蒙特卡罗模拟方法在期权定价中的应用

三、结论
在蒙特卡罗模拟的基础上，利用 Halton超均匀序列来修正蒙特卡罗模 拟在生成随机数时的不足，提出了基于 Halton序列和Moro算法的拟蒙特卡罗模 拟在欧式看涨期权定价中的应用，以改 进现有蒙特卡罗模拟。从实际模拟结果 看，其改进是很明显的。同时可以发 现，在所有参数一定的情况下，拟蒙特 卡罗模拟所得结果是稳定的，这是因为 Halton序列在给定参数的情况下是一种 确定序列。拟蒙特卡罗模拟方法在具有 随机波动率、随机跳跃扩散假设的美式 期权定价中的应用和方差减少技术将是 我们下一步研究的重点。 参考文献
关键词：金融衍生证劵、期权定价、蒙特卡罗模拟
与
其它数值方法相比，蒙特卡 罗模拟具有两大优势：一是 比较灵活，易于实现和改 进；二是模拟估计的误差及
种技术在定价分析中应用最广泛。应用 该技术，每次模拟计算衍生证券的两个 值之和，其中一个由通常方法得到，另 一个则通过改变所有抽样样本的符号而 得到，模拟结果为二者的平均。对偶变 量技术能对许多衍生证券的价格模拟有 明显的改进效果，但也存在着一定的局 限性。（2）控制变量技术。这种技术 主要适合于有两种相似的衍生证券的情 况，其中的一种是需估计的证券；另一 种则是与它具有相似的性质的证券。首 先，对这两种证券使用相同的随机抽样 和时间间隔，平行地进行价格模拟；再 利用第二种证券的真实值与估计值之间 的差异作为控制变量得到对第一种证券 的价格估计。（3）分层抽样技术。这种 技术实质上是一种匹配，即使经验概率 与理论概率相匹配。首先它把样本空间 划分为一些小区域，然后在每个小区域 上进行随机抽样。由于衍生证券的价格 可归结为空间上某一区域内的积分，所 以在此主要考虑对积分的估计。分层抽 样技术的主要问题在于：如果维数比较 大，上述过程实现起来很困难。 2.特殊性方差减少技术。这类技术 的应用在很大程度上依赖于所需估计的 金融证券的结构和性质，主要包括重要 性抽样技术和条件蒙特卡罗模拟两种： （1）重要性抽样技术：这种技术的基本 思想就是用一种概率测度下的期望值代 替原来概率测度下的期望值，使得在新
收敛速度与所解决问题的维数具有较强 的独立性，从而能够较好地解决基于多 标的变量的高维衍生证券的定价问题。 所以，随着高维衍生证券发展越来越 快，交易规模迅速增加，二叉树分析技 术和有限差分技术应用将会受到越来越 大的限制，蒙特卡罗模拟必将在金融衍 生证券定价中发挥更为重要的作用。与 此同时，金融衍生证券定价理论与方法 在社会经济发展中也得到日益广泛的应 用，特别是在高新技术企业投资决策方 面体现出更为重要的价值。近年来，蒙 特卡罗模拟方法在金融衍生证券定价中 的应用越来越广泛，以此理论为基础的 企业投资决策实物期权分析方法，也越 来越成为多方人士关注的焦点。
总第322期■西南金融
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观察思考 OBSERVER
券价格进行模拟估计，得到了比直接模 拟更小的估计方差。同时，根据KoksmaHlawka定理可知，这种模拟结果具有一 个确定的误差边界。Paskov（1995）使 用Sobol、Fature和Haoton三种序列对 低押债券的价格进行了模拟估计，结果 表明，这三种序列的使用都改进了模拟 估计的效率。Sobol序列的应用效果最明 显。但是使用低偏差率序列存在以下几 个主要问题：首先，模拟估计的方差难 以确定。虽然Koksma-Hlawka定理及其修 正定理能够确定这种模拟估计的误差边 界，但是在许多情况下，得到的实际模 拟误差往往要比这一边界低得多，从而 使得确定的边界失去了意义。其次，在 处理高维数问题时，很可能会出现效率 降低的情况。 （三）随机化的拟蒙特卡罗模拟技术 这种技术是在综合蒙特卡罗模拟与 拟蒙特卡罗模拟优点的基础上发展起来 的一种复合模拟技术。体现这一思想较 早的研究工作主要有Cranley（1976）提 出的所谓的“好格子点”方法、Braaten （1979）提出的随机攀登的Halton序列 和Joe（1990）提出的随机化一般的格子 点方法等等。近几年来，这种技术又有 了新的发展，最主要的有Owen（1997） 提出的基于攀登的(t、m、s)网与(t、s) 序列的随机模拟技术。 罗模拟。常见的转换法有Box-Muller算 法、Moro算法（1995）等。Moro算法 较Box-Muller算法更快捷，而且最大 的误差为3×10 。Moro算法对于满足 10 10≤N(x)≤1-10 10的正态分布函数有相 当高的精确度。 为了比较拟蒙特卡罗模拟和蒙特卡 罗模拟的优劣，下面以欧式看涨期权定 价为例，比较了几种模拟的计算结果。 三种模拟的特点如下：（1）MC+NormInv （基于普通蒙特卡罗序列和标准正态分 布的分布函数的反函数），实现从[0,1] 均匀分布到标准正态分布的转换；（2） MC+Moro（基于普通蒙特卡罗序列和Moro 算法），实现从[0,1]均匀分布（随机 序列）到标准正态分布的转换；（3） QMC+Moro（基于Halton序列和Moro算 法），实现从Halton序列到标准正态分 布的转换。 设S1为期权定价日标的股价；X为买 权合同执行价格；r为连续复利计算的 无风险利率；q为连续复利计算的股票 红利率；T为到期日；t为当前定价日； t=T-1为定价日到到期日的时间（单位： 年）；σ为标的股价波动率。并且有标 的股票价格S1服从对数正态分布，即： (1) 2
t ,0 ≤ t ≤ T
-9
由上表可知，第一种方法由于产生 的是随机数，并且是使用标准正态分布 实现转换不符合股价的变换特点，导致 模拟误差不稳定。第二种方法尽管使用 了Moro算法实现转换，但由于蒙特卡罗 模拟产生的也是随机数，同样导致了模 拟误差的不稳定，但其误差不稳定性相 对第一种而言要小。第三种方法即拟蒙 特卡罗模拟，取得了比第二种模拟更好 的结果，这是因为拟蒙特卡罗模拟所使 用的Halton超均匀随机序列经Moro算法 转换后能更均匀地分布于[0,1]区间上。 由以上的模拟结果我们可以看到， 利用Halton超均匀序列与Moro算法结合 来模拟期权价格的方法是非常有效的。
σ St = S0 exp r − q − t + σ et 2
其 中 ， e 1为 标 准 正 态 分 布 ， 且 不 同 时 刻 的 e 1相 互 独 立 , 则 可 得 B l a c k Scholes-Merton期权定价模型在定价日t 的欧式看涨期权的价值为：
=
1 σ
St 1 ln X + r − q + 2 σ τ
2
τ
d 2 = d1 − σ τ ；N(χ)是标准正态变量的累 ,
积分布函数，即 N ( x ) = P ( X ≤ x )， 其中X ~ N (0,1)。 计算所用参数包括：S0=20，X=20， r=5%，q=8%，σ=25%，T=2，模拟次数 tsim=10000。通过式（2）和以上参数 值，可得到欧式看涨期权价格的解析解 c0=1.9734。下表给出了三种模拟所得的 计算结果及误差。
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的概率测度下，对估计值贡献大的随机 抽样出现的概率也大，从而提高模拟的 估计效率。这种概率测度的转换是通过 似然比作为转换因子来加以实现的。除 了实值期权外，重要性抽样技术还应用 于利率模型模拟。（2）条件蒙特卡罗 模拟：条件蒙特卡罗模拟的基本思想是 通过随机变量在某些特殊条件下的期望 去代替该随机变量本身的期望，从而简 化了模拟运算，增加了估计的精确度。 Hull和White（1987）应用这一基本思想 对具有随机波动率的期权价格进行了模 拟。 （二）拟蒙特卡罗模拟技术 拟随机序列的模拟就是用事先已 经确定的抽样样本代替原来的随机抽样 样本而得到的模拟，这种方法对估计效 果的改进取决于拟随机序列在抽样样本 空间中分布的均匀性。序列分布得越均 匀，其改进效果越明显。通常用偏差率 来表示这种均匀性，均匀程度越高，其 偏差率越低。因此拟随机序列有时也称 为低偏差率序列，拟随机序列的模拟也 可称为低偏差率序列的模拟。许多人对 低偏差率序列的产生及性质进行了深入 的bol序列、 Fature序列以及Niederreiter序列等， 它们已经广泛地应用于金融证券的定价 分析中，并取得了相当好的估计效果。 利用低偏差率序列对大量的衍生证
模拟方法 模拟结果/三次
[1] Owen, B. Monte Carlo Variance of Scrambled Net Quadrature [J]. Journal of Numerical Analysis, 1997, 34(5): 1884~1910. [2] Joy, C., P. B. Boyle and K. S. Tan. Quasi-Monte Carlo Methods in Numerical Finance [J]. Management Science, 1996, 42(6): 926~938. [3]马俊海.金融衍生证券定价的数值分析方法 [M].浙江:浙江人民出版社,2002.
一、蒙特卡罗模拟的改进技术
（一）基本方差减少技术 用于衍生证券价格的蒙特卡罗模拟 的方差减少技术主要有五种，根据其应 用特点的不同，将它们分为通用性技术 与特殊性技术两类： 1.通用性方差减少技术。这类技术 指适合一般性金融定价分析，不依赖所 估计证券结构性质的方法, 主要包括对 偶变量技术、控制变量技术以及分层抽 样技术等方面。（1）对偶变量技术。这
C ( S , τ ) = St N ( d1 ) − Xe − ( r − q )τ N ( d 2 ) (2)
d 式中，
1
二、基于Halton超均匀随机序列 的拟蒙特卡罗模拟
蒙特卡罗模拟是一种随机模拟算 法。这种方法产生的随机序列是随机 的，这种随机性使得各点之间不具有相 关性，因此导致其在空间分布中有可能 产生群聚现象。为了避免这种情况的产 生，有必要找到一种能够比这种不相关 的随机点更均匀地充满空间[0,1]的序 列，这种序列被称为超均匀随机序列。 拟蒙特卡罗模拟就是一种利用超均匀 随机序列来代替随机数的蒙特卡罗模 拟。Halton序列是拟蒙特卡罗模拟中 最简单的一种，它是1960年Halton为 建立任意长的点列而提出的，是一维 Vander Corput序列的一个推广，能够 均匀地分布于[0,1]中。在得到Halton 序列产生的随机样本后，需将其转换为 标准正态分布，才能进一步完成蒙特卡