牛顿迭代法可以提高计算效率，降低误差。

三、应用探讨牛顿迭代法的应用范围较广，但在实际应用中也存在一些问题。

如何避免迭代过程中出现抖动、越界、阻尼等现象，可以通过设置收敛条件、调整步长等方式进行优化。

此外，当函数的导数存在零点或迭代公式不存在时，牛顿迭代法也会失效。

因此，在选择牛顿迭代法时，需要了解函数特性，根据情况选择适合的迭代方法。

牛顿迭代法在微分方程中的应用

牛顿迭代法在微分方程中的应用介绍：微分方程作为数学中的一门重要分支，被广泛运用在工程、物理和经济等众多领域中。

当我们面对一些复杂的微分方程时，我们会需要使用一些数值方法帮助我们计算其解析解。

牛顿迭代法，作为一种常用的数值方法，被广泛运用在微分方程中的解析中。

一、基本原理牛顿迭代法，是一种寻找方程实根的方法，其基本思想是利用函数在零点处的导数，逐步接近方程的实根。

其公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac {f(x_n)}{f'(x_n)}$$ 其中，x0是迭代初始值，xn是第n次迭代值，f(xn)和f'(xn)分别是函数f(x)在xn处的函数值和导数值。

二、牛顿迭代法的优点1. 速度快牛顿迭代法是一种高效的数值计算方法，其收敛速度非常快，有许多实际应用都需要用到这种方法。

2. 精度高相对于其他数值计算方法，牛顿迭代法的精度比较高，使它成为许多科学研究和工业生产中必不可少的一种数值计算方法。

三、牛顿迭代法在微分方程中的应用牛顿迭代法经常被用来解决微分方程中的数值计算问题。

例如，我们可以利用牛顿迭代法来计算某些微分方程的解析解，其中非常经典的例子是求解关于x的函数f(x)=0的方程。

我们希望通过数值计算来获得此方程一个或多个解析解。

计算过程中，我们首先需要定义一个函数来表示方程的左侧。

例如：$$f(x)=\sin(x)-x/2-\pi/2$$ 如果我们需要解决该方程的解析问题，我们可以通过使用牛顿迭代法找出它的数值解，示例代码如下：return np.sin(x)-x/2-np.pi/2def df(x):return np.cos(x)-0.5def newton(f,df,x0,tol=1e-6,eps=1e-6): xn=x0while True:fx=f(xn)dfx=df(xn)if abs(fx)<tol:breakif abs(dfx)<eps:print("Error: null derivative") return Nonexn=xn-fx/dfxreturn xnroot=newton(f,df,x0)print(root)通过牛顿迭代法，我们可以计算出f(x)=0的解析解。

高斯—牛顿迭代法

高斯牛顿法高斯—牛顿迭代法的基本思想是使用泰勒级数展开式去近似地代替非线性回归模型，然后通过多次迭代，多次修正回归系数，使回归系数不断逼近非线性回归模型的最佳回归系数，最后使原模型的残差平方和达到最小。

高斯—牛顿法的一般步骤为：(1)初始值的选择。

其方法有三种，一是根据以往的经验选定初始值；二是用分段法求出初始值；三是对于可线性化的非线性回归模型，通过线性变换，然后施行最小平方法求出初始值。

(2)泰勒级数展开式。

设非线性回归模型为：i=1,2,…,n (3-68)其中r为待估回归系数，误差项～N(0, )，设：，为待估回归系数的初始值，将(3-68)式在g点附近作泰勒展开，并略去非线性回归模型的二阶及二阶以上的偏导数项，得(3-69)将(3-69)式代入(3-68)式，则移项：令：则：i=1,2，…，n用矩阵形式表示，上式则为：(3-70)其中：(3)估计修正因子。

用最小平方法对(3-70)式估计修正因子B，则：(3-71)设g为第一次迭代值，则：(4)精确度的检验。

设残差平方和为：，S为重复迭代次数，对于给定的允许误差率K，当时，则停止迭代；否则，对(3-71)式作下一次迭代。

(5)重复迭代。

重复(3-71)式，当重复迭代S次时，则有：修正因子：第(S+1)次迭代值：四、应用举例设12个同类企业的月产量与单位成本的资料如下表：表3-9 间接代换法计算表企业编号单位产品成本（元）月产量1 2 3 4 5 6 7 8 91011121601511141288591757666606160101620253136404551566065(注：资料来源《社会经济统计学原理教科书》第435页)试配合适当的回归模型分析月产量与单位产品成本之间的关系。

解：(1)回归模型与初始值的选择。

根据资料散点图的识别，本数据应配合指数模型：对指数模型两边取对数，化指数模型为线性回归模型，然后施行最小平方法求出初始值。

即：则上述指数模型变为：对分别求反对数，得，带入原模型，得回归模型：高斯—牛顿迭代法初始回归模型：残差平方和：（2）泰勒级数展开式。

有一种迭代方法叫牛顿迭代法，是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。

设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x(n+1) = g(x(n)) = x (n)–f(x(n))/f‘(x(n)).然后按以下步骤执行：(1) 选一个方程的近似根，赋给变量x1;(2) 将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0;(3) 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤(2)的计算。

若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。

例1：已知f(x) = cos(x) - x。

x的初值为3.14159/4,用牛顿法求解方程f(x) =0的近似值，要求精确到10E－6。

算法分析：f(x)的Newton代法构造方程为：x(n+1) = xn - (cos(xn)-xn) / (-sin(xn)-1)。

#include<stdio.h>double F1(double x); //要求解的函数double F2(double x); //要求解的函数的一阶导数函数double Newton(double x0, double e);//通用Newton迭代子程序int main(){double x0 = 3.14159/4;double e = 10E-6;printf("x = %f\n", Newton(x0, e));getchar();return 0;}double F1(double x) //要求解的函数{return cos(x) - x;}double F2(double x) //要求解的函数的一阶导数函数{return -sin(x) - 1;}double Newton(double x0, double e)//通用Newton迭代子程序{double x1;do{x1 = x0;x0 = x1 - F1(x1) / F2(x1);} while (fabs(x0 - x1) > e);return x0; //若返回x0和x1的平均值则更佳}例2：用牛顿迭代法求方程x^2 - 5x + 6 = 0，要求精确到10E－6。

牛顿法和牛顿迭代法

⽜顿法和⽜顿迭代法⽜顿法，⼤致的思想是⽤泰勒公式的前⼏项来代替原来的函数，然后对函数进⾏求解和优化。

和稍微有些差别。

⽜顿法⽜顿法⽤来迭代的求解⼀个⽅程的解，原理如下：对于⼀个函数f(x),它的泰勒级数展开式是这样的f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+12f″(x0)(x−x0)2+...+1n!f n(x0)(x−x0)n当使⽤⽜顿法来求⼀个⽅程解的时候，它使⽤泰勒级数前两项来代替这个函数，即⽤ϕ(x)代替f(x),其中:ϕ(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)令ϕ(x)=0，则x=x0−f(x0) f′(x0)。

所以，⽜顿法的迭代公式是x n+1=x n−f(x n) f′(x n)⽜顿法求解n的平⽅根求解n的平⽅根，其实是求⽅程x2−n=0的解利⽤上⾯的公式可以得到：x i+1=x i−x2i−n2x i=(xi+nx i)/2编程的时候核⼼的代码是：x = (x + n/x)/2应⽤于最优化的⽜顿法应⽤于最优化的⽜顿法是以迭代的⽅式来求解⼀个函数的最优解，常⽤的优化⽅法还有梯度下降法。

取泰勒展开式的⼆次项,即⽤ϕ(x)来代替f(x)：ϕ(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+12f″(x0)(x−x0)2最优点的选择是ϕ′(x)=0的点，对上式求导ϕ′(x)=f′(x0)+f″(x0)(x−x0)令ϕ′(x)=0，则x=x0−f′(x0) f″(x0)所以，最优化的⽜顿迭代公式是x n+1=x n−f′(x n) f″(x n)⾼维下的⽜顿优化⽅法在⾼维下ϕ(x)=f(x0)+∇f(x0)T(x−x0)+12(x−x0)T∇2f(x0)(x−x0)求∇ϕ(x),并令它等于0，则公式变为了∇f(x0)+∇2f(x0)(x−x0)=0即x=x0−∇2f(x0)−1∇f(x0)所以，迭代公式变为x n+1=x n−∇2f(x n)−1∇f(x n)其中：x n+1,x n都是N*1维的⽮量。

牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法

§3.4 牛顿迭代法牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。

3.4.1 牛顿迭代法用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式：1设],[)(2b a C x f ∈，对)(x f 在点],[0b a x ∈作泰勒展开： !2))((''))((')()(20000x x f x x x f x f x f -+-+=ξ略去二次项，得到)(x f 的线性近似式：))((')()(000x x x f x f x f -+≈。

由此得到方程=)(x f 0的近似根(假定≠)('0x f 0)，)(')(000x f x f x x -=即可构造出迭代格式(假定≠)('k x f 0)：)(')(1k k k k x f x f x x -=+ 公式(3.4.1)这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{k x }收敛于α，则α就是非线性方程的根。

2 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于)(x f 的线性化近似函数)(x l ＝))((')(000x x x f x f -+是曲线y ＝)(x f 过点))(,(00x f x 的切线而得名的，求)(x f 的零点代之以求)(x l 的零点，即切线)(x l 与x 轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。

实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。

利用牛顿迭代公式，由k x 得到1+k x ，从几何图形上看，就是过点))(,(k k x f x 作函数)(x f 的切线k l ，切线k l 与x 轴的交点就是1+k x ，所以有1)()('+-=k k k k x x x f x f ，整理后也能得出牛顿迭代公式： )(')(1k k k k x f x f x x -=+。

牛顿迭代法的基本原理知识点

牛顿迭代法的基本原理知识点牛顿迭代法是一种求解方程近似解的数值计算方法，通过不断逼近方程的根，以获得方程的解。

它基于牛顿法则和泰勒级数展开，被广泛应用于科学和工程领域。

本文将介绍牛顿迭代法的基本原理和相关知识点。

一、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法的基本原理可以总结为以下几个步骤：1. 假设要求解的方程为 f(x) = 0，给定一个初始近似解 x0。

2. 利用泰勒级数展开，将方程 f(x) = 0 在 x0 处进行二阶近似，得到近似方程：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0) + 1/2 f''(x0)(x - x0)^23. 忽略近似方程中的高阶无穷小，并令f(x) ≈ 0，得到近似解 x1：0 ≈ f(x0) + f'(x0)(x1 - x0) + 1/2 f''(x0)(x1 - x0)^2求解上述方程，得到近似解 x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)。

4. 通过反复迭代的方式，不断更新近似解，直到满足精度要求或收敛于方程的解。

二、牛顿迭代法的收敛性与收敛速度牛顿迭代法的收敛性与收敛速度与初始近似解 x0 的选择和方程本身的性质有关。

1. 收敛性：对于某些方程，牛顿迭代法可能无法收敛或者收敛到错误的解。

当方程的导数为零或者初始近似解离根太远时，迭代可能会发散。

因此，在应用牛顿迭代法时，需要对方程和初始近似解进行合理的选择和判断。

2. 收敛速度：牛顿迭代法的收敛速度通常较快，二阶收敛的特点使其在数值计算中得到广泛应用。

在满足收敛条件的情况下，经过每一次迭代，近似解的有效数字将至少加倍，迭代次数的增加会大幅提高精度。

三、牛顿迭代法的优点与局限性1. 优点：1) 收敛速度快：牛顿迭代法的二阶收敛特性决定了它在求解方程时的高效性和快速性。

2) 广泛适用：牛顿迭代法可以用于求解非线性方程、方程组和最优化问题等，具有广泛的应用领域。

牛顿迭代法

一 .牛顿迭代法简介1.牛顿迭代法的产生背景牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。

方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。

牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x)=0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。

另外该方法广泛用于计算机编程中。

利用牛顿迭代法来解决问题需要做好的工作：（1）确定迭代变量。

在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

（2）建立迭代关系式。

所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。

迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

（3）对迭代过程进行控制。

在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。

不能让迭代过程无休止地重复执行下去。

迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。

对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

2.牛顿迭代法的概述牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。

方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。

代数方程的牛顿迭代法

7-18-19-代数方程的牛顿迭代法牛顿迭代法（Newton's method）是一种用于数值求解代数方程的迭代方法，通常用于找到方程的根。

它的基本思想是通过不断逼近方程的根，直到满足某个精度要求。

下面是使用牛顿迭代法求解代数方程的一般步骤：
假设要求解方程 f(x) = 0。

1. 选择一个初始猜测值 x₀，通常选择接近根的值。

2. 计算 f(x₀) 和 f'(x₀)，其中 f'(x₀) 是 f(x) 的导数。

3. 计算下一个近似根的值：x₁ = x₀ - f(x₀) / f'(x₀)。

4. 重复步骤 2 和 3，直到满足停止条件，如达到指定精度或经过一定数量的迭代。

数学表示为： xᵢ₊₁ = xᵢ - f(xᵢ) / f'(xᵢ)
这个迭代过程将不断逼近方程的根，直到满足精度要求。

下面是一个示例，假设要解方程f(x) = x² - 4 = 0，其中我们知道根是 x = 2。

我们使用牛顿迭代法来逼近这个根：
1. 初始猜测值 x₀ = 3。

2. 计算 f(x₀) = 3² - 4 = 5 和 f'(x₀) = 2 * 3 = 6。

3. 计算下一个近似根：x₁ = 3 - 5 / 6 = 2.1667。

4. 重复步骤 2 和 3，直到达到所需的精度或迭代次数。

不断迭代，最终我们会得到x ≈ 2，它是方程的根。

请注意，牛顿迭代法的有效性和收敛性取决于初始猜测值的选择，以及方程 f(x) 和它的导数 f'(x) 的性质。

有时可能需要多次尝试不同的初始猜测值来确保收敛到正确的根。

研究生数值分析(5)牛顿(Newton)迭代法

解：对于简单迭代法，由
x* xk 1 g ( x* ) g ( xk ) g ' ( k )( x* xk )
( k 在xk 与x*之间）
当迭代过程收敛，且有
lim
k
g ' ( x)
连续时,
x* xk 1 x* xk
lim g ' ( k ) g ' ( x)
满足定理５条件，牛顿迭代公式收敛。事实上，由迭代公式可得
1 xk 1 c ( xk c )2 2 xk
1 xk 1 c ( xk c ) 2 2 xk
两式相除得到由此递推可得令 r0 解得
x0 c x0 c
xk 1 c xk 1 c
(
xk c xk c
'
，上式解为
x xk
f ( xk ) f ' ( xk )
于是方程 f(x)=0的新的近似根xk+1，可由牛顿迭代公式
f ( xk ) xk 1 xk ' f ( xk ) k 0,1, 2,
求出牛顿迭代公式具有明显的几何意义。方程
( xk , f ( xk ))
y f ( xk ) f ' ( xk )( x xk )
)2
2k
，
xk c xk c
(
x0 c x0 c
)
，于是
r02
k
xk c xk c
r
2k 0
xk c 2 c
1 r
2k 0
对任意 x0 (0, ) ，总有 r0 1
，
所以当 k 时，xk c

牛顿迭代法

2.牛顿迭代法的几何解析
在 x0 处做曲线的切线，切线方程为
y f (x0 ) f (x0 ) f ' (x0 )(x x0 )
令 y 0可得切线与 x 轴的交点坐标
x1 x0
f (x0 ) f ' (x0 )
，这
就是牛顿迭代法的迭代公式。因此，牛顿法又称“切线
法”。
y
y f (x)
n=0;eps=1.0e-5;
x=0.5;
while abs(x-0.625*exp(-x)-0.375*x)>eps
x=0.625*exp(-x)+0.375*x;n=n+1;
end
x,n 结果为0.5671，n=3,说明迭代三次后达到精度要求。
练习5 对练习中方程
，用加快后的迭代格式
x ex
h(x) g(x) xg ' (x) 求x=0.5附近的根，精确到10-5 1 g'(x)
o
x2 x1 x0
x
牛顿迭代法
3.牛顿迭代法的收敛性
计算可得 g'(x)
f (x) f ''(x) [ f ' (x)]2
，设 x* 是 f (x) 0 的单根，
有 f ' (x*) 0 ，f (x*) 0 则
g' (x*)
f (x* ) f '' (x* ) [ f ' (x* )]2
x=x-(x*exp(x)-1)/((x+1)*exp(x)) end 可得迭代数列前6项为1.0000 ，0.6839， 0.5775
0.5671，0.5671，说明迭代实收敛的。如果取初值为10，相应的MATLAB代码为 clear; x=10.0; for i=1:20

牛顿迭代法的原理与应用

牛顿迭代法的原理与应用牛顿迭代法（Newton's method）是一种数值计算方法，主要用于求解非线性方程和优化问题，其基本思想是通过线性逼近来不断逼近函数的零点。

牛顿迭代法是数学上的一个重要概念，应用广泛，并且在实际问题中也有很多应用。

本文旨在介绍牛顿迭代法的原理和应用。

一、牛顿迭代法的原理牛顿迭代法主要用于求解非线性方程的根，其基本思想是通过对函数进行逐次线性逼近来逼近函数的零点。

设 f(x) 在 x_0 处可导，那么函数在 x_0 处的一次泰勒展开式为：f(x)=f(x_0 )+f'(x_0 )(x-x_0 )将 f(x) 置于零，解出 x 的值，则可得到下一个逼近点：x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}依照上述的迭代方式不断进行逼近，直到最终的误差小于某个可接受的范围为止。

例如，在求解方程 x^2-2=0 的根时，选择初始值 x_0=1。

然后根据上述迭代方式不断逼近，可以得到以下的结果：x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=1-\frac{1}{2}=0.5x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}=0.5-\frac{-0.5}{1}=1.0x_3=x_2-\frac{f(x_2)}{f'(x_2)}=1.0-\frac{0}{2}=1.0可以看到，通过牛顿迭代法可以在三次迭代内得到非常精确的解。

同时，牛顿迭代法还可以求解多元函数的根和优化问题，但是在这里不进行详细介绍。

二、牛顿迭代法的应用牛顿迭代法在实际问题中有许多应用，下面介绍几个例子。

1. 数值解微分方程微分方程在物理、工程、生物学等领域中占有重要地位，但是大部分微分方程并不能求解得到。

通过数值方法来求解微分方程是一种很有效的方法，其中牛顿迭代法就是一个常用的工具。

将微分方程通过拉格朗日插值法或泰勒级数进行近似，再使用牛顿迭代法求解即可。

牛顿迭代法.

牛顿迭代法李保洋数学科学学院信息与计算科学学号：060424067指导老师：苏孟龙摘要：牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程.跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较.关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学；九章算术；Duffing方程；非线性方程；收敛速度；渐进性0 引言：迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法.迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法.它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值.具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：(1)如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制.(2)方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败.所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：1、确定迭代变量.在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量.2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系).迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成.3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件.1牛顿迭代法：牛顿迭代法(Newton method)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newton-Rapfson method )，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要.方法使用函数()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根.牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程()0f x =的单根附近具有平方收敛性，而且该法还可以用来求方程的重根、复根.另外该方法广泛用于计算机编程中：解非线性方程()0f x =的牛顿(Newton )法是把非线性的方程线性化的一种近似方法.把()f x 的0x 点附近展开泰勒(Taylor ）级()()()()()()''20'00002!f x f x f x f x x fx x x =+-+-+；取其线性部分作为非线性方程()0f x =的近似方程，则有：()()()'0000f x f x x x +-=；设()'00f x ≠，则其解为：()()0'100f x x x f x =-；再把()f x 在1x 附近展开泰勒(Taylor )级数，也取其现行部分作为()0f x =的近似方程.若()'10f x ≠，则得：()()1'211f x x x f x =-；这样，得到牛顿(Newton )法的一个迭代序列：()()'1n n n n f x x x fx +=-；牛顿迭代有十分明显的几何意义，如图所示：当选取初值0x 以后，过()()00,x f x 做()f x 的切线，其切线方程为：()()()'000y f x f x x x -=-；求此切线方程和x 轴的交点，即得：()()'1000x x f x f x =-；牛顿法正因为有这一明显的几何意义，所以也叫切线法. 例：用牛顿法求下面方程的根()32210200f x x x x =++-=；解：因()'23410f x x x =++，所以迭代公式为：()()3221210203410n n x x x x x x x +=-++-++；选取01x =计算结果列表：从结果可以看出，牛顿法的收敛是很快的，5x 误差1510-.但用牛顿法计算工作量比较大，因每次计算迭代除了计算函数值外还要计算微商值.为此我们提出了简化牛顿法：其公式为()()'10n n n x x f x f x +=-；用上面的公式计算，不再需要每步重新计算微商值，所以计算量小一些，但收敛也要慢一些.为了避免计算导数还可以采用差商代导数的方案：()()()()111n n n n n n n f x x x x x f x f x +--=---；关于牛顿迭代的收敛有下面结果：如果()f x 在零点附近存在连续的二阶微商，ξ是()f x 的一重零点，且初始0x 充分接近于ξ，那么牛顿迭代是收敛的，且有()()()2'''1/2n n x f f x ξξξξ+-≈•-；这表明牛顿法是二阶收敛的（平方收敛的）.最后考虑()f x 是多项式的特殊情况，此时()f x ，()'f x 在某个x 值，比如x c =时的计算可用综合除法.设 ()111n n n n f x ax a x a x a +-=+++，除以x c -，得商()q x ，余r ：()()()f x q x x c r =-+；（1）其中：()120121n n n n q x b x b x b x b ----=++++；()n r b f c ==；比较(1)式两边k x 的系数便知这些k b 可以按下表进行：这一过程其实就是秦九韶算法，计算多项式值的嵌套算法：()()()()121n n f c aa c a c c a c a -=+++++；每个括号的值就是这里的0n b b .至于导数的计算，注意到(1)式可得：()()()()''f x q x q x x c =+-；于是：()()'f c q c =；因此再对0n b b 进行上述过程，或者再用一次秦九韶算法即可.2一种修正的牛顿迭代法：给出了牛顿迭代法的一种修正形式，并证明了当1/2r ≠时修正的牛顿迭代法是二阶收敛的，当参数1/2r =时是三阶收敛的，数值实验表明，与经典牛顿迭代法相比，该修正牛顿迭代法具有一定的优势.众所周知，数值求解非线性方程()0f x =的根的方法很多.经典的牛顿迭代法是非线性方程组求根的一个基本方法，它二次收敛到单根，线性收敛到重根.牛顿法因收敛速度快而得到广泛应用，也倍受学者的重视，近年来很多文献中提出各种改进的牛顿方法.文献［8］中利用Newton 迭代法和微分中值定理“中值点”的渐进性，提出了一种多点迭代法.设()f x 满足下述条件：()[]2,f x c a b ∈，()()0f a f b <； ()'0f x ≠， ()''f x 在[,]a b 上保号. (A)根据微分中值定理，存在(,)a b ξ∈，使得：()()()'f b f a f b a ξ-=-，而1lim 2b a a b a ξ→-=-.因此，当b 与a 的距离无限接近时有：()12a b a ξ≈+-.也就是说，在区间(,)a b 不甚大时，中值点ξ一定在其渐近位置 ()12a b a ξ≈+-附近，并随区间变小而趋于其渐近位置.图所示迭代法构造图本方案基于上述考虑，给出一种通过迭代点选取另一个点，利用两个点进行迭代求近似根的新方法.这种方法虽然在迭代中又只利用了一个其它点，但其计算精度却相当高，它的某一种特殊情形恰是通常的Newton 迭代法.为了更加直观起见，我们通过几何直观图来构造这种迭代法.设()f x 满足条件(A )，当选定初值0x(仅要求()()"00f x f x ⋅>)，如图所示，作交点的切线交x 轴于B ()()00'0,0f x x f x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，AQ 线段的斜率为：()()()()()000'0000'0f x f x f x f x f x x x f x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由微分中值定理知，存在()()000'0,f x x x f x ξ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭使得：()()()()()()000'0'0000'0f x f x f x f x f x f x x x f x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭；而()()()()0000''0012f x f x x x f x f x ξ⎛⎫≈-+- ⎪ ⎪⎝⎭，因此，我们取数1,12r ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，在点()()()()()()0000''001,1f x f x P x r f x r f x f x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作切线PC ，图中AD 平行于PC .即用点P 的导数()()()0'0'01f x f x r f x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭代替点A 的导数，而仍用点A 的迭代格式得到点D 的坐标()()()()00'00'0,01f x D x f x f x r f x ⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；重复上述过程，得到多点迭代公式()()()()1''1k k k k k k f x x x f x f x r f x +=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭； (2)其中[,]k x a b ∈，1,2,3,k =.下面我们对上述事实，从理论上加以严格证明.定理设()f x 满足条件(A )，则由多点迭代公式(1)产生的序列{n x }必收敛于[,]a b 上的唯一a ，这里[],n x a b ∈，()0f a =.证明函数()f x 在上连续，由连续函数根的存在定理，从()()0f a f b <知道()f x 在[],a b 上根存在，又由条件()'0f x ≠及()''f x 保号知道，()'f x 在[],a b 上不变号，故()f x 在[],a b 上是单调函数，因此()f x 在[],a b 上根a 存在且唯一.由定理条件曲线()y f x =可有如下四种不同情况：(1) ()()()"0,0,0f a f b f x <>>，则()'f x 单调上升，()()''0f a f b >； (2) ()()()"0,0,0f a f b f x <>>，则()'f x 单调下降，()()''0f a f b >；(3) ()()()"0,0,0f a f b f x ><>，则()'f x 单调上升， ()()''0f a f b <； (4) ()()()"0,0,0f a f b f x ><<，则()'f x 单调下降，()()''0f a f b <. 通过对自变量的变号或对函数的变号可将四种情况归结为一种情况，所以我们只需对情况(一)证明迭代过程(1)收敛就可以了.若初值[]0,,,n x a b x a ∈>所以()00f x >，故有()()()()0100'00'01f x x x x f x f x r f x =-<⎛⎫-- ⎪⎝⎭；()()()()()()()()()()()()()()()''0001000'''000000'''000111f x f a f x a f x a x x x x f x f x f x f x r f x r f x r f x f x f x ξξ+--=-=-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；一方面，()0.a x ξ∈，且()()'00f x f x a =-.下证()()()()0''0'01f x f x f x r f x ⎛⎫<-- ⎪ ⎪⎝⎭.若()()()()0''0'01f x f x f x r f x ⎛⎫>-- ⎪ ⎪⎝⎭，由()'f x 的单调性有，x ，()()()00'01f x x r f x ξ--<，又因为()()()()()0000''001f x f x x r x f x f x -->-，因此有()()()0''0'0f x f x f f x ξ⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭，与Newton 迭代法的收敛性矛盾.由(一)的假设及()()()()0''0'01f x f f x r f x ξ⎛⎫<-- ⎪ ⎪⎝⎭可得： ()()()()()()'01000'00'01f x a x x x x a a f x f x r f x ξ-=->-=⎛⎫-- ⎪⎝⎭；一般地，若n x a =，同样可以证明由式(2)得到的1n x +满足1n n a x x +<<.所以由式(1)产生的迭代序列{n x }单调下降且有下界.依极限理论必有极限.对式(2)两边取极限，由极限理论可以求得()'0f a =.再由()'0f x ≠，[],n x a b ∈，可知函数方程()0f x =在[],a b 上的根是唯一的，因此有'a a =.当1r =时，式(2)即为Newton 迭代公式.本文给出的这种多点迭代方法不仅可以被广泛应用于方程的近似求根，更重要的是它为人们提供了一种新的迭代思想，拓宽人们在方程近似求根方面的思路.例计算()3250f x x x =--=在(2,3)区间内的一个实根.我们已知()0f x =有一个精确到十二位有效数字的实根 2.09455148154a =. 取03x =，以Newton 迭代法计算(记作1n x )，取03x =， 12r =以式(1)计算(记作2n x )，其结果列表如表1.行三次迭代就已得满足精度要求的值了，而Newton 迭代法需迭代5次才可得到满足精度要求的值.式(2)可以被广泛应用，特别是编成数学软件后，用计算机求解方程近似根效果会更加显著.3另外一种牛顿迭代法的修正：Newton 迭代法是方程求根的一种简单而直观的近似方法，但在实际运用中，我们常常觉察到，这种方法仅仅是利用了迭代点及该点的导数值，而没有充分利用其他点及其导数值.是否存在可利用的点，这些点我们应怎样确定.文[1]给出了一种方法，但这种方法求根的关键在适当地选取0x 和r 或n r .选取不适当，就会出现某次迭代的值不是迭代序列中的值.因此，我们会问这些值特别是0x 能否不依靠人为选取，而通过迭代点来选取，本文将利用Newton 迭代法和微分中值定理“中值点”的渐近性，来寻找除迭代点以外的可利用点，给出一种多点迭代方法.设()f x 满足下述条件：()[]()()2,,0f x c a b f a f b ∈<；()()'''0,f x f x ≠在[],a b 上保号. (A)根据微分中值定理，存在(),a b ξ∈，使得()()()'f b f a f b a ξ-=-而1lim 2b a a b a ξ→-=-.因此，当b 与a 的距离无限接近时有：()12a b a ξ≈+-.也就是说，在区间(),a b 不甚大时，中值点ξ一定在其渐近位置()12a b a ξ≈+-附近，并随区间变小而趋于其渐近位置.本方案基于上述考虑，给出一种通过迭代点选取另一个点，利用两个点进行迭代求近似根的新方法.设()f x 满足下列条件(A)：(1) ()f x 在区间在区间[],a b 上存在二阶导数； (2) ()'f x 在[],a b 上不等于零； (3) ()''f x 在[],a b 上不变号； (4) ()()0f a f b <；为了更为直观，我们通过几何直观图来构造多点迭代法.设()f x 满足条件(A)，当选定初值0x （仅要求()()''00f x f x >），如图所示：做A 点的切线交X 轴于B ()()00'0,0f x x f x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，AQ 线段的斜率为：()()()()()000'0000'0f x f x f x f x f x x x f x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭；由微分中值定理知，存在()()000'0,f x x x f x ξ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭使得： ()()()()()()000'0'0000'0f x f x f x f x f x f x x x f x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭；而()()()()0000''0012f x f x x x f x f x ξ⎛⎫≈-+- ⎪ ⎪⎝⎭，因此，我们取数1,12r ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，在点()()()()()()0000''001,1f x f x P x r f x r f x f x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作切线PC ，图中AD 平行于PC .即用点P 的导数()()()0'0'01f x f x r f x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭代替点A 的导数，而仍用点A 的迭代格式得到点D 的坐标()()()()00'0',01k k f x D x f x f x r f x ⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (3)主要对(3)式的分子()k f x 用()k f x 与()()()()''1k k k k k f x f x f x f x r f x ⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的和代替，这样就得到新的迭代公式：()()()()()()()()''1''11k k k k k k k k k k k f x f x f x f x f x r f x x x f x f x r f x +⎛⎫ ⎪⎪+-⎪⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭； (4) 如果令 ()()()()'1k k f x u x x r f x =--；()()()1'k k k kf x x w x x f u +==-；则： ()()111'k k k f x x x f u x -+-++⎛⎫⎪⎝⎭=-；从而可知(4)式中迭代函数为：()()()()()()'f w x x w x f w x Φ=-；引理1[5] 对于迭代公式()1k k x x +=Φ，如果p Φ在所求的根*x 的邻近连续并且：()()()()1'*''**0p x x k x +Φ=Φ==Φ=，()()*0px Φ≠，则该公式在*x 的邻近是p 阶收敛的.定理1 设方程()f x 的根为*x ，函数()f x 在*x 的的邻域内有至少四阶连续导数，且()'0f x ≠，则迭代公式(4)在的*x 邻近至少是三阶收敛的.证明迭代公式(4)的迭代函数为：()()()()()()'f w x x w x f w x Φ=-，其中()()()'k k k f x w x x f u =-，由于方程()f x 的根为*x 所以()*0f x =，从而可知()**w x x =，()'*0w x =；()()()()()()'*'*''*3''*f x u x w x f u x =对()x Φ求导数得：()()()()()()()()()()()()()()()'''''"''''*2''0f w x w x f u x f w x f u x u x x w x x f u x -Φ=-⇒Φ=；同理可得：()()()()()()'"'"*''*''*0x x x w x w x Φ=Φ⇒Φ=-=.由引理知迭代公式(4)在*x 邻近至少是三阶收敛的.引理2（[4]）假设函数()f x 在区间[],a b 上存在二阶导数，且满足下列条件(1) ()'f x 在[],a b 上不等于零；(2) ()''f x 在[],a b 上不变号；(3) ()()0f a f b <；(4) 设[],x a b ∈，且满足条件()()"0f x f x >；则由Newton 迭代法()()'10n n n x x f x f x +=-得到的序列{}n x 收敛于()0f x =的惟一根*x .定理2 假设函数()f x 在区间[],a b 上存在二阶导数，且满足下列条件(1) ()'f x 在[],a b 上不等于零；(2) ()''f x 在[],a b 上不变号；(3) ()()0f a f b <；(4) 设[],x a b ∈，且满足条件()()"0f x f x >.则由多点迭代公式(4)得到的序列{}n x 收敛于()0f x =的惟一根*x .证明函数()f x 在[],a b 上连续，由连续函数根的存在定理，从()()0f a f b <知道()f x 在[],a b 上根存在，又由条件()'0f x ≠及()"f x 的保号性知道，()'f x 在[],a b 上不变号，故()f x 在[],a b 上是单调函数，因此()f x 在[],a b 上的根*x 存在且惟一. 由定理条件，曲线()y f x =可有如下四种不同情况：(a) ()()()"0,0,0f a f b f x <>>，则()'f x 单调上升，()()''0f b f a ≥>；(b) ()()()"0,0,0f a f b f x <><，则()'f x 单调下降，()()''0f a f b ≥>；(c) ()()()"0,0,0f a f b f x ><>，则()'f x 单调上升，()()''0f a f b ≥<；(d) ()()()"0,0,0f a f b f x ><<，则()'f x 单调下降，()()''0f b f a ≥<.通过对自变量的变号或对函数的变号可以将四种情况归结为一种情况，所以我们只需对其中一种情况证明迭代过程(4)是收敛的就可以了.下面仅就情况(a)证明定理2，其余情况的证明类似.对情况(a)来说此时()0f x =在[],a b 上的根存在且惟一，且()f x 在[],a b 上单调递增.首先证明，对任何初始近似()*,x x b ∈，由迭代公式(4)求出的逐次近似k x 都属于()*,x b ，并且单调递减. 事实上，由引理2的证明我们可知，只要()()()()()*'1,k k k k f x u x x r x b f x =--∈，就有()*1,k x x b -+∈，即()1k k k x u x x -+<<，再由(3)式得11k k x x -++<，另一方面(3)式可化为： ()()()()()()()()()*''1*****11111'''1k k k k k k k k k f x f x f f x x x x x x x x x x f u x f u x f u x ξξ-+----+++++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=--=---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；其中()()**11,,k k x x x u x ξ-+⎛⎫∈⊂ ⎪⎝⎭.由()'f x 单调递增且()'0f x >知()()()''1k f f u x ξ<，故*10k x x -+->因而由(4)式产生的序列{}n x 单调递减并有下界，故lim n n x →∞存在.设lim n n x x -→∞=，(4)式两边当k →∞时求极限得： ()()_____'_'____'_'101f x f x f x f x f x r f x x x f x f x r f x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪+- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()_____'_'__'_'11f x f x f x f x f x r f x f x f x r f x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪+- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；可知 ()_____'_'01f x f x f x f x f x r f x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪+-= ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ()()___*__'_',,1f x x x x b f x f x r f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-∈⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 在[],a b 上单调递增，且()*0f x =所以：()_____'_'0,01f x f x f x f x f x r f x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪=-= ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；因此得：*x x -=. 本方法代方法比Newton 和文[4]的迭代法的收敛速度明显要快，而且对于1,12r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，r 越大效果越差！对于例1，用MATLAB 程序运算格式(4)，当12r <时，在*0k x x →=之前迭代格式会产生负值.所以，格式(4)的收敛速度和r 的选取有关. 对于定理2中的四个条件，在MATLAB 中通过简单的程序即可验证.4 中国古代算法盈不足术与牛顿迭代算法的比较：首先介绍盈不足术九章算术中的第七章是盈不足术，这是求解方程的一种最古老的方法.为了说明该方法的基本思想，我们考虑该章的第一个例子：今有共买物，人出8，盈3；人出7，不足4，问人数、物价各几何？其求解过程为(见图1)：(1) 把出率(8)和(7)放在第一行；(2) 把盈数(3)和不足数(4)放置在出率下面；(3) 计算维积(交差积)得(32)和(21)，得和为(53)；(4) 盈减去不足数为431-=；(5) 从而得物价为53531=；用现代数学的观点，盈不足术可表示为：设1x 和2x 为两个近似物价，1R 和2R 分别表示为盈或不足数，则物价为：211212x R x R x R R -=-;人数为1212R R y x x +=-；正如白尚恕[7]指出的那样，在隋唐(581～618年AD )盈不足术在中东被广泛流传，最早的阿拉伯算术书是由al-Khowarizmi 在公元825年写的，英文中的算术一词(algorithm)来自他的名字，他应该对九章算术和其他古代中国巨著很了解，并把盈不足术称为中国方法.Khitai 指China ，类似的写法有Khatai ，Chatayn ，Chataain 等等.普遍认为中国算法是通过古代著名的意大利数学家Leonardo Fibonacci(1170?～1250?年)传给西方的，据记载Fibonacci 随他父亲周游了埃及、西西里、希腊和叙利亚，这次周游使他接触了东方和阿拉伯的计算方法.在1202年，即他回家后不久他就出版了著名的《算经Liber Abaci 》.该书也介绍了盈不足术，并把这种方法称为中国规则，这个名字来自中东，在那里中国算法称为Hisabl-Chatin ，里Chation 指China 该书中的一些例子和算法和中国古代数学巨著完全一样.如在4世纪的孙子算经：今有物不知其数，三三数之胜二，五五数之胜三，七七数之胜二，问物几何？该问题的解题方法就是数论中的中国余数定理：在Fibonacci 的《算经》中阿拉伯语DeRegulisel-Chatavn 被译成拉丁文DuarumFalsdrumPosicionumRegula 所以在西方这种方法被称作双假定方法，这实际上是九章算术中的盈不足术，即中国算法，它起源于中国是毫无疑问的，这正如钱宝琮[8]指出的那样可惜的是很多西方人认为这种方法起源于印度，并被阿拉伯人所掌握所以本作者强烈建议把双假设法改称为中国算法或中国方法.中国算法与牛顿迭代算法考虑方程()'0f x =设12,x x 为方程的两个近似解，于是我们得残量()1f x 和()2f x 应用中国算法，我们可得()()()()2112312x f x x f x x f x f x -=-；（5）在九章算术中给出了在下列情况下的一些不等式：(1)双盈，即()10f x >和()20f x >(2)双亏，即()10f x <和()20f x <；(3)一盈一亏，即()()120f x f x ⋅<；上述算法可以根据不等式的性质确定更合适的两个数()12,x x 或()23,x x ，再进行计算定更精确的近似解，为了与牛顿迭代算法比较，我们把(5)写成如下形式：()()()()()()()()2112112311212x f x x f x f x x x x x f x f x f x f x --==---；如果引入导数()'1f x ，它定义为()()()12'112f x f x f x x x -=-；那么我们马上可得：()()11'1f x x x f x =-；这就是著名的牛顿迭代法，当两个近似值1x 和2x 位于真解的两侧时，即()()120f x f x ⋅<，中国算法比牛顿迭代算法具有很大的优势，牛顿迭代算法可以更进一步的优化发展，可参考文献[10，11].中国算法的改进：中国算法可以看成是通过两个近似解的线性近似方法，见图2为了提高中国算法的精度，我们用三点()123,,x x x ，而不用两点()12,x x ，用抛物线拟合该曲线，我们得近似解为：()()()()()()123213321121321233231x f f x f f x f f x f f f f f f f f f f f f =++------；式中()i i f f x =；综合概述：迭代算法是一种用途非常广泛的方法，本文不仅介绍了这个方法很好的诠释这个方法，而且做了牛顿迭代法的两种修正，更做了牛顿迭和与中国古代算法的比较，不仅试读者更好理解了这个方法，更开阔了读者的视野，使读者更能留下研究的空间.参考文献：[1] 徐萃薇，孙绳武.计算方法引论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2007.[2] 龙爱芳.避免二阶导数计算的迭代法[J].浙江工业大学学报，2005， 33(5):602～604.[3] 李庆扬，王能超.数值分析[M].武汉：华中科技大学出版社，1986.[4] 张新东，王秋华.避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进[J].山东大学学报，2007，42（7）：72～76.[5] 何吉欢.盈不足术与牛顿迭代算法的比较[J].应用数学和力学，2002，23（12）：1256～1259.[6] 王晓峰.一种修正的牛顿迭代法[J]，2010，33（1）长春理工大学学报，178～179.[7] 白尚恕.九章算术注释[M].北京：科学出版社，1983.[8] 钱宝琮.中国数学史[M].北京：科学出版社，1992.[9] 陈新一.一种多点迭代方法[J].甘肃教育学报（自然科学版），2001，15（1）：13～16.[10]HeJi-huan.Improvement of Newton interation menthod [J].International Journal of Nonlinear Science and Numerical Simulation 2000，1(3):239～240.[11]HeJi-huan.Newton-like iteration menthod for solving algebraice quations[J]. Communication NumSimulation，1998，3(2):106～109Newton iterationLI Bao YangMathematical Sciences Information and Computing Science NO：060424067Instructor :SU MenglongSummary：In the 17th century，Newton introduced a method of solve equations approximately in real number domain and complex domain，that is Newton Iteration，a process of recursion new value constantly with the old value of variable. Correspond with the Iterative Method is A Direct Method or as A Solution，that is a one-time problem solving. Iteration is divided into exact iterative and approximate iterative. "Newton Iterative Method" is belong to approximate iterative methods. This article mainly focuses on the Newton Iteration. The main contents of this article include the discovery，evolution and amendment process of this methods; an improve of avoiding calculating Newton Iteration with second-order derivative; the comparison of the Chinese ancient algorithm---Yingbuzu Method and Newton Iterative Algorithms. Keywords: Newton Iterative Algorithm; approximate solution; order of convergence; numerical experimentation; Arithmetic in Nine Section ; Duffing Equation; Nonlinear equations; Convergence rate; Progressive。

通俗理解牛顿迭代法

牛顿迭代法（Newton's method），又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

这种方法的核心思想是利用泰勒级数展开式去近似地代替非线性函数，通过不断迭代，多次修正方程的解，使解不断逼近非线性方程的真实解，最后使原方程的残差平方和达到最小。

具体来说，假设要求解的函数为F(x)=0，我们可以先选取一个初始的近似值x0，然后计算F(x0)和F'(x0)（F'(x)是F(x)的导数）。

根据泰勒级数展开式，F(x)可以近似地表示为F(x0)+F'(x0)*(x-x0)。

令这个近似式等于0，解出x，就得到了一个新的近似值x1。

然后，用x1重复上述过程，得到x2，x3，……，直到收敛到某个值。

这个值就是F(x)=0的一个近似解。

牛顿迭代法的优点是在方程的单根附近具有平方收敛，也就是说，每迭代一次，解的精度大致会提高两倍。

这使得牛顿迭代法在求解高精度解时非常有效。

但是，如果初始值选取不当，或者函数在某些点没有定义（即导数不存在），那么牛顿迭代法可能无法收敛到正确的解，甚至可能发散。

因此，使用牛顿迭代法时需要谨慎选择初始值，并检查函数的定义域和导数是否存在。

此外，牛顿迭代法在计算机编程中也有广泛的应用。

许多编程语言都提供了实现牛顿迭代法的库函数或工具，使得求解非线性方程的近似解变得非常方便。

以上就是对牛顿迭代法的一种通俗理解。

希望这个解释能帮助你更好地理解这个方法。