数环和数域
高考试题中与数域数环有关问题的归类
高考试题中与数环、域有关的问题的归类（一）问题提出的背景：数是抽象思维的产物。
在漫长的史前时代，人类已经认识了抽象的自然数。
随着人类文明的进步，数的概念先后经历了多次重大的变化。
首先，数的概念从实体的测量发展为抽象的存在，如从正方形对角线的测量得到脱离经验的“无理数”。
其次是代数运算的需要，因减法，开方运算的需要产生了负数、无理数和负数。
到了近代，“数”不再只是单个的量的表示，数系发展为一个完备化的运算系统。
人们为了追求运算的无矛盾性，接受了理想的“数”，包括复数、四元数、八元数等。
在20世纪，从希尔伯特到布尔巴基，结构主义的数系观占据了统治地位。
（二）数域数环的定义及性质 数环定义：设S 是复数集的非空子集．如果S 中的数对任意两个数的和、差、积仍属于S ，则称S 是一个数环．性质1 任何数环都包含数零（即零环是最小的数环）． 性质2 设S 是一个数环．若S a ∈，则)(Z n S na ∈∈． 性质3 若M,N 都是数环，则N M ⋂也是数环．常见的数环有：整数集Z ，有理数集Q 、实数集R 、复数集C 。
数域定义：设F 是一个数环，如果对任意的F b a ∈,而且0≠a , 则F ab ∈；则称F 是一个数域．数域性质：任何数域都包含有理数域Q 。
即Q 是最小的数域。
常见的数域有：理数集Q 、实数集R 、复数集C. 著名的域还有：Klein 四元域。
（三）高考题型归类 高中与数环、域有关问题的学习，主要是体会数学思想，提高理性思维能力。
我将高考试题中与数环、域有关的问题归为两类： 第一类：与复数有关的问题对于复数的概念，高中课本中有专门的章节进行阐述，通过解方程的具体问题，感受引入复数概念的必要性，了解从实数系到复数系的的扩充过程，学习复数的一些基本知识，感受人类理性思维在数系扩充中的作用。
1、复数的概念 （1）（2007•重庆）复数322ii +的虚部为 。
分析：把复数整理变形，先变分母，再分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子上要进行复数的乘法运算，最后写出代数形式，指出虚部。
上海大学-高等数学-环与域
实例
例7 设n是正整数，Sn是n的正因子的集合. D为整除关系， 则偏序集<Sn,D>构成格. x,y∈Sn，x∨y是 lcm(x,y)，即x与 y的最小公倍数；x∧y是 gcd(x,y)，即 x与y 的最大公约数. 实例：
14
实例(续)
例8 判断下列偏序集是否构成格，并说明理由. (1) <P(B), >，其中P(B)是集合B的幂集. (2) <Z, ≤>，其中Z是整数集，≤为小于或等于关系. (3) 偏序集的哈斯图分别给下图
例如整数环Z，有理数环Q都是实数环R的真子环. {0}和R也 是实数环R的子环，称为平凡子环.
定理14.12 (子环判定定理) 设R是环, S是R的非空子集, 若 (1) a,b∈S，ab∈S (2) a,b∈S，ab∈S
则 S 是 R 的子环.
5
实例
例3 (1) 整数环<Z,+,·>，对于任意给定的自然数n，
解 (1) 是环, 是整环, 也是域. (2) 不是环, 关于加法不封闭.
(3) 是环, 不是整环和域, 乘法没有单位元.
(4) 不是环, A关于加法不构成群.
(5) 不是环, 关于乘法不封闭.
11
格与布尔代数
• 格的定义 • 格的性质 • 格的等价定义 • 子格与格的同态 • 特殊的格 • 布尔代数的性质 • 布尔代数的同态与同构
12
格的定义
定义14.29 设<S,≼>是偏序集，如果x, yS，{x,y}都有 最小上界和最大下界，则称S关于偏序≼作成一个格.
由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求{x,y}的最 小上界和最大下界看成 x与y 的二元运算∨和∧，即 x∨y 和 x∧y 分别表示x与y的最小上界和最大下界.
第六章-环与域
整环、除环、域
整环：有单位元无零因子的交换环是整环
例：对于剩余环<Z n
,
n
,
n
，若n为素数，则Zn必为整环
除环：设R是一个含1的环，R=R-{0} ,如果R是一个群，则
为除环，可交换的除环为域
例 设S为下列集合,+和.为普通加法和乘法. (1)S＝{x｜x＝2n∧n∈Z}. (2)S＝{x｜x＝2n+1∧n∈Z}. (3)S＝{x｜x∈Z∧x≥0}＝N, (4)S＝{x｜x＝a+b 2 ,a,b∈Q}. 问S和+,·能否构成整环？能否构成域？为
＝a·(－b)。同理可证－(a·b)＝(－a)·b。
(3) (－a)·(－b)＝－(a·(－b))＝－(－(a·b))＝a·b
（4)a·(b－c)＝a·(b＋(－c))＝a·b＋a·(－c)＝a·b－a·c。
(b－c)·a＝(b＋(－c))·a＝b·a ＋(－c)·a ＝b·a－c·a。
定义: 给定环<S，＋，·>，则 (1)若<S，·>是可交换半群，称<S，＋，·>是可交换环。 (2)若<S，·>是独异点，称<S，＋，·>是含幺环。 (3)若<S，·>满足幂等律，称<S，＋，·>是布尔环。
练习
1.证明在特征为p的有限域F中，映射：a a p , a F,是F的自同构
定理: 设<S，＋，·>是环，则对于任意的a、b、c∈S，有
1.a0 0a 1
2.(a)b a(b) (ab)
3.(a)(b) ab
4.a(b c) ab ac, (b c)a ba ca
考研《高等代数》重要考点归纳
考研《高等代数》重要考点归纳第1章多项式1.1考点归纳一、一元多项式1．数环与数域（1）数环设S是由一些复数组成的一个非空集合，如果对任何a，b∈S，总有a＋b，a －b，a·b∈S，则称S是一个数环．整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数环．（2）数域设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，那么P 就称为一个数域．有理数集Q，实数集R，复数集C是最重要的三个数域．2．一元多项式设x是一个符号（或称文字），n是一非负整数，形式表达式…，其中a0，a1，…，an全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式．n称为多项式的系数，f（x）的次数记为．3．一元多项式环所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P[x]，P称为P[x]的系数域．二、整除的概念1．带余除法定义对于P[x]中任意两个多项式f（x）与g（x），其中g（x）≠0，一定有P[x]中的多项式q（x），r（x）存在，使f（x）＝q（x）g（x）＋r（x）成立，其中或者r（x）＝0，并且这样的q（x），r（x）是惟一决定的．带余除法中所得的q（x）通常称为g（x）除f（x）的商，r（x）称为g（x）除f（x）的余式．2．整除定义如果数域P上的多项式h（x）使等式f（x）＝g（x）h（x）成立，就称数域P 上的多项式g（x）整除f（x），用“g（x）丨f（x）”表示；用g（x）不能整除f（x）则用“g（x）f（x）”表示．当g（x）丨f（x）时，g（x）就称为f（x）的因式，f（x）称为g（x）的倍式．3．整除性的判别对于数域P上的任意两个多项式f（x），g（x），其中g（x）≠0，g（x）丨f （x）的充分必要条件是g（x）除f（x）的余式为零．注意：任一个多项式f（x）一定整除它自身；任一个多项式f（x）都整除零多项式；零次多项式，也就是非零常数，能整除任一个多项式．4．整除性的常用性质（1）如果f（x）丨g（x），g（x）丨f（x），那么f（x）＝cg（x），其中c 为非零常数；（2）如果f（x）丨g（x），g（x）丨h（x），那么f（x）丨h（x）（整除的传递性）；（3）如果f（x）丨gi（x），i＝1，2，…，r，那么f（x）丨（u1（x）gl（x）＋u2（x）g2（x）＋…＋ur（x）gr（x）），其中ui（x）是常数域P上任意的多项式．三、最大公因式1．公因式定义如果多项式既是f（x）的因式，又是g（x）的因式，那么就称为f（x）与g（x）的一个公因式．2．最大公因式（1）定义设f（x），g（x）是P[x]中两个多项式，若P[x]中多项式d（x）是f（x），g （x）的公因式且f（x），g（x）的公因式全是d（x）的因式，则称d（x）称为f（x），g（x）的一个最大公因式．两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是惟一确定的．（2）引理如果有等式f（x）＝q（x）g（x）＋r（x），成立，那么f（x），g（x）和g（x），r（x）有相同的公因式．（2）定理对于P[x]中任意两个多项式f（x），g（x），在P[x]中存在一个最大公因式d（x），且d（x）可以表成f（x），g（x）的一个组合，即有P[x]中多项式u（x），υ（x）使d（x）＝u（x）f（x）＋υ（x）g（x）可用辗转相除法来求最大公因式．3．多项式互素（1）定义P[x]中两个多项式f（x），g（x）满足（f（x），g（x））＝1，则称f（x）和g （x）互素（也称互质）．（2）性质①P[x]中两个多项式f（x），g（x）互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u （x），v（x）使u（x）f（x）＋υ（x）g（x）＝1；②如果（f（x），g（x））＝1，且f（x）丨g（x）h（x），那么f（x）丨h（x）；③如果f1（x）丨g（x），f2（x）丨g（x），且（f1（x），f2（x））＝1，那么f1（x）f2（x）丨g（x）；④如果（f（x），g（x））＝（f（x），h（x））＝1，则（f（x）g（x），h（x））＝1．四、因式分解定理1．不可约多项式（1）定义数域P上次数≥l的多项式p（x）如果不能表成该数域上的两个次数比p（x）的次数低的多项式的乘积，则称p（x）为域P上的不可约多项式．按照定义，一次多项式总是不可约多项式．（2）性质①如果p（x）是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f（x），g（x），由p（x）丨f（x）g（x）一定推出p（x）丨f（x）或者p（x）丨g（x）．②如果不可约多项式p（x）整除一些多项式f1（x），f2（x），…，fs（x）的乘积f1（x），f2（x），…，fs（x），那么p（x）一定整除这些多项式之中的一个．2．因式分解及惟一性定理（1）惟一性定理数域P上每一个次数≥1的多项式f（x）都可以惟一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积．惟一性是指，如果有两个分解式f（x）＝p1（x）p2（x）…ps （x）＝q1（x）q2（x）…qt（x），那么必有s＝t，并且适当排列因式的次序后有pi（x）＝ciqi（x），i＝1，2，…，s，其中c（i＝1，2，…，s）是一些非零常数．（2）因式分解在多项式f（x）的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并，于是f（x）的分解式成为其中c是f（x）的首项系数，p1（x），p2（x），…，ps（x）是不同的首项系数为1的不可约多项式，而r1，r2，…，rs是正整数，这种分解式称为多项式的标准分解式．五、重因式与多项式的根1．重因式定义如果不可约多项式p（x）满足（k≠0），而，则称p（x）为f（x）的k重因式，其中，若k＝。
连加号
6 数学归纳法暨数环和数域的概念0.3 数学归纳法教学目的 通过教学使学生理解数学归纳法的最小数原理及数环与数域的概念，为以后各章学习作些准备．教学重点与难点 本次课教学重点是自然数的最小数原理与数域的概念；难点是数域、数环的抽象性．教学内容在高等代数中，不少重要命题都依赖于自然数n ，大家在中学里学过的数学归纳法往往是证明这些结果的基本又有效的方法．因此，本节将对这一证法再作些认识，并结合具体例子介绍连加号“∑”的使用方法．定理1(自然数的最小数原理) 自然数集N *的任意一个非空子集M 必有一个最小数．证 因为M ≠∅，所以有自然数m ∈M ．显然，在M 中不超过m 的数最多有m 个，即为有限个．于是必有一个最小的数，设为k ．于是，对于∀x ∈M ，都有k ≤x ．注 最小数原理并不是对任意数集都成立．例如, Z 就没有最小数．但定理1可稍作开拓：取定k ∈Z ，令K ={x | x ∈Z ，且x ≥k }，则用K 取代定理1中的N *，结论仍然成立．由最小数原理可以得到以下的数学归纳法原理．定理2 (第一数学归纳法原理) 设E (n )是一个关于自然数n 的命题．如果 1)命题E (1)成立；2)假如命题E (k )成立，k ∈N *，则命题E (k +1)也成立， 那么命题E (n )对于一切自然数n 都成立．证 设M ={m ∈N *| E (m )不成立}，则定理的正确性只须证明M =∅．若不然，则由最小数原理知道M 有最小者k ．由条件1)，则k ≠1．于是k -1∈N *．此时，命题E (k -1)成立，但E (k )不成立．与条件2)矛盾．所以M =∅，即第一归纳原理正确．由定理2不难证得例1 证明，++3321…+3n =(212))1(+n n ．用连加号∑表示上面的和式，记++3321…+3n =∑=nk k 13．注意到1+2+…7+n =21n (n +1)，则例1用连加号∑表示可写为∑=nk k13=21)(∑=nk k ． (1)由最小数原理的注与定理2的证明可见第一数学归纳法原理有如下的简单开拓：设E (m )是一个关于整数m 的命题．如果 1)命题E (0m )成立，0m ∈Z ；2)假设命题E (k )成立，k ≥0m ，且k ∈Z ，则命题E (k +1)也成立， 那么命题E (m )对于所有不小于0m 的整数m 都成立．利用上述开拓易证例2 设1a ，2a ， ，n a ∈C ．则，21)(∑=n s s a =∑=ns s a 12+2(1a 2a +1a 3a + +1a n a + +1-n a n a )，n ≥2．(2)使用连加号，(2)式右边的第二个和式可写成∑≤<≤nt s ts a a 12．因此，例2的恒等式为21)(∑=ns s a =∑=ns s a 12+∑≤<≤nt s ts a a 12，n ≥2．连加号的使用，有时也遇到多重连加号的情形．例如，a 1+( a 1+ a 2)+(a 1+ a 2+ a 3)+ +(a 1+a 2+ + a n )=∑∑==nt ts s a 11)(； (3)(a 11+ a 12+ + a 1n )+( a 21 + a 22+ + a 2n )+ +( a m 1+ a m 2+ + a mn )=∑∑==ms nt st a 11 =∑∑==nt ms sta 11． (4)请注意，(3)式的双重连加号不能像(4)式那样，可以互换左、右连加号的位置．例3 证明，(∑∑==-nm ms s 112)12()=31[21)1(22-+n n n (n +1)] (5)此例的证明请同学们练习思考．例4 证明，任意一个凸n 边形都可以变形为一个与它的面积相等的三角形． 证 这里的n ≥3．当n =3时,命题自然成立． 假设对于凸k (k ≥3)边形，命题成立．现8任取一个凸k +1(k ≥3)边形121+k k A A A A ，如 图4所示，连接k A A 1，过1+k A 作k A A 1的平行线交k k A A 1-的延长线上于kA '，得到凸k 边形 kk A A A A '-121 ，易见这个k 边形与原来的k +1 边形等积．于是，由归纳假设，原来的凸k +1 边形可以变形为一个与它等积的三角形．故命题成立．类似定理2的证明，由最小数原理还可证得 图4定理3(第二数学归纳法原理) 设E (n )是一个关于自然数n 的命题．如果 1)命题E (1)成立；2)假设对于任意的自然数m ＜k ，若命题E (m )成立，则命题E (k )也成立， 那么命题E (n )对于所有自然数n 都成立．定理3的证明，请同学们思考证明． 例5 数列1，1，2，3，5，8，13，叫做Fibonacci 数列．其递推关系为11-++=n n n u u u ，其中110==u u ，n ≥2． 证明这个数列的通项公式为],)251()251[(5111++--+=n n n u n =0，1，2， ． (6)证 将n =0，1代入(6)，得到,110==u u 即此时命题成立． 假设对于小于k 的任意非负整数m ，命题都成立，即],)251()251[(51112-----+=k k k u],)251()251[(511k k k u --+=-则u k =12--+k k u u =1251()251[(511+++-k ))]1251()251(1+----k=-++-21)251()251[(51k ])251()251(21---k=])251()251[(5111++--+k k ．9所以，命题对于k 也成立．故Fibonacci 数列的通项公式(6)成立．习 题用数学归纳法证明以下各题：1 ∑=++=+nt n n n t t 1;6)2)(1(2)1( 2∑=-+=nt n t t 11)1()(！！； 3∑=-+>nt n t1).11(21注 0.4整数算术请同学们自学,将在第四章中结合多项式的讲授作些串讲．0.5 数环和数域高等代数的研究对象矩阵、向量空间、多项式， 常在数域(有时也在数环)上考察．因此，本节介绍它们的基本概念．定义1 设∅≠R ⊆C ．若对于任意的a ，b ∈R ，都有a +b ，a - b ，a b ∈R ，则称R 是一个数环．显然，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R 和复数集C 都是数环，我们再来看一些数环的例子．例1 取定一个整数k ，令R ={k n | n ∈Z }，则∀21,kn kn ∈R ，有∈=-=-+=+)())((),(),(212121212121n kn k kn kn n n k kn kn n n k kn kn R因此，R 是一个数环．若取定k =2，则R 由全体偶数组成，称之为偶数环．若取定k =0，则R ={0}，是只由数0组成的数环．例2 设R ={a + b i | a ，b ∈Z }．若∈++i b a i b a 2211,R ，则∈±+±=+±+i b b a a i b a i b a )()()()(21212211R ， ∈++-=++i b a b a b b a a i b a i b a )()())((122121212211R ．因此，R 是一个数环，叫做Gauss 整数环．定义2 设F 是一个数环．如果 1)F ≠{0}；102)若a ，b ∈F ，且b ≠0，则∈ba F ，那么称F 是一个数域．显然，Q ，R 和C 都是数域，依次叫做有理数域，实数域和复数域．但是，整数环Z 不是数域，例1、例2所说的数环也都不是数域．我们再来看一些数域的例子．例3 设Q ∈+=b a b a ,|2{)2(Q }．证明，Q (2) 是一个数域． 证 显然有Q }.0{)2(≠设∈+=+=2,2d c b a βαQ )2(，则∈±+±=±2)()(d b c a βαQ )2(； ∈+++=2)()2(bc ad bd ac αβQ )2(．又设0≠β，则易见02≠-d c ，且)2)(2()2)(2(22dc dc d c b a dc b a -+-+=++=βα∈--+--=22222222dcad bc dcbd ac Q )2(．因此，Q )2(是一个数域．例4 设π为园周率．令Q ∈++++=n n n a a a a a a a ,,,|{][102210 ππππQ ，n ∈N *}， 则易见Q ][π是一个数环．又令Q ∈⎩⎨⎧++++++=m n mm nn b b b a a a b b b a a a ,,,,,,|)(10,101010 πππππQ ；m b b b ,,,10 不全为0，n ，m ∈N *}，则可证Q )(π是一个数域．判别一个数集是不是数域，利用下面的定理较为简便．定理1 设∅≠F ⊆C ，且F ≠{0}，则F 是一个数域的充分且必要条件是,,F ∈∀βα都有F∈-βα；且当0≠β时又有F∈βα ．证 必要性 当然．充分性 设a ，b ∈F ，则a －a =0∈F ．于是0－b =－b ∈F ．故a +b = a －(－b )∈F ． 又若b ≠0，则Fb b ∈=1，于是Fbb ∈=-11．故Fb a ab∈=-1．因此，F是一个数域．由定理1的证明得到11推论1 设F 是一个数域，则0，1∈ F 例5 设Q (i )={a + b i | a ，b ∈Q }，则Q (i )是一个数域，叫做Gauss 数域．证 设a + b i ，c + d i ∈Q (i )，则(a + b i )－(c + d i )=(a －c )+(b －d )i ∈Q (i )．又若c + d i ≠0，则c - d i ≠0， 且))(())((di c di c di c bi a dic bi a -+-+=++∈+-+++=i dcad bc dcbd ac 2222Q (i )所以，由定理1知道Q (i )是一个数域．定理2 设F 是一个数域，则Q ⊆F ．即有理数域是最小的数域． 证 由推论1知道0，1∈F ，于是2=1+1，3=2+1，…，n =(n -1)+1，…∈F ， 且－n =0－n ∈F ．所以Z ⊆ F ．又∀a ∈Q ，有mn a= ，其中m ，n ∈Z ，且m ≠0．因此，a ∈F ．故Q ⊆ F ．注 较数环、数域一般的概念有环、域等概念，对此同学们可参考文[16]，在“抽象代数”课程中将作系统学习。
数环和数域
零数； ② 对
a,b F, 且
则称F是一个数域。
① F内含有一个非
b 0 ，则 a b F
例如：
有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域，
且是三个最重要的数域。
问题：
6、数域与数环之间有什么关系？例2中的数
集是不是数域？
7、除了Q、R、C外，是否还有其他的数域？
例3：证明
Q 2 a b 2 a,b Q 是一个数域。
第一章 多项式
§1.1 数环和数域 研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的范围，学习数学也是如此。
比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分 解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。
例如
x 2 2
在有理数范围内不能分解，在实数范围内
就可以分解。
x 1 0 2
在实数范围内没有根，在复数范围内就
有根。等等。
我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做这 样的限制。
在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中
（即代运数算是运否封算闭）：。设A是一个非空集合，定义在A上的一个代数运算 运乘同样三算例，种如实运封两数算个集封闭整、闭：数复，的数但这是都如和集对、对除个指有果差加法集存A集、、并积减不中合在合仍、封一是乘闭中一中整、；个数除，而个任，四有元则法两但种理两运数素称则个个算集与整都对该，元数封加之集的闭它素、商。减对合使做就、应不乘对A某一、。中定除这一是（任个运整除数数意运算，不两这为算后证0个）明封的四整元种闭结数运集素。果算对都A加仍封、闭在减A。、
（ F1, F2 是数域，则
《高等代数》考研2021年考研考点归纳与典型题
《高等代数》考研2021年考研考点归纳与典型题第1章多项式1.1 考点归纳一、一元多项式1．数环与数域（1）数环设S是由一些复数组成的一个非空集合，如果对任何a，b∈S，总有a＋b，a－b，a·b∈S，则称S是一个数环．整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数环．（2）数域设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，那么P就称为一个数域．有理数集Q，实数集R，复数集C是最重要的三个数域．2．一元多项式设x是一个符号（或称文字），n是一非负整数，形式表达式…，其中a0，a1，…，a n全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式．n称为多项式的系数，f（x）的次数记为．3．一元多项式环所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P[x]，P称为P[x]的系数域．二、整除的概念1．带余除法定义对于P[x]中任意两个多项式f（x）与g（x），其中g（x）≠0，一定有P[x]中的多项式q（x），r（x）存在，使f（x）＝q（x）g（x）＋r（x）成立，其中或者r（x）＝0，并且这样的q（x），r（x）是惟一决定的．带余除法中所得的q（x）通常称为g（x）除f（x）的商，r（x）称为g（x）除f （x）的余式．2．整除定义如果数域P上的多项式h（x）使等式f（x）＝g（x）h（x）成立，就称数域P上的多项式g（x）整除f（x），用“g（x）丨f（x）”表示；用g（x）不能整除f （x）则用“g（x）f（x）”表示．当g（x）丨f（x）时，g（x）就称为f（x）的因式，f（x）称为g（x）的倍式．3．整除性的判别对于数域P上的任意两个多项式f（x），g（x），其中g（x）≠0，g（x）丨f（x）的充分必要条件是g（x）除f（x）的余式为零．注意：任一个多项式f（x）一定整除它自身；任一个多项式f（x）都整除零多项式；零次多项式，也就是非零常数，能整除任一个多项式．4．整除性的常用性质（1）如果f（x）丨g（x），g（x）丨f（x），那么f（x）＝cg（x），其中c为非零常数；（2）如果f（x）丨g（x），g（x）丨h（x），那么f（x）丨h（x）（整除的传递性）；（3）如果f（x）丨g i（x），i＝1，2，…，r，那么f（x）丨（u1（x）g l（x）＋u2（x）g2（x）＋…＋u r（x）g r（x）），其中u i（x）是常数域P上任意的多项式．三、最大公因式1．公因式定义如果多项式既是f（x）的因式，又是g（x）的因式，那么就称为f（x）与g（x）的一个公因式．2．最大公因式（1）定义设f（x），g（x）是P[x]中两个多项式，若P[x]中多项式d（x）是f（x），g（x）的公因式且f（x），g（x）的公因式全是d（x）的因式，则称d（x）称为f（x），g（x）的一个最大公因式．两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是惟一确定的．（2）引理如果有等式f（x）＝q（x）g（x）＋r（x），成立，那么f（x），g（x）和g（x），r（x）有相同的公因式．（2）定理对于P[x]中任意两个多项式f（x），g（x），在P[x]中存在一个最大公因式d（x），且d（x）可以表成f（x），g（x）的一个组合，即有P[x]中多项式u（x），υ（x）使d（x）＝u（x）f（x）＋υ（x）g（x）可用辗转相除法来求最大公因式．3．多项式互素（1）定义P[x]中两个多项式f（x），g（x）满足（f（x），g（x））＝1，则称f（x）和g （x）互素（也称互质）．（2）性质①P[x]中两个多项式f（x），g（x）互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u（x），v（x）使u（x）f（x）＋υ（x）g（x）＝1；②如果（f（x），g（x））＝1，且f（x）丨g（x）h（x），那么f（x）丨h（x）；③如果f1（x）丨g（x），f2（x）丨g（x），且（f1（x），f2（x））＝1，那么f1（x）f2（x）丨g（x）；④如果（f（x），g（x））＝（f（x），h（x））＝1，则（f（x）g（x），h（x））＝1．四、因式分解定理1．不可约多项式（1）定义数域P上次数≥l的多项式p（x）如果不能表成该数域上的两个次数比p（x）的次数低的多项式的乘积，则称p（x）为域P上的不可约多项式．按照定义，一次多项式总是不可约多项式．（2）性质①如果p（x）是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f（x），g（x），由p （x）丨f（x）g（x）一定推出p（x）丨f（x）或者p（x）丨g（x）．②如果不可约多项式p（x）整除一些多项式f1（x），f2（x），…，f s（x）的乘积f1（x），f2（x），…，f s（x），那么p（x）一定整除这些多项式之中的一个．2．因式分解及惟一性定理（1）惟一性定理数域P上每一个次数≥1的多项式f（x）都可以惟一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积．惟一性是指，如果有两个分解式f（x）＝p1（x）p2（x）…p s（x）＝q1（x）q2（x）…q t（x），那么必有s＝t，并且适当排列因式的次序后有p i（x）＝c i q i（x），i＝1，2，…，s，其中c（i＝1，2，…，s）是一些非零常数．（2）因式分解在多项式f（x）的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并，于是f（x）的分解式成为其中c是f（x）的首项系数，p1（x），p2（x），…，p s（x）是不同的首项系数为1的不可约多项式，而r1，r2，…，r s是正整数，这种分解式称为多项式的标准分解式．五、重因式与多项式的根1．重因式定义如果不可约多项式p（x）满足（k≠0），而，则称p（x）为f（x）的k重因式，其中，若k＝1，那么p（x）称为f（x）的单因式．如果k ＝0，那么p（x）根本不是f（x）的因式．2．重因式的判别（1）如果不可约多项式p（x）是f（x）的k重因式（k≥1），那么它是微商f＇（x）的k-1重因式，也是f（x），f＇（x），…，f（k-1）（x）的因式，但不是f（k）（x）的因式．（2）不可约多项式p（x）是f（x）的重因式的充分必要条件为p（x）是f（x）与f＇（x）的公因式．（3）多项式f（x）没有重因式的充分必要条件是f（x）与f＇（x）互素．3．余数定理用一次多项式x－α去除多项式f（x），所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值f（α）．4．多项式的根α是f（x）的根的充分必要条件是（x－α）丨f（x）．若（x-α）是f（x）的k重因式，称α为f（x）的k重根，当k＝1时，α是单根；当k＞1是，α称为重根．六、复系数与实系数多项式的因式分解1．代数基本定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域中有一根，等价于：每个次数≥1的复系数多项式，在复数域上一定有一个一次因式．由此可以推出，P[x]中n次多项式（n≥0）在数域P中的根不可能多于n个，重根按重数计算．2．复系数多项式因式分解定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以惟一地分解成一次因式的乘积．复系数多项式具有标准分解式其中α1，α2，…，αs是不同的复数，l1，l2，…，l s是正整数．标准分解式说明了每个n次复系数多项式恰有n个复根（重根按重数计算）．3．实系数多项式因式分解定理每个次数≥l的实系数多项式在实数域上都可以惟一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．。
11数环和数域(答案)
1．5 数环和数域1． 证明，如果一个数环{}0≠S ,那么S 有无限多个元素。
证明：法一（正面证明）：{}0≠S0,≠∈∃∴a S aS 为数环∴加法具有封闭性∴S na a a ∈,,,,2, 且为两两不同的数（否则，可以推出0=a ）∴S 有无限多个元素法二（反证法）：假设S 有有限多个元素不妨设为k 个{}0≠S0,≠∈∃∴a S aS 为数环∴加法具有封闭性∴,,,,2, ka a a 为两两不同的数且为S 中元，矛盾∴假设不正确，即：S 有无限多个元素2． 证明：{}Q b a bi a F ∈+=,是数域。
证明： Q b a bi a ∈+,,令0==b a∴Q b i a ∈=+0∴F 为复数集C 的非空子集又对F di c bi a ∈++∀,有：F i d b c a di c bi a ∈±+±=+±+)()()()(F i ad bc bd ac di c bi a ∈++-=++)()())((∴F 为数环又对0,,≠+∈++∀di c F di c bi a 有：022≠+d c 及F i d c ad bc d c bd ac di c bi a ∈+-+++=++2222所以F 的除法封闭所以F 为数域。
3． 证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z n m m S n ,2是一个数环。
S 不是一个数域。
证明：（1）S 为数环的证明： S ∈=0211 ∴S 为复数集的非空子集 又对任意的2,1,,,2,22121=∈∈i Z n m S m m i i n n 有： S m m m m n n n n n n ∈±=±+211221222222121S m m m m n n n n ∈=⋅+21212222121 ∴S 为数环（2）S 不是数域的证明：S ∈==220015,11但S ∉51 ∴S 对除法不具封闭性 ∴S 不是数域4． 证明：两个数环的交还是一个数环；两个数域的交还是一个数域。
《高等代数》第一次作业简述题
五、简答题1、 举出一个映射，它不是满射，但是它有逆映射；举出一个映射，它不是单射，但是它有逆映射。
答：实数集上的指数函数y = 2x 是单射而非满射，但是它有逆映射；多项式函数y = x 3-x 是满射而非单射，2、 数环与数域有什么区别？答：定义1 设∅≠R ⊆C ．若对于任意的a ，b ∈R ，都有a + b ，a - b ，a b ∈R ，则称R 是一个数环．显然，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R 和复数集C 都是数环．定义2 设F 是一个数环．如果1)F ≠{0}；2)若a ，b ∈F ，且b ≠0，则∈ba F ，那么称F 是一个数域．显然，Q ，R 和C 都是数域，依次叫做有理数域，实数域和复数域．但是，整数环Z 不是数域．由此可见：数域必是数环，数环不一定是数域。
3、 试举出两个不是有理数域、实数域、复数域以外的数域。
答：{},Q a a b Q =+∈，{},Q a a b Q =+∈。
4、 两个数环的交是不是数环，为什么？证：设S 1、S 2是两个数环。
∵0∈S 1，0∈S 2 ∴S 1∩S 2=｛0｝≠ （先证非空），如果a 、b ∈S 1∩S 2则a 、b ∈S 1 a 、b ∈S 2又∵S 1,S 2是数环 ∴a ±b 、 ab ∈S 1 ∈S 2 ∴a ±b 、a ×b ∈S 1∩S 2 ∴两个数环的交是数环。
5、 哪种行列式的初等变换会改变行列式的值？答：交换两行（或两列）的位置，行列式值改变符号； 用一个非零的常数k 乘上某行（或列），行列式值也将变成原来的k 倍； 6、 什么样的方程组叫做齐次线性方程组？答：齐次线性方程组111122121122221122000n n n nm m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L L7、 线性方程组的解法有几种？答：消元法和公式法（高斯消元法，克莱姆法则） 8、克莱母规则的使用范围？答：用克莱姆法则须满足两个条件：（1）方程组的个数与未知量的个数相等。
高等代数课件 第一章
定理1.4.2 任意 n(n 2)个整数 a1, a2 ,, an 都有最
大公因数。如果d是a1, a2 ,, an 的一个最大公因数，那 么 - d 也是一个最大公因数；a1, a2 ,, an 的两个最大公因
数至多只相差一个符号。
证 由最大公因数的定义和整除的基本性质，最后一个论断 是明显的。
称f 是A到B 的一个单映射，简称单射.
定义3：如果f 既是满射，又是单射，即如果f 满
足下面两个条件: ① f (A) B
② f (x1) f (x2 ) x1 x2 对于一切 x1, x2 A ，那 么就称f 是A 到B 的一个双射或一一映射。
一个有限集合A到自身的双射叫做A的一个置换.
而 r1 d 。这与d是 I 中的最小数的事实矛盾。这样，
必须所有 ri 0 ，即 d | ai ,1 i n 。
另一方面，如果 c Z, c | ai ,1 i n 。那么 c | (t1a1 tnan ),即c | d 。这就证明了d 是 a1, a2 ,, an的
一个最大公因数。
那么存在一对整数q和r，使得
b aq r且0 r | a |
满足以上条件整数q和r 的唯一确定的。
证 令 S {b ax | x Z,b ax 0。因为 a 0，所以S 是N 的一个非空子集。根据最小数定理（对于N），S 含有一个最小数。也就是说，存在q Z ，使得 r=b-aq 是S 中最小数。于是b=aq+r，并且 r 0 。如果 r | a |，
这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作 f (x) .
注意: ① A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集
合 ② 对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定
的元素与它对应. ③ 一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的
第一章 高等代数多项式
根据数集对运算的封闭情况，可以得到两类数集：
一、数环
定义1：若P是由一些复数组成的非空集合，若数集P对加、 减、乘三种运算都封闭，即对a，b∈P，总有a+b，a-b， a•b∈P，则称数集P是一个数环。 例如：整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C都是数环。 例 1 除了以上数环外，是否还有其他数环？有没有最小数环？ 例 2 一个数环是否一定包含0元？除零环外，是否还有只包含 有限个元素的数环？
《高等代数题解精粹》 钱吉林著
多项式
第一章
多项式
绪论与准备知识
一、复
◆
数
复数的概念
复数的实部与虚部；模与幅角 复数的三角表示，欧拉公式
◆
◆
◆
代数基本定理
◆
z 1
n
的根
准备知识
二、 数 域 的 概 念
1、数的认识过程
自然数 整数 有理数 实数 复数
N
Z
Q
R
C
2、数的范围对问题的影响
●
域内就可以分解。
加法结合律：
乘法交换律： 乘法结合律：
[f (x)+g(x)]+h(x)=f (x)+[g(x)+h(x)]
f (x)•g(x)=g(x)•f (x) [f (x)•g(x)]•h(x) = f (x)•[g(x)•h(x)] f (x)•[g(x)+h(x)]=f (x)•g(x)+f (x)•h(x)
例 1 用带余除法，求g(x)除 f (x)所得的商式和余式，其中
f ( x) x3 x 2 x, g ( x) x 1 2i
多项式
§3 整除的概念和性质
二、多项式的整除性
第三章 环与域
注 1) R 中左零因子和右零因子这两个概念是彼 此依赖,彼此依托 —“共存亡”:有左零因子 有右零因子.
由上可知,欲说明 a 0 是左零因子,则只需 证明存在 b 0 使 ab = 0. 欲说明 a 0 不是左 零因子,则只需证明任一个 b 0 都有 ab 0(或 一旦 ab = 0 b = 0).
证毕. 定义3 如果环 R 中有元素 e, 它对R 中每个 元素 a 都有e a = a,则称 e 为环 R 的一个左单位 元;如果环 R 中有元素 e,它对 R 中每个元素 a 都有 ae = a,则称 e 为环 R 的一个右单位元.
6
环 R 中既是左单位元又是右单位元的元素, 叫做 R 的单位元. 实际上,由于环 R 对其乘法显然作成一个半群， 故 R 的左,右单位元或单位元也是该半群的左,右 单位元或单位元. 例3 证明:集合 M 的幂集 P(M) 对运算 A + B = A∪B A ∩ B AB = A ∩ B A, B M 作成一个有单位元的交换环.这个环称为 M 的幂集环. 证明：显然,上述加法是P(M)的代数运算且满足 交换律;又显然空集是 P(M) 的零元，而 A 的负元为 A 自身. 因此,欲证 P(M ) 作成加群只剩下证该代数 运算满足结合律.
17
对没有零因子的环 R 中任意元素 a 0 , b, c 有 ab = ac b = c
ba = ca b = c
,左消去律成立; ,右消去律成立.
推论 当环 R 无左(或右)零因子时,则消去律 成立;反之,若 R 中有一个消去律成立,则 R 中无 左及右零因子,且另一个消去律也成立. 定义2 无零因子、有单位元的交换环称为整环.
n m n m
a )( b ) a b
第一章 多项式
3)当 a0 a1 an 0 时，称 f (x) 为零多项式， 零多项式是唯一不定义次数的多项式。 3. 多项式环 数域P上一切多项式全体所成集合称作多项式环， 记为 Px ，数域P上一切次数小于n的多项式全体 记为 Px n P7 定义4
推广：如果 ( f1 ( x), f 2 ( x),, f s ( x)) 1 那么多项式
f1 ( x), f 2 ( x),, f s ( x)
就称为互素的.
注：①如果
f1 ( x), f 2 ( x),, f s ( x) 互素，不一定两两互素。
②互素关系不因为数域改变而改变。
2.互素的判定条件
f ( x) | (u1 ( x) g1 ( x) u2 ( x) g 2 ( x) ur ( x) g r ( x))
其中 u i (x) 是数域P上任意的多项式。
（8）若 f ( x) | g ( x), f ( x) | h( x) 则 f ( x) | g ( x) h( x)
其中， (r ( x)) ( g ( x)) 或者 r ( x) 0
P8带余除法定理
2.综合除法 （略）
用途： （1）求 f ( x) 在
x c 点的值。
（2）判断多项式 f ( x) 是否有一次因式。 （3）判断多项式 f ( x) 是否有根 x=c。 （4）把多项式 f ( x) 表示成x-c的方幂和。即
3. 定理：任何一个数域都包含有理数域，即有理数域 是最小的数域。 P3 4. 会验证一个数集是否为数域或者数环。 二、一元多项式 1. 数域P上一元多项式定义
n n1 定义：形式表达式 f ( x) an x an1 x a1 x a0
高等代数：数环与数域
又由Q是数域可知, Q( )是一个数域.
数域的充要条件
设K是一个含有不等于0的数的数集, 则K作为一个数
域的充要条件是：K中任两个数的差与商(除数不为0)
仍属于K.
证：由定义可得其必要性. 再证充分性：
任取a, b∈K, 若K中任两个数的差与商仍属于K, 则
a-a=0∈K, 0-b= -b∈K,
从而a+b=a-(-b)∈K,
又当b≠0时, b/b=1∈K, 1/b∈K,
从而ab=a/(1/b)∈K, ∴K是一个数域.
用充要条件证明
一个数集是数域
证明：数集Q(i)={a+bi, a,b∈Q}是一个数域.
证：当ab≠0时, a+bi≠0.
任取α,β∈Q(i), 令α=a+bi, β=c+di, (a,b,c,d∈Q)
(2)数域的含义中包含除法, 数环则不包含;
是数环, 但数环不一定是数域.
如{0}与Z都是数环, 但都不是数域.
用定义证明
一个数集是数域
证明：数集Q( )={a+b , a,b∈Q}是一个数域.
证：当ab≠0时, a+b ≠0.
任取α,β∈Q( ), 令α=a+b , β=c+d , (a,b,c,d∈Q)
数环与数域
数环的概念
设S是一个非空数集, 如果S中任意二数的和,差,积仍属于
S, 则称S是一个数环.
例如：整数集是一个数环，称为整数环；
全体偶数(包括负数)也是一个数环，称为偶数环；
数集{0}本身就是一个数环.
想一想：全体奇数是一个数环吗？
{a|a∈R且a≠0}呢？
数域的概念
设K是一个含有不等于０的数的数集. 如果K中任意
高等代数域、环、群的定义与简单性质
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
域的定义
定义 设 F 是至少包含两个元的集合，在 F 中有一个代数运算，称作加 法；这就是说，对 F 中任意两个元 a, b，有 F 中唯一一个元 c 与之 对应，称为 a 与 b 的和，并记作 c = a + b. 在 F 中还有另一个代数 运算叫做乘法，即对 F 中任意两个元 a, b，在 F 中都有唯一的一个 元 d 与之对应，称为 a 与 b 的积，并记为 d = ab. 如果 F 的这两 个运算还满足
这时称 R 为一个环.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
环的定义
把整数环、多项式环、n 阶方阵的运算的共同点抽象出来，就是
定义 设 R 是非空集合，在 R 上有两个代数运算，分别称为加法和乘法. 如果加法与乘法满足
I 加法交换律 a + b = b + a，∀a, b ∈ R. II 加法结合律 (a + b) + c = a + (b + c)，∀a, b, c ∈ R. III R 中有一个零元 0 满足 a + 0 = a，∀a ∈ R. IV 对 R 中任一元 a，有 R 的元 b，使得 a + b = 0，b 称为 a 的一个负元.
. .. . . ..
域的定义
V 乘法交换律 ab = ba，∀a, b ∈ F. VI 乘法结合律 (ab)c = a(bc)，∀a, b, c ∈ F.
这时我们称 F 为一个域.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
20+代数学基础(4)环和域
于整数的除法： f=gq+r，
其中，q, r是F[x]中的两个多项式，且deg(r)<deg(g).
带余除法的例子
• f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1∈F2[x] g(x)=x3+x+1∈F2[x] q=x2+x, r=x2+1
环和域
环的定义
环(Ring) : 一个非空集合S上有两种运算：加法“+”和乘 法“∘”，如果这两种运算满足以下性质，就称为环：
1. (R, +)是一个交换群，加法单位元记为0（称为零元）；
2. R关于乘法“∘”满足结合律: (a∘b) ∘c=a∘ (b∘c), 并有 单位元, 记为1；
3. 分配律成立: (a+b) ∘c=a∘c+b∘c, c∘ (a+b)=c∘a+c∘b.
• 不可约多项式f(x)=x8+x4+x3+x+1
加法
a7 x7 a6 x6 a5 x5 a4 x4 a3x3 a2 x2 a1x a0
b7 x7 b6 x6 b5 x5 b4 x4 b3x3 b2 x2 b1x b0
||
(a7 b7 )x7 (a6 b6 )x6 (a5 b5 )x5 (a4 b4 )x4 (a3 b3)x3 (a2 b2 )x2 (a1 b1)x (a0 b0 )
Pn 阶域的存在性
• Zp是阶为p的域；
• 对任意的有限域F和任意的正整数n，F[x]中一定 存在n次不可约多项式.
• 推论 对于每一个素数p和每一个正整数n，都存 在一个阶为pn的有限域.
高等代数最重要的基本概念汇总审批稿
高等代数最重要的基本概念汇总YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】第一章 基本概念数环和数域定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说，a+b,a-b,ab 都在S 内，那么称S 是一个数环。
定义2设F 是一个数环。
如果（i ）F 是一个不等于零的数；（ii ）如果a 、b ∈F,，并且b 0≠，aF b ∈，那么就称F 是一个数域。
定理 任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。
第二章 多项式一元多项式的定义和运算定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式 ()1 2012n n a a x a x a x ++++，是非负整数而012,,,n a a a a 都是R 中的数。
项式()1中，0a 叫作零次项或常数项，i i a x 叫作一次项，一般，i a 叫作i 次项的系数。
定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么就说()f x 和()g x 就说是相等()()f x g x =定义3 n n a x 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++，0n a ≠的最高次项，非负整数n 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++，0n a ≠的次数。
定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式，并且()0f x ≠，()0g x ≠，那么()i 当()()0f x g x +≠时，()()()()()()()()000max ,;f x g x f x g x ∂+≤∂∂ ()ii ()()()()()()()000f x g x f x g x ∂=∂+∂。
多项式的加法和乘法满足以下运算规则： 1） 加法交换律：()()()()f x g x g x f x +=+； 2） 加法结合律：()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x ++=++； 3）乘法交换律：()()()()f x g x g x f x =； 4） 乘法结合律：()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x =； 5） 乘法对加法的分配律：()()()()()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+。
数学概念（集合，数环，数域，线性空间，线性变换）
数学概念（集合，数环，数域，线性空间，线性变换）集合（Set）定义：集合（或简称集）是基本的数学概念，它是集合论的研究对象。
最简单的说法，即是在最原始的集合论─朴素集合论─中的定义，集合就是“⼀堆东西”。
集合⾥的“东西”，叫作元素。
数环（number ring）定义：设S是复数集的⾮空⼦集。
如果S中的数对任意两个数的和、差、积（没有商）仍属于S，则称S是⼀个数环。
例如整数集Z就是⼀个数环，有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数环。
性质：1. 任何数环都包含数零（即零环是最⼩的数环）。
2. 设S是⼀个数环。
若a∈S ，则na∈S(n∈Z)。
3. 若M,N都是数环，则M∩N也是数环。
数域（number field）定义1：设F是⼀个数环，如果对任意的a,b∈F⽽且a≠0, 则b/a∈F；则称F是⼀个数域。
定义2：设S是复数集的⾮空⼦集。
如果S中的数对任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍属于S，则称S是⼀个数域。
例如有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数域。
性质：任何数域都包含有理数域Q。
线性空间（linear space） 简单的说，线性空间是这样⼀种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另⼀元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另⼀元素。
（个⼈理解就是可加性和齐次性） 定义：设V是⼀个⾮空集合，F是⼀个数域，在集合V的元素之间定义⼀种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了⼀个法则，对于V中任意两个元素x和y，在V中都有唯⼀的⼀个元素z与他们对应，称为x与y的和，记为z=x+y．在数域F与集合V的元素之间还定义了⼀种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域F中任⼀数k与V中任⼀元素x，在V中都有唯⼀的⼀个元素y与他们对应，称为k与x的数量乘积，记为y=kx。
如果加法与乘法还满⾜下述规则，那么V称为数域F上的线性空间．1. V对加法满⾜：（1）（交换律）x+y=y+x；（2）（结合律）(x+y)+z=x+(y+z)（3）（零元素）在V中有⼀元素θ，对于V中任⼀元素x都有x+θ=x；（4）（负元素）对于V中每⼀个元素x，都有V中的元素y，使得x+y=θ；2. 数量乘法满⾜：（5）（1乘律）1x=x；（6）（结合律）k(lx)=(kl)x；3. 数量乘法和加法满⾜：（7）（分配律）(k+l)x=kx+lx；（8）（数因⼦分配律）k(x+y)=kx+ky．其中x，y，z为V中任意元素，k，l为数域F中的任意元素，1是F的乘法单位元。
第三章环与域
第三章环与域第三章环与域与群一样,环与域也就是两个重要得代数系统。
但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了,在哪里,我们有数环与数域得概念,它们实际上就就是特殊得环与域。
在本章里,我们只就是介绍环与域得最基本得性质及几类最重要得环与域,通过本章得学习,将使得我们一方面对数环与数域有更清楚得了解,另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备得基础。
§1 加群、环得定义一、加群在环得概念里要用到加群得概念,因此要先介绍一下什么就是加群,实际上加群也不就是什么新得群,在习惯上,抽象群得代数运算,都就是用乘法得符号来表示得,但我们知道,一个代数运算用什么符号表示就是没有什么关系得,对于一个交换群来说,它得代数运算在某种场合下,用加法得符号来表示更加方便。
因此,我们通常所说得加群,就是指用加法符号表示代数运算得交换群。
由于加法符号与乘法符号有所不同,所以加群得许多运算规则与表示形式就要与乘法表示得群有所不同。
如:(1)加群得单位元用0表示,叫做零元。
即,有。
(2)加群得元素得逆元用表示,叫做得负元。
即有。
利用负元可定义加群得减法运算:。
(3)。
(4)。
(5)(6),且有请同学们在乘法群中写出以上各结论得相应结论。
加群得一个非空子集作成一个子群,有,有。
加群得子群得陪集表示为:。
二、环得定义设就是一个非空集合,“+”与“。
”就是两个代数运算,分别叫做加法与乘法,若1、对于“+”作成一个加群。
2、对于“。
”就是封闭得。
3、 ,有,即乘法适合结合律。
4、 ,有,即乘法对加法适合左(右)分配律。
则称关于“+”与“。
”作成一个环。
由定义可知,环就是一个具有两个代数运算得代数系统,两个代数运算通过分配律联系起来。
例1 整数集合,有理数集合,实数集合,复数集合对于普通数得加法与乘法作成环。
分别叫做整数环,有理数环,实数环,复数环。
例2 数域上所有阶方阵作成得集合关于矩阵得加法与乘法作成环。
例3 关于普通数得加法与乘法作成环,叫做偶数环。
高等代数最重要的基本概念汇总
第一章 基本概念1.5 数环和数域定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说，a+b,a-b,ab 都在S 内，那么称S 是一个数环。
定义2 设F 是一个数环。
如果（i ）F 是一个不等于零的数；（ii ）如果a 、b ∈F,，并且b 0≠，a F b∈，那么就称F 是一个数域。
定理 任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。
第二章 多项式2.1 一元多项式的定义和运算定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式()1 2012n n a a x a x a x ++++，是非负整数而012,,,n a a a a 都是R 中的数。
项式()1中，0a 叫作零次项或常数项，i i a x 叫作一次项，一般，i a 叫作i 次项的系数。
定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么就说()f x 和()g x 就说是相等定义3 n n a x 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++，0n a ≠的最高次项，非负整数n 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++，0n a ≠的次数。
定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式，并且()0f x ≠，()0g x ≠，那么()i 当()()0f x g x +≠时，()ii ()()()()()()()000f x g x f x g x ∂=∂+∂。
多项式的加法和乘法满足以下运算规则：1） 加法交换律：()()()()f x g x g x f x +=+；2） 加法结合律：()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x ++=++；3）乘法交换律：()()()()f x g x g x f x =；4） 乘法结合律：()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x =；5） 乘法对加法的分配律：()()()()()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+。
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我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数 范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做 这样的限制。 在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减 乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中 （即运算是否封闭）。 代数运算：设A是一个非空集合，定义在A上的一个代数运算 A A 是指存在一个法则，它使 A 中任意两个元素 例如两个整数的和、差、积仍是整数，但两个 运算封闭：如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在 都有A中一个元素与之对应。 这个集合中，则称该集合对这个运算封闭。 整数的商就不一定是整数，这证明整数集对加、减、 乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集 对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。 同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算 都封闭。
第一章 多项式
根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类： 数环和数域。 一、数环 定义1： 设S是由一些复数组成的一个非空集合， 如果对 a, b S ，总有 a b, a b, a b S 则称S是一个数环。 例如： 整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集 C都是数环。 问题： 1、除了Z 、Q、R、C外是否还有其他数环？ 2、有没有最小的数环？ 例1：设a是一个确定的整数。令 S na n Z
第一章 多项式
则S是一个数环。 特别，当a=2时，S是全体偶数组成的数环。 S 0，即只包含一个零组成的数 当a=0时， 环，这是最小的数环，称为零环。 问题：3、一个数环是否一定包含0元？ 4、除了零环外，是否还有只含有限个元素的 数环？ 例2：证明 Z i a bi a, b Z , i 2 1 是一个数环。 问题：5、除了定义之外，判断一个集合是数环 有没有其他简单的方法？
第一章 多项式
d
问题： 8、一个数域必包含哪两个元素？ 9、最小的数域是什么？ 定理1.1.2：任何数域都包含有理数域Q。 证明：设F是一个数域，则 a F , a 0. 于是 a a 0 F , a a 1 F.
1 1 2,1 2 3,1 3 4,
在R与C之间不可能有别的数域。 设有数域F，使 R F C ，故
x F , x R, x C, 设x=a+bi，且 b 0
第一章 多项式
（若b=0，则 x a R ，矛盾）。
a, b R, a, b F , bi F , bi b i F 可见F=C。
且是三个最重要的数域。
第一章 多项式
问题：6、数域与数环之间有什么关系？例2中的数 集是不是数域？ 7、除了Q、R、C外，是否还有其他的数域？ 例3：证明 Q 2 a b 2 a, b Q是一个数域。 证明要点：先证 Q 2 有一个非零元 1 1 0 2 ， 对加、减、乘封闭。再证除法封闭：
§1.1 数环和数域 研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的 范围，学习数学也是如此。 比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、 有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分 解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。 例如
x 2 在有理数范围内不能分解，在实数范围内
2
就可以分解。 x2 1 0 在实数范围内没有根，在复数范围内就 有根。等等。
设 c d 2 0 c d 2 0（否则当 d 0 c 0 矛盾； 当 d 0 2 c Q ，也矛盾）。于是
ab 2 cd 2 ab 2 a1 b1 2, a1 , b1 Q cd 2 cd 2S1 和 S2 是数环，试问 S1 S2 , S1 S2 是不是数环？若是，给出证明， 若不是举出反例。 若 S1 和 S2 是数域情况又如何？
S1 S2不是数域,反例:S1 a b 2 a, b Q , S2 a b 3 a, b Q
两个数域的并，不一定是数域，能不能找出两 个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。 （ F1 , F2 是数域，则F1 F2 是数域的充要条件是 F1 F2 或 F2 F1 ）。
a 对 x Q, x 0, x , a, b Z , b 故 x F , Q F.
, N F
, Z F
0 1 1,0 2 2,0 3 3,
问题：10、在判断一个数集是不是数域时，实际上
第一章 多项式
要检验几种运算？ 定理1.1.3： 设F是一个含有非零数的数集，则F 是一个数域的充要条件是F中任两个数的差与商（除 数不为零）仍属于F。 问题： 11、在Q与R之间是否还有别的数域？在R与C 之间是否有别的数域？ 例：对任意素数P， Q P a b p a, b Q 是一个数域。Q Q P R
第一章 多项式
定理1.1.1：设S是一个非空数集，S是数环的充 要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。 二、数域 定义2： 设F是一个含有不等零的数的数集，如果F 中任两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在F中， 则称F是一个数域。 定义 2： 设F是一个数环，如果 ① F内含有一个非 零数； ② 对 a, b F , 且 b 0 ，则 a b F 则称F是一个数域。 例如：有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域，